分数指数幂及其运算
高中数学知识点：分数指数幂的概念和运算法则
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且m n 为既约分数，分数指数幂可如下定义：
1
n a =
m
m n a ==
-1
m
n m n
a a =
分数指数幂及其运算法则(供参考)
（2）原式= =
四、巩固练习
五、课堂小结
1．根式的概念：若n＞1且 ，则 .
为偶数时， ；
2．掌握两个公式：
3．分数指数是根式的另一种写法.
4．无理数指数幂表示一个确定的实数.
5．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.
六、布置作业
教材 P44 1、2、3
（1）规定 ，
（2）规定正数 的正分数指数幂的意义为
）
规定正数 的负分数指数幂的意义为
）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
课内练习P41练习7.1.1题2，3
（3）引入了分数指数幂后，整数指数幂就推广到了有理数指数幂。对于有理数指数幂，整数指数幂的运算性质保持不变，即：
， ， ，
其中 ， 。
师生活动
一、复习引入
回顾平方根、立方根的有关概念．
归纳：在初中的时候我们已经知道：
若 ，则 叫做a的平方根.
同理，若 ，则 叫做a的立方根.二、新课讲解
1、根式
若 （ ， ）则x叫做a的n次方根
说明：
零的n次方根为零，记为
如果 有意义，那么 （ ， ）叫做根式.其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
2、分数指数幂
授课日期
2011年月日第 周
授课时数
指数幂及运算114
(3)原式＝[(b－
2 3
)
1 4
]－
2 3
＝b－
2 3
1 4
2 3
＝b
1 9
.
点评：当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数．由里向
外，用分数指数幂写出，然后再利用性质进行化简．
12
3
3
变式探究 1 (1)用根式表示下列各式：x 5 ，x－ 5 ；
(2)用分数指数幂表示下列各式(式中 a 均为正数)：a2 a， a.
5
【练习 2】 化简：
37
(1)a 4 ·a 12 ＝__________. (2) b2b＝__________.
1
(3)(ab 3 )3＝__________.
37
37
4
解析：(1)a 4 ·a12 ＝a 4 ＋ 12 ＝a 3 .
(2)
b2
＝b2·b－
1 2
＝b
3 2
.
b
1
1
(3)(ab 3 )3＝a3b 3 3 ＝a3b.
化简：4
4
x
·(－3
4
x
1 )·
6 3 y2
÷
.
3y
x
2
解析：原式＝4×(－3)÷(－6)·x
1 4
·x
1 4
1
·1
分式指数幂的运算与性质
分式指数幂的运算与性质
例1：用分数指数幂的形式表示下列各式：（其中a >0） (1)3
a
a
(2)32
2
a a
⋅ (3)
3a
a ⋅ (4)
5
32a a a ⋅⋅
例2：已知,,9,12y x xy y x <==+且则
2
12
1212
1y
x y x +-的值
例3：计算下列各式（字母都是正数） （1）
)6
5
)(41(56
13
12
112
132----⋅-y x y x y
x （2）3
13
4
31
14
132
)()(---⋅⋅⋅⋅⋅z y x
z y x
（3）0121
3
2
)32()25(10)002.0()8
27(-+--+---- （4）3133
73
32
9a a a a ⋅÷⋅--
例4：已知32
12
1=+-a
a ，求下列各式的值：
（1）1
-+a a ；（2）2
2
-+a a ；（3）
2
12
1
2323----a
a a a
例5：已知122+=x
a ，求x
x x
x a a a a --++33的值。
例6：已知a ,b 是方程0462
=+-x x 的两根，且0>>b a ，求b
a b a +-的值
例7：（1）已知122-=n
a
，求n
n n
n a a a a --++33的值。
（2）若),0(2
12
12
1
>=+-a x a a 求
x
x x x x x 42422
2----+-的值。
例8：解下列关于x 的方程： （1）22)9
1
(381+=⨯x x
（2）0123222=-⨯++x x
例9：若02252
>--x x ，求221442
-++-x x x 的值
例10：化简（1）22312523+++ （2）26112611-++ （3）102-7302-11+
分数幂的运算法则
分数幂的运算法则
1、乘方运算法则：(a^m )(a^n ) = a ^ (m+n)
2、除方运算法则：(a^m )/(a^n ) =a ^ (m-n)
3、幂次与乘法运算法则：(a·b)^n = a^n ·b^n
4、幂次与除法运算法则：(a/b )^n = a^n /b^n
5、同指数幂运算法则：(a^m )^n = a ^ (m·n)
分数指数幂的概念及其运算
a, a
3 4
4
a ,a
5
3
3 5
(2)、 a a ，b b ，c c
3 2 2 3
1 2 4
2 1 1 3 5 ,a 3 a a
5 4
(m n) m n (m n), (m n) m n (m n),
9 . 8
2 3
3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中 a 0 ）
a a
3
7 2 , a 2 3
a
2
a
a
,
a
.
挖掘与思考：
1.有理数指数幂的运算性质在什么条件下运用？
2.有理指数幂与整数指数幂之间有何关系？还可以拓展吗？（链接 1）
我太喜欢了！ 我要像爱棒棒糖那样爱数学！
；( )
1 2
2
4
．
3.思考：我们已经知道
1 1 1 1 1 ， ( ) 2 ， ( )3 ，„是正整数指数幂，它们的值分别为 ， ， 2 2 2 2 4
2 1 6000 3 1 1 1 1 1 5 10 8 „， 那么 ( ) 2 ， ( ) 5730 ， ( ) 5730 的意义是什么呢？如何运算 a a 和a 3 a 2 呢？ 8 2 2 2
你
好 吗！
分数指数幂运算
分数指数幂运算
分数指数幂运算是将一个分数作为底数，另一个分数作为指数进行计算的运算。
如果分数指数是正数，可以按照分数的定义进行计算。例如，计算2^1/3，可以先计算2的立方根，再将结果与自身相乘，即2^1/3 = (∛2)^3 = 2。
如果分数指数是负数，可以使用倒数的概念进行计算。例如，计算2^(-1/3)，可以先计算2的立方根的倒数，再将结果与自身相乘，即2^(-1/3) = 1/(∛2)。
如果分数指数是分数形式，可以使用乘法的性质进行计算。例如，计算2^(2/3)，可以将指数分解为2×(1/3)，然后先计算2的立方根，再将结果平方，即2^(2/3) = (∛2)^2 = 2^(1/3) ×
2^(1/3) = (∛2) × (∛2)。
需要注意的是，分数指数运算可能会得到无理数的结果，因此可能需要进行近似运算或使用特定的表达式表示结果。
小学数学分数指数幂课件
拓展练习题
计算： (2^3)^4 = _______．
计算：a^(3/4) × a^(1/3) = _______．
计算：8^(2/3) × 2^(1/3) = _______．
计算：log₂(16) = _______．
综合练习题
计算(2^(-3))^(-2) 计算(1/2)^(-3) 计算(1/3)^(-2) 计算(2^3)^(-1/2)
小学数学分数指数 幂课件
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汇报人：XX
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添加目录项标题 分数指数幂的运算 分数指数幂的练习题
分数指数幂的定义 分数指数幂的应用 分数指数幂的解题技巧
01
添加章节标题
02
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数表示乘方，a^m^n表示a自乘m次后再自乘n次。 幂的运算法则：am*an=a^(m+n)，(a^m)^n=a^(mn)，(ab)^n=a^nb^n。 分数指数幂的性质：分子、分母同乘或除以一个相同的非零实数，分数的值不变。 负整数指数表示倒数，a^(-m)=1/a^m。
分数指数幂在数学建模中的应用
分数指数幂在解 决实际问题中的 应用
分数指数幂在数 学建模中的重要 地位
分数指数幂与其 他数学知识的结 合
分数指数幂在数 学建模中的发展 前景
分数指数幂在解决复杂数学问题中的应用
分数指数幂 知识讲解
【学习目标】 1. 掌握分数指数幂，并能利用分数指数幂进行运算.
2. 会用计算器计算分数指数幂. 【要点梳理】 要点一、分数指数幂
把指数的取值扩大到分数，我们规定 ， ， 其中为正整数，. 上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数. 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. （1）当与互素时，如果为奇数，那么分数指数幂中的底数可为负数.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）. 【总结升华】，其中为正整数，.
举一反三：
【变式】(2015.三台期末)根式（ ，为正整数，＞1）用分数指数幂可
表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D；
解：∵， ∴.
2、 口算： （1）；（2）；（3）；（4）.
【思路点拨】可将分数指数幂表示成方根的形式再求值. 【答案与解析】 解：（1）；
解：（1）；
（2）；
（3）. 【总结Baidu Nhomakorabea华】利用计算器，可直接求出一个分数指数幂的值，要熟悉求 分数指数幂的值与相应的乘方、开方运算之间的关系.
4、 计算： （1） ；（2） ；（3）；（4）
【答案与解析】 解：（1） ；
（2） ； （3）； （4）. 【总结升华】利用有理数指数幂的运算性质解题.
（2）指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂 的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.
分数指数幂的概念及其运算
,a
4
3 4
,a
5
3 5
,a
2 3
.
， b
， c
a 0, b 0, c 0
( p 0)
( m n) 2
(m n), (m n) 4
1 2
(m n), p 6 q 5
3 2
解：（ 1 ）、 (a 0) : a
2 3
B. a 2
1 2
D
3
）
2 0 3
a 3 ； C. a 1 0 ； D. a 2 a 6 .
5 3 4
2.求值： 8
4
a
, 25
1 1 16 , 32 , 5 2 81
8 a3 3 ,
1 2
1 3 3
9 4 =6 (9 4) = 6
1 2
1 2
1 2
52 32 = 225 (5 3)2 225 =
2 = 32
5
4 = 32
5 2
3 =216 2
6
1 3 3
=2
观察思考 请观察上面两组运算的结果并思考（1）上述计算结果有哪些相等关系？ （2）这些相等关系是必然还是偶然？你再举一些例子试试，若是必然关系请 将你的成果与大家分享！
幂的分数运算法则公式
幂的分数运算法则公式
1运算法则
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a^m*a^n=a^(m+n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a^m/a^n=a^(m-n),
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a^m)^n=a^(mn),
积的乘方，等于积里的每个因式分别乘方，然后再把所得的幂相乘，即(a^mb^n)^p=a^(mp)*b^(np).
(其中m,n,p都是整数，且a,b均不为0。)
2口诀
指数加减底不变，同底数幂相乘除。
指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。
积商乘方原指数，换底乘方再乘除。
非零数的零次幂，常值为1不糊涂。
负整数的指数幂，指数转正求倒数。
看到分数指数幂，想到底数必非负。
乘方指数是分子，根指数要当分母。
分数指数幂的运算
引起混乱，例如，(-1)1/3和(-1)2/6应当具有同样
的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的
结果：
1
2
(1)3 3 1=-1； (1)6 6 (1)2 61=1. 这就说明
分数指数幂在底数小于0时无意义.
在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大
2
于0，例如， 3 a2 a 3 (a>0)， 2
(1 8) 6 1 4 3 .
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式
（式中a>0)
a2 a, a33a2, aa.
例4 计算下列各式的值(式中字母全为正数):
21
11
15
(1) (2a3b2)(6a2b3)(3a6b6);
(2) (m14n83)8.
例5 计算下列各式的值：
(1) (3 25 125)4 5;
⒋有理指数幂的运算性质 说 一 质 范 是我 数 数 于 理下个围，明数.们有的上述确对扩：r规 理概，述的定于大若定指念s关3的无到，a了数就条>于实均理实0从分幂.，整有数数数整数 也p数下指集. 是数指 同上指面数R一指数 样后述数的幂个数幂 适，有幂性都无推的 用幂理的质适理的指，广意：运用数运数即到义算. ，算幂即有 对以性性的则当任理后质质运指a意数，，p表算仍数有指指对性然的示
a3a3__18__. __
分数指数幂-知识讲解(1)
分数指数幂
责编：康红梅
【学习目标】
1. 掌握分数指数幂，并能利用分数指数幂进行运算.
2. 会用计算器计算分数指数幂.
【要点梳理】
要点一、分数指数幂
把指数的取值扩大到分数，我们规定
()0m n a
a =≥， ()0m
n
a a -=>，
其中m n 、为正整数，1n >. 上面规定中的m
n a 和m n a -叫做分数指数幂，a 是底数.
整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.
要点诠释：（1）当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数.
（2）指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形
式的运算.
要点二、有理数指数幂的运算性质
设00a b p q >>，，、为有理数，那么
（1）p q p q p q p q a a a
a a a +-=÷=，. （2）()q p pq a a =.
（3）()
p p p p p p a a ab a b b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，.
【典型例题】 类型一、分数指数幂的运算
1、 把下列方根化为幂的形式：
（1 （2 （3
（4【思路点拨】根据分数指数幂的定义解题.
【答案与解析】
解：（11
35=；
（23
43=；
（3
1
2
8
-=；
（4
1
1
5
5
1
2
2
-
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
.
()0
m
n
a a
=≥，其中m n
、为正整数，1
n>.
举一反三：
【变式】(2015.三台期末)
（0
a>，m n
、为正整数，n＞1）用分数指数幂可表示为（）
A.
n
m
a B.
m
n
a C.
n
m
a- D.
m
n
a-
【答案】D；
初中数学3分数指数幂(学生)
分数指数幂
课时目标
1. 理解分数指数幂的意义，会进行方根和分数指数幂间的转化；
2. 理解有理数数指数幂的运算性质，并能熟练应用于计算；
知识精要
1. 分数指数幂
把指数的取值范围扩大到分数，规定：
(0)m n
a a =≥m n
a
-
=(0)a >，其中m ，n 为正整数，1n >.
m n
a 和m n
a
-叫做分数指数幂，a 是底数.
注：当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数. 2. 有理数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 3. 有理数指数幂运算性质
设0,0a b >>，,p q 为有理数，那么 （1）()p q pq a a =，p q p q a a a -÷= （2）()p q pq a a =
（3）(),()p
p
p
p
p p a a ab a a b b
==
4. 分数指数幂的运算
（1）应用幂的运算性质进行分数指数幂的运算.
（2）将方根化成幂的形式后能运用幂的性质，可使运算简便，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.
热身练习
1. 把下列方根化为幂的形式
（1 （2） （3
（4） （5 （6
说明：根据1
n
a =0a ≥）进行求解，但要记住：当n 是偶数时，若0a <，则没有意义. 2. 计算
（1）131()27- （2）2
3
8()27
（3）121()16-
（4）0.57
(1)9
（5）1
2(32) （6）31
21)64(
3. 计算
（1）1
38()27
（2）21331010⨯ （3）11
2
228⨯
（4）111362a a a ÷g （5）2110
分数指数幂及运算
分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m.n N , n 1)
m
an
1
m
an
n
1 am来自百度文库
(a 0, m.n N , n 1)
0的正分数指数幂等于0。0的负分数指数幂没有意 义。
思考：为什么规定a>0?
在把根式化成分数指数幂的时候，一定 要保证底数要化成大于零，负数开奇次方是 有意义的，但先把负号拿到最外边，在把根 式化成分数指数幂。
2.观察下列式子，并总结规律：（a>0）
10
8
1).5 a10 5 a2 5 a2 a 5 .2). a8 a4 2 a4 a 2 .
12
10
3).4 a12 4 a3 4 a3 a 4 .4). a10 a5 2 a5 a 2 .
3.利用2中的规律，表示下列式子：
指数幂运算性质：
(1).aras ars (a 0.r.s Q)
(2). ar s ars (a 0.r.s Q)
(3).abr arbr (a.b 0.r Q)
例和练:
2
例2.求值：8 3
,25
1 2
， 1
5， 16
3 4
2 81
例3.用分数指数幂的形式表示下列各式（a 0）
a3 a;a2 3 a2 ; a3 a
(完整)第三讲分数指数幂
第三讲分数指数幂
第一部分知识梳理
一、分数指数幂的概念
1. 分数指数幂的概念
规定：
1
0),0,,1
m m
n n
m
n
a a a a m n n
a
-
=≥==>>
均为正整数,），其中n
m
a与n
m
a-叫做分数指数幂，a 是底数。
(注：当m和n互素时,n为奇数时,底数a可为负数）
二、有理数指数幂及其运算性质
1.有理数指数幂：整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.
2。有理数指数幂的运算性质:
()
()
,
,
p q p q p q p q
q
p pq
p p
p p p
p
a a a a a a
a a
a a
ab a b
b b
+-
⋅=÷=
=
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
（其中,,0,0
p q a b
>>
为有理数）
三、幂与方根之间的互化及综合运算
1。熟练并准确进行幂与方根之间的互化与综合运算。
第二部分 例题精讲
例2 将下列方根化成幂的形式 （1
（
（3
出题意图:方根化为幂的形式的考查
解析： 本例题是分数指数幂的直接应用,要求学生明白:“方根的根指数”是分数指数中的分母;“方根的倒数”表示为负分数指数幂. 答案： (1）
14
3= .
（2
23
23
166
-
=
= 。
21124
2
2
993
3⨯====。
针对训练 1
将下列方根化成幂的形式 （1
例2 计算:
(1）4
181 (2）1
31()8
- （3）11
5225(32)⨯-
出题意图：分数指数幂运算的考查
解析：要求学生学会利用分数指数幂的运算。其中以第（1）小题为例要求学生首先能够理解：4813=，然后再进行计算。 答案:(1） 1144
4
813
3⨯==.
（2）1
13()33
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3
解析：原式＝
1
3
aa2 ＝
3
a2 ＝
1
3
3 a2
2
33
31
1
＝ a4 ＝(a 4 ) 3 ＝a 4 .
1
答案：a 4
4．用分数指数幂表示下列各式：
3 (1)
x4；
4 (2)
m＋n5(m＋n>0)；
(3) x (x>0)． 3 y2
[例 3] 计算下列各式：
a3b2 3 ab2
能的话，其n次方根有几个？
(2)根据n次方根的定义，根式有哪些性质？
(3)分数指数幂如何定义的？运算法则有哪些？
要求：
（1）小组长首先安排任务先一对一分层讨论，再小组内集中讨论，AA力争 拓展提升，BB、CC解决好全部展示问题。
（2）讨论时，手不离笔、随时记录，争取在讨论时就能将错题解决，未解 决的问题，组长记录好，准备展示质疑。
分数指数幂及其运算
导学案完成情况
小组
优秀个人
1组
2组 李月阳
3组 肖鹏
4组
5组
6组 徐碟 陈雄 蒋慧
7组 唐小峰
8组 雷健明
9组
小组量化 情况分析
1.闪光点：书写 认真，整体完成 情况较好。 2.不足： 部分同学审题不 严密，答题不规 范。 3.改进措施： 逐字逐句仔细审 题，看好要求规 范答题，
探究点一：根式的概念及运算
反思：
当n为奇数时, n次方根情况如何？记：
x n a .例如：3 27 3， 3 27 3
当n为偶数时，正数的n次方根情况？记： n a
例如：81 的4次方根就是 ，
强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，即 n 0 0
n 结论：( n a )n a .当 是奇数时，n an a
n 当
是偶数时，
n
an
| a |
a a
(a 0) (a 0)
探新究点知二：：规实数定指分数数幂的指运数算幂如下
m
a n n am (a 0, m, n N*, n 1)
m
an
1
m
an
1 n am
(a 0, m, n N*, n 1)
指数幂的运算性质:（ a 0,b 0, r, s Q）
(3) a2 (a>0)．
3
a·
a2
6．化简下列各式(a>0，b>0，x>0，y>0)：
(1)(2a－3·b－23)·(－3a－1b)÷(4a－4b－53)；
2 1
5x 3 y2
(2)
1 4
1
x1 y 2
百度文库
5 6
1
x3
1
y6
；
(3)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12.
（3）讨论结束时，将对各组讨论情况进行评价。
展示问题
例1 变式 例2 拓展 例3
高效展示
位置
前黑板 前黑板 前黑板 后黑板 后黑板
展示
3 4 5 6 7
目标： （1）规范认真， 脱稿展示； （2）不但要展示 解题过程，更重要 的是展示规律方法、 注意的问题、拓展； 其他同学讨论完毕 总结完善，A层注 意拓展，不浪费一 分钟； （3）小组长要检 查落实，力争全部 达标.
12 2 3 3
6 3
3
[例 2] 将下列根式化成分数指数幂的形式．
1
(1) a3 a (a>0)；
(2) 1 (x>0)； 3 x5 x22
(3)(
4
2
b3
)－
2 3
(b>0)．
[思路点拨] 根据分数指数幂的意义以及运算性质转化．
3 3．用分数指数幂表示 a a(a>0)＝________.
课堂评价
学科班长：1.优秀小组： 2.优秀个人：
课后完成训练学案并整理巩固
(1)
a
1 4
b
1 2
4
3
b a
(a>0，b>0)；
(2)
614－ 3
338＋ 4
0.062
5＋[(0.064
1 3
)－2.5]
2 5
－π0.
[思路点拨] 将根式化为幂的形式，然后按照幂 的运算性质进行化简计算．
5．求下列各式的值：
(1)
42
93
8131；
(2)2 3×3 1.5× 6 12；
解：
x
y 12 xy 9
(x y)2 (x y)2 4xy 108
又 xy
x y 6 3
1
1
x2 y2
1
1
x2 y2
1
1
1
(x2 y 2 )2
1
1
1
( x 2 y 2 )( x 2 y 2 )
1
x y 2( xy) 2 x y
as ar ars
(ar )s ars
(ab)r ar as
2( 1 )
1
1( 1 )
1
a3
2 a 2 b
15
2 b3
a6 b6
1(1 )
11
a 3
2 b2 3
15
a6 b6
51
55
a 6 6 b6 6
a1b0 1 a
养成好的答题习 惯。
1.准确理解实数指数幂的有关概念，熟练掌握 实数指数幂运算法则，提高应用法则进行计算 化简的能力； 2.小组成员积极讨论、踊跃展示、大胆质疑， 探究实数指数幂运算的规律和方法； 3.以极度的热情投入到课堂学习当中，体验学 习的快乐。
合作探究
内容及目标：
(1)a的n次方根是如何定义的？任何实数都能进行开方运算吗？
精彩点评
展示问题 位置 展示 点评
例1 变式 例2 拓展
前黑板 3 1 前黑板 4 2 前黑板 5 6 后黑板 6 8
例3
后黑板 7 9
让质疑成为最美丽的风景！
目标：
（1）先分析解题思 路，再规范步骤，总 结易错点，给展示题 打分2--5 （2）其它同学认真 倾听、积极思考,重 点内容记好笔记。有 不明白或有补充的要 大胆提出。 （3）力争全部达成 目标，A层多拓展、 质疑,B层注重总结， C层多整理，记忆。 科研小组成员首先要 质疑拓展。