中2016中考数学复习专题5-开放探究题

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中考数学总复习专题三开放探究题

即双曲线的解析式为
4
y=.
设点 A 的坐标为(m,n),
因为点 A 在双曲线上,所以 mn=4.
又 tan∠AOx=4,

所以 =4,即 n=4m.

由①②得 m2=1,所以 m=±1.
因为点 A 在第一象限,
所以 m=1,n=4,即点 A 的坐标为(1,4).
把点 A,B 的坐标代入 y=ax2+bx 中,
考向四
【例3】 (1)如图①,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B,C)上
任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若
∠AMN=90°,求证:AM=MN.
下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择
另外的方法证明.
证明:在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵在正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC,
=4
所以点 D 的坐标是(3,18).
考向一
考向二
考向三
考向四
考向一条件开放型问题
条件开放问题主要是指问题的条件开放,即:问题的条件不完备
或满足结论的条件不唯一,解决此类问题的思路是从所给结论出发,
逆向探索,逐步探寻合乎要求的一些条件,从而进行逻辑推理证明,
确定满足结论的条件.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向一条件开放型问题
条件开放问题主要是指问题的条件开放,即:问题的条件不完备
∴∠AEM=∠MCN=135°.
在△AEM和△MCN中,
∠ = ∠,
∵ = ,
∠ = ∠,
∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN.
考向一
考向二
考向三

初中数学中考总复习冲刺：创新、开放与探究型问题--巩固练习题及答案(基础)

中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.912．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图(1)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，类似地，称图(2)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A．15 B．25 C．55 D．1225二、填空题4．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB＝AC＝BC＝6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0＝2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2(第2次落点)处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处，且BP3＝BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为P n(n为正整数)，则点P2009与点P2010之间的距离为__________．5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D ，请你按图中箭头所指方向(如A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C 第2n+1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是________(用含n 的代数式表示)．6. (1)如图(a)，∠ABC ＝∠DCB ，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△DCB ．(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△ADE ．三、解答题7．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．(1)求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线1l ，2l ，直线1l 的解析式为213y x =-+．如果将坐标纸折叠，使直线1l 与2l 重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．(1)求直线2l 的解析式；(2)设直线1l 与2l 相交于点M ．问：是否存在这样的直线:l y x t =+，使得如果将坐标纸沿直线l 折叠，点M 恰好落在x 轴上？若存在，求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由．9．解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等．(1)设322x x A x x =--+，24x B x -=，求A 与B 的积； (2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个问题．10. 已知：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A ，D ，B 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E(如图(a))．在满足上述条件的情况下，当∠CAB 的大小变化时，图形也随着改变(如图(b))，在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．(1)观察上述图形，连接图(b)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE 相等；(2)在图(b)中，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．①若CF ＝CD ，求sin ∠CAB 的值；②若(0)CF n n CD=>，试用含n 的代数式表示sin ∠CAB(直接写出结果)．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．∴P(取到“连加进位数”)＝100120.88100-=． 2.【答案】D ；【解析】如图，①过圆点O 作AB 的垂线交»AB 和¼APB 于M 1，M 2．②以B 为圆心AB 为半径作弧交圆O 于M 3．③以A 为圆心，AB 为半径弧作弧交圆O 于M 4．则M 1，M 2，M 3，M 4都满足要求．3.【答案】D ；二、填空题4.【答案】2．【解析】如图，按要求作出P 4，P 5，P 6…．可发现如下规律：P 0，P 6，P 12，P 18…重合；P 1，P 7，P 13，P 19…重合；P 2，P 8、P 14，P 20…重合；P 3，P 9、P 15，P 21…重合；P 4，P 10，P 16，P 22…重合；P 5，P 11，P 17，P 23…重合．(以6为周期循环)∵2009＝334×6+5，2010＝335×6，∴P 2009与P 5重合；P 2010与P 0重合；求P 2009与P 2010之间距离也就是求P 5与P 0之间距离，△BP 0P 5是等边三角形．∴P0P5＝2，即P2009与P2010之间距离为2．5.【答案】B； 603； 6n+3．【解析】由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B→C →D→C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3．6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；(2)图(b)中∠D＝∠B，或AB ACAD AE等．三、解答题7.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB．又∵BC＝CB，AB＝DC，∴△ABC≌△DCB．∴∠1＝∠2．又∵ GE∥AC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴EG＝BG．∵EG∥OC，EF∥OB，∴四边形EGOF是平行四边形．∴EG＝OF，EF＝OG．∴四边形EGOF的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB．(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC上一个动点(点E不与B，C两点重合)，EF∥BD，交AC于点F，EG∥AC交BD于点G．求证：四边形EFOG的周长等于2OB．图略．方法2：如图丙，已知正方形ABCD中，……其余略．8. 【答案与解析】解：(1)直线1l与y轴交点的坐标为(0，1)．由题意，直线1l 与2l 关于直线y x =-对称，直线2l 与x 轴交点的坐标为(-1，0)．又∵直线1l 与直线y x =-的交点为(-3，3)，∴直线2l 过点(-1，0)和(3，3)．设直线2l 的解析式为y ＝kx+b ．则有0,3 3.k b k b -+=⎧⎨-+=⎩ 解得3,23.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所求直线2l 的解析式为3322y x =--． (2)∵直线l 与直线y x =-互相垂直，且点M(-3，3)在直线y x =-上，∴如果将坐标纸沿直线l 折叠，要使点M 落在x 轴上，那么点M 必须与坐标原点O 重合，此时直线l 过线段OM 的中点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．将32x =-，32y =代入y ＝x+t ，解得t ＝3． ∴直线l 的解析式为y ＝x+3．9．【答案与解析】解：(1)23422x x x A B x x x -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭g g 22(4)428(2)(2)x x x x x x x+-==+-+g ． (2)“逆向”问题一：已知28A B x =+g ，24x B x-=，求A ．解答：22228()(28)44x x x A A B B x x x +=÷=+=--g g ． “逆向”问题二：已知28A B x =+g ，322x x A x x =--+，求B ．解答：3()(28)22x x B A B A x x x ⎛⎫=÷=+÷-⎪-+⎝⎭g2(4)(28)(2)(2)x x x x x +=+÷-+ 2(2)(2)42(4)2(4)x x x x x x x-+-=+=+g ． “逆向”问题三：已知A ·B ＝2x+8，A+B ＝x+10，求(A －B)2．解答：(A －B)2＝(A+B)2－4A ·B＝(x+10)2－4(2x+8)＝x 2+12x+68．10．【答案与解析】解：(1)连接AE ．求证：AE ＝CE ．证法一：如图(a)，连接OD ．∵∠ABC ＝90°，CB 的延长线交⊙O 于点E ，∴∠ABE ＝90°． ∴AE 是⊙O 的直径．∵D 是AC 的中点，O 是AE 的中点，∴12OD CE =． ∵12OD AE =， ∴AE ＝CE ．证法二：如图(b)，连接DE ．同证法一，得AE 是⊙O 的直径． ∴∠ADE ＝90°．∵D 是AC 的中点，∴DE 是线段AC 的垂直平分线．∴AE ＝CE ．(2)①根据题意画出图形．如图(c)，连接DE ．∵AE 是⊙O 的直径，EF 是⊙O 的切线，∴∠ADE ＝∠AEF ＝90°．∴Rt △A 1DE ∽Rt △EDF ．∴AD DE DE DF=．设AD ＝k 是(k ＞0)，则DF ＝2k ．∴2k DE DE k=．∴DE =．在Rt △CDE 中，∵ CE 2＝CD 2+DE 2＝3k 2，∴CE =．∵∠CAB ＝∠DEC ．∴sin ∠CAB ＝sin ∠DEC ＝3CD CE =．②sin (0)2CAB n n ∠=>+．。

中考数学专题复习——开放探究题

开放探索性试题在中考中越来越受到重视，由于条件与结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通。

探索性问题的特点是：问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，这类题主要考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识。

这类题对同学们的综合素质要求比较高，这类题往往作为中考试卷中的压轴题出现，在中考中所占比例在9％左右。

1．条件开放与探索给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不惟一，这样的问题是条件开放性问题。

它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

[例1] 已知△ABC 内接于⊙O ，⑴当点O 与AB 有怎样的位置关系时，∠ACB 是直角？⑵在满足⑴的条件下，过点C 作直线交AB 于D ，当CD 与AB 有什么样的关系时，△ABC ∽△CBD ∽△ACD ？ ⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形，使图形的CD ＝2cm 。

[解析]：⑴要使∠ACB ＝90°，弦AB 必须是直径，即O 应是AB 的中点；⑵当CD ⊥AB 时，结论成立；⑶由⑵知DB AD CD ⋅=2，即422==⋅DB AD ，可作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD ＝4，过D 作CD ⊥AB 交⊙O 于C 点，连结AC 、BC ，即得所求。

⑴当点O 在AB 上（即O 为AB 的中点）时，∠ACB 是直角； ⑵∵∠ACB 是直角，∴当CD ⊥AB 时，△ABC ∽△CBD ∽△ACD ；⑶作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD =4，过D 点作CD ⊥AB 交⊙O 于C 点，连结AC 、BC ，即为所求（如下图所示）。

[评注]：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设——求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。

中考数学专题复习之开放探究题练习题及答案

开放探究题1．在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，如果只给出条件“AB ∥CD ”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下6个说法：①如果再加上条件“AD ∥BC ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； ②如果再加上条件“AB ＝CD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；③如果再加上条件“∠DAB ＝∠DCB ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； ④如果再加上条件“BC ＝AD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； ⑤如果再加上条件“AO ＝CO ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；⑥如果再加上条件“∠DBA ＝∠CAB ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．其中正确的说法有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 2．已知，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是________________．3．如图X4－1，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，则使△AED ∽△ABC 的条件是______________．图X4－14．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组__________(填写一个即可)． 5．如图X4－2，P 是四边形ABCD 的边DC 上的一个动点，当四边形ABCD 满足条件__________时，△PBA 的面积始终保持不变(注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．图X4－2图X4－36．已知x 2－ax －24在整数范围内可以分解因式，则整数a 的值是__________(只需填一个)．7．如图X4－3，已知在等腰△ABC 中，∠A ＝12∠C ，底边BC 为⊙O 的直径，两腰AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，有下列序号的四个结论：①AD ＝AE ；②DE ∥BC ；③∠A ＝∠CBE ；④BE ⊥AC .其中结论正确的序号是________________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．2,4x y =⎧⎨=⎩2,4,x y =-⎧⎨=-⎩8．某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、？”(涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字)，请将这道作业题补充完整，并列方程解答．9．如图X4－4，已知△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE，(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)设AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P是射线AE上的点，若以A，P，C为顶点的三角形与△ABC相似，问：这样的点有几个？并求AP的长．图X4－410．如图X4－5，已知△ABC内接于⊙O，(1)当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？(2)在满足(1)的条件下，过点C作直线交AB于点D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD?(3)画出符合(1)、(2)题意的两种图形，使图形的CD＝2 cm.图X4－511．(2012年河北)如图X4－6，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO ＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°.点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t秒．(1)求点C的坐标；(2)当∠BCP＝15°时，求t的值；(3)以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD 的边(或边所在直线)相切时，求t的值．图X4－612．(2012年山东临沂)如图X4－7，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB位置．(1)求点B的坐标；(2)求经过点A，O，B的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P，O，B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．图X4－7开放探究题 1．B2．AB ＝BC 或BC ＝CD 或CD ＝DA 或DA ＝AB3．∠AED ＝∠B 或∠ADE ＝∠C 或AD AC ＝AEAB4.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，xy ＝8.(答案不唯一) 5．DC ∥AB 或AD ∥BC ，且AD ＝BC 6．±23，±10，±5，±2 7．①②④8．解：这是一道开放性的相遇问题，要求考生先设计问题，再进行解答，仅举一例如下：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几个小时两车相遇．设经x 小时两车相遇，依题意，可得45x ＋35x ＝40，解得x ＝12.答：经过半小时两车相遇．9．(1)证明：∵BC ∥AE ，∴∠BCA ＝∠CAE .又∵AE 切⊙O 于点A ，∴∠CAE ＝∠ABC ，∴∠BCA ＝∠ABC ，∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形．(2)设点P 在AE 上，且所作的△ACP 与△ABC 相似，由AE ∥BC ，得∠CAE ＝∠ACB .关键是要寻找第二个相等的角，过点C 作⊙O 的切线交AE 于点P 1，即有∠AC P 1＝∠B ，过点C 作AB 的平行线交AE 于点P 2，即有∠AC P 2＝∠BAC ，则△A P 1C ，△A P 2C 都与△ABC 相似，这样的点有2个，即P 1，P 2两点，且A P 1＝504，A P 2＝8.10．解：(1)当点O 在AB 上(即O 为AB 的中点)时，∠ACB 是直角．图D89(2)∵∠ACB 是直角，∴当CD ⊥AB 时，△ABC ∽△CBD ∽△ACD .(3)如图D89，作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD ＝4，过点D 作CD ⊥AB 交⊙O 于点C ，连接AC ，BC ，图D 即为所求．11．解：(1)∵∠BCO ＝∠CBO ＝45°，∴OC ＝OB ＝3. 又∵点C 在y 轴的正半轴上， ∴点C 的坐标为(0,3)．(2)当点P 在点B 右侧时，如图D90.图D90图D91若∠BCP ＝15°，得∠PCO ＝30°，故OP ＝OC ·tan30°＝3，此时t ＝4＋3；当点P 在点B 左侧时，如图D91，由∠BCP ＝15°，得∠PCO ＝60°，故PO ＝OC ·tan60°＝3 3，此时t ＝4＋3 3.∴t 的值为4＋3或4＋3 3.(3)由题意，知：若⊙P 与四边形ABCD 的边相切，有以下三种情况： ①当⊙P 与BC 相切于点C 时，有∠BCP ＝90°，从而∠OCP ＝45°，得到OP ＝3，此时t ＝1；②当⊙P 与CD 相切于点C 时，有PC ⊥CD ，即点P 与点O 重合，此时t ＝4；图D92③当⊙P 与AD 相切时，由题意，得∠DAO ＝90°， ∴点A 为切点，如图D92，PC 2＝P A 2＝(9－t )2，PO 2＝(t －4)2，于是(9－t )2＝(t －4)2＋32，解得t ＝5.6，∴t 的值为1或4或5.6.12．解：(1)如图D ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ， ∵OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 位置，∴∠BOC ＝60°，OB ＝4，∴BC ＝4×sin60°＝4×32＝2 3，OC ＝4×cos60°＝4×12＝2.∵点B 在第三象限，∴点B (－2，－2 3)．(2) 由函数图象，得抛物线通过(－2，－2 3)，(0,0)，(4,0)三点．设抛物线R 解析式为y ＝ax 2＋bx ，由待定系数法，得⎩⎨⎧4a －2b ＝－2 3，16a ＋4b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－36，b ＝2 33，∴此抛物线的解析式为y ＝－36x 2＋2 33x . (3)存在．理由：如图D93，抛物线的对称轴是x ＝－b2a，解得x ＝2.设直线x ＝2与x 轴的交点为D ，设点P (2，y )．图D93①若OP ＝OB ，则22＋|y |2＝42，解得y ＝±2 3，即点P 坐标为(2,2 3)或(2，－2 3)．又点B (－2，－2 3)， ∴当点P 为(2,2 3)时，点P ，O ，B 共线，不合题意，舍去，故点P 坐标为(2，－2 3)；②若BO ＝BP ，则42＋|y ＋2 3|2＝42，解得y ＝－2 3，点P 的坐标为(2，－2 3)； ③若PO ＝PB ，则22＋|y |2＝42＋|y ＋2 3|2，解得y ＝－2 3，点P 坐标为(2，－2 3)．综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为(2，－2 3)．。

中考数学复习第二讲《开放探究型问题》经典题型含答案

中考数学复习专题第二讲开放探究型问题【要点梳理】开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．【学法指导】三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．【考点解析】条件开放型问题（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．（ 5分）理由：∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．结论开放型问题（2017广西河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE ⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB=BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AB=BC．存在开放型问题（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．综合开放型问题（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E 是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，，∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．【真题训练】训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．参考答案：训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【考点】L9：菱形的判定；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=√3OA，OD=√3OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=√3AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，{AO=BO∠AOC′=∠BOD′OC′=OD′，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=√3AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=√3OA，OD=√3OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴OBOA =OD′OC′=√3，∴△AOC′∽△BOD′，∴BD′AC′=OBOA=√3，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=√3AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．。

初中数学中考总复习冲刺：创新、开放与探究型问题--巩固练习题及答案(提高)

中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（）A、55B、42C、41D、292．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D 重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（）A．512532⨯B．69352⨯C．614532⨯D．711352⨯3．下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( ) A．495 B．497 C．501 D．503二、填空题4. 如图所示，一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，那么一个5×3的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是____ ____．5. 一园林设计师要使用长度为4L 的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O 点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大．(1)使图①花圃面积为最大时R －r 的值为，以及此时花圃面积为，其中R 、r 分别为大圆和小圆的半径；(2)若L ＝160 m ，r ＝10 m ，使图面积为最大时的θ值为．6．如图所示，已知△ABC 的面积1ABC S =△，在图(a)中，若11112AA BB CC AB BC CA ===，则11114A B C S =△；在图(b)中，若22213AA BB CC AB BC CA ===，则222A B C 13S =△；在图(c)，若33314AA BB CC AB BC CA ===，则333716A B C S =△．…按此规律，若88819AA BB CC AB BC CA ===，则888A B C S =△________．三、解答题7．如图所示，∠ABM 为直角，C 为线段BA 的中点，D 是射线BM 上的一个动点(不与点B 重合)，连接AD ，作BE ⊥AD ，垂足为E ，连接CE ，过点E 作EF ⊥CE ，交BD 于F ．(1)求证：BF ＝FD ；(2)∠A 在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形?并说明理由；(3)∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件14DG DA？并说明理由．8.如图(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE，CD相交于点O．(1)①如图(a)，求证：△ADC≌△ABE；②探究：图(a)中，∠BOC＝________；图(b)中，∠BOC＝________；图(c)中，∠BOC＝________；(2)如图(d)，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE，CD的延长相交于点O．①猜想：图(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示)②根据图(d)证明你的猜想．9. 如图(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P(P 不与B，C重合)，连接DP，作射线．PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．(1)试确定CP＝3时，点E的位置；(2)若设CP＝x(x＞0)，BE＝y(y＞0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围．10. 点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC＝k·AB．连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F．(1)如图(a)，当k＝1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成证明．(2)如图(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】找出规律：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41.故选C.2.【答案】A；【解析】由题意得，AD=12BC=52，AD1=AD﹣DD1=158，AD2=25532⨯，AD3=37532⨯，AD n=21532nn+⨯，故AP1=54，AP2=1516，AP3=26532⨯…APn=12532nn-⨯，故可得AP6=512532⨯.故选A.3.【答案】A ；【解析】根据题意，当第1位数字是3时，按操作要求得到的数字是3624862486248…，从第2位数字起每隔四位数重复一次6248，因为(100-1)被4整除得24余3，所以这个多位数前100位的所有数字之间和是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24＝495，答案选A ．二、填空题4.【答案】4或7或9或12或15；【解析】一个5×3的矩形可以有下面几种分割方式，如图所示．5.【答案】（1）R －r 的值为4L ，以及此时花圃面积为24L ；（2）θ值为240π．【解析】要使花圃面积最大，则必定要求扇环面积最大．设扇环的圆心角为θ，面积为S ，根据题意得：2()180180R rL R r θπθπ=++- ()2()180R r R r πθ+=+-g ，∴180[2()]()L R r R r θπ--=+∴2222()360360360R r S R r θπθππθ=-=-22180[2()]()360()L R r R r R r ππ--=-+gg1[2()]()2L R r R r =---g 21()()2R r L R r =--+-22()416L L R r ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦．∵02L R r <-<， ∴S 在4LR r -=时取最大值为216L ．∴花圃面积最大时R －r 的值为4L，最大面积为224164L L ⨯=．(2)∵当4LR r -=时，S 取大值， ∴1604044L R r -===(m)，40401050R r =+=+=(m)，∴180[2()]180(160240)240()60L R r R r θπππ---⨯===+．6.【答案】1927．【解析】1111111-3=224A B C S =⨯⨯△222A B C 2111-3=333S =⨯⨯△3331-3=4416A B C S =⨯⨯△…8888157191-3==998127A B C S =⨯⨯△2131-3=111(1)AnBnCn n nS n n n =⨯⨯-+++△三、解答题 7．【答案与解析】解：(1)Rt △AEB 中，∵AC ＝BC ，∴CE ＝12AB ． ∴CB ＝CE ．∴∠CEB ＝∠CBE ．∵∠CEF ＝∠CBF ＝90°，∴∠BEF＝∠EBF．∴EF＝BF．∵∠BEF+∠FED＝90°，∠EBD+∠EDB＝90°．∴∠FED＝∠EDF．∴EF＝FD．∴BF＝FD．(2)由(1)得BF＝FD，而BC＝CA，∴CF∥AD，即AE∥CF．若AC∥EF，则AC＝EF，∴BC＝BF．∴BA＝BD，∠A＝45°．∴当0°＜∠A＜45°或45°＜∠A＜90°时，四边形ACFE为梯形．(3)作GH⊥BD，垂足为H，则GH∥AB．∵DG＝14DA，∴DH＝14DB．又F为BD的中点，∴H为DF的中点．∴GH为DF的中垂线．∴∠GDF＝∠GFD．∵点G在ED上，∴∠EFD≥∠GFD．∵∠EFD+∠FDE+∠DEF＝180°，∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180°．∴3∠EDF≤180°．∴∠EDF≤60°．又∠A+∠EDF＝90°，∴30°≤∠A＜90°．∴30°≤∠A＜90°时，DE上存在点G，满足条件DG＝14 DA，8．【答案与解析】(1)证法一：∵△ABD与△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE．∴△ADC≌△ABE．证法二：∵△ABD与△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到．∴△ABE ≌△ADC ．②120°，90°，72°． (2)①360n°． ②证法一：依题意，知∠BAD 和∠CAE 都是正n 边形的内角，AB ＝AD ，AE ＝AC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ＝(2)180n n-°．∴∠BAD －∠DAE ＝∠CAE －∠DAE ，即∠BAE ＝∠DAC ． ∴△ABE ≌△ADC ． ∴∠ABE ＝∠ADC ．∵∠ADC+∠ODA ＝180°， ∴∠ABO+∠ODA ＝180°．∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC ＝360°． ∴∠BOC+∠DAB ＝180°． ∴∠BOC ＝180°－∠DAB ＝(2)180360180n n n--=°°°．证法二：延长BA 交CO 于F ，证∠BOC ＝∠DAF ＝180°-∠BAD ．证法三：连接CE ．证∠BOC ＝180°－∠CAE ．9．【答案与解析】解：(1)作DF ⊥BC ，F 为垂足．当CP ＝3时，四边形ADFB 是矩形，则CF ＝3． ∴点P 与点F 重合．又∵BF ⊥FD ，∴此时点E 与点B 重合．(2)(i)当点P 在BF 上(不与B ，F 重合)时，(见图(a))∵∠EPB+∠DPF ＝90°，∠EPB+∠PEB ＝90°， ∴∠DPF ＝∠PEB ．∴Rt △PEB ∽△ARt △DPF ．∴BE FPBP FD=． ① 又∵ BE ＝y ，BP ＝12-x ，FP ＝x-3，FD ＝a ，代入①式，得312y x x a-=- ∴1(12)(3)y x x a =--，整理，得21(1536)(312)y x x x a=-+<< ②(ii)当点P 在CF 上（不与C ，F 重合）时，（见上图(b))同理可求得BE FPBP FD=．由FP ＝3-x 得21(1536)(03)y x x x a=-+<<．∴ 221(1536)(03)1(1536)(312).x x x ay x x a⎧--+<<⎪⎪=⎨⎪--+<<⎪⎩(3)解法一：当点E 与A 重合时，y ＝EB ＝a ，此时点P 在线段BF 上．由②式得21(1536)a x x a=--+．整理得2215360x x a -++=． ③∵在线段BC 上能找到两个不同的点P 1与P 2满足条件， ∴方程③有两个不相等的正实根．∴△＝(-15)2－4×(36+a 2)＞0．解得2814a <．又∵a ＞0， ∴902a <<．解法二：当点E 与A 重合时，∵∠APD ＝90°，∴点P 在以AD 为直径的圆上．设圆心为M ，则M 为AD 的中点． ∵在线段BC 上能找到两个不同的点P 1与P 2满足条件， ∴线段BC 与⊙M 相交．即圆心M 到BC 的距离d 满足02ADd <<． ④ 又∵AD ∥BC ， ∴d ＝a ． ∴由④式得902a <<． 10．【答案与解析】解：(1)EF ＝EB ．证明：如图(d)，以E 为圆心，EA 为半径画弧交直线m 于点M ，连接EM ．∴EM ＝EA ，∴∠EMA ＝∠EAM ． ∵BC ＝k ·AB ，k ＝1， ∴BC ＝AB ．∴∠CAB ＝∠ACB ．∵m ∥n ，∴∠MAC ＝∠ACB ，∠FAB ＝∠ABC ．∴∠MAC＝∠CAB．∴∠CAB＝∠EMA．∵∠BEF＝∠ABC，∴∠BEF＝∠FAB．∵∠AHF＝∠EHB，∴∠AFE＝∠ABE．∴△AEB≌△MEF．∴EF＝EB．探索思路：如上图(a)，∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．∴∠CAB＝∠ACB．∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB．添加条件：∠ABC＝90°．证明：如图(e)，在直线m上截取AM＝AB，连接ME．∵ BC＝k·AB，k＝1，∴ BC＝AB．∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°．∵ m∥n，∴∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°．∵ AE＝AE，∴△MAE∽△BAE．∴ EM＝EB，∠AME＝∠ABE．∵∠BEF＝∠ABC＝90°，∴∠FAB+∠BEF＝180°．又∵∠ABE+∠EFA＝180°，∴∠EMF＝∠EFA．∴ EM＝EF．∴ EF＝EB．(2)EF＝1k EB．说明：如图(f)，过点E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足为M，N．∴∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°．∵ m∥n，∠ABC＝90°，∴∠MAB＝90°．∴四边形MENA为矩形．∴ ME＝NA，∠MEN＝90°．∵∠BEF＝∠ABC＝90°．∴∠MEF＝∠NEB．∴△MEF∽△NEB．∴ME EF EN EB=，∴AN EF EN EB=在Rt△ANE和Rt△ABC中，tanEN BCBAC kAN AB∠===，∴1EF EBk=．。

中考数学专题训练开放与探究及答案

专题五综合类问题第一节开放与探究【例题经典】条件开放例1 如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a ，BC=b ，试探究BD 与a 、b 满足什么关系时，△ABC 与△CDB 相似？【解析】根据题目所给条件及要求，可结合直角三角形相似的判定方法来加以解决，要注意分两种情况考虑．【解答】当BD=时，图中△ABC 与△CDB 相似．例2 （2006年泰州市）已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心，2为半径作⊙O ，交AN 于D ，E 两点，设AD=x ．（1）如图（1）当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；（2）如图（2）当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B ，C 两点，且∠BOC=90°．【解答】（1）在图（1）中，当⊙O 与AM 相切时，设切点为F ．连结OF ，则OF ⊥AM ， ∵在Rt △AOF 中，∠MAN=30°，∴OF=OA ．∴2=（x+2），∴x=2， ∴当x=2时，⊙O 与AM 相切．（2）在图（2）中，过点O 作OH ⊥BC 于H ．当∠BOC=90°时，△BOC 是等腰直角三角形，∴，∵OH ⊥BC ，∴BH=CH，∴OH=．在Rt △AHO 中，∠A=30°， ∴OH=OA =（x+2），∴-2． 2b BD a a=或1212=121212∴当-2时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC=90°．【点评】解答这类问题往往是把结合反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解．结论开放例3（2006年莆田市）已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当P 点分别在图②、图③中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论．答：对图②的探究结论为__________．对图③的探究结论为_________．证明：如图2．结论均是：PA2+PC2=PB2+PD2．证明：如图②过点P作MN⊥AD交AD于点M，交BC于点N．∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC在Rt△AMP中，PA2=PM2+MA2在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC．∴四边形MNCD是矩形．∴MD=NC．同理AM=BN．∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2．即PA2+PC2=PB2+PD2．【评析】本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度．正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键．【考点精练】1．（2006年山东省）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件．．．．可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．2．（2006年随州市）如图，矩形ABCD中，M是AD的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）请你探索，当矩形ABCD中的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由．3．如图，在△ABC中，D为BC上一个动点（D点与B、C不重合），且DE∥AC交AB 于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试探究，当AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由．（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．4．如图，AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，切点是C．点D是EF上一个动点，连接AD．试探索点D运动到什么位置时，AC是∠BAD的平分线，请说明理由．5．（2006年成都市）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC 延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．6．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．7．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、DC都是⊙O的切点，A、B、E分别是切点．（1）判定△COD的形状，并说明理由．（2）设AD=a，BC=b，⊙O的半径为r，试探究r与a，b之间满足的关系式，并说明理由．8．（2006年绵阳市）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC 的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD 的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．答案:考点精练1．答案不惟一，符合题意即可． 2．（1）略（2）当AD=2AB 时，有BM ⊥CM 成立．说明理由（略） 3．（1）当AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 是菱形．理由（略）（2）在（1）的条件下，当∠BAC=90°时，四边形AEDF 是正方形．说明理由（略） 4．当点D 运动到满足条件AD ⊥EF 时，AC 平分∠BAD ．证明（略） 5．（1）证明△ADF ≌△CDE 即可（2）四边形AFCE 是矩形．（证明略） 6．（1）证明△BPA ≌△BQC ，AP=CQ （2）△PQC 是直角三角形，∵PA ：PB ：PC=3：4：5，设PA=3k ，PB=4k ，PC=5k ，∵∠PBQ=60°，BP=BQ ，∴△PBQ 是等边三角形， ∴PQ=PB=4k ，在△PQC 中，∵PQ 2+QC 2=（4k ）2+（3k ）2=25k 2，PC 2=（5k ）2=25k 2， ∴PQ 2+QC 2=PC 2，∴△PQC 是Rt △． 7．（1）△COD 是直角三角形，连OE ，由圆的切线的性质可证得： △OAD ≌△OED ，△OEC ≌△OBC ， ∴∠AOD=∠EOD ，∠EOC=∠BOC ，可证得∠DOC=90°，所以△COD 是直角三角形．（2）r 与a 、b 之间满足的关系是r 2=ab ．证明△OAD ∽△CBO ，得，OA ·OB=AD ·BC 即r 2=ab ． 8．解：（1）①BE=DF+EF ，②BE=DF-EF ，③EF=BE+DF ．（2）证明略．OA ADBC OB。

中考数学专题复习开放性问题-人教版初中九年级全册数学试题

开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。

中考数学总复习题型五几何动态与二次函数综合题类型3 探究特殊四边形存在性问题课件1

解：(1)设二次函数的解析式为 y＝43(x－x1)(x－x2)，由点 A、B 坐标可知 x1 ＝3，x2＝－1，∴二次函数解析式为：y＝43(x－3)(x＋1)＝43x2－83x－4；
(2)如图①，过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F.当 x＝0 时，y＝－ 4， ∴点 C(0，－4)，∴OC＝4，∵y＝43x2－83x－4＝43(x－1)2－136，∴点 D(1，－136)， ∴DF＝1，OF＝136，CF＝43，∵点 A(3，0)，点 B(－1，0)，∴OA＝3. ∴S△ACD＝S 梯形 AOFD－S△AOC－S△CFD＝12(OA＋FD)·OF－12OA·OC－12CF·FD ＝12×(3＋1)×136－12×3×4－12×43×1＝332－6－23＝4
山西专用
题型五几何动态与二次函数综合题
类型3 探究特殊四边形存在性问题
【例 3】 (2016·青海)如图①(注：与图②完全相同)，二次函数 y＝43x2＋bx＋c
的图象与 x 轴交于 A(3，0)，B(－1，0)两点，与 y 轴交于点 C. (1)求该二次函数的解析式； (2)设该抛物线的顶点为 D，求△ACD 的面积(请在图①中探索); (3)若点 P，Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当 P，Q 运动到 t 秒时，△APQ 沿 PQ 所在的直线翻折，点 A 恰好落在抛物线上 E 点处，请直接判定此时四边形 APEQ 的形状，并求出 E 点坐标(请在图②中探索).
【分析】 (1)先将二次函数设成两点式，然后将A，B点坐标代入，进而可求解析式； (S(32梯))形由由A题解OFD得析－式点S先P△，A求OQC得－运点S动△CC速、FD度，D相坐列同标式，，计可过算得顶即在点可两D；作点y的轴运垂动线过段程FD中，△再A根PQ据为S等△A腰CD三＝角形，由点A、E关于PQ对称，则AP＝EP，AQ＝EQ，易得四边形四边都相等，可得四边形APEQ是菱形．利用菱形对边平行且相等的性质可用t表示E点坐标，根据点E在抛物线上所以代入即可求t，进而可得点E的坐标．

2016年中考数学专题复习和训练七数学探索与开放问题班级姓名专题透析：数学探.docx

2016年中考数学专题复习和训练七:数学探索与开放问题班级: _________ 姓名:编制：赵化中学郑宗平专题透析：数学探索与开放问题是近年来新课标背景下中考中数学的常考题型，多在压轴题中出现, 考查题型虽以解答题为主，但也有部分设计为选择题、填空题，多是几何与函数结合、规律探索来、命题的条件和结论开放的形式来考查•探索性的解答题除与函数结合外，还通常以几何图形(三角形、四边形、圆等)为背景考查探索位置关系和数量关系等；开放性的问题分为条件开放和结论开放两种情况，这类题能较好的考查同学们的数学个性品质和创造性思维的能力.典例精析:例1.在数学课上，李老师出示了一道题目：如图①，正方形ABCD的边长为12, P为边BC 延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交DC于M,交力〃的延长线于N. 当CP = 6时，EM 与EV的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路:过£作直线平行于BC交DC、如5于F、G,DF DF如图②，则可得：——•因为DE = EP，所以DF = PC.可求出FC EP可求得EM和EN的比值.(1).请按照小明的思路写出求解的过程；(2).小东又对此题作了进一步探究，得出了DP = MN的结论•你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.分析:(1).本问主要仿照阅读材料所点拨的思路，通过转移比例即可使问题得以解决；⑵.本问是一个探索结论的题，通过观察、猜测、验证、推理可以得出DP、MN分别所在的ADPC竺△MNH ,所以问题即可解决.略解：(1).如图②，过点E作直线平行于BC交DC、AB分别于点F、G,则:— = ——,GF = BC= 12 ; DE = EP :. DF = FCFC EP EN EG:.EF=-CP=-X6=3, EG = GF + EF = I2 + 3=I52 2.EM EF _ 3 _ 1** BV ~ EG~ 75~5(2).正确.证明：如图③，作MH // BC交AB于点则MH = CB = CD,ZMHN = 90°.・・• ZDCP = 180z - 90c = 90°・•・ ZDCP =乙MHNT 乙MNH =乙CMN = ADME = 90° - ZCDP, ZDPC = 90° - ZCDP・•・ ZDPC = ZMNH・•・ 4 DPC却4 MNH :. DP = MN点评:本例的⑴问主要运用数学的转化思想，通过比例之间的转移从而使问题得以解决；本例的⑵问可以视作是一个存在性的探索题，在思想时可以先假设其存在的情况下思考证明线段相等的路子有哪些，然后破题切入.例2.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分別围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（H+/7）C〃，正六边形的边长为（X2+2X）的总长.分析：本题抓住“等长的铁丝”实际上就是两个正多边形的周长相等，由此利用方程思想可以求出兀的值，从而使问题可以获得解决.略解：由已知可得，正五边形的周长为5（戏+ /7）幼?，正六边形的周长为6（x2+2x）cm. 因为正五边形和正六边形的周长相等，所以5（X2+17）=6（X2 + 2x）整理得,+ /2兀—<85 = 0,配方（兀+6『=/2/,解得：X J=5,X2=-17（舍去）故正五边形的周长为5X（52+/7）=2/0（CZ7?）又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420c加.答：两段铁丝的总长为420cmA □ O O •- 师生互动练习：1.___________________ 如图所示，把同样大小的黑色棋子放在止多边形的边上，按照这样的规律围下去，则第«是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是•2.列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其。

中考数学复习PPT课件开放探究题

热点看台快速提升
热点二结论开放型探索题热点搜索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放型问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力．解题技巧：结论开放型探索问题主要表现为给出一些已知条件，然后根据提供的这些已知条件，能否得出某个结论或者给出一个结论，将条件进行适当变化后，原有的结论是否仍然成立．若是问某个结论是否成立，我们可以假设该结论成立，然后由该结论进行逆向推理，如果能逆推到已知条件，就说明该结论成立，这时就使用综合法写出证明过程，如果不能逆推到已知条件，就说明该结论不成立．
夯实基本知已知彼
教育部印发的《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》中明确要求，数学试题应设计一定的“开放型问题”．此后，开放型试题成为各地中考的必考试题．所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有利用条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、培养想象、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必考的题型．开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考的热点考题．观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并加以应用．
课前预测你很棒
3. 某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形．”相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方……请你协助他们探索这个问题． (1)写出判定扇形相似的一种方法：若________________________，则两个扇形相似． (2)有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为 a、弧长为 m，另一个半径为 2a，则它的弧长为________． (3)如图 1 是一完全打开的纸扇，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120°，AB 长为 30 cm，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇(如图 2)，求新做纸扇(扇形)的圆心角和半径．

中考数学专题复习教学案开放探究题(附答案)

开放探究题开放探究问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论，要求添加条件或概括结论；其次是给定条件，判断存在与否的问题；近几年来又逐步出现了一些根据提供的材料，按自己的喜好自编问题并加以解决的试卷。

开放探究问题涉及知识面广，遍布整个初中阶段的所有知识，要求学生具有较强的解题能力和思维能力。

开放探究问题就开放而言，有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放：就探究而言，可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种。

类型一：探究条件型探究条件型是根据问题提供的残缺条件添补若干条件，使结论成立，解决此类问题的一般方法是：根据结论成立所需要的条件增补条件，此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件。

例1．<2009丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.解：是假命题.以下任一方法均可：①添加条件：AC=DF.证明：∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE.在△ABC和△DEF中,AB=DE，∠A=∠FDE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SAS>.②添加条件：∠CBA=∠E.证明：∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE，AB=DE，∠CBA=∠E ，∴△ABC≌△DEF(ASA>.③添加条件：∠C=∠F.证明：∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE，∠C=∠F ，AB=DE，∴△ABC≌△DEF(AAS>同步测试1．(2009年牡丹江市>如图，□ABCD中，、分别为、边上的点，要使需添加一个条件：．1.2．<2009东营）如图，在四边形ABCD 中，已知AB 与CD 不平行，∠ABD＝∠ACD，请你添加一个条件：，使得加上这个条件后能够推出AD∥BC 且AB ＝CD.2.∠DAC＝∠ADB，∠BAD＝∠CDA，∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB ＝OC ，OA ＝OD ；(任选其一>类型二：探究结论型BCDAOABCEDF探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断，得出一个与条件相关的结论，解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理，得出新的结论。

2016年考数学复习专题38：开放探究问题(含中考真题解析)学生版

开放探究问题结论探究题根据具体问题，探究问题的条件1．（2015张家界）如图，AC 与BD 相交于点O ，且AB=CD ，请添加一个条件，使得△ABO ≌△CDO ． 2．（2015南平）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（，）． 3．（2015益阳）已知y 是x 的反比例函数，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式． 4．（2015邵阳）如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且BE ∥DF ，请从图中找出一对全等三角形：．5．（2015齐齐哈尔）如图，点B 、A 、D 、E 在同一直线上，BD=AE ，BC ∥EF ，要使△ABC ≌△DEF ，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可） 6．（2015西宁）写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体． 7．（2015衢州）写出一个解集为x ＞1的一元一次不等式：． 8．（2015连云港）已知一个函数，当x ＞0时，函数值y 随着x 的增大而减小，请写出这个函数关系式（写出一个即可）． 9．（2015镇江）写一个你喜欢的实数m 的值，使得事件“对于二次函数21(1)32y x m x =--+，当3x <-时，y 随x 的增大而减小”成为随机事件．10．（2015盐城）如图，在△ABC 与△ADC 中，已知AD=AB ，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC ，只需再添加的一个条件可以是．11．（2015北京市）关于x 的一元二次方程2104ax bx ++=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值：a= ，b= ．12．（2015梅州）已知：△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ， F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是．（写出一个即可） 13．（2015三明）在一次函数y=kx+3中，y 的值随着x 值的增大而增大，请你写出符合条件的k 的一个值：______．14．（2015吉林省）若关于x 的一元二次方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（写出一个即可）．15．（2015牡丹江）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AO=CO ，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD 是平行四边形．16．（2015龙东）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，不添加任何辅助线，请添加一个条件，使四边形ABCD 是正方形（填一个即可）．17．（2015黔东南州）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，连接BD ．请添加一个适当的条件，使△ABD ≌△CDB ．（只需写一个） 18．（2015黔西南州）如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 与BD 相交于点O ，添加一个条件：，可使它成为菱形．19．（2015上海市）在矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，点A 在⊙B 上，如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）20．（2015曲靖）一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c= ．（只需填一个）． 21．（2015青海省）如图，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，BF=CE ，AB ∥DE ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）． 22．（2015淄博）对于两个二次函数1y ，2y ，满足21228y y x +=++．当x=m 时，二次函数1y 的函数值为5，且二次函数2y 有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数2y 的解析式（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．23．（2015丽水）解一元二次方程2230x x +-=时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程． 24．（2015南京）如图，AB ∥CD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，连接EF ，∠AEF 、∠CFE 的平分线交于点G ，∠BEF 、∠DFE 的平分线交于点H ．（1）求证：四边形EGFH 是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G 作MN ∥EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，过H 作PQ ∥EF ，分别交AB ，CD 于点P ，Q ，得到四边形MNQP ，此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．25．（2015南通）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程．26．（2015南充）已知关于x的一元二次方程2)4)(1(pxx=--，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）27．（2015北京市）有这样一个问题：探究函数2112y xx=+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数2112y xx=+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数2112y xx=+的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，32），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．28．（2015兰州）已知二次函数2y ax=的图象经过点（2，1）．（1）求二次函数2y ax=的解析式；（2）一次函数4y mx=+的图象与二次函数2y ax=的图象交于点A（1x，1y），B（2x，2y）两点．①当32m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；②试判断当32m≠时（图②），△AOB的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）29．（2015云南省）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．30．（2015金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标．（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．1．（2014年福建三明）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是（写出一个即可）．2．（2014年福建漳州4分）双曲线k1yx+=所在象限内，y的值随x值的增大而减小，则满足条件的一个数值k为．3．（2014年黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭地区、黑河）如图，已知△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 在BC 上，要使△ABD ≌△ACE ，则只需添加一个适当的条件是_________．（只填一个即可） 4．（2014年湖南邵阳）如图，在▱ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：．5．（2014年浙江温州）请举反例说明“对于任意实数2x,x 5x 5++ 的值总是正数”是假命题，你举的反例是x= （写出一个x 的值即可） 6．（2014年湖北江汉油田、潜江、天门、仙桃）如图，四边形ABCD是平行四边形，E ，F 为对角线AC 上两点，连接ED ，EB ，FD ，FB ．给出以下结论：①BE ∥DF ；②BE=DF ；③AE=CF ．请你从中选取一个条件，使∠1=∠2成立，并给出证明． 7．（2014年湖南张家界）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，AC 与BD 相交于O 点，OC=OA ，若E 是CD 上任意一点，连结BE 交AC 于点F ，连结DF ．（1）证明：△CBF ≌△CDF ；（2）若AC=BD=2，求四边形ABCD 的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD ＝∠BAD ，并予以证明．归纳 1：条件开放探索题基础知识归纳：条件探索题经常与三角形全等、相似、平行四边形、矩形、菱形等特殊的图形结合在一起进行考查．基本方法归纳：掌握特殊的三角形、四边形的性质以及全等和相似的判定方法，利用性质与方法合理添加条件．注意问题归纳：所添加的条件，经过一定的推理说明，能够得到所给的结论．【例1】如图，AC=DC ，∠ACD=∠BCE ，添加一个条件，使△ABC ≌△DEC ．归纳 2：结论开放型问题基础知识归纳：结论开放型问题是指根据所给的条件，经过合理的推理探究，所得到的结论的正确性，这种问题的结论往往不止一个．基本方法归纳：解决结论探究性问题，要具备一定的逻辑推理能力，观察、猜想和验证是解决此类的关键．注意问题归纳：结论探究性问题要注意结论的合理性与正确性，对于给出的多个结论要准确找到正确的个数，不要漏掉也不能多选．【例2】如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 、CB 为⊙O 的切线，D 、B 为切点，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点F ，连接AD 、BD ．给出以下结论：①AD ∥OC ；②FC=FE ；③点E 为△CDB 的内心．其中正确的是________________（填序号）归纳 3：思维方法探索题【例3】△ABC 中，BC=18，AC=12，AB=9，D ，E 是直线AB ，AC 上的点．若由A ，D ，E 构成的三角形与△ABC 相似，AE=13AC ，则DB 的长为；☞1年模拟1．如图，这个二次函数图象的表达式可能是．（只写出一个）ABC D2．已知：如图，AC ⊥BC ，BD ⊥BC ，AC ＞BC ＞BD ，请你添加一个条件使△ABC ∽△CDB ，你添加的条件是． 3．正方形111A B C O、2221A B C C 、3332A B C C 、… ，按如图所示的方式放置．点1A 、2A 、3A 、…和点1C 、2C 、3C 、…分别在直线1y x =+和x 轴上，则第2015个正方形2015201520152014A B C C 的边长为_____________．4．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a <）与x 轴相交于两点E 、B （E 在B 的左侧），与y 轴相交于点C（0，2），点D 的坐标为（-4，0），且AB=AE=2，90ACD ∠=︒．（1）求点A 、B 、E 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点M ，作MN ⊥x 轴，垂足为N ，使得以M 、N 、O 为顶点的三角形与△AOC 相似．5．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，-2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OAB，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．。

中考数学专题例练第3课时开放探究题试题(共11页)

第3课时(kèshí) 开放探究题开放探究题是一种新的题型, 关于开放题的概念，主要有以下几种描绘：〔1〕答案不固定或者者条件不完备的习题成为开放题；〔2〕具有多种不同的解法或者有多种可能的解答的问题称为开放题.开放探究题的特点是：〔1〕条件多余需选择,条件缺乏需补充；〔2〕答案不固定；〔3〕问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比拟、概括、推理、判断等探究活动来确定所需求的结论或者条件或者方法.开放探究题常见的类型有：〔1〕条件开放型：即问题的条件不完备或者满足结论的条件不唯一；〔2〕结论开放型：即在给定的条件下，结论不唯一；〔3〕策略开放型：即思维策略与解题方法不唯一；〔4〕综合型：即条件、结论、策略中至少有两项均是开放的.在解决开放探究题的时候，需解题者经过探究确定结论或者补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择适宜的解题途径完成最后的解答.这类题主要考察我们分析问题和解决问题的才能和创新意识.类型之一条件开放型问题解这种类型的开放性问题的一般思路是：由的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式.它要求解题者擅长从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

1. 〔〕四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，假设添加一个条件即可断定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．2.〔〕如下左图，D、E分别(fēnbié)是的边AB、AC上的点，那么使∽ABC△的条件是．类型之二结论开放型问题解决这种类型的问题的时候要充分利用条件或者图形特征，进展猜测、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维. 它要求解题者充分利用条件进展大胆而合理的猜测，发现规律，得出结论，这类题主要考察解题者的发散性思维和所学根本知识的应用才能。

中考数学“开放探索”专题复习指导

中考数学“开放探索”专题复习指导开放探索性问题是指试题的命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型，既是中考的热点题型，也是中考命题中具有挑战性试题，为方便同学们搞好后期复习，现从以下几个方面帮助大家对这一题型加以梳理.一、条件开放探索（一）试题特点给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不惟一，这样的问题是条件开放性问题.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因.（二）典题例析例1（2011年江苏省无锡市）请写出一个大于1且小于2的无理数＿＿＿. 分析：利用无理数的定义，直接得出结果.解：答案不惟一..点评：此类属于最基础的问题，是送分题，但必须注意要求写出的数是无理数，而不是其它性质的数.例2（2011年山西省）如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个条件：＿＿＿，可使它成为矩形. 分析：本题是探索条件类，只要根据结论，即矩形，添加使之成立的条件即可，答案不唯一，按照矩形的条件可以添加线段相等，也可以添加角等于90°.解：答案不惟一.如，AC ＝BD ，或∠ABC ＝90°等.点评：本题是添加条件的创新题，重点考查了矩形的判定.要由已知条件，过逆向思维找出合适的条件，有一定的开放性和思考性.这种类型的题目能激起同学们的挑战欲望和创新热情，实属一道“人人能达到”的好题.例3（2011年广西南宁市）如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，并且BF ＝CE ，∠B ＝∠E .（1）请你添加一个条件（不再添加辅助线）使△ABC ≌△DEF .你添加的条件是＿＿＿. （2）添加了条件后，证明△ABC ≌△DEF .分析：考虑点B 、F 、C 、E 在一条直线上，所以由BF ＝CE ，容易得到BC ＝EF ，于是，（1）要使△ABC ≌△DEF ，显然，需要添加的条件不惟一.（2）若以添加的条件∠A=∠D 为例，只要依据AAS 即可证明.解：（1）答案不惟一.如，∠A ＝∠D ，或AB ＝DE ，或∠ACB ＝∠DFE 等.（2）如，以添加∠A ＝∠D 为例证明如下：因为BF ＝CE ，所以BF +FC ＝EC +FC ，即BC ＝EF .又因为∠B ＝∠E ，所以△ABC ≌△DEF （AAS ）.点评：求解此类问题时，一定要从现有的条件和图形出发，结合所学知识，如本题中，可回忆判定两个三角形全等的条件即可.OD CB A E D CB A FA C DE （三）跟踪练习1.已知在△ABC 和△A 1B 1C 1中，AB ＝A 1B 1，∠A ＝∠A 1，要使△ABC ≌△A 1B 1C 1，还需添加一．个．条件，这个条件可以是＿＿＿. 2.如图，□ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 边上的点，要使BF ＝DE ，需添加一个条件：＿＿＿.3.如图，在四边形ABCD 中，已知AB 与CD 不平行，∠ABD ＝∠ACD ，请你添加一个条件：＿＿＿，使得加上这个条件后能够推出AD ∥BC 且AB ＝CD .4.已知一次函数y ＝kx －5，请你补充一个条件：＿＿＿，使y 随x 的增大而减小.5.如图，△ABC 内接于⊙O ，要使过点A 的直线EF 与⊙O足的条件是（只填一个即可）.6.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 相似.参考答案：1.答案不唯一.如，∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 1，AC ＝A 1C 1.2.答案不惟一.如，BE ＝DF ，或BF ∥DE ，或AF ＝CE ，或∠BFD ＝∠BED ，∠AFB ＝∠ADE 等.3.答案不惟一.如，∠DAC ＝∠ADB ，∠BAD ＝∠CDA ，∠DBC ＝∠ACB ，∠ABC ＝∠DCB ，OB ＝OC ，OA ＝OD 等.4.答案不惟一.如，k ＝－12，或－3，等等，即k 为任意负数均可. 5.答案不惟一.如，∠BCA ＝∠BAE ，或∠B ＝∠CAF .B C D A OA DCB F E6.条件不唯一.如，∠B ＝∠AED 或∠C ＝∠ADE 或ADACAE AB =等等.二、结论开放探索（一）试题特点给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。