2021高考数学一轮复习考点规范练03题及其关系、充要条件(含解析)

11.有下列几个命题:
①“若 a>b,则 a2>b2”的否命题;
②“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题;
③“若 x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.
8.下列说法错误的是( )
A.设 x,y∈R,则“x2+y2≥2”是“x≥1,且 y≥1”的必要不充分条件
B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
C.“ac2<bc2”是“a<b”的必要不充分条件
D.命题“若 x2-3x-10=0,则 x=5”的逆否命题为“若 x≠5,则 x2-3x-10≠0”
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:由 x2-5x<0,可得 0<x<5.由|x-1|<1,得 0<x<2,因为 0<x<5 不能推出 0<x<2,但 0<x<2 可以推出 0<x<5,所以 0<x<5 是 0<x<2 的必要不充分条件,即 0<x<5 是|x-1|<1 的必要不充分条件.故选 B.
2021 高考数学一轮复习考点规范练：03 命题及其关系、充要条件（含解析）
基础巩固
1.命题 p:“若 x>1,则 x2>1”,则命题 p 以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
解析:命题 p:“若 x>1,则 x2>1”是真命题,则其逆否命题为真命题; 其逆命题:“若 x2>1,则 x>1”是假命题,则其否命题也是假命题. 综上可得,四个命题中真命题的个数为 2.
-
22
a
<x<
-
2+ 2
a.
∵|x+1|<b,∴-b<x+1<b.∴-b-1<x<b-1.
∵|f(x)-1|<a 的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),
( ) ∴
- 2 - a, - 2 + a
2
2
⊆ (-b-1,b-1).
∴-b-1 ≤
-2-a
2 ,b-1
≥
-
2+ 2
a
,解得 b
≥
2a.故选 A.
3.已知命题“若 x=5,则 x2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆否命题中,真命题有( )
A.0 个
B.1 个

C.2 个
D.3 个
答案:B
解析:命题“若 x=5,则 x2-8x+15=0”为真命题,故其逆否命题为真命题.又当 x2-8x+15=0 时,x=3 或 x=5,故其逆命题 为假命题.故其否命题为假命题.故选 B. 4.已知 a,b∈R,p:a+b≠4,q:a≠1,且 b≠3,则 p 是 q 的( )
因为 x=-2,有 x2+x-2=0,所以否命题是假命题;
对于 D,若 x2>0,则 x≠0,不一定有 x>1,因此逆否命题是假命题.
6.已知条件 p:a<0,条件 q:a2>a,则 p 是 q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:因为 p:a≥0, q:0≤a≤1,所以 p 是 q 的必要不充分条件. 7.(2019 天津,理 3)设 x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的( )
9.设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3a>3b>3”是“log 3<log 3”的( )
a
b
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:∵3a>3b>3,∴a>b>1.∴log a>log b>0.
3
3
∴1<1
log a
3
log b,即 3
log 3<log 3.
2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
答案:B
解析:将原命题的条件与结论互换即得逆命题,故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数,则它是负数”.
a
b
∴“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分条件.
当 0<a<1,b>1 时,满足 log 3<log 3.
a
b
而由 3a>3b>3,得 a>b>1,
∴由 log 3<log 3 不能推出 3a>3b>3,
a
b
∴“3a>3b>3”不是“log 3<log 3”的必要条件.
a
b
∴“3a>3b>3”是“log 3<log 3”的充分不必要条件,故选 B.
D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题
答案:A
解析:对于 A,逆命题是:若 x>|y|,则 x>y.因为 x>|y|≥y,必有 x>y,所以逆命题是真命题;
对于 B,否命题是:若 x≤1,则 x2≤1.
因为 x=-5,有 x2=25>1,所以否命题是假命题;
对于 C,否命题是:若 x≠1,则 x2+x-2≠0.
a
b
10.已知 f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|<a 的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),则 a,b 之间的关系是( )
A.b
≥
a 2
a
B.b<2
C.a
≤
b 2
答案:A
解析:∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|<a,
b
D.a>2
∴|2x+2|<a.∴-a<2x+2<a. ∴
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:D
解析:由题意,易知 p q,q p,故 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
5.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题
B.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题
C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题
答案:C
解析:对于 A,当“x≥1,且 y≥1”时,“x2+y2≥2”必成立;反之,当 x=-2,y=-1 时,“x2+y2≥2”成立,但“x≥1,且 y≥1”不成立,因此“x2+y2≥2”是“x≥1,且 y≥1”的必要不充分条件,故 A 正确.对于 B,当 x=1 时,满足 x23x+2=0;反之,当 x2-3x+2=0 时,不一定有 x=1,因此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,故 B 正确.对于 C,当 a<b 时,若 c=0,则 ac2<bc2 不成立,故必要性不成立,故 C 错误.对于 D,根据逆否命题的定义可知,D 正确.故选 C.