分数指数幂及其运算
分数指数幂的概念及其运算
,
根据以上观察，一般地，对于有理数指数幂有如下的运算性质
a 0, b 0, r , s Q （1） a r a s a
（3） ab
r
rs
； （2） a r
s
a rs
；
a r br ．
快乐体验
1.下列运算中，正确的是（ A. a 2 a 3 a 6 ;
4 2
p q p q ( p 0)
6 5 3
5 2
●体验反思 上面的根式或分数指数幂有什么共同的点？为什么没有负数的分数指数幂呢？ 能把你的想法告诉大家吗? 上面的题有易错点吗？
算一算 A组 B组
2 2 =32 4 4 = 32 (3 ) = 216 (2 ) = 2
2 3 2 2 3
0 ；负数 无
a
,
n
an
在初中学习的整数指数幂的运算性质是 ab n a nb m、
an . m nm 、 a n a m a n a am
a, n为奇数 ， a , n为偶数
2.预备练习
3 2 3 32 计算 2 2 ； 2 64； 2 3 216 2 3
；( )
1 2
2
4
．
3.思考：我们已经知道
1 1 1 1 1 ， ( ) 2 ， ( )3 ，„是正整数指数幂，它们的值分别为 ， ， 2 2 2 2 4
2 1 6000 3 1 1 1 1 1 5 10 8 „， 那么 ( ) 2 ， ( ) 5730 ， ( ) 5730 的意义是什么呢？如何运算 a a 和a 3 a 2 呢？ 8 2 2 2
数学指数幂运算公式大全
数学指数幂运算公式大全
在数学中，指数幂运算是一种常见且重要的数学运算方式。
以下是一些常见的指数幂运算公式：
1.正整数指数幂：
对于任意实数a和正整数n，有a^n = a × a × ... × a (n个a相乘)
2.负整数指数幂：
对于任意非零实数a和负整数n，有a^(-n) = 1 / (a^n)
3.零指数幂：
对于任意非零实数a，有a^0 = 1
4.幂运算的乘法：
对于任意实数a和正整数m、n，有a^m × a^n = a^(m+n)
5.幂运算的除法：
对于任意非零实数a和正整数m、n，有a^m ÷ a^n = a^(m-n)
6.幂运算的乘方：
对于任意实数a和正整数m、n，有(a^m)^n = a^(m×n)
7.幂运算的倒数：
对于任意非零实数a和正整数n，有(1/a)^n = 1 / (a^n)
8.幂运算的分数指数：
对于任意非负实数a、正整数m、n，有(a^m)^(1/n) = a^(m/n)
9.幂运算的乘方根：
对于任意非负实数a、正整数m、n，有(a^m)^(1/n) = a^(m/n)
除了以上基本的指数幂运算公式，还存在更多的特殊公式和拓展，如指数规律、对数运算等。
这些公式和规律在数学的各个领域都有广
泛的应用，包括代数、几何、微积分等。
分数指数幂 知识讲解
要点二、有理数指数幂的运算性质 设为有理数，那么 （1）. （2）. （3）.
【典型例题】 类型一、分数指数幂的运算
1、 把下列方根化为幂的形式：
（1）； （2）； （3）； （4）. 【思路点拨】根据分数指数幂的定义解题. 【答案与解析】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）. 【总结升华】，其中为正整数，.
举一反三：
【变式】(2015.三台期末)根式（ ，为正整数，＞1）用分数指数幂可
表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D；
Hale Waihona Puke 解：∵， ∴.2、 口算： （1）；（2）；（3）；（4）.
【思路点拨】可将分数指数幂表示成方根的形式再求值. 【答案与解析】 解：（1）；
（2）； （3）； （4）. 【总结升华】求分数指数幂的值，就是求一个数的方根，一个正数的分 数指数幂的值是一个正数.
举一反三：
【变式】口算：（1）；（2）；（3）. 【答案】 解：（1）；
（2）； （3）.
3、(2015.黄石模拟)用计算器计算,结果保留三位小数：
（1）；（2）；（3）. 【答案与解析】
分数指数幂
【学习目标】 1. 掌握分数指数幂，并能利用分数指数幂进行运算.
2. 会用计算器计算分数指数幂. 【要点梳理】 要点一、分数指数幂
把指数的取值扩大到分数，我们规定 ， ， 其中为正整数，. 上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数. 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. （1）当与互素时，如果为奇数，那么分数指数幂中的底数可为负数.
人教版高一数学必修1第16课时分数指数幂与幂的运算(含解析)
即x －x ＝± ，
∴x－x－1＝(x －x )(x ＋x )＝±3 .
(2)将x＋x－1＝7两边平方，得x2＋x－2＋2＝49，
∴x2＋x－2＝47，
∴ ＝ ＝4.
能力提升
12．(5分)
的值等于()
A．1－ B．2－
C. － D.
答案：B
答案：1
解析：设ax＝by＝cz＝k，则k>0，a＝k ，b＝k ，c＝k ，因此abc＝k k k ＝k ＝k0＝1.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)计算：
(1) 0.5－0.752＋6－2× ；
(2)(0.25) － 2×[(－2)3] ＋10(2－ )－1－10×30.5；
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．用分数指数幂表示： ＝________.
答案：x y
解析： ＝ ＝x y ＝x y
8．若10x＝3 ，10y＝ ，则102x－y＝________.
答案：
解析：102x－y＝(10x)10y＝(3 )2÷ ＝3 ÷3 ＝ .
9．若a，b，c为正实数，ax＝by＝cz， ＋ ＋ ＝0，则abc＝________.
解析：设4x＝6y＝1442＝t，则4＝t ，6＝t ，144＝t ，∴36＝t .又144＝4×36，∴t ＝t ·t ，即 ＝ ＋ ，选D.
6．已知0<x<1，x2－3x＋1＝0，则x －x 的值为()
A．1 B．－1
C．1或－1 D．－
答案：B
解析：∵x2－3x＋1＝0，∴x2＋1＝3x，∵0<x<1，∴两边除以x，得x＋x－1＝3，∴(x －x )2＝x＋x－1－2＝3－2＝1.又0<x<1，∴x －x ＝ － ＝ <0，∴x －x ＝－1.故选B.
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
指数幂的运算法则
指数幂的运算法则
1、指数加始篇减底不变，同底数幂相乘除。
2、指数相乘底不变，幂的乘方要清畜川楚。
3、积商乘方原指数，换底乘方再乘除。
4、非零数的零次幂，常值为1不糊涂。
5、负整数的指数幂，指数转正求倒数。
6、看到分数指数幂，想到底数必非负。
7、乘方指数是分子，根指数要当分母。
在数学上我们把n个相同的因数a相乘的积记做a^n。
这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在a^n中,a叫做底数,n叫做指数。
a^n读作“a的n次方”或“a的n次幂“。
一个数可以看做这个数本身的一次方。
例如，5就是5^1，指数1通常省略不写。
二次方也叫做平方，如5^2通常读做”5的平方“；三次方也叫做立方，如5^3可读做”5的立方“。
正整数指数幂的运算性质如下：
1、am·an=am+n（m，n是正整数）。
2、（am）n=amn（m，n是正整数）。
3、（ab）n=anbn（n是正整数）。
4、am÷an=am-n（a≠0，m，n是正整数，m>n）。
5、a0=1（a≠0）。
《分数指数幂》课件
目录
• 分数指数幂的定义 • 分数指数幂的运算 • 分数指数幂的应用 • 分数指数幂的扩展知识 • 练习题与答案
01
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数幂的数学定义
对于任意实数a和正整数m、n，a的m/n次方定义为a的m次方根的n次方。即 ，如果b是a的m次方根，那么a^(m/n) = b^n。
3}{2}}$
分数的指数幂应用练习题
总结词
应用分数指数幂解决实际问题
练习题1
已知 $a^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}$，求 $a$ 的值。
练习题2
已知 $left(frac{a}{b}right)^{-frac{1}{2}} = frac{1}{3}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
分数指数幂在解决化学问题中的应用
在解决化学问题时，分数指数幂也具有广泛的应用。例如，在计算化学键的强度、研究分子的性质和 行为以及解决化学反应的平衡问题时，使用分数指数幂可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
04
分数指数幂的扩展知识
分数指数幂与整数指数幂的关系
分数指数幂是整数指数幂的扩展，当分数指数的分子大于分母时，相当于整数指 数幂的指数加1；当分子等于分母时，相当于整数指数幂的指数；当分子小于分 母时，相当于整数指数幂的指数减1。
ac{1}{2}}$
感谢您的观看
THANKS
运算规则一
乘法运算。当底数相同时，分 数指数幂相乘等于将指数相加 。即，a^(m/n) * a^(m/n) =
a^(m/n+m/n)。
举例
2^(2/3) * 2^(2/3) = 2^(4/3) 。
运算规则二
分数指数幂的概念及其运算
9 . 8
2 3
3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中 a 0 ）
a a
3
7 2 , a 2 3
a
2
a
a
,
a
.
挖掘与思考：
1.有理数指数幂的运算性质在什么条件下运用？
2.有理指数幂与整数指数幂之间有何关系？还可以拓展吗？（链接 1）
我太喜欢了！ 我要像爱棒棒糖那样爱数学！
一、学习准备
1.上节课我们学习了 n 次根式的概念及相关性质，请填空： 如果 x a ， 那么 x 叫做 a 的 n次方根， 其中 n 1 ， 且nN ， 式子 n a 叫做
n
根式 ，
这里 n 叫做根指数 ， a 叫做 被开放数． 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个 正数 ，负数的 n 次方根是一个 负数．这时，
4.解方程 4
3x2
256 8
1 x
．
解： 43 x 2 256 81 x , 26 x +4 2113 x , 7 6 x +4 11 3x, x 9
5. 已知： 2x 2 2 2
2 , 求 x的值
2n 1
5.解：先假设 2 2 2
2 1
n n
；( )
1 2
2
4
．
3.思考：我们已经知道
1 1 1 1 1 ， ( ) 2 ， ( )3 ，„是正整数指数幂，它们的值分别为 ， ， 2 2 2 2 4
2 1 6000 3 1 1 1 1 1 5 10 8 „， 那么 ( ) 2 ， ( ) 5730 ， ( ) 5730 的意义是什么呢？如何运算 a a 和a 3 a 2 呢？ 8 2 2 2
第2课时 分数指数幂
2．在进行整体代换时常用的一些公式： (1)完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2． (2)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． (3)立方和公式：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)． (4)立方差公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)． (5)完全立方公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3．
二、有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝____a_r_＋_s(_a_＞__0_，__r_，__s_∈__Q_)_____； (2)(ar)s＝____a_rs_(a_＞__0_，__r_，__s_∈__Q__) ______； (3)(ab)r＝___a_r_b_r(_a_＞__0_，__b_＞__0_，__r_∈__Q_)________．
解 (1)因为x12 ＋x－21 ＝3，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＝47，所以原式＝477＋－37
＝4．
(2)因为(x12
＋x－
1 2
)2＝x＋x－1＋2＝5，所以x
1 2
＋x－21
＝
5.因为(x＋x－1)2＝x2＋x－2
＋2＝9，所以x2＋x－2＝7，所以xx221＋＋x－x2－＋12 3＝105．
[方法总结] (1)若ar＝as，则r＝s． (2)对于给值求值的问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代 换”或求值代换的方法求解．
[训练3] (1)已知x21 ＋x－12 ＝3，计算： xx2＋＋xx－－12＋－37； (2)已知x＋x－1＝3，求xx212＋＋x－x2－＋12 3的值．
∴a3＋a－3＝7×(47－1)＝322．
第2课时 分数指数幂、无理数指数幂及其运算性质
22
课时规范训练
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
A 基础巩固练
3
1．将 52写成根式的形式，正确的是( D )
A．3 52
B． 3 5
5 C．
3 2
D． 53
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
23
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
1
(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；
n am
(3)0的正分数指数幂等于___□_3 _0_，0的负分数指数幂___□_4_没__有__意__义____．
4
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
微点拨 分数指数幂 amn是根式的一种新写法，不能理解为mn 个 a 相乘．通过建 立 n 次方根与分数指数幂的关系，把整数指数幂推广到了分数指数幂．
运算．
3
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
必备知识 自主学习
知识点一 分数指数幂的意义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：
amn＝___□_1_n__a_m__(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：
m
□2
1
m
a－ n ＝_______a_n______＝
2 2 2.
5 (2)
2
22
（ab）2＝(ab)5＝a5b5.
10
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
3 (3)
5
（x－1）5＝(x－1)3.
(4)
1
2
＝a－3.
3 a2
1
3
分数指数幂及其运算法则(供参考)
一、复习引入回顾平方根、立方根的有关概念．归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.二、新课讲解1、根式若n x a =（1>n ，+∈N n ）则x 叫做a 的n 次方根说明：n nn a n a a n a n a ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为为正数:为偶数, 的次方根有两个,为零的n 次方根为零，记为00n =如果n a 有意义，那么n a （1>n ，+∈N n ）叫做根式.其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2、分数指数幂（1）规定10=a ，n n a a1=- （2）规定正数a 的正分数指数幂的意义为 n m n ma a=)1,,(>∈+n N n m ） 规定正数a 的负分数指数幂的意义为 n m n ma a 1=-)1,,(>∈+n N n m ）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.课内练习 P41 练习7.1.1 题2，3（3）引入了分数指数幂后，整数指数幂就推广到了有理数指数幂。
对于有理数指数幂，整数指数幂的运算性质保持不变，即：t s t s a a a +=•，st t s a a =)(，ss s b a ab •=)(， 其中Q t s ∈,，0,0>>b a 。
例1求下列各式的值解：33(1)(8)-= —8； 2(2)(10)-=|—10|=10； 44(3)(3)π-=3π- 2(4)()a b -=a b - 例题2：求值：238；1225-；51()2-；3416()81-. 解：① 223338(2)=2323224⨯===； ② 1122225(5)--=12()121555⨯--===； ③ 5151()(2)2---=1(5)232-⨯-==；④334()44162()()813-⨯-=3227()38-==. 例题3：用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）3.a a ；322a a ⋅；3a a . 分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算 解：117333222.a a a a aa +=⋅==； 232223a a a a ⋅=⋅28233a a +==； 例1．计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-（2）31884()m n -分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.解：（1）原式=211115326236[2(6)(3)]ab +-+-⨯-÷-=04ab =4a （2）原式=318884()()m n - =23m n -四、巩固练习五、课堂小结1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a 是的次方根. ,x a n n 为奇数时,= n 为偶数时，n x a =±；2．掌握两个公式：,n n a n 为奇数时,()3．分数指数是根式的另一种写法.4．无理数指数幂表示一个确定的实数.5．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.六、布置作业教材 P44 1、2、3。
一个数分数指数幂运算法则及推导
⼀个数分数指数幂运算法则及推导
1.⼀个数分数指数幂运算法则
1.2证明推导
a m/n =( a m) 开n 次⽅，（a>0,m、n ∈Z且n>1），证：
令 ( a m) 开n 次⽅ = b
两边取 n次⽅，有
a m =
b n
a m/n= a m(1/n) = (
b n)(1/n) = b = a m开n 次⽅
即 a m/n = ( a m) 开n 次⽅
==========================================================
1.根号及运算法则
成⽴条件：a≥0，n≥2且n∈N。
成⽴条件：a≥0, n≥2且n∈N。
成⽴条件：a≥0，b>0，n≥2且n∈N。
成⽴条件：a≥0，b>0,n≥2且n∈N。
2.性质：
在实数范围内：
（1）偶次根号下不能为负数，其运算结果也不为负。
（2）奇次根号下可以为负数。
不限于实数，即考虑虚数时，偶次根号下可以为负数，利⽤【i=√-1】即可
3.根式与分数指数幂的互化：
这部分经常弄错。
根号左上⾓的数当分数指数幂的分母，根号⾥⾯各个或的指数当分数指数幂的分⼦，注意，各个因式（因数）如果指数不同，要分开写。
即是内做⼦，外做母，同母可不同⼦。
电脑打根号⽅法：alt+41420。
分数指数幂的同底数运算教案二：灵活应用同底数运算规则求解
亲爱的同学们，大家好！今天，我们将进一步讨论分数指数幂的同底数运算，希望通过今天的学习，能够让大家掌握这个知识点，并且能够熟练运用同底数运算规则求解。
我们来复习一下分数指数幂的定义。
分数指数幂，就是指数为分数的幂，例如2的1/2次方，2的2/3次方等等。
在这种情况下，我们需要首先理解分数指数幂的含义，我们以2的1/2次方为例，这个式子可以写成根号2，也就是2的平方根。
因此，我们也可以推广到其他的分数指数幂中，例如2的2/3次方，可以写成2的3次方根号2。
接下来，我们将讨论同底数运算的规则。
同底数运算的规则非常简单，就是将同一底数的指数相加，例如2的3次方乘以2的5次方，可以写成2的8次方。
用公式表示，就是a的m 次方乘以a的n次方，等于a的m+n次方。
在进行同底数运算的时候，有时候我们需要进行一些化简，例如对于3的1/2次方乘以9的3/2次方，我们可以先将9的3/2次方化简为（3的2次方）的3/2次方，接着可以将3的1/2次方写成3的1次方的1/2次方，然后代入同底数运算的公式中，即可得到3的2次方。
除了同底数运算，我们还需要学习同底数约分的方法。
同底数约分的方法非常简单，就是对于同一底数，将指数相减即可。
例如2的5次方除以2的3次方，可以写成2的（5-3）次方，也就是2的2次方。
在进行同底数约分的时候，有时候我们需要注意，即需要将分数指数幂的平方根或者三次方根化成分数形式，例如8的1/6次方可以写成（2的3次方）的1/6次方，然后化成分数形式，变成（2的1次方）的1/3次方，这样就可以进行同底数运算了。
让我们来看几个例子，来加深理解。
例子1：计算2的2/3次方乘以2的5/3次方。
答案：这个时候我们需要将指数相加，得到2的7/3次方。
例子2：计算3的1/2次方乘以9的3/2次方。
答案：这个时候我们需要进行一些化简，将9的3/2次方化简为（3的2次方）的3/2次方，接着可以将3的1/2次方写成3的1次方的1/2次方，然后代入同底数运算的公式中，即可得到3的2次方。
分数指数幂的混合运算教案二：掌握分数指幂混合运算的优先级顺序
分数指数幂的混合运算是初中数学中一个非常重要的概念，掌握好这个概念可以为学生以后的数学学习打下坚实的基础。
在前一篇教案中，我们介绍了分数指数幂的基本概念和乘除混合运算的方法。
在本篇教案中，我们将为大家介绍一个非常重要的内容，那就是分数指幂的运算的优先级顺序。
一、认识优先级顺序在进行分数指数幂的混合运算中，我们需要知道哪些运算符先进行，哪些运算符后进行。
例如，我们知道在一般的四则运中，乘法和除法的优先级要高于加法和减法。
那么在分数指数幂的混合运算中，我们又该如何确定优先级顺序呢？二、分数指幂混合运算的优先级顺序1、先执行指数运算在分数指幂混合运算中，指数运算的优先级最高。
什么是指数运算呢？我们知道，在一个数a 的b次方中，b就是指数，a就是底数。
例如，“2的3次方”中的2就是底数，3就是指数。
因此，当我们遇到分数指数幂混合运算的式子时，首先要做的就是先进行指数运算。
例如，下面这个式子：2^(1/2) × 3^4 × 5^(1/3)我们应该先进行指数运算。
其中，“2的1/2次方”相当于根号2，“5的1/3次方”相当于3次方根号5。
因此，原式可以化简为：√2 × 3^4 × ³√52、其次执行分数运算在分数指数幂的混合运算中，分数运算的优先级次于指数运算。
当指数运算计算完成后，我们要进行的就是分数运算。
在进行分数运算时，我们需要注意分母的通分问题。
例如：1/(2^3) + 2/(3^2) - 3/(5^3)其中，2的3次方相当于8，3的2次方相当于9，5的3次方相当于125。
因此，我们要进行分母的通分操作，得到：125/(2^3 × 5^3) + 500/(3^2 × 5^3) - 24/(2^3 × 3^2 × 5^3)再进行分子的加减操作，得到最终结果。
3、最后执行乘除运算在分数指数幂混合运算中，乘除运算的优先级最低。
分数指数幂的运算
分数指数幂的运算法则如下：
指数相乘底数不变，幂的乘方相乘除。
指数加减底数不变，同底数幂相乘除。
积商乘方原指数，换底乘方再乘除。
负整数的指数幂，指数转正求倒数。
非零数的零次幂，常值为1不相乘除。
看到分数指数幂，底数必为非负数。
乘方指数是分子，根指数要当分母。
对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质：
(1)ar×as=a(r+s) (a>0,r,s∈Q)。
(2) (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)。
(3) (ab)r=ar×br (a>0,b>0,r∈Q)。
分数指数幂的意义：
分数指数幂是一个数的指数为分数，如2的1/2次幂就是根号2。
分数指数幂是根式的另一种表示形式，即n次根号(a的m次幂)可以写成a的m/n次幂。
幂是指数值，如8的1/3次幂=2，一个数的b分之a次方等于b次根号下这个数的a次方。
正数的正分数指数幂的意义是——a的n分之m次方=n√a的m次方（a>0,m、n属于正整数，n>1），0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。
分数指数幂-知识讲解(1)
分数指数幂责编：康红梅【学习目标】1. 掌握分数指数幂，并能利用分数指数幂进行运算.2. 会用计算器计算分数指数幂.【要点梳理】要点一、分数指数幂把指数的取值扩大到分数，我们规定()0m n aa =≥， ()0mna a -=>，其中m n 、为正整数，1n >. 上面规定中的mn a 和m n a -叫做分数指数幂，a 是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.要点诠释：（1）当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数.（2）指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.要点二、有理数指数幂的运算性质设00a b p q >>，，、为有理数，那么（1）p q p q p q p q a a aa a a +-=÷=，. （2）()q p pq a a =.（3）()p p p p p p a a ab a b b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，.【典型例题】 类型一、分数指数幂的运算1、 把下列方根化为幂的形式：（1 （2 （3（4【思路点拨】根据分数指数幂的定义解题.【答案与解析】解：（1135=；（2343=；（3128-=；（41155122-⎛⎫==⎪⎝⎭.()0mna a=≥，其中m n、为正整数，1n>.举一反三：【变式】(2015.三台期末)（0a>，m n、为正整数，n＞1）用分数指数幂可表示为（）A.nma B.mna C.nma- D.mna-【答案】D；mna=，mna-=.2、口算：（1）1216；（2）1327；（3）12144；（4）14256.【思路点拨】可将分数指数幂表示成方根的形式再求值.【答案与解析】解：（1）12164==；（2）13273==；（3）1214412==；（4）142564==.【总结升华】求分数指数幂的值，就是求一个数的方根，一个正数的分数指数幂的值是一个正数. 举一反三：【变式】口算：（1）1481-；（2）14116⎛⎫⎪⎝⎭；（3）1236.【答案】解：（1）141813-==；（2）1411162⎛⎫==⎪⎝⎭；（3）12366==.3、(2015.黄石模拟)用计算器计算,结果保留三位小数：（1）135；（2）3457⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）2310. 【答案与解析】解：（1）135 1.710≈；（2）3450.7777⎛⎫≈ ⎪⎝⎭； （3）2310 4.642≈.【总结升华】利用计算器，可直接求出一个分数指数幂的值，要熟悉求分数指数幂的值与相应的乘方、开方运算之间的关系.4、 计算：（1） ()13827⨯；（2） 4112235⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（3）3422335⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（4）6113223⎛⎫÷ ⎪⎝⎭ 【答案与解析】解：（1） ()()1113333338272366⨯⨯=⨯==； （2） 41122223535925225⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭；（3）3422233353591251125⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭； （4）6111166233322423232327⨯⨯⎛⎫÷=÷=÷= ⎪⎝⎭. 【总结升华】利用有理数指数幂的运算性质解题.。
数的分数幂运算
数的分数幂运算数的分数幂运算是数学中常见的运算方式，通过将数的乘方推广到分数的形式，可以更准确地表达数与数之间的关系。
本文将介绍数的分数幂运算的定义、性质以及一些实际应用。
1. 定义数的分数幂运算是指将一个数的指数改以分数的形式表示，并进行相应的运算。
通常我们用 a^(m/n) 表示，其中 a 是底数，m 是分子表示指数，n 是分母表示根号。
2. 性质数的分数幂运算具有以下几个性质：- (a^m)^n = a^(m*n)：若幂运算中存在多个指数，可以先计算指数的乘积再进行幂运算。
- a^(m/n) * a^(p/q) = a^((mq+np)/(nq))：同底数、不同指数的分数幂可以通过乘法合并为一个分数幂。
- (ab)^(m/n) = a^(m/n) * b^(m/n)：多个底数的分数幂可以分开计算再进行乘法运算。
3. 实际应用数的分数幂运算在实际应用中广泛存在，特别是在科学计算和工程领域有着重要的作用。
- 对于根号运算：我们可以将根号运算转化为分数幂运算的形式。
例如，√x 可以表示为 x^(1/2)。
这样可以更方便地进行计算和推导。
- 在计算复利和贴现问题时，分数幂运算也有很大的帮助。
例如，当我们计算每期利率时，可以将利率的分数幂写成十进制形式，更容易计算。
总结：数的分数幂运算是一种重要的数学运算方式，通过将指数推广到分数的形式，可以更精确地表示数与数之间的关系。
数的分数幂运算具有一些重要的性质，使得我们可以在实际应用中更方便地进行计算和推导。
无论是在学术研究还是实际应用中，了解和掌握数的分数幂运算都是非常重要的。
注意：本文中的数学符号和公式可能无法完全显示，请以文字描述为准。
指数运算法则公式
指数运算法则公式
指数算法公式1:同底数乘方:底数不变，指数相加的幂就是幂；同底数幂的除法:底数不变，指数降幂。
指数运算法则公式 1
指数运算法则口诀
同底数幂的乘法：底数不变，指数相加幂的乘方；
同底数幂的除法：底数不变，指数相减幂的乘方；
幂的指数乘方：等于各因数分别乘方的积商的乘方
分数幂:分子和分母分别自乘幂，指数保持不变。
指数函数
指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，函数图形上凹，a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的函数。
指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
要想使得x 能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a的不同大小影响函数图形的情况。
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(ar )s ars
(ab)r ar as
2( 1 )
1
1( 1 )
1
a3
2 a 2 b
15
2 b3
a6 b6
1(1 )
11
a 3
2 b2 3
15
a6 b6
51
55
a 6 6 b6 6
a1b0 1 a
精彩点评
展示问题 位置 展示 点评
例1 变式 例2 拓展
前黑板 3 1 前黑板 4 2 前黑板 5 6 后黑板 6 8
例3
后黑板 7 9
让质疑成为最美丽的风景！
目标：
（1）先分析解题思 路，再规范步骤，总 结易错点，给展示题 打分2--5 （2）其它同学认真 倾听、积极思考,重 点内容记好笔记。有 不明白或有补充的要 大胆提出。 （3）力争全部达成 目标，A层多拓展、 质疑,B层注重总结， C层多整理，记忆。 科研小组成员首先要 质疑拓展。
养成好的答题习 惯。
1.准确理解实数指数幂的有关概念，熟练掌握 实数指数幂运算法则，提高应用法则进行计算 化简的能力； 2.小组成员积极讨论、踊跃展示、大胆质疑， 探究实数指数幂运算的规律和方法； 3.以极度的热情投入到课堂学习当中，体验学 习的快乐。
合作探究
内容及目标：
(1)a的n次方根是如何定义的？任何实数都能进行开方运算吗？
探究点一：根式的概念及运算
反思：
当n为奇数时, n次方根情况如何？记：
x n a .例如：3 27 3， 3 27 3
当n为偶数时，正数的n次方根情况？记： n a
例如：81 的4次方根就是 ，
强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，即 n 0 0
n 结论：( n a )n a .当 是奇数时，n an a
（3）讨论结束时，将对各组讨论情况进行评价。
展示问题
例1 变式 例2 拓展 例3
高效展示
位置
前黑板 前黑板 前黑板 后黑板 后黑板
展示
3 4 5 6 7
目标： （1）规范认真， 脱稿展示； （2）不但要展示 解题过程，更重要 的是展示规律方法、 注意的问题、拓展； 其他同学讨论完毕 总结完善，A层注 意拓展，不浪费一 分钟； （3）小组长要检 查落实，力争全部 达标.
(3) a2 (a>0)．
3
a·
a2
6．化简下列各式(a>0，b>0，x>0，y>0)：
(1)(2a－3·b－23)·(－3a－1b)÷(4a－4b－53)；
2 1
5x 3 y2
(2)
1 4
1
x1 y 2
5 6
1
x3
1
y6
；
(3)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12.
12 2 3 3
6 3
3
[例 2] 将下列根式化成分数指数幂的形式．
1
(1) a3 a (a>0)；
(2) 1 (x>0)； 3 x5 x22
(3)(
4
2
b3
)－
2 3
(b>0)．
[思路点拨] 根据分数指数幂的意义以及运算性质转化．
3 3．用分数指数幂表示 a a(a>0)＝________.
3
解析：原式＝
1
3
aa2 ＝
3
a2 ＝
1
3
3 a2
2
33
31
1
＝ a4 ＝(a 4 ) 3 ＝a 4 .
1
答案：a 4
4．用分数指数幂表示下列各式：
3 (1)
x4；
4 (2)
m＋n5(m＋n>0)；
(3) x (x>0)． 3 y2
[例 3] 计算下列各式：
a3b2 3 ab2
课堂评价
学科班长：1.优秀小组： 2.优秀个人：
课后完成训练学案并整理巩固
n 当
是偶数时，
n
an
| a |
a a
(a 0) (a 0)
探新究点知二：：规实数定指分数数幂的指运数算幂如下
m
a n n am (a 0, m, n N*, n 1)
m
an
1
m
an
1 n am
(a 0, m, n N*, n 1)
指数幂的运算性质:（ a 0,b 0, r, s Q）
能的话，其n次方根有几个？
(2)根据n次方根的定义，根式有哪些性质？
(3)分数指数幂如何定义的？运算法则有哪些？
要求：
（1）小组长首先安排任务先一对一分层讨论，再小组内集中讨论，AA力争 拓展提升，BB、CC解决好全部展示问题。
（2）讨论时，手不离笔、随时记录，争取在讨论时就能将错题解决，未解 决的问题，组长记录好，准备展示质疑。
分数指数幂及其运算
导学案完成情况
小组
优秀个人
1组
2组 李月阳
3组 肖鹏
4组
5组
6组 徐碟 陈雄 蒋慧
7组 唐小峰
8组 雷健明
9组
小组量化 情况分析
1.闪光点：书写 认真，整体完成 情况较好。 2.不足： 部分同学审题不 严密，答题不规 范。 3.改进措施： 逐字逐句仔细审 题，看好要求规 范答题，
解：
x
y 12 xy 9
(x y)2 (x y)2 4xy 108
又 xy
x y 6 3
1
1
x2 y2
1
1
(x2 y 2 )2
1
1
1
( x 2 y 2 )( x 2 y 2 )
1
x y 2( xy) 2 x y
(1)
a
1 4
b
1 2
4
3
b a
(a>0，b>0)；
(2)
614－ 3
338＋ 4
0.062
5＋[(0.064
1 3
)－2.5]
2 5
－π0.
[思路点拨] 将根式化为幂的形式，然后按照幂 的运算性质进行化简计算．
5．求下列各式的值：
(1)
42
93
8131；
(2)2 3×3 1.5× 6 12；