勾股定理与图形面积关系的拓展
从勾股定理到图形面积关系的拓展定稿版
从勾股定理到图形面积关系的拓展HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】从勾股定理到图形面积的拓展教学目标：1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维．2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力教学重点：利用勾股定理，解决实际问题教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。
教学过程：一、 向外拓展正方形如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正四边形，那么有132s s s =+证明：∵ 22b s =，23a s =，21c s = 根据勾股定理：222c b a =+∴ 132s s s =+拓展练习：1、如图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形，其中最大的正方形的边长为7cm．你能求出正方形A、B、C、D的面积之和吗？请试一试．2、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=100，S3=36，则S2=（）3、如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11.求正方形b的面积.4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号,3号两个正方形的面积为4则A,B,C三个正方形的面积和为多少?二、向外拓展正三角形如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正三角形，那么有132s s s =+如图做三角形2s 的高h ，因为2s 是以b 为边的等边三角形，易得 h=b 23，2s =b b 2321••=243b 同理：2343a s =，2143c s =；)(432232b a s s +=+，根据勾股定理222c b a =+得23243c s s =+=1s 即：132s s s =+三、向外拓展正五边形如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，求证：132s s s =+1s S2 3s证明：如图连接正五边形的中心O 与一边端点的连线构成一个等腰三角形，并做出等腰三角形底边上的高h,∵cot α=2c h , ∴αcot 2c h =, ∴ααcot 455cot 22121•=••=c c c S . 同理：αcot 4522•=b s ，αcot 4523•=a s ，∴)(cot 45cot 45cot 45222232a b a b s s +=•+•=+ααα 由勾股定理得：222c b a =+，∴1232cot 45s c s s =•=+α 即：132s s s =+依次类推：以直角三角形的三边为边长做正n 边形时. αcot 422•=b n s ，αcot 423•=a n s ，αcot 421•=c n S ，根据勾股定理：222cb a =+，1232cot 4sc n s s =•=+α 即：132s s s =+通过上面的证明我们就得到了“以任意直角三角形的三边为边长做边数相等的正多边形，以斜边边长为边的正多边形的面积等于以直角边边长为边的两正多边形的面积之和.”四、向外拓展半圆 同样我们还能得到以“任意直角三角形的三边为直径做半圆（或圆），以斜边边长为直径的半圆（或圆）的面积等于以直角边为直径的两个半圆（或圆）的面积之和”. 下面我们来看证明： 已知：如图，直角三角形的两直角边为a,b ，斜边为c,分别以a,b,c 为直径做半圆. 求证：132s s s =+证明：∵ 2218)2(21c c s ππ==，2228)2(21b b s ππ==， 2238)2(21a a s ππ== ∴ )(888222232a b a b s s +=+=+πππ，由勾股定理222c b a =+得：122222328)(888s c a b a b s s ==+=+=+ππππ，即：132s s s =+拓展练习：把大半圆向上翻折，得到如下图：SS欣赏勾股图教学总结：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，从勾股定理到图形面积关系的拓展练习中感受学习数学的魅力，体会古代数学的文化成就．。
中考数学专题复习拓展勾股定理与图形面积关系公开课精品课件
勾股定理的惊奇之处
勾股定理与图形面积关系
重温经典 勾股定理 不同版本教材中的证明方法
a2+b2=c2
c a
b
浙教版
苏教版
沪教版
人教版
简单问题 探寻奥秘
5 3
❶
4
5
=
3❸❷4源自❶=❷5
4
？
+❸
3
对比探索 领悟共性 猜想
a2 b2 c2 线段关系
s1+s2=s3 面积关系
A
S1 3S1aSS11
B
S2 SSS333 4b C
S3 5c
D
9 + 16 = 25
SSS222
实验
推理 共性
S1 1• a2
S1
3 a2 4
S1
8
a2
S2 1•b2
S2
3 b2 4
S2
8
b2
S3 1• c2
S3
3 c2 4
S3
8
c2
S1 Fa2 S2 Fb2 S3 Fc2
提炼总结 品味经典
S3 S1
S2
S3 S1
S2
S3 S1
S2
…… 形状相同，大小不同
在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积， 等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和。
35 4
形状相同，大小不同
……
拓展延伸，精准深化
S3 S1
S2
S3 S1
S2
S1
S5
S4
S3
S2
S1 S3
S4 S2
S3 S1
S2
S1
S3
S2
勾股定理与三角形面积的关系
勾股定理与三角形面积的关系勾股定理是三角学中的基础定理之一，它描述了直角三角形的边与斜边之间的关系。
三角形的面积是另一个重要的概念，表示了平面图形的大小。
本文将探讨勾股定理与三角形面积之间的关系，并且通过具体的例子来进一步说明这一关系。
一、勾股定理的定义和应用勾股定理是指在任意直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
即对于一个直角三角形，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则勾股定理可以表示为：a² + b² = c²这一定理在解决各类几何问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用勾股定理求解三角形的边长、判断一个三角形是否为直角三角形以及计算三角形的周长等。
二、三角形的面积公式三角形的面积是根据其底边和高来计算的。
对于一个三角形，设其底边为b，高为h，则三角形的面积S可以表示为：S = 1/2 * b * h这一公式可以用于计算各种类型的三角形的面积，包括直角三角形、等腰三角形和一般三角形等。
三、三角形面积与勾股定理的关系接下来，我们将探讨三角形面积与勾股定理的关系。
首先，我们回顾一下直角三角形的特点，其中的一个角为直角（即90度），而另外两个角分别为锐角和钝角。
对于直角三角形，斜边的长度即为直角边界线的最大长度。
考虑一个直角三角形，直角边的长度分别设为a和b，斜边的长度为c。
根据勾股定理可知：a² + b² = c²假设我们将直角边a和直角边b所在的线段绘制成一个矩形，其边长分别为a和b。
那么这个矩形的面积就是a*b。
另一方面，直角三角形的面积可以表示为S。
我们可以将直角三角形分成两个等腰直角三角形，每个等腰直角三角形的面积为S/2。
由此可得：a *b = 2 * (S/2)a *b = S由此可见，在一个直角三角形中，直角边的乘积恰好等于这个三角形的面积。
这是因为直角边的乘积实际上就是以直角边作为底边和高的矩形的面积。
这个关系可以进一步扩展到一般三角形。
阅读材料 从勾股定理到图形面积关系的拓展
课堂讲练
解：设 CD＝x. ∵在△ABC 中，AB＝20，AC＝12，BC＝ 16， 把△ABC 折叠，使 AB 落在直线 AC 上， ∴BD＝B′D＝16－x，B′C＝AB－AC＝20 －12＝8，∠DCB′＝90°.
课堂讲练
∴在 Rt△DCB′中，CD2＋B′C2＝DB′2. ∴x2＋82＝(16－x)2，解得：x＝6. ∴重叠部分(阴影部分)的面积为：12×6× 12＝36.
课堂讲练
变式 1 如图，长方形纸片 ABCD，沿折痕 AE 折叠边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处．已知 AB＝8，且 EF 的长为 5，求△ABF 的面积．
课堂讲练
解：解：由折叠性质可知 DE＝EF＝5. ∵DC＝AB＝8， ∴EC＝DC－DE＝3. 在 Rt△ECF 中，根据勾股定理，得 CF＝ EF 2 EC2 ＝ 52－32＝4.
阅读材料 从 勾股定理到图 形面积关系的
拓展
课前预习
1.在 Rt△ABC 中，已知两边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是( D )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA. 第三边一定为 5 B. 三角形的周长为 12 C. 三角形的面积为 6 D. 第三边可能为 5
课前预习
2.如图，图中有一个正方形，此正方形的 面积是( B )
课堂讲练
设 BF＝x，则 AF＝AD＝BC＝x＋4.
在 Rt△ABF 中，根据勾股定理，得
x2＋82＝(x＋4)2，x＝6.
即 BF＝6.
1
1
∴S△ABF＝2AB·BF＝2×8×6＝24.
完成作业
提示！
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制作：《初中新学案》丛书编委会
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
浙教版数学八年级上册《阅读材料 从勾股定理到图形面积关系的拓展》教案1
浙教版数学八年级上册《阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展》教案1一. 教材分析《阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展》是浙教版数学八年级上册的一篇阅读材料。
本节课主要通过介绍勾股定理以及图形面积关系的拓展，让学生了解并掌握勾股定理在解决实际问题中的应用，以及图形面积计算方法的拓展。
教材通过阅读材料的形式，引导学生主动探究，提高学生的数学素养。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了勾股定理，对勾股定理有一定的认识和理解。
但如何在实际问题中应用勾股定理，以及图形面积关系的拓展，可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将已知的勾股定理与实际问题相结合，通过探究和解决实际问题，加深对勾股定理的理解和应用。
三. 教学目标1.了解勾股定理在解决实际问题中的应用。
2.掌握图形面积计算方法的拓展。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理在解决实际问题中的应用，图形面积计算方法的拓展。
2.难点：如何将勾股定理与实际问题相结合，运用图形面积计算方法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。
通过设置问题情境，引导学生主动探究，以实际案例分析为基础，让学生在解决问题的过程中掌握勾股定理的应用和图形面积计算方法的拓展。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备图形面积计算的相关材料。
3.准备教学PPT。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题情境，如测量一个直角三角形的斜边长度，引导学生回顾勾股定理。
让学生思考：勾股定理在解决这个问题中起到了什么作用？2.呈现（15分钟）呈现一系列与勾股定理相关的实际问题，让学生独立思考并尝试解决。
如：一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长度。
引导学生运用勾股定理解决问题。
3.操练（20分钟）让学生分组合作，探讨并解决更多的实际问题。
如：一个长方形的长和宽分别为8cm和6cm，求长方形的对角线长度。
浙教版数学八年级上册《阅读材料 从勾股定理到图形面积关系的拓展》教学设计1
浙教版数学八年级上册《阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展》教学设计1一. 教材分析《阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展》是浙教版数学八年级上册的一篇阅读材料。
本节课主要通过介绍勾股定理及其在几何图形面积计算中的应用，让学生了解勾股定理的来历，理解勾股定理的本质，掌握运用勾股定理解决一些简单几何图形面积问题的方法。
教材通过丰富的阅读材料，激发学生的学习兴趣，培养学生的阅读理解能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了勾股定理的定义和证明，对勾股定理有一定的了解。
但部分学生对勾股定理的理解停留在死记硬背上，缺乏深入理解和灵活运用。
此外，学生在之前的学习中已经接触过一些几何图形的面积计算，但对于如何运用勾股定理解决面积问题还不太清楚。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生深化对勾股定理的理解，引导学生将勾股定理与面积计算相结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解勾股定理的来历，理解勾股定理的本质。
2.掌握运用勾股定理解决一些简单几何图形面积问题的方法。
3.培养学生的阅读理解能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.激发学生的学习兴趣，培养学生的探究精神。
四. 教学重难点1.重点：了解勾股定理的来历，理解勾股定理的本质；掌握运用勾股定理解决一些简单几何图形面积问题的方法。
2.难点：如何引导学生将勾股定理与面积计算相结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解勾股定理的来历、证明和应用，帮助学生了解和掌握勾股定理。
2.阅读理解法：学生通过阅读教材中的阅读材料，提高阅读理解能力，理解勾股定理在面积计算中的应用。
3.实践操作法：学生通过动手操作，解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
4.讨论交流法：学生通过小组讨论，分享学习心得，互相学习，提高学习效果。
六. 教学准备1.教材：浙教版数学八年级上册。
深入了解三角形的面积和勾股定理
深入了解三角形的面积和勾股定理三角形的面积和勾股定理是数学中的基本概念和定理。
通过深入了解这些内容，我们可以更好地理解和应用三角形的相关性质。
本文将从三角形的面积开始探讨，然后介绍勾股定理，最后总结其应用。
一、三角形的面积三角形是几何学中最基本的图形之一，其面积的计算是几何学的核心问题之一。
1. 三角形的面积公式对于任意三角形，其面积可以通过底边的长度和对应的高来计算。
假设三角形的底边长为a，高为h，则三角形的面积S可以表示为：S = 0.5 * a * h。
2. 随着形状变化的三角形面积计算除了常见的直角三角形，其他形状的三角形也可以通过不同的方法计算面积。
①等边三角形：等边三角形的三条边相等，其面积可以通过公式S = (边长)^2 * 根号3 / 4来计算。
其中根号3 / 4为一个常数。
②等腰三角形：等腰三角形的两边相等，可以通过底边和高来计算面积。
假设等腰三角形的底边为a，高为h，则面积可以表示为：S = 0.5 * a * h。
③任意形状的三角形：对于一般的三角形，我们可以利用海伦公式来计算其面积。
给定三角形的三条边长a、b、c，半周长为p = (a + b +c) / 2，则三角形的面积可以表示为：S = 根号(p * (p-a) * (p-b) * (p-c))。
二、勾股定理勾股定理是三角学中一个重要的定理，描述了直角三角形三边之间的关系。
1. 定理表述勾股定理的数学表述为：在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
假设一个直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。
2. 勾股定理的应用勾股定理在数学和物理等领域有广泛的应用。
①解决三角形的边长和角度：通过已知一个直角三角形的两边，可以利用勾股定理求解第三边的长度；通过已知两边或一边和一个角度，同样可以使用勾股定理计算出三角形的其他边长或角度。
②解决实际问题：勾股定理可以应用于测量问题，例如测量难以直接测量的距离，同时还可以帮助解决导弹飞行轨迹计算、地图测量等实际问题。
勾股定理中常见几何图形的面积规律
数
图中元素： 等腰直角三角形 正方形
若正方形①的面积为a
学 则有第②个正方形的面积是a÷2 第③个正方形的面积是a÷2÷2
……
第n个正方形面积为a/2n-1
勾股定理
与几何图形
05
数 学
图中元素： 直角三角形 半圆
则有S2+S3=S1
勾股定理
与几何图形
06
数 学
图中元素： 直角三角形 半圆
则有S阴影=SRt△ABC
S△ABF
勾股定理
与几何图形
09
数 学
图中元素： 直角三角形 正方形
则有S1+S4＝S2+S3
勾股定理
与几何图形
10
数 学
图中元素： 直角三角形ABC 三个等边三角形：△ACG、△ABF、△BCH
则有S1+S3＝S2+S4
勾股定理
与几何图形
01
数 学
S1
S2
S3
图中元素： 直角三角形 正方形
则有 S1 +S2=S3
勾股定理
与几何图形
02
数 学
图中元素： 直角三角形 正方形
则有 SA+SB+SC+SD=SE
勾股定理
与几何图形
03
数 学
图中元素： 直角三角形 正方形
则有 SA+SB=SD－SC
勾股定理
与几何图形
04
勾股定理
与几何图形
07
数 学
图中元素： 直角三角形ABC 三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等腰直角三角形
则有S△AEC+S△BCF=S△ADB
图中元素： 直角三角形ABC 三个等边三角形
与勾股定理有关的图形面积关系教学设计
勾股定理与图形面积
勾股定理基本模型
等腰直角三角形性质
教学过程：
1、知识回顾：
如右图，由勾股定理的基本模型我们可以知道：
以直角三角形ABC三条边向外侧作三个正方形，这三个正方形
面积有何关系：
直角三角形三条边有何关系：
二、图形面积探究
探究一：如图，以直角三角形的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，三个三角形的面积分别为S1，S三条边a,b,c的关系是？等腰直角三角形有什么特点？
合作探究
1、你能用含a的代数式表示出S1吗？
2、请你用含a,b,c的式子分别表示出S1，S2，S3
3、试猜想S1，S2，S3的关系，并说理
探究二：如图，以直角三角形的三边为直径，向外作半圆，三个半圆的面积分别为S1，S2，S3。请你猜想S1，S2，S3三者的数量关系，并说明理由。
教学目标：
1、通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维．
2、在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
3、在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力
教学重难点：
重点：利用勾股定理，解决实际问题
难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想
教学内容标题：从勾股定理到图形面积关系
学情分析：
八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力。他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会。但对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。
从勾股定理到图形面积关系.
2、等腰直角三角形有什么特点？
斜边上的高等于斜边的一半
探究一
如图，以直角三角形的三边为斜边，向外作等腰直角三角 形，三个三角形的面积分别为S1，S2，S3， 那么S1，S2，S3 三者之间又有什么关系呢？ 小组合作： 1、你S1，S2，S3 的关系，是说明理由。
探究二
如图，以直角三角形的三边为直径，向外作半 圆，三个半圆的面积分别为S1，S2，S3 。请你猜 想S1，S2，S3三者的数量关系，并说明理由。
S1
S2
S3
90。
谢谢
从勾股定理到图形面积关系
勾股定理的基本模型：
三个正方形的面积关系：
S1 + S2 = S3
三条边之间的关系：
a2+b2=c2
探究一
如图，以直角三角形的三边为斜边，向外作等腰直角三角 形，三个三角形的面积分别为S1，S2，S3， 那么S1，S2，S3 三者之间又有什么关系呢？ 思考回答问题： 1、直角三角形三条边有何数量关系？
勾股定理与图形面积关系
直径，向外分别作半圆，那么s +s =s 依然成 1 2 你又可以画出几种图形？
在Rt△ABC中，分别以a,b,c为边向外作某种图形，使得这些图形之间也有相同的面积关系？
3
在Rt△ABC中，分别以a,b,c为边向外作某种图形，使得这些图形之间也有相同的面积关系？
立吗？ 如图，如果以直角三角形的三条边a，b，c为直径，向外分别作半圆，那么s1+s2=s3依然成立吗？
公元前约400年，古希腊的希波克拉底研究
了他自己所画的图形，如图所示。 s1，s2，s3之 间有什么数量关系？
s2
s1
s3
s1 s2 s3
s1+ s2=s3
在Rt△ABC中，分别以a,b,c为边向外作正方 形，如图所示，则有s1+s2=s3。
在Rt△ABC中，分 别以直角边a,b为边 向外作正方形，以 斜边c为边向内作 正方形。又会有怎 样的结论产生呢？ 先在练习纸上尝试 画出图形。
1 2 例如，《原本》第六卷曾介绍：“在一个直角三
s s 8 c s 1 2
3
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其实，在欧几 里得时代，人 们就已经知道 了勾股定理的 一些拓展。例 如，《原本》 第六卷曾介绍： “在一个直角 三
角形中，在斜边 上所画的任何图 形的面积，等于 在两条直角边上 所画的与其相似 的图形的面积之 和。”
8 8 如图，如果以直角三角形的三条边a，b，c为边，向外分别作正三角形，那么是否存在s1+s2=s3呢？
在Rt△ABC中，分别以a,b,c为边向外作正方形，如图所示，则有s1+s2=s3。
s s 1 a 1 b 1 (a b ) 如在又图R会t， △ 有如A怎1B果样C以的中直结，角论分2 三产别角生以形呢a,b的？,c三先为条在边2边练向习a外，纸作b上，正尝c方为试形直画，径2出如，图图向形所外。示分，别则作有半s圆12+，s2那=s么3。s21+s2=s3依然成立吗？
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A 图（5）
B
图（1）
• 练习一：如图（2），以ABC的每一条边为 边作正方形，则图中红色部分的面积与蓝 色部分的面积相等吗？
C
B 图（2）
A
• 变式探究（一） • 如果以直角三角形的三边a,b,c为边，向形 外分别作正三角形，那么是否存在 S1 S2 S3 呢？如图（3）
C a c B b A
图（3）
• 变式探究（二） • 如果以直角三角形的三边a,b,c为边，向形 外分别作等腰直角三角形，那么这三个等 腰直角三角形直角的面积有怎样的关系？ 请说明理由。
变式探究（三） 如图（4）是分别以直角三角形的三 边为直径作三个半圆，则 S1 S2 S3 成立吗？
C
A
B
图（4）
Байду номын сангаас
公元前月400年，古希腊的希波克拉底研究了他自己 所画的形如图（5）的图形，得出了以下结论：两个 月牙形的面积之和等于ABC的面积，即 S1 S2 S3 ,你 能说明理由吗？
从勾股定理到图形面积之间关 系的拓展
• 我们知道，勾股定理反映了直角三角形三 遍之间的关系：而又可以看成是以a,b,c为 边长的正方形的面积，因此勾股定理也可 以描述为：分别以直角三角形的两直角边 为边长的正方形面积之和，等于以斜边为 边长的正方形的面积。如图（1）S1 S2 S3
A b C c a B