浅析由卷积微积分性质所得推论的应用条件

合集下载

卷积神经网络的基本原理与应用

卷积神经网络的基本原理与应用近年来，卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）作为一种前沿的人工智能技术，已经在图像识别、语音识别、自然语言处理等领域取得了重要的突破和应用。

本文将重点介绍卷积神经网络的基本原理和其在不同领域的应用。

首先，我们来了解一下卷积神经网络的基本原理。

卷积神经网络是一种由多层神经元组成的网络模型，其最基本的组成部分是卷积层、池化层和全连接层。

其中，卷积层是卷积神经网络的核心，用于提取输入数据的特征。

在卷积层中，通过使用一系列滤波器（也称为卷积核）对输入数据进行卷积运算，从而将原始数据转化为具有更高级别的特征表示。

卷积运算的过程包括滑动窗口在输入数据上的移动和每个位置的元素乘法累加操作。

通过不断重复这一过程，卷积神经网络可以从低级别的特征提取到高级别的抽象特征，使得网络能够更好地理解和表示输入数据。

在卷积神经网络中，池化层（Pooling Layer）用于降低特征图的维度，减少参数数量，从而提高网络的计算效率。

常见的池化操作包括最大池化（Max Pooling）和平均池化（Average Pooling），其中最大池化会选取每个池化窗口区域内的最大值作为输出值，而平均池化则计算每个池化窗口区域内的平均值。

在卷积神经网络的末尾，通常会通过全连接层将卷积层和池化层的输出与输出层相连，用于进行最终的分类或回归任务。

全连接层的每个神经元都与上一层的所有神经元相连接，通过学习权重参数，可以更好地适应不同的数据特征和任务需求。

接下来，我们来看一下卷积神经网络在不同领域的应用。

首先是图像识别领域，在图像分类任务中，卷积神经网络可以通过学习图像中的纹理、形状等特征，有效地识别出不同的物体。

例如，卷积神经网络在ImageNet图像识别竞赛中取得了显著的成绩，超过了传统的机器学习算法。

此外，卷积神经网络还可以用于图像分割和目标检测等任务，通过对每个像素或感兴趣区域进行分类或标记，实现对图像的精细化处理和理解。

函数的卷积及其公式的应用

函数卷积及其应用摘要卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个〔或多个〕函数之积进展变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。

本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。

关键词卷积卷积公式性质应用1引言卷积是在信号与线性系统的根底上或背景中出现的。

狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了"冲击函数〞这一符号，而卷积的诞生正是为了研究"冲击函数〞效劳的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。

卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。

本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。

2卷积的定义和性质 2.1卷积的定义〔根本内涵〕设:)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，作积分:()()τττd x g f -⎰+∞∞- 随着*的不同取值，这个积分就定义了一个新函数)(x h ，称为函数()x f 与)(x g 的卷积，记为)(x h =)()(x g x f *(或者()()x g f *) .注(1)如果卷积的变量是序列()()n h n x 和，则卷积的结果：∑+∞-∞=*=-=i n h n x i n h i x n y )()()()()(，其中星号*表示卷积。

当时序n=0时，序列h(-i)是)(i h 的时序i 取反的结果;时序取反使得)(i h 以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，n 是使)(i h -位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果. 〔2〕如果卷积的变量是函数)(t x 和)(t h ，则卷积的计算变为：)()()()()(t h t x dp p t h p x t y *=-=⎰+∞∞-，其中p 是积分变量，积分也是求和，t 是使函数)(p h -位移的量，星号*表示卷积.〔3〕由卷积得到的函数g f *一般要比g f 和都光滑.特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积g f *也是光滑函数. 2.2卷积的性质性质〔交换律〕设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则)()()()(x f x g x g x f *=*. 证=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-令τ-=x u ，则u x -=τ，τd du -= 所以=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()du u g u x f ⎰-∞∞+--=()()du u x f u g ⎰+∞∞--=)()(x f x g *性质〔分配律〕设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]x h x g x f +*)()()()()(x h x f x g x f *+*=.证根据卷积定义()()[]x h x g x f +*)(=()()()[]ττττd x h x g f -+-⎰+∞∞-=()()τττd x g f -⎰+∞∞-+()()τττd x h f -⎰+∞∞-性质〔结合律〕设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]()x h x g x f **()()()[]x h x g x f **=.证令()()=*=x g x f x m )(()()τττd x g f -⎰+∞∞-，()()()()()dv x h v x g x h x g x s ⎰+∞∞--=*=，则()()[]()x h x g x f **=()()x h x m *=()()du u x h u m -⎰+∞∞-=()()()du u t h d u g f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞-+∞∞-τττ=()()τττd du u t h u g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(令v x u u x v -=-=则,，上式=()()τττd dv v h v x g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)( =()()du u x s f -⎰+∞∞-τ=()()x s x f *性质()()x g x f x g x f *≤*)()(. 证明 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-≤()()τττd x g f -⋅⎰+∞∞-=()()x g x f *.性质〔微分性〕设)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，则())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=*. 证明 ()()()()()τττττd h dxx df d dx x dg x f x g x f dx d ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=-=*-)()( 即意义卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果一样. 性质〔积分性〕设()()()x h x g x f *=，则()()()()()()()x h x g x h x g x f11)1(---*=*=.意义卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果一样. 推广 ()()()()()()()()x h x g x h x g x fn n n *=*=.性质〔微积分等效性〕设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则()()ττd g x f x g x f x⎰∞-*'=*)()(.例2.1设()0010≥<⎩⎨⎧=x x x f ，()000≥<⎩⎨⎧=-x x e x g x ，求()x g x f *)(.解由卷积定义知()x g x f *)(=()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()t t t tx e e e d e-----=-=⋅⎰1110ττ例2.2 设函数试计算其卷积()()()t f t f t y 21*=. 解由卷积定义知所以()()()t f t f t y 21*==()()τττd t f f -⎰+∞∞2-1显然这个积分值与函数()ttt ><⎩⎨⎧=-τττμ01，所取非零值有关，即与参数t 的取值有关.()1当t 0<时，因30<<<τt ，所以()0=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==003)(=⋅⎰--ττd e t()2当30<<t 时，只有t <<τ0时，有()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==t tt e d e ----=⎰10)(ττ()3当3>t 时，因为t <<<30τ，所以()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==()t t e e d e ----=⎰1330)(ττ综上所述，有()()()t f t f t y 21*==()33001-103><<<⎪⎩⎪⎨⎧⋅---t t t e e e tt3.卷积定理3.1 时域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω[],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()()()(2121~ωωF F t f t f s ⋅=*上式称为时域卷积定理，它说明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明 []=*)()(21~t f t f s ()()dt e d t f f t j ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21 =()()τττωd dt e t f f tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞--+∞∞-21=()()τωτωd e F f t j -+∞∞-⎰21=()()ττωωd e f F t j -+∞∞-⎰12=()()=⋅ωω12F F ),()(21ωωF F ⋅ 3.2频域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω[],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *=上式称为频域卷积定理，它说明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.证明 ()()()()ωππωωπωd e du u w F u F F F s tj ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*21211-~212121 于是例3.1 求积分方程的解，其中()()t f t h ,为函数，且()()()t h t f t g 和,的Fourier 变换都存在. 解假设()[](),ωG t g F =()[](),ωH t h F =()[](),ωF t f F = 由卷积定义知现对积分方程两端取Fourier 变换可得解得所以原方程的解为例3.2 求常系数非齐次线性微分方程的解，其中()t f 为函数. 解设()[]()[]()ωωF t f F Y t y F ==),(现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得解得所以原方程的解由卷积定理得=()()τττd e f t f et t--∞+∞--⎰=*212. 例3.3求微分积分方程的解.其中c b a t ,,,+∞<<∞-均为常数. 解设()[]()()[]()ωωH t h F X t x F ==,现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得解得()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=++=ωωωωωωωc a i b H i c b ai H X ，所以原方程的解4.卷积公式及其应用与推广 4.1卷积公式设X 和Y 的联合密度函数为）y x f ,(，则Y X Z +=得概率密度为证明 Y X Z +=的分布函数是：⎰⎰=≤+=≤=Dz xy f p z Z p Z F )()z Y X ()()(其中D ={}z y x y x ≤+:),(于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+=+∞∞--∞-≤+-===zy x u yz zy x Z dudy y y u f dxdyy x f dxdy y x f Z F ),(),(),()(=⎰⎰∞-+∞∞--z dydu y y u f ),(从而⎰+∞∞--='=dy y y z f Z F Z f z z ),()()(由X 和Y 的对称性知⎰+∞∞--='=dx x x z f Z F Z f z z ),()()(。

卷积公式的推广及应用2

----------------------------------------------------------------------------- 卷积公式的推广及应用摘要：将概率论中用于求两个连续型随机变量和的概率密度函数的卷积公式进行了推广，推广后的公式可以用于求形如()0≠+=ab bY aX Z 的二维连续型随机变量函数的概率密度函数。

对推广后的公式首先给出了证明，然后将推广后的公式应用于求解具体的算例，从而验证了公式的有效性。

关键词：随机变量；二维随机变量函数;概率密度函数；卷积公式； 1. 引言：大学本科阶段大多理科及工科专业要开设概率论与数理统计课程。

在概率论的学习中，求二维连续型随机变量函数的概率密度函数既是一个重点问题也是一个难点问题。

很多概率教材都给出了求形如Y X Z +=的二维连续型随机变量函数Z 的概率密度函数()z f 的卷积公式【1】。

但是对于形如()0≠+=ab bY aX Z 的二维连续型随机变量函数的概率密度函数在求解的时候并没有给出公式，在求解时一般采用的方法是现根据定义求出Z 的分布函数再求其密度函数。

也有的概率书上给出了变量变换法。

本文旨在将求二维连续型随机变量函数的卷积公式进行推广，从而给出求形如()0≠+=ab bY aX Z 的二维连续型随机变量函数的概率密度函数的公式以简化计算。

2. 命题及证明命题：设(),X Y 是二维连续型随机变量，其密度函数为(),f x y ，则随机变量函数()0≠+=ab bY aX Z 的密度函数为()1,z by fz f y dy a a +∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰或者 ()1,z ax fz f x dx bb +∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰证明：（情形一）0,0a b >>时，Z 的分布函数为 ()()(),a x b yzFz P a Xb Yz fxy d x d y+≤=+≤=⎰⎰（*）当0,0a b >>时，ax by z +≤所表示区域如图一：从而可将二重积分转化为下面的二次积分进行求解：（*）=(),z bya dy fx y dx -+∞-∞-∞⎰⎰或者(),z axb dx fx y dy -+∞-∞-∞⎰⎰对分布函数()F z 求导可得到如下密度函数：()1,,z by z by z by f z f y dy f y dy a aa a +∞+∞-∞-∞---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰或者()1,,z ax z axz axfz f x dx f x dx b b b b +∞+∞-∞-∞'---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰图一(情形二) 0,0a b ><时，Z 的分布函数为 ()()(),a x b yzFz P a Xb Yz fxy d x d y+≤=+≤=⎰⎰（*）当0,0a b ><时，ax by z +≤所表示区域如图二：从而可将二重积分转化为下面的二次积分进行求解：（*）=(),z bya dy fx y dx -+∞-∞-∞⎰⎰或者(),z ax bdx fx y dy +∞-∞--∞⎰⎰对分布函数()F z 求导可得到如下密度函数：()1,,z by z by z by f z f y dy f y dy a aa a +∞+∞-∞-∞---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰或者()1,,z ax z axz axfz f x dx f x dx b b b b +∞+∞-∞-∞'---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰=1,z axf x dx bb +∞-∞-⎛⎫⎪⎝⎭⎰图二同样考虑0,0a b <>和0,0a b <<的情形可得公式：()1,z by fz f y dy a a +∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰或者 ()1,z ax fz f x dx bb +∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰3. 例题解析例题1.设二维随机变量(),X Y 的概率密度为()101,0,,0x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他求2Z X Y =-的概率密度函数()f z 。

§2.4 卷积积分的性质

▲ ■ 第 4页
二、与冲激或阶跃信号的卷积
1. f (t ) (t ) (t ) f (t ) f (t )
证： f (t ) (t )

南航电子信息

f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t ) (t ) f (t )
注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e – tε(t)时
套用 f1 (t ) f 2 (t ) f1(t ) f ( 1) (t ) 0 f ( 1) (t ) 0 显然是错误的 f1 () 0
▲ ■ 第 7页
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)，则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2
(i ) 1 ( i )
(t )
f
(i )
(t ) f
▲
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
第 6页
■
例1: f1(t) 如图, f2(t) = e – tε(t)，求f1(t)* f2(t) 南航电子信息
( 1) 解： f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 (t ) (t ) (t 2)
f1(t ) (t ) (t 2)
t 0
f
( 1) 2
(t ) e ( )d [ e d ] (t )

2.4 卷积积分的性质

1. f t t t f t f t

(t ) f (t ) d t f (0)
证： f (t )* (t ) (t )* f (t ) ( ) f (t ) d f (t )
f t t t0 f t t0

两种运算的不同之处仅在于，卷积运算需将 f2 进行反折
为 f 2 ，而相关运算不需反折，仍为 f2 。其他的移位、相乘和积分的运算方法相同。
通信与信息工程学院基础教学部
小结：求卷积是本章的重点与难点。
• 求解卷积的方法可归纳为： • （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 • （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 • （3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。
( ) f (t ) f (t ) ( ) d f (t )

f t
n
t f
n
t
3. f t t f ( ) (t ) d f ( ) d 对函数积分
t t t t
通信与信息工程学院基础教d n f1 (t ) d n f 2 (t ) dn f (t ) * f 2 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * 1. n 1 n dt dt d tn dn f1 t f 2 t 证： n f1 (t )* f 2 (t ) n t dt n f2 t t f t 1
t 0
(t ) (1 e t ) (t )

卷积积分的性质ppt课件

1
f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
0 2t
f 2 ( 1 ) ( t ) te ( ) d 0 t e d ( t ) e t 0 ( t ) ( 1 e t)( t )
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
O
t1 2
τ
R12(t)
2
阴影部分面积
-2
O t1 2
t
(b) 相关
▲
f1(τ)
1
O
2
τ
f2(τ) 2
O
2τ
■
第 12 页
实功率有限信号相关函数的定义
f1(t)与f2(t)是功率有限信号相关函数：
R 1(2)T l i m T 1 T 2 T 2f1(t)f2(t)dt
R 2(1)T l i m T 1 T 2 T 2f2(t)f1(t)dt
自相关函数：
例
R ()T l im T 1 T 2 T 2f(t)f(t)dt
■ 第 13 页
求周期 ft 余 E co 弦 1ts的信自号相
解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有
R TlimT1
T
2 T
2
f
t
f
t
dt
E 2
lim T T
T
2 T
cos1
t
cos1
3. 在f1(– ∞) = 0或f2(–1)(∞) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) 例1 例2
▲
■
第5页
卷积性质例1
f(t)h(t)
例1：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t)

(完整版)浅谈微积分在中学数学中的应用

浅谈微积分在中学数学解题中的应用数学与计算科学系数学与应用数学专业学号：09690137 姓名：尹佩指导老师：蔡江涛摘要：微积分是数学中的重要内容，其思想方法和基本理论有着广泛的应用，可以当作工具去解决中学数学中的一些问题.本文通过阐述微积分在中学数学中的重要地位和作用的基础上,研究微积分在中学数学解题中的应用.关键词：微分积分中学数学新课改0.引言微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．《普通高中数学课程标准》（以下简称《课标》）对微积分教学内容进行了改革．《课标》和过去的高中数学教学大纲相比，一大特点是将一元函数微积分的部分内容拿到高中教材中，让中学生初步了解微积分的思想，为高等数学的学习打下基础.微积分是数学的一个基础学科，它分为微分和积分.微积分的创立,极大的推动了数学自身的发展.它是我国现在普遍使用的高中数学教材中增加的部分，蕴含多种数学思想，如极限思想、函数的思想、数形结合思想、化归思想微积分中的哲学思想、辩证的思想等，它们在中学数学中都有着广泛的应用和价值.微积分在中学数学中的地位和作用具体体现在以下几个方面：（1）学习微积分的知识可以进一步提高学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力.（2）学习微积分能更好地培养学生分析问题和解决问题的能力,有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用，有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用.(3)将微积分的理论应用于初等数学，不仅可以使其内在的本质联系得以体现，而且可以进而指导初等数学的教学工作.利用微积分来解决中学数学中的一些问题能取得意想不到的效果.1.微分在中学数学解题中的应用《课标》中对微积分的教学内容明确提出：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时通过理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”.微分在中学数学解题中的应用主要由导数实现.1.1微分法在求函数极值和最值问题中的应用中学数学教材的二次函数,三角函数和不等式等内容都涉及到求函数极值与最值问题. 在求比较复杂的函数的极值和最值问题中一般采用微分的知识来解决，根据对自变量求导研究导函数性质从而判断函数.导数的定义:当自变量的增量Δx=x-x0,Δx→0时函数增量Δy=f(x)-f(x0)与自变量之比的极限存在且有限，就说函数f 在x0 点可导，称之为 f 在x0 点的导数（或变化率）。

【精选】卷积定理的应用 doc资料

卷积定理的应用§卷积定理的应用第11章恒定电流的磁场 B b + + + + vd +q - - - - Fe d Fm IB 霍耳电压U H RHd + I UH qEH qvd B EH vd B I qn v d S qn v d bd IB UH nqd 霍耳R 1 系数H nq 85 U H vd Bb 大学物理第三次修订本第11章恒定电流的磁场1 IB RH （1）判断半导体的类型U H RH d nq B B Fm Fm + - - + + + I - v v I UH + U 霍耳效应的应用- - - d H + + + d P 型半导体霍耳电压N 型半导体+ （2）测量磁场IB U H RH d 86 问题: 金属与半导体, 哪种材料的霍耳效应明显? 大学物理第三次修订本机械能五动能定理和机械能守恒定律的综合应用【基础知识提升】1.用动能定理求变力的功在某些问题中，由于F的大小或方向变化，不能直接用W＝Fl cos α求解力的功，可用动能定理求解，求出物体动能变化和其他恒力的功，即可由ΔE k＝W1＋W2＋…＋W n求得其中变力的功.2.物体系的动能定理问题物体间的一对相互作用力的功可以是正值，也可以是负值，还可以是零.因此几个物体组成的系统所受的合外力的功不一定等于系统动能的变化量.3.应用机械能守恒定律解决力学问题先分析研究对象在运动过程中的受力情况，并确定各力的做功情况，在动能和重力势能的相互转化中，如果只有重力(或弹力)做功，就可以用机械能守恒定律求解.4.应用机械能守恒定律解题可以只考虑物体运动的初状态和末状态，不必考虑运动过程.5.机械能守恒定律与动能定理的比较机械能守恒定律和动能定理是本章的两个重点内容，也是力学中的两个基本规律，在物理学中占有重要的地位，两者既有区别也有相同之处.(1)相同点：都是从功和能量的角度来研究物体动力学问题.(2)不同点：①解题范围不同，动能定理的范围相对来说要大些.②研究对象及角度不同，动能定理一般来说是研究单个物体在运动过程中合外力做功与动能的变化关系，而机械能守恒定律只要满足其成立条件，则只需找出系统初、末状态的机械能即可.【典型例题】【例1】如图所示，竖直平面内放一直角杆AOB，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数μ＝，杆的竖直部分光滑.两部分各套有质量均为1 kg的小球A和B，A、B球间用细绳相连.此时A、B均处于静止状态，已知：OA＝3 m，OB＝4 m.若A球在水平拉力F的作用下向右缓慢地移动1 m(取g＝10 m/s2)，那么(1)该过程中拉力F做功多少？(2)若用20 N的恒力拉A球向右移动1 m时，A的速度达到了2 m/s，则此过程中产生的内能为多少？【解析】(1)用力F缓慢拉A球时，分析可知F的大小发生变化，把A、B看做整体，由平衡条件知，A受杆的支持力F N＝mg＋mg＝2mg不做功，摩擦力F f＝μ·2mg为恒力.对于A和B组成的系统，由动能定理可得W F－2μmgl－mgh B＝0 ①因绳长L＝5 m保持不变，当A移动的距离l＝1 m时，设B升高了h B.由几何关系可知：(3＋1)2＋(4－h B)2＝52所以h B＝l＝1 m代入①式，可得W F＝2μmgl＋mgl＝mgl(2μ＋1)＝1×10×1×(2×＋1) J＝14 J ②(2)如右图所示，若以F＝20 N的恒力拉A球，AB绳所受拉力及A所受摩擦力均为变力.在A 移动1 m 的过程中，对于A 和B 球组成的系统，由动能定理得Fl －W f －mgh B ＝12m 2A v ＋12mv 2B －0 ③ 注意到内能Q ＝W f ④且在同一时刻，A 、B 两球沿绳方向的分速度相等.即v A cos ∠OA ′B ′＝v B cos ∠O B ′A ′则v A ·OA′A′B′＝v B ·OB′A′B′⑤ 由⑤式得v B ＝43v A ，代入③式得Q ＝ J ⑥ 【例2】如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端的物体A 和B 的质量分别为M 和m ，物体A 在水平面上.A 由静止释放，当B 沿竖直方向下落h 时，测得A 沿水平面运动的速度为v ，这时细绳与水平面的夹角为θ，试分析计算B 下降h 过程中，A 克服地面摩擦力做的功.(滑轮的质量和摩擦均不计)【解析】据运动分解的有关知识得：B 下降h 高度时的速度v B ＝v cos θ因为A 、B 间轻绳拉力做功的代数和为0，对A 、B 系统运用动能定理：mgh －|W f |＝12Mv 2＋12m (v cos θ)2－0 所以|W f |＝mgh －[12Mv 2＋12m (v cos θ)2] 【例3】如图所示，AB 是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD 是光滑的圆弧轨道，AB 恰好在B 点与圆弧相切，圆弧半径为R .一个质量为m 的物体(可以看做质点)从直轨道上的P 点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动.已知P 点与圆弧的圆心O 等高，物体与轨道AB 间的动摩擦因数为μ.求：(1)物体做往返运动的整个过程中在AB 轨道上通过的总路程；(2)最终当物体通过圆弧轨道最低点E 时，对圆弧轨道的压力；(3)为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D ，释放点距B 点的距离L ′应满足什么条件？【解析】(1)因为摩擦始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动.对整个过程应用动能定理得mgR ·cos θ－μmg cos θ·s ＝0，所以s ＝R μ(2)对B →E 过程mgR (1－cos θ)＝12mv 2E① F N －mg ＝mv 2E R② 由①②式解得F N ＝(3－2cos θ)mg (3)设物体刚好到D 点，则mg ＝mv 2D R ③ 对全过程应用动能定理得mgL ′sin θ－μmg cos θ·L ′－mgR (1＋cos θ)＝12mv 2D④由③④式解得L ′＝) cos (sin cos 23θμθθ-+·R 【例4】如图所示，一固定的楔形木块，其斜面倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一条细绳将物块A 和B 连接，A的质量为4m ，B 的质量为m ，开始时将B 按在地面上不动，然后放v 0 43v 0 m s= v开手，让A 沿斜面下滑而B 上升，物块A 与斜面间无摩擦，设当A 沿斜面下滑x 距离后，细绳突然断了，求物块B 上升的最大高度H .【例5】如图所示，质量分别为2m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴.AO 、BO 的长分别为2L 和L .开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方.让该系统由静止开始自由转动，求：(1)当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ；(2)开始转动后B 球可能达到的最大速度。

微积分的应用案例分析

微积分的应用案例分析微积分是数学的一个重要分支，通过研究函数的性质和变化来描述和分析现实世界中的各种问题。

它的应用非常广泛，涵盖了物理、经济、生物、工程等领域。

下面将介绍微积分在各个领域的应用案例。

物理学中的应用案例：1.运动学：微积分可以用来描述物体的运动轨迹、速度和加速度等物理量。

例如，通过对物体位移-时间图像的微积分可以得到物体的速度-时间图像，从而确定物体的平均速度和瞬时速度。

2.力学：微积分可以用来求解力学问题中的力、质量、加速度等物理量。

例如，通过对物体的运动轨迹的微积分可以得到物体所受合外力的大小和方向。

3.电磁学：微积分可以用来描述电场和磁场的变化规律。

例如，通过对电流和电荷分布的微积分可以计算电场和磁场的强度。

经济学中的应用案例：1.需求和供给分析：微积分可以用来分析市场中的需求和供给曲线。

通过对需求曲线和供给曲线的微积分可以计算市场的均衡价格和数量。

2.收益最大化：微积分可以用来求解经济问题中的最优化问题。

例如，通过对成本函数进行微积分可以找到企业的最优产量和价格，实现最大化的利润。

3.统计学：微积分可以用来进行统计分析。

例如，通过对数据集的微积分可以计算平均值、方差和相关系数等统计量。

生物学中的应用案例：1.生长与衰老：微积分可以用来描述生物体的生长和衰老过程。

通过对生物体体积、质量或寿命等随时间变化的微积分可以得到生物体的生长速度和寿命。

2.种群动态学：微积分可以用来分析生态学中的种群动态。

例如，通过对种群数量随时间变化的微积分可以得到种群的增长率和稳定状态。

3.生物化学：微积分可以用来分析分子和化学反应。

例如，通过对反应速率方程的微积分可以得到反应速率和平衡常数等参数。

工程学中的应用案例：1.结构分析：微积分可以用来分析和设计各种工程结构。

例如，通过对力和位移的微积分可以计算杆件、梁和桥梁等结构的应力、变形和稳定性。

2.信号处理：微积分可以用来分析和处理信号。

例如，通过对信号的微积分可以计算信号的频谱、功率和噪声等特性。

卷积积分在连续时间系统中的应用

卷积积分在连续时间系统中的应用
卷积积分在连续时间系统中的应用涉及信号处理、控制系统、通信系统等领域。

卷积积分可用于分析系统的响应和输出，以及设计系统的滤波器和控制器。

在信号处理中，卷积积分可用于信号的匹配滤波、信号去噪、信号压缩等方面。

在控制系统中，卷积积分可用于设计滤波器、估计系统状态、设计控制器等方面。

在通信系统中，卷积积分可用于信道估计、信号解调、信号检测等方面。

卷积积分在连续时间系统中应用广泛，对于提高系统的性能和效率具有重要的作用。

- 1 -。

大学数学(高数微积分)24卷积课件(课堂讲义).

1
s
2
4 s 13
1
2

根据位移性质
1 3 2 9 s 2 32 s 2 2 32
s 2 3 3
2 2
2
3 2 t L 1 f t e sin 3t 2 2 s 2 3
一、卷积的概念
二、卷积定理三、小结
一、卷积的概念 1.卷积的定义 f1 ( t ), f 2 ( t ), 若已知函数则积分

f1 ( ) f 2 ( t )d
( t ) ,记为称为函数 f1 (t ) 与 f2 的卷积
即
f1 (t ) f2 (t )
∗
f1 (t ) f 2 (t )
∗
∗
二、卷积定理
L [ f1 (t ) f2 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )]e st d t 0
∗

0

t f ( ) f ( t )d e st d t 2 0 1
积分区域见左图. 由于二重积分绝对可积,可以交换积分次序.
e
s
F2 ( s)
二、卷积定理因此

L [ f1 (t ) f 2 (t )]
∗
0
f1 ( )e
0
s
F2 ( s)d
s
F2 ( s)
f1 ( )e d
F1 ( s) F2 ( s)
性质表明两个函数卷积的Laplace变换等于这两个函数Laplace变换的乘积.
t

t
0
f1 ( ) f 2 (t )d

卷积积分的教学探讨

卷积积分的教学探讨作者：黄植功来源：《现代职业教育.高职本科》 2018年第6期一、引言《信号与系统》课程内容中涉及卷积积分的定义、特性及应用，让学生学好这部分内容有助于他们更好地学习和掌握整个课程的内容。

卷积积分看似是很纯粹的数学计算，但如果太多地从数学方面来证明和讲解相关的知识，就会使学生感到枯燥乏味，而学生又因为数学基础薄弱的原因不能很好地掌握和理解卷积积分的物理含义及其真正的作用。

卷积积分是一种解决实际问题的思路、工具或手段，只有学好卷积积分才能学好信号与系统的时域分析，从而为学好整个课程、建立完整的课程理论体系打下坚实的基础。

二、卷积积分的定义首先，需要把卷积积分的定义讲解清楚。

卷积积分的数学定义如下：x（t）与h（t）的卷积积分为y（t）=x（t）*h（t）=x（τ）h（t-τ）dτ数学公式与物理含义方面，需要讲清楚如下几个内容：1.x（t）的表达式中，将t替换成τ，即可得到x（τ）的表达式，两者的波形图相同，只是自变量不同；2.h（t）的表达式中，将t替换成t-τ，即可得到h（t-τ）的表达式；在波形图上，先将横坐标自变量改成τ得到h（τ）的波形，再将h（τ）的波形翻转得到h（-τ），最后将h（-τ）从τ=0向τ=t平移，即可得到h（t-τ）的波形图；3.将x（τ）与h（t-τ）相乘后积分求面积，结果因时间t的不同而不同，即结果仍然是时间t的函数，即仍然是一个信号，用y（t）表示。

讲解卷积积分定义及步骤时，重点应放在上述过程中的变量替换、翻转、平移这些之前学习过的知识，显然这是复习巩固旧知识并向新知识迁移的一个过程。

结合两个波形简单信号的卷积，采用图示法来讲解卷积积分的过程可以加深学生对卷积积分计算步骤的理解。

另外，卷积积分需要结合系统来学习，把卷积积分其中一个信号看成线性时不变连续时间系统（简称LTI系统）的输入信号，另一个信号看成LTI系统的单位冲激响应，它们卷积积分的结果就是LTI系统产生的零状态响应。

信号与系统§2.4 卷积积分的性质

∫ −∞ f1(t) f2 (t +τ ) dt
∞
互相关是表示两个不同函数的相似性参数。互相关是表示两个不同函数的相似性参数。可证明，可证明，R12(τ)=R21(–τ)。。若f1(t)= f2(t) = f(t)，则得自相关函数，
R(τ ) = ∫
∞ −∞
f (t) f (t −τ ) dt = ∫
证：δ ' (t) * f (t) = δ ' (τ ) f (t −τ ) dτ = f ' (t) ∫
−∞ ∞
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*ε(t)
= ∫ f (τ )ε (t −τ ) dτ = ∫ f (τ ) dτ
−∞ −∞
▲ ■ 第 3页

∞
t
ε(t) *ε(t) = tε(t)
第 5页
五、相关函数
相关函数是鉴别信号的有力工具，相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。相关是一种与卷积类似的运算。相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个函数的反转。的是没有一个函数的反转。 • 相关函数的定义 • 相关与卷积的关系 • 相关函数的图解
例1
▲
t
t
t
例2
■
第 4页
四、卷积的时移特性
f(t) = f1(t)* f2(t)，若，则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
例
求卷积是本章的重点与难点。求卷积是本章的重点与难点。

第二章 (4)卷积积分的性质

解： f1 ( t ) f 2 ( t )
t
f1 ( ) f 2 ( t )d e ( ) ( t )d

e
0
d
1
f 2 ( t ) f1 ( t )

(1 e t ) ( t )
0
1
2
3

t
f 2 ( ) f1 ( t )d
( t )
( ) e e
0 ( t )
( t )d
(1 e t ) ( t )
d
1

分配律的应用
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
f (t t1 t2 )
0
t2
t
0 t1
t
0
t 1+ t2
t
图 2.4-6
例2.4-2 计算下列卷积积分：
1 t 3 t 5
解：1 t 3 t 5
2 e

2 t
t 3 t 5
3 t 5d
f (t t1 ) (t t2 ) f (t t2 ) (t t1 ) f (t t1 t2 )
若f (t ) f1 (t ) f 2 (t )，则 f 1 ( t t1 ) f 2 ( t t 2 ) f 1 ( t t 2 ) f 2 ( t t1 ) f ( t t1 t 2 )
1 2t 2 e 1 e t 2 2

数字信号处理什么是卷积卷积有什么用

什么是卷积卷积有什么用1.卷积的定义：在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。

简单定义：卷积是分析数学中一种重要的运算。

设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。

这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。

容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。

这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。

利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。

特别当g为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。

利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。

如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果其中星号*表示卷积。

当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。

另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。

如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为，其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。

2.卷积在工程和数学上都有很多应用：统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。

卷积公式定义

卷积公式定义卷积公式是信号处理领域中非常重要的基本工具之一，它被广泛应用于图像处理、语音识别、自然语言处理等领域。

本文将详细介绍卷积公式的定义及其在不同领域中的应用。

首先，让我们来了解一下什么是信号。

在信号处理中，信号是指随时间变化的物理量。

信号可以是连续的（类似于波形）或者是离散的（数字化的）。

在信号处理中，我们经常使用数学函数来表示信号，比如声音信号就可以用声波的振幅随时间变化的函数来表示。

在信号处理中，卷积是一种数学操作，用于描述两个信号之间的关系。

卷积运算可以理解为将两个信号进行加权求和的过程。

具体地说，卷积公式可以表示为：\[ (f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau \]其中，\(f(t)\)和\(g(t)\)是两个函数，\(f * g\)表示卷积结果，\(t\)表示时间，\(\tau\)表示积分变量。

对于离散信号，上述卷积公式可以简化为：\[ (f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} f[m]g[n-m] \]其中，\(f[n]\)和\(g[n]\)是两个离散函数，\(f * g\)表示卷积结果，\(n\)表示离散时间。

卷积公式的本质是描述了在给定时间点，输出信号的值是输入信号及其滞后版本的加权求和。

对于连续信号，我们使用积分来计算加权求和；对于离散信号，我们使用求和来计算加权求和。

卷积运算在信号处理中有着广泛的应用。

首先，卷积可以用于滤波操作。

滤波是信号处理中常见的操作，用于去除噪声或者增强感兴趣的信号。

卷积公式可以将输入信号与滤波器进行卷积运算，得到输出信号。

滤波器可以是低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等，用于实现不同的频率特性。

其次，卷积在图像处理中也有着重要的应用。

图像可以看作是离散的二维信号，卷积公式可以用于实现图像的平滑、锐化、边缘检测等操作。

例如，边缘检测就可以通过将图像与卷积核进行卷积运算来实现。