第十一章三角形第一节与三角形有关的线段

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人教版数学八年级上册第十一章三角形第一课《与三角形有关的线段》

如果6厘米长的边为腰，设底边长为x 厘米，则2×6 + x = 20，解得x = 8.
由以上讨论可知，其他两边的长分别为7 厘米，7 厘米或6 厘米，8 厘米.
课堂小结
边、顶点、内角
A
概念
(直角、锐角、钝
c
b
三
按角分角)三角
角
分类形B
a
C
形按边分
性质
三角形两边的和大于第三边．三角形两边的差小于第三边．
等腰三角形的周长为20厘米. (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长.
解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x 厘米. x + 2x + 2x = 20，解得 x = 4.
所以三边长分别为4cm，8cm，8cm.
(2)如果6 厘米长的边为底边，设腰长为x 厘米，则6 + 2x = 20，解得x = 7；
所以，三角形的特征有： (1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次连接.
探究新知
①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边.
②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点.
③内角：相邻两边组成的角.
顶点A
角
边c
边b
顶点B
角边a
角顶点C
探究新知
三角形的表示：三角形用符号“△”表示.
记作“△ ABC”读作“三角形ABC”.
课堂检测
基础巩固题
1. 如图，图中直角三角形共有( C )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是
( C)
A．1，1，2
B．1，2，4

人教版初中八年级上册数学第十一章三角形知识归纳

第十一章三角形
11.1 与三角形有关的线段【高、中线（重心）、角平分线】
两边之差＜第三边＜两边之和。

按边分类、三角形的稳定性。

11.2 与三角形有关的角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º。

直角三角形的两个锐角互余。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

备注：推论和定理一样，可以作为进一步推理的依据。

11.3 多边形及其内角和
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭式图形。

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。

正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形。

n边形内角和等于（n-2）×180º。

多边形的外角和等于360º。

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良好的学习态度能够更好的提高学习能力。

良好的学习态度应该包括：
1、主动维持学习的兴趣，不断提升学习能力。

2、合理安排学习的时间。

3、诚挚尊重学习的对象，整合知识点。

4、信任自己的学习能力，制定学习复习计划。

5、做题的时候要学会反思、归类、整理出对应的解题思路。

因此，良好的学习态度的养成，应该从养成良好的学习习惯开始。

无论是初学者，还是学有所成者，都应该有一个良好的学习态度，都应该有一个良好的学习习惯。

第十一章三角形第一课时三角形的边课件八年级数学人教版上册

△DBE、△CBE、
( C ) 困，你是人类艺术的源泉，你将伟大的灵感赐予诗人。
△ABC、△ABD、△ACE、△ADE 天才是由于对事业的热爱感而发展起来的，简直可以说天才。
△ABC、△ABD、△ACE、△ADE 1 与三角形有关的线段 1 与三角形有关的线段天才是由于对事业的热爱感而发展起来的，简直可以说天才。
共_4__个等腰三角形为__△__A__B_C__、__△__A__B_D__、__△__A__C_E__、__△__A__D_E__，有__1__个等边三角形．
三角形的三边关系
【2020·徐州】若一个三角形的两边长分别为 3 cm、6 cm，
则它的第三边的长可能是( C )
A．2 cm
B．3 cm
丈夫志不大，何以佐乾坤。一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。
∵a、b、c 是△ABC 的三边长，根据两边之和大于第儿童有无抱负，这无关紧要，可成年人则不可胸无大志。
鹰爱高飞，鸦栖一枝。鸟贵有翼，人贵有志。有志不在年高，无志空活百岁。困，你是人类艺术的源泉，你将伟大的灵感赐予诗人。
1△D与BE三、角△形C有BE关、的线段
天△才AB是C由、于△对AB事D业、的△热AC爱E感、而△发AD展E起来的，简直可以说天才。
儿△童DB有E、无△抱C负B，E、这无关紧要，可成年人则不可胸无大志。
△ABD、△ABE、△ABC
△ABD、△ABE、△ABC
△ABD、△ABE、△ABC
△DBE、△CBE、
C．6 cm
D．9 cm
名师点评：三角形的三边关系是判断线段能否组成三角形的依据，一般只需判断三角形的最长边是否小于其余两边之和即可，不必每个都验证．

与三角形有关的线段(课件)八年级数学上册(人教版)

1
1
AD×BC＝ BP×AC.
2
2
24
代入数值，可解得BP＝ .
5
【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出
面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
第十一章三角形
11.1 与三角形有关的线段
（11.1.1-11.1.3）
情景引入
在我们日常生活中经常能看到三角形的影子.
减速慢行
注意儿童
前方村庄
11.1.1 三角形的边
三角形的概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三
角形?
A
定义：由不在同一条直线上的三条
线段首尾顺次相接所组成的图形叫
解：
1
2
1
2
（1）由题意得：△ = AB×CE= ×6×9=27cm2 ．
1
2
（2）∵△ = BC×AD，
∴
1
27=
2
×12×AD
解得AD=4.5cm．
思考已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何
关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的
中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角
的平分线.
思考你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
A
B
思考如何求△ABC的面积？
D
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所

八年级数学上册第十一章三角形111与三角形有关的线段11.1.1三角形的边

第十一章 11.1.1三角形的边知识点1：三角形的概念(1)定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.在此定义中,要特别注意“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”这三个条件,缺一不可. 如图,在线段AB上取一点(除端点)C,三条线段AC、CB和AB是首尾顺次相接的,但它们却没有构成三角形.(2)组成:如图,三条边,即边AB、边BC、边CA;三个内角,即∠A、∠B、∠C;三个顶点,即点A、点B、点C. 三角形有三个顶点,三个角,三条边.(3)表示法:“三角形”用符号“△”表示,如上图,顶点是A、B、C的三角形,记作“△ABC”,读作“三角形ABC” .另外,△ABC的三边,有时也用a,b,c来表示,一般地,∠A对边a,∠B对边b,∠C对边c.如图上,顶点A所对的边BC用a表示,边AC、边AB分别用b、c来表示.归纳整理:我们通常数三角形的方法有:(1)按图形的形成过程(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序去数).(2)按照三角形的大小去数.(3)可以从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数.(4)先固定一个顶点,变化另两个顶点来数.注意:通过三角形的定义可知,三角形的特征有:①三条线段;②不在同一条直线上;③首尾顺次相接.这是判断是否是三角形的标准.知识点2：三角形的分类(1)三角形按边分类:三角形(2)三角形按角的大小分类:三角形(3)按边分类中各种三角形的关系:归纳整理:(1)三边都不相等的三角形是不等边三角形,不等边三角形应该是指“三边都不相等”的三角形;有两边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做等腰三角形的腰;三边都相等的三角形叫做等边三角形.(2)等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.知识点3：三角形的三边关系(1) 三角形任意两边之和大于第三边.(2)三角形任意两边之差小于第三边.归纳整理:(1)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可以求出第三边的取值范围.并且对于三角形三边关系通常要与等腰三角形的知识连用,结合分类讨论思想求解.(2)三角形三边关系是“两点之间,线段最短”的具体应用.考点1：三角形的数法【例1】如图,图中有几个三角形,哪几个三角形?解:有6个三角形.它们分别是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC.点拨：只要符合有不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接,就是一个三角形.在数三角形的个数的问题上,要注意不重不漏的问题.形如例1这样的三角形的个数也可以根据点E、D把BC分成了三段,所以三角形的个数为3+2+1=6(个).考点2：三角形的分类【例2】设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个选项中,能表示它们之间关系的是( ).解:A.点拨:本题主要考查了三角形的分类以及不同三角形之间的关系,只要正确地理顺三角形之间的关系即可.等腰三角形与直角三角形的公共部分是等腰直角三角形,等腰三角形包括等边三角形和等腰直角三角形,只有选项A符合题意.考点3：三角形边的求法【例3】已知等腰三角形的周长是600px.(1)腰长是底边长的2倍,求腰长;(2)已知其中一边长为150px,求其他两边长.解:(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm.根据题意,得x+2x+2x=24.解得x=4.8.故腰长=2x=2×4.8=9.6(cm).(2)因为长为150px的边可能是腰,也可能是底,所以要分两种情况计算.当长为150px的边为腰时,则底边为24-6×2=12.由6+6=12,两边之和等于第三边,所以150px长为腰不能组成三角形,舍去.当长为150px的边为底边时,则腰长为(24-6)÷2=9.∵150px,225px,225px可以组成三角形,∴三角形其他两边长均为225px.点拨:计算(1)可以通过设未知数来进行计算,得出方程,通过求方程的解从而求出答案,其中体现了方程思想.计算(2)要注意分两种情况考虑,因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边,所以通过其中一边长为150px,求其他两边的长应该分成两种情况考虑:一种是150px长的边为腰,另一种是150px长的边为底,体现了数学中的分类讨论思想.并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和大于第三边.考点4：三角形的三边关系【例4】用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成不同的三角形的个数为.解:能摆成不同形状的三角形的个数为2.点拨:设一根火柴棒的长度为单位1,最短边不能大于2,若最短边大于2,则周长至少是9,不合题意.①当最短边长为1时,另两边长可能为1,5;2,4;3,3;其中当边长为1,1,5;1,2,4时不能构成三角形,只有1,3,3能构成三角形;②当最短边长为2时,另两边长可能为2,3;3,2;边长为2,2,3和2,3,2能构成三角形,但这两种三角形的形状相同.。

数学人教版八年级上册第11章第一节与三角形有关的线段(教案)

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用中线来分割三角形土地，以及如何通过高线来测量建筑物的高度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调中线的分割性质和高线的测量应用这两个重点。对于难点部分，我会通过对比不同类型的三角形，以及在实际问题中如何准确画出这些线段来帮助大家理解。
-在解决实际问题时，学生可能会觉得难以入手。教师可以通过设置典型例题，引导学生如何将实际问题转化为三角形线段问题，逐步突破难点。
-对于特殊点的性质，可以设计一些综合性的题目，让学生在不同情况下运用这些性质，如：在三角形中找到重心、垂心等，并利用这些性质解决相关问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
然而，在新课讲授的过程中，我也发现了一些问题。部分学生在理解三角形线段的相互关系和性质时，还是显得有些吃力。在接下来的教学中，我需要更加关注这部分学生，通过设置更多有针对性的例题和练习，帮助他们突破这个难点。
实践活动和小组讨论环节，学生们表现得积极主动，这让我很高兴。他们能够在小组内进行有效沟通，共同解决问题。不过，我也注意到有些小组在讨论过程中，个别成员参与度不高，这可能影响了整个小组的学习效果。在以后的教学中，我要更加关注这些学生，鼓励他们积极参与到小组活动中来。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形线段相关的实际问题，如如何确定三角形的重心位置。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺规作图来找出三角形的重心、垂心等特殊点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
在总结回顾环节，我发现大部分学生能够掌握今天所学的内容，但也有少数学生还存在疑问。在课后，我需要主动找他们了解情况，帮助他们解决这些问题。

八年级数学上册第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边

第十一章　三角形 11.1　与三角形有关的线段 11.1.1　三角形的边学习目标 1.了解三角形的概念,会用符号语言表示三角形. 2.通过具体的实践活动理解三角形三边的不等关系.学习过程一、自主学习问题 1:观察下面的图片,你能找到哪些我们熟悉的图形?问题 2:在小学,我们学过三角形,你了解三角形的哪些性质? 二、深化探究探究 1:观察三角形的构成,探索三角形的概念问题 1:你能画出一个三角形吗?问题 2:结合你画的三角形,说明三角形是由什么组成的? 问题 3:下面的几个图形都是由三条线段组成的,它们都是三角形吗?问题 4:什么叫三角形?探究 2:自主学习三角形的表示方法及分类阅读教材第 2 页到第 3 页探究前内容,回答下列问题. 问题 1:如图回答以下问题: (1)在三角形中,什么叫边?什么叫内角?什么叫顶点? (2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点? (3)如何用符号表示三角形 ABC? (4)如何用小写字母表示三角形 ABC 的三条边?问题 2:如果将三角形分类,按照边的关系分可以分成几类?按照角的关系又如何分类呢?问题 3:如图,找出图中的三角形,用符号表示出来,并指出 AB,AD,CD 分别是哪个三角形的边.探究 3:通过观察实践,理解三角形三边关系问题 1:任意画一个△ABC,假设有一只小虫从点 B 出发,沿三角形的边爬到点 C,它有几条线路可以选择?各条线路的长一样吗?问题 2:联系三角形的三边,从问题 1 中你可以得到怎样的结论? 问题 3:用三条长度分别为 5,9,3 的线段能组成一个三角形吗?为什么? 三、练习巩固练习 1:三角形是指( ) A.由三条线段所组成的封闭图形 B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形练习 2:图中有几个三角形?用符号表示这些三角形.练习 3.有三根木棒的长度分别为 3 cm,6 cm 和 4 cm,用这些木棒能否围成一个三角形?为什么?练习 4:用一条长 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的 2 倍,那么各边的长是多少? (2)能围成有一边的长为 4 cm 的等腰三角形吗?为什么?四、深化提高练习 1:下面各组数中作为线段长不能构成三角形的一组是( ) A.0.2,0.6,0.7 B.5k,7k,10k(k>0) C.m-a,m,m+a(m>a,m>0,a>0) D.22,22,33 练习 2:小明想要钉一个三边长都是整数的三角形,现在他只有两根分别长 4 cm 和 5 cm 的木条,那么第三根木条的长度可以是多少?(写出所有可能结果)练习 3:平面上有四个点 A,B,C,D,用它们作顶点可以组成几个三角形?参考答案一、自主学习问题 1:三角形、四边形等. 问题 2:三条边;三个内角;具有稳定性;三角形的内角和是 180°. 二、深化探究探究 1: 问题 1:能问题 2:三角形是由三条线段组成的. 问题 3:只有第(1)个是三角形,其他的都不是. 问题 4:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 探究 2: 问题 1:组成三角形的三条线段都叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点.三角形有三条边、三个内角、三个顶点.三角形 ABC 用符号表示为△ABC.△ABC 的边 AB 为∠C 所对的边,可以用顶点 C 的小写字母 c 表示,同样, 边 AC 可用 b 表示,边 BC 可用 a 表示. 问题 2:三角形按照“有几条边相等”可以分为:{ 等边三角形等腰三角形三角形不等边三角形也可以按照边的相等关系分为:{ { 不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形三角形按照角的关系可以分为:{直角三角形锐角三角形三角形钝角三角形问题 3:图中共有三个三角形,分别是△ABC,△ABD,△ADC,其中 AB 既是△ABC 的边,也是△ABD 的边,AD 既是△ABD 的边,也是△ADC 的边,CD 是△ADC 的边. 探究 3: 问题 1:小虫从点 B 出发沿三角形的边爬到点 C 有 2 条线路: (1)从 B→C,即线段 BC 的长; (2)从 B→A→C,即线段 BA 与线段 AC 长之和:BA+AC. 经过测量可得 BA+AC>BC,所以这两条线路的长不一样. 根据“两点的所有连线中,线段最短”,说明 BA+AC>BC. 问题 2:三角形两边的和大于第三边. 问题 3:用三条长度分别为 5,9,3 的线段不能组成一个三角形,因为 5+3<9. 三、练习巩固答案:1.C 2.共有 5 个三角形.分别是:△ABC,△BCD,△BCE,△ABE,△CDE. 3.能,因为 3+4>6. 4.解:(1)设底边长为 x cm,则腰长 2x cm. x+2x+2x=18, 解得 x=3.6. 所以,三边长分别为 3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm. (2)因为长 4 cm 的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论. 如果长 4 cm 的边为底边,设腰长为 x cm,则 4+2x=18, 解得 x=7. 如果长 4 cm 的边为腰,设底边长为 x cm,则 2×4+x=18, 解得 x=10. 因为 4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰三角形. 由以上讨论可知,可以围成一边长是 4 cm 的等腰三角形. 四、深化提高练习 1:C 练习 2:解:第三根木条的长度可以是 2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,7 cm,8 cm. 练习 3:解:由于题中并没有说明这四个点是否在同一条直线上,所以要分情况讨论. (1)四点共线时,不能组成三角形. (2)三点共线时,可以组成三个三角形. (3)任意三点都不共线时,可以组成四个三角形.。

第11章三角形 11.1 与三角形有关的线段(简答题)(老师版)

第11章三角形11.1与三角形有关的线段（简答题专练）1．在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为21厘米和12厘米两部分，求△ABC 各边的长．【答案】△ABC 各边的长为14cm 、14cm 、5cm ．【解析】【分析】根据题意，画出示意图，利用三角形的中线定义及三角形周长和三角形的三边关系即可求解三角形三边的长，注意不符合题意的要舍去.【详解】如图，设AB ＝AC ＝2x cm ，BC ＝y cm∵BD 是中线∴AD ＝CD ＝x cm若AB +AD ＝21 cm ，BC +CD ＝12 cm即22112x x x y +=⎧⎨+=⎩解得：=7x ，5y =此时，AB ＝AC ＝14 cm ，BC ＝5 cm若AB +AD ＝12 cm ，BC +CD ＝21 cm即21221x x x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：=4x ，17y =∵此时AB ＝AC ＝8 cm ，BC ＝17 cm ，AB +AC ＜BC∴=4x ，17y =不合题意，舍去综上所述，△ABC 各边的长为14cm 、14cm 、5cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解决等腰三角形的相关问题时，由于等腰三角形的特殊性，一般情况下是需要对其进行分类讨论，才能得解，因此熟练掌握有关等腰三角形边的分类讨论及三边关系的确定是解决本题的关键.2．已知 a 、b 、c 分别表示∆ABC 的三条边长，且∆ABC 的周长为 48 .（1）若c 是三边中最长的边，则c 的最小值是；（2）若c = 3a ，求证： 6 < a < 8 ；（3）若 a - c = 10 ，求c 的取值范围；（4）若 a 、b 均为整数，c=16，则这样的三角形共有个.【答案】（1）16；（2）见解析（3）7 < c < 14 ；（4）8【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求解；（2）根据三角形的三边关系列出不等式的即可求解；（3）根据三角形的三边关系列出不等式的即可求解；（4）依次数出可能的三角形的三边，即可判断.【详解】（1）当∆ABC 为等边三角形时，c 取最小值为48÷3=16；（2）∵c = 3a ，a+b+c=48,∴b=48-4a,∵c+a＞b，c-a＜b即a+3a＞48-4a，3a-a＜48-4a,解得6 <a< 8 ；（3）∵a -c= 10，a+b+c=48,∴a=c+10，b=38-2c,∵a+c＞b，a-c＜b即c+10+c＞38-2c，c+10-c＜38-2c,解得7 <c< 14 ；（4）根据c=16,a+b+c=48,故所以的情况如下：16,16,16；15,16,17；14,16,18；13,16,19；12,16,20；11,16,21；10,16,22；9,16,23；故为8个.,【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．一个三角形的三边长分别是xcm、（x+2）cm、（x+5）cm．它的周长不超过37cm．求x的取值范围．【答案】3＜x≤10．【解析】【分析】根据三角形的三边关系以及周长不超过37cm列出不等式组，求出x的取值范围即可．【详解】解：∵一个三角形的三边长分别是xcm，（x+2）cm，（x+5）cm，它的周长不超过37cm，∴252537 x x xx x x+++⎧⎨++++≤⎩＞，解得：3＜x≤10．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和不等式组的应用，解题的关键是正确列出不等式组.4．如图，已知ABC ∆，按要求作图．（1）过点A 作BC 的垂线段AD ；（2）过C 作AB 、AC 的垂线分别交AB 于点E 、F ；（3）15AB =，7BC =，20AC =，12AD =，求点C 到线段AB 的距离．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点C 到线段AB 的距离为285．【解析】【分析】（1）、（2）根据几何语言作图；（3）利用三角形面积公式得到1122AB CE BC AD =，然后把15AB =，7BC =，12AD =代入计算可求出CE ．【详解】解：（1）如图，AD 为所作；（2）如图，CE 、CF 为所作；（3）1122ABC S AB CE BC AD ∆==， 71228155BC AD CE AB ⨯∴===，即点C 到线段AB 的距离为285．【点睛】本题考查了作图以及三角形高线的定义，熟练掌握面积法求高线是解题关键.5．已知a 、b 、c 为三角形的三边，||||||P a b c b a c a b c =+----+-+．（1）化简P ；（2）计算()P a b c -+．【答案】（1）a b c +-；（2）2222a b c bc --+.【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系即可得到a+b ＞c ，a+c ＞b ，根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，从而化简．（2）将P 值代入进行计算即可.【详解】解：（1）由三角形三边关系知a b c +>，a c b +>，故0a b c +->，0b a c --<，0a b c -+>，||||||P a b c b a c a b c ∴=+----+-+a b c b a c a b c =+-+--+-+a b c =+-，（2）()P a b c -+()()a b c a b c =+--+222a ab ac ab b bc ac bc c =-++-+-+-2222a b c bc=--+．【点睛】此题考查三角形三边关系，绝对值，整式的加减，绝对值，解题关键在于灵活运用各计算法则. 6．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：（1）AD的长；（2）△ACE和△ABE的周长的差．【答案】（1）AD的长度为125cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是1cm．【解析】【分析】（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可；（2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可.【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴12AB•AC＝12BC•AD，∴AD＝341255AB ACBC⨯==（cm），即AD的长为125cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．【点睛】本题考查了利用直角三角形的面积计算斜边上的高和三角形的中线等知识，难度不大，属于基础题型.7．如图，点D与点E分别是△ABC的边长BC、AC的中点，△ABC的面积是20cm2.（1）求△ABD与△BEC的面积；（2）△AOE与△BOD的面积相等吗？为什么？【答案】（1）10，10；（2）相等，理由，见解析【解析】【分析】（1）要计算△ABE与△BCE的面积，可设点A到边BC的高为h，则S△ABD=12 BD·h，S△ACD=12CD·h；再根据中点的定义得BD=CD，然后利用等量代换即可得到S△ABD=S△ACD，同理S△ABE=S△BCE，再结合△ABC的面积即可解决；（2）结合上面的推理可得S△ABE=S△ABD，再根据图形可知S△ABE=S△ABO+S△AOE，S△ABD=S△ABO+S△BOD，【详解】（1）可设点A到边BC的高为h，则S△ABD=12BD·h，S△ACD=12CD·h，∵点D是BC边的中点，∴BD=CD.∴S△ABD=S△ACD，同理S △ABE =S △BCE ，∴S △ABD =S △BCE =12S △ABC =12×20=10（cm 2）. （2）△AOE 与△BOD 的面积相等，理由如下.根据（1）可得：S △ABE =S △ABD ，∵S △ABE =S △ABO +S △AOE ，S △ABD =S △ABO +S △BOD ，∴S △AOE =S △BOD .【点睛】此题考查中点的定义和三角形面积的计算方法，掌握定义及公式是解题的关键；8．已知三角形三边长为a 、b 、c ，且-+--a b c a b c += 10，求b 的值【答案】b=5【解析】【分析】根据三角形的三边关系得出a+b ＞c ，a−b ＜c ，再去绝对值即可.【详解】解：∵a 、b 、c 是三角形的三边长，∴a+b ＞c ，a−b ＜c ， ∴-+--()210a b c a b c a b c a b c a b c a b c b +=+----=+--++==，∴b=5.【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．9．在△ABC 中，AB ﹦9，BC ﹦2，并且AC 为奇数，那么△ABC 的周长为多少？【答案】20【解析】【分析】根据三角形三边关系,找到AC 的取值范围,由AC 为奇数求出AC 长度,即可求出三角形周长.【详解】解：∵AB﹣BC＜AC＜AB﹢BC，（三角形三边关系）∴9﹣2＜AC＜9﹢2，即7＜AC＜11又A C为奇数，∴A C﹦9∴△ABC的周长﹦9+9+2﹦20【点睛】本题考查了三角形的三边关系,三角形的周长,属于简单题,熟悉三边关系是解题关键. 10．满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；(2)三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【解析】【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.【详解】(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，∴满足条件的三角形是锐角三角形．(2)∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∴满足条件的三角形是直角三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的分类问题．11．如图所示，∠1=∠2=∠3=∠4=24°，根据图形填空：(1)是∠2的3倍的角是_________________(用字母表示)(2)是∠AOD 的12的角有_________个； (3)射线OC 是哪个角的3等分线?又是哪个角的4等分线?【答案】(1)∠A0E 、∠BOC ；(2) 4个；(3)OC 是∠AOE 的3等分线，是∠AOB 的4等分线.【解析】【分析】（1）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出是∠2的3倍的角可以解题；（2）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出图中哪些角是∠AOD 的12, （3）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出射线OC 是哪个角的三等分线、四等分线.【详解】解：（1）1234∠=∠=∠=∠12332AOE ∴∠=∠+∠+∠=∠同理：42332BOC ∴∠=∠+∠+∠=∠（2）4个；（3）∵∠1=∠2=∠3，∴OC 是∠AOE 的三等分线．同理：OC 是∠AOB 的四等分线.【点睛】本题考查了角的度数的计算，考查了角平分线和三等分线的定义，本题中不要漏解是解题的关键．12．如图①，∠AOB=∠COD=90°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ．（1）已知∠BOC=20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数；（2）若（1）中∠BOC=α，其它条件不变，求∠MON的度数；（3）如图②，若∠BOC=α，且∠AOD大于平角，其它条件不变，求∠MON的度数．【答案】（1）∠MON=90°；（2）∠MON=90°；（3）∠MON=90°.【解析】【分析】(1)由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，可得∠MOC=∠BON的度数，可得∠MON的度数：（2）同理由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，可得∠MOC=∠BON的度数，可得∠MON的度数：（3）由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，可得∠AOC=∠BOD=90°+α，∠MOC=∠BON=45°+α可得∠MON 的度数：【详解】解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，∴∠AOC=∠BOD=90°﹣20°=70°．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=35°，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=35°+20°+35°=90°；（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠BOD=90°﹣α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=45°﹣α，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=45°﹣α+α+45°﹣=90°；（3）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠BOD=90°+α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=45°+α，∴∠MON=∠MOC﹣∠COB+∠BON=45°+α﹣α+45°+=90°．【点睛】本题主要考查角平分线的性质及角度间的计算.13．如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:(1)图中有多少个三角形?并把它们表示出来.(2)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?(3)以AB为边的三角形有哪些?(4)以F为顶点的三角形有哪些?【答案】答案见解析【解析】试题分析：利用三角形的定义以及三角形有关的角和边概念分别得出即可．试题解析：（1）8个：△ABC，△ABF，△ABE，△ABD，△BDF，△AEF，△ACD，△BCE；（2）三个顶点：B，D，F；三条边：BD，BF，DF；（3）△ABC，△ABF，△ABD，△ABE；（4）△ABF，△BDF，△AEF．【点睛】此题主要考查了三角形有关定义，正确把握相关定义是解题关键．14．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD 两个木条，这是根据数学上什么原理？【答案】三角形的稳定性【解析】试题分析：用木条固定门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．如图加上AB，CD两个木条后，可形成两个三角形，防止门框变形．故这种做法根据的是三角形的稳定性．15．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．【答案】小明的做法正确，理由见解析.【解析】试题分析：根据三角形的稳定性可得出答案．小明的做法正确，理由：由三角形的稳定性可得出，四边形ABCD不再变形．。

数学人教版八年级上第十一章11.1 与三角形有关的线段

数学人教版八年级上第十一章11.1 与三角形有关的线段11.1 与三角形有关的线段1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．(2)构成：如图所示，三角形ABC有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 注：顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．(4)分类：①三角形按角分类如下：?直角三角形三角形?锐角三角形?钝角三角形②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点等边三角形和等腰三角形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例1】如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．分析：根据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC，△ABD，△ADC.△ABC的三边是：AB，BC，AC，三个内角分别是：∠BAC，∠B，∠C；△ABD的三边是：AB，BD，AD，三个内角分别是：∠BAD，∠B，∠ADB；△ADC的三边是：AD，DC，AC，三个内角分别是：∠ADC，∠DAC，∠C.2．三角形的三边关系 (1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b.三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c－b边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据.破疑点三角形三边关系的理解三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．【例2】下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是( )．A．1,2,3.5 B．4,5,9 C．5,8,15 D．6,8,9解析：选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形．答案：D3．三角形的高 (1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高．如图所示．①AD是△ABC的高；②AD⊥BC，垂足为D；③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°. (3)性质特点：①因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用关系式为：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.②“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部．如图所示．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．【例3】三角形的三条高在( )． A．三角形的内部 B．三角形的外部C．三角形的边上 D．三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有感谢您的阅读，祝您生活愉快。

八年级数学上册第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边教学

分直角三角形
三边都不相等的三角形
按
边分等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
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第十六页，共三十一页。
新课讲解( jiǎngjiě)
练一练下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角
三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边(sān biān)
3 下列长度的三条线段(xiànduàn)能组成三角形的是( A )
A．5，6，10
B．5，6，11
C．3，4，8
D．4a，4a，8a(a＞0)
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课堂(kètáng)小结
三角形
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概念
表示方法
分类三边关系
三条线段不在同一条(yī tiáo)
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第十七页，共三十一页。
新课讲解( jiǎngjiě)
练一练
2 已知一个三角形是等腰三角形，则这个(zhè ge)三角形( D) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形
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第二十页，共三十一页。
新课讲解( jiǎngjiě)
知识点3 三角形的三边(sān biān)关系
例题一
用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边(dǐ biān)长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
(1) 设底边长为x cm，则腰长为2x cm. x+2x+2x = 18. 解得x=3. 6. 所以，三边长分别为3. 6 cm，7.2 cm，7.2 cm.

11-1与三角形有关的线段课件(共28张PPT)

第十一单元三角形
11.1与三角形有关的线段(1)
情景导入
1．从这几幅图片中，你能发现那些熟悉的几何图形呢？
埃及金字塔
香港中银大厦
2．你还能举出生活中三角形的例子吗？
衣架、三明治、三角尺、三脚架、屋顶等
交通标志
教学新知
下面的几个图形都是由三条线段组成的，它们都是三角形吗？
A
A
B
D
D
C
B
C
B
D
A
A
段叫做△ 的角平分线
用同样的方法，你能
画出△ABC的另两条边
上的角平分线吗？
知识梳理
知识点1：三角形的高
例1：如图11-1-16，△ 中， ⊥ 于，点在的延
长线上，则是 △ （ D）.
A.BC边上的高
B.AB边上的高
C.AC边上的高
D.以上都不对Biblioteka 【解析】是 △ 中边上的高，而
知识梳理
知识点二：三角形的分类
以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等
的三角形和等腰三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，即
底边和腰相等的等腰三角形。
等边三角形
等腰三角形
三边不相等的三角形
知识梳理
知识点二：三角形的分类
底边和腰不相等的
等腰三角形
等腰三角形
三角形
等边三角形
等腰三
三边都不
垂足为，所得线段叫做△ 的边上的高。
用同样的方法，你能
画出△ABC的另两条边
上的高吗？
知识梳理
知识点二：连接△ 的顶点和它所对的边的中点，所得
线段叫做△ 的边上的中线。
三角形三条中线相交于
一点，三条中线的交点

人教出版初级中学数学第十一章三角形学习知识重点

第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形.3．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边.三角形任意两边之差小于第三边.例1．小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条．A．5cm B．3 cm C．17cm D．12 cm【答案】D【解析】试题分析：根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可知：对A，∵4+5=9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；对B，∵4+3＜9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；对C，∵4+9＜17，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；对D，∵4+9＞12，12-9＜4，符合两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，故正确；故选D．考点：三角形的三边关系例2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2，3，5 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，6【答案】D．【解析】试题分析：A．2+3=5，故不能构成三角形，故选项错误；B．3+3=6，故不能构成三角形，故选项错误；C．2+5＜8，故不能构成三角形，故选项错误；D．4+5＞6，故，能构成三角形，故选项正确．故选D．考点：三角形三边关系．例3．现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm．从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题分析：根据三角形三边关系可知能组成三角形的木棒长度分别为：4cm、8cm、10cm；4cm、6cm、8cm 和4cm、8cm、10cm三种情况．考点：三角形三边关系A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm【答案】C【解析】试题分析：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.根据这个规律可得这个三角形的第三边长的范围为5＜第三边＜13，则选择9cm.考点：三角形三边关系例5．一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（）A、1≤x≤3B、1＜x≤3C、1≤x＜3D、1＜x＜3【答案】D．【解析】试题分析：已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可以求出第三边长的范围．试题解析：根据题意得：2-1＜x＜2+1即：1＜x＜3故选D．考点：三角形三边关系．例6．如图，在△ABC中，AD、BF、CE相交于O点，则图中的三角形的个数是（）A．7个B．10个C．15个D．16个【答案】D【解析】根据三角形的概念，最小的有6个，2个组成一个的有3个，三个组成一个的有6个，最大的有一个，则有6+3+6+1=16个11.1.2 三角形的高、中线与角平分线1.三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高.2.三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.3.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部.但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部.④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点.（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部.）例1．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（）A．锐角三角形有三条高B．直角三角形只有一条高C．任意三角形都有三条高【答案】B【解析】试题分析：根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：任意一个三角形都有三条高，其中锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部，据此可知：A、锐角三角形有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；B、直角三角形有三条高，说法错误，故本选项符合题意；C、任意三角形都有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；D、钝角三角形有两条高在三角形的外部，说法正确，故本选项不符合题意；故选B．考点：三角形的高例2．到三角形三个顶点距离相等的点是（）A．三边高线的交点B．三条中线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三条内角平分线的交点【答案】C【解析】试题分析：如图，根据题意可知：由OA=OB，可得点A在线段AB的垂直平分线上；由OB=OC，可得O 在线段BC上；同理可由OA=OC，可得O在线段AC的垂直平分线上；因此可知到三角形三个顶点的距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．故选C考点：线段的垂直平分线例3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【答案】D．试题分析：线段BE是△ABC的高的图是选项D．故选D．考点：三角形的角平分线、中线和高．例4．不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线【答案】C【解析】试题分析：因为在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高有的在三角形的外部．故选C．考点：1.三角形的角平分线、中线和高；2.三角形中位线定理．例5．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D，C，F是垂足，下列说法中错误的是（）．A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△ABC中，GC是BC边上的高C．△GBC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，CF是BG边【答案】B．【解析】试题分析：三角形的高的定义是三角形中，从三角形的一个顶点向它的对边所引的垂线段即为三角形这边上的高，据此可知，A、△ABC中，AD是BC边上的高，此选项正确；B、△ABC中，GC是BC边上的高，错误；C、△GBC中，GC是BC边上的高，正确；D、△GBC中，CF是BG边，正确．故选：B．考点：三角形的高的定义．例6．三角形中，到三个顶点距离相等的点是（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点【答案】D．【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．故选D．考点：线段垂直平分线的性质．例7．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB=2BF B．AE=BE C．∠ACE=12∠ACB D．CD⊥BE【答案】B.试题分析:∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线∴CD⊥BE，∠ACE=12∠ACB ，AB=2BF故选B考点：三角形的高，角平分线，中线..11.1.3 三角形的稳定性11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角1. 三角形的内角和：180°2.直角三角形的两个锐角互余3.有两个角互余的三角形是直角三角形例1．一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠BFD等于（）A．10° B．15° C．30° D．45°【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得：∠B=45°，∠EDC=60°，根据∠EDC=∠B+∠BFD求出∠BFD=60°－45°=15°．考点：角度的计算．例2．如图，在△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE//BC，若∠1=155°，则∠B的度数为（）.A．45° B．55° C．65° D．75°【答案】C【解析】试题分析：根据∠1可得∠EDC=25°，根据平行线的性质可得∠C=∠EDC=25°，根据三角形内角和定理可得∠B=180°－90°－25°=65°．考点：平行线的性质、三角形内角和例3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于（）A.45°B.60°C.75°D.90°【答案】C【解析】解方程的可得x=15，因此∠C=5x°=5×15°=75°. 故选C考点：三角形的内角和例4．在△ABC 中，∠A ＝40 o ，∠B ＝55 o ，则∠C ＝ o 【答案】85° 【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理可得∠C ＝180°-∠A-∠B=180°-40 o -55°=85°. 考点：三角形的内角和定理.11.2.2 三角形的外角1.三级形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角2.三角形的外角和：360°3.三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.——常用来比较角的大小例1．如果等腰三角形的一个外角等于100度，那么它的顶角等于（）A ．100︒B ．80︒C ．8040︒︒或D ．8020︒︒或【答案】D ．【解析】试题分析：分两种情况：①若100°是顶角的外角，则顶角=180°-100°=80°；②若100°是底角的外角，则底角=180°-100°=80°，那么顶角=180°-2×80°=20°．故答案选D ．考点：等腰三角形的性质．例2．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°则∠A 等于（）A ．90°B ．80°C ．70°D ．60° 【答案】B ．【解析】试题分析：根据三角形的外角性质:三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和得出ACD B A ∠=∠+∠，代入求得80A ∠=o ，故选B ．考点：三角形的外角性质．例3．已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是__________ 三角形．【答案】钝角【解析】试题分析：因为△ABC 的一个外角为50°，所以和它相邻的内角=130°，所以△ABC 一定是钝角三角形．考点：三角形的外角．例4．如图，AD ＝AB ＝BC ，那么∠1和∠2之间的关系是（）A ．∠1＝∠2B ．2∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠1－∠2＝180° 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意得：∠1=∠2+∠D ，∠B=∠D ，∠1=∠BAC ，根据△ABD 的内角和可得：∠D=（180－∠BAC －∠2）÷2=（180－∠1－∠2）÷2，∴∠1=∠2+（180－∠1－∠2）÷2，∴3∠1－∠2=180°．考点：三角形内角和定理与外角的性质11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形1.在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.3.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.11.3.2 多边形的内角和正n 边形 3 4 5 6 8 10 12 15 内角和 180° 360° 540° 720° 1080° 1440° 1800° 2340° 外角和 360° 360° 360° 360° 360° 360° 360° 360° 每一个内角n360180180)2(︒-︒︒-或n n 60°90°108°120°135°144°150°158°每一个外角n360180)2(180︒︒--︒或n n 120°90°72°60°45°36°30°22°（1）多边形的内角和：（n-2）180° （2）多边形的外角和：360° 引申：（1）从n 边形的一个顶点出发能作（n-3）条对角线；（2）多边形有2)3(-n n 条对角线. （3）从n 边形的一个顶点出发能将n 边形分成（n-2）个三角形；例1．如果一个多边形的每一个外角都等于30°，那么这个多边形是_________边形．【答案】12．【解析】试题分析：根据多边形的外角和为360°，可得一个多边形的每一个外角都等于30°时，这个多边形是3601230=边形．考点：多边形的外角和．【答案】280°【解析】试题分析：如图，由∠EAB+∠5=180°，∠EAB=100°，先根据邻补角的定义得出与∠EAB相邻的外角∠5=80°，再根据多边形的外角和定理即可求∠1+∠2+∠3+∠4=360﹣80°=280°．考点：多边形内角与外角例3．一个凸多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是边形．【答案】6．【解析】试题分析：：设多边形边数为n，根据多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式可得360°×2=（n﹣2）•180°，解得n=6．所以则这个多边形是6边形．考点：多边形的外角定理；多边形的内角和公式．例4．如图，小亮从A点出发前进5m，向右转15°，再前进5m，又向右转15°……，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______________m．【答案】120【解析】试题分析：360°÷15°=24，24×5=120m．考点：多边形的外角例5．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．【答案】10【解析】试题分析：设这个多边形有n条边，根据内角和是它的外角和的4倍，列方程，然后解方程即可．试题解析：设这个多边形有n条边．由题意得：（n﹣2）×180°=360°×4，解得n=10．故这个多边形的边数是10．考点：多边形的内角和外角和．。

八年级数学上册知识点总结(第十一章)

八年级数学上册知识点总结(第十一章) 八年级数学上册知识点总结(第十一章)八年级数学上册知识点总结八年级数学上册知识点总结第十一章三角形编者：肖潇11.1与三角形有关的线段第1课时三角形的边1.三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形按边分类三角形等腰三角形（至少两边相等）等边三角形（三边都相等）不等腰三角形底边和腰不等的等腰三角形3.三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。

（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c 或c－b＜a。

已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a －b|＜c＜a＋b要求会的题型：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。

Page2题11八年级数学上册知识点总结②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可Page2题4③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。

Page2题11④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋bPage2题5，9，10⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。

Page3题14，15 第2课时三角形的高、中线与角平分线1.三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。

三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。

2.三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。

初中数学人教版八年级上册第十一章三角形1与三角形有关的线段精品

11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边预习要点1．三角形的概念由三条的而构成的平面图形叫三角形。

2．三角形的表示在上图中，线段AB，BC，CA是三角形的；点A，B，C是三角形的；∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

是A，B，C的三角形，记作，读作“”。

△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示。

顶点A所对的边BC用表示，顶点B所对的边AC用表示，顶点C所对的边AB用表示。

3．如图，图中共有三角形（）A．4个B．5个C．6个D．8个4．如图，以BC为边的三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．三角形的三边关系（1）三角形两边的和第三边( 即a+b>c或a+c>b或b+c>a )。

（2）推论：三角形两边的差第三边。

6．（2016•岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cmC．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm7．（2016•长沙）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11同步小题12道一．选择题1．（2016春•安徽月考）至少有两边相等的三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形2．如图，共有三角形的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（）A．B．C．D．4．（2016•重庆校级三模）下列四组数分别是三条线段的长度，能构成三角形的是（）A．1，1，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，85．（2016•如东县一模）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则此三角形的第三边长可能为（）A．2 B．3 C．6 D．76．（2016•拱墅区一模）已知△ABC的三边长都是整数，且AB=2，BC=6，则△ABC的周长可能是（）A．12 B．14 C．16 D．17二．填空题7．如图，△ABC中，AB与BC的夹角是，∠A的对边是，∠A、∠C的公共边是．8．如图，一共有条线段，有个三角形．9．（2016春•抚州校级期中）在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，那么BC长的取值范围是．10．（2016春•工业园区期中）已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b-c|+|a-b-c|-|a-b+c|= ．三．解答题11．已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．（1）请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长．（2）若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．12．四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞12 （AB+BC+CD+DA ）．证明：在△OAB 中有OA+OB ＞AB 在△OAD 中有______，在△ODC 中有______，在△______中有______，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA 即：______，即：AC+BD ＞12 （AB+BC+CD+DA ）11.1.2 三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性预习要点 1．三角形的高从的顶点A 向它所对的边BC 所在画，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。

第+1+讲+与三角形有关的线段+讲义2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十一章三角形第 1 讲与三角形有关的线段板块一三角形的三边关系典例精讲题型一利用三边关系判断能否组成三角形【例1】用4根长度分别为5cm,7 cm,9 cm,13cm的木棒,可以摆出多少种不同的三角形?题型二利用三边关系求参数范围【例2】已知三角形的三边长分别为2，a--1，5，求a的取值范围.【例3】已知等腰三角形的周长为12.(1)若腰长为x，求x 的取值范围；(2)若底边长为y，求 y 的取值范围.题型三利用三边关系取舍值【例4】用一条长为41的细绳围成一个三角形，已知该三角形的第一条边的长为x，第二条边长比第一条边长的3 倍少4，若该三角形恰好是一个等腰三角形，求这个三角形的三边长.题型四利用三边关系求最值【例5】如图,在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,D 为BC 边上一动点，将△ABD沿 AD 翻折,得到△APD,,点 B 的对应点为点 P,连接CP,则CP 的最小值为 .实战演练1.已知三角形的三边长分别为2,a-1,4,化简|a-3|+|a-7|的结果为 .2.若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长a的取值范围是；若等腰三角形的底边长为4，则它的腰长b的取值范围是 .3.若三条线段中a=3，b=5，c为奇数，那么由a，b，c 为边组成的三角形共有( )A.1个B.3个C.4个D.5个4.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长为4，但不是最短边，这样的三角形共有个.5.一个等腰三角形的一边长为4cm，周长为20cm，求这个三角形的腰长.6.一个等腰三角形的三边分别为4，3a-2，6a-6，求这个三角形的周长.7.已知a，b，c 为三角形三边的长，化简：||a−b−c|+|b−c−a|+|c−a−b|.8.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D 为AB 边上一点(不与 A,B 两点重合),将△ACD沿CD 折叠，点 A 的对应点E 落在BC 的下方，求 BE 的取值范围.直角三角形锐角三角形钝角三角形图形结论AB·CF=AC·BC=2S△ABC AB·CF=AC·BE=BC·AD=2S△ABC三条高所在的直线交于一点,这个点称为垂心.典例精讲题型一依据三角形的形状确定高的位置【例1】如图,已知△ABC,画出△ABC 的高AM,CN.题型二面积法，知高求底【例2】在例1的条件下,若CN=3,AM=6,AB=10,求 BC 的长.题型三依据高的位置，分类讨论求角度【例3】已知 AD 是△ABC 的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,求∠BAC 的度数.题型四面积法，整体求值【例4】如图,在△ABC 中,AB=AC,CH 是.△ABC的高，且CH=8,,D 为BC 上一点,DE ⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点 F,求.DE+DF的值.实战演练1.如图,AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,垂足分别为C,D,E,则下列说法不正确的是()A. AC 是△ABC 的高B. DE 是△BCD 的高C. DE 是△ABE 的高D. AD 是△ACD 的高2.如图，AD⊥BC 于点D，那么图中以AD 为高的三角形有个.3.如图,在△ABC中,D 为BC边上一点,BC=6,AD=4,则△ABC 的面积的最大值为 .4.如图,在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AB=6,AD=5,BC=4.求 CE的长.5.如图,在△ABC 中,AB=2,BC=4,CH⊥AB 于点H.(1)如图1,AG⊥BC 于点G.求证:CH=2AG;(2)如图2,D 为AC 上一点(不与A,C 两点重合),DE⊥AB 于点E,DF⊥BC 于点 F.若DE=DF,的值.求(DFCH中线重心图形AD 为中线O为重心结论①BD=CD;②C△ACD-C△ABD=AC-AB(C 表示周长);③S△AMD=S△ACD=1/2S△ABC;④S△BPD=S△CPD,S△APB=S△APC,①S△AOB=S△AOC=S△BOC;②S△AOF =S△BOF = S△BOD = S△COD = S△COE = S△AOE =1/6S△ABC;③OA=2OD,OB=2OE,OC=2OF.典例精讲题型一中线的性质与应用【例1】如图,BD 是△ABC 的中线,AB=7,BC=3,且△ABD 的周长为15,求△BCD 的△BCD周长.C 【例2】如图,在△ABC中,D,E,F 分别为BC,AD,CE 的中点,.S ABC=4,求S BEF.题型二重心的性质与应用【例3】如图,O为△ABC的重心,AO,BO,CO 的延长线分别与 BC,AC,AB 交于点 E,F,D.(1)图中与△AOD面积相等的三角形共有个(△AOD除外);(2)试说明:AO=2OE.实战演练1.如图,在△ABC 中,D,E 分别是BC,AC 的中点,则S BDES ABC =¯.2.如图,O 是△ABC 的重心,AN,CM 相交于点O,△MON 的面积是1,则△ABC 的面积为.3.已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和15cm的两个部分，求这个三角形的底边的长.4.如图,在4×3的正方形网中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点 B,C 为格点,C D为△ABC的中线.请用无刻度的直尺在图中画出.△ABC的重心G，并画出△ABC的中线B F.C 5.如图,在△ABC中,AB=10cm,AC=6cm,,D 是 BC 的中点,点E 在边 AB 上,△BDE与四边形ACDE 的周长相等.(1)求线段 AE 的长;(2)若图中所有线段长度的和是53cm，直接写出BC+12DE的值.板块四面积转化与面积法图形D 为BC 上一点AD∥BC结论S△ABD=BD ①S△ABC=S△DBC,S△ABD=S△ACD;②S△ABO=S△DCO;③S△ND=△D₁,③△C=S△NO=S△NO=DD.典例精讲题型一面积法求值【例1】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC,BD 交于点O,S△BOC=2S△AOB,BD=12,则OD 的长为 .题型二转化思想求面积【例2】如图,在△ABC 中,D 是 BC 上一点,CD=2BD,E 是AC 的中点,AD,BE 交于点F.若S△ABC=18.求S四边形CDFE—S△ABF的值.实战演练如图,∠ABC=∠BCD=90°,AB=6,BC=5,AD 与BC 交于点E,S△BDE=6.(1)求CE 的长;(2)求△CDE 的面积.。

第11章三角形 11.1 与三角形有关的线段(填空题)(老师版)

第11章三角形11.1与三角形有关的线段（填空题专练）1．如图，在一个65⨯的长方形网格中，每个网格都是边长为1个单位长度的小正方形，ABC ∆的每个顶点都在网格的格点上，则ABC ∆的面积为__________【答案】3【解析】【分析】先根据图形求出三角形的底和高的长度，再利用面积公式进行计算即可得出答案. 【详解】由图可知：三角形的底为3、三角形的高为2 ∴1S3232ABC=⨯⨯= 故答案为：3.【点睛】本题考查的是三角形的面积公式，属于基础知识点，是比较简单的题目.2．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC ，AC 的中点，若48ABC S ∆=，则图中阴影部分的面积是________.【答案】12【解析】【分析】由点D 为BC 中点可知，DC=12BC ，因为△ADC 与△ABC 的DC ，BC 边上的高相同，所以S△ADC=12S△ABC=24，同理可求S△ADE=12S△ADC=12．【详解】∵点D为BC中点，∴DC=12 BC，∵△ADC与△ABC的DC，BC边上的高相同，∴S△ADC=12S△ABC=24，∵点E为AC中点，∴AE=12 AC，∵△ADC与△ADE的AC，AE边上的高相同，∴S△ADE=12S△ADC=12，故答案是：12．【点睛】考查了三角形的面积，线段的中点等，解题关键是知道高相等的三角形的面积比就等于对应的底的比．3．三角形的两边长分别是3 和6，第三边长为偶数，则三角形的周长为_____．【答案】131517或或【解析】【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长．【详解】设第三边为x，根据三角形的三边关系可得：63x63-<<+.即：3x9<<，由于第三边的长为偶数，则x可以为4或6或8.∴三角形的周长是364133661536817++=++=++=或或 . 故答案为131517或或【点睛】考查三角形的三边关系，掌握任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边是解题的关键. 4．已知长度为4,5,3cm cm xcm 的三条线段可围成一个三角形，那么x 的取值范围是：_____；【答案】13<x<3. 【解析】【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，列出不等式组求解即可．【详解】由三角形的三边关系可得:5−4<3x<4+5，解得:13<x<3. 故答案为:13<x<3. 【点睛】此题考查解一元一次不等式，三角形三边关系，解题关键在于利用三角形三边关系.5．用一条长为36 cm 的细绳围成一个等腰三角形，若它的一边长为8 cm ，则它的底边长为________cm. 【答案】8【解析】【分析】由用一条长为36cm 的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为8cm ，可以分别从①若8cm 为底边长，②若8cm 为腰长时，去分析，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形，继而可求得答案．【详解】①当8cm 为底边时，设腰长为xcm ，则2x+8=36，解得：x=14，14，14，8能构成三角形，此时底边为8cm；②当8cm为腰长时，设底边长为ycm，则y+8×2=36，解得：y=20，8，8，20不能构成三角形.故答案是：8．【点睛】考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，解题的关键是注意分类讨论思想的应用．，点E是AC中点，若△CDE面积为1，则△ABC的6．如图，△ABC中，点D在BC上，且BD2DC面积为____.【答案】6【解析】【分析】根据等底同高的两个三角形的面积公式得到△ADC的面积，然后根据△ABC与△ADC的底边的数量关系来求△ABC．【详解】∵△CDE面积为1，点E是AC中点，∴S△ADC=2S△CDE=2．又∵BD=2DC，∴S△ABC=3S△ADC=6．故答案是：6．【点睛】考查了三角形的面积，熟记等底同高、同底等高三角形面积间的数量关系即可解答.7．如图，长方形ABCD 中，AB=4cm ，BC=3cm ，E 为CD 的中点．动点P 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A-B-C-E 运动，最终到达点E ．若点P 运动的时间为x 秒，则当x=_______时，△APE 的面积等于5．【答案】103或5 【解析】【分析】分P 在AB 上、P 在BC 上、P 在CE 上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：当P 在AB 上时， ∵△APE 的面积等于5，∴12x•3=5， x= 103；当P 在BC 上时， ∵△APE 的面积等于5，∴S 矩形ABCD -S △CPE -S △ADE -S △ABP =5， ∴11134(34x)2234222⨯-+-⨯-⨯⨯-⨯×（x-4）=5， x=5；③当P 在CE 上时，12（4+3+2-x ）×3=5， x=173（不合题意），故答案为103或5．【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．8．在ABC ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，则该三角形是_________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）【答案】锐角．【解析】【分析】可设∠A=3x ，∠B=5x ，∠C=7x ，利用三角形内角和为180°可列出方程，可求得x 的值，从而可求得三个角的大小，则可判定出三角形的形状．【详解】解：∵∠A ：∠B ：∠C=3：5：7， ∴可设∠A=3x ，∠B=5x ，∠C=7x ，由三角形内角和定理可得：3x+5x+7x=180，解得x=12， ∴∠A=3×12°=36°，∠B=5×12°=60°，∠C=7×12°=84°， ∴△ABC 为锐角三角形，故答案为锐角．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键，注意方程思想的应用． 9．如图，已知四边形ABCD 中，10AB =，7BC =，5CD =，3DA =，若设对角线BD 的长为x ，则x 的取值范围是________.【答案】7＜x ＜12..【解析】【分析】根据三角形三边关系求解即可. 【详解】在△ABD 中，AB=10，AD=3， ∴10-3＜BD ＜10+3，即7＜BD ＜13；在△BCD中，BC=7，CD=5，∴7-5＜BD＜7+5，即2＜BD＜12,故对角线BD的取值范围是：7＜x＜12.故答案为7＜x＜12.【点睛】此题主要考查三角形三边关系的应用，在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 10．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E在CD上，点F、G在AB上，且AF=FG=BG=DE=CE.以A、B、C、D、E、F、G这7个点中的三个为顶点的三角形中，面积最小的三角形有_________个，面积最大的三角形有__________个.【答案】17 3【解析】【分析】根据两平行线间的距离相等及等底等高的三角形面积相等解答即可.【详解】以AF为底，分别以D、E、C为另一个顶点的三角形有3个；以FG为底，分别以D、E、C为另一个顶点的三角形有3个；以GB为底，分别以D、E、C为另一个顶点的三角形有3个；以CE为底，分别以A、F、G、B为另一个顶点的三角形有4个；以DE为底，分别以A、F、G、B为另一个顶点的三角形有4个；这17个三角形等底等高，面积相等，且最小；以AB为底，分别以D、E、F为另一个顶点的三角形有3个，这3个三角形等底等高，面积相等，且最大. 故答案为17；3.【点睛】本题考查了两平行线间的距离相等，三角形的面积公式，熟练掌握等底等高的三角形面积相等是解答本题的关键.11．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ，C ∠的对边，且3a =，4b =，若三边长为连续整数，则c =_________.【答案】2或5.【解析】【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，进一步确定第三边的长，由此得出答案即可．【详解】解：∵a=3，b=4，∴根据三角形的三边关系，得4-3＜c ＜4+3．即1＜c ＜7， ∵三边长为连续整数 ∴.c=2或5．故答案为2或5．【点睛】本题主要考查三角形三边关系，注意掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．12．在△ABC 中，若∠B=40°，∠C=30°，则这个三角形按角分类是_______三角形. 【答案】钝角【解析】【分析】本题考查三角形的分类，有三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形. 【详解】∠A=180°-∠B-∠C=110°,所以这个三角形按角分类是钝角三角形.【点睛】在做题时一般只告诉两个角的度数，需运用内角和定理计算出第三个角的值，在根据三角形的分类进行作答. 13．下列说法：①三角形的三条内角平分线都在三角形内，且相交于一点； ②在ABC ∆中，若1123A B C ∠=∠=∠，则ABC ∆一定是直角三角形； ③三角形的一个外角大于任何一个内角；④若等腰三角形的两边长分别是3和5，则周长是13或11；⑤如果一个正多边形的每一个内角都比其外角多100︒，那么该正多边形的边数是10，其中正确的说法有________________个. 【答案】3【解析】【分析】根据三角形三条高的关系、直角三角形的判定、三角形外角和、三角形三边关系、多边形外角和，即可得到答案. 【详解】①锐角三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点，故原说法错误； ②在△ABC 中，若1123A B C ∠=∠=∠，则△ABC 一定是直角三角形，故原说法正确； ③三角形的一个外角大于和它不相邻的内角，故原说法错误；④一个等腰三角形的两边长为3和5，当腰为5时，周长为13；当腰为3时，周长为11，故原说法正确； ⑤如果一个正多边形的每一个内角都比其外角多100︒，那么该正多边形的边数是9，故原说法错误；故正确答案是3个.【点睛】本题考查综合考查三角形，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系、三角形的外角等知识. 14．在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，∠B ＝50°，∠CAD ＝15°,则∠BAC=__________. 【答案】55°或25°【解析】【分析】根据AD 的不同位置，分两种情况进行讨论：AD 在△ABC 的内部，AD 在△ABC 的外部，分别求得∠BAC 的度数．【详解】①如图，当AD在△ABC的内部时，∵AD⊥BC，∠B=50°，∴∠BAD=40°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=40°+15°=55°；②如图，当AD在△ABC的外部时，∵AD⊥BC，∠B=50°，∴∠BAD=40°，∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=40°-15°=25°；故答案为：25°或55°【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是进行分类讨论，解题时注意：三角形的内角和为180°．15．如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．【答案】15cm 2，30cm 2；【解析】【分析】由三角形面积计算方法可知，12ABC S AD BC =⨯⨯ ，12ABE S AD BE =⨯⨯，再由由三角形中线的定理求出BC 的长则可求△ABE 和△ABC 的面积.【详解】由三角形面积计算方法可知，12ABC S AD BC =⨯⨯，12ABE S AD BE =⨯⨯.再由由三角形中线的定理，16cm 2BE CE BC ===，所以12cm BC =.所以2116515cm 22ABE S BE AD =⋅=⨯⨯=，21112530cm 22ABC S BC AD =⋅=⨯⨯=. 故本题答案为：215cm 与230cm 【点睛】本题主要考查三角形的高.。