B 功 动能定理 势能 机械能守恒定律

y
F
dy y
mg O
解：依题意可以建立Y轴坐标系，t=0时水桶内水的质 依题意可以建立Y轴坐标系，t=0时水桶内水的质 量为 m0 = 10( kg ) 在提水的过程中，设匀速拉时， 在提水的过程中，设匀速拉时，任何时候拉力在 不断地改变， 不断地改变，所以变力函数为
F ( y ) = ( mg − 0.2 gy )
2.07 × 10 J − 1.47 ×10 J = 0.60 × 10 J
3 3 3
起的是什么作用呢？我们说：第一， 起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克服 摩擦力，用去435J的功，它最后转变成热量；第二， 435J的功 摩擦力，用去435J的功，它最后转变成热量；第二， 余下的165J的功将使木箱的动能增加。 165J的功将使木箱的动能增加 余下的165J的功将使木箱的动能增加。
a
（2）整个过程变力作功为： 在数学形式上 ， 力的功等 整个过程变力作功为： r (b) 于力 F 沿路径L从a 到b 的 A = ( a ) F • d r 线积分。 线积分。
r F
b
∫
功的图示法： 功的图示法：
F
Aab =
∫
b
a
r r F •dr
△r
F-△r 图，A =曲线下的面积
直角坐标系中功的计算 r r r r F = Fx i + F y j + Fz k ( N ) 受力 r r r r 元位移 dr = dxi + dyj + dzk (m) 元功 总功
（2）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算 根据合力所作功等于各分力功的代数和， 出合力所作的功
A = A1 + A2 + A3 + A4 = 165J
（3）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力 如改用起重机把木箱吊上汽车， 在这个拉力的作用下， F ' 至少要等于重力 G 。在这个拉力的作用下， 木箱移动的竖直距离是 l sin 30o 。因此拉力所作的 功为 o 3
一、功 功的概念：功是描写力对质点引起的空间累积效应 1、功的概念：功是描写力对质点引起的空间累积效应 的物理量，一般以作用在质点上的力与质点位移的标 力与质点 的物理量，一般以作用在质点上的力与质点位移的标 积来定义。 来定义。 v 空间积累： 空间积累：功 F
功 动能定理
v F
时间积累： 时间积累：冲量 恒力的功
和能之间的转换； 和能之间的转换； 动能定律只用于惯性系。 (2) 动能定律只用于惯性系。
2 质点系的动能定理
1 1 2 Ai = ∑ miv i 2 − ∑ miv i21 ∑ i i 2 i 2
m1
⇒ ∑ Ai = ∑ Ai外 + ∑ Ai内
i i i
内力和为零,内力功的和是否为零？ (1) 内力和为零,内力功的和是否为零？
对功的认识： 对功的认识： 功是标量， (1) 功是标量，且有正负 (2) 合力的功等于各分力的功的代数和 (3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关 一般来说，
例1：质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲 质量为10kg 的质点， v v 2v 线运动， 线运动，该质点的速为v = 4t i + 16 j ,开始时质 点位于坐标原点。 点位于坐标原点。求在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。 的过程中，外力做的功。
dr v= = 4t 2 i + 16 j ⇒ d r = vdt = ( 4t 2 i + 16 j )dt dt
所以，在此过程中，该力所做的功： 所以，在此过程中，该力所做的功：
A=
∫
F •dr =
∫
1 0
( m 8 t i ) • ( 4 t 2 i + 16 j ) dt
= 4J
例2：一人从10m深的井中提水，开始时桶中 一人从10m深的井中提水， 10m深的井中提水 装有10kg的水。由于水桶漏水，每提升1.0m 10kg的水 装有10kg的水。由于水桶漏水，每提升1.0m 要漏去0.2kg的水。求水被提升到井口时， 0.2kg的水 要漏去0.2kg的水。求水被提升到井口时，此人 所做的功？ 所做的功？
利用动能定理求解。 例6 利用动能定理求解。有一密度为ρ的细棒 长度为l，其上端用细线悬着， ，长度为 ，其上端用细线悬着，下端紧贴着密 的液体表面。现将悬线剪断， 度为ρ、的液体表面。现将悬线剪断，求细棒 在恰好全部没入液体时的沉降速度。 在恰好全部没入液体时的沉降速度。设液体没 有黏性。 有黏性。
θ
2、功的计算： 功的计算：
M a
s
M b
A = Fs cosθ
v v A= F⋅S
变力的功 物体在变力作用下由a 物体在变力作用下由a 运动到了b 运动到了b，该力的功 如何计算? 如何计算? 采用微元分割法
F
b a c
F
r r 位移内力所作的功为： （1）dr 位移内力所作的功为：dr
r r dA = F ⋅ dr
摩擦力f 所作的功A4 分析木箱的受力， 分析木箱的受力，由于木箱在垂直于斜面方向上 没有运动， 没有运动，根据牛顿第二定律得
FN + F sin10 − G cos 30 = 0
o o
FN＝G cos 30 －F sin10 = 727N 由此可求得摩擦力 f = µ N = 145N
o o
A4＝ f l cos180o = −435J
这里 AG + Af = Ek – Ek0 即
1 mgR + A f = mv 2 2
因此，摩擦力的功为： 因此，摩擦力的功为： 1 2 1 Af = mv − mgR = × 2 × 62 − 2 × 9.8 × 4 = −42.4J 2 2
用动能定理解题。一个质量为m 例4 用动能定理解题。一个质量为m的小球系在线 的一端，线的另一端绑在墙壁上，线长为L 的一端，线的另一端绑在墙壁上，线长为L。先拉动 小球使线保持水平静止，然后松手使小球下落。 小球使线保持水平静止，然后松手使小球下落。求线 角时小球的速度和绳的张力。 摆下θ角时小球的速度和绳的张力。
F
300
解：木箱所受的力如图所示 （1）拉力F 所做的功A1
o
FN
F
10°
A1 = Fl cos10 = 2.07 × 10 J
3
f G
30°
重力G所做的功A2
A2 = Fl cos 180 -60 ） -1.47 ×10 J （ =
o o 3
N 正压力 F 所做的功A3
A3 = FN l cos 90o = 0
B
dr = ldα
A = ∫ mg cos α ld α = mgl sin θ
A
由于
Vθ = VB V A = 0
1 2 mgl sinθ = mVθ 2
故 Vθ = 2gl sin θ
装有货物的木箱， 例五 装有货物的木箱 ， 重 G＝980N， 要把它运 ， 上汽车。现将长l 的木板搁在汽车后部， 的木板搁在汽车后部 上汽车。现将长 ＝3m的木板搁在汽车后部，构成一斜 然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30 面 ， 然后把木箱沿斜面拉上汽车 。 斜面与地面成 o 角 ， 木箱与斜面间的滑动摩擦系数 µ =0.20 ， 绳的拉力 与斜面成10o角，大小为700N，如图所示。 木箱所受各力所作的功； 求 ： （ 1 ） 木箱所受各力所作的功 ； （ 2 ） 合外力对木 箱所作的功； 箱所作的功；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车 能不能少做些功？ 能不能少做些功？
例1：质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲 质量为10kg 的质点， v v 2v 线运动， 线运动，该质点的速度为 v = 4t i + 16 j ,开始时 质点位于坐标原点。 质点位于坐标原点。求在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。 的过程中，外力做的功。
v v f1=−f 2
∑ A = − f 1(L − S )
A1 = − f 1L A2 = f 2S
不一定为零
v2 m2 v4 m3 v3
B A
v f2
v1 m4
v f1
B A S
L 与动量定理作比较) (2) 内力的功也能改变系统的动能(与动量定理作比较) 炸弹爆炸过程内力和为零， 例:炸弹爆炸过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的 动能。 动能。
d A = Fx d x + Fy d y + Fz d z
Aab =
∫
xb xa
Fx d x +
∫
yb ya
Fy dy +
∫
zb za
Fz d z
合力的功 v v b v v v b v A = ∫a ( L ) F ⋅ dr = ∫a ( L ) ( F1 +F2 + L + Fn ) ⋅ dr
A′ = Fl sin 30 = 1.47 ×10 J
作的功相比较， 与（1）中F作的功相比较，用了起重机能够少作功。 作的功相比较 用了起重机能够少作功。 我们还发现，虽然F’比 大 但所作的功A’却比 却比A 我们还发现，虽然 比F大，但所作的功 却比 1为 这是因为功的大小不完全取决于力的大小， 小，这是因为功的大小不完全取决于力的大小，还和 位移的大小及位移与力之间的夹角有关。 位移的大小及位移与力之间的夹角有关。因此机械不 能省功，但能省力或省时间，正是这些场合， 能省功，但能省力或省时间，正是这些场合，使我们 对功的概念的重要性加深了认识。现在， 对功的概念的重要性加深了认识。现在，在（1）中推 力F 所多作的功
由变力做功的定义： 由变力做功的定义：
0.2 2 10 A = ∫ ( m − 0.2 y ) gdy = g(my − y ) |0 = 882( J ) 2 0