江西省赣州市2020-2021学年度高一上学期期末考试数学试题

所以 ，
因为 ，
所以 即为 ，
，
因为 为增函数，
所以可得 ，则 或 ，
解得 或 ，
即不等式 的解集是 ，
故选：C.
【点睛】
方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由 求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
因为函数
所以 ，
所以 ，
故选：B
2．A
【分析】
先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】
因为集合 ， ，
所以 ,
故选：A
3．B
【分析】
利用函数单调性分别求出 范围即可比较.
【详解】
， ，
， ，
， ，
.
故选：B.
4．C
【分析】
由 即可求出.
【详解】
由题可得 ，解得 ，
故B中元素 的原像可以是 .
故选：A
7．A
【分析】
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证即可得答案
【详解】
解：因为 ，
所以 为奇函数，所以其图像关于原点对称，所以排除C，D，
因为 ，所以排除B，
故选：A
8．B
【分析】
将不等式 在 上有解，转化为不等式 在 上有解求解.
【详解】
因为不等式 在 上有解，
所以不等式 在 上有解，
解得 (不符，舍去)或 ，
∴ ，
在 上单调递增，
在 上单调递增，
∵对于任意的 ，都有 ，
且 在区间 上恒有 ，∴ ，
则 ， ，
则 ，即 的最小值为 .
【点睛】
本题考查利用奇偶性解不等式，解题的关键是判断出函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式化为 ，利用单调性求解.
19．（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）任取 ，且 ，然后判断 的符号即可.
（2）将不等式 对任意 恒成立，转化为 对任意 恒成立，令 ，求其最大值，再解对数不等式即可.
【详解】
（1）任取 ，且 ，
则 ，
∵ ，且 ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ 在 上是减函数.
（2）∵不等式 对任意 恒成立，
（2）若函数 在 上有两个不同的零点 ， ，求实数 的取值范围.
22．设函数 ( 且 )是定义在 上的奇函数.
（1）若 ，求使不等式 对 恒成立的实数 的取值范围；
（2）设函数 的图像过点 ，函数 .若对于任意的 ，都有 ，求 的最小值.
参考答案
1．B
【分析】
根据分段函数，先求得 ，再求 即可.
【详解】
A． B． C． D．
11．已知 ，若函数 对任意 满足 ，则不等式 的解集是（）
A． B．
C． D．
12．已知 是定义在 上的奇函数， 也是奇函数，当 时， .若函数 ，则 在区间 上的零点个数是（）
A．108B．109C．144D．145
二、填空题
13．满足 的集合B的个数是___________.
【详解】
（1）
，
∵ 的最小正周期为 ，且 ，∴ ，解得 ,
∴ ，设 ，
∵函数 的递增区间是 ,
由 ，
得 ，
∴函数 的递增区间是 .
（2）由（1） ，
当 时， ，
令 ，则 ，
∵ 在 上递增，在 上递减，
∴ ，
∵函数 在 上有两个不同的零点，
∵.函数 与 两图象在 上有两个不同的交点，
∴函数 与 两图象在 上有两个不同的交点，
说明该地上班族 中有小于35%的人自驾时，人均上班时间递减；
当大于35%的人自驾时，人均上班时间递增；当自驾人数等于35%时，人均上班时间最少.
21．（1）递增区间是 ；（2） .
【分析】
（1）利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对 进行化简，再根据正弦函数的周期和单调递增区间可得答案；
（2）由 的范围求出 及 的范围，利用换元法分析 的单调性和最值，结合 与 两函数的图象的交点个数可得答案.
14．若 ，则 ___________.
15．计算： ___________.
16．下列判断正确的是___________(将你认为所有正确的情况的代号填入横线上).
①函数 的最小正周期为 ；
②若函数 ，且 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 .
三、解答题
17．已知全集 ，集合 ， .
令 ，则 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围是
故选：B
9．D
【分析】
根据直线 与函数 ， ， 的图像在 内交点的横坐标依次为 ， ， ，得到 ，再利用两角和与差的三角函数的公式求解.
【详解】
因为直线 与函数 ， ， 的图像在 内交点的横坐标依次为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ,
故选：D
10．D
（1）求 ；
（2）设集合 .若 ，求实数 的取值范围.
18．设函数 .
（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数 在区间 上的简图(请先列表，再描点连线)；
（2）若 ，求 的值.
19．设函数 .
（1）用定义证明函数 在区间 上是减函数；
（2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的最小值.
20．为减少人员聚集，某地上班族 中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当 中有 的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为： ，(单位：分钟)而公交群体中的人均上班路上时间不受 的影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：
∴ ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查了三角函数的化简和性质，关键点是利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对 进行化简和利用三角函数的性质解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
22．（1） ；（2）最小值为 .
【分析】
（1）根据 是奇函数可求得 ，由 可得 ，继而判断 是增函数，将不等式化为 ，利用单调性可得 对 恒成立，即可求解；
江西省赣州市2020-2021学年度高一上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若函数 则 （）
A．-1B．1C．-27D．27
2．若集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
3．设 的大小关系是（）
（1）依题意得：①当 时， ，不符，
②当 时， ，
若公交群体的人均上班时间等于自驾群体的人均上班时间，
则 ，
解得 或 ，
即当 或 时自驾群体的人均上班时间等于公交群体的人均上班时间.
（2）①当 时， ，
②当 时 ，
即 ，
∵当 时， 单调递减，则 ，
当 时， ，
在 上单调递减， ；
在 上单调递增，
∴当 时 单调递减，当 时 单调递增.
（2）由点 求得 ，可判断 在 上单调递增，进而可得 ，求出 的最大最小值即可.
【详解】
解：（1）∵ 是定义在 上的奇函数，
∴ ，∴ ，解得 ，
则 ，此时 ，满足题意，
而 等价于 ，
若 ，则 ，结合 且 ，解得 ，
则 为增函数，
结合 ，可得 ，
根据题意， 对 恒成立，
则 ，解得 ；
（2）∵函数 的图像过点 ，∴ ，
17．（1） ；（2） .
【分析】
（1）先利用一元二次不等式的解法化简结合A，再利用结合的补集和交集运算求解.
（2）根据 ，则 ，然后分 ， 讨论求解.
【详解】
（1）依题意，集合 ，
，
∴ ，
∴ .
（2）∵ ，
∴ ，
①当 时， 与 矛盾，不符，
②当 时， ，
若 ，则
解得 ，
由①②得，实数 的取值范围是 .
故选：C.
5．B
【分析】
直接利用扇形面积计算公式即可得出．
【详解】
因为圆的半径为6cm，圆心角为 ，
所以扇形的面积为： ，
故选：B.
6．A
【分析】
根据函数 在R上递增，利用零点存在定理判断零点所在区间即可.
【详解】
因为函数 在R上递增，
且 ，
所以函数的零点在区间 内，
又因为函数的零点在区间 内，
所以 的值是1
（1）当 取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？
（2）已知上班族 的人均上班时间计算公式为： ，讨论 的单调性，并说明实际意义.(注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)
21．设函数 的最小正周期为 ，其中 .
（1）求函数 的递增区间；
（2）能成立： ； ；
20．（1） 或 ；（2）当 时 单调递减，当 时 单调递增，实际意义答案见解析
【分析】
（1）根据自驾群体的人均上班路上时间为： ，分 ， 两种情况讨论求解.
（2）根据上班族 的人均上班时间计算公式为： ，分 ， ，分别得到函数，然后再利用一次函数和二次函数的性质求解.
【详解】
【分析】
由二次函数具有单调性可求得 ，进而得 ，即可求出 范围.
【详解】
在区间 上具有单调性，
，可得 ，
是锐角 终边上一点，
， ，
.
故选：D.
11Baidu NhomakorabeaC
【分析】
先判断函数为偶函数，根据奇偶性求得 ，将原不等式化为 ，等价于 ，进而可得答案.
【详解】
设 ， ，
所以 是偶函数，则 恒成立，
即 对任意 恒成立，
A． B．
C． D．
4．已知映射 .若集合A中元素x在对应法则f下的像是 ，则B中元素 的原像可以是（）
A． B． C． D．2
5．若圆的半径为6cm，则圆心角为 的扇形面积是（）
A． B． C． D．
6．若函数 的零点所在区间为 ，则 的值是（）
A．1B．2C．3D．4
7．函数 在 上的大致图像是（）
∴ 对任意 恒成立.
令 ，
由（1）知 在 上单调递增，且 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
所以 .
所以 ，即 ，
解得 .
【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若 在区间D上有最值，则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
若能分离常数，即将问题转化为： （或 ），则
（1）恒成立： ； ；
18．（1）答案见解析；（2） .
【分析】
（1）先列表取出五点，再在直角坐标系中描点，然后连线即可完成；
（2）由题可得 ，再由诱导公式可求得 ，即可得解.
【详解】
解：（1）列表如下：
0
2
0
-2
0
2
（2）解：由 ，得 ，
由 ，
得 ，
由 ，
得 ，
则 .
【点睛】
本题考查“五点法”画函数图像，考查已知三角函数值求三角函数值，解题的关键是正确进行角的拼凑，利用诱导公式求解.
12．D
【分析】
由题可得 是周期为2的函数，进而判断 是周期为2的函数，可求得 ， ， ，利用周期性即可求出零点个数.
【详解】
是定义在 上的奇函数， 也是奇函数，
， ，
是周期为2的函数，
的周期为2，
是周期为2的函数，
， ， ，
则在区间 上， ,
则 在区间 上的零点个数是 个.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性和周期性的应用，解题的关键是判断出 是周期为2的函数，根据函数的周期性即可判断出零点的个数.
A． B．
C． D．
8．若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
9．设直线 与函数 ， ， 的图像在 内交点的横坐标依次为 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
10．已知锐角 的顶点在原点，始边与 轴非负半轴重合.若角 的终边与圆心在原点的单位圆交于点 ，函数 在区间 上具有单调性，则角 的取值范围是（）
【详解】
对①， ，则最小正周期为 ，故①错误；
对②，若 ，则 可能相等，故②错误；
对③，若 ，则 ，即 ，即 ，即 ，即 ，故③正确；
对④， ，令 ，则 ，故 是奇函数， ， ，故④正确.
故答案为：③④.
【点睛】
本题考查正切型函数的周期，考查同角三角函数的关系，考查奇函数的应用，解题的关键是正确利用三角函数的关键进行化简.
13．4
【分析】
根据 ，将集合B的可能情况一一列举出来即可.
【详解】
因为 ，
所以 或 或 或 ，
所以集合B的个数是4，
故答案为：4
14．
【分析】
由 即可计算.
【详解】
，
.
故答案为： .
15．
【分析】
直接利用对数的运算性质以及指数幂的运算法则求解即可.
【详解】
，
故答案为：
16．③④
【分析】
①，化简可得 ，即可求出；②由 可能相等可判断；③利用同角三角函数关系可化简求出；④化简可得 ，利用奇函数的性质可得.