高中人教a版数学选修1-1课时作业：2-3-1抛物线的标准方程

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数学选修1-1人教新课标A版2-3-1抛物线及其标准方程练习

解析：由抛物线定义知抛物线上的点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，为4，由于点P的坐标为(k，－2)，可知准线是y＝2，且抛物线开口向下，可设为x2＝－2py(p>0)，准线是y＝，所以＝2，解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，把y＝－2代入抛物线方程解得x＝±4，所以k＝±4.
答案：±4
解析：将x＝12代入x2＝4y，得y＝36<39.
∴点A(12,39)在抛物线内部，
抛物线的焦点为(0,1)，准线l为y＝－1.
过P作PB⊥l于点B，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PB|，
由图可知，当P，A，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．
∴|PA|＋|PB|的最小值为|AB|＝39＋1＝40.
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．抛物线的焦点是双曲线4x2－9y2＝36的左顶点，求抛物线的标准方程．
解析：双曲线方程4x2－9y2＝36可化为－＝1，左顶点坐标是(－3,0)，根据题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－＝－3，解得p＝6，所以抛物线标准方程为y2＝－12x.
8．已知点P到F(4,0)的距离和到直线x＝－5的距离相等，求点P的轨迹方程．
解析：由于点M(2,2)在第一象限，抛物线开口向右或向上，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝2p0y(p0>0)，把M(2,2)代入抛物线方程，解得p＝1或p0＝1，则抛物线方程为y2＝2x或x2＝2y.
答案：y2＝2x或x2＝2y
6．设抛物线的顶点在原点，其焦点在y轴上，又抛物线上的点P(k，－2)与焦点F的距离为4，则k等于________．
第二章2.3.1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．抛物线y2＝－16x的焦点坐标是()

高中数学 2.3.1 抛物线及其标准方程课时作业(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题

课时作业18 抛物线及其标准方程知识点一抛物线的定义1.已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆答案 C解析方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹是抛物线．故选C.2．给出下列命题：①到定点F (－1,0)的距离和定直线x ＝1的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线； ②到定点F (2,1)的距离和到定直线3x －2y －4＝0的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线； ③抛物线的焦点一定在y 轴上．其中假命题是________(填序号)．答案 ②③解析由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点F (2,1)在定直线3x －2y －4＝0上，可知动点P 的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题；因为抛物线的焦点可以随建立坐标系的方式不同而不同，因此可以在x 轴上，所以命题③为假命题．3．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．解解法一：设点P 的坐标为(x ，y )，则x －12＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |，所以y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.于是动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．解法二：由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，所以当x <0时，射线y ＝0上的点满足题意；当x ≥0时，已知条件等价于点P 到点F (1,0)的距离与到其直线x ＝－1的距离相等，所以点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .于是动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．知识点二抛物线的标准方程4.抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是________，准线方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18y ＝－18解析抛物线方程即x 2＝12y ，可知焦点在y 轴上，且p 2＝18，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，准线方程为y ＝－18.5．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.解 (1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，则焦点到准线的距离是p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .一、选择题1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝－4xB.x 2＝4yC.y 2＝－4x 或x 2＝4y D.y 2＝4x 或x 2＝－4y答案 C解析设抛物线方程为y 2＝－2p 1x 或x 2＝2p 2y ，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2.故抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A.12 B.1 C.2 D.4答案 C解析由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16. ∵准线与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.故选C.3．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B.1 C.32 D.2答案 D解析易知抛物线的焦点为F (1,0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2，(－2舍去)，把P (1,2)代入曲线y ＝k x(k >0)得k ＝2.故选D.4．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A.y 2＝8x B.y 2＝－8x C.y 2＝4x D.y 2＝－4x答案 A解析设动圆的半径为r ，圆心为O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义，动圆圆心的轨迹方程为y 2＝8x .故选A.5．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A.4B.2C.1D.8答案 C解析如图，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，过A 作AA ′⊥准线l ， ∴|AF |＝|AA ′|， ∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14， ∴x 0＝1.故选C. 二、填空题6．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9.7．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__________．答案 x ＝－54解析 OA 的垂直平分线方程为y ＝－2x ＋52，令y ＝0，得x ＝54，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0. ∴抛物线方程为y 2＝5x ，其准线方程为x ＝－54.8．下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.答案 2 6解析以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为2 6 m.三、解答题9．设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．解当m >0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝3，所以m ＝8.此时抛物线方程为y 2＝8x ；当m <0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x . 所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .10．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为22＋12＝ 5. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±12，因为12＞2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)，由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.。

人教A版选修1-1教案：2.3.1抛物线及其标准方程(含答案)

§2.3.1 抛物线及其标准方程【学情分析】：学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。

经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。

【教学目标】：（1）知识与技能：掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。

（2）过程与方法：在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。

（3）情感、态度与价值观：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。

【教学重点】：抛物线的定义和抛物线的标准方程。

【教学难点】：（1）抛物线标准方程的推导；（2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。

【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入抛物线的定义 1. 椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（122F F a<）的点的轨迹. 2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（122F F a>）的点的轨迹.3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e>1 时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。

点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。

通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。

二、建立抛物线的标准方程如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设(0)KF p p=>,则焦点F的坐标为（2p，0），准线的方程为2px=-．设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是点的集合{}P M MF d==．∵MF=222px y⎛⎫-+⎪⎝⎭；d=2px+．∴2222p px y x⎛⎫-++⎪⎝⎭＝．化简得：22(0)y px p=>．注：22(0)y px p=>叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴，坐标是2p⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是2px=-．探究：抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。

人教A版选修1-1教案：抛物线及其标准方程(含答案)

§2.3.1 拋物線及其標準方程【學情分析】：學生已經學習過橢圓和雙曲線，掌握了橢圓和雙曲線的定義。

經歷了根據橢圓和雙曲線的幾何特徵，建立適當的直角坐標系，求橢圓和雙曲線標準方程的過程。

【教學目標】：（1）知識與技能：掌握拋物線定義和拋物線標準方程的概念；能根據拋物線標準方程求焦距和焦點，初步掌握求拋物線標準方程的方法。

（2）過程與方法：在進一步培養學生類比、數形結合、分類討論和化歸的數學思想方法的過程中，提高學生學習能力。

（3）情感、態度與價值觀：培養學生科學探索精神、審美觀和理論聯繫實際思想。

【教學重點】：拋物線的定義和拋物線的標準方程。

【教學難點】：（1）拋物線標準方程的推導；（2）利用拋物線的定義及其標準方程的知識解決實際問題。

【課前準備】：Powerpoint或投影片【教學過程設計】：教學環節教學活動設計意圖一、復習引入拋物線的定義 1. 橢圓的定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的和等於常數2a（122F F a<）的點的軌跡. 2．雙曲線的定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等於常數2a（122F F a>）的點的軌跡.3．思考：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e>1 時是雙曲線．那麼，當e＝1時它是什麼曲線呢？拋物線的定義：平面內與一個定點和一條定直線l的距離相等的點的軌跡。

點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的准線．學生已經學過橢圓和雙曲線是如何形成的。

通過類似的方法，讓學生瞭解拋物線的形成，從而理解並掌握拋物線的定義。

二、建立拋物線的標準方程如圖，建立直角坐標系xOy，使x軸經過點F且垂直於直線l，垂足為K，並使原點與線段KF的中點重合．設(0)KF p p=>,則焦點F的座標為（2p，0），准線的方程為2px=-．設點M(x，y)是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是點的集合{}P M MF d==．∵MF=222px y⎛⎫-+⎪⎝⎭；d=2px+．∴2222p px y x⎛⎫-++⎪⎝⎭＝．化簡得：22(0)y px p=>．注：22(0)y px p=>叫做拋物線的標準方程．它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸，座標是2p⎛⎫⎪⎝⎭，，准線方程是2px=-．探究：拋物線的標準方程有哪些不同的形式？請探究之後填寫下表。

高中数学选修1-1课时作业11：2.3.1抛物线及其标准方程

§2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程一、选择题1.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则A 点的坐标为( ) A.(1,1)B.(1，±1)C.(1，－1)D.(1,0)2.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A.(－1,0)B.(1,0)C.(0，－1)D.(0,1)3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B.1C.2D.4 4.过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A.y 2＝12xB.y 2＝－12xC.x 2＝12yD.x 2＝－12y5.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A.4B.6C.8D.126.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A.－43B.－1C.－34D.－127.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A.2B.22C.23D.4二、填空题8.若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a ＝________.9.抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是__________.10.设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.11.设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2).若线段F A 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________.三、解答题12.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，且与x 轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程.13.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程.[[答案]]精析1.B2.B3.C4.C5.B6.C7.C8.－18 9.151610.8[[解析]] 如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2).与准线方程x ＝－2联立，得A (－2,43).设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6.∴|PF |＝x 0＋2＝8. 11.324[[解析]] 如图所示，由已知，得点B 的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B (p 4，1).将其代入y 2＝2px ，得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝3p 4＝324.12.解因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0).将点⎝⎛⎭⎫32，6代入方程，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为x ＝－1.由此知双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝⎛⎭⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1. 13.解设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0), 则其准线方程为x ＝－p 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AF |＋|BF |＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8，即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴|QA |＝|QB |，即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0.∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝8x .。

人教新课标版数学高二选修1-1练习2-3-1抛物线及其标准方程

2.3.1一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] ∵定点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴轨迹为直线．2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2，∴x 0＝74，∴y 0＝±72.3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8[答案] B[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1a y ，其准线为y ＝2，∴a <0,2＝1－4a，∴a ＝－18. 4．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12 [答案] B[解析] 本题考查抛物线的定义．由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能 [答案] B[解析] 特值法：取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究．6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y[答案] C[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．因为焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎨⎧ y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．8．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．24[答案] A[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18，∴|PF |＝x 0＋p 2＝20.9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为()A．2 3 B. 3C.12 3 D.14 3[答案] B[解析]p2＝c＝32，∴p＝ 3.10．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()[答案] D[解析]解法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准方程x21a2＋y21b2＝1，y2＝－ab x.因为a>b>0，因此1b>1a>0.所以有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，即说明ax＋by2＝0的图象关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴，排除A.二、填空题12．到点A (－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________．[答案] y 2＝8－8x[解析] 设动点坐标为(x ，y )，由题意得(x ＋1)2＋y 2＝|x －3|，化简得y 2＝8－8x .13．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．[答案] y 2＝－20x[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，又p ＝10，∴y 2＝－20x .14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y 2＝2x 的准线和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．[解析] 设圆心坐标为(a ，b )，则a >0，b >0.∵y 2＝2x 的准线为x ＝－12，x 216－y 29＝1的渐近线方程为3x ±4y ＝0. 由题意a ＋12＝1，则a ＝12.|3a ±4b |＝5，解得b ＝138或b ＝78，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，138、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，78. 三、解答题16．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB→＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程．(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)[解析] (1)由题意可得PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8化简得x 2＝2y(2)将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2)整理得x 2－2x －4＝0可知Δ＝20>0设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2∴y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4∵OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴OC ⊥OD18．抛物线的焦点F 是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心．(1)求该抛物线的标准方程；(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依次交于A ，B ，C ，D ，求|AB |＋|CD |.[解析] (1)由圆的方程知圆心坐标为(2,0)．因为所求的抛物线以(2,0)为焦点，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .(2)如右图，|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |，又|BC |＝4，所以只需求出|AD |即可．由题意，AD 所在直线方程为y ＝2(x －2)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得⎩⎨⎧ y 2＝8x ，y ＝2(x －2)⇒x 2－6x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4，|AD |＝|AF |＋|DF |＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝x 1＋x 2＋4＝6＋4＝10，所以|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |＝6.[点拨] 本题求出x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得|AD |＝|AF |＋|DF |＝x 1＋x 2＋p ，则简单利落．。

(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-3-1《抛物线及其标准方程》

2 2 y2 y p 1 2 ＝ . x1x2＝2p· 4 2p
p 方法二：设直线 l 的方程为 x＝ky＋2， p x＝ky＋ 2 得 y2－2pky－p2＝0，由 2 y ＝2px
2 2 2 y y y y p 1 2 1 2 则 y1· y2＝－p2，x1x2＝＝ 2p 2＝ . 2p 2p 4
由题意知，点 A(4，－5)在抛物线 x2＝－2py(p>0)上， 16 所以 16＝－2p×(－5),2p＝ 5 . 16 所以抛物线方程为 x ＝－ y. 5
2
水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于 B，B′时，船开始不能通航． 16 5 设 B(2，y′)．由 2 ＝－ 5 ×y′，所以 y′＝－4.
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的
点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的
值．
[解析] 点
p F2，0，
解法一：设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，则焦
m2＝6p 由题设可得 p2 2 m ＋3－2 ＝5
p>0)的焦点坐标是0，－2，准
p 线方程是 y＝2 .
3．过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截
得的线段，称为抛物线的焦点弦． 4．通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴而交抛物线于 A、 B两点的线段，称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于 .
1 依题意有 P′(1，－1)在此抛物线上，代入得 p＝2. 故得抛物线方程为 x2＝－y. 又 B 在抛物线上，将 B(x，－2)代入抛物线方程得 x ＝ 2，即|AB|＝ 2，则|AB|＋1＝ 2＋1，因此所求水池的直径为 2(1＋ 2)m，约为 5m，即水池的直径至少应设计为 5m.

人教A版数学高二选修1-1检测 2-3-1 抛物线及其标准方程

04 课后课时精练时间：40分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( )A ．(8,8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)答案 C解析设P (x P ，y P )，因为点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，所以x P ＝8，y P ＝±8，故选C.2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C解析因为点A 在抛物线的准线上，所以－p 2＝－2，所以该抛物线的焦点为F (2,0)，所以k AF ＝3－0－2－2＝－34. 3．已知双曲线y 2a 2－x 23＝1(a >0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则实数a ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 D解析由y ＝18x 2，得x 2＝8y ，∴焦点坐标为(0,2)．由题意得a 2＋3＝4，又a >0，∴a ＝1.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|成等差数列，则有( )A ．x 1＋x 2＝x 3B ．y 1＋y 2＝y 3C ．x 1＋x 3＝2x 2D ．y 1＋y 3＝2y 2答案 C 解析根据抛物线的定义知|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2.∵|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|成等差数列，∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，∴2x 2＋p ＝x 1＋x 3＋p ，∴2x 2＝x 1＋x 3.5. 如图，南北方向的公路L ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 北偏东60°方向2 3 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路L 和到A 地距离相等，现要在曲线PQ 上某处建一座码头，向A ，B 两地运货物，经测算，从M 到A ，B 修建公路的费用都为 a 万元/km ，那么，修建这两条公路的总费用最低是( )A ．(2＋3)a 万元B ．(23＋1)a 万元C ．5a 万元D ．6a 万元答案 C 解析依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、L 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只需求出B 到直线L 的距离即可．∵B 地在A 地北偏东60°方向2 3 km 处，∴B 到点A 的水平距离为3 km, ∴B 到直线L 的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a 万元，故选C.6．如图动直线l ：y ＝b 与抛物线y 2＝4x 交于点A ，与椭圆x 22＋y 2＝1交于抛物线右侧的点B ，F 为抛物线的焦点，则AF ＋BF ＋AB 的最大值为( )A ．3 3B ．3 2C ．2D ．2 2答案 D解析设直线y ＝b 与x ＝－1的交点为D ，由抛物线定义，可知|AF |＝|AD |，设B (x ，b )，椭圆x 22＋y 2＝1的焦点坐标为(1,0)，可得x 22＋b 2＝1，AF ＋BF ＋AB ＝AD ＋BF ＋AB ＝BD ＋BF＝(x －1)2＋b 2＋x ＋1 ＝(x －1)2＋1－x 22＋x ＋1＝22(2－x )＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＋ 2. 由x ∈(0，2]知，AF ＋BF ＋AB 的最大值为⎝⎛⎭⎪⎫1－22×2＋1＋2＝2 2.二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．答案 2解析 ∵y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，由题意得：p 2＋3＝4，∴p ＝2.8．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.答案 8解析如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6，∴|PF |＝x 0＋2＝8.9．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.答案 1＋ 2解析由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a ＝1－2(舍去)，所以b a ＝1＋ 2.三、解答题(每小题10分，共30分)10．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p 2＝－3， ∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .11．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．解以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系如图．则点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 4. 设隧道所在的抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝－2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，∴2p ＝a . 即抛物线方程为x 2＝－ay ，将(0.8，y 0)代入x 2＝－ay ，得0.82＝－ay 0，∴y 0＝－0.64a .欲使卡车通过隧道，应有y 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4>3，即a 4－0.64a >3. ∵a >0，∴a >12.21.故a 的最小整数值应为13.12．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程．解设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AF |＋|BF |＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8，即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴|QA |＝|QB |，即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0.∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4.从而抛物线方程为y 2＝8x .。

2017版人教A版高中数学选修1-1课时提升作业十五 2-3-1 抛物线及其标准方程探究导学课型含答案精品

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课时提升作业(十五)抛物线及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014·安徽高考)抛物线y=错误！未找到引用源。

x2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2【解析】选A.y=错误！未找到引用源。

x2⇔x2=4y，所以抛物线的准线方程是y=-1.2.(2015·大连高二检测)点M(5，3)到抛物线y=ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A.y=12x2B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2D.y=错误！未找到引用源。

x2或y=-错误！未找到引用源。

x2【解析】选D.分两类a>0，a<0可得y=错误！未找到引用源。

x2，y=-错误！未找到引用源。

x2.3.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.|a|D.-错误！未找到引用源。

【解析】选B.因为y2=ax，所以p=错误！未找到引用源。

，即焦点到准线的距离为错误！未找到引用源。

.故选B.4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口的直径为60cm,灯深40 cm,则抛物线的标准方程可能是( )A.y2=错误！未找到引用源。

xB.y2=错误！未找到引用源。

xC.x2=-错误！未找到引用源。

yD.x2=-错误！未找到引用源。

y 【解析】选C.如果设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则抛物线过点(40,30),302=2p×40,2p=错误！未找到引用源。

,所以抛物线的方程应为y2=错误！未找到引用源。

x,所给选项中没有y2=错误！未找到引用源。

x,但方程x2=-错误！未找到引用源。

y中的“2p”的值为错误！未找到引用源。

高中数学人教A版选修1-1课件2-3-1抛物线及其标准方程1

则|PF|＝x0＋p2＝x0＋3＝9， ∴x0＝6，∴y0＝±6 2.
• 4．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
• (1)准线方程为2y＋4＝0，________.
• (2)过点(3，－4)，________.
• (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上，________.
[答案] (1)x2＝8y 或 y2＝－60x
[解析] ∵p2＝7，∴p＝14， ∵抛物线的焦点在 x 轴上的正半轴上， ∴抛物线的标准方程为 y2＝28x.
• 3．在抛物线y2＝12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是 ________．
[答案] (6，±6 2)
[解析] 设抛物线的焦点 F(3,0)，准线 x＝－3，抛物线上的点 P，满足|PF|＝9，设 P(x0，y0)，
• 1．平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线距上离)_相__等_______的点的轨迹叫做抛物线定，点__F________叫做抛物线的焦点定，直__线__l ______叫做抛物线的准线．
• 2．从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有．
• 对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨迹是一直条线________．
• [方法规律总结] 求抛物线的焦点及准线的步骤： • (1)把解析式化为抛物线标准方程形式； • (2)明确抛物线开口方向； • (3)求出抛物线标准方程中参数p的值； • (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．
跟踪训练
(1)抛物线 C：y＝－x82的焦点坐标为________； (2)抛物线 x2＝－y 的准线方程为________． [答案] (1)(0，－2) (2)y＝14
• (2)根据动圆过点A，且与直线l相切，可知圆心到点A的距离等于它到直线l的距离，由抛物线定义知动圆圆心的轨迹是抛物线．

高中数学人教版A版选修1-1学案：2.3.1 抛物线及其标准方程

2.3.1抛物线及其标准方程[学习目标]1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.知识点一抛物线的定义把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.知识点二抛物线标准方程的几种形式思考(1)抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？答案(1)焦点到准线的距离.(2)不一定.当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线.题型一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.解(1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝－8x . (2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)，将点A (2,3)代入，得32＝m ·2或22＝n ·3， ∴m ＝92或n ＝43.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .反思与感悟求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0). 跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.解(1)方法一∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0).把点(3，－4)分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0). 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 题型二抛物线定义的应用例2如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标.解如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，由图可知，求|P A |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|P A |＋d 的最小值的问题. 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部.设抛物线上动点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72.即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2. ∴点P 坐标为(2,2).反思与感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪训练2已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为() A.172B.2C.5D.92答案A解析如图，由抛物线定义知|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值，则当A 、P 、F 三点共线时， |P A |＋|PF |取得最小值. 又A (0,2)，F (12，0)，∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF | ＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.题型三抛物线的实际应用例3如图所示，一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值.解以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a 4，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， ∵点B 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ·⎝⎛⎭⎫－a 4，解得p ＝a 2， ∴抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .∴点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.解得a >12.21，∵a 取整数， ∴a 的最小整数值为13.反思与感悟以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.跟踪训练3如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以隧道的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)? 解(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，如图所示，因为点C (5，－5)在抛物线上，解得p ＝52，所以该抛物线的方程为x 2＝－5y . (2)设车辆高h 米，则|DB |＝(h ＋0.5)米，故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05米，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.分类讨论思想的应用例4已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且此抛物线上的一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值及抛物线的标准方程.分析由于抛物线的开口方向不确定，因而应注意对抛物线的标准方程形式进行分类讨论，点A (m ，－3)在x 轴下方，从而抛物线的开口可以分向下、向左、向右三种情况，而焦点在x 轴上的情况可以设统一形式y 2＝2ax (a ≠0，当a ＞0时，开口向右，当a ＜0时，开口向左).对于a 的求法可以利用定义法，也可以解方程组.解因为点(m ，－3)在x 轴下方，所以抛物线的开口方向可以向下、向左或向右.当抛物线的开口向下时，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)，此时准线方程为y ＝p2.由抛物线的定义，知p2－(－3)＝5，所以p ＝4，所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y . 将点A (m ，－3)代入方程，得m ＝±2 6.当抛物线的开口方向向左或向右时，设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，由p ＝|a |，知准线方程可统一成x ＝－a2的形式，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ |a 2＋m |＝5，2am ＝9.解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，m 1＝92，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，m 2＝－92，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝9，m 3＝12，⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－9，m 4＝－12，所以y 2＝2x ，m ＝92；y 2＝－2x ，m ＝－92；y 2＝18x ，m ＝12；y 2＝－18x ，m ＝－12.解后反思由于抛物线的标准方程有四种形式，当焦点的位置不确定时，往往要分类讨论.1.抛物线y ＝－18x 2的准线方程是()A.x ＝132B.x ＝12C.y ＝2D.y ＝4 答案C解析将y ＝－18x 2化为标准形式x 2＝－8y ，由此可知准线方程为y ＝2.2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线的方程为()A.y 2＝8xB.y 2＝4xC.y 2＝2xD.y 2＝±8x 答案D解析由题意知，抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .3．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝()A.12B ．1 C.32D ．2 答案 D解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1，2)，代入曲线y ＝kx(k >0)得k ＝2，故选D.4.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是() A.2B.3 C.115D.3716 答案A解析易知直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的长度，其中F (1,0)为抛物线y 2＝4x 的焦点. 由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离 d ＝|4＋6|(－3)2＋42＝2.5.若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.答案4解析由双曲线x 23－16y 2p 2＝1得标准形式为x 23－y 2p216＝1，由此c 2＝3＋p 216，左焦点为(－3＋p 216，0)，由y 2＝2px 得准线为x ＝－p2，∴－3＋p 216＝－p 2， ∴p ＝4.1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).。

2016学年高二人教版数学选修1-1练习：2.3.1抛物线及其标准方程 Word版含答案

►基础梳理1．抛物线的定义及标准方程．(1)平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)抛物线的标准方程(请同学们自己填写下面表格中的内容)：2.关于抛物线的定义．要注意点F 不在直线l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线． 3．关于抛物线的标准方程．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共性与区别在于：(1)p 的几何意义相同，焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数；(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向；(3)焦点的非零坐标是一次项系数的14.,►自测自评1．已知抛物线的焦点是(0，－14)，则抛物线的标准方程是(A)A ．x 2＝－yB ．x 2＝yC ．y 2＝xD ．y 2＝－x2．抛物线x 2＝－16y 的焦点坐标是(0，－4)．3．若动点P 到定点F (－4，0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是抛物线．解析：由抛物线的定义：到定点F 的距离与到定直线距离相等的点的轨迹为抛物线．1．(2013·惠州一模)设抛物线的顶点为原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是(B) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x 2．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其到准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为(D)A ．5 6 B.2534C ．20D ．10解析：依题意设P ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则|PF |＝|PM |＝y 204＋1＝5，∵y 0＝±4，S ΔMPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.3．若动点M (x ，y )到点F (4，0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则M 点的轨迹方程是________．解析：依题意，得点M (x ，y )到点F (4，0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离．∵根据抛物线的定义，知p2＝4，∴p ＝8，故所求的方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x4．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标．解析：由抛物线定义，设焦点为F (－p2，0)．则准线为x ＝p2，过M 作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝10.即p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x . 将M (－9，y )代入抛物线方程得y ＝±6. ∴M (－9，6)，或M (－9，－6)．5．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线相交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解析：设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)．则由抛物线的定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2，又(－3)2＝2pm . 所以，p ＝±1或p ＝±9.故所求抛物线的方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为(B)A ．(1，0) B.⎝⎛⎭⎫0，116 C ．(0，1) C.⎝⎛⎭⎫18，02．顶点为原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(3，－2)，则它的方程是(A)A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．x 2＝43yD ．y 2＝－92x3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为(D)A ．－2B ．2C ．－4D ．44．到定点(3，5)与定直线2x ＋3y －21＝0的距离相等的点的轨迹是(D) A ．圆 B ．抛物线 C ．线段 D ．直线解析：点(3，5)在直线2x ＋3y －21＝0上，所以到点(3，5)与定直线距离相等的点是过(3，5)且与直线垂直的直线．5．已知抛物线关于x 轴对称，它的定点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝(B)A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：利用抛物线的定义求解．由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则M 到焦点的距离为2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2，∴y 0＝±22， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.6．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(B)A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xD ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x ，故选B.7．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________________．解析：设抛物线上的点M (m 2，m )，∵抛物线的准线方程为x ＝－14，根据题意，得（m 2）2＋m 2＝⎪⎪⎪⎪m 2＋14. 解得m ＝±24.答案：⎝⎛⎭⎫18，±248．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________．解析：将圆的方程化为标准方程 (x －3)2＋y 2＝16， ∴圆心为(3，0)，半径r ＝4.又抛物线的准线为x ＝－p2.所以，根据题意，得⎪⎪⎪⎪3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4. ∵p ＞0，∴解得p ＝2.9．已知动点P 到点(3，0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则点P 的轨迹方程为______．解析：由题意可知点P 到(3，0)的距离与到x ＝－3的距离相等，故P 的轨迹是抛物线，p ＝6，∴方程为y 2＝12x .答案：y 2＝12x10．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △PDF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3.11．求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)抛物线上一点P (－5，25)到焦点F (x ，0)的距离为6；(2)过抛物线y 2＝2mx 的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝6. 解析：(1)由题意（－5－x ）2＋（25）2＝6，解得x ＝－1或当x ＝－9时，抛物线焦点为F (－9，0)，其标准方程y 2＝36x ，则(－5，25)不在抛物线上，故舍去．当x ＝－1时，抛物线焦点为F (－1，0)，其标准方程为y 2＝－4x ；故所求抛物线的标准方程为y 2＝－4x .(2)设抛物线的准线为l ，交x 轴于K 点，l 的方程为x ＝－m2，作AA ′⊥l 于A ′，BB ′⊥l 于B ′，则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝|m |，同理|BF |＝|m |.又|AB |＝6，则2|m |＝6，2m ＝±6，故抛物线方程为y 2＝±6x .12．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱宽AB 恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解析：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为(a 2，－a4)，由点B 在抛物线上，得(a 2)2＝－2p (－a4)， p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay . 将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .由点E 到拱底AB 的距离为 a 4－|y |＝a 4－0.64a >3. 解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)．∵a 取正数，∴a 的最小整数值为13 m. ►体验高考1．(2014·安徽卷)抛物线y ＝14x 2的准线方程是(A )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2解析：选A.由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，焦点在y 轴的正半轴上．且2p ＝4，所以p ＝2.因此准线方程为y ＝－p2＝－1.2．(2014·辽宁卷)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为(C )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：∵点A (－2，3)在抛物线C 的准线上，∴p2＝2，∴p ＝4.∵抛物线的方程为y 2＝8x ，则焦点F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，根据斜率公式得k AF＝0－32＋2＝－34.3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝(C ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．8解析：如图，F ⎝⎛⎭⎫14，0，过A 作AA ′⊥准线??∴|AF |＝|AA ′|，∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14，∴x 0＝1.4．(2014·辽宁卷)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为(D )A.12B.23C.34D.43解析：抛物线y 2＝px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2，3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2，0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为86＝43.5．(2013·四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是(D ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1解析：由抛物线方程知2p ＝8⇒p ＝4，故焦点F (2，0)，由点到直线的距离公式知，F 到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|1＋3＝1.故选D.。

高中数学人教A版选修1-1第2章2-3-1抛物线及其标准方程课时测试及解析

高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程2.3.1 抛物线及其标准方程课时测试（1）1.抛物线x2=-16y的焦点坐标是( )A.(0,-4)B.(0,4)C.(4,0)D.(-4,0)【解析】选A.=4,焦点在y轴上,开口向下,焦点坐标应为,即(0,-4).2.抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a,则点M的横坐标是( )A.a+B.a-C.a+pD.a-p【解析】选B.设M(x0,y0),由点M到焦点的距离为a,可得点M到准线x=-的距离也为a,即x0+=a,所以x0=a-.3.若椭圆+=1(p>0)的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p为.【解析】由题意,得-=-,解得p=.答案:4.若抛物线y2=2px(p≠0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则实数p= .【解析】因为椭圆+=1,所以a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=4,故c=2,所以右焦点为(2,0),所以=2,p=4.答案:45.抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M的横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求此抛物线方程和M 点的坐标.【解析】设焦点为F,M点到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即9+=10,所以p=2,所以抛物线方程为y2=-4x.将M(-9,y)代入抛物线的方程,得y=±6.所以M点坐标为(-9,6)或(-9,-6).课时测试（2）一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·四川高考)抛物线y2=4x的焦点坐标是 ( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.【解析】选D.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0).【补偿训练】在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.圆D.双曲线【解析】选A.因为点(1,1)在直线x+2y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.2.(2016·日照高二检测)抛物线y=4x2的焦点坐标是( )A.(0,1)B.(1,0)C. D.【解析】选C.由y=4x2得x2=y,所以抛物线焦点在y轴正半轴上且2p=,所以p=,所以焦点为.【误区警示】本题易忽略抛物线的标准形式,认为2p=4而出错.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( )A.y=-3x2B.y2=9xC.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x【解析】选D.由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=ay,将(1,-3)代入得a=-,所以方程为y=-3x2.4.(2016·成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )A. B. C.1 D.【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点是(1,0),双曲线x2-=1的一条渐近线方程为x-y=0,根据点到直线的距离公式可得d==.【补偿训练】抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是( )A.2B.2C.D.1【解析】选D.抛物线y2=8x的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得d==1.5.(2016·肇庆高二检测)已知M是抛物线y2=2px(p>0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为( )A.1B.1或4C.1或5D.4或5【解析】选B.因为点M到对称轴的距离为4,所以点M的坐标可设为(x,4)或(x,-4),又因为M到准线的距离为5,所以解得或二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是. 【解题指南】根据抛物线的定义求解.【解析】x M+1=10⇒x M=9.答案:97.(2016·烟台高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.【解析】由抛物线方程y2=2px(p>0),得其准线方程为x=-.又圆的方程为(x-3)2+y2=16,所以圆心为(3,0),半径为4.依题意,得3-=4,解得p=2.答案:28.(2016·西安高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为2米.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.根据下列条件求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.【解析】(1)双曲线方程化为-=1,左顶点为(-3,0).由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3,所以p=6,所以方程为y2=-12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2=2px(p≠0),A点坐标为(m,-3).由抛物线定义得5=|AF|=|m+|.又(-3)2=2pm,所以p=±1或p=±9,故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.10.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到1m)【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0).依题意有P′(1,-1)在此抛物线上,代入得p=.故得抛物线方程为x2=-y.点B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,即|AB|=,则|AB|+1=+1,因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5m,即水池的直径至少应设计为5m.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·厦门高二检测)抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2)在此抛物线上,M为线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为( )A.1B.C.2D.【解析】选D.因为点P(2,2)在抛物线上,所以(2)2=2m,所以m=4,P到抛物线准线的距离为2-(-1)=3,F到准线距离为2,所以M到抛物线准线的距离为d==.2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x 的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则= ( )A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得y=±3,所以A(-2,3),B(-2,-3),故=6.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·陕西高考)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义可以求解. 【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-,0),故抛物线y2=2px的准线为x=-,所以=,所以p=2.答案:24.(2016·南昌高二检测)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B 两点,若△ABF为等边三角形,则p= .【解题指南】A,B,F三点坐标都能与p建立起联系,分析可知△ABF的高为p,可构造p的方程解决.【解析】由题意知,△ABF的高为p,将y=-代入双曲线方程得A,B两点的横坐标为x=±,因为△ABF为等边三角形,所以=tan60°,从而解得p2=36,即p=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)5.一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为am,求使卡车通过的a的最小整数值.【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在直线为y轴建立直角坐标系,如图所示,则B点的坐标为,设隧道所在抛物线方程为x2=my,则=m·,所以m=-a,即抛物线方程为x2=-ay.将(0.8,y)代入抛物线方程,得0.82=-ay,即y=-.欲使卡车通过隧道,应有y->3,即->3,由于a>0,得上述不等式的解为a>12.21,所以a应取13.6.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB 不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程. 【解析】设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则其准线为x=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=8,所以x1++x2+=8,即x1+x2=8-p.因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,所以|QA|=|QB|,即=,又=2px1,=2px2,所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0,因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2.故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4.从而抛物线的方程为y2=8x.课时测试（3）(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014·安徽高考)抛物线y=x2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2【解析】选A.y=x2⇔x2=4y，所以抛物线的准线方程是y=-1.2.(2015·大连高二检测)点M(5，3)到抛物线y=ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A.y=12x2B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2D.y=x2或y=-x2【解析】选D.分两类a>0，a<0可得y=x2，y=-x2.3.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )A. B. C.|a| D.-【解析】选B.因为y2=ax，所以p=，即焦点到准线的距离为.故选B.4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口的直径为60cm,灯深40 cm,则抛物线的标准方程可能是( )A.y2=xB.y2=xC.x2=-yD.x2=-y【解析】选C.如果设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则抛物线过点(40,30),302=2p×40,2p=,所以抛物线的方程应为y2=x,所给选项中没有y2=x,但方程x2=-y中的“2p”的值为,所以选项C符合题意.5.(2015·重庆高二检测)O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为( )A.2B.2C.2D.4【解题指南】由|PF|=4及抛物线的定义求出点P的坐标，进而求出面积.【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-，焦点F(，0)，由|PF|=4及抛物线的定义知，P点的横坐标x P=3，从而y P=±2，所以=|OF|·|y P|=××2=2.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·邢台高二检测)若点P到直线y=-1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________.【解析】由题意可知点P到直线y=-3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0，3)为焦点，以y=-3为准线的抛物线，且p=6，所以其标准方程为x2=12y.答案：x2=12y7.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.【解析】由抛物线方程y2=-2px(p>0)，得其焦点坐标为F(-，0)，准线方程为x=，设点M 到准线的距离为d，则d=|MF|=10，即-(-9)=10，所以p=2，故抛物线方程为y2=-4x.将M(-9，y)代入抛物线方程，得y=±6，所以M(-9，6)或M(-9，-6).答案：(-9，-6)或(-9，6)【补偿训练】(2015·皖南八校联考)若抛物线y2=2x上一点M到坐标原点O的距离为，则点M到抛物线焦点的距离为________.【解析】设M(x，y)，则由得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍).所以点M到抛物线焦点的距离d=1-=.答案：8.已知F是抛物线y=x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________.【解析】由y=x2得x2=4y，所以F(0，1).设线段PF的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则即又P(x0，y0)在x2=4y上，故4x2=4(2y-1)，得x2=2y-1.答案：x2=2y-1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·吉林高二检测)已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程.【解题指南】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求.【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y. 10.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米.一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解题指南】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y轴重合，问题转化为求出x=2时的y值.【解析】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图).设抛物线的方程是x2=-2py(p>0)，由题意知(4，-5)在抛物线上，故：16=-2p×(-5)⇒p=，则抛物线的方程是x2=-y(-4≤x≤4)，设水面上涨，木船两侧面与抛物线形拱桥接触于B，B′时，木船开始不能通航.设B(2，y′)，所以22=-y′⇒y′=-，即水面与拱顶相距为0.75+=2(米)，故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船开始不能通航.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·武汉高二检测)若点P到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则点P的轨迹方程为( )A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y【解析】选C.由题意知点P到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，因此点P到点F(0，2)的距离与到直线y+2=0的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y=-2为准线的抛物线，其方程为x2=8y.2.已知点A(2，0)，抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|= ( )A.2∶B. 1∶2C.1∶D.1∶3【解题指南】利用射线FA的斜率和抛物线的定义求解.【解析】选C.射线FA的方程为x+2y-2=0(x≥0).由条件知tanα=，所以sinα=，由抛物线的定义知|MF|=|MG|，所以==sinα==.故选C.二、填空题(每小题5分，共10分)3.边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点,且过A,B的抛物线方程是________.【解析】根据题意可知抛物线以x轴为对称轴,当开口向右时,A(,),设抛物线方程为y2=2px,则有=2p·,所以p=.抛物线方程为y2=x,同理可得,当开口向左时,抛物线方程为y2=-x.答案:y2=±x4.(2015·上饶高二检测)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是________.【解析】由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-1.答案:-1三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·温州高二检测)已知点A(0，4)和抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，若线段FA的中点B 在抛物线上，求B到该抛物线准线的距离.【解析】依题意可知F的坐标为(，0)，所以B的坐标为(，2)代入抛物线方程得p=2，所以抛物线准线方程为x=-，所以点B到抛物线准线的距离为+=.6.抛物线y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y=2x，斜边长为5，求此抛物线方程.【解析】设抛物线y2=2px(p>0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y=2x，另一直角边所在直线方程为y=-x.解方程组可得点A的坐标为(，p)；解方程组可得点B的坐标为(8p，-4p). 因为|OA|2+|OB|2=|AB|2，且|AB|=5，所以(+p2)+(64p2+16p2)=325.所以p=2，所以所求的抛物线方程为y2=4x.。

课时讲练通2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1课时达标训练 2-3-1抛物线及其标准方程含解析精品

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课时达标训练1.抛物线y=-错误！未找到引用源。

x2的准线方程是( )A.x=错误！未找到引用源。

B.x=错误！未找到引用源。

C.y=2D.y=4【解析】选C.将抛物线y=-错误！未找到引用源。

x2化为标准形式为x2=-8y,则p=4,所以该抛物线的准线方程为y=2.2.若抛物线y2=2px上横坐标为6的点的焦半径为10,则顶点到准线的距离为( ) A.1 B.2 C.4 D.8【解析】选C.依抛物线的定义得6+错误！未找到引用源。

=10,顶点到准线的距离为错误！未找到引用源。

,即4.3.以抛物线y2=-8x的焦点为圆心,且和抛物线准线相切的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=8B.x2+(y-2)2=4C.(x+2)2+y2=16D.x2+(y+2)2=16【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点为(-2,0),准线方程为x=2,则圆的半径r=4.故所求圆的方程为(x+2)2+y2=16.4.焦点在直线y=3x-6上的抛物线的标准方程是.【解析】y=3x-6与x轴的交点为(2,0),与y轴的交点为(0,-6),所以当(2,0)为焦点时,y2=8x,当(0,-6)为焦点时,x2=-24y.所以y2=8x或x2=-24y.答案:y2=8x或x2=-24y5.已知点A(0,-2),直线l:y=2,则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为.【解析】设圆心为C,则|CA|=d,其中d为点C到直线l的距离,所以C 的轨迹是以A为焦点, l为准线的抛物线.所以所求轨迹方程为x2=-8y.答案:x2=-8y6.求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且经过P(-2,-4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标.【解析】由已知设抛物线的标准方程是x2=-2py(p>0)或y2=-2px(p>0),把P(-2,-4)代入x2=-2py或y2=-2px得p=错误！未找到引用源。

人教A版高中数学选修1-1 2-3-1 抛物线及其标准方程素

抛物线及其标准方程---------学习要点抛物线定义平面内，到一个和的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的，F 到直线l 的距离简称焦准距. 注意：定点F 在定直线l 外.抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：注：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0要点1：抛物线的定义1.动点),(y x P 满足下列条件54-3)1(22y x y x =+-,则动点P 的轨迹是（）A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线解析：因为动点P 到定点F （1,0）和定直线l :3x 4y 0-=的距离相等,所以动点的轨迹是抛物线总结：1.平面内，到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线，F 到直线l 的距离简称焦准距.2.注意：定点F 在定直线l 外.3.垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，得到的截面是一个圆.如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到一些不同的图形:椭圆、双曲线、抛物线等，其中当截面平行于轴时，所得的图形就是抛物线. 因此，通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线. 要点2：抛物线定义的应用2．已知点P 在抛物线28x y =上，点(2,4)A -，F 是焦点，则||||PF PA +的最小值为_____________．【解析】因为2(2)84-<⨯，所以点A 在抛物线内部．如图，过点P ，A 分别作准线l 的垂线，垂足分别为Q ，B ，则||||PF PQ =，易知当A ，P ，Q 三点共线时，||||PF PA +最小，即||AB ．易得点A 到准线l 的距离为4()4(2)62p--=--=．【名师点睛】若点A 在抛物线外部，连接AF ，则AF 与抛物线的交点P 可使||||PF PA +最小．。

2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1习题：2.3.1 抛物线及其标准方程 Word版含解

2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程课后篇巩固提升1.对抛物线x2=4y,下列描述正确的是()A.开口向上,焦点为(0,1)B.开口向上,焦点为C.开口向右,焦点为(1,0)D.开口向右,焦点为x2=4y开口向上,焦点为(0,1),因此选A.2.在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是()A.直线B.抛物线C.圆D.双曲线(1,1)在直线x+2y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1),且与直线x+2y=3垂直的直线.3.已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,则抛物线的标准方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8xy2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,根据抛物线的定义可得,即p=1,所以抛物线的标准方程为y2=2x.故选B.4.点M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,FM⊥x轴,且|OM|=,则抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-2C.y=-1D.y=-2y2=2px的焦点为F,M为抛物线上的点,且FM⊥x轴,∴M;又|OM|=,∴+p2=5,解得p=2,=1,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选A.5.已知双曲线=1(m>0)的一条渐近线方程为y=x,它的一个焦点恰好在抛物线y2=ax的准线上,则实数a的值等于()A.±24B.±12C.±D.±,可得=3,解得m=9,∴双曲线的方程为=1,焦点坐标为(±6,0),∴=±6,∴a=±24.6.若抛物线C:y=ax2经过点(4,2),则抛物线焦点坐标为.2=a·42,所以a=.因此抛物线方程为x2=8y,其焦点坐标为(0,2).7.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是.y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴负半轴.2=8x或y=0(x<0)8.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.,不妨设B,F,|FD|=p,可解得B.在Rt△DFB中,tan 30°=,所以,解得p=6.9.根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5.因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且-=-2,所以p=4,所以抛物线的标准方程是x2=-8y.(2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上,所以抛物线的标准方程是y2=-10x.10.已知点A(12,6),点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1.(1)求点M的轨迹方程G;(2)在抛物线G上是否存在一点P,使点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和取得最小值?点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1,即“点M到点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离”,所以点M的轨迹是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,此时,p=2.故所求抛物线方程G为x2=4y.(2)如图,易判断点A在抛物线外侧,设P(x,y),则点P到x轴的距离即为y值,设点P到准线y=-1的距离为d,则y=d-1.故|PA|+y=|PA|+d-1,由抛物线定义知|PF|=d.于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1.由图可知,当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取最小值13.此时直线AF的方程为y=x+1,由联立得点P坐标为.∴在抛物线G上存在点P,使得所求距离之和最小为13.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高中数学人教A版选修1-1优化练习2.32.3.1抛物线及其标准方程含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C.答案：C2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A. 答案：A3．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：根据抛物线定义可知，M 点的轨迹是以F 为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，p ＝8，∴其轨迹方程为y 2＝16x ，故选D. 答案：D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：抛物线的焦点⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为|a ×p 2|a 2＋b 2＝2，即ap ＝4a 2＋b 2＝4c ，所以c a ＝p 4，双曲线的离心率为c a ＝2，所以c a ＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .故选D.答案：D5．(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.答案：A6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．解析：依题意得，直线x ＝－p 2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x ＝－p2的距离等于半径4，于是有3＋p2＝4，即p ＝2.答案：27．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，定点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得 1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324.答案：3248．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是________．解析：设Q (x 0，±2x 0)(x 0≥0)，则|PQ |＝(x 0－a )2＋4x 0≥|a |对∀x 0≥0恒成立，即(x 0－a )2＋4x 0≥a 2对∀x ≥0恒成立．化简得x 20＋(4－2a )x 0≥0.当4－2a ≥0时，对∀x 0≥0，x 20＋(4－2a )x 0≥0恒成立，此时a ≤2；当4－2a ＜0时，0＜x 0＜2a －4时不合题意．答案：(－∞，2]9．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解析：如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，所以|PQ |＝r ＋1，又|AP |＝r ＋1. 所以|AP |＝|PQ |.故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点．直线x ＝2为准线． ∴p2＝2.∴p ＝4. ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，依题意有P (－1，－1)，在此抛物线上，代入得p ＝12，故得抛物线方程为x 2＝－y . 又因为B 点在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2，即|AB |＝2，则水池半径应为|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2)，约为5 m ，即水池的直径至少应设计为5 m.[B 组能力提升]1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3| D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 答案：C2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5 解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， ∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋p2＝3，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，∵M (2，y 0)在抛物线上，∴y 20＝8，∴|OM |＝22＋y 20＝22＋8＝2 3.答案：B3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于________．解析：由抛物线定义知1＋p2＝5，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，所以m 2＝16， ∴m ＝4，即M (1,4)，又因为A (－a ，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±1a x ，由题意知41＋a ＝1a，∴a ＝19.答案：194．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba ＝________.解析：∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎫a2＋b ，b . 又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝⎛⎭⎫a 2＋b ，解得b a ＝2＋1. 答案：2＋15．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解析：(1)证明：设A (－y 21，y 1)，B (－y 22，y 2)．则y 1＝k (－y 21＋1)，y 2＝k (－y 22＋1)，消去k 得y 1(1－y 22)＝y 2(1－y 21)．∴(y 2－y 1)＝y 1y 2(y 1－y 2)，又y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－1，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝y 1y 2(1＋y 1y 2)＝0， ∴OA ⊥OB .(2)S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，得ky 2＋y －k ＝0， ∴S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|＝121k 2＋4＝10， ∴k ＝±16.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)．试问：(1)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等？ (2)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到x 轴的距离与点P 到准线的距离相等？解析：(1)假设在抛物线上存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等．那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的．所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等．这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.。

2020-2021学年人教A版数学选修1-1配套学案：2.3.1 抛物线及其标准方程含答案

2．3抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程内容标准学科素养 1.理解并掌握抛物线的定义．2.理解并掌握抛物线的标准方程．3.掌握求抛物线标准方程的方法．4.会用抛物线的定义解决简单的轨迹问题.发展逻辑推理提高数学运算能力授课提示：对应学生用书第39页[基础认识]知识点一抛物线的定义预习教材P 56－57，思考并完成以下问题我们知道，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题．那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？如图，点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线．H 是l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M .拖动点H ，观察点M 的轨迹．你能发现点M 满足的几何条件吗？提示：可以发现，点M 随着H 运动的过程中，始终有|MF |＝|MH |，即点M 与定点F 和定直线l 的距离相等．知识梳理抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．这个定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．知识点二抛物线的标准方程知识梳理抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2 y 2＝－2px (p >0)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，－p 2 y ＝p 2 1．若动点P 到点(3,0)的距离和它到直线x ＝－3的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．抛物线C ．直线D ．双曲线答案：B2．抛物线x 2＝12y 的开口向________，焦点坐标为________，准线方程是________．答案：上⎝⎛⎭⎫0，18y ＝－183．若抛物线的准线方程是x ＝5，则其标准方程为________，焦点坐标为________．答案：y 2＝－20x (－5,0)授课提示：对应学生用书第40页探究一求抛物线的标准方程[阅读教材P 58例1](1)已知抛物线的标准方程是y 2＝6x ，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F (0，－2)，求它的标准方程．题型：(1)利用标准方程，求焦点与准线．(2)根据条件求抛物线的标准方程．方法步骤：①先求出p 的值，从而写出焦点坐标及准线方程．②先确定焦点的位置，求出p 的值，写出抛物线的标准方程．[例1]分别求符合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．[解析](1)设抛物线的标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，又点(－3,2)在抛物线上，∴2p ＝43或2p ＝92， ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y . (2)当焦点在y 轴上时，已知方程x －2y －4＝0，令x ＝0，得y ＝－2，∴所求抛物线的焦点为(0，－2)，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，由p 2＝2，得2p ＝8， ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y ；当焦点在x 轴上时，已知x －2y －4＝0，令y ＝0，得x ＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由p 2＝4，得2p ＝16， ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .综上，所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x .方法技巧1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型；(2)求参数p 的值；(3)确定抛物线的标准方程．2．当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y 2＝ax 或x 2＝ay (a ≠0)的形式，以简化讨论过程．跟踪探究1.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(－2,0)；(2)准线为y ＝－1；(3)过点A (2,3)；(4)焦点到准线的距离为52. 解析：(1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p 2＝2，∴p ＝4， ∴抛物线的标准方程为y 2＝－8x .(2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p 2＝1， ∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)，将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3，∴m ＝92或n ＝43. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝92x 或x 2＝43y . (4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y . 探究二抛物线定义的应用[教材P 59练习3题](1)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点距离是a ⎝⎛⎭⎫a >p 2，则点M 到准线的距离是________，点M 的横坐标是________；(2)抛物线y 2＝12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：(1)由抛物线的定义知，点M 到准线的距离为a ，p 2＋x M ＝a ，∴x M ＝a －p 2. (2)由y 2＝12x 知p ＝6，准线方程为x ＝－3，设点P (x ，y )，由抛物线定义可知x ＋3＝9，x ＝6，将x ＝6代入y 2＝12x ，得y ＝±62，所以满足条件的点为(6，62)或(6，－62)．答案：(1)aa －p 2(2)(6,62)或(6，－62)[例2]动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上都不对 [解析]把方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|转化为x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5，设动点M (x ，y )，上式可看作动点M 到原点的距离等于动点M 到直线3x ＋4y －12＝0的距离，所以动点M 的轨迹是以原点为焦点，以直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．[答案]C方法技巧抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪探究2.(1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：14＋x 0＝54x 0，∴x 0＝1. 答案：A(2)若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则P 点的轨迹方程是( )A ．y 2＝－16xB ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝32 解析：若点P 到F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则P 到F (4,0)的距离与它到直线x ＋4＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点以x ＋4＝0为准线的抛物线，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x .故选C.答案：C探究三抛物线的实际应用[阅读教材P 58例2]一种卫星接收天线的轴截面如图所示(图见教材图2.3－3)．卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径(直径)为4.8m ，深度为0.5m ．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．题型：抛物线在实际问题中的应用．方法步骤：①建立适当的直角坐标系，设出所求抛物线的标准方程．②根据题中条件得出抛物线上一点的坐标，代入抛物线方程即可求出P 的值，从而得到抛物线的标准方程和焦点坐标．[例3]如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m ，点P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)[解析]如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．依题意有P (－1，－1)在抛物线上，代入得p ＝12.故得抛物线方程为x 2＝－y .又点B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2，即|AB |＝2m ，则|O ′B |＝|O ′A |＋|AB |＝(2＋1)m ，因此所求水池的直径为2(1＋2)m ，约为5m ，即水池的直径至少应设计为5m.方法技巧解决实际问题时，首先找到合适的数学模型，把它转化为数学问题，通过我们学过的数学知识进行求解．利用抛物线模型解决问题时，关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程，一般都是将抛物线的顶点作为坐标原点，将对称轴作为x 轴或y 轴建立坐标系，其次要注意抛物线上关键点的坐标，并善于运用抛物线的对称性进行求解．跟踪探究3.河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高0.75m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解析：如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y . 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．授课提示：对应学生用书第41页[课后小结](1)利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题．(2)在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p 的值)”的程序求解．[素养培优]1．忽视抛物线标准方程的形式致误求抛物线x ＝－ay 2(a ≠0)的准线方程和焦点坐标．易错分析直接将x ＝－ay 2(a ≠0)作为标准方程来求解．考查直观想象及逻辑推理的数学素养．自我纠正抛物线x ＝－ay 2(a ≠0)的标准形式是y 2＝－1ax ，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－14a ，0，准线方程为x ＝14a. 2．忽略对焦点位置的讨论致误顶点在原点，焦点在x 轴上，过焦点作垂直于x 轴的直线交抛物线于A ，B 两点，AB 的长为8，求抛物线的方程．易错分析解题时只考虑到焦点在x 轴正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x 轴的负半轴上，因此漏解．考查直观想象及逻辑推理的数学素养．自我纠正由于抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，因此设所求抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)．因为|AB |＝|2a |＝8，所以2a ＝±8.故所求抛物线的方程为y 2＝±8x .。