高考数学二轮复习专项强化练解三角形

专项强化练(六) 解三角形

A 组——题型分类练

题型一 正弦定理和余弦定理

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A

sin C ＝

________．

解析：由正弦定理得sin A sin C ＝a c ，由余弦定理得cos A ＝b 2

＋c 2

－a

2

2bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，

∴

sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A

sin C

·cos A ＝2×46×52

＋62

－42

2×5×6＝1.

答案：1

2．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC 的长是________． 解析：因为S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以33＝12×3×4×sin A ，所以sin A ＝3

2，因

为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝60°，由余弦定理得，BC 2

＝AB 2

＋AC 2

－2AB ·AC cos A ，解得BC ＝13.

答案：13

3．已知在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝2，角B 的平分线BD ＝3，则BC ＝________． 解析：在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BD

sin A ，

∴sin ∠ADB ＝

AB ·sin A BD ＝2

2

，∴∠ADB ＝45°， ∴∠ABD ＝15°，∴∠ABC ＝30°，∠ACB ＝30°， ∴AC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由余弦定理得

BC ＝ AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝ 6.

答案： 6

4．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1tan A ＋1tan B ＝1

tan C ，

则ab c

2的最大值为________．

解析：由1tan A ＋1tan B ＝1

tan C 可得，

cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos C

sin C

，

即sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝cos C

sin C ，

∴sin （B ＋A ）sin A sin B ＝cos C

sin C ，

即

sin C sin A sin B ＝cos C

sin C

，

∴sin 2

C ＝sin A sin B cos C . 根据正弦定理及余弦定理可得，

c 2

＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab

，整理得a 2＋b 2＝3c 2

.

∴ab c 2＝

ab a 2＋b 23

＝3ab a 2

＋b 2≤3ab 2ab ＝3

2

， 当且仅当a ＝b 时等号成立． 答案：32

[临门一脚]

1．正弦定理的应用：

(1)已知两角和任意一边，求其它两边和一角；

(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． 2．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

3．要注意运用a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B 对所求角的限制，控制解的个数．

4．对边、角混合的问题的处理办法一般是实施边、角统一，而正弦定理、余弦定理在实施边和角相互转化时有重要作用，如果边是一次式，一般用正弦定理转化，如果边是二次式，一般用余弦定理．

5．对“锐角三角形”的概念要充分应用，必须三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，防止角范围的扩大．

题型二 解三角形的实际应用

1.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________m.

解析：∠B ＝180°－∠ACB －∠CAB ＝30°，由正弦定理得，AB ＝

AC ·sin ∠ACB

sin

B ＝50×

221

2

＝502(m)．

答案：50 2

2．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小是________．

解析：∵AD 2

＝602

＋202

＝4 000，

AC 2＝602＋302＝4 500.

在△CAD 中，由余弦定理得

cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝2

2

，

∴∠CAD ＝45°. 答案：45°

3.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．

解析：依题意得OD ＝100米，CD ＝150米，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°，因此由余弦定理有OC 2

＝OD 2

＋CD 2

－2OD ·CD ·cos ∠ODC ，即OC 2

＝1002

＋1502

－2×100×150×1

2

＝17 500，

∴OC ＝507(米)． 答案：507 [临门一脚]

1．理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等． 2．测量问题和追击问题关键是构建三角形，利用正余弦定理研究．

3．几何图形中长度和面积的最值问题的研究关键是选好参数(边、角或者建立坐标系)，构建函数来研究，不要忽视定义域的研究．

B 组——高考提速练

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于________．