最新高三数学第一轮复习测试及详细解答(3)—《三角函数》
2024届高三数学一轮复习--三角函数与解三角形第3练 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(解析版)
【详解】因为
cos
4
5 ，所以 5
2 cos 2
2 sin 2
5 ，平方后可得 5
1 cos2 sin2 sin cos 1 ，整理得 1 1 sin 2 1 ，所以 sin 2 3 .
2
5
22
5
5
故选：D.
2．B
【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值
6
，则
tan
（
）
A． 3
B． 2 3
C． 6
D． 6 3
3．（2023·全国·高三专题练习）若
1 1
tan tan
π 4 π 4
1 2
，则
cos
2
的值为（
）
A．- 3 5
B． 3 5
C． 4 5
D． 4 5
4．（2023
秋·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）已知
cos
12
【详解】因为
sin
3
sin
6
，所以
1 2
sin
3 cos 2
3 sin 1 cos ，
2
2
所以 3 1 cos 3 1 sin ，所以 tan 3 1 2 3 . 3 1
故选：B
3．A
【分析】由已知可得
tan
π 4
1 3
，进而求出
四个命题：
甲： tan 1 ；
2 乙： tan tan 7 : 3 ；
丙：
sin cos
5 4
；
丁： tan tan tan tan 5 : 3 .
如果其中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲
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弘知教育内部资料中小学课外辅导专家三角函数典型习题1 ．设锐角ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a，b， c , a 2bsin A .(Ⅰ)求B的大小 ;(Ⅱ )求cos A sin C的取值范围 .A B C在中 ,角A, B,C所对的边分别为，， 2 .ABC c , sin sin2 ． 2 2（I）试判断△ABC的形状 ;（I I）若△ABC的周长为 16,求面积的最大值 .3 ．已知在ABC 中, A且与tan B是方程 x2 5 x 6 0 的两个根.B , tan A(Ⅰ )求tan( A B) 的值;(Ⅱ )若 AB 5 ,求BC的长.4．在ABC 中,角A．B．C所对的边分别是a,b,c,且a2 c 2 b 2 1 ac.A C 2(1)求sin2 cos 2B 的值;2(2)若 b=2,求△ABC面积的最大值 .5．已知函数f ( x) 2sin 2 π3 cos2x ， xπ π．x4，4 2（1）求f ( x)的最大值和最小值；（2）f ( x) m 2 在 x π π上恒成立，求实数m 的取值范围．，4 26．在锐角△ABC 中,角．．的对边分别为a、b、已知(b2 c 2 a 2) tanA bcA B C c, 3 .(I)求角 A;(II)若 a=2,求△ ABC面积 S 的最大值 ?7．已知函数f ( x) (sin x cos x)2 +cos2 x .(Ⅰ )求函数f x 的最小正周期 ;(Ⅱ )当x 0,2时 ,求函数f x 的最大值 ,并写出 x 相应的取值 .8 ．在ABC中,已知内角 A ． B ． C 所对的边分别为 a 、 b 、 c, 向量r2sin B, rcos2B, 2cos2 B1r rm 3 , n 2 ,且m / / n ?(I)求锐角 B 的大小 ;(II)如果b 2 ,求ABC 的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】 :(Ⅰ )由 a2b sin A ,根据正弦定理得 sin A2sin B sin A ,所以 sin B ,2π由ABC 为锐角三角形得B.6(Ⅱ ) cos A sin C cos A sinAcos A sin6Acos A13 sin Acos A223 sin A .32【解析】 :I. sinC sin C cos C sin C 2 sin( C)C2 22 2 2 4即 C ,所以此三角形为直角三角形 .2422II. 16 a b22ab2ab , ab64(22) 2a b 时取等ab2 当且仅当 号,此时面积的最大值为326 4 2 .3【解析】 :(Ⅰ )由所给条件 ,方程 x 2 5 x 6 0 的两根 tan A 3, tan B2 .∴ tan( A B)tan A tan B2 311 tan A tan B 12 3(Ⅱ)∵ A B C 180 ,∴ C180 (A B) .由(Ⅰ )知 , tanCtan( A B)1,∵ C 为三角形的内角 ,∴ sin C22∵ tan A3 , A 为三角形的内角 ,∴ sin A3 ,10由正弦定理得 :AB BC5 3 ∴ BC 3 5 .21028【解析】 :(1)r r2sinB(2cos 2 B m / / n-1)=- 3cos2B22sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32ππ ∵ 0<2B< π,∴ 2B= 3 ,∴ 锐角 B=3(2)由 tan2B=- 3π 5πB= 或63π① 当B= 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :34=a 2+c 2 -ac ≥ 2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立 )1 3∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB= 4 ac ≤ 3∴△ ABC 的面积最大值为 35π ② 当 B= 6 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :4=a 2+c 2 + 3ac ≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立 )∴ac ≤ 4(2-3)1 1∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB=4ac ≤2- 3 ∴△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】 :(1) 由余弦定理 :cosB=4sin 2A C+cos2B=124(2)由 cos B1,得 sin B15. ∵ b=2,44a218 115 2+ c =2ac+4≥2ac,得 ac ≤ ,S △ABC =2acsinB ≤(a=c 时取等号 )33故 S △ABC 的最大值为 1535 【解析】∵f ( x) 1 π3 cos2 x 1 sin 2x 3cos2 x（ Ⅰ ）cos2x21 2sin 2xπ．3又∵ xπ ππ 2xπ 2π， ， ∴≤≤，4 2633即2≤12sin 2xπ≤ 3，3∴ f ( x) max 3， f ( x) min 2 ．（Ⅱ ） ∵ f ( x)m 2f (x) 2 mf (x) 2 ， xπ π ，4，2∴ mf ( x)max 2 且 m f ( x) min 2 ，∴1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (14)， ．6【解析】 :(I)由已知得b 2c 2a 2 sin A3 32bccos A sin A22又在锐角 △ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角 △ABC 中,扣 1 分 ](II)因为 a=2,A=60 所°以 b2c2bc 4, S1bc sin A3bc24而b 2c 22bc4 2bcbc4bc又 S1bc sin A3bc3 4 3244所以 △ ABC 面积 S 的最大值等于37【解析】 :(Ⅰ )因为 f ( x) (sin xcos x)2 +cos2 xsin 2 x 2sin x cos x cos 2 x cos2 x1 sin2 x cos2x ( ) =1+ 2 sin(2 x)4所以 2,即函数 f (x) 的最小正周期为, T2(Ⅱ )因为 0 x,得4 2x45,所以有2 sin(2 x) 1242 4 12 sin(2 x) 2,即0 12 sin(2 x)1244所以 ,函数 f x的最大值为 1 2此时 ,因为2 x5,所以 , 2 x,即 x844442。
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题（含答案）一、单选题1．已知(0,)θπ∈且满足cos 2cos θθ=，则tan θ=A ．B ．CD 2．在△ABC 中，7,5a c ==，则sin :sin A C 的值是（ ）A ．75B ．57C ．712D ．5123．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 24．函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在下列区间内递减的是（ ） A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．22,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知a =116116tan tan +︒-，b =⎝⎭，c a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >> 6．函数f (x )＝3sin(2x －6π)在区间[0，2π]上的值域为 A ．[32-，32] B ．[32-，3]C ．[D ．[，3] 7．将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，所得函数的解析式是（ ）A ．cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 2y x =-D ．sin 2y x = 8．函数tan y x =周期为（ ）A ．2πB ．2πC ．πD ．3π9．在ABC 中，60A =︒，43a =，42b =，则B 等于（ ）A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．3010．函数()sin()f x A x b ωϕ=++的图象如下：则()f x 的解析式和(0)(1)(2)(2006)S f f f f =+++⋯+的值分别为A ．1()sin 122f x x π=+，2006S = B ．1()sin 122f x x π=+，120062S = C ．1()sin 122f x x π=+，120072S = D ．1()sin 122f x x π=+，2007S = 11．设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5x )．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12 12．如图所示，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD =，2BC BD =，若2BD =，则sin C 的值为（ ）A ．33B ．23C ．223D ．66二、填空题13．函数()()sin 0,0,y A x A ωϕωϕπ=+>><的图象如图所示，则该函数的解析式为y =______.14．在ABC ∆中，如果lg lg lgsin 2a c B -==-，且B 为锐角，则三角形的形状是__________．15．已知()2cos 3f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(1)(2)(2022)f f f +++的值为________.16．sin 73cos13sin167cos 73︒︒-︒︒=________.17．已知△ABC 中，3cot 4A =-，则cos A =______. 18．252525sin cos tan 634πππ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭______． 19．已知扇形的半径为3cm ，圆心角为60︒，则扇形的面积为 2cm ．20．若sin 41cos 5γγ=+，则1cos 2sin γγ-=______.三、解答题21．求下列各式的值（1）2log 342233log 9log 2log 3log 432-++⋅； （2）()()()sin 1071sin99sin 171sin 261-︒︒+-︒-︒．22．已知一扇形的面积S 为定值，求当扇形的圆心角为多大时，它的周长最小？最小值是多少？23．在ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，()cos sin cos cos A A a C c A =+； （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 14b c +的最小值．24．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2a =，b =2B A =. （1）求sin A ；（2）求△ABC 的面积.25．（1）已知tan()22βα-=，tan()32αβ-=-，求)tan(βα+的值； （2）化简：21tan 9sin (12sin 99)︒︒-︒-．26．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且有2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ；（2）若3c =，求ABC ∆面积的最大值.27．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （1）求()f x 的最大值及此时的x 的集合；（2）求()f x 的单调增区间；（3）若1()2f α=，求sin(4)6πα-. 28．已知矩形纸片ABCD 中，AB=6，AD=12，将矩形纸片右下角折起，使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，且折痕的两端点M 、N 分别位于边AB ，BC 上，此时的点B 记为点P ，设MNB θ∠=，MN y =.(1)当15MNB ∠=时，判断N 的位置；(2)试将y 表示成θ的函数并求y 的最小值。
高三数学一轮复习 三角函数测试卷(附答案)
高三数学一轮复习 三角函数测试卷一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={|,}2n n Z παα=∈2{|2,}3n n Z ααππ=±∈，B={2|,}3n n Z πββ=∈1{|,}2n n Z ββππ=+∈，则A 、B 之间关系为（ ）A ．AB ⊂B ．B A ⊂C ．B AD ．A B2．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为（ ）A ．(,]()4k k k Z πππ-∈B ．(,]()88k k k Z ππππ-+∈C ．3(,]()88k k k Z ππππ-+∈ D ．3(,]()88k k k Z ππππ++∈3．设角35,6απ=-则222sin()cos()cos()1sin sin()cos ()παπαπααπαπα+--+++--+的值等于 （ ）A ．33B ．－33 C ．3 D ．－34．已知锐角α终边上一点的坐标为（),3cos 2,3sin 2-则α=（ ）A ．3-πB ．3C ．3－2π D ．2π－3 5．函数[]sin ,,y x x x ππ=+∈-的大致图象是（ ）6．下列函数中同时具有①最小正周期是π；②图象关于点（6π,0）对称这两个性质的是（ ）A. y ＝cos （2x ＋6π） B ．y ＝sin （2x ＋6π） Ｃ．y ＝sin （2x ＋6π）Ｄ．y ＝tan （x ＋6π） 7．已知cos (02)y x x π=≤≤的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积 是（ ）A ．4πB ．2πC ．8D ．48．与正弦曲线x y sin =关于直线34x π=对称的曲线是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin -=D ．x y cos -=9. 若方程1cos +=ax x 恰有两个解，则实数a 的取值集合为 （ ） A. 2222,,33ππππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 22,00,ππ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 22,ππ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. {}22,ππ-10．已知函数)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，9π=x 时取得最大值21，π94=x 时取得最 小值－21，则该函数解析式为 （ ）A ．)63sin(2π-=x y B ．)63sin(21π+=x yC )63sin(21π-=x yD ．)63sin(21π-=x y 11．.函数)0(tan )(>=w wx x f 的图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．-1D ．4π 12．函数],[)0)(sin()(b a x M x f 在区间>+=ωϕω上为减函数，则函数],[)cos()(b a x M x g 在ϕω+=上（ A ）A ．可以取得最大值MB ．是减函数C ．是增函数D ．可以取得最小值－M二、填空题：本大题共4小题，把答案填在题中横线上．13．已知cos sin 2αα-=,这sin cos αα-的值为14．在区间[2,2]ππ-上满足sin sin 2xx =的x 的值有 个15．设)cos()sin()(21απαπ+++=x n x m x f ，其中m 、n 、1α、2α都是非零实数，若(2001)1,f =则(2005)f = .16．设函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，给出以下四个论断：①它的图象关于直线12x π=对称； ②它的图象关于点(,0)3π对称；③它的周期是π； ④在区间[,0)6π-上是增函数。
(完整版)高三一轮复习三角函数专题及答案解析
三角函数典型习题1 •设锐角ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,a 2bsi nA.(I )求B的大小；(n)求cosA sin C的取值范围• A B C 厂2 •在ABC中角A,B,C所对的边分别为a, b, c,sin sin— 2 .2 2(1)试判断△ ABC的形状；(II)若厶ABC的周长为16,求面积的最大值•23 •已知在ABC中,A B，且tan A与tan B是方程x 5x 6 0的两个根•(I )求tan (A B)的值;(n )若AB 5 ,求BC的长•2 2 2 14. 在ABC中，角A. B. C所对的边分别是a,b,c,且a c b ac.22A C(1) 求sin cos2B 的值；2(2) 若b=2,求厶ABC面积的最大值.5. 已知函数f(x) 2s in2 n x 3cos2x, xn，-n•4 4 2(1 )求f (x)的最大值和最小值；(2)f(x) m 2在x n,n上恒成立，求实数m的取值范围.4 26. 在锐角△ ABC 中,角A. B. C 的对边分别为a、b、c,已知(b2 c2 a2)ta nA 3bc.(I) 求角A;(II) 若a=2,求厶ABC面积S的最大值？7. 已知函数f (x) (sin x cosx) +cos2 x .(I )求函数f x的最小正周期；(n )当x o,?时,求函数f x的最大值拼写出x相应的取值•8 .在ABC中，已知内角A . B . C所对的边分别为a、b、c,向量r r 2 B r r m 2sin B, 、3 ,n cos2B, 2cos 1，且m//n?2(I) 求锐角B的大小；(II) 如果b 2,求ABC的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】：(I )由a 2bsi nA ,根据正弦定理得si nA 2si n Bsin A ,所以sin B -,2 由ABC 为锐角三角形得B n .6(n )cosA sin C cos A sinAcos A sin -A61 3cos A cos Asin A22、、3sinA -.32【解析】 :I. sinC . sin CC cos .C sin2sin('—222 224C C 即C，所以此三角形为直角三角形2 422••• tanA 3, A 为三角形的内角，二sin A由正弦定理得：-A 艮 -BCsin C sin A-2 2b a b 2 abII.16 号，此时面积的最大值为 32 6 42 .-2ab ,—2ab 64(2 -.2)当且仅当a b 时取等3【解析】：(I )由所给条件 方程x 2 5x 6 ••• tan (A B) tan A tan B1 tan Atan BB C 180 ,• C180 (A 0 的两根 tan A 3, tan B 2 . 1B).由(I )知,tanCtan(A B)1,•/ C 为三角形的内角，• sinC_2 23 10弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家2 3••• BC 1 —汇 3.5. 近 y/10 2r r 2B 厂8【解析】:(1) m//n2sinB(2cos ；-1)=-,3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32兀 心宀 n••• 0<2B< n,2B=y,A 锐角 B=3① 当B=n^，已知b=2，由余弦定理，得： 4=a 2+c ?-ac > 2aac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)■/ △ ABC 的面积 S ABC =3acsinBh^ac w 3ABC 的面积最大值为.3② 当B=6n 时，已知b=2,由余弦定理，得:4=a 2+c 2+ 3ac 县ac+ . 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= , 6- . 2时等号成立) •，ac < 4(23)1 1•••△ ABC 的面积 S AABC =2 acsinB^ac <2- , 3 ，△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】:(1)由余弦定理：cosB=4sid +cos2B=1 24⑵由cos B4 得sinB.15 •/ b=2,4n1 2sin 2x —；=；ac+4 > 2c,得 acw —,c 233 2sin(2x -)2 ,即 0 1 -2sin(2x -) 12 44(2)由 tan2B=- .3n ［、. 5nB=3或石 1 V15S\ ABc =~acsi nBw(a=c 时取等号)3故S A ABC 的最大值为5【解析】(I ) T f(x).n _1 cos 2x3cos2x 1 sin2x 3cos2x弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家n nn n又••• x —< 2x -<4 2 613 又 S besin A be24所以△ ABC 面积S 的最大值等于32 27【解析】:(I )因为 f (x) (sin x eosx) +eos2 x sin1 sin2x eos2x ( ) =1+.2si n(2x )42所以，T —,即函数f(x)的最小正周期为2(n )因为 0 x ，得 2x L,所以有-sin(2x) 12 4 4 4 24所以，函数f x 的最大值为1 2此时，因为一2x —丄，所以,2x ，即x -4 4 4428即 2 < 1 2sinn2x -3 • f(x) maxf (X)min(n) •/ f (x)f(x)f(x)•- m f (X)maxf ( X) min••• 1 m 4，即m 的取值范围是(1,4).6【解析】：(1)由已知得b 1 2 * 4e 2 a 2 si nA ,32bccos A又在锐角△ ABC 中，所以A=60,［不说明是锐角 △ ABC 中，扣 1 分］(II)因为 a=2,A=60 所以 b e be 4,S1 3besin Abe2而 b 2 e 2 2be be 42bcbe 4 ,3x 2sin xeosx eos 2 x eos2x。
高三一轮复习三角函数专题及答案解析
三角函数典型习题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.2 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin =++C B A . （I ）试判断△ABC 的形状;（II ）若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.3 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)求)tan(B A +的值;(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.4．在ABC ∆中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21222ac b c a =-+ (1)求B C A 2cos 2sin 2++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.5．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （1）求)(x f 的最大值和最小值；（2）2)(<-m x f 在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围． 6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+(I)求角A;(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值?7．已知函数2()(sin cos )+cos2f x x x x =+.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的最大值,并写出x 相应的取值. 8．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2s i n 3m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ? (I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值?答案解析1【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin AC A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 2【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin 2sin ππ+=+=+-C C C C C 2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号, 此时面积的最大值为()24632-.3【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==. ∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123+==--⨯ (Ⅱ)∵ 180=++C B A ,∴)(180B A C +-= .由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,∵C 为三角形的内角,∴sin 2C = ∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴sin A =由正弦定理得:sin sin AB BC C A=∴2BC ==8【解析】:(1) //m n ? 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B?2sinBcosB=-3cos2B ? tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ? B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立)∴ac≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3∴△ABC 的面积最大值为2- 3 4【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=142sin 2A C ++cos2B= 41- (2)由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2, a 2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38, S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号) 故S △ABC 的最大值为3155【解析】（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤， 即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤， max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．6【解析】:(I)由已知得23sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+ 又在锐角△ABC 中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC 中,扣1分](II)因为a=2,A=60°所以bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ 而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b 又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S 所以△ABC 面积S 的最大值等于37【解析】:(Ⅰ)因为222()(sin cos )+cos2sin 2sin cos cos cos2 f x x x x x x x x x =+=+++1sin 2cos 2 x x =++ ( ))4x π+所以,22T ππ==,即函数()f x 的最小正周期为π(Ⅱ)因为02x π≤≤,得52444x πππ≤+≤,所以有sin(2)14x π≤+≤1)4x π-≤+≤即01)14x π≤+≤所以,函数()f x 的最大值为1此时,因为52444x πππ≤+≤,所以,242x ππ+=,即8x π=仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
高考数学一轮复习精选试题： 三角函数(解答题) Word版含答案
三角函数02解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．已知角的终边经过点．(1) 求的值；(2）求的值．【答案】由角的终边过点知：， ，， (1） =， (2）=…11分 =。
2．已知函数. (Ⅰ）求函数的值域；α(3,4)P -sin()cos()tan()πααπα-+-+α(3,4)P -224sin 5(3)4α==-+223cos 5(3)4α==--+44tan 33α==--sin()cos()sin cos tan()tan πααααπαα-+-+=+4343()/()55320--=-))cos(2)23(cos()2sin(πααπαπ--+⋅+)cos 2(sin cos ααα+24336()2()55525⨯-+⨯-=2()23cos 2sin 333x x x f x =-()f x(Ⅱ）在△中，角所对的边分别为，若，且，求的值【答案】（1） ∵，∴ ∴ ∴函数的值域为(2）， ∴，而， ∴. 在中，，，∴， 得 解得 ∵， ∴.3．如图所示，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？ABC ,,A B C ,,a b c ()1f C =2b ac =sinA 22()cos 133x x f x =+-22sin()136x π=+-x R ∈21sin()136x π-≤+≤232sin()1136x π-≤+-≤()f x [3,1]-2()2sin()1136C f C π=+-=2sin()136C π+=(0,)C π∈2C π=Rt ABC ∆2b ac =222c a b =+22c a ac =+2()10aa c c+-=a c =0sin 1A <<1sin 2a A c -==【答案】设用t 小时，甲船能追上乙船，且在C 处相遇.在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9，∠ABC=1200，根据余弦定理得，AC 2=AB 2+BC 2－2AB ·Bccos ∠ABC即(28t)2=(20t)2+(20t)2－2×9×20tcos1200，整理得，128 t 2－60t －27=0，(4t －3)(32t+9)=0，解得或(舍). 所以AC=21，BC=15， 在△ABC 中，， 所以∠BAC=380，所以甲船应沿南偏西70方向行驶.答：甲船应沿南偏西70方向，用0.75h 能尽快追上乙船.4．已知向量,函数． (Ⅰ）求函数的最小正周期;(Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积．【答案】(Ⅰ）3t 4=9t 32=-015BC sin1202sin BAC 0.6186AC21⋅∠===≈1(sin ,1),(3cos ,)2a xb x =-=-()()2f x a b a =+⋅-()f xT a b c ABC ∆A B C A 4a c ==()1f A =,A b ABC ∆S 2()()22f x a b a aa b =+⋅-=+⋅-21sin 1cos 22x x x =++-因为,所以5．化简：【答案】原式=6．已知函数(I ）化简函数f （x ）的解析式，并求函数f （x ）的最小正周期；(Ⅱ）在锐角△ABC 中，若，求△AB C 的面积．【答案】(1) (2) 1cos 21sin 2222x x -=+-12cos 222x x =-sin(2)6x π=-2ω=22T ππ==）（）（（）（αππααπααπ+++323tan --cos )(cos )-cos sin αααααααα333323cos tan sin tan cos )cos (cos )sin (==-⋅⋅-2()2sin cos f x x x x x R =+-∈()1,2f A AB AC =⋅=)32sin(2)(π+=x x f ππ==22T 22=s。
新高考一轮复习特训-三角函数-(含答案)高中数学-高考专区-一轮复习
2025届新高考一轮复习特训 三角函数一、选择题1．函数()sin 2f x =到()g x 的图象,则()g x =( )A.cos 4xB.cos x- C.cos 4x- D.sin x-2．已知()1sin ,tan 5tan 2αβαβ+==,则()sin αβ-=( )3．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是( )A.5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.511,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,则cos 2α=( )355．与1990-︒终边相同的最小正角是( )A.80︒B.150︒C.170︒D.290︒6．已知tan α==( )7．下列区间中，函数π()7sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是( )A.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B.π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．记函数π()sin (0)4f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭πT <<，且()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )D.3二、多项选择题9．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]y x =被称为高斯函数；例如[]2.13-=-，[]2.12=，已知()sin sin f x x =+()()x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是( )A.函数()g x 是偶函数B.函数()g x 是周期函数C.函数()g x 的图像关于直线x =()g x x =只有1个实数根10．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则( )A.()()πf x f x += B.()f x 的图象关于直线x =C.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增11．已知函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =A.函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B.函数()f x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增)()12x f x -=-D.函数()f x 的图象关于5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称三、填空题12．若tan θ==____________.13．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边AC ，BC ，点E 在以AC 为直径的半圆上，延长AE ，BC 交于点D .若5AB =，sin CAB ∠=DCE ∠=ABE 的面积是______.14．如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是__________.四、解答题15．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h （单位：cm ）由关系式πsin 4h A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，其中0A >，0ω>，[0,)t ∈+∞.在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，且最高点与最低点间的距离为10cm .（1）求小球相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）和时间t （单位：s ）之间的函数关系式；（2）小球在0t s 内经过最高点的次数恰为50次，求0t 的取值范围.16．已知α=(1)写出与角α终边相同的角的集合;(2)写出在()4π,2π-内与角α终边相同的角.17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||πϕ<）图象的最高点为π,16⎛⎫⎪⎝⎭，距离该最高点最近的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式及单调递减区间；（2）若函数()(0)2a g x f x a ⎛⎫=>⎪⎝⎭，()g x 的图象关于直线x =()g x 在π0,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的值.18．已知函数（1）化简；（2）若的值.19．如图，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.cos αβ的值.()f x =()f x ()0f x =00π2π2cos(2)63x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭参考答案1．答案：A解析：()sin 2f x=ππsin 2sin 2cos 242y x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象,再把横坐标缩短为原来的一半,得到()cos 4g x x =的图象故选：A.2．答案：A解析：因为()sin sincos +cos sin αβαβαβ+===cos 5cos sin αβαβ=,所以11sin cos cos sin 6cos sin ,cos sin ,sin cos 212αβαβαβαβαβ+====所以()5141sin sin cos cos sin .1212123αβαβαβ-=-=-==故选：A.3．答案：A解析：因为2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ωω⎡+∈+⎢⎣π[2π,3π)3+∈，所以5,42ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.4．答案：D解析：因为角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,所以cos α==所以2cos 22cos 1αα=-=故选：D.5．答案：C解析：因为199********-=-⨯-︒︒︒，199********-=-⨯+︒︒︒，所以与1990-︒终边相同的最小正角是170︒.故选C.6．答案：B,故选：B.7．答案：A解析：方法一：令πππ2π2π262k x k -+-≤+≤，k ∈Z ，得π2π2π2π33k x k -+≤≤+，k ∈Z .取0k =，则π3x -≤≤ππ2π0,,233⎫⎡⎤-⎪⎢⎥⎭⎣⎦Ü，所以区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的单调递增区间.方法二：当π02x <<时，，所以在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故A 正πx <<π6x <-<()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；当πx <<π6x <-<()f x 在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；当3π2π2x <<π6x <-<()f x 在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.8．答案：A T <<2ππω<<，解得23ω<<.因为()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2b =，且，即，所以，又π4π4+=，解得ω=5π()sin 224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以π5ππ3πsin 2sin 2122242f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.9．答案：AD解析：选项A ，函数()f x 的定义域为R ，2tan 313tan 2αα+==-πππ663x -<-<()f x 3ππsin 224b ω⎛⎫++= ⎪⎝⎭3ππsin 024ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭3πππ()24k k ω+=∈Z 2ω<<3ππ24ω<+<因为()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，当0πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，当π2πx <≤时，()sin sin 0f x x x =-=，当2π3πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，…因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象如下图所示由()()g x f x =⎡⎤⎣⎦可知，在0x ≥内，当2πx k =+∈Z 时，()2g x =，当π2π2π6k x k +≤≤+2πx k ≠+∈Z 时，()1g x =，当2π2πk x k ≤<5ππ2π2π6k x k +<≤+，k ∈Z 时，()0g x =，因为()()()()g x f x f x g x -=-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()g x 为偶函数，则函数()g x 的图象如下图所示显然()g x 不是周期函数，故选项A 正确，B 错误，C 错误;()g x x =，当()0g x =时，0x =方程有一个实数根，当()1g x =时，x =π212⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，方程没有实数根，当()2g x =时，πx =，此时()π02g =≠，方程没有实数根，()g x x =只有1个实数根，故D 正确；故选：AD.10．答案：AD解析：对于A,函数()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==,()()πf x f x +=,A正确;对于B,由πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的图象不关于直线x =对于C,由πππ2π32066332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得函数()f x 的图象不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称,C 错误;对于D,当5ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,πππ2,322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,而正弦函数sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,因此函数()f x 在区间5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,D 正确.故选：AD.11．答案：ACD解析： 函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =ππ3π42k ϕ∴⨯+=+,k ∈Z ,ππ4k ϕ∴=-+,k ∈Z因为ππ22ϕ-<<,所以ϕ=π()sin(3)4f x x =-．函数πππ()sin 3sin 312124f x x x ⎡⎤⎛⎫+=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,故A 正确;当[,123ππx ∈,π3π0,434x ⎡-∈⎤⎢⎥⎣⎦,函数()f x 没有单调性,故B 错误;若12|()()|2f x f x -=,因为[]()1,1f x ∈-,所以()()1211f x f x =⎧⎪⎨=-⎪⎩或()()1211f x f x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,则12|x x -2π3=5π5ππsin 3sin 012124f π⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数()f x 图象关于5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,故D 正确故选：ACD ．.解析：由题意得：DCE ACE ∠+∠=π2CAE ACE +∠=所以DCE CAE ∠=∠，故sin sin DCE CAE ∠=∠=cos CAE ∠==因为sin CAB ∠=45CAB ∠=故()sin sin sin cos cos sin EAB CAE CAB CAE CAB CAE CAB∠=∠+∠=∠∠+∠∠343455=⨯=因为5AB =，ACB ∠=CAB ∠=3BC =，4AC =又因为AEC ∠=CAE ∠=，所以cos 4AE AC CAE =∠==的cos 11cos sin cos tan 131cos cos θθθθθθθ====+++所以ABE △的面积是11sin 522S AB AE EAB =⋅⋅∠=⨯=14．答案：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z 解析：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为360120k ⋅︒+︒,k ∈Z ,终边落在阴影部分第四象限最左边的角为,k ∈Z .所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是.故答案为：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z .15．答案：（1）π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭（2）1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：（1）由题意得1052A ==.因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，所以最小正周期为2s ，即2T ==π=，所以π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，当t =最高点.因为小球在0s t 0149504T tT +≤<+.因为2T =，所以01984t ≤<所以0t 的取值范围为1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．答案：(1)π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z (2)36045k ⋅︒-︒36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z解析：(1)与角α终边相同的角的集合为π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .(2)令π4π2π2π3k -<+<,得136k -<<又k ∈Z ,2k ∴=-,-1,0,∴在()4π,2π-内与角α终边相同的角是17．答案：（1）π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z（2）a =5=解析：（1）由题意解题思路知A =5ππ126=-=所以πT =，2π2πω==，所以()sin(2)f x x ϕ=+.将π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+，得πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2π2k ϕ+=+，k ∈Z ，即π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，又||πϕ<，所以ϕ=π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.π3π2π22π62k x k +≤+≤+，k ∈Z 2πππ3k x k +≤≤+，k ∈Z ，即()f x 的单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z .（2）由（1）可得π()sin (0)6g x ax a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由()g x 的图象关于直线x =πππ62k =+，k ∈Z ，即51544a k =+，k ∈Z ，当π0,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππππ,66156a ax ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由()g x 在[π0,15ππ62+≤，即5a ≤.又0a >且51544a k =+，k ∈Z ，所以a =5=.18．答案：（1）π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）35-解析：（1）ππππcos 2cos 2π2tan 22333()ππtan 2πsin π233x x x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππsin 2cos 2tan 2π333cos 2ππ3tan 2sin 233x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为()00πcos 23f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以000ππππsin 2sin 2cos(2)6323x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0002πππcos 2cos 2πcos 2333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故00π2π33sin 2cos 2631010x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．答案：（1）1-（2）3225-解析：（1）由题意得π2βα=+sin sin cos cos αβαβ=πsin sin sin cos 21πcos sin cos cos 2αααααααα⎛⎫+⎪⎝⎭==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.35α=，sin α=则πcos cos sin 2βαα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭所以442sin cos 255αβ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭。
2025届高考数学一轮复习人教A版多选题专题练：第五章 三角函数(含解析)
6
63
6 3 23
2
不符合条件.
当 7 时， f (x) sin(7 x π ) ，当 x [π, 2π] 时， 7 x π [3π , 8π ] ， f (x) [1,1] ，
6
63
6 3 23
不符合条件.
综上，当 1 时， f (x) sin(x π ) ，符合条件，故 B 错误;
6
2
（纵坐标不变），得到函数 g x 的图象，则下列关于函数 g x 的说法中正确的是( )
A.在
π 6
,
5π 12
上单调递增
B.当
x
π 2
,
π
时，函数
g
x
的值域是
2,1
C.其图象关于直线 x 5π 对称 6
D.直线 y 2 3x 1为曲线 y g x 的切线
10．已知函数
f
x
sin
y
sin
2x
π 4
的图象的是(
)
A.先将 y cos x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 ,再向右平移 3π 个单位长度
2
8
B.先将 y sin x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 ,再向右平移 π 个单位长度
2
8
C.先将 y sin x 的图象向右平移 π 个单位长度,再将各点的横坐标缩小为原来的 1
与单位圆
O
交于点
P
2 10
,
y
,则(
)
A. sin 7 2 10
B. tan 5
C. cos 2 24 25
D.
sin
2
π 4
17 2 50
1．答案：AD
2025年高考数学一轮复习-三角函数、解三角形(基础巩固卷)【含答案】
三角函数、解三角形(基础巩固卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知＝12，且θ()A.0B.12C.32D.12.黄金分割数5－12的近似值为0.618，这一数值也可表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则a2b1－cos72°＝()A.1 2B.2C.5＋12D.43.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝23，B＝45°，C ＝75°，则b＝()A.2B.6C.22D.324.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝根据此公式，若a cos B＋(b－2c)cos A＝0，且b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为()A.6B.23C.3D.325.为得到函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象，只需将函数g(x)＝sin2x－cos2x的图象()A.向左平移π4个单位长度B.向左平移π2个单位长度C.向右平移π4个单位长度D.向右平移π2个单位长度6.已知αα＝－17，则sin2α－cos2α1＋cos2α的值是()A.－32B.－1 C.1 D.327.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A＋2c sin C＝2b sin C cos A，则角A的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.2π38.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为()A.3B.4C.6(3－1)D.3(3＋1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)＝sin x2，则以下结论恒成立的是()A.f(－x)＝－f(x)B.f(－x)＝f(x)C.f(2π－x)＝f(x)D.f(π＋x)＝f(π－x)10.已知函数f(x)＝cos2x1＋sin x，则()A.f(x＋π)＝f(－x)B.f(x)的最大值为4－22C.f(x)是奇函数D.f(x)的最小值为－1211.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝π4，BC边上的高等于a3，则以下四个结论正确的有()A.cos C＝255B.sin∠BAC＝31010C.tan∠BAC＝3D.b2－c2＝a2312.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，关于此函数的描述下列选项正确的是()A.ω＝2B.φ＝π3C.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＝f (x 2)D.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＋f (x 2)＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知α是第三象限角，且cos ＝35，则tan α＝________，sin （π－α）cos （π＋α）＝________.14.某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心、QT 长为直径的半圆，QT ＝23dm.QST 的圆心为P ，PQ ＝PT ＝2dm.QRT 与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为________dm 2.15.对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：a *b a －2b ，a ≥b ，b －2a ，a ＜b ，则函数f (x )＝sin x *cosx 的值域为________.16.[2022·江西红色七校联考]在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若4S ＝b 2＋c 2－a 2，b ＝6，2cos 2B ＋cos 2B ＝0，则S ＝________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)下面给出有关△ABC 的四个论断：①S △ABC ＝32；②b 2＋ac ＝a 2＋c 2；③a c ＝2或12；④b ＝3.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若________，则________(用序号表示)；并给出证明过程.18.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角φ的终边与单位圆的交点为A ，圆C ：x 2＋y 2＝3与x 轴正半轴的交点是P 0.若圆C 上一动点从P 0开始，以πrad/s 的角速度逆时针做圆周运动，t s 后到达点P .设f (t )＝|AP |2.(1)若φ＝π3且t ∈(0，2)，求函数f (t )的单调递增区间；(2)若2，π3＜φ＜5π6，求19.(12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，3c sin A ＝4b sin C ，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为25，点D 在线段AB 上，且BD ＝2DA ，求CD 的长.条件①：cos C ＝23；条件②：cos A ＝19.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.20.(12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ＞0，ω＞0，|φ|.(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间0，π2上的单调性.21.(12分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，从以下三个条件中选取一个解答该题.①2b－ca＝cos Ccos A；②4cos(B＋C)＋2cos2A＝－3；③a3cos A＝bsin（A＋C）.(1)求角A的大小；(2)若a＝14，b＋c＝42，求△ABC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.(12分)已知f(x)＝x＋12sinx－34.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若2对任意的x∈π4，π3恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1.D [由θ，得－π6＜θ－π6＜π3，又＝12，所以θ－π6＝π6，解得θ＝π3，故cos 0＝1，故选D.]2.B[把a ＝2sin 18°代入a 2＋b ＝4，得b ＝4－a 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，a 2b 1－cos 72°＝4sin 218°·4cos 218°1－cos 72°4sin 236°1－（1－2sin 236°）＝2.故选B.]3.C[由题意A ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin Bsin A＝23×sin 45°sin 60°＝22，故选C.]4.C[因为a cos B ＋(b －2c )cos A ＝0，所以由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac＋(b －2c )×b 2＋c 2－a 22bc ＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又b 2＋c 2－a 2＝4，所以bc ＝4，由△ABC的面积公式得S 1216－4＝3，故选C.]5.A [f (x )＝2sinx g (x )＝2sin x g (x )的图象→f (x )的图象，即g (x )的图象向左平移π4个单位长度.故选A.]6.B [由α＝－17，可得tan 2α＋11－tan 2α＝－17，解得tan 2α＝－43，又由2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝－12，或tan α＝2(舍去)，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－1.故选B.]7.A[由正弦定理可得a 2＋2c 2＝2bc cos A ，根据余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＋2c 2＝2bc cos A ，整理得4bc cos A ＝b 2＋3c 2≥23bc ，当且仅当b ＝3c 时等号成立，所以cos A ≥32，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π6，故选A.]8.C[如图，根据题意得∠ACB ＝15°，∠ACD ＝105°，∠ADC ＝30°，CD ＝24，所以∠CAD ＝45°，所以在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC，即24sin 45°＝ACsin 30°，解得AC ＝122，所以在Rt △ACB 中，sin ∠ACB ＝ABAC ，即sin 15°＝AB 122，解得AB ＝122sin 15°＝122sin(60°－45°)＝122×22－12×122×6－24＝32(6－2)＝63－6.故选C.]9.ACD [对于A ，B ，f (－x )＝sin x2＝－f (x )，所以A 正确，B 错误；对于C ，f (2π－x )＝sin 2π－x 2＝sin x2＝f (x )，所以C 正确；对于D ，因为f (π＋x )＝sin π＋x 2＝cos x2，f (π－x )＝sin π－x 2＝＝cos x2，所以f (π＋x )＝f (π－x )，所以D 正确，故选ACD.]10.AB [由题意，函数f (x )＝cos 2x 1＋sin x ，可得f (x ＋π)＝cos[2（x ＋π）]1＋sin （x ＋π）＝cos 2x1－sin x ，f (－x )＝cos （－2x ）1＋sin （－x ）＝cos 2x1－sin x，所以A 正确；f(x)＝cos2x1＋sin x＝1－2sin2x 1＋sin x＝4＋2sin x4－22，当且仅当sin x＝22－1时等号成立，故B正确；由f(－x)＝cos（－2x）1＋sin（－x）＝cos2x1－sin x，得f(－x)≠－f(x)，所以C不正确；1＋＝－121－32＝－2－3＜－12，所以D不正确.故选AB.]11.ABD[∵sin B＝a3c＝a3c＝22，∴c＝23a.由余弦定理知，cos B＝a2＋c2－b22ac＝＝22，解得b＝53a，b2－c2＝13a2，选项D正确；b＝53a，由正弦定理得sin B＝53sin∠BAC＝22，则sin∠BAC＝31010，选项B 正确；易知c＝105b，B＝π4，则C＜π4⇒∠BAC＞π2，tan∠BAC＝－3，选项C错误；sin C＝105sin B＝105×22＝55⇒cos C＝255，选项A正确.故选ABD.]12.AC[对于A，由题图知，f(x)的最小正周期T＝25π12－π，所以ω＝2πT ＝2，故A正确；对于B，由A知f(x)＝2sin(2x＋φ)，－π12，得2＋φ＝2kπ(k∈Z)，结合|φ|＜π解得φ＝π6，故B错误；对于C 、D ，由B 知f (x )＝x令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的一条对称轴，由x 1＋x 2＝π3，知x 1，x 2关于直线x ＝π6对称，所以f (x 1)＝f (x 2)，故C 正确，D 错误.综上所述，正确的结论为A 、C.]13.34－45[因为＝35，所以－sin α＝35，所以sin α＝－35.又因为α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34，sin （π－α）cos （π＋α）＝－sin αcos α－sin α＝cos α＝－45.]14.3＋π6[连接PO ，可得PO ⊥QT ，因为sin ∠QPO ＝QO PQ ＝32，所以∠QPO ＝π3，∠QPT ＝2π3，所以月牙的面积为S ＝12×π×(3)222×2π3－12×23×2.故答案为3＋π6.]15.[0，22][由题知a *b ＝2|a －b |，则f (x )＝sin x *cos x ＝2|sin x －cos x |＝22|∈[0，22].]16.3＋32[在△ABC 中，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，S ＝12bc sin A ，所以cos A ＝4S 2bc ＝4×12bc sin A 2bc＝sin A ，所以tan A＝1.又AA ＝π4由2cos 2B ＋cos 2B ＝0得2cos 2B ＋2cos 2B －1＝0，即cos 2B ＝14，又BB ＝π3，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2.因为sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×12＋22×32＝6＋24，所以S ＝12ab sin C ＝3＋32.]17.解方案一若①②③，则④.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，与ac ＝2联立，得a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2＋c 2－ac ＝4＋1－2＝3，得b ＝3，④成立.方案二若①②④，则③.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，可得a 2＋c 2－ac ＝3，从而(a ＋c )2＝9，a ＋c ＝3，与ac ＝2联立，＝2，＝1＝1，＝2，故a c ＝2或12，③成立.方案三若①③④，则②.(错误选择，零分)由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，由③a c ＝2或12，不妨取a c ＝2，得c 2sin B ＝32，即sin B ＝32c2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a c＝2，可得5c 2－4c 2cos B ＝3，从而cos B ＝5c 2－34c 2.又sin 2B ＋cos 2B ＝1，得3c 4－10c 2＋7＝0，得c ＝1或73，当c ＝1时，得a ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°).即B ＝60°，即b 2＝a 2＋c 2－ac 成立，②成立；当c ＝73时，得a ＝273，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝1314，故B ＝60°不成立，即b 2＝a 2＋c 2－ac 不成立，②不成立.方案四若②③④，则①.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，代入a 2＋c 2－ac ＝3中可得，3c 2＝3，得c ＝1，a ＝2，从而得12ac sin B ＝32，即S △ABC ＝32，①成立.18.解由已知条件和三角函数的定义得，A (cos φ，sin φ)，P (3cos πt ，3sin πt )，∴f (t )＝|AP |2＝(cos φ－3cos πt )2＋(sin φ－3sin πt )2＝4－23cos(πt －φ).(1)若φ＝π3，则f (t )＝4－23cos t 令2k π≤πt －π3≤π＋2k π(k ∈Z )，得13＋2k ≤t ≤43＋2k (k ∈Z ).又t ∈(0，2)，∴函数f (t )的单调递增区间是13，43.(2)由2，及π3＜φ＜5π6，得＝33，－π2＜π3－φ＜0，∴＝－63，∴4－23cos＝4＋23sin 4－2 2.19.解选择条件①cos C ＝23.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos C ＝23和余弦定理得23＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25b 2－9c 224b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos ∠ACB ＝23，且∠ACB 为△ABC 一内角，∴sin ∠ACB ＝53，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝259c 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝a 2＋BD 2－2a ·BD cos B ＝42＋22－2×4×2×23＝283，∴CD ＝2213.选择条件②cos A ＝19.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos A ＝19和余弦定理得19＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9c 2－7b 218bc ，∴b ＝c 或b ＝－97c (舍去)，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos A ＝19，且A ∈(0，π).∴sin A ＝459，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝259b 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝b 2＋AD 2－2b ·AD cos A ＝283，∴CD ＝2213.20.解(1)由图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，当x ＝π6时，f (x )＝1，可得2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，而|φ|＜π2，于是有φ＝π6，所以f (x )的解析式为f (x )＝x π.(2)g (x )＝f (x )－cos 2x ＝x cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝x 由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，当－π6≤2x －π6≤π2有0≤x ≤π3，g (x )单调递增，当π2＜2x －π6≤5π6有π3＜x ≤π2，g (x )单调递减，所以g (x )在0，π3单调递增，在，π2单调递减.21.解若选①，(1)根据正弦定理知，2b －c a ＝2sin B －sin C sin A＝cos C cos A ，即2sin B ·cosA ＝cos C ·sin A ＋sin C ·cos A ，即2sinB ·cos A ＝sin(A ＋C )，因为A ＋C ＝π－B ，所以2sin B ·cos A ＝sin B ，又B ∈(0，π)，故sin B ≠0，解得cos A ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选②，(1)由题意可得4cos(B ＋C )＋2(2cos 2A －1)＝－3，又cos(B ＋C )＝－cos A ，所以－4cos A ＋2(2cos 2A －1)＝－3，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选③，(1)由正弦定理及a 3cos A ＝b sin （A ＋C ），得sin A 3cos A ＝sin B sin （A ＋C ），又sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以sin A 3cos A ＝sin B sin B ，得tan A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.22.解(1)化简得f (x )＝cosx ＋32cos2x ＋32cos 2－34＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＋34cos 2x －34＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝x 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以单调递增区间为－512π＋k π，π12＋k π，k ∈Z .(2)由(1)可得a sin x －cos x ≥2，即a ≥2＋cos x sin x，对任意的x ∈π4，π3恒成立，只需要amax 即可，2＋cos x sin x＝2sin x 2cos x 22sin x 2cos x 2令t＝sin x2cos x2＝tanx2，因为x∈π4，π3，则x2∈π8，π6，所以t＝tan x2∈2－1，33，所以2＋cos xsin x＝3＋t22t＝32t＋t2，由对勾函数性质可得，当t∈2－1，33时，y＝32t＋t2为减函数，所以当t＝2－1max＝22＋1，所以实数a的取值范围是[22＋1，＋∞).。
高三数学(理)一轮复习讲解与练习3.3三角函数的图像与性质(含答案解析)
第三节 三角函数的图象与性质[备考方向要了然 ]考 什 么怎 么 考1.能画出 y ＝ sin x ，y ＝cos x ，y ＝ tan x 的图象， 1.以选择题或填空题的形式考察三角函数的认识三角函数的周期性．单一性、周期性及对称性．如2012 年新课标2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2 π]上的全国 T9 等．性质 (如单一性、最大值和最小值以及与x 轴 2.以选择题或填空题的形式考察三角函数的π π 值域或最值问题．如 2012 年湖南 T6 等．的交点等 )，理解正切函数在区间 － ，22内3.与三角恒等变换相联合出此刻解答题中． 如的单一性 .2012 年北京 T15 等 .[概括 ·知识整合]正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y ＝ sin xy ＝ cos xy ＝ tan x图象x x ≠ πk＋ k π，定义域RR2∈ Z }值域[ － 1,1] [ － 1,1]R递加区间：递加区间： [2k π－π，2k π]ππ递加区间：2k π－ 2， 2k π＋2 (k ∈ Z )(k ∈ Z )π π单一性递减区间： 递减区间： [2k π，2k π＋π] k π－2，k π＋2 (k ∈π 3 π(k ∈ Z ) (k ∈ Z )Z )2k π＋， 2k π＋22πx ＝ 2k π＋ (k ∈ Z )时，y max ＝ 12 最 值πx ＝ 2k π－ (k ∈ Z )时， y min ＝2－ 1 奇偶性奇函数对称中心 (k π， 0)， k ∈ Z对称性π对称轴 l x ＝ k π＋ ， k ∈ Z2周期2πx ＝ 2k π(k ∈ Z )时，y max ＝ 1x ＝ 2k π＋ π(k ∈ Z ) 时，y min ＝－ 1偶函数π对称中心 k π＋2 ，0 ， k∈ Z对称轴 l x ＝ k π， k ∈ Z2π无最值奇函数k π对称中心2 ， 0 (k ∈Z )无对称轴π[研究 ] 1.正切函数 y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？π π提示：不是．正切函数 y ＝ tan x 在每一个区间k π－2， k π＋ 2 (k ∈Z )上都是增函数， 但在定义域内不是单一函数，故不是增函数．2．当函数 y ＝Asin(ωx＋ φ)分别为奇函数和偶函数时， φ 的取值是什么？对于函数 y ＝Acos(ωx＋ φ)呢？π提示：函数 y ＝Asin( ωx＋φ)，当 φ＝ k π(k ∈Z )时是奇函数， 当 φ＝ k π＋ 2(k ∈Z )时是偶函数；函数 y ＝ Acos(ωx＋ φ)，当 φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当 φ＝k π＋ π∈ 时是奇函数．2(k Z )[自测 ·牛刀小试 ]1． (教材习题改编 )设函数 f(x)＝ sin 2x － π ， x ∈ R ，则 f(x)是 ()2 A ．最小正周期为 π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数πC ．最小正周期为 2的奇函数πD ．最小正周期为 的偶函数2π分析： 选 B ∵f( x)＝ sin(2x － 2)＝－ cos 2x ，∴f(x)是最小正周期为 π的偶函数．2． (教材习题改编 )函数 y ＝ 4sin x ， x ∈ [－ π， π]的单一性是 ( )A ．在 [－ π， 0]上是增函数，在 [0， π]上是减函数B ．在 π π 上是增函数，在 － π，－ π 和 π－ ， 2 ， π上都是减函数2 2 2 C ．在 [0， π]上是增函数，在 [ －π， 0]上是减函数πππ πD ．在 2，π∪－ π，－ 2 上是增函数，在 － 2，2 上是减函数分析：选 B 由函数 y ＝4sin x ，x ∈[－ π，π]的图象可知，该函数在π π－ 2，2 上是增函数，－ π，－ π π在 2 和 ， π 上是减函数．23．函数 y ＝cos x －1的定义域为 ()2π πA. －3，3ππB. k π－ 3， k π＋3 ， k ∈ Zπ π C. 2k π－ 3， 2k π＋3 ， k ∈ ZD ． R 分析：选C∵cosx － 1 ≥0，得 cos x ≥ 1ππ2≤ x ≤ 2k π＋3， k ∈Z .2，∴2k π－3x － π4． (教材习题改编 )函数 f(x)＝ 3sin 2 4 ，x ∈R 的最小正周期为 ________．分析： 函数 f(x)＝ 3sinx－π的最小正周期为2 42πT ＝ 1 ＝ 4π.2 答案： 4ππ的最大值为 ________，此时 x ＝ ________.5．函数 y ＝ 3－ 2cos x ＋ 4分析：函数 y ＝ 3－ 2cos ππ 3πx ＋ 4 的最大值为 3＋ 2＝ 5，此时 x ＋ 4＝ π＋ 2k π，即 x ＝ 4 ＋ 2k π(k∈Z )．3π答案：5 4＋2k π(k ∈Z )三角函数的定义域和值域[例 1] (1)求函数 y＝ lg(2sin x－ 1)＋1－2cos x的定义域；(2)求函数 y＝2cos2x＋ 5sin x－ 4 的值域．[自主解答 ] (1)要使函数存心义，一定有12sin x－ 1>0，即sin x>2，11－2cos x≥ 0，cos x≤2，π5π6＋ 2kπ<x< 6＋2kπ，(k∈Z )，解得5ππ＋ 2kπ≤ x≤＋ 2kπ，33π5π即3＋2kπ≤ x＜6＋ 2kπ(k∈Z )．π5π故所求函数的定义域为3＋ 2kπ，6＋ 2kπ (k∈Z )．(2)y＝ 2cos2x＋ 5sin x－ 4＝2(1－ sin2x)＋ 5sin x－ 4＝－ 2sin2x＋ 5sin x－ 25 29＝－ 2(sin x－4) ＋8.故当 sin x＝1 时， y max＝ 1，当 sin x＝－ 1 时， y min＝－ 9，故 y＝2cos2x＋5sin x－4 的值域为 [－ 9,1]．———————————————————1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域其实是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域的求法求解三角函数的值域(最值 )常有到以下几种种类的题目：①形如y＝asin x＋ bcos x＋ c2的三角函数化为y＝Asin( ωx＋φ)＋ k 的形式，再求最值(值域 )；②形如y＝ asin x＋bsin x＋ c的三角函数，可先设sin x＝ t，化为对于t 的二次函数求值域(最值 )；③形如 y＝ asin xcos x1． (1) 求函数 y ＝2＋ log 1 x ＋ tan x 的定义域；22 π－ π(2) 设 a ∈ R ， f(x)＝ cos x(asin x － cos x)＋ cos － x知足 f 3 ＝ f(0) ，求函数 f( x)在2π 11π4，24 上的最大值和最小值．解： (1)要使函数存心义2＋ log 1 x ≥0，2x ＞0，则tan x ≥ 0，πx ≠ k π＋ 2 k ∈Z利用数轴可得：所以函数的定义域是0＜ x ≤4， 即πk π≤ x ＜ k π＋ 2 k ∈Z .，πx|0＜ x ＜ 2或 π≤x ≤ 4 .2π(2)f(x)＝ cos x(asin x － cos x)＋ cos 2－ x2 2a＝ asin xcos x － cos x ＋ sin x ＝ 2sin 2x － cos 2x.π 因为 f －3 ＝ f(0) ，a 2π 2π所以 2·sin － 3 － cos － 3 ＝－ 1，3 1 即－4 a ＋2＝－ 1，得 a ＝ 23.于是 f(x)＝ 3sin 2x － cos 2x ＝ 2sin π2x －6 . π 11π π π 3π 因为 x ∈4， 24 ，所以 2x －6∈ 3， 4 ，π π ππ所以当 2x －6＝2即 x＝ 3时 f(x)获得最大值 f 3 ＝ 2，π 3π 11π11π 当 2x － 6＝ 4 即 x ＝ 24 时 f(x)获得最小值 f 24 ＝ 2.三角函数的单一性[例 2] 求以下函数的单一递减区间：(1)y＝ 2sin x－π； (2)y＝ tanπ. 4－ 2x3[自主解答 ]ππ2kπ＋3π(1)由 2kπ＋≤x－≤2， k∈Z，243π7π得 2kπ＋4≤ x≤2kπ＋4， k∈Z .π故函数 y＝ 2sin x－4的单一减区间为3π7π2kπ＋4， 2kπ＋4 (k∈Z )．ππ(2)把函数 y＝tan3－2x变成 y＝－ tan 2x－3 .πππ由 kπ－2<2x－3<kπ＋2， k∈Z，π5π得 kπ－6<2x<kπ＋6， k∈Z，kππkπ 5π即2－12<x< 2＋12， k∈Z.π故函数 y＝ tan 3－ 2x 的单一减区间为kππkπ 5π2－12，2＋12 ( k∈Z )．π若将本例 (1)改为“ y＝ 2 sin x－4”，怎样求解？π3π5π解：画出函数y＝ 2 sin x－4的图象，易知其单一递减区间为kπ＋4， kπ＋4 (k∈Z )．———————————————————1．三角函数单一区间的求法求形如 y＝ Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(此中 A≠ 0，ω＞ 0)的函数的单一区间，能够通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω＞0)”视为一个“整体”；② A＞ 0(A＜ 0)时，所列不等式的方向与 y＝ sin x(x∈R) ，y＝ cos x(x∈R )的单一区间对应的π不等式方向同样(反 )．对于y＝ Atan(ωx＋φ)( A、ω、φ为常数 )，其周期T＝|ω|，单一区间利ππ用ωx＋φ∈kπ－2， kπ＋2，解出 x 的取值范围，即为其单一区间．2． 复合函数单一区间的求法 对于复合函数y ＝ f(v)， v ＝φ(x)，其单一性判断方法是：若y ＝ f(v)和v ＝φ(x)同为增 (减 )函数时，y ＝ f(φ(x))为增函数；若y ＝ f(v)和v ＝φ(x)一增一减时， y ＝ f(φ(x))为减函数．3． 含绝对值的三角函数单一区间的求法求含有绝对值的三角函数的单一性及周期时，往常要画出图象，联合图象判断．2．若函数 f(x) ＝ sin ωx (ω＞ 0)在区间 0， ππ π上单一递加，在区间， 上单一递减，则3 3 2ω等于 ()A ． 3B ．23 2 C.2D.3分析：选C∵y ＝ sin ωx (ω＞0)过原点，ππ∴当0≤ωx≤2，即 0≤ x ≤2ω时． y ＝ sin ωx 是增函数；π 3π π≤x ≤ 3π当 ≤ωx≤2，即时，22ω 2ωy ＝ sin ωx 是减函数．π由 y ＝ sin ωx (ω＞ 0)在 0，3 上单一递加，π ππ π 3 在 3，2 上单一递减知， 2ω＝3，故 ω＝2.三角函数的周期性、奇偶性与对称性[例 3] (1)(2012 福·建高考 )函数 f(x)＝sin x －π的图象的一条对称轴是 ()4πB ．x ＝πA ． x ＝ 42ππC ． x ＝－ 4D ． x ＝－ 2π5π 图(2)(2012 新·课标全国卷 )已知 ω>0,0< φ<π，直线 x ＝ 和 x ＝是函数 f(x)＝ sin(ωx＋ φ) 44象的两条相邻的对称轴，则φ＝ ()ππA. 4B.3π3πC.2D. 4x＋φ(3)(2012大·纲全国卷 )若函数 f(x)＝ sin3 (φ∈ [0,2π])是偶函数，则φ＝ ()π2πA. 2B. 33π D.5πC. 23[自主解答 ](1)法一： (图象特点 )∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，ππ3ππ故令 x－4＝ kπ＋2， k∈Z，∴x＝ kπ＋4， k∈Z.取 k＝－ 1，则 x＝－4.法二： (考证法 )ππ πππ π2x＝4时， y＝ sin 4－4＝ 0，不合题意，清除A ；x＝2时， y＝sin2－4＝2，不合题意，ππ πππ π清除 B；x＝－4时，y＝ sin －4－4＝－ 1，切合题意， C 项正确；而 x＝－2时，y＝sin －2－42＝－2，不合题意，故 D项也不正确．π5π(2)因为直线 x＝4和 x＝4是函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数ππf(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝ 1，所以4＋φ＝ kπ＋2(k∈Z)．π又 0<φ<π，所以φ＝4.(3)若 f(x)为偶函数，则f(0) ＝±1，φφπ即 sin 3＝±1，∴3＝ kπ＋2( k∈Z )．3π∴φ＝ 3kπ＋2 (k∈Z)．只有 C 项切合．[答案 ] (1)C (2)A(3)C本例 (1)中函数 f( x)的对称中心是什么？ππ提示：令 x－4＝ kπ， k∈Z，则 x＝4＋ kπ， k∈Z .ππ故函数 f(x)＝ sin x － 4 的对称中心为＋ k π， 0(k ∈Z ) ．4———————————————————函数 f(x) ＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性及对称性(1)若 f(x)＝ Asin( ωx＋ φ)为偶函数，则当 x ＝ 0 时， f( x) 获得最大或最小值． 若 f(x)＝ Asin( ωx＋φ)为奇函数，则当 x ＝0 时， f(x)＝ 0.2 对于函数y ＝ Asinωx＋ φ，其对称轴必定经过图象的最高点或最低点，对称中心必定是函数的零点，所以在判断直线x ＝x 0 或点 x 0， 0 是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过查验 f x 0 的值进行判断 .3． (1) 函数 y ＝ 2sin(3 x ＋φ) |φ|＜π的一条对称轴为x ＝ π，则 φ＝________.212(2)函数 y ＝ cos(3x ＋φ)的图象对于原点成中心对称图形．则φ＝ ________.πππ分析： (1) 由 y ＝ sin x 的对称轴为 x ＝k π＋ 2(k ∈Z )，即 3× 12＋φ＝ k π＋2(k ∈Z )，得 φ＝ k ππ＋ 4(k ∈Z )．ππ又 |φ|＜ 2，所以 k ＝0，故 φ＝ 4.π(2)由题意，得 y ＝ cos(3x ＋ φ)是奇函数，故 φ＝ k π＋2， (k ∈Z )．π答案：(1)4π(2) k π＋2， k ∈ Z2 个性质 —— 周期性与奇偶性 (1)周期性2π 函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)和 y ＝ Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y ＝ tan(ωx＋ φ)的最小正周期|ω|π为|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝ Asin ωx 或 y ＝ Atan ωx，而偶函数一般可化为 y ＝ Acosωx＋b 的形式．3 种方法 —— 求三角函数值域 (或最值 )的方法(1)利用 sin x、 cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝ Asin( ωx＋φ)＋k 的形式逐渐剖析ωx＋φ的范围，依据正弦函数单一性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值 )问题．4 个注意点——研究三角函数性质应注意的问题(1)三角函数的图象从形上完整反应了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象．(2)闭区间上最值或值域问题，第一要在定义域基础上剖析单一性，含参数的最值问题，要议论参数对最值的影响．(3)利用换元法求复合函数的单一性时，要注意x 系数的正负．(4)利用换元法求三角函数最值时要注意三角函数的有界性，如：y＝ sin2x－ 4sin x＋ 5，令 t＝ sin x(|t|≤ 1)，则 y＝ (t－ 2)2＋ 1≥ 1，解法错误 .创新交汇——与三角函数性质有关的交汇问题1．高考对三角函数的图象与性质的考察不只有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，常常联合会合、数列、函数与导数等考察三角函数的有关性质；解答题主要与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题．2．解决此类交汇问题的重点有以下两点：(1)熟记三角函数的性质，主要为定义域、值域、单一性、奇偶性、周期性、对称性等及有关结论．(2)要擅长利用函数图象的形象性和直观性剖析解决问题．[典例 ]π2πnπ*)，则在 S1， S2，， S100 (2012 上·海高考 )若 S n＝ sin ＋ sin＋＋ sin7(n∈N77中，正数的个数是 ()A． 16 B ．72C． 86D． 100πxT＝ 14，[分析 ]∵函数 f( x)＝ sin 7的最小正周期为π26781314又 sin7＞ 0，sin7π＞ 0，，sin 7π＞0， sin7π＝ 0，sin7π＜ 0，，sin 7π＜ 0，sin 7π＝ 0，∴在S1，S2， S3，，S13，S14中，只有S13＝ S14＝ 0，其他均大于0.由周期性可知，在S1， S2，， S100中共有 14 个 0，其他都大于0，即共有86 个正数．[答案] C[名师评论 ]1．此题拥有以下创新点πx的周期性．(1)此题表面是考察数列乞降问题，其本质考察了三角函数f(x)＝ sin 7(2)此题奇妙将三角函数值的符号、三角函数的引诱公式、三角函数的周期性及数列求和融为一体，考察了考生的数据办理能力、推理论证能力及转变与化归能力，难度较大．2．解决此题的重点有以下两点(1)正确结构函数πx，并求得其周期；f(x) ＝ sin 7(2)正确利用引诱公式求出一个周期内S1， S2，， S14中是 0 的个数．[变式训练 ]1．(2013 郑·州模拟 )已知曲线 y＝2sin x＋ππ4cos － x 与直线 y＝1订交，若在 y 轴右边的42交点自左向右挨次记为P1， P2，P3，，则 | PP |等于 ()15A．π B ．2πC． 3πD． 4πππππ分析：选 B 注意到 y＝ 2sin x＋4cos 4－ x ＝ 2sin2x＋4＝ 1－ cos 2 x＋4＝ 1＋ sin 2x，2π又函数 y＝1＋ sin 2x 的最小正周期是2＝π，联合函数 y＝1＋ sin 2x的图象 ( 如下图 )可知，| PP |＝ 2π.152．若三角函数 f(x)的部分图象如图，则函数 f(x)的分析式，以及 S＝ f(1)＋ f(2) ＋＋ f(2 012)的值分别为 ()A． f(x)＝1πxsin＋ 1，S＝ 2 012 221πxB． f(x)＝ cos＋ 1，S＝2 01222πxC ． f(x)＝ 1sin＋ 1，S ＝ 2 012.52 2 1 πxD ． f(x)＝ cos ＋ 1， S ＝ 2 012.522分析：选 A依据已知图象， 可设 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)＋ 1(ω＞ 0，A ＞ 0)．∵由T ＝ 4 得 2πω＝π f x 最大值 － f x 最小值1.5－ 0.5 1 4，∴ω＝2.A ＝2＝2＝ 2，又 f(0) ＝ 12sin φ＋ 1＝ 1，1πx∴sin φ＝ 0 得， φ＝ 0，∴f(x)＝2sin 2 ＋1.又 f(1) ＋ f(2) ＋ f(3)＋ f(4)＝ 1.5＋ 1＋ 0.5＋ 1＝ 4，∴S ＝f(1) ＋ f(2) ＋ ＋ f(2 012)＝ 503×[ f(1) ＋ f(2)＋ f(3)＋ f(4)] ＝ 503× 4＝ 2 012.一、选择题 (本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分)1．函数 f(x)＝ sin x 在区间 [a ，b] 上是增函数， 且 f(a)＝－ a ＋b ＝ ()1，f(b)＝ 1，则 cos 22 A ． 0B. 2C ．－ 1D ． 1分析： 选 D 不如设 a ＝－ππa ＋ b2， b ＝ 2，则 cos 2＝ cos 0＝ 1.2． (2013 银·川模拟 )已知函数 f(x) ＝sin 2x ＋3π2(x ∈ R )，下边结论错误的选项是 ( )A ．函数 f(x)的最小正周期为 πB ．函数 f(x) 是偶函数πC ．函数 f(x) 的图象对于直线对称x ＝4πD ．函数 f(x)在区间 0，2 上是增函数分析：选 Cf(x)＝ sin 2x ＋ 3π＝－ cos 2x ，故其最小正周期为π，故 A 正确；易知函数2π f(x)是偶函数， B 正确；由函数 f( x)＝－ cos 2x 的图象可知，函数 f(x)的图象对于直线x ＝ 4不π对称， C 错误；由函数 f(x)的图象易知，函数 f(x)在 0， 2 上是增函数， D 正确．3． (2013 郑·州模拟 )设函数 f(x)＝ cos(ωx＋ φ)－3sin(ωx＋ φ) ω＞0， |φ|＜ π，且其图象2π )相邻的两条对称轴为 x ＝ 0， x ＝ ，则 (2πA ． y ＝ f(x) 的最小正周期为π，且在 0， 2 上为增函数B ． y ＝ f( x)的最小正周期为π上为减函数π，且在 0， 2 C ． y ＝ f( x)的最小正周期为 π，且在 (0， π)上为增函数 D ． y ＝ f(x) 的最小正周期为 π，且在 (0， π)上为减函数π T π分析：选 B由已知可得 f(x)＝ 2cos ωx＋ φ＋ 3 ，2 ＝ 2，得 T ＝ π，ω＝ 2.又 x ＝ 0 是对称 π π ππ 轴，故 cos φ＋ 3 ＝ ±1，由 |φ|＜ 2得 φ＝－ 3，此时 f(x)＝ 2cos 2x 在 0， 2 上为减函数．4．已知函数 y ＝ sin x 的定义域为 [a ，b] ，值域为－ 1， 1，则 b － a 的值不行能是 ()2π B.2πA. 334π C ． πD. 32π 4π分析：选A画出函数 y ＝ sin x 的草图剖析知 b － a 的取值范围为3，3 .π 5． (2013 ·阳联考衡 )给定性质：①最小正周期为π；②图象对于直线 x ＝ 对称，则以下3四个函数中，同时拥有性质①②的是( )x ＋ ππA ． y ＝ sin 2 6B ．y ＝ sin 2x － 6C ． y ＝ sin 2x ＋πD ． y ＝ sin|x|6π2ππ分析： 选 B 注意到函数y ＝ sin 2x －6 的最小正周期T ＝ 2＝ π，当x ＝3 时， y ＝π πsin 2×3－ 6 ＝ 1，所以该函数同时拥有性质①② .6． (2012 新·课标全国卷 )已知 ω＞ 0，函数 f(x)＝ sin ωx＋ π 在 π4 ， π上单一递减，则 ω2的取值范围是 ()A. 1， 51， 3 24 B. 24C. 0， 1D ． (0,2]2分析：选 A5 5 π8π 8π取 ω＝ 4，f(x)＝ sin 4x ＋ 4 ，其减区间为 5k π＋5， 5k π＋ π，k ∈Z ，明显 2，π 8 k π＋ π 8π ，其减区间为 ?， k π＋ π ， k ∈Z ， 排 除 B ， C. 取 ω＝ 2 ， f(x) ＝ sin 2x ＋ 4 5 5 5π 5 π π 5k π＋ 8， k π＋ 8π， k ∈Z ，明显 2， πk π＋ 8， k π＋8π， k ∈Z ，清除 D.二、填空题 (本大题共3 小题，每题5 分，共 15 分 )1的定义域为 ________．7．函数 y ＝tan x － 3ππx ≠ k π＋2，x ≠ k π＋ ， k ∈Z ， 分析： 由已知得 2即k ∈Z .πtan x ≠ 3，x ≠ k π＋3，故所求函数定义域为 x x ≠ k π＋π π .2 且x ≠ k π＋ ， k ∈Z3答案：x π πx ≠ k π＋且 x ≠ k π＋ ，k ∈ Z238．函数 y ＝ 2sin 2x ＋ π － 1， x ∈ 0， π的值域为 ________，而且取最大值时x 的值为3 3________ ．π π π分析： ∵0≤ x ≤ ，∴ ≤ 2x ＋ ≤ π，3 33∴0≤sin 2x ＋π≤ 1， 3πππ∴－1≤ 2sin 2x ＋ 3 － 1≤1，即值域为 [－ 1,1]，且当 sin 2x ＋3 ＝ 1，即 x ＝12时， y 取最大值．答案：π[－ 1,1]129．已知函数 f( x)＝ cos ωx＋π(ω＞ 0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之6π 差为，则函数在 [0,2 π]上的零点个数为 ________．2π分析： ∵由已知 f(x)＝ cos ωx＋ 6 的周期为π，2ππ∴＝π，ω＝ 2，∴f(x)＝ cos 2x＋ω 6 .ππkπ π当 f(x)＝ 0 时， 2x＋6＝ kπ＋2(k∈Z )， x＝2＋6，则当 x∈[0,2 π]时f(x) 有 4 个零点．答案： 4三、解答题 (本大题共 3 小题，每题12 分，共 36 分)10． (2012 陕·西高考 )函数 f(x)＝ Asinωx－π＋ 1(A>0 ，ω>0) 的最大值为3，其图象相邻6两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数 f(x)的分析式；(2)设α∈ 0，π， fα＝2，求α的值．22解： (1)∵函数 f(x)的最大值为3，∴A＋1＝ 3，即 A＝ 2.π∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，∴最小正周期 T＝π，∴ω＝ 2，故函数f(x)的分析式为πy＝ 2sin 2x－6＋ 1.απ(2)∵f 2＝ 2sin α－6＋ 1＝ 2，π1∴sin α－＝.πππ π∵0<α<2，∴－6<α－6<3，π ππ∴α－6＝6，故α＝3.11．设a＝ sin 2π＋2x， cos x＋ sin x ，b＝ (4sin x，cos x－ sin x)， f(x)＝a·b. 4(1)求函数 f(x)的分析式；π 2π(2)已知常数ω>0，若y＝f(ωx)在区间－，上是增函数，求ω的取值范围；2 3π＋ 2x2解： (1)f(x) ＝ sin·4sin x＋(cos x＋sin x)·(cos x－ sin x)1－ cos π＋x＝ 4sin x ·22＋ cos 2x＝ 2sin x(1＋ sin x)＋ 1－ 2sin 2x ＝ 2sin x ＋ 1，故函数分析式为 f(x)＝ 2sin x ＋ 1.(2)f(ωx)＝ 2sin ωx ＋ 1， ω>0.ππ≤ ωx ≤ 2k π＋ 2，由 2k π－22k π π 2k π π 得 f(ωx )的增区间是 ω － 2ω，ω ＋ 2ω ， k ∈Z .π 2π∵f(ωx )在 － 2， 3上是增函数，π 2ππ π∴－ ，3 ? － ，2 2ω 2ω .π π 2π π∴－ ≥－且≤，22ω 3 2ω3∴ω∈0， 4 .12．(2012 ·湖北高考 )已知向量 a ＝ (cos ωx－sin ωx，sin ωx )，b ＝ (－ cos ωx－ sin ω x,2 3cosωx )，设函数 f(x)＝ a ·b ＋ λ(x ∈ R )的图象对于直线1，1.x ＝ π对称，此中 ω，λ为常数， 且 ω∈ 2(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 y ＝ f(x) 的图象经过点π ，求函数 f(x)在区间 0，3π， 0 上的取值范围．45解： (1)f(x)＝ sin 2ωx－ cos 2ωx＋ 2 3sin ωx·cos ωx＋ λ＝－ cos 2ωx＋ 3sin 2ωx＋ λ＝π＋ λ. 2sin 2ωx－6由直线 x ＝ π是 y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得πsin 2ωπ－ 6 ＝±1，ππk 1所以 2ωπ－ 6＝ k π＋2(k ∈Z )，即 ω＝2＋ 3(k ∈Z )．1 5又 ω∈(2， 1)， k ∈Z ，所以 k ＝1，故 ω＝6.所以 f(x)的最小正周期是 6π 5 .(2)由 y ＝ f(x) 的图象过点π ，得 fπ ， 0 4 ＝ 0，4π ππ即 λ＝－ 5× －2，2sin 6 2 6 ＝－ 2sin 4＝－即 λ＝－ 2.5π 故 f(x)＝ 2sin 3x － 6 － 2，3ππ 5π 5π由 0≤x ≤ 5 ，有－ 6≤ 3x －6≤ 6 ，1≤ sin 5 π≤1， 所以－ 2 3x －65 π得－ 1－ 2≤ 2sin 3x － 6 － 2≤ 2－ 2，3π故函数 f(x)在 0， 5上的取值范围为 [－ 1－ 2， 2－ 2 ] ．1．求以下函数的定义域：(1)y ＝ lg sin(cos x)； (2)y ＝ sin x －cos x.解： (1)要使函数存心义，一定使sin(cos x)＞ 0.∵－1≤ cos x ≤ 1，∴0＜ cos x ≤ 1.利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知 0＜OM ≤ 1，∴OM 只好在 x 轴的正半轴上，∴其定义域为π π .x － ＋ 2k π＜ x ＜ ＋ 2k π， k ∈Z22(2)要使函数存心义，一定使sin x － cos x ≥ 0.利用图象．在同一坐标系中画出[0,2 π]上y ＝ sin x 和 y ＝ cos x 的图象，如下图．π 5π在 [0,2 π]内，知足 sin x ＝ cos x 的 x 为 4， 4 ，再联合正弦、余弦函数的周期是 2π，所以定义域为π5πx 4＋ 2k π≤ x ≤ 4 ＋ 2k π， k ∈Z .2．写出以下函数的单一区间及周期：π(1)y＝ sin － 2x＋；(2)y＝|tan x|.π解： (1)y＝－ sin 2x－3，π它的增区间是y＝ sin 2x－3的减区间，π它的减区间是y＝ sin 2x－3的增区间．πππ由 2kπ－2≤ 2x－3≤2kπ＋2，k∈Z，π5π得 kπ－12≤ x≤ kπ＋12， k∈Z .ππ3π≤ 2x－≤2kπ＋由 2kπ＋232， k∈Z，5π11π≤ x≤ kπ＋12， k∈Z .得 kπ＋12π5π故所给函数的减区间为kπ－12， kπ＋12， k∈Z；5π11π增区间为 kπ＋12， kπ＋12， k∈Z .2π最小正周期T＝2＝π.ππ(2)察看图象可知， y＝ |tan x|的增区间是kπ， kπ＋2， k∈Z，减区间是kπ－2， kπ， k∈Z .最小正周期：T＝π.3．求以下函数的值域：cos x＋ 52(1)y＝；(2) y＝sin x－ 4sin x＋ 5.解： (1)由 y＝cos x＋ 52y－ 5，得 cos x＝. 2－ cos x y＋ 1因为－ 1≤ cos x≤ 1，2y－ 54≤ y≤ 6.所以－ 1≤≤ 1，解得y＋ 134所以，原函数的值域为3，6 .(2)y＝ sin2x－ 4sin x＋5＝ (sinx－2) 2＋ 1.因为－ 1≤ sin x≤ 1，所以 2≤ y≤10.所以，原函数的值域为[2,10] ．4．设函数 f(x) ＝3sinππωx＋，ω＞ 0， x∈(－∞，＋∞ ) ，且以为最小正周期．62(1)求 f(0) ；(2)求 f(x)的分析式；α π＝9，求 sinα的值．＋(3)已知 f 4 125π 3解： (1)由题设可知 f(0)＝ 3sin6＝2.π(2)∵f(x)的最小正周期为2，2ππ∴ω＝π＝ 4.∴f(x) ＝ 3sin4x＋6 .2α ππ π9 (3)∵f 4＋12＝ 3sinα＋3＋6＝3cosα＝5，324∴cos α＝，∴sin α＝±1－ cos α＝± .55。
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题（含答案）一、单选题 1．已知2cos ,03ααπ=<<，则tan()4πα-=（ ）A ．17-B ．7-C ．459--D ．459-2．设函数()3f x x =，若02πθ≤≤时，()()cos 10f m f m θ+->恒成立,则实数m 的取值范围是 A ．(),1-∞B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()0,13．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为h =40的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角β=60°，α=30°，若山坡高为a =35，则灯塔的高度是（ ）A ．20B ．25C ．202D ．304．已知函数()sin,()(2),02f x A xg x k x k π==->.已知1A =时，函数()()()h x f x g x =-的所有零点之和为6，则当2A =时，函数()()()h x f x g x =-的所有零点之和为 A ．6B ．8C ．10D ．125．下列说法中正确的是A ．若数列{}n a 为常数列，则{}n a 既是等差数列也是等比数列；B ．若函数()f x 为奇函数，则(0)0f =；C ．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的充要条件；D ．若两个变量,x y 的相关系数为r ，则r 越大，x 与y 之间的相关性越强.6．要得到函数4sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需要将函数4sin 4y x =的图像（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位7．将函数()cos(2)6f x x π=-向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像的对应函数为()g x ，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要8．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos 21αα-=，则cos α=（ ）A ．15B ．55C ．35D ．2559．已知点33(sin ,cos )44P ππ落在角θ的终边上，则tan θ= A ．3-B ．33C ．—1D ．110．已知函数()sin cos f x a x x =+，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若12x x ∃≠，使得()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．()0,3C ．3,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11．先将函数的图象向左平移个长度单位，再保持所有点的纵坐标不变横坐标压缩为原来的，得到函数的图象，则使为增函数的一个区间是A ．ππ(,)42B ．π(,π)2C ．π(0,)2D ．(π,0)-12．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为 A ．143π B ．143π-C ．187π D ．187π-二、填空题13．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c +b （sin A ﹣cos A ）＝0，c 2a ＝1，则b ＝______．14．在ABC ∆中，若2sin b a B =，则A 等于_____15．甲船在岛A 处南偏西50°的B 处，且AB 的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为__________海里． 16．15tan 4π⎛⎫-= ⎪⎝⎭______________.17．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，①若cos cos a C c A a +=，则ABC 是等腰三角形；②若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰三角形；③tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 是锐角三角形；④若2cos2B ＝2a c c +，则ABC 是等边三角形，以上四个命题中正确的是__________．18．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3cosA cos cos a b C c B =+，3b c +=，则a 的最小值为__________．19．若3cos ,5αα=-为第二象限的角，则sin()πα-=__________．20．19tan cos36ππ+=____________.三、解答题21．已知函数()()ππsin 03,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<-<< ⎪的一系列对应值如表：（1）求()f x 的解析式；（2）如果ABC 的三边a ，b ，c 满足2b ac =，且边b 所对的角为x ，求角x 的取值范围及此时函数()f x 的值域.22．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合（顶点为原点），它的终边为射线4(0)3y x x =≤.（1）分别求sin()απ+，cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）若角β满足5sin()13αβ+=且αβ+为第一象限的角，求cos β的值.23．已知ABC ∆的面积为()18AC AB CB ⋅-=，向量()tan tan ,sin 2m A B C =+和()1,cos cos n A B =是共线向量（1）求角C 的大小： （2）求ABC ∆的三边长24．已知函数()sin 2cos cos 2sin 44f x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（其中,0x ϕπ∈<<R ）的图象关于直线x =6π对称. (I)求ϕ的值；(II)求()f x 的单调减区间.25．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图.（1）求函数()f x 的解析式.（2）求函数()f x 在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出相应的x 值.26．已知向量33(cos ,sin ),=(cos ,sin )2222x xa x xb =-,且()*2f x a b a b λ=-+,（为常数）(Ⅰ)求*a b 及||a b +;(Ⅱ)若的最小值是1m e +≥,求实数的值.27．设()sin 2cos(2),[0,]62f x x x x ππ=++∈．（1）若3sin 5x =，求()f x 的值；（2）设02πφ<<，若方程1()2f x φ-=有两个解，求φ的取值范围．28．已知函数()3cos2sin 2f x x x =-.（1）用五点法作出()f x 在一个周期内的图像；（2）写出()f x 的值域､最小正周期和对称轴方程(只需写出答案即可).29．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 只能满足．．．．以下三个条件中的两个：①2cos()cos acA CB b -+=；②函数()()()sin 0f x P x A P ωω=->、的部分图象如图所示；③()cos ,3m C =，()1,2n =-，满足//m n .（1）请指出ABC 满足哪两个条件，并证明；（2）若sin sin B C <，点D 为线段AB 上的点，且2CD =，求ACD 面积的最大值.30．已知角θ是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点125,1313P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）写出三角函数,cos sin θθ的值；（2）求()()tan 2cos sin sin πθθπθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⎝⎭-的值。
高考数学一轮总复习三角函数与解析几何的习题精选
高考数学一轮总复习三角函数与解析几何的习题精选本文将为大家提供一些高考数学一轮总复习中三角函数与解析几何方面的习题精选，以帮助大家巩固相关知识点，并提升解题能力。
一、三角函数1.已知sinα = 1/2，sinβ = 1/3，且α，β均属于第二象限，求cos(α-β)的值。
解答：根据sinα = 1/2，我们可以得到cosα = √3/2。
由sinβ = 1/3，我们可以得到cosβ = √8/3。
根据cos(α-β)的公式，我们有cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ。
代入已知的值，我们可以得到cos(α-β) = (√3/2)(√8/3) + (1/2)(1/3) = √6/2 + 1/6 = (√6+1)/6。
2.已知tanα = 3/4，且α属于第三象限，求cos2α的值。
解答：根据已知条件，我们可以得到sinα = -3/5，cosα = -4/5。
根据cos2α的公式，我们有cos2α = cos^2α - sin^2α。
代入已知的值，我们可以得到cos2α = (-4/5)^2 - (-3/5)^2 = 16/25 - 9/25 = 7/25。
二、解析几何1.已知平面上有一直线l1，过点A(2,-3)且与l1平行的直线l2的方程为3x-4y+7=0，求直线l2与x轴和y轴的交点的坐标。
解答：由直线l2的方程可以得到它与x轴的交点的坐标为(-7/3, 0)，与y轴的交点的坐标为(0, 7/4)。
2.已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(-2,3)，B(1,5)，C(4,1)，求三角形ABC的周长和面积。
解答：根据三角形的坐标可以得到边AB的长度为√(3^2+2^2) = √13，边BC的长度为√(3^2+4^2) = √25 = 5，边AC的长度为√(4^2+2^2) = √20 = 2√5。
所以三角形ABC的周长为√13 + 5 + 2√5。
根据海伦公式，三角形ABC的面积为√[s(s-√13)(s-5)(s-2√5)]，其中s为周长的一半。
最新高考数学(文)一轮总复习模拟演练 第3章 三角函数、解三角形 3-2及答案
(时间：40分钟)1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43B ．34 C ．－34D ．±34答案 B解析 ∵sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，选B.2．已知sin 5π7＝m ，则cos 2π7＝( ) A ．m B ．－m C ．1－m 2 D ．－1－m 2 答案 C 解析 因为sin5π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π7＝sin 2π7，所以sin 2π7＝m ，且2π7∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos 2π7＝1－m 2.3．已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是( ) A ．13B ．31010 C ．377 D ．355 答案 B解析 由tan(π－α)＋3＝0得tan α＝3，即sin αcos α＝3，sin α＝3cos α，所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝910.又因为α为锐角，所以sinα＝31010.4．若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵A，B是锐角△ABC的两个内角，∴A＋B＞90°，即A＞90°－B.∵0°<A<90°，0°<90°－B<90°.∴sin A＞sin(90°－B)＝cos B，cos A＜cos(90°－B)＝sin B.∴cos B－sin A＜0，sin B－cos A＞0.∴点P在第二象限，故选B.5．已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sinθ－cosθ的值为( )A．23B．13C．－23D．－13答案 C解析(sinθ＋cosθ)2＝169，∴1＋2sinθcosθ＝169，∴2sinθcosθ＝79，由(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－79＝29，可得sinθ－cosθ＝±23.又∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，sinθ<cosθ，∴sinθ－cosθ＝－2 3.6．已知角α的终边上一点P(3a,4a)(a<0)，则cos()540°－α的值是________．答案3 5解析cos(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cosα.因为a<0，所以r＝－5a ，所以cos α＝－35，所以cos(540°－α)＝－cos α＝35.7．sin600°＋tan240°的值等于________． 答案32解析 sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan60°＝－sin60°＋tan 60°＝32. 8．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 答案 －1解析 由已知得tan α＝－2，所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－1.9．已知f (α)＝sin 2π－α cos π＋α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αcos π－α sin 3π－α sin －π－α sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α，求f ⎝⎛⎭⎪⎫11π4的值． 解 f (α)＝－sin α －cos α －sin α －sin α－cos α sin αsin αcos α＝－tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π4＝－tan 11π4＝tan π4＝1.10．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．解 因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角， 所以75°＋α是第四象限角，sin(75°＋α)＝－1－cos 2 75°＋α ＝－1213. 所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin ＋cos(15°－α)＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α) ＝－sin ＋cos＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.(时间：20分钟)11．cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 290°＝( ) A ．90 B ．45 C ．44.5 D ．44答案 C解析 原式＝(cos 21°＋cos 289°)＋(cos 22°＋cos 288°)＋…＋(cos 244°＋cos 246°)＋cos 245°＋cos 290°＝(cos 21°＋sin 21°)＋(cos 22°＋sin 22°)＋…＋(cos 244°＋sin 244°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋0＝1³44＋12＋0＝44.5.12．若α是第四象限角，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，则cos ( π6－α )＝( )A ．15B ．－15C ．513D ．－513 答案 D解析 由题意知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513. 13．sin 4π3²cos 5π6²tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．答案 －334解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6²tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3²⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6²⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32³⎝ ⎛⎭⎪⎫－32³(－3)＝－334.14．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A ²cos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值． 解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，∴两边平方得1＋2sin A ²cos A ＝125， ∴sin A ²cos A ＝－1225. (2)由(1)sin A ²cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π， 可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝4925， sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＝75，∴sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝－43.。
高三数学一轮复习高效测评卷 第三章 三角函数 理 试题
金版新学案?高三一轮总复习[B 师大]数学理科高效测评卷(三)第三章 三角函数————————————————————————————————————— 【说明】 本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷 (选择题 一共60分)个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．角2α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且2α∈[0,2π)，那么tan α等于( )A ．－ 3 B. 3 C.33D ．－332．函数中周期为2的函数是( ) A ．y ＝2cos 2πx －1B ．y ＝sin 2π x ＋cos 2πx C ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3D ．y ＝sin πx cos πx3．sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，那么sin α·cos α＝( )A.25B ．－25C.25或者－25D ．－154．设M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos 2x ＋b sin 2x }，给出M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos 2x ＋b sin 2x ，那么点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( )A ．πB ．2π C.π2D.π45．化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．16．假设把函数y ＝3cos x －sin x 的图象向右平移m (m ＞0)个单位后，所得到的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π67．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假如c ＝3a ，B ＝30°，那么C ＝( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°8．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一座M 原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与的间隔 是53海里，那么和轮船原来的间隔 为( )A ．22海里B ．3海里C ．4海里D ．5海里9．函数f (x )＝sin 2x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，θ上的最大值为1，那么θ的值是( )A ．0 B.π3C.π2D ．－π210．关于函数f (x )＝sin x ＋cos x ，以下命题正确的选项是( ) A ．函数f (x )的最大值为2 B ．函数f (x )的一条对称轴为x ＝π4C ．函数f (x )的图象向左平移π4个单位后对应的函数是奇函数D ．函数y ＝|f (x )|的周期为2π11．x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，那么实数a 的取值范围为( )A ．[－3，2]B ．[3，2]C ．(3，2]D ．(3，2)12．tan α＝－34，且tan(sin α)＞tan(cos α)，那么sin α的值是( )A ．－35B.35 C ．±35D ．－45第二卷 (非选择题 一共90分)横线上)13．α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，那么tan α＝________.14．在锐角△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝2∠A ，那么ACcos A＝________. 15．假设π4是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x (a ∈R ，为常数)的零点，那么f (x )的最小正周期是________．16．给出以下命题：①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12；②假设α、β为锐角，tan(α＋β)＝12，tan β＝13，那么α＋2β＝π4；③假设A 、B 是△ABC 的两个内角，且sin A <sin B ，那么BC <AC ；④假设a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，且a 2＋b 2－c 2<0，那么△ABC 是钝角三角形．其中真命题的序号是________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(12分)在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．18.(12分)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如下图．(1)求ω、φ的值；(2)设g (x )＝f (x )f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，求函数g (x )的单调递增区间．【解析方法代码108001047】19．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边长，2sin A ＝3cos A . (1)假设a 2－c 2＝b 2－mbc ，务实数m 的值；(2)假设a ＝3，求△ABC 面积的最大值．【解析方法代码108001048】 20．(12分)向量a ＝(1＋cos(2x ＋φ)，1)，b ＝(1，a ＋3sin(2x ＋φ))⎝⎛⎭⎪⎫φ为常数且－π2<φ<π2，函数f (x )＝a·b 在R 上的最大值为2.(1)务实数a 的值；(2)把函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位，可得函数y ＝2sin2x 的图象，求函数y＝f (x )的解析式及其单调增区间．21.(12分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2－a 2－c 2ac＝cos A ＋Csin A cos A.(1)求角A ；(2)假设sin Bcos C＞2，求角C 的取值范围．22．(14分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －32)，且m ⊥n . (1)求A 的大小； (2)现给出以下四个条件：①a ＝1；②b ＝2sin B ；③2c －(3＋1)b ＝0； ④B ＝45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC ，求出你所确定的△ABC 的面积． 答案： 一、选择题1．B 因2α的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且2α∈[0,2π)，∴2α＝23π，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.2．C 因为y ＝tan x 的周期为π，所以y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3的周期为T ＝ππ2＝2.3．B 由于sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)⇒sin α＝－2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝15，那么sin αcos α＝－2cos 2α＝－25，应选B.4．A f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ∴T ＝2π2＝π5．C sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.应选C.6．A 目的意识下，逆用三角公式化为一个角的三角函数，选择值验证，y ＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，向右移π6个单位后得到y ＝2cos x ，应选A.7．A 由正弦定理得，sin C ＝3sin A ，sin C ＝3sin(150°－C )，sin C ＝32cos C＋32sin C ，－12sin C ＝32cos C ，tan C ＝－3，又0°＜C ＜180°，∴C ＝120°，应选A. 8．D 如图，由题知AB ＝10，BM ＝53，∠MAB ＝60°. 设AM ＝x ， 在△ABM 中，BM 2＝AM 2＋AB 2－2AM ·AB cos 60°，即75＝100＋x 2－20x cos 60°， 解得x ＝5.应选D.9．D 因为f (x )＝sin 2x ＋2cos x ＝－cos 2x ＋2cos x ＋1＝－(cos x －1)2＋2，又其在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，θ上的最大值为1，结合选项可知θ只能取－π2，应选D.10．B f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，函数的最大值为2；一条对称轴为x ＝π4；向右平移π4个单位后对应的函数是奇函数；f (x )的周期为2π，函数y ＝|f (x )|的周期为π.应选B.11．D 令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如下图：假设2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，那么y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3＜a ＜2，应选D.12．B ∵sin α，cos α∈[－1,1]，且y ＝tan x 在[－1,1]上递增， ∴sin α＞cos α.而tan α＝－34＜0，∴sin α＞0，且cos α＜0. ∴sin α＝35，选B.二、填空题13．解析： ∵tan(π＋2α)＝－43，∴tan 2α＝－43＝2tan α1－tan 2α， ∴tan α＝－12或者tan α＝2.又α在第二象限，∴tan α＝－12.答案： －1214．解析： 由正弦定理得：AC sin B ＝BCsin A ，所以AC sin 2A ＝1sin A，故ACcos A＝2.答案： 215．解析： 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin π2＋a cos 2 π4＝0，∴1＋12a ＝0，∴a ＝－2.∴f (x )＝sin 2x －2cos 2x ＝sin 2x －cos2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， ∴f (x )的最小正周期为π. 答案： π16．解析： ①中，S 扇形＝12α·R 2＝12×12×22＝1，∴①不正确．②中，由可得tan(α＋2β) ＝tan[(α＋β)＋β]＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋βtan β＝13＋121－13×12＝1. 又α、β为锐角，tan(α＋β)＝12>0，∴0<α＋β<π2，又由tan β＝13<1，得0<β<π4，∴0<α＋2β<34π，∴α＋2β＝π4.∴②正确．③中，由sin A <sin B ⇒BC 2R <AC2R(2R 为△ABC 的外接圆半径) ⇒BC <AC .∴③正确．④中，由a 2＋b 2－c 2<0知cos C <0，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，∴④正确． 答案： ②③④ 三、解答题17．解析： (1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BCsin A .于是AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2A ＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. 18．解析： (1)由图可知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝π，ω＝2πT ＝2，又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1得，si n(π＋φ)＝1，sin φ＝－1.∴|φ|<π，∴φ＝－π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝－cos 2x . 因为g (x )＝(－cos 2x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝cos 2x sin 2x ＝12sin 4x ， 所以2k π－π2≤4x ≤2k π＋π2，即k π2－π8≤x ≤k π2＋π8(k ∈Z )． 故函数g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π8，k π2＋π8(k ∈Z )．19．解析： (1)由2sin A ＝3cos A 两边平方，得2sin 2A ＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0.解得cos A ＝12>0，∵0<A <π2，∴A ＝π3.而a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝m2，即cos A ＝m 2＝12，∴m ＝1. (2)由(1)知cos A ＝12，那么sin A ＝32.又b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∴bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.故S △ABC ＝bc 2sin A ≤a 22·32＝334， ∴△ABC 面积的最大值为334. 20．解析： (1)f (x )＝1＋cos(2x ＋φ)＋a ＋3sin(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π6＋a ＋1. 因为函数f (x )在R 上的最大值为2，所以3＋a ＝2，即a ＝－1.(2)由(1)知： f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π6. 把函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π6的图象向右平移π12个单位可得函数 y ＝2sin(2x ＋φ)＝2sin 2x ，∴φ＝2k π，k ∈Z .又∵－π2<φ<π2，∴φ＝0. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2⇒k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， 所以，y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .21．解析： (1)∵b 2－a 2－c 2ac＝－2cos B ，cos A ＋C sin A cos A ＝－2cos B sin 2A ， 又∵b 2－a 2－c 2ac ＝cos A ＋C sin A cos A， ∴－2cos B ＝－2cos B sin 2A， 而△ABC 为斜三角形，cos B ≠0， ∴sin 2A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＝π2，A ＝π4. (2)∵B ＋C ＝3π4， ∴sin B cos C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－C cos C＝sin 3π4cos C －cos 3π4sin C cos C＝22＋22tan C ＞2， 即tan C ＞1，∵0＜C ＜3π4， ∴π4＜C ＜π2. 22．解析： (1)∵m ⊥n ，∴－cos B cos C ＋sin B sin C －32＝0. 即cos B cos C －sin B sin C ＝－32， ∴cos(B ＋C )＝－32.∵A ＋B ＋C ＝180°，∴cos(B ＋C )＝－cos A ，∴cos A ＝32，A ＝30°. (2)方案一：选择①③可确定△ABC .∵A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0.由余弦定理12＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12b 2－2b ·3＋12b ·32， 整理得b 2＝2，b ＝2，c ＝6＋22. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×6＋22×12＝3＋14. 方案二：选择①④可确定△ABC .∵A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，∴C ＝105°.又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. ∵a sin A ＝bsin B ， ∴b ＝a sin B sin A ＝sin 45°sin 30°， ∴b ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12·1·2·6＋24＝3＋14.18.(12分)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如下图．(1)求ω、φ的值；(2)设g (x )＝f (x )f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，求函数g (x )的单调递增区间．【解析方法代码108001047】19．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边长，2sin A ＝3cos A .(1)假设a 2－c 2＝b 2－mbc ，务实数m 的值；(2)假设a ＝3，求△ABC 面积的最大值．【解析方法代码108001048】20．(12分)向量a ＝(1＋cos(2x ＋φ)，1)，b ＝(1，a ＋3sin(2x ＋φ))⎝ ⎛⎭⎪⎫φ为常数且－π2<φ<π2，函数f (x )＝a·b 在R 上的最大值为2. (1)务实数a 的值；(2)把函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位，可得函数y ＝2sin2x 的图象，求函数y ＝f (x )的解析式及其单调增区间．21.(12分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2－a 2－c 2ac ＝cos A ＋C sin A cos A. (1)求角A ；(2)假设sin B cos C＞2，求角C 的取值范围．22．(14分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －32)，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)现给出以下四个条件：①a ＝1；②b ＝2sin B ；③2c －(3＋1)b ＝0；④B ＝45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC ，求出你所确定的△ABC 的面积．创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试附解析
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试附解析一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2711162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 若32a π=，则21911162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=+-=-+≠-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.2．设函数()2sin 1xf x x x π=-+，则（ ） A ．()43f x ≤B ．()5f x x ≤C ．曲线()y f x =存在对称轴D ．曲线()y f x =存在对称中心【答案】ABC 【分析】 通过()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭可发现函数()y f x =具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析()y f x =是否具有对称中心，再将()5f x x ≤化为32sin 555x x x x π≤-+，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，因为函数sin y x =π的图象关于直线12x =对称，且函数21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象也关于直线12x =对称，故曲线()y f x =也关于直线12x =对称，选项C 正确； 当12x =时，函数sin y x =π取得最大值1，此时21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最小值34，故()14334f x≤=，选项A正确；若()5f x x≤，则32sin555x x x xπ≤-+，令()32555g x x x x=-+，则()()221510553210g x x x x x'=-+=-+>恒成立，则()g x在R上递增，又()00g=，所以当0x<时，()00g<；当0x >时，()0g x>；作出sin xπ和32555x x x-+的图象如图所示：由图象可知32sin555x x x xπ≤-+成立，即()5f x x≤，选项B正确；对于D选项，若存在一点(),a b使得()f x关于点(),a b对称，则()()2f a x f a x b-++=，通过分析发现()()f a x f a x-++不可能为常数，故选项D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.3．ABC中，2BC=，BC边上的中线2AD=，则下列说法正确的有（）A．AB AC→→⋅为定值B．2210AC AB+=C．co415s A<<D．BAD∠的最大值为30【答案】ABD【分析】A利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C利用余弦定理及基本不等式求出cos A范围即可，D根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD∠的最小值即可.【详解】对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确； 对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-， 解得3cos 5A ≥，故C 错误； 对于D，2222213cos 4442c c BAD c c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2BAD π∠∈，又cos 2BAD ∠≥，所以BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.4．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（ ） A ．若sin sin a bB A=，则ABC 为等腰三角形 B ．若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形 C ．若tan A tan tan 0B C ++<，则ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=【答案】ACD 【分析】多项选择题，一个一个选项验证：对于A ：利用正弦定理判断sin sin A B =，在三角形中只能A=B ,即可判断； 对于B ：∵由正弦定理得 sin 2sin 2A B =，可以判断∴ABC 为等腰三角形或直角三角形；对于C ：利用三角函数化简得tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C，利用sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>>判断cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，即可判断； 对于D ：利用正弦定理判断得cos sin C C =求出角C . 【详解】对于A ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=，而sin sin a b B A =，∴sin sin A B =， ∵A+B+C=π，∴只能A=B ,即ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于B ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=， ∴若cos cos a bB A=可化为sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+=∴ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误； 对于C ：∵A+B+C=π，∴()()()()sin sin sin cos cos cos A B C C A B C C ππ+=-=+=-=，， ∴tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C++ sin cos sin cos sin =cos cos cos A B B A CA B C ++sin sin =cos cos cos C CA B C+11=sin cos cos cos C A B C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos cos cos =sin cos cos cos C A B C A B C +⎛⎫ ⎪⎝⎭sin sin sin =cos cos cos A B CA B C.∵tan A tan tan 0B C ++<而sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>> ∴cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，∴ABC 为钝角三角形. 故C 正确；对于D ：∵sin cos a b C c B =+，∴由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B A C B =+, 即sin cos sin cos sin sin sin cos B C C B B C C B +=+ ∴cos sin C C =∵()0,C π∈∴4C π.故D 正确. 故选：ACD 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．5．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确；由()02cos 6f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y B 正确；由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.6．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是3【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin A =，故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以sin A =， 则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：12sin a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan 3ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 【答案】ABC 【分析】首先得到()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可. 【详解】解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2)sin(2)cos 2224223F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ；对于A ，tan tan63πϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC .【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.二、数列多选题9．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列B ．满足100n S <的n 的最大值是9C ．n S 除以4的余数只能为0或1D ．2n n S na =【答案】ABC【分析】根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得()*21n a n n N=-∈，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()111n n na n a +-+=，故等式两边同除以()1n n +得：()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()12111221211n n a a n n n n n n --=------=--，，2111121122a a =-⨯-= 故根据累加法得：()11121n a a n n n =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足，故()*21n a n n N =-∈所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()21212n n n S n +-==， 故2100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确；对于C 选项，当*21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正确；对于D 选项，222n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.故选：ABC【点睛】本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定； （2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；。
高考数学一轮复习试题精选 三角函数03 理-人教版高三全册数学试题
三角函数031.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， q =（a 2，1），p =（c b -2， C cos ）且q p //．求：（I ）求sin A 的值；（II ）求三角函数式1tan 12cos 2++-CC的取值范围．【答案】解：（I ）∵q p //，∴c b C a -=2cos 2， 根据正弦定理，得C B C A sin sin 2cos sin 2-=，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，1sin cos sin 2C A C ∴=，0sin ≠C ，21cos =∴A ， 又0A π<<3π=∴A ；sin A =23………6分 （II ）原式C C C CC C C CC cos sin 2cos 21cos sin 1)sin (cos 211tan 12cos 2222+-=+--=++-=，)42sin(22cos 2sin π-=-=C C C ，∵π320<<C ，∴πππ1213424<-<-C ，∴1)42sin(22≤-<-πC ，∴2)42sin(21≤-<-πC ，∴)(C f 的值域是]2,1(-． ………12分2.（本题满分12分）设ABC ∆的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且sin cos b A B =.（1）求角B 的大小；（2）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值. 【答案】（1）sin cos b A B =，由正弦定理得sin sin cos B A A B =--3分即得tan B =3B π∴=.---------------------------------------------------6分（2）sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =，-------------------------8分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，229422cos 3a a a a π=+-⋅，---------10分解得a =2c a ∴==分3.（本题满分12分）已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+ （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）求函数()f x 单调递增区间 【答案】（Ⅰ）ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+--------1分1111(cos )(cos )sin 22224x x x x x =+-+----------2分 221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824x x x +-=--+----4分1(cos 2sin 2)2x x =-224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭------------------6分 函数)(x f 的最小正周期为 T π=，-------------------7分函数)(x f 的最大值为2-------------8分 （II ）由 222,4k x k k z ππππ-≤+≤∈------------------10分得 5,88k x k k z ππππ-≤≤-∈------------------------11分函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88k k k z ππππ--∈------------12分 4. (本小题满分12分)设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位，得)(x g y =的图象， 求x x g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.【答案】（Ⅰ）(1cos 2)()62)326x f x x x π+==++, ……３分故f (x )的最小正周期π=T , ………………………………………………4分 由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ.……………６分 （Ⅱ）由题意：()23cos[2()]323sin 2336g x x x ππ=-++=+, ………８分 xx xx g x F 2sin 323)()(=-=, 2'2sin 2cos 2)(xxx x x F -=, ……………………………………１０分 因此切线斜率2'16)4(ππ-==F k ,切点坐标为)4,4(ππ，故所求切线方程为)4(1642πππ--=-x y ,即08162=-+ππy x . …………………………………………………１２分 5.（本小题满分10分）已知B A ,是直线0y =与函数2()2coscos()1(0)23xf x x ωπωω=++->图像的两个相邻交点，且.2||π=AB（1）求ω的值；（2）在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,23)( 的面积为33，求a 的值．【答案】解：（1）13()1cos cos sin 13sin()223f x wx wx wx wx π=++--=--…2分 由函数的图象及2AB π=，得到函数的周期222T w ππ==⨯，解得2w = ………4分 （2）33()3sin(2),sin(2)3232f A A A ππ=--=-∴-=又是锐角三角形222333333A A ππππππ-<-<∴-=，，即A=，………6分由13sin 222ABCb Sbc A ==⨯=b=4 …………8分 由余弦定理得2222212cos 43243132a b c bc A a =+-=+-⨯⨯⨯==，即10分 6.（本小题满分12分）已知向量3(sin ,),(cos ,1)4ax b x ==-．（1）当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅，已知在△ ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若36sin ,2,3===B b a ,求()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f （0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的取值范围．【答案】解： （1）33//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-…………2分 22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++ …………6分 （2）()2()2sin(2)4f x a b b x π=+⋅=++32由正弦定理得sin ,sin sin 4a b A A A B π===可得所以或43π=A 因为a b>，所以4π=A …………9分()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-,0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 所以()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f …………12分 7.（本题满分13分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满2sin b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；【答案】解：(1)32sin a b A =2sin sin A B A = 所以sin B = 因为三角形ABC 为锐角三角形，所以3B π∠=（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得227a c ac +-=5a c += 所以 6ac =所以1sin 2ABCSac B ==(I)求()f x 的最小正周期； (I I )求()f x 在区间[0,]4π上的取值范围.【答案】解：11()sin 2sin 2222f x x x x ==sin(2)3x π=+（1）T π= （2）[0,]4x π∈ 52[,]336x πππ∴+∈max ()()112f x f π∴==，min 1()()42f x f π==9. (本小题共13分)已知函数sin cos sin cos y x x x x =++，求[0,]3x π∈时函数y 的最值。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题及解析
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题及解析一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.2．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．3．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）A ．2A =B ．点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．6π=ϕ D ．直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴【答案】ABD 【分析】由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.【详解】 因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2ϕ=.又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故C 错误；()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，k ∈Z ，解得62πk πx =-+，k ∈Z ，所以()f x 图像的对称轴方程为62πk πx =-+， 令1k =，则3x π=，D 正确；令232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得122k x ππ=+，k ∈Z ， 令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系数法求解.4．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是22⎡-⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值32，所以函数的值域是31,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．1()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确； 求出213263x πππ--得到函数在[],ππ-上不是增函数，得选项B 错误；求出图象变换后的解析式得到选项C 正确；求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：1732422T πππ=-=， 6T π∴=，∴2163πωπ==，(2)2f π=，∴2(2)2sin()23f ππϕ=+=，即2sin()13πϕ+=， ∴22()32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴2()6k k Z πϕπ=-∈，||ϕπ<，∴6πϕ=-，∴1()2sin()36f x x π=-，故选项A 正确；B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π=-，[x π∈-，]π，∴213263x πππ--，∴12sin()26y x π=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；C, 把()y f x =的图象向左平移2π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223xy x ππ=-+=，是奇函数，故选项C 正确； D, 设1,,32,362x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.6．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ）A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-，对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；7．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.8．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R ，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 3C ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度，得到的函数解析式为()()32g x x =【答案】BD 【分析】首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据函数的性质依次判断选项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23x π-的范围，再判断函数的单调性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】()12cos 2sin 2222f x x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭132cos 2cos 22cos 22222x x x x x =--=-23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的周期22T ππ==，故A 不正确；B.B 正确； C.,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确；D. ()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移512π个单位长度，得到()52221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.9．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称 D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 【答案】BCD【分析】 利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心.【详解】 由图可知2sin 3ϕ=3sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误； 因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确； 将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔ 将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确.故选：BCD.【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通常用最大值或最小值；(2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.10．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan 3ϕ= B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 【答案】ABC【分析】首先得到()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可.【详解】 解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2)sin(2)cos 2224223F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ；对于A ，tan tan 63πϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确.对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误. 故选：ABC .【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.。
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高三数学第一轮复习单元测试（3）—《三角函数》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（ ）A ．17 B ．7 C ．17- D ．7- 2．将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-3．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ）A ．23 B ．32C ．2D ．3 4．设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值5．已知非零向量AB 与AC 满足().0AB AC BC AB AC +=且1..2AB AC AB AC =则ABC ∆为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形6．下列函数中,图像的一部分如右图所示的是（ ）A ．y =sin(x +6p)B ．y =sin(2x －6p )C ．y =cos(4x －3p) D ．y =cos(2x －6p ) 7．若△ABC 的内角A 满足322sin =A ，则sin cos A A +=（ ）A ．315B ．315-C ．35D ．35-8．△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为（ ）A ．6π B ．3πC ．2πD ．23π 9．函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．4πC ．4πD ．2π 10．设a b c 分别是ΔABC 的三个内角ABC 所对的边,则a 2=b (b +c)是A =2B 的 （ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件11． "等式sin()sin 2αγβ+=成立"是",,αβγ成等差数列 "的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 12．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53,13124sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos πα=___ _．14．给出下面的3个命题：（1）函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；（2）函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ． 15． cos 43cos77sin 43cos167oooo+的值为 ． 16．函数|)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象如图所示，则()()()()=++++2006321f f f f 的值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）（2006年四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=．（1）求角A ； （2）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B ．18．（本小题满分12分）（2006年上海春卷）已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f .（1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值；（2）求函数)(x f 的值域.19．（本小题满分12分）（2006年安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=-．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．20．（本小题满分12分）有一块半径为R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.21．（本小题满分12分）设)2,0(πα∈，函数)(x f 的定义域为]1,0[，且,0)0(=f1)1(=f ，对定义域内任意的,x y ，满足)()sin 1(sin )()2(y f x f yx f αα-+=+，求: （1）)21(f 及)41(f 的值；（2）函数()sin(2)g x x α=-的单调递增区间；（3）N n ∈时，12n na =，求)(n a f ,并猜测∈x ]1,0[时，)(x f 的表达式.22．（本小题满分14分）（2006年福建卷）已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈（1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？参考答案（3）1．B ．∵(,)2παπ∈，3sin 5α=， ∴ 4cos 5α= ， 3tan 4α=，∴ 31tan 14tan()7341tan 14πααα+++===-- ．2．C. 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，因此选C. 3．B ．∵ ()2sin (0)f x x ωω=>的最小值是2-时 2 ()2k x k Z w wππ=-∈∴2324k w w ππππ-≤-≤ ∴362w k ≥-+且82w k ≥-∴min 32w = 故本题的答案为B.4．B. 令sin ,(0,1]t x t =∈，则函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<的值域为函数1,(0,1]a y t t =+∈的值域，又0a >，所以1,(0,1]ay t t=+∈是一个减函减，故选B.5．A 向量和三角形之间的依赖关系，认识角平分线和高及夹角用两向量数量积包装的意义， 注意0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+= ⎪⎝⎭知,角A 的平分线和BC 的高重合, 则→→=AC AB ，由21=∙→→→→ACAC ABAB 知，夹角A 为600,则ABC △为等边三角形，选A ． 6．D 由图像可知,所求函数的周期为p 排除(A)(C)对于(B)其图像不过(6p-,0)点，所以应选D.7．A.∵sin 22sin cos 0A A A =>，∴cos 0A >. ∴sincos 0A A +>，sin cos A A+==3==.应选A.8．B. 222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B. 9．D. 1sin 2cos 2sin 42y x x x ==所以最小正周期为242T ππ==,故选D.10．A 由余弦定理得a 2=b 2+c 2－2bc cos A ,所以a 2=b (b +c)+c 2－bc －2bc cos A 中c 2－bc －2bc cos A =c (c －b －b cos A )=2Rc (sin C －sin B －2sin B cos A )=Rc (sin(A +B )－sin B －2sin B cos A )=Rc (sin(A －B )－sin B )(*),因为A =2B ,所以(*)=0,即得a 2=b (b +c);而当由余弦定理和a 2=b (b +c)得bc =c 2－2bc cos A ,l 两边同时除以c 后再用正弦定理代换得sin B =sin C －2sin B cos A ,又在三角形中C =π－(A +B),所以sin B =sin(A +B )－2sin B cos A ,展开整理得sin B =sin(A －B ),所以B =A －B 或A =π(舍去),即得A =2B ,所以应选A ． 11．B 若()sin sin 2αγβ+=,则“α，β，γ成等差数列”不一定成立,反之必成立,选B ．12．D. 111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形.故选D.13．5665-由于3,(,)4παβπ∈,所以322παβπ<+<,24ππβπ<-<,故4cos()5αβ+=,5cos()413πβ-=-,cos()cos[()()]44ππααββ+=+--=45123()()513135⨯-+⨯-=5665-. 14．①②．③中π45=x 是)252sin(π+=x y 的对称中心． 15．12-．诱导公式变角，再逆用三角公式切入， cos 43cos77sin 43cos167+=();21120cos 77sin 43sin 77cos 43cos 00000-==-+16．由图象知()4sin 2,42,0xx f T πππωφ=∴===，其图象关于点()6,2,0,4==x x 对称知，()()()()()()()()2006321,682502006,8,08321f f f f T f f f f ++++∴+⨯===++++()()()()()()()()()().246sin 45sin 44sin 43sin 42sin 4sin 26543212006200320022001=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=+++++=++++=ππππππf f f f f f f f f f17．（1）∵1m n ⋅=∴(()cos ,sin 1A A -⋅=cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π=．（2）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=． ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=， ∴tan 2B =或tan 1B =-．而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =．∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--==18．（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ ，x x x x f c o s 2c o s 21s i n 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x c o s s i n 3-=53354+=. （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ，ππ≤≤x 2 ， 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[.19．（1）由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求.（2）225sin 8sin cos 11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==.20．如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ ，连OP ，则OP=R ，设∠AOP=θ，则∠QOP =45°－θ，NP=R sin θ,在△PQO 中，︒=θ-︒135sin )45sin(R PQ ，∴PQ =2R sin(45°－θ).S 矩形MNPQ =QP ·NP=2R 2sin θsin(45°－θ)=22R 2·［cos(2θ－45°)－22］ ≤212-R 2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S 矩形MNPQ 的值最大且最大值为212-R 2.工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB ，以扇形一半径OA 为一边，在扇形上作角AOP 且使∠AOP =22.5°，P 为边与扇形弧的交点，自P 作PN ⊥OA 于N ，PQ ∥OA 交OB 于Q ，并作OM ⊥OA 于M ，则矩形MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为212-R 2. 21．（1）αααsin )0()sin 1(sin )1()()(20121=-+==+f f f f ，122011()()()sin (1sin )(0)sin 422f f f f a a a +==+-=， αααα221sin sin 2)21()sin 1(sin )1()21()43(-=-+=+=f f f f ，αααα324143sin 2sin 3)41()sin 1(sin )43()2()21(-=-+=+=f f f f ，212sin 1sin 0sin ,sin )sin 23(sin ===∴-=∴αααααα或或，4141212162)(,)(,,),,0(===∴∈f f 因此ππαα .（2）)2sin()2sin()(656ππ+=-=x x x g ,)(x g ∴的增区间为)](,[632Z k k k ∈--ππππ.（3） N n ∈，nn a 21=，所以))((21)21(21)2021()21()(111N n a f f f f a f n n n n n ∈==+==---， 因此)(n a f 是首项为21)(1=a f ，公比为21的等比数列，故nn n f a f 21)21()(==，猜测x x f =)(. 22．（1）1cos 2()2(1cos 2)22x f x x x -=+++132cos 22223sin(2).62x x x π=++=++()f x ∴的最小正周期2.2T ππ==由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）方法一：先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62y x π=++的图象.方法二：把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=-平移，就得到3sin(2)62y x π=++的图象.。