高三考前复习课本回归--01排列组合、概率与统计

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高三数学高考复习回归课本概率与统计

2010高考复习数学回归课本：概率与统计一．考试内容：离散型随机变量的分布列. 离散型随机变量的期望值和方差.抽样方法.总体分布的估计.正态分布.线性回归.二．考试要求：(1)了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.(2)了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.(3)会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本. (4)会用样本频率分布去估计总体分布. (5)了解正态分布的意义及主要性质. (6)了解线性回归的方法和简单应用.【注意】这部分复习的重点是随机变量的分布列、期望、方差、抽样方法与样本方差、标准方差公式.三．基础知识:1.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)i P i ≥=;（2）121P P ++=.2.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++170.数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E pξ=. 4.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+5.标准差σξ=ξD .6.方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2q D p ξ=. 7.方差与期望的关系()22D E E ξξξ=-.8.正态分布密度函数()()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.9.标准正态分布密度函数()()22,,x f x x -∈-∞+∞.10.对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率()x F x μσ-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭.()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<()()21F x F x =-21x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.11.回归直线方程y a bx =+，其中()()()1122211n ni i i i i i n ni ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑.四．基本方法和数学思想1.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）p i ≥0,i=1,2,...; (2) p 1+p 2+ (1)2.二项分布：记作ξ～B （n,p ）,其中n,p 为参数，,)(kn k k n q p C k P -==ξ并记),;(p n k b q p C k n k k n =-；3.记住以下重要公式和结论：（1）期望值E ξ＝ x 1p 1 + x 2p 2 + … + x n p n + … ;（2）方差D ξ＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p E x p E x p E x 2222121)()()(ξξξ ; （3）标准差ξξξξξδξD a b a D b aE b a E D 2)(;)(;=++=+=；（4）若ξ～B （n,p ）,则E ξ＝np, D ξ＝npq,这里q=1- p;4.掌握抽样的三种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签法和随机数表法）；（2）系统抽样，也叫等距离抽样；（3）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；6.正态总体的概率密度函数：,,21)(22)(R x ex f x ∈=-σμσπ式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数与标准差； 7.正态曲线的性质：（1）曲线在x ＝μ 时处于最高点，由这一点向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；（2）曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦；（3）曲线在x 轴上方，并且关于直线x=μ 对称； 8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布),(2σμN 的概率 P （x 1<ξ<x 2）,可由变换t x =-σμ而得)()(σμφ-=x x F ，于是有P （x 1<ξ<x 2）＝)()(12σμφσμφ---x x ；9.假设检验的基本思想：（1）提出统计假设，确定随机变量服从正态分布),(2σμN ；（2）确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-；（3）作出推断：如果a ∈)3,3(σμσμ+-，接受统计假设；如果a ∉)3,3(σμσμ+-,由于这是小概率事件，就拒绝假设；五．高考题回顾一、离散型随机变量的分布列的性质：1. （04年湖北卷.理13）设随机变量ξ的概率分布为P （ξ=k ）=5k a，a 为常数，=k 1，2，…，则a =______.2（04年辽宁卷.8）已知随机变量ξ的概率分布如下：则(10)P ξ==( ). A. 93 B. 103 C. 93 D. 103 二.基本概念的考察.3.经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人4. （江苏卷）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：( )9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为:( A ) 9.4 , 0.484 ( B ) 9.4 , 0.016 ( C ) 9.5 , 0.04 ( D ) 9.5 ,0.016 5. .(湖南)一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品.6. 江西卷）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（） A ．0,27,78 B ．0,27,83 C ．2.7,78 D ．2.7,83 7. 从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是()(A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.37三.典型大题举例.8. 甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）9.（广东卷）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为ｓ：ｔ．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次．以ξ表示取球结束时已取到白球的次数．（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望．10（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。

高考数学回归课本教案：排列组合与概率

高考数学回归课本教案：排列组合与概率第一章：排列组合基础1.1 排列的概念介绍排列的定义和排列数的计算方法通过实例解释排列的应用场景1.2 组合的概念介绍组合的定义和组合数的计算方法通过实例解释组合的应用场景1.3 排列组合的综合应用通过实例讲解排列组合的综合应用问题引导学生运用排列组合知识解决实际问题第二章：概率的基本概念2.1 随机事件的定义介绍随机事件的定义和分类通过实例解释随机事件的概念2.2 概率的定义与计算介绍概率的定义和计算方法讲解如何通过排列组合知识计算事件的概率2.3 概率的基本性质与运算法则讲解概率的基本性质和运算法则通过实例引导学生运用概率知识解决问题第三章：条件概率与独立事件3.1 条件概率的概念介绍条件概率的定义和计算方法讲解条件概率与无条件概率的关系3.2 独立事件的定义与性质介绍独立事件的定义和性质讲解如何判断事件是否独立3.3 独立事件的概率计算讲解如何利用独立事件的性质计算概率通过实例引导学生运用条件概率和独立事件的知识解决问题第四章：概率分布4.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的定义和特点通过实例解释离散型随机变量的应用场景4.2 概率分布的概念与计算讲解概率分布的定义和计算方法介绍几种常见的离散型随机变量的概率分布4.3 期望与方差的计算讲解期望和方差的定义和计算方法通过实例引导学生运用概率分布知识解决问题第五章：排列组合与概率的综合应用5.1 排列组合与概率的综合问题讲解排列组合与概率的综合应用问题引导学生运用所学知识解决实际问题5.2 概率模型与实际应用介绍概率模型在实际应用中的例子引导学生认识到概率知识在生活中的重要性5.3 拓展练习与思考提供一些拓展练习题供学生巩固所学知识引导学生进行思考，培养学生的数学思维能力第六章：排列组合与概率的历年高考题解析6.1 排列组合与概率的高考题型分析分析历年高考中排列组合与概率题型的特点和变化趋势引导学生掌握解题方法和技巧6.2 典型高考题解析解析历年高考中的典型排列组合与概率题目引导学生通过解析题目，加深对知识点的理解和掌握第七章：排列组合与概率的练习与巩固7.1 排列组合与概率的练习题提供一些排列组合与概率的练习题供学生巩固所学知识引导学生通过练习，提高解题能力7.2 练习题答案与解析提供练习题的答案和解析引导学生通过解析答案，加深对知识点的理解和掌握第八章：排列组合与概率的拓展与应用8.1 排列组合与概率的拓展知识介绍一些排列组合与概率的拓展知识引导学生扩展知识面，提高数学素养8.2 排列组合与概率的实际应用介绍排列组合与概率在实际生活中的应用引导学生认识到数学知识的重要性和实用性9.1 排列组合与概率的知识点梳理复习排列组合与概率的主要知识点引导学生形成系统的知识结构9.2 排列组合与概率的解题策略与技巧引导学生提高解题效率和正确率第十章：排列组合与概率的高考备考策略10.1 高考排列组合与概率题型备考策略给出高考排列组合与概率题型的备考建议引导学生有针对性地进行复习和准备10.2 排列组合与概率的模拟训练与检测提供一些模拟题供学生进行模拟训练引导学生通过模拟训练，检测自己的学习效果和提高空间10.3 排列组合与概率的高考心理准备与应对策略讲解高考心理准备和应对策略引导学生做好高考心理准备，提高应对能力重点和难点解析重点环节一：排列组合的综合应用重点关注学生对排列组合知识的理解和应用能力。

高三数学总复习--排列组合与概率统计

排列组合复习一、知识回顾1.分类计数原理和分步计数原理（1）分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法。

那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

(2) 分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

2.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 .3.排列数定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示.4.排列数公式：!()()().()!n m n nn m n m A n An n n n m A n m --=---+==-1215.全排列：n 个不同元素全部取出的排列。

6.阶乘：从自然数1到n 的连乘积，记为!n n A n = ，规定：0！=17.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

8.组合与排列的区别：组合无序，排列有序。

9.组合数：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有组合的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的组合数，用符号mn C 表示.10.组合数公式：()()()!.!!()!m m n n mm A n n n n m n C A m m n m ---+===-121()n m m n ≤∈*,,N11.两个性质：m n n m n C C -=；11-++=m nm n m n C C C ．规定：01.n C =12.几个常用公式：⑴ !)!1(!n n n n -+=⋅ ⑵)!1(1!1)!1(+-=+n n n n ⑶ 111+++=+++m n m n m m m m C C C C⑷m mm m m n A A A ++++=1m m A ()m mm m m m m n m n C C C A C ++++++=⋅111概率统计复习分布列、数学期望和方差1、分布列:ξx 1x 2 … x i … PP 1 P 2… P i…2、分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)3、数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．性质: b aE b a E +=+ξξ)(4、方差：ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋… 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；5、二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn kkn qp C -＝b (k ；n ，p )．ξ1 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n nE ξ=np, =ξD np (1-p )排列组合试题1、不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有A、12种B、20种C、24种D、48种2、有6个座位连成一排，安排3人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有A、36种B、48种C、72种D、96种3、从0，1，2，3，4每次取出不同的三个数字组成三位数，那么这些三位数的个位数字之和为A、80B、90C、110D、1204、以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是B、C、-6D、5、5人站成一排，其中A不在左端也不和B相邻的排法种数为A、48B、54C、60D、666、由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有A、72B、60C、48D、527、用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数。

高考数学回归课本教案：排列组合与概率

高考数学回归课本教案：排列组合与概率一、教学目标1. 理解排列组合的概念，掌握排列组合的计算方法。

2. 理解概率的基本原理，掌握概率的计算方法。

3. 能够运用排列组合和概率的知识解决实际问题。

二、教学内容1. 排列组合的概念和计算方法。

2. 概率的基本原理和计算方法。

3. 排列组合和概率在实际问题中的应用。

三、教学重点1. 排列组合的计算方法。

2. 概率的计算方法。

四、教学难点1. 排列组合的复杂计算。

2. 概率的推理和计算。

五、教学方法1. 采用讲解、示例、练习相结合的方法，帮助学生理解和掌握排列组合和概率的知识。

2. 通过实际问题的讨论，培养学生的应用能力。

一、排列组合的概念和计算方法1. 排列的概念和计算方法a. 排列的定义b. 排列的计算公式c. 排列的示例和练习2. 组合的概念和计算方法a. 组合的定义b. 组合的计算公式c. 组合的示例和练习二、概率的基本原理和计算方法1. 概率的概念和计算方法a. 概率的定义b. 概率的计算公式c. 概率的示例和练习2. 条件概率和独立事件的概率a. 条件概率的定义和计算方法b. 独立事件的定义和概率计算方法c. 条件概率和独立事件的示例和练习三、排列组合和概率在实际问题中的应用1. 排列组合在实际问题中的应用a. 人员安排问题的解决b. 活动安排问题的解决c. 排列组合应用题的练习2. 概率在实际问题中的应用a. 概率在决策中的应用b. 概率在预测中的应用c. 概率应用题的练习这只是一个初步的教案框架，具体的内容可以根据实际需要进行调整和补充。

希望对你有所帮助。

六、排列组合的综合应用1. 排列组合的综合问题解决a. 多重排列组合问题的分析b. 排列组合问题的高级应用c. 综合应用题的练习七、概率的进一步理解和应用1. 概率的公理体系和性质a. 概率的基本公理b. 概率的互补事件和独立事件的性质c. 概率的练习题2. 随机事件的分布a. 离散型随机变量的定义和性质b. 连续型随机变量的定义和性质c. 随机事件分布列的练习题八、概率的计算方法1. 直接计算法a. 利用概率的基本性质计算概率b. 利用排列组合计算概率c. 直接计算法的练习题2. 条件计算法a. 利用条件概率计算概率b. 利用独立事件的概率计算概率c. 条件计算法的练习题九、概率分布和期望值1. 离散型随机变量的期望值a. 离散型随机变量的期望值的定义和性质b. 离散型随机变量期望值的计算方法c. 离散型随机变量期望值的练习题2. 连续型随机变量的期望值a. 连续型随机变量的期望值的定义和性质b. 连续型随机变量期望值的计算方法c. 连续型随机变量期望值的练习题十、实际问题的概率分析和解决1. 概率模型构建a. 实际问题概率模型的建立b. 概率模型的求解和分析c. 概率模型构建的练习题2. 实际问题的概率解决a. 利用概率解决随机事件问题b. 利用概率解决决策问题c. 实际问题概率解决的练习题重点和难点解析一、排列组合的概念和计算方法难点解析：排列组合的复杂计算，尤其是当元素数量较多时，如何快速准确地计算出结果。

高考数学回归课本排列组合与概率教案旧人教版

高考数学回归课本教案第十三章排列组合与概率一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，mn A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，nn A =n!。

4．N 个不同元素的圆周排列数为nA n n =(n-1)!。

5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）kn k n C C kn=--11；（4）n nk k n n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。

高三数学专题复习排列、组合与概率人教版教案

高三数学专题复习排列、组合与概率一、基本知识点回顾：（一）排列、组合 1、知识结构表：2、两个基本原理：（1）分类计数原理（2）分步计数原理3、排列（1）排列、排列数定义（2）排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=m n n n m n n A mn（3）全排列公式：!n A nn =4、组合（1）组合、组合数定义（2）组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=m m m n n n m n m n C mn（3）组合数性质：①m n n m n C C -= ②r n r n r n C C C 11+-=+ ③11--•=r n r n C n rC④nn nn n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++⑤0)1(210=-+⋅⋅⋅++-n n n n n n C C C C 即：1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C5、思想方法（1）解排列组合应用题的基本思路：① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；（2）解排列组合题的基本方法： ① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

③ 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。

④ 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。

⑤ 插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

高考数学回归课本教案排列组合与概率

高考数学回归课本教案排列组合与概率一、教学目标1. 理解排列组合的基本概念和方法，掌握排列数公式和组合数公式的运用。

2. 掌握概率的基本原理和方法，能够运用概率公式解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决数学问题的能力。

二、教学内容1. 排列组合的概念和方法排列的概念和排列数的计算公式组合的概念和组合数的计算公式排列组合的综合应用举例2. 概率的基本原理随机事件的定义和分类必然事件、不可能事件和不确定事件的区分概率的定义和计算方法三、教学重点和难点1. 教学重点：排列组合的概念和方法的掌握概率的基本原理和计算方法的运用2. 教学难点：排列组合的综合应用举例概率公式的灵活运用解决实际问题四、教学方法和手段1. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、小组讨论法等相结合的教学方法。

通过具体例题和练习题，引导学生主动思考和解决问题。

2. 教学手段：使用多媒体教学课件，展示排列组合和概率的相关概念和例题。

提供充足的练习题和学习资料，帮助学生巩固知识点。

五、教学安排1. 课时：本章共计4 课时。

2. 教学进度安排：课时1：排列组合的概念和方法（排列数公式、组合数公式）课时2：排列组合的综合应用举例课时3：概率的基本原理（随机事件、必然事件、不可能事件）课时4：概率的计算方法（概率公式应用）六、教学活动设计1. 排列组合的概念和方法通过具体例子引入排列组合的概念，如举办运动会比赛项目的安排。

讲解排列数公式和组合数公式的推导过程，让学生理解其含义。

2. 概率的基本原理通过具体例子引入随机事件的概念，如抛硬币、抽奖等。

讲解必然事件、不可能事件和不确定事件的定义和区分。

七、教学评估设计1. 排列组合的概念和方法通过课堂提问，检查学生对排列组合概念的理解程度。

通过例题练习，评估学生对排列数公式和组合数公式的掌握情况。

2. 概率的基本原理通过课堂提问，检查学生对随机事件的定义和分类的理解程度。

通过例题练习，评估学生对概率的定义和计算方法的掌握情况。

高考必背的排列组合与概率统计

n+1 n+1 数，中间两项 + （第项及第 2 2
的二项式系数相等且最大 . 1项）
6．你对随机事件之间的关系
熟悉吗？提醒（1 ）必然事件 Ω ，P （Ω ）=
4．二项展开式的通项公式是
解决二项式问题的重要工具，二项展开式的通项公式是什么？提醒
语法错误、解题步骤错误、答案错误等。奖励只属于第一个打进电话正确纠错的同学。纠错热线：（023）63658982，来电请找张老师。
高考金刊
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xmin）； ② 确定组距和组数； ③ 确定
分点；④ 列频率分布表；⑤ 画频率直方图，其中，频率 = 小长方形的面积 = 组距 × 频率组距
（ r=0 ， 1 ， … ， n ）， C
（区别于该项的系数） . 5．二项式定理的性质有哪些？
.
有奖纠错读金刊，找错误，得奖金。凡在本期《高考金刊》上找出错误者，均有机会获得现金奖励（10 元/处）。错误包括：错别字，辅导类文章
A包含的等可能结果的个数
一次试验的等可能结果的总数
=
m . n
（2）互斥事件：P （A+B） =P （A） +
n（n-1）…（n-m+1） = n！ m！ m！（n-m ）！
规定 C =1.
0 n
P （B ）. 对立事件：P （A ）=1－P （A ）.
（3 ）相互独立事件：P （A· B） = · P （A ） P （B ）.
2 n
4 n

高考数学回归课本教案排列组合与概率

高考数学回归课本教案——排列组合与概率教学目标：1. 理解排列组合的基本概念和方法，掌握排列组合的计算公式。

2. 理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法。

3. 能够运用排列组合和概率的知识解决实际问题。

教学内容：第一章：排列组合基本概念1.1 排列的概念和计算公式1.2 组合的概念和计算公式第二章：排列组合的进一步应用2.1 排列组合的综合应用2.2 排列组合在实际问题中的应用第三章：概率的基本概念3.1 随机事件的概念3.2 概率的定义和计算方法第四章：概率的进一步应用4.1 条件概率和独立事件4.2 概率的乘法公式和全概率公式第五章：概率分布和统计5.1 离散型随机变量的概率分布5.2 连续型随机变量的概率分布教学方法：1. 采用讲授法，讲解排列组合和概率的基本概念和方法。

2. 采用案例分析法，分析实际问题中的应用。

3. 采用练习法，让学生通过练习题目的方式巩固知识点。

教学评估：1. 课堂练习：每章结束后进行课堂练习，检查学生对知识的掌握程度。

2. 课后作业：布置课后作业，要求学生在规定时间内完成。

3. 单元测试：每个模块结束后进行单元测试，评估学生对模块知识的掌握情况。

教学资源：1. 教材：《高考数学复习课本》2. 教辅资料：《高考数学排列组合与概率专项训练》3. 网络资源：相关排列组合和概率的教学视频和案例分析。

教学进度安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：4课时教学总结：通过本章教学，学生应能够掌握排列组合的基本概念和方法，能够灵活运用排列组合的计算公式解决实际问题。

学生还应理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法，并能够运用概率的知识解决实际问题。

高考数学回归课本教案——排列组合与概率（续）教学内容：第六章：排列组合的综合应用6.1 排列组合在数学问题中的应用6.2 排列组合与其他数学领域的综合应用第七章：概率的乘法公式和全概率公式7.1 概率的乘法公式的推导和应用7.2 全概率公式的推导和应用第八章：条件概率和独立事件8.1 条件概率的定义和计算方法8.2 独立事件的定义和计算方法第九章：离散型随机变量的概率分布9.1 离散型随机变量的概率分布的概念和性质9.2 几种常见的离散型随机变量的概率分布及其应用第十章：连续型随机变量的概率分布10.1 连续型随机变量的概率分布的概念和性质10.2 几种常见的连续型随机变量的概率分布及其应用教学方法：1. 采用案例分析法，分析排列组合和概率在实际问题中的应用。

高三数学第二轮专题复习系列(10)--排列、组合、二项式定理和概率统计

高三数学第二轮专题复习系列(10)--排列、组合、二项式定理和概率统计一、知识要点二、高考要求1、掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题。

2、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。

3、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。

4、掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。

5、了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。

6、了解等可能事件的概率的意义，并会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。

7、了解互斥事件的相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。

8、会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。

9、了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列。

10、了解离散型随机变量的期望、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求期望与方差。

11、了解连续型随机变量的概率密度的意义。

12、会用简单随机抽样，系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。

13、会用2S*与2S去估计总体方差2δ，会用S*与S去估计总体标准δ。

14、会用样本频率分布去估计总体分布。

了解线性回归的方法和简单应用。

三、热点分析排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误,并且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难。

解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，科学周全的思考、分析问题。

二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点。

概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫。

(冲刺回归)高考数学三轮复习基础知识梳理--第六部分排列、组合与概率、向量

(冲刺回归)高考数学三轮复习基础知识梳理--第六部分排列、组合与概率、向量1、解排列组合应用题是第一要明确需要完成的事件是什么，其次要分清完成该事件是分类依旧分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即剔除法）思想.简单地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？如何做！”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.专门是排列问题，更要注意“专门元素、专门位置”之间的关系，一样地讲，从正面入手解决时，“专门元素专门照管，专门位置专门考虑.”相邻问题则用“捆绑”，不邻问题则用“插空”.专门提醒：解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏. ［举例］关于问题：从3位男同学，5位女同学这8位同学中选出3人参加学校一项活动，求至少有2位女同学的选法种数.一位同学是如此解的：先从5位女同学中选出2名有25C 种选法，再在剩下的6位同学中任选一位有16C 种选法，因此共有1625C C ⋅种不同的选法.请分析这位同学的错误缘故，并给出正确的解法.分析：这位同学的解法中犯了计数重复的错误.不妨设女同学的编号为A 、B 、C 、D 、E ，如先选的25C 为A 、B ，再选的16C 为C ，和先选的为A 、C ，再选的为B 是同一种选法.本解法中作为两种不同的结果计数，因此重复.正确解法有两种：方法一：（分类讨论）选出的3人中至少有2名女同学，则为2女1男有1325C C ⋅种不同选法，3位都为女同学有35C 种不同选法.两种结果都能完成这件事，因此有40351325=+⋅C C C 种不同的选法.方法二：（去杂法）8位同学中选出3人不满足条件和选法为3男与2男1女.所有选法为38C ，则满足题义的选法为：15233338C C C C ⋅--. 2、简单地说：事件A 的概率是含有事件A 的“个体数”与满足条件的事件的“总体数”的比值.现行高考中的概率问题实际上是排列、组合问题的简单应用.［举例］定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”，集合}9,7,5,3,1{=A 的真子集能够作为A 的“孙集”的概率是＿＿＿＿＿＿.分析：本例是“即时性”学习问题.要正确明白得“孙集”的定义——“真子集的真子集”.元素为n 个的集合的真子集有12-n个，其真子集的元素最多有1-n 个.有1-n 个元素的集合的真子集最多有2-n 个元素.因此有n 个元素的集合的“孙集”实际上是原集合中的小于等于2-n 个元素的真子集.故其概率312612535251505=-+++=C C C C . 3、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，)(21→→+AC AB 表示△ABC 的边BC 的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），||AB 表示A 、B 两点间的距离；以a 、b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量a +b 、b a -（或a b -）.［举例］已知非零向量b a ,满足：||||b a b a -=+，则向量b a ,的关系是――――（） A 、平行； B 、垂直； C 、同向； D 、反向.分析：注意到向量运算的几何意义：||b a +与||b a -表示以a 和b 为一组邻边的平行四边形的两对角线的长.我们明白：对角线相等的平行四边形是矩形，从而有b a ⊥.选B.另一方面，本例也能够利用向量的运算来进行求解.22)()(||||b a b a b a b a -=+⇒-=+，化简得：0=⋅b a ，有b a ⊥.4、明白得单位向量、平行向量、垂直向量的意义.与非零向量a 同向的单位向量||0a aa =，反向的单位向量||0a aa =.［举例］已知△ABC ，点P 满足)(||||(R AC AB AP ∈+=λλ则点P 的轨迹是（）A 、BC 边上的高所在直线；B 、BC 边上的中线所在直线；C 、A ∠平分线所在直线；D 、BC 边上中垂线所在直线.分析：这是一道专门“漂亮”的与向量相关的问题.)(||||(R AC AB AP ∈+=λλ，它涵盖了单位向量、向量加法的意义、数与向量乘积的概念等.注意到||||AC AB 分别是AC AB ,||||AC ACAB AB+AC AB ,上的单位向量为邻边的菱形的对角线上的向量，因此()||||AB AC AP AB AC λ=+所在直线是A ∠平分线所在直线，则P 点的轨迹是A ∠平分线所在直线.选C.5、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积><=⋅b a b a b a ,cos ||||；其中><→→→b a b ,cos ||可视为向量b 在向量a 上的射影.［举例1］已知△ABC 是等腰直角三角形，C ∠＝90°，AC ＝BC ＝2，则BC AB ⋅＝＿＿；分析：专门注意的是，向量AB 与BC 的夹角不是△ABC 的内角B ， AB 与BC 的夹角是B ∠的外角.（如图）由2==BC AC ，则22=AB ，则 4)22(22243cos ||||-=-⋅⋅=⋅=⋅πBC AB BC AB . ［举例2］P 是△ABC 边BC 的中线AD 上异于A 、D 的动点， AD ＝4，则)(PC PB PA +⋅的取值范畴是＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由D 是BC 的中点知PD PC PB 2=+，PA 与 PD 反向，它们所成角为π.设)40(||<<=x x PA ，则x PD -=4||.那么)40)(4(22)(<<--=⋅=+⋅x x x PD PA PC PB PA .因此其取值范畴为)0,8[-.6、向量运算中专门注意22||a a =的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算.［举例］已知1||,2||==b a ，且b a ,的夹角为4π，又b a OD b a OC -=+-=2,3，求||CD . 分析：b a b a b a OC OD CD 43)3()2(-=+---=-=，则|43|||b a CD -=，由题知1=⋅b a，因此10||===CD .注意：有关向量的运算也能够利用数形结合的方法来求解，本例就能够由作图得解.请同学们自己完成.7、向量的坐标运确实是高考中的热点内容，要熟练把握.已知},{},,{2211y x b y x a ==则 21212121},,{y y x x b a y y x x b a ⋅+⋅=⋅±±=±.若),(),,(2211y x B y x A ，则2{x AB =－},121y y x -，其坐标形式中是向量的终点坐标减去起点坐标.请注意：向量的坐标形式实质上是其分解形式j y i x ⋅+⋅的“简记”.其中j i ,分别表示与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论：若向量},{},,{2211y x b y x a ==是非零向量则有：02121=⋅+⋅⇔⊥y y x x b a ；⇔b a //01221=⋅-⋅y x y x .［举例］设O 是直角坐标原点，j i OB j i OA -=+=4,32，在x 轴上求一点P ，使BPAP⋅B最小，并求现在APB ∠的大小.分析：设)0,(x P ，则},1,4{},3,2{-=--=x BP x AP 则3)4)(2(---=⋅x x BP AP = 4)3(5622--=+-x x x ，因此当3=x 时，BP AP ⋅的最小值为.4-现在}3,1{-=AP ，}1,1{-=BP ，BP AP ,所夹角等于APB ∠，因此552||||cos -==∠BP AP BP AP APB .因此552arccos-=∠πAPB . 8、利用向量求角时，要注意范畴.两向量所成角的范畴是],0[π.专门注意0>⋅b a 不能等同于b a ,所成角是锐角.当b a ,同向时也满足0>⋅b a .［举例1］已知△ABC ，则“0<⋅AC AB ”是“△ABC 为钝角三角形”的――――（） A 、充分不必要条件； B 、必要不充分条件；C 、充分必要条件；D 、既不充分又不必要条件.分析：关于△ABC ，由0<⋅AC AB 可知A ∠是钝角，但△ABC 为钝角三角形，不一定A 是钝角.选A.［举例2］l 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△ABO 是――――――――――――――――――――――――――（） A 、锐角三角形； B 、直角三角形； C 、钝角三角形； D 、不确定与P 值有关.分析：由直线l 过焦点)0,2(p F ，设其方程为2p my x +=，联立得：⎪⎩⎪⎨⎧+==222p my x px y ，即：0222=--p pmy y ，设),(),,(2211y x B y x A ，则221p y y -=⋅，又p y p y x x 22222121⋅=⋅= 42p .则04322121<-=+=⋅p y y x x OB OA ，则AOB ∠一定是钝角.选C. 9、关注向量运算与其它知识的联系，与三角函数综合是高考中的常见题型.［举例］已知向量R x x x b x a ∈==},2sin 3,{cos },1,cos 2{.设b a x f ⋅=)(.（1）若31)(-=x f 且]3,3[ππ-∈x ，求x 的值；（2）若函数x y 2sin 2=的图像按向量)2|}(|,{π<=m n m c 平移后得到函数)(x f y =的图像，求实数n m ,的值.分析：（1）由题知：1)62sin(22sin 312cos 2sin 3cos 2)(2++=++=+=πx x x x x x f ，由题：23)62sin(-=+πx ，又]3,3[ππ-∈x ，因此4π-=x . （2）函数1)62sin(2++=πx y 是由函数x y 2sin 2=向左平移12π，再向上平移1个单位而得，因此1,12=-=n m π.10、关注点、函数图像（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点),(y x M 按向量},{n m a =平移得到点的坐标是),(/n y m x M ++；曲线C ：0),(=y x f 按向量},{n m a =平移得到曲线/C 的方程为0),(=--n y m x f .在实际应用过程中不必要死记公式，可结合图形将函数图像（曲线）按某向量平移的问题能够先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移，再用函数图像变换的规律操作.［举例1］将椭圆13)3(4)2(22=++-y x 对应的曲线按向量a 平移后得到的曲线的方程为标准方程，则=a ＿＿＿＿；分析：椭圆13)3(4)2(22=++-y x 的中心为)3,2(-，平移后中心为)0,0(，则点)3,2(-为向量a 的起点，点)0,0(为向量a 的终点，因此}3,2{-=a .[举例2]平移坐标轴，将原点按向量a 平移后，使椭圆13)3(4)2(22=++-y x 在新坐标系中化成为标准方程，则向量a ＝＿＿＿＿＿＿＿.分析：本例与上例平移方向相反.是将原点从)0,0(平移到)3,2(-，因此}3,2{-=a .注意到曲线（函数图像）的平移坐标系不变，而坐标轴的平移是曲线（函数图像）不变.两者的方向是不同的，即向量的起点与终点恰好相反.。

高三数学考前回归课本复习材料04(平面向量排列组合概率)

高三数学考前回归课本复习材料04(平面向量排列组合概率)平面向量、排列组合概率1．→→b a ,是任意向量，给出：○1,→→=b a ○2→→=b a ，○3→→b a 与方向相反，○4,00→→→→==b a 或 →→b a ,都是单位向量，其中是→→b a 与共线的充分不必要条件。

2．已知0≠-=⋅-⋅c b c a ，且不垂直和b a ，则()c b a b a ⋅⋅-与（）A 、相等B 、方向相同C 、方向相反D 、方向相同或相反3．设c b a ,,是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：①()0)(=⋅⋅-⋅⋅b a c c b a ；②++ ；③()()垂直不与c b a c a c b ⋅⋅-⋅⋅ ④若c b a b a 与则⋅⊥,不平行其中正确命题的个数是（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4．如果,0a b a c a ⋅=⋅≠且，那么（）A ．b c =B ．b c λ=C ． b c ⊥D ．,b c 在a 方向上的投影相等5．若()()方向在则b c c a b a ,0,7,4,3,2=+-==上的投影为。

6．在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为 ( )A 20B 20-C 320D 320-7．若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足（）A ． a 与b 的夹角等于α-βB ．a ∥bC ．(a +b )⊥(a -b )D ． a ⊥b 8．设向量),(),,(2211y x b y x a ==，则2121y y x x =是b a //的（）条件。

A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要9．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（）① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ② |a ·b |=|a | |b |；③ 2121y y x x =； ④(a +b )//(a －b )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个10．向量→AB ＝（3，4）按向量a =(1,2)平移后为（）A 、（4，6）B 、（2，2）C 、（3，4）D 、（3，8）11．将函数y=2x 的图象按向量 →a 平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① →a 的坐标可以是（-3，0） ②→a 的坐标可以是（-3，0）和（0，6） ③→a 的坐标可以是（0，6）④→a 的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（）A 、1 B 、2 C 、3 D 、412．已知A （3，7），B （5，2），向量)21(，a AB =→→按平移后所得向量是。

高考数学回归课本教案排列组合与概率

高考数学回归课本教案排列组合与概率一、章节概述本章主要涉及排列组合和概率两个方面的知识。

排列组合是研究如何从多个不同元素中选取一部分元素进行排列或组合的问题，它是组合数学的一个重要分支。

概率则是对随机事件发生可能性的一种度量，它是数学统计学的基础。

本章将重点讲解排列组合的基本原理和方法，以及概率的基本概念和计算方法。

二、教学目标1. 理解排列组合的概念，掌握排列组合的基本原理和方法。

2. 掌握概率的基本概念，了解常用概率计算方法。

3. 能够应用排列组合和概率的知识解决实际问题。

三、教学内容1. 排列组合的概念和原理排列的定义和计算方法组合的定义和计算方法排列组合的性质和公式2. 概率的基本概念随机事件的定义和分类必然事件、不可能事件和不确定事件概率的定义和计算方法3. 常用概率计算方法古典概型的概率计算条件概率和独立事件的概率计算互斥事件的概率计算四、教学方法1. 采用讲解法，通过教师的讲解和举例，让学生理解排列组合和概率的基本概念和方法。

2. 采用案例分析法，通过具体的案例和问题，让学生学会应用排列组合和概率的知识解决实际问题。

3. 采用练习法，通过布置相关的习题和作业，让学生巩固和提高排列组合和概率的计算能力。

五、教学评估1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的参与程度，包括提问、回答问题和讨论等，以评估学生对排列组合和概率知识的理解程度。

2. 习题练习：布置相关的习题和作业，要求学生在规定时间内完成，以评估学生的排列组合和概率计算能力。

六、章节概述本章将继续深入探讨排列组合和概率的相关概念。

我们将重点讲解排列组合在实际问题中的应用，以及概率的一些高级计算方法。

学生将能够通过实例更好地理解排列组合和概率的理论知识，并能够运用这些知识解决实际问题。

七、教学目标1. 学会运用排列组合知识解决实际问题。

2. 掌握概率的高级计算方法，如全概率公式和贝叶斯公式。

3. 能够运用概率知识对现实事件进行合理判断和预测。

高考数学一轮复习知识点之排列、组合和概率

高考数学一轮复习知识点之排列、组合和概率排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

以下是查字典数学网整理的高考数学一轮复习知识点，请考生学习。

.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法。

.二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。

二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。

二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r..你把握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事件同时发生的概率公式。

) .二项式展开式的通项公式、n次独立重复试验中事件A发生k次的概率易记混。

通项公式：它是第r+1项而不是第r项;事件A发生k次的概率：。

其中k=0，1，2，3，，n，且0家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。

.求分布列的解答题你能把步骤写全吗?如何对总体分布进行估量?(用样本估量总体，是研究统计问题的一个差不多思想方法，一样地，样本容量越大，这种估量就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;明白得频率分布直方图矩形面积的几何意义。

)要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。

在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。

高三考前复习课本回归--01排列组合、概率与统计.doc

数学基础知识与典型例题排列与组合1．分类计数原理:完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1+n2+n3+…+n M种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有1m种不同的方法,做第二步有2m种不同的方法,……,做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3·…n M种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。

它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。

只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。

利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。

3.⑴排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号m nA表示.其中n，m∈N*，并且m≤n．⑶排列数公式:!(1)(1)(,,)()!mnnA n n n m m n n m Nn m=--+=∈-≤当m=n时，排列称为全排列，排列数为nnA=(1)21n n⨯-⨯⨯⨯记为n!, 且规定O!=1.注：!(1)!!n n n n⋅=+-; 11--=mnmnnAA4.⑴组合的定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号mnC表示.⑶组合数公式: (1)(1)!!!()!mm nn mmA n n n m nCA m m n m--+===-.规定01nC=，其中m，n∈N+，m≤n.注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序.排列与组合⑷组合数的两个性质:①;m n mn nC C-=从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.②11m m mn n nC C C-++=根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C1-mn，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C mn种，依分类原理有mnmnmnCCC11+-=+.5．解排列、组合题的基本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法; ②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有nnA种，()m m n<个元素的全排列有mmA种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有mmnnAA种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.6.二项式定理:⑴对于n N*∈，00110()n n n r n r r n nn n n na b C a b C a b C a b C a b--+=+++++,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()na b+的展开式.注:展开式具有以下特点：项数：共有1+n项；系数：依次为组合数;,,,,,,210nnrnnnnCCCCC且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开.⑵二项展开式的通项：()na b+的展开式第r+1为1(0,)r n r rr nT C a b r n r Z-+=∈≤≤.⑶二项式系数的性质.①二项展开式中的(0,1,2,,)rnC r n=叫做二项式系数．．．．．②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；即011,,,.n n r n rn n n n n nC C C C C C--===排列与组合③二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大且当12n+k<时，二项系数是逐渐增大，当12n+k>时，二项式系数是逐渐减小的．(Ⅰ)当n是偶数时,中间项是第12n+项,它的二项式系数2nnC最大;(Ⅱ)当n是奇数时,中间项为两项,即第12n+项和第112n++项,它们的二项式系数1122n nn nC C-+=最大.④系数和：所有二项式系数的和：012n nn n nC C C+++=;奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和:0241312nn n n n nC C C C C-+++=++=.⑤1121m m m m mm m m m n m nC C C C C++++++++=⑷如何来求()na b c++展开式中含p q ra b c的系数呢？其中,,,p q r N∈且p q r n++=把()[()]n na b c a b c++=++视为二项式，先找出含有r c的项()r n r rnC a b c-+，另一方面在()n ra b-+中含有q b的项为q n r q q q p qn r n rC a b C a b----=，故在()na b c++中含p q ra b c的项为r q p q rn n rC C a b c-.其系数为!()!!!()!!()!!!!r q p q rn n r n n p rn n r nC C C C Cr n r q n r q r q p---=⋅==---.⑸二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

旧教材适用2024高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及分布列第2讲排列与组合

第2讲排列与组合1．排列与排列数(1)排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，□01依据肯定的依次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的□02全部不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作□03A m n．2．组合与组合数(1)组合从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□04合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的□05全部不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作□06C m n．3．排列数、组合数的公式及性质公式排列数公式A mn＝□07n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝□08n！（n－m）！组合数公式C mn＝A mnA mm＝□09n（n－1）…（n－m＋1）m！＝□10n！m！（n－m）！性质(1)A nn＝□11n！；(2)0！＝□121(1)C0n＝□131；(2)C mn＝□14C n－mn；(3)C mn＋C m－1n＝C mn＋1备注n，m∈N*且m≤n解决排列与组合问题的“四项基本原则”(1)特别优先原则：假如问题中有特别元素或特别位置，优先考虑这些特别元素或特别位置．(2)先取后排原则：在既有取出又须要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把须要排列的元素取出后，再进行排列．(3)正难则反原则：当干脆求解困难时，采纳间接法解决问题．(4)先分组后安排原则：在安排问题中假如被安排的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行安排．1．若A32n ＝10A3n，则n＝( )A.1 B．8C．9 D．10答案 B解析原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，n≥3，整理，得n＝8.2．5名男同学、6名女同学排成一排，要求男同学依次肯定且女同学依次也肯定，不同排法种数为( )A.C511B．2C511C．A511D．A611答案 A解析共11名同学排成一排有11个位置．从11个位置中选出5个位置，共有C511种选法，每一种选法的5个位置让男同学按着肯定依次去排，余下6个位置让女同学按肯定依次去排．3．(2024·江西吉安联考)某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有( )A.12种B．24种C．18种D．36种答案 D解析元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人乘坐同一电梯有C23＝3种选法，再将2个“元素”支配乘坐四部电梯有A24＝12种支配方法，则不同的乘坐方式有3×12 ＝36种．故选D.4．若把英语单词“error”中字母的拼法依次写错了，则可能出现错误的种数是( )A.20 B．19C．10 D．9答案 B解析“error”由5个字母组成，共有3个相同，这相当于5个人站队，只要给e，o选定位置，其余三个相同的字母r，位置固定，即全部拼法方式为A25，error拼法错误的种数为A25－1＝19.5．(2024·山西长治高三入学摸底)用0～9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A.324 B．328C．360 D．648答案 B解析首先应考虑特别元素“0”，当0排在末位时，有A29＝9×8＝72个，当0不排在末位时，有A14A18A18＝4×8×8＝256个，于是由分类加法计算原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328个．6．(2024·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少支配1名同学，则不同的支配方法共有________种．答案36解析∵4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少支配1名同学，∴先选2名同学作为一组，选法有C24＝6种，然后将3组同学安排到3个小区，分法有A33＝6种，依据分步乘法计数原理，可得不同的支配方法共有6×6＝36种．考向一排列问题例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排一排，女生必需站在一起；(5)全体排一排，男生互不相邻；(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；(7)全体排一排，甲必需排乙前面；(8)全部排一排，甲不排在左端，乙不排在右端．解(1)A57＝2520种方法．(2)A77＝5040种方法．(3)解法一：先排甲，有5种方法，其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3600种方法．解法二：先排排头和排尾有A26种方法，其余位置有A55种排法，故共有A26A55＝3600种方法．(4)将女生看成一个整体，用捆绑法，共有A44A44＝576种方法．(5)先排女生有A 44种，再将男生插空有A 35种，故共有A 44A 35＝1440种方法．(6)将甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲、乙有A 22种方法，再排中间三人有A 35种方法，最终将他们看作一个整体与剩下的2人全排列，有A 33种方法，故共有A 22A 35A 33＝720种方法．(7)A 77A 22＝2520种方法． (8)A 77－2A 66＋A 55＝3720种方法．1．求解有限制条件排列问题的主要方法干脆法分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事务分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准，将事务分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时留意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中定序法对于定序问题，可先不考虑依次限制，排列后，再除以已定元素的全排列间接法对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法2.解决有限制条件排列问题的策略(1)依据特别元素(位置)优先支配进行分步，即先支配特别元素或特别位置． (2)依据特别元素当选数量或特别位置由谁来占进行分类.1.用0，1，2，3，4，5这6个数字，(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)? 解 (1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A 35个；其次类：2在个位时，千位从1，3，4，5中选定1个，有A 14种，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14A 24个；第三类：4在个位时，与其次类同理，也有A 14A 24个．由分类加法计数原理得，共有A 35＋2A 14A 24＝156个．(2)先排0，2，4，再让1，3，5插空，总的排法共A 33A 34＝144种，其中0在排头，将1，3，5插在后3个空的排法共有A 22A 33＝12种，此时构不成六位数，故符合要求的六位数的个数为144－12＝132.考向二组合问题例2 (2024·广西柳州高三月考)某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必需在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C 234＝561种取法．所以某一种假货必需在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C 334种或者C 335－C 234＝C 334＝5984种取法．所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种．(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C 120C 215＝2100种取法．所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种．(4)选取2种假货有C 120C 215种，选取3种假货有C 315种，共有C 120C 215＋C 315＝2100＋455＝2555种取法．所以至少有2种假货在内的不同取法有2555种．(5)解法一：(间接法)选取3种的总数为C 335，因此共有C 335－C 315＝6545－455＝6090种取法．所以至多有2种假货在内的不同取法有6090种．解法二：(干脆法)共有C 320＋C 220C 115＋C 120C 215＝6090种取法．所以至多有2种假货在内的不同取法有6090种．1．组合问题常见的两类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必需非常重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用干脆法和间接法都可以求解，通常用干脆法，分类困难时，考虑逆向思维，用间接法处理．2．有限制条件的组合问题的解题思路从限制条件入手．因组合问题只是从整体中选出部分即可，相对来说较简洁．常见状况有：(1)某些元素必选；(2)某些元素不选；(3)把元素分组，依据在各组中分别选多少，分类；(4)解除法．2.(2024·山西康杰中学模拟)某地实行高考改革，考生除参与语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、历史两科中选考一科，从化学、生物、政治、地理四科中选考两科，则考生的选考方法共有( )A．6种B．12种C．18种D．24种答案 B解析从物理、历史两科中选考一科，有C12＝2种方法，从化学、生物、政治、地理四科中选考两科，有C24＝6种方法，所以考生共有2×6＝12种选考方法．故选B.3．(2024·江西萍乡湘东中学高三开学考试)某医院传染病科室有5名医生、4名护士．现从这9名医护人员中选取5名参与医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生、2名护士，则不同的选取方法有________种．答案100解析符合题意的状况有两种：2名医生、3名护士和3名医生、2名护士．选取2名医生、3名护士的方法有C25C34＝40种；选取3名医生、2名护士的方法有C35C24＝60种．综上所述，满意题意的选取方法共有40＋60＝100种．精准设计考向，多角度探究突破考向三排列、组合的综合应用角度特别元素(位置)问题例 3 (1)(2024·河南开封一模)中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》；现甲、乙、丙、丁、戊5名同学从中各选一本不同的书作为课外爱好研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学全部可能的选择有( ) A．18种B．24种C．36种D．54种答案 D解析①若甲选《春秋》，则有C13A33＝18种状况；②若甲不选《春秋》，则有A23A33＝36种状况．所以5名同学全部可能的选择有18＋36＝54种．故选D.(2)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，假如甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为( )A．C210A48B．C19A59C．C18A59D．C18A58答案 C解析先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C18种选法，再排剩余的瓶子，有A59种方法，故不同的放法共有C18A59种，故选C.角度相邻、相间问题例4 (1)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( ) A．12种B．24种C．48种D．96种答案 C解析从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有C23A22＝6种不同排法，剩下1位男性领导人记作B，2位女性分别记作甲、乙，则女领导人甲必需在A，B之间，此时共有6×2＝12种排法(A左B右和A右B左)，最终再在排好的三个元素的四个间隔处插入乙，∴共有12×4＝48种不同排法．(2)(2024·安徽亳州模拟)某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．答案10解析设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A3n－2种；恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一个插入到将(n－3)个停车位排放好所成的(n－2)个间隔中，故有A23A2n－2种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A3n－2＝A23A2n－2，解得n＝10.角度分组、安排问题例5 (1)(2024·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者安排到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只安排到1个项目，每个项目至少安排1名志愿者，则不同的安排方案共有( )A．60种B．120种C．240种D．480种答案 C解析依据题设中的要求，每名志愿者只安排到1个项目，每个项目至少安排1名志愿者，可分两步进行支配：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C 25种分法；其次步，将分好的4组支配到4个项目中，有A 44种支配方法．故满意题意的安排方案共有C 25A 44＝240种．(2)某宾馆支配A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的支配方法．(用数字作答)答案 114解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为(3，1，1)时，有C 35A 33＝60种，A ，B 住同一房间有C 13A 33＝18种，故有60－18＝42种，当为(2，2，1)时，有C 25C 23A 22·A 33＝90种，A ，B 住同一房间有C 23A 33＝18种，故有90－18＝72种，依据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114种．排列、组合的混合问题是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再支配到肯定位置上的问题．其基本的解题步骤为：第一步：选，依据要求先选出符合要求的元素．其次步：排，把选出的元素依据要求进行排列．第三步：乘，依据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果．匀称分组与不匀称分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确推断分组是匀称分组还是不匀称分组，无序匀称分组要除以匀称组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与依次有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.4.旅游体验师小明受某网站邀请，确定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最终去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路途数为( )A ．24B ．18C ．16D ．10答案 D解析分两种状况，第一种：最终体验甲景区，则有A 33种可选的路途；其次种：不在最终体验甲景区，则有C 12A 22种可选的路途．所以小李可选的旅游路途数为A 33＋C 12A 22＝10.故选D.5．(2024·太原模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言依次共有________种．(用数字作答)答案 120解析先从除了甲、乙以外的6人中选一人，支配在甲乙中间，有C 16A 22＝12种，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有C 15A 22＝10种，故不同的发言依次共有12×10＝120种．6．习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为协作国家精准扶贫战略，某省示范性中学支配6名高级老师(不同姓)到基础教化薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少去1人，因工作须要，其中李老师不去甲校，则安排方案种数为________．答案360解析解法一：依据6名高级老师到甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少去1人，可分四种状况：①甲校支配1名老师，安排方案种数为C1 5(C15C44A22＋C25C33A22)＝150；②甲校支配2名老师，安排方案种数为C2 5(C14C33A22＋C24C22)＝140；③甲校支配3名老师，安排方案种数为C3 5C13C22A22＝60；④甲校支配4名老师，安排方案种数为C45C12C11＝10；由分类加法计数原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360种安排方案．解法二：由6名老师到三所学校，每所学校至少去1人，可能的分组状况为4，1，1；3，2，1；2，2，2.①对于第一种状况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有C12种，其余5名分成一人组和四人组有C45A22种，共C45A22C12＝20种；李老师安排到四人组且该组不去甲校有C35C12A22＝40种，则第一种状况共有20＋40＝60种；②对于其次种状况，李老师安排到一人组有C35C22C12A22＝40种，李老师安排到两人组有C35C12C1 2A22＝80种，李老师安排到三人组有C25C23C12A22＝120种，所以其次种状况共有40＋80＋120＝240种；③对于第三种状况，共有C15C12C24C22＝60种．综上所述，共有60＋240＋60＝360种安排方案．自主培优(十九) 相同元素的安排问题(隔板法)将12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中.(1)若每个盒子中至少有一个小球，则不同的放法有多少种？(2)若每盒可空，则不同的放法有多少种？解(1)将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“|”看作隔板，则如图○○|○○○○|○○○○|○○，隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数．这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应一种放法，所以不同的放法有C311＝165种．(2)因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型．将三块隔板与12个球排成一排，则如图○○○||○○○○○|○○○○中的隔板将这一排球分成四块．从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即图中1，2，3，4四个盒子相应放入3个，0个，5个，4个小球．这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法．排列的位置有15个，先从这15个位置中选出3个位置放隔板有C315种排法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以隔板与球的排列法有C315种，即不同的放法有C315＝455种．答题启示隔板法的解题步骤(1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量．(2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数．(3)插隔板：确定须要的隔板个数，依据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数．(4)回顾反思：隔板法的关键在于精确确定空位个数以及须要的隔板个数，运用这种方法须要留意两个方面的问题：一是要依据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要留意精确确定空位数以及须要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板．对点训练1．某市拟成立一个由6名中学学生成立的调查小组，并打算将这6个名额安排给本市的4所重点中学，要求每所重点中学都有学生参与，那么不同名额安排方法的种数是( ) A．10 B．20C．24 D．28答案 A解析如图所示，6个名额排成一列，6个名额之间有5个空，任找3个空插入隔板就是一种名额安排方法，故共有C35＝10种安排方法.2．把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必需是连号，那么不同的分法种数为________．(用数字作答)解析先将卡片分为符合条件的3份，由题意，3人分5张卡片，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必需是连号，相当于将1，2，3，4，5这5个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有C24＝6种状况，再对应到3个人，有A33＝6种状况，则共有6×6＝36种分法．1．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72答案 D解析因为1，2，3，4，5中共有3个奇数，所以先排个位，有C13种排法，再将剩下4个数字进行全排列，有A44种排法，故共有C13A44＝3×24＝72种排法．2．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则坐法种数为( )A．10 B．16C．20 D．24答案 C解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A25＝20种坐法．故选C.3．(2024·江西萍乡湘东中学高三开学考试)为了协作创建全国文明城市的活动，我校现从4名男老师和5名女老师中选取3人，组成创文明志愿者小组，若男、女至少各有一人，则不同的选法共有( )A．140种B．84种C．70种D．35种答案 C解析从4名男老师和5名女老师中选取3人，共有C39种状况．若全为男生，共有C34种状况；若全为女生，共有C35种状况．所以若男、女至少各有一人，则不同的选法共有C39－C34－C35＝70种．故选C.4．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，不同的放法有( )A．92种B．112种C．82种D．132种解析设有A ，B 两个笔筒，笔放入A 笔筒有四种状况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A 笔筒的放法确定，B 笔筒的放法也随之确定，且对同一笔筒的笔没有依次要求，故总的放法有C 27＋C 37＋C 47＋C 57＝112种．故选B.5．(2024·安徽马鞍山高三第一次教学质量监测)在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁四位法律老师安排到A ，B ，C ，D 四个班级进行宣讲，每个班级安排一位老师．若甲不安排到A 班，丁不安排到D 班，则安排方案的种数为( )A ．12 B.14 C.16 D.24答案 B解析甲分到D 班，有A 33＝6种安排方案；甲分到B 或C 班，有C 12C 12A 22＝8种安排方案，总共有6＋8＝14种安排方案．故选B.6．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484答案 C解析由题意，不考虑特别状况，共有C 316种取法，其中同一种颜色的卡片取3张，有4C 34种取法，3张卡片中红色卡片取2张，有C 24C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24C 112＝560－16－72＝472种，故选C.7．(2024·黑龙江哈尔滨三中期末)有3名男演员和2名女演员，演出的出场依次要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出场依次共有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．56种答案 B解析有3名男演员和2名女演员，演出的出场依次要求2名女演员之间恰有1名男演员，则先排2名女演员，有A 22种方法，然后插入1名男演员，有A 13种方法，再把这3个人当作一个整体，和其他2名男演员进行排列，有A 33种方法．依据分步乘法计数原理，可得不同的出场依次有A 22A 13A 33＝36种．故选B.8．2024年东京夏季奥运会4×100米男女混合泳接力这一新的竞赛项目的竞赛规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参与竞赛，依据仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力依次，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能担当仰泳或者自由泳，男运动员乙只能担当蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以担当，则中国队的排兵布阵的方式共有( )A ．144种B ．24种C ．12种D ．6种答案 D解析由题意，若甲担当仰泳，则乙运动员有2种支配方法，其他两名运动员有A 22＝2种支配方法，共计2×2＝4种方法，若甲担当自由泳，则乙运动员只能支配蝶泳，其他两名运动员有A 22＝2种支配方法，共计2种方法，所以中国队共有4＋2＝6种不同的支配方法，故选D.9．(2024·安徽蚌埠第三次教学质量检查)某社区支配在管辖的东海大道路段内，支配志愿者在6个路口劝导市民文明出行，不闯红灯，不乱穿公路，每个路口至多设置1个志愿者服务站点，随意相邻的两个路口至少有一个路口设置1个志愿者服务站点，则不同的设置方案种数是( )A ．19 B.20 C.21 D.24答案 C解析依据题意，在6个路口最多可以设置6个，最少须要设置3个志愿者服务站点，若设置6个志愿者服务站点，有1种设置方案，若设置5个志愿者服务站点，有C 16＝6种设置方案，若设置4个志愿者服务站点，有C 25＝10种设置方案，若设置3个志愿者服务站点，有C 34＝4种设置方案，则一共有1＋6＋10＋4＝21种设置方案，故选C.10．(2024·甘肃兰州第一次诊断)《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数14种计算器械的运用方法．某探讨性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的安排方法有( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22种 B ．C 414C 510C 55A 22A 33种 C ．C 414C 510C 55A 22种D ．C 414C 510C 55种答案 A解析先将14种计算器械分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种，故选A.11．一个盒子里有3个标号分别为1，2，3的小球，每次取出1个，登记它的标号后再放回盒子里，共取三次，则取到的全部小球中，标号的最大值是3的取法有( )A ．12种B ．15种C ．17种D ．19种答案 D解析解法一：分三类：第一类，有一次取到3号球，其取法种数为C 13C 12C 12＝12；其次类，有两次取到3号球，其取法种数为C 23C 12＝6；第三类，三次都取到3号球，其取法种数为C 33＝1.故满意条件的取法共有12＋6＋1＝19种．故选D.解法二：全部的取法种数为C 13C 13C 13＝27，三次均未取到3号球的取法种数为C 12C 12C 12＝8，故满意条件的取法种数为27－8＝19.故选D.12．(2024·河南郑州其次次质量预料)元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动．某社区支配举办元宵节找花灯活动，打算在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯．现要求这3个地方都有灯(同一地方的花灯不考虑位置的差别)，且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数为( )A ．114B ．92C ．72D ．42答案 A解析依据题意，分两步分析：①将5盏不同的灯分为3组，要求两盏人物灯不在同一组，若分为3，1，1的三组，有C 35－C 13＝7种分组方法，若分为2，2，1的三组，有C 25C 23A 22－C 23＝12种分组方法，则有7＋12＝19种分组方法，②将分好的三组全排列，支配到3个不同的地方，有A 33＝6种状况，则有19×6＝114种支配方法，故选A.13．(2024·北京西城摸底)把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有________种．(用数字作答)答案 8解析 ①产品C 排在第三个位置时有A 22＝2种摆法；②产品C 排在第四个位置时有A 33＝6种摆法．所以不同的摆法有2＋6＝8种．14．在小语种提前招生考试中，某学校获得5个举荐名额，其中俄语2个，日语2个，西班牙语1个，日语和俄语都要求有男生参与，学校通过选拔定下3男2女共5名举荐对象，。

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