勾股定理与图形面积关系的拓展
从勾股定理到图形面积关系的拓展定稿版
从勾股定理到图形面积
关系的拓展
HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
从勾股定理到图形面积的拓展
教学目标：
1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维．
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力
教学重点：利用勾股定理，解决实际问题
教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。 教学过程：
一、 向外拓展正方形
如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,
分别以a,b,c 三边为边做正四边形，那么有132s s s =+
证明：∵ 22b s =，23a s =，21c s = 根据勾股定理：222c b a =+
∴ 132s s s =+
拓展练习：
1、如图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形，
其中最大的正方形的边长为7cm．你能求出正方形A、B、
C、D的面积之和吗？请试一试．
2、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外
作四个正方形，若S
1+S
4
=100，S
3
=36，
则S
2
=（）
3、如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11.求正
方形b的面积.
4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号,3号两个正方形的面积为4则A,B,C三个正方形的面积和为多少?
二、向外拓展正三角形
初中数学精品课件：从勾股定理到图形面积关系的拓展
S4
A
A
B
F
S3
B
S1+S2+S4=S3+S5 S1+S4=S2=S3=S5
结合其他知识，细化面积关系.
六、反思悟学
C
S1
S2
ba
c A
B
S3
C
S1
S2
A
B
S3
C
S2 S1
C
S1
S2
A
BA
B
S3
S3
S1
C
S2
A
B
S3
勾股 直角三角形向外
定理
作三个正方形， 可得S1+S2=S3.
类比思想、 数形结合
S1+S2=S3
二、问题探究
C
ba
A
c
B
你还能以直角三角形的三边向外作其他的图形，
使得三个面积之间仍然存在S1+S2=S3这一关系吗？ 请试着画一画，并说明理由.
三、归纳整理
C
S2
A
S3
C
S1
S2
S1
B
A
B
S3
C
S2
S1
A
B
S3
S2 C
S1
A
B
S3
S2 C
S1
ba
初中数学精品教案：从勾股定理到图形面积关系的拓展
从勾股定理到图形面积的拓展
教学目标：
1理解并会用勾股定理进行有关拓展面积的计算。
2.通过观察图形，探索图形之间面积的关系渗透数学建模的思想。
3.探索图形面积规律的过程中，体验由数到形，由特殊到一般的思维过程感受数学学习的魅力。
教学重点：利用勾股定理拓展到其他面积的相关计算。
教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。 教学过程：
一，知识回顾：
2. 通过构
建正方形证明勾股定理
3. 视屏观看欧几里得的勾股定理证明从而引出课题。 二，发现新知：
1. 分别以Rt △ACB 的三边为边长向外作三个正方形，面积分别记为S1 ,S2和S3,请猜想它们之间的关系，并说明理由。
2.分别以Rt △ACB 的三边为边长向外作三个矩形，其中宽为长的一半，面积分别记为S1 ,S2和S3,请猜想它们之间的关系，并说明理由.
1.同学们看到这个直角三角形，你能想到我们学过的那些知识
呢？
c
b
a
C A
B
c
b a
C
c
b a
S 1
S 2
S 3
C
A
B
c
b
a
S 2
S 3
S 1
练习. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是9、25、4、9，则最大正方形E 的面积是 （ ） A 、13 B 、26 C 、47 D 、94
2. 分别以Rt △ACB 的三边为边长向外作三个半圆，面积分别记为S1 ,S2和S3,请猜想它们之间的关系，并说明理由。
三，探究新知
分别以直角三角形的三边为边向外作其它的某一种图形，面积也满足S1+S2=S3.
从勾股定理到图形面积关系的拓展
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二、向外拓展正三角形
分别以直角三角形 两条直角边为边长 的两个正三角形的 面积之和，等于以 斜边为边长的正三 角形的面积. 图2-39，S1+S2=S3
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三、向外拓展正五边形
如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，
求证： s2 s3 s1
S1
O
h
α
S2
b
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3
2、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°， 分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形， 若S1+S4=100，S3=36，则S2=（ ）
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3、如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分 别为5和11.求正方形b的面积.
4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7Leabharlann Baidu2号,3号 两个正方形的面积为4则A,B,C三个正方形的面积和 为多少?
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欣赏勾股图
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欣赏勾股图
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欣赏勾股图
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13
欣赏勾股图
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公元前约400年，古 希腊的希波克拉底 研究了他自己画的 形如图2-41的图形， 得出如下结论： “两个月牙的面积 之和，等于△ABC 的面积，即S1+S2=S3. 你能说明理由吗？
从勾股定理到图形面积关系的拓展
从勾股定理到图形面积的拓展
教学目标：
1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维．
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力
教学重点：利用勾股定理，解决实际问题
教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。 教学过程：
一、 向外拓展正方形
如图，在Rt △ ABC ，∠C=0
90中，
AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正四边形，那么有132s s s =+
证明：∵ 22b s =，23a s =，21c s = 根据勾股定理：222c b a =+ ∴ 132s s s =+ 拓展练习：
1、如图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形， 其中最大的正方形的边长为7cm ．你能求出正方形A 、B 、 C 、D 的面积之和吗？请试一试．
2、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S 1+S 4=100，S 3=36，
则S 2=（ ）
3、如图,直线L 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的面积分别为5和11.求正 方形b 的面积.
4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号,3号两个正方形的 面积为4则A,B,C 三个正方形的面积和为多少?
二、向外拓展正三角形
如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正三角形，那么有132s s s =+
从勾股定理到图形面积关系的拓展
从勾股定理到图形面积的拓展
教学目标：
1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维．
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力
教学重点：利用勾股定理，解决实际问题
教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。 教学过程：
一、 向外拓展正方形
如图，在Rt △ ABC ，∠C=0
90中，
AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正四边形，那么有132s s s =+
证明：∵ 22b s =，23a s =，21c s = 根据勾股定理：222c b a =+ ∴ 132s s s =+ 拓展练习：
1、如图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形， 其中最大的正方形的边长为7cm ．你能求出正方形A 、B 、 C 、D 的面积之和吗？请试一试．
2、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S 1+S 4=100，S 3=36，
则S 2=（ ）
3、如图,直线L 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的面积分别为5和11.求正 方形b 的面积.
4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号,3号两个正方形的 面积为4则A,B,C 三个正方形的面积和为多少?
二、向外拓展正三角形
如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正三角形，那么有132s s s =+
从勾股定理到图形面积关系的拓展
从勾股定理到图形面积的拓展
教学目标：
1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维．
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力
教学重点：利用勾股定理，解决实际问题
教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。 教学过程：
一、 向外拓展正方形
如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正四边形，那么有132s s s =+
证明：∵ 2
2b s =，2
3a s =，2
1c s =
根据勾股定理：222c b a =+ ∴ 132s s s =+ 拓展练习：
1、如图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形， 其中最大的正方形的边长为7cm ．你能求出正方形A 、B 、 C 、D 的面积之和吗？请试一试．
2、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S 1+S 4=100，S 3=36， 则S 2=（ ）
C
A
B
a b c
s 2
S
S 1
3、如图,直线L 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的面积分别为5和11.求正 方形b 的面积.
4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号,3号两个正方形的 面积为4则A,B,C 三个正方形的面积和为多少?
二、向外拓展正三角形
如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正三角形，那么有132s s s =+
勾股定理与图形面积关系的拓展
A 图（5）
B
从勾股定理到图形面积之间关 系的拓展
• 我们知道，勾股定理反映了直角三角形三 遍之间的关系：而又可以看成是以a,b,c为 边长的正方形的面积，因此勾股定理也可 以描述为：分别以直角三角形的两直角边 为边长的正方形面积之和，等于以斜边为 边长的正方形的面积。如图（1）S1 S2 S3
A b C c a B
• 变式探究（二） • 如果以直角三角形的三边a,b,c为边，向形 外分别作等腰直角三角形，那么这三个等 腰直角三角形直角的面积有怎样的关系？ 请说明理由。
变式探究（三） 如图（4）是分别以直角三角形的三 边为直径作三个半圆，则 S1 S2 S3 成立吗？
C
A
B
图（4）
公元前月400年，古希腊的希波克拉底研究了他自己 所画的形如图（5）的图形，得出了以下结论：两个 月牙形的面积之和等于ABC的面积，即 S1 S2 S3 ,你 能说明理由吗？
图（1）
• 练习一：如图（2），以ABC的每一条边为 边作正方形，则图中红色部分的面积与蓝 色部分的面积相等吗？
C
B 图（2）
A
• 变式探究（一） • 如果以直角三角形的三边a,b,c为边，向形 外分别作正三角形，那么是否存在 S1 S2 S3 呢？如图（3）
C a c B b A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图（3）
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• 变式探究（二） • 如果以直角三角形的三边a,b,c为边，向形 外分别作等腰直角三角形，那么这三个等 腰直角三角形直角的面积有怎样的关系？ 请说明理由。
变式探究（三） 如图（4）是分别以直角三角形的三 边为直径作三个半圆，则 S1 S2 S3 成立吗？
C
A
B
图（4）
公元前月400年，古希腊的希波克拉底研究了他自己 所画的形如图（5）的图形，得出了以下结论：两个 月牙形的面积之和等于ABC的面积，即 S1 S2 S3 ,你 能说明理由吗？
C
A 图（5）
B
图（1）
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• 练习一：如图（2），以ABC的每一条边为 边作正方形，则图中红色部分的面积与蓝 色部分的面积相等吗？
C
B 图（2）
A
• 变式探究（一） • 如果以直角三角形的三边a,b,c为边，向形 外分别作正三角形，那么是否存在 S1 S2 S3 呢？如图（3）
C a c B b A
图（3）
从勾股定理到图形面积之间关 系的拓展
• 我们知道，勾股定理反映了直角三角形三 遍之间的关系：而又可以看成是以a,b,c为 边长的正方形的面积，因此勾股定理也可 以描述为：分别以直角三角形的两直角边 为边长的正方形面积之和，等于以斜边为 边长的正方形的面积。如图（1）S1 S2 S3
A b C c a B