高等数学2(同济版)第三章复习资料

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同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构

线性代数教学教案第三章向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β；（2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组．：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。

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第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理一、罗尔定理1.费马引理: 设函数)(x f 在点0x 的某个邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，若对)(0x U x ∈∀，有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥)，则0)('0=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈∀，有)()(0x f x f ≤. 若),(00x x x δ-∈，则有0)()(00≥--x x x f x f ，从而0)()(lim )('0000≥--=-→-x x x f x f x f x x ；若),(00δ+∈x x x ，则有0)()(00≤--x x x f x f ，从而0)()(lim )('0000≤--=+→+x x x f x f x f x x .又)(x f 在0x 处可导，有)(')(')('000x f x f x f +-==，从而0)('0=x f . 注：1°.费马引理的几何意义:若曲线)(x f y =上某一点的纵坐标不比它左右邻近点的纵坐标小 (或大)，而曲线在这点又有非铅直的切线，则这条切线必定是水平的. 2°.称使函数)(x f 导数)('x f 等于零的点为函数)(x f 的驻点(或稳定点、临界点). 2.罗尔定理:若函数)(x f 满足下列条件(1).在闭区间],[b a 上连续;(2).在开区间),(b a 内可导;(3). )()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)('=ξf .证明：根据费马引理，只需证明)(x f 在),(b a 内取得最大值和最小值即可.由闭区间上连续函数的最值性知：函数)(x f 在],[b a 上一定取得最大值M 和最小值m ，这样只有两种情况：(1).若m M =，则)(x f 为常数，于是),(b a x ∈∀，有0)('=x f . 故),(b a ∈∀ξ，有0)('=ξf . (2).若m M >，则M 和m 中至少有一个不等于)(a f ，不妨令)(a f M ≠，从而)(b f M ≠，因此)(x f 只能在),(b a 内取得最大值，即),(b a ∈∃ξ，使M f =)(ξ，即),(b a x ∈∀，)()(ξf x f ≤，从而由费马引理知0)('=ξf .注：1°.罗尔定理的几何意义:若闭区间],[b a 上的连续曲线)(x f y =上每一点都存在非垂直的切线，且在],[b a 的两个端点处的函数值相等，则该曲线上至少有一点处的切线是水平的，即平行于x 轴.2°.罗尔定理的三个条件只要有一个不满足，都不能保证结论成立，例如：①．函数⎩⎨⎧=<≤=1,010,)(x x x x f 在闭区间]1,0[上不连续；②．函数)11()(≤≤-=x x x f 在闭区间)1,1(-内不可导； ③．函数)10()(≤≤=x x x f 有)1()0(f f ≠；它们在各自给定的开区间上不存在水平的切线.3°.罗尔定理的推广形式: 若函数)(x f 在开区间),(b a 内可导，且)(lim )(lim x f x f bx ax -+→→=，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)('=ξf .证明提示：设⎪⎩⎪⎨⎧=<<==-+b x b f b x a x f ax a f x F ,)(),(,)()(，则)(x F 在],[b a 上满足罗尔定理的条件.例1. 证明方程0155=+-x x 有且仅有一个小于1的正实根. 证明：(1).存在性：设15)(5+-=x x x f ，则)(x f 在]1,0[连续，且1)0(=f ，3)1(-=f ，由介值定理知存在)1,0(0∈x ，使0)(0=x f ，即方程有小于1的正根0x ，(2).唯一性：假设另有)1,0(1∈x 且01x x ≠,使0)(1=x f ，所以)(x f 在以0x 和1x 为端点的区间上满足罗尔定理的条件，于是在0x 和1x 之间至少存在一点ξ，使得0)(='ξf .但当)1,0(∈x 时，0)1(5)(4<-='x x f ，矛盾,所以假设不真.例2.设)(x f 是可导函数，证明在)(x f 的任意两个零点之间必有)()('x f x f -的零点. 证明：设21,x x 是)(x f 的两个零点，且21x x <，往证),(21x x ∈∃ξ，使得0)()('=-ξξf f .因为0]')([0)]()('[0)()('=⋅⇔=-⇔=-=--ξξξξξξx x x f e f f e f f ，所以只需证明),(21x x ∈∃ξ，使0]')([=⋅=-ξx x x f e .令)()(x f e x F x ⋅=-，则)(x F 在闭区间],[21x x 上连续，在开区间),(21x x 内可导，且0)()(21==x F x F ，则由罗尔定理知，存在一点),(21x x ∈ξ，使0)('=ξF ，从而0)()('=-ξξf f . 二、拉格朗日中值定理：若函数)(x f 满足下列条件(1).在闭区间],[b a 上连续; (2).在开区间),(b a 内可导; 则至少存在一点),(b a ∈ξ，使ab a f b f f --=')()()(ξ.证明：往证0)()()(=---'ab a f b f f ξ.作辅助函数x ab a f b f x f x ---=)()()()(ϕ，显然)(x ϕ在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()()()(b a b b f a a f b a ϕϕ=--=，由罗尔定理知至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξϕ，即0)()()(=---'ab a f b f f ξ,或写成))(()()(a b f a f b f -'=-ξ. 注：1°. 拉格朗日中值定理几何意义：若闭区间],[b a 上的连续曲线弧)(x f y =除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，则该曲线弧上至少有一点处的切线平行于过两个端点的直线. 2°. 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，(因为若•b f a f )()(=，则有0)(='ξf .)而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广.3°. 拉格朗日中值定理的有限增量形式: )10()(0<<+'=θ∆∆θ∆x x x f y .推导：由于),(b a ∈ξ，所以10<--<ab aξ，令ab a--=ξθ，则)(a b a -+=θξ，于是有)10()))((()()(<<--+'=-θθa b a b a f a f b f .若取0x 与x x ∆+0为],[b a 上任意两个不同点，则在以0x 和x x ∆+0为端点的区间内，有)10()(0<<+'=θ∆∆θ∆xx x f y .注：函数的微分给出了函数增量的近似公式：x x f y d y ∆∆⋅'=≈)(，一般说来，以y d 近似代替y ∆时所产生的误差只有当0→x ∆时才趋于零；而有限增量公式•x x x f y ∆∆θ∆)(0+'=)10(<<θ却给出了自变量取得有限增量x ∆(||x ∆不一定很小)时，函数增量y ∆的准确表达式.推论1：设函数)(x f 在开区间),(b a 内可导，),(b a x ∈∀，0)('=x f ⇔ 函数)(x f 在),(b a 内是常数.证明：充分性显然.必要性：任取),(,21b a x x ∈，不妨令21x x <，在闭区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，知),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ，使得0))((')()(1212=-=-x x f x f x f ξ,即)()(21x f x f =，由1x 和2x 的任意性知)(x f 在),(b a 内是常数.推论2：若函数)(x f 与)(x g 在开区间),(b a 内可导，且)(')('x g x f =(),(b a x ∈∀)，则在),(b a 内恒有C x g x f +=)()(，其中C 为常数. 例3. 证明不等式)0()1ln(1><+<+x x x xx. 证明：设)1ln()(t t f +=，则)(t f 在],0[x 上满足拉格朗日中值定理条件，因此应有)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ(x <<ξ0)，即ξ+=+1)1ln(x x (x <<ξ0)，因为x xx x <+<+ξ11，故)0()1ln(1><+<+x x x x x . 三、柯西中值定理：若函数)(x f 与)(x F 满足下列条件(1).在闭区间],[b a 上连续;(2).在开区间),(b a 内可导;(3). ),(b a x ∈∀，0)('≠x F ; 则至少存在一点),(b a ∈ξ，使)(')()()()()(ξξF f a F b F a f b f '=--.证明：往证0)()(')()()()(='---ξξf F a F b F a f b f .作辅助函数)()()()()()()(x f x F a F b F a f b f x ---=ϕ，显然)(x ϕ在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()()()()()()()(b a F b F b F a f a F b f a ϕϕ=--=，由罗尔定理知至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξϕ，即)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--.注：1°.柯西中值定理几何意义：若闭区间],[b a 上的连续曲线弧AB ：⎩⎨⎧==)()(x f Y x F X 除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，则该曲线弧上至少有一点))(),((ξξf F 处的切线的斜率)(')(ξξF f '与弦AB 的斜率)()()()(a F b F a f b f --相同，即切线平行于过两个端点的直线.2°. 拉格朗日中值是柯西中值定理的特例，因为若x x F =)(，则a •b a F b F -=-)()(，1)('=x F ，从而)(1)()()()()()()(ξξf f a b a f b f a F b F a f b f '='=--=--.思考题：柯西定理的下述证法对吗?由于函数)(x f 与)(x F 都满足拉格朗日中值定理的条件，于是⎭⎬⎫∈-'=-∈-'=-),(,))(()()(),(,))(()()(b a a b F a F b F b a a b f a f b f •ξξξξ)(')()()()()(ξξF f a F b F a f b f '=--⇒. 两个等式中的ξ未必相同，故上述证法不正确.例4. 设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，证明至少存在一点)1,0(∈ξ，使)]0()1([2)(f f f -='ξξ. 证明：只需证明ξξ2)(01)0()1(f f f '=--，而ξξξ=''='x x x f f )()(2)(2. 设2)(x x F =，则)(x f 与)(x F 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件，因此至少存在一点)1,0(∈ξ,使得ξξ2)(01)0()1()0()1()0()1(f f f F F f f '=--=--，即)]0()1([2)(f f f -='ξξ.例5. 试证至少存在一点)e ,1(∈ξ，使ξln cos 1sin =. 证法一：用柯西中值定理，令)sin(ln )(x x f =，x x F ln )(=，则)(x f 与)(x F 在],1[e 上满足柯西中值定理条件, 因此至少存在一点e),1(∈ξ，使)()()1((e))1((e)ξξF f F F f f ''=--，即ξξξξln cos /1/)cos(ln 1sin ==. 证法二：用罗尔中值定理，令x x x f ln 1sin )sin(ln )(⋅-=，则)(x f 在],1[e 上满足罗尔中值定理条件,因此至少存在一点e),1(∈ξ，使0)(='ξf ，即01sin 1)cos(ln 1)('==⎪⎭⎫⎝⎛-==ξξx x x x x x f ，从而有ξln cos 1sin = 总结：微分中值定理的应用 (1). 证明恒等式； (2). 证明不等式；(3). 证明有关中值问题的结论. 关键: 利用逆向思维设辅助函数.第二节洛比达法则一、型未定式的洛比达则(仅给出0x x →的情形，对于∞→x ，也有类似的结论.) 定理 1.若函数)(x f 与)(x F 在点0x 的某去心邻域)(0x U o内满足：(1).0)(lim )(lim 0==→→x F x f x x x x ；(2). )(x f 与)(x F 在)(0x U o均可导，且0)(≠'x F ； (3). A x F x f x x =''→)()(lim(A 为有限数或∞)，则A x F x f x F x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00.证明：不妨假设0)()(00==x F x f ，在邻域)(0x U o内任取一点0x x ≠，则)(x f 与)(x F 在以0x 和x 为端点的区间内满足柯西中值定理的条件，故在0x 和x 之间至少存在一点ξ，使)()()()()()()()(00ξξF f x F x F x f x f x F x f ''=--=，从而)()(lim )()(lim )()(lim000x F x f F f x F x f x x x x x x ''=''=→→→ξξ. 推论：若)()(l i mx F x f x x ''→仍然是00型未定式，且)('x f 与)('x F 满足定理1的条件，则有)('')(''lim )()(lim )()(lim000x F x f x F x f x F x f x x x x x x →→→=''=,且可以以此类推. 二、∞∞型未定式的洛比达则(仅给出0x x →的情形，对于∞→x ，也有类似的结论.) 定理 2.若函数)(x f 与)(x F 在点0x 的某去心邻域)(0x U o内满足：(1). ∞==→→)(lim )(lim 0x F x f x x x x ；(2). )(x f 与)(x F 在)(0x U o均可导，且0)(≠'x F ； (3).A x F x f x x =''→)()(lim(A 为有限数或∞)，则A x F x f x F x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00.证明：)()(lim)(')('lim )(/)(')(/)('lim )(/1)(/1lim )()(lim 2222000000x F x f x f x F x f x f x F x F x f x F x F x f x x x x x x x x x x →→→→→⋅=--==，整理得1)()(lim )(')('lim 00=⋅→→x F x f x f x F x x x x ，故A x F x f x F x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim 00三、其他未定式： 1. ∞⋅0型：取倒数gfg f 1=⋅转化成00/10=∞型； 2. ∞-∞型：通分fg f g g f g f 11111111⋅-=-=-转化成00；3. 00型、 0∞型、∞1型：取对数f g g f ln e =转化成∞⋅0型. 注：1°.若)()(limx F x f ''因∞≠而不存在时，求)()(lim x F x f 不能用洛比达法则，)()(lim x F x f 可能存在. 例如：1cos 1lim sin limx x x x x x +=++∞→∞∞+∞→不存在，但1sin 1lim sin lim =⎪⎭⎫⎝⎛+=++∞→+∞→x x x x x x x . 2° .在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.例如：x x xx x x x x x 2221lim 1lim 1lim +=+=++∞→∞∞+∞→∞∞+∞→，但实际上111lim 1lim 22=+=++∞→+∞→x x x x x . 3° .在用洛必达法则求极限时可结合无穷小量等价代换、重要极限等方法同时使用.例如：313tan lim 31sec lim tan lim sin tan lim ~tan 220)sectan 1(220030sin ~2022x x x x x x x xx x x x xx x x x x x x x ==-=-=-→=+→→→ 例1. babx b ax a bx ax x x ==→→cos cos lim sin sin lim0000.例2. 2346266lim 12333lim 123lim100221002331==-=---=+--+-→→→x x x x x x x x x x x x x .例3. 616sin lim 3cos 1lim sin lim00020030==-=-→→→x x x x x x x x x x .例4. 122lim 1lim 11lim arctan 2lim 2200220-==+=-+-=-∞+→∞∞∞+→∞+→∞+→x x x x xx x xx x x x π.例5. 01lim 1lim )0(ln lim 1===>+∞→-+∞→∞∞+∞→nx n x n x nx nx x n x x .例6. )00(elim >>+∞→λλ ,n x x nx .解：(1). n 为正整数的情形.0e !lime )1(lime lim e lim221===-==+∞→∞∞∞∞-+∞→∞∞-+∞→∞∞+∞→xn x xn x x n x x nx n x n n nx x λλλλλλλ . (2). n 不为正整数的情形: 存在正整数k ，使当1>x 时，有1+<<k n k x x x ，从而x k x n x k x x x λλλe e e 1+<<，由 (1) 知0e lim e lim 1==++∞→+∞→x k x x k x x x λλ，于是由夹逼准则知0e lim =+∞→x n x x λ. 例7. 0lim lim ln lim )0(ln lim 0110000=-=-==>++++→---→∞∞-→∞⋅→nx nx x x x n x x nx n x n x nx . 例8. 0sin cos lim cos sin 1lim cos sin cos 1lim )tan (sec lim 2/02/2/2/=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-→→→∞-∞→x x x x x x x x x x x x x ππππ. 例9. 1lim lim 0lim /1ln lim0ln lim ln 0000000======-∞∞∞⋅→→+→+→+→++e eeee x xx xx x xx x xx x x x .例10. 222)sin ln(cos lim)sin ln(cos 011lim )sin (cos lim x x x x xx x x x x x x eex x x ++→→→∞==+21)sin (cos 2cos lim)sin (cos 2cos lim000e eex x x xx x x x xx x x ===++→→.第四节函数的单调性与凹凸性一、函数的单调性1. 单调函数：设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，若),(21b a x x ∈∀，，只要21x x <，就有)()(21x f x f <(或)()(21x f x f <)，则称)(x f 在],[b a 上是单调增加(或单调减少).统称单调增加与单调减少的函数为单调函数；称区间],[b a 为函数的的单调区间. 2.函数单调性的判定法定理1. 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内可导， (1). ),(b a x ∈∀，0)('>x f .⇔)(x f 在],[b a 上单调增加. (2). ),(b a x ∈∀，0)('<x f .⇔)(x f 在],[b a 上单调减少. 证明：只证明(1)的情形.充分性：任取),(,21b a x x ∈，不妨令21x x <，在区间],[],[21b a x x ⊂上应用拉格朗日中值定理，得0))(()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ ),(21x x ∈ξ，故)()(21x f x f <，即)(x f 在],[21x x 上单调增加，再由21,x x 的任意性，有)(x f 在],[b a 上单调增加. 必要性：由于)(x f 在],[b a 上单调增加，则),(b a x ∈∀，0)()(>-+xx f x x f ∆∆，又)(x f 在),(b a 内可导，故0)()(lim )('0>-+=→xx f x x f x f x ∆∆∆.注：1° .单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点，即不可导点.例如, ),(,)(32∞+-∞∈=x x x f ，332)('xx f =，但∞==0)('x x f .2°.如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性. 例如, ),(,)(3∞+-∞∈=x x x f ，23)('x x f =，但0)('0==x x f .例1.确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间. 解：函数)(x f 的定义域为),(∞+-∞，函数)(x f 的导数为：12186)(2+-='x x x f )2)(1(6--=x x ，令0)(='x f ，解得1=x ，2=x ，于是),(∞+-∞被分成了三个子区间：]1,(-∞、]2,1[以及],2[∞+，在)1,(-∞内，0)(>'x f ，故)(x f 在]1,(-∞上单调增加；在)2,1(内，0)(<'x f ，故)(x f 在]1,(-∞上单调减少；在],2(∞+内，0)(>'x f ，故)(x f 在],2[∞+上单调增加. 例2. 证明：当1>x 时，xx 132->.证明：令⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x f 132)(，则)1(111)('22-=-=x x x xx x f .当1>x 时0)('>x f ，故)(x f 在),1(+∞上单调增加，从而)1()(f x f >0=，即0132>⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x ，整理得x x 132->.二、函数的凹凸与曲线的拐点1.函数的凹凸性：设函数)(x f 在区间I 上连续， (1).若对I x x ∈∀21,，恒有2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫⎝⎛+，则称)(x f 在I 上是凹函数，或称)(x f 在I 上的图形是(向上)凹的.(2).若对I x x ∈∀21,，恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，则称)(x f 在I 上是凸函数，或称)(x f 在I 上的图形是(向上)凸的.2.曲线的拐点：若曲线)(x f y =在经过点))(,(00x f x 时改变了凹凸性，则称点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.直接利用定义判断函数的凹凸性比较困难，如果函数)(x f 在区间I 内可导，可利用导数的单调性判断函数的凹凸性. 3.函数的凹凸性的判定定理2. 设函数)(x f 在区间I 内可导，(1).若导函数)('x f 在I 内单调增加，则)(x f 在区间I 上为凹函数. (2).若导函数)('x f 在I 内单调减少，则)(x f 在区间I 上为凸函数. 证明：只证(1)的情形证明.I x x ∈∀21,,不妨令21x x <,记2210x x x +=，则201x x x <<，在],[01x x 和],[20x x 上分别应用拉格朗日中值定理，存在),(011x x ∈ξ，),(202x x ∈ξ，使得))((')())((')()(010001101x x x f x f x x f x f x f -+>-+=ξ， ))((')())((')()(020002202x x x f x f x x f x f x f -+>-+=ξ，于是有2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+，即)(x f 在区间I 上为凹函数. 由定理2直接得到如下的定理.定理3. 设函数)(x f 在区间I 内二阶可导，(1).若I x ∈∀，0)(''>x f ，则)(x f 在I 上为凹函数.(2).若I x ∈∀，0)(''<x f ，则)(x f 在I 上为凸函数.注：拐点的判别法如下:若函数)(x f y =在点0x 连续，0)(0=''x f 或不存在，但)(x f ''在点0x 两侧异号，则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.例3. 判断曲线x y ln =的凹凸性. 解：由于x y 1'=，01''2<-=xy ，故曲线x y ln =在),0(+∞上是凸的. 例4. 判断曲线3x y =的凹凸性.解：由于23'x y =，x y 6''=，当),0[+∞∈x 时，06''≥=x y ，故曲线3x y =在),0[+∞上是凹的；当]0,(-∞时，06''≤=x y ，故曲线3x y =在),0[+∞上是凸的.例5. 求曲线14334+-=x x y 的凹凸区间及拐点.解：函数14334+-=x x y 的定义域为),(+∞-∞.231212x x y -=';x x y 24362-=''. 令0323624362=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=''x x x x y ，解得01=x ，322=x . 01=x 和322=x 将区间),(+∞-∞分成三部分]0,(-∞、⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,32. 在]0,(-∞内，0≥''y ，故该曲线在]0,(-∞内是凹的；在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0内，0≤''y ，故该曲线在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0内是凸的；在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,32内，0≥''y ，故该曲线在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,32内是凹的，故点)1,0(和⎪⎭⎫ ⎝⎛2711,32是该曲线的两个拐点. 例6.求曲线3x y =的拐点.解：函数3x y =在),(∞+-∞内有定义，当0≠x 时，3231'-=x y ，3592''--=x y .当0=x 时，'y 与''y 都不存在. 0=x 将),(∞+-∞分成两个区间：]0,(-∞；),0[∞+. 在)0,(-∞内，092''35>-=-x y ，故该曲线在]0,(-∞时凹的；在),0(∞+内，092''35<-=-x y ，故该曲线在]0,(-∞时凸的；于是点)0,0(是该曲线的一个拐点.思考题：设在]1,0[上，0)(>''x f ，则)0(f '，)1(f '，)0()1(f f -或)1()0(f f -的大小顺序是 ( B ).A ．)0()1()0()1(f f f f ->'>'；B . )0()0()1()1(f f f f '>->'；C . )0()1()0()1(f f f f '>'>-；D ．)0()1()0()1(f f f f '>->'.提示：)(0)(x f x f '⇒>'' 单调增加 )0()1(f f '>'⇒；)10()()0()1(<<'=-ξξf f f .第五节函数的极值与最值一、函数的极值及其求法1. 函数极值的定义: 设函数)(x f 在),(b a 内有定义，点),(0b a x ∈，若存在0x 的某个邻域),()(0b a x U ⊂，对)(0x U x o ∈∀，若)()(0x f x f <，则称0x 是)(x f 的极大值点，称)(0x f 是)(x f 的极大值.若)()(0x f x f >，则称0x 是)(x f 的极小值点，称)(0x f 是)(x f 的极小值. 极大值点与极小值点统称为极值点.注：1°.函数的极值是函数的局部性质.2°.可导函数的极值点一定是其驻点(费马引理)，但反之未必，例如：对函数3)(x x f =，0=x 是其驻点，但不是其极值点，因为3)(x x f =是单调增加的.3°.连续函数的极值点还可能在不可导点处取得，但反之未必，即连续函数的不可导点也不一定都是极值点，例如：对函数||)(x x f =，0=x 是其不可导点，但||)(x x f =在0=x 取得极小值. 例如：对函数31)(x x f =，0=x 是其不可导点，但在0=x 的任何邻域内，函数)(x f 既有正值又有负值.可能极值点：称函数的驻点及不可导点为函数的可能极值点.2.函数极值的判别方法:定理1(第一判别法)：设函数)(x f 在点0x 的某邻域),(0δx U 内连续，在),(0δx U o 内可导，(1).若),(00x x x δ-∈时，0)('>x f ，而),(00δ+∈x x x 时，0)('<x f ，则)(x f 在点0x 处取得极大值.(2).若),(00x x x δ-∈时，0)('<x f ，而),(00δ+∈x x x 时，0)('>x f ，则)(x f 在点0x 处取得极小值.(3).若),(00δδ+-∈x x x 时，)('x f 的符号保持不变，则)(x f 在点0x 处没有极值. 证明：(1). ),(00x x x δ-∈∀时，0)('>x f .⇒)(x f 在),(00x x δ-内单调增加，故)()(0x f x f <， ),(00δ+∈∀x x x 时，0)('<x f .⇒)(x f 在),(00x x δ-内单调减少，故)()(0x f x f <，因此)(x f 在点0x 处取得极大值.类似可证(2)、(3).注：求函数极值的步骤.(1).求出)('x f(2).求出)(x f 的所有驻点及不可导点；(3).考察)('x f 在每个驻点的左右两侧是否变号，判定它们是否为极值点，若是极值点，判断出是极大值点还是极小值点.(4).求出)(x f 的极值.例1. 求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值.解：(1).当1-≠x 时，333313213)1(513)4(213)1(3)1(32)4()1()('+-=+--++=+⋅-++=-x x x x x x x x x x f . (2).令0)('=x f ，得驻点1=x ，1-=x 是)(x f 的不可导点.(3).在)1,(--∞内，0)('>x f ；在)1,1(-内，0)('<x f ，故不可导点1-=x 是)(x f 的一个极大值点.又在),1(+∞内，0)('>x f ，故驻点1=x 是)(x f 的一个极小值点.(4).极大值为0)1(=-f ；极小值为343)1(⋅-=f .我们还可以利用二阶导数在驻点处的符号判定驻点是否为极值点.定理2(第二判别法)：设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数且0)('0=x f ，0)(''0≠x f ，(1).若0)(''0<x f 时，则)(x f 在点0x 处取得极大值.(2).若0)(''0>x f ，则)(x f 在点0x 处取得极小值.证明：(1).由于0)(''0<x f ，按二阶导数的定义有0)(')('lim )(''0000<--=→x x x f x f x f x x ，根据函数极限的局部保号性，当x 在0x 的足够小的去心邻域内时，0)(')('00<--x x x f x f ，但0)('0=x f ，故有0)('0<-x x x f .由此可见，在此邻域内，当0x x <时，0)('>x f ；当0x x >时，0)('<x f ，于是由第一判别法知)(x f 在点0x 处取得极大值.注：若在驻点0x 处0)(''0=x f ，则用第二判别法无法判定0x 是否为极值点，此时或者借助于更高阶的导数，或者用第一判别法判定驻点是否为极值点.定理3 (判别法的推广) 设函数)(x f 在点0x 具有直到n 阶导数，且0)()('')('0)1(00====-x f x f x f n ，0)(0)(≠x f n ，(1).若n 为偶数，则0x 为极值点，且当0)(0)(>x f n 时，0x 是)(x f 的极小值点；当0)(0)(<x f n 时，0x 是)(x f 的极大值点.(2).若n 为奇数，则0x 不是极值点.证明：利用)(x f 在点0x 的泰勒公式得))(()(!)()()(000)(0n n x x o x x n x f x f x f -+-=-，当x 充分接近0x 时, 上式左端正负号由右端第一项确定, 故结论正确.例2. 求函数1)1()(32+-=x x f 的极值.解：(1).求导数：22)1(6)(-='x x x f ,)15)(1(6)(22--=''x x x f .(2).求驻点：令0)(='x f ，得驻点1,0,1321==-=x x x .(3).判定：因为06)0(>=''f ，故0)0(=f 为极小值.又0)1()1(=''=-''f f ，故第二判别法失效， ①．用第一判别法判别：由于)(x f '在1±=x 左右邻域内不变号，所以)(x f 在1±=x 无极值. ②．用推广判别法判别：由于)35(24)(2-='''x x x f ，0)1(≠±'''f ，所以)(x f 在1±=x 无极值.二、函数的最值在讨论了函数极值及其求法的基础之上，我们来进一步讨论函数在一个区间上的最大值和最小值的求法问题.1.函数在区间上的最值：假定函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内除了有限个点外可导，且至多有有限多个驻点,则)(x f 最值只能在可能极值点或端点处达到.2.求函数最值的方法:(1). 求出函数)(x f 在),(b a 内的所有可能极值点：m x x x ,,,21 .(2). 最大值: {})(),(,)(,,)(,)(max 21b f a f x f x f x f M m =；最大值: {})(),(,)(,,)(,)(min 21b f a f x f x f x f m m =.注：1°.当)(x f 在],[b a 内只有一个可能极值点,若在此点取极值, 则也是最值.2°.当)(x f 在],[b a 上单调时，最值必在端点处达到.3°.对应用问题, 有时可根据实际意义判别求出的可能点是否为最大值点或最小值点. 例3.求函数|23|)(2+-=x x x f 在]4,3[-上的最大值与最小值.解：由于⎪⎩⎪⎨⎧∈-+--∈+-=),2,1(,23],4,2[]1,3[,23)(22x x x x x x x f ，有⎩⎨⎧∈+--∈-=),2,1(,32],4,2[]1,3[,32)('x x x x x f . 在)4,3(-内，)(x f 的驻点为23=x ；不可导点为1=x 、2=x . 由于20)3(=-f ，0)1(=f ，4123=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，0)2(=f ，6)4(=f ，故20)3()(max =-=f x f ，0)2()1()(min ===f f x f .。

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高等数学第二册第七章空间解析几何与向量代数在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。

通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。

也为学习多元微积分做准备。

重点：曲面方程，曲线方程难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。

（一）1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点O，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。

当1e，2e，3e 的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。

在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。

关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。

2．空间向量可以从两个途径来认识：①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。

书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：AB ，a 等。

②可由向量的坐标来把握向量。

必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设{}z y x a ,,= 的始点的坐标分别为()321,,x x x ，()321,,y y y ，则{}121212,,z z y y x x a ---= ，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系：12x x x -=，12y y y -=，12z z z -=。

因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了。

当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。

3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。

如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。

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第六章定积分的应用学习指导一、基本内容（一）微元法根据问题的具体情况选取积分变量x 与变化区间，再小区间[]dx x x +,。

求出部分量的近似值的积分元素()dx x f du =，从而求出所求量()⎰=ba dxx f u 。

（二）平面图形的面积1．由平面曲线()x f y =，直线a x =，b x =和0=y 所围图形的面积：()dxx f A b a⎰=。

2．由平面曲线()x f y 1=，()x f y 2=和直线a x =，b x =所转图形的面积：()()⎰-=b adxx f x f A 21。

3．由极坐标曲线()θγγ=， αθ=、βθ=转的图形的面积：()⎰=βαθθγd A 221。

4．由参数方程()t x x =，()t y y =给出的曲线和直线()()αx a x ==，()()βx b x ==，0=y 所围图形的面积：()()⎰⎰'==βαdtt x t y dx y SA b a。

（三）体积1．由曲线()x f y =和直线a x =，b x =，0=y 所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积：()⎰+=ba x dxx f V 2π。

2．由曲线()y x x =和直线c y =，d y =，0=x 所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体积：()⎰=dc y dyy x V 2π。

3．垂直于x 轴的平行截面面积为x 的函数()x A 的立体的体积：()⎰=ba dxx A V 。

（四）平面曲线的弧长1．直角坐标曲线()x f y =b x ≤≤0：()[]⎰'+=b adxx f L 21。

2．参数方程曲线()t x x =，()t y y =，βα≤≤t ：()[]()[]⎰'+'=βαdtx y t x L 22。

3．极坐标曲线()θγγ=，βθα≤≤：()()[]⎰'+=βαθθγθd r L 22。

（五）定积分在物理上的应用对实际问题先取积分变量，积分区间，求出所求量的微元，利用微元法求解。

高等数学同济二版上册课后答案

第一章1-4节 1、计算下列极限7）2382lim 222+--+→x x x x x分析：本题分子分母同时趋近于0，根据表达式的形式，考虑利用约分将趋于0的项约去。

解：原式6)1(lim )4(lim 14lim )2)(1()2)(4(lim2222=-+=-+=---+=→→→→x x x x x x x x x x x x 9）)sin(sin sin lima x ax a x --→分析：本题分子分母同时趋于0，但不能约分，利用复合函数求极限，通过变量替换进行求解解一：令0,,,→→+=-=u a x u a x a x u 时则。

a uua a u u u a a u u a a uau a u a u a u a u u u u u cos )2cos42sinsin (cos lim ]2cos2sin 2)2sin 21(sin [cos lim ]sin )1(cos sin [cos lim sin sin sin cos cos sin limsin sin )sin(lim020000=-=-+=-+=-+=-+=→→→→→原式解二：利用三角函数的和差化积，以及等价替换a ax ax a x a x a x a x a x ax cos 22cos 2lim )sin(2sin 2cos2lim=--⋅+⋅=--+=→→原式11）6)1(lim )4(lim 14lim 4lim 020202230=++-=++-=++-→→→→t t t t t t t t t t t t t t t (应该为4) 13）31)312(lim 2lim )312)(4()4(2lim )312)(4(9)12(lim 4312lim44444=++=++--=++--+=--+→→→→→x x x x x x x x x x x x x x本题利用了分子有理化 2、计算下列极限 1）nnn arctan lim∞→解：因为2arctan 01π<→∞→n ，n，n 而时，无穷小与有界函数之积仍然为无穷小，所以原式n nn arctan 1lim∞→==0 2）0sin 1lim 1sin lim=+=+∞→∞→n n nn n n n n 3）1arctan 11arctan 11lim arctan arctan lim =+-=+-∞→∞→xxxx x x x x x x 第一章1-5节 1、计算下列极限 2）βαβαββααβα==→→x x x x x x x x sin sin lim sin sin lim00解法2：原式βαβα==→x x x 0lim5）212cos122sin 21lim 2cos 2sin 22sin 2lim sin cos 1lim 0200=⋅⋅=⋅=-→→→x x x x x x xx x x x x x 解法2：原式2121lim 20=⋅=→x x x x7）πππππ-=-=-=-=-→→→→uu u u u u x x u u u x 0001lim tan lim )1(tan lim 1tan lim分析：本题利用了变量替换和等价替换 9）2)2(21lim )12(coslim 222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞→∞→x x x x x x分析：∞→x 时，02→x 。

同济高数课后习题答案全解

同济高数课后习题答案全解高等数学同济版第一章一、求下列极限、;解一: 原式原式解二:2xlim2、解一:2x13x11原式解二:sin3x~3x2xx1原式xtan2xlim3、解:原式xlim4、原式解一: 1 解二:原式、原式解一:解二:原式xlimxlim6、解一原式令2t解二: 1原式2x)]17、解:原式:、解:原式、原式解:10、解:2663xsinx1sinx1原式11、。

解:原式二、求下列导数或微分1、设，求dy 解一:解二:dx2x2、设，求解、设，求解4、设，求解:dy5、设，求dx1y解:6、设ye，求 dxx解、设，求dy解、设，求解9、设，求解:10、设，求1解、设sinxx3edt，求解12、设，求解，，3三、求下列积分1、解:原式ex2、解:原式、cscx解:原式4、1x221x2解:原式(lnx)3、 x14解:原式dx6、解:原式x47、解:原式8、解一:令原式解二:利用原式9、55解:因原式10、1elnxdx1e1解:原式e111、解:原式12、dx 2x令解:原式2413、解:原式x3 原式x,314、1027解:原式19817 272710 981 115、20 sinx3解:2sin3x20令原式20注:上题答案有误，应为(π-1)/4四、微分和积分的应用1、列表讨论下列函数的单调性、凹凸性、极值、拐点: 32; (1)解:83由或x=2.由在区间，上递3增;在区间[1,2]上递减。

在上是凸的;333在上是凹的。

点(2,2)是函数的拐点，函数在处取得极大值2，在处取得极小值1。

(2)解:没有的点，存在不可导点在区间上递增;在上是凸的;在上是凹的。

点(0,0)是函数的拐点(3)解:33399921由由55当时，y,y不存在‘‘‘在区间上递增，在-，上是凹的;上递减;在区间-在上是凸的。

点，是函数的拐点，函数在处取得极大值，在5处32取得极小值32、求函数的极值。

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第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合(一).集合的相关概念1.集合：集合是数学中一个不加定义的原始概念，一般是这样描述的：描述性定义：具有某种特定性质的事物的总体称为集合,用大写字母A ，B ，C ，┄ 表示；组成集合的事物称为元素，用小写字母a ，b ，c ，┄ 表示.2.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅ .3.几何与元素的关系：元素a 属于集合A , 记作A a ∈；元素a 不属于集合A , 记作A a ∈或A a ∉.4.集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：不是有限集的集合.5.集合的表示法：(1).列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合n i i n a a a a A 121}{},,,{=== .(2).描述法：x x M {=所具有的特征}. 例：}01{2=-=x x M 表示方程012=-x 的解集.6.几种常用的数集：自然数集：}{},,,2,1,0{n n N == ；正整数集：},,,2,1{ n N =+；整数集：}/{ N x N x x Z +∈-∈=；有理数集：,N q ,p p Q +∈∈⎨⎧=Z p 与 q 互质⎬⎫；实数集合：x R {=x 为有理数或无理数}.(二).集合之间的关系及运算1.集合之间的关系包含关系：设有集合A 和B ，若A x ∈必有B x ∈，则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,记作B A ⊂ 或A •B ⊃. 相等关系：若B A ⊂且A B ⊂，则称 A 与 B 相等，记作B A =.例如, Z N ⊂，Q Z ⊂，R Q ⊂.下列关系成立 :(1). A A ⊂；A A =；A ⊂Φ.(2). B A ⊂且C B ⊂⇒C A ⊂.2.集合之间的运算：对集合A 与 B ，有下列几种基本运算并集：A x B A ∈={ 或B x ∈}；交集：A x B A ∈={ 且B x ∈}；差集：A x B A ∈={\且B x ∉}；余集(补集)：I x A I A c ∈=={\且A x ∉}，其中I 称为全集，I A ⊂；直积：{}B y A x y x B A ∈∈=⨯,),( (笛卡尔直积).特例：2R R R =⨯为平面上的全体点集.(三).区间和邻域1.有限区间{} b x a x b a <<=),(; {} b x a x b a ≤<=],(；{} b x a x b a <≤=),[; {} b x a x b a ≤≤=],[.2.无限区间：{} a x x a ≥=∞+),[； {} b x x b ≤=-∞],(； {}R x x ∈=∞+-∞),(.3. 邻域点a 的δ 邻域: {}{}δδδδ<-=+<<-=a x x a x a x a U ),(；点a 的去心δ 邻域: {}δδ<-<=a x x a U 0),( ；点a 的左δ 邻域: ),(a a δ-；点a 的右δ 邻域: ),(δ+a a .其中, a 称为邻域中心, δ 称为邻域半径.4. 区间的直积：{}],[],,[),(],[],[d c y b a x y x d c b a ∈∈=⨯.二、实数集及其完备性1. 实数集的性质：(1). 封闭性：任意两个实数进行加、减、乘、除 (分母不为零) 运算后，其结果仍然是实数.(2). 有序性：任意两个实数a 和b ，必满足且仅满足下列三种关系之一：a < b ，a > b ，a = b .且若a < b ，b < c ，则a < c .(3). 稠密性：任意两个不相等的实数之间仍有实数.(4). 完备性：实数集与数轴上的点存在一一对应的关系，即任意一个实数都对应数轴上唯一的一个点；反之, 数轴上任意一点也对应唯一的一个实数.2. 实数集的确界存在定理(1). 定义1. 设R A ⊂，且Φ≠A ，若R L ∈∃，使得A x ∈∀，都有L x ≤(或L x ≥)，则称数集A 有上界（或下界），并称L 是A 的一个上界（或下界）.若数集A 既有上界又有下界，则称A 有界，否则称A 无界.(2). 定义2. 设R A ⊂，且Φ≠A ，若R ∈∃β（或R ∈α）满足下列条件：①. A x ∈∀，有β≤x (或)α≥x ;②. 0>∀ε，A x ∈∃0, 使 εβ->0x (或εα+<0x )，则称β为数集A 的上确界(或α为数集A 的下确界)，记为A sup =β(或A inf =α)注：1°.上确界是集合的上界中最小的，下确界是集合的下界中最大的.2°.数集的确界和它的最值是区别的，最值属于集合，而确界不一定属于集合.(3). 确界存在定理: 有上界(或下界)的非空实数集必有上确界(或下确界).三、映射1. 映射：设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应法则f ,使得X x ∈∀，有唯一确定的Y y ∈与之对应，则称f 为从 X 到 Y 的映射， .:Y X f →元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作).(x f y =元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像.集合 X 称为映射 f 的定义域，记作f D ，即X D f =;集合 X 中的元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作f R 或)(X f ，即Y X x x f X f R f ⊂∈==}|)({)(.注：1°.映射的三要素：定义域, 对应法则, 值域.2°.元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.2. 映射的分类：满射：若Y X f =)(，则称 f 为满射.单射：若2121,,x x X x x ≠∈∀，有)()(21x f x f ≠，则称 f 为单射.双射：若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射或一一映射.注：映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的惯用名称，例如:映射f ：X (≠ ∅ ) →Y (数集)称为X 上的泛函;映射f ：X (≠ ∅ ) →X (数集)称为X 上的变换;映射f ：X (数集或其子集) →R 称为X 上的函数.3. 逆映射：对单射f ：X →Y ，称映射g ：R f → X 为f 的逆映射，记作-f ，其定义域f f R D =-，值域为X R f =-.4.复合映射：称映射g ：X → Y 1，f ：Y 2 → Z (21Y Y ⊂)确定的从X 到Z 的映射为映射g 和 f 构成的复合映射，记作Z X g f →: ，即)]([)(x g f x g f = .注：g 的值域g R 必须包含在f 的定义域f D ，即f g D R ⊂.四、函数1. 函数的概念: 设数集R D ⊂，称映射R D f →:为定义在D 上的函数，记为↓↓↓↓∈=.),(D x x f y因映自定值域：{}D x x f y y D f R f ∈===),()(变变义函数图形: {}D x x f y y x C ∈==),(),(.量射量域对应规律的表示方法: 解析法（公式法）、图象法、列表法.注：记号f 和法则f (x )的含义不同，f 表示自变量x 和因变量y 之间的对应法则，而f (x )表示与自变量x 对应的函数值，在不至于混淆的情况下，习惯上仍用f (x )表示函数.2. 函数的几种数学表达式:(1). 显函数：)(x f y =. 如： ]1,1[,12-∈-=x x y .(2). 隐函数：0),(=y x f . 如： 0,122≥=+y y x .(3). 参数方程表示的函数：I t t y t x ∈⎩⎨⎧==),(),(ψϕ.如],0[,sin ,cos π∈⎩⎨⎧==t t y t x . (4). 分段函数：在定义域的不同子集上用不同的表达式.例1. 符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y ，定义域:),(∞+-∞=D ，值域:}1,0,1{-=f R ，对任何x ，有||sgn x x x ⋅=.例2. 绝对值函数⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x y .例3. 取整函数n x y ==][，当1+<≤n x n ，Z n ∈.例如：075=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，1]2[=，3][=π，4]5.3[-=-. 例4. 狄利克雷函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x f ,0,1)(. 3.函数的几种特性: 设函数D x x f y ∈=,)(，且有区间D I ⊂.(1).有界性：I x ∈∀，若0>∃L ，使得 L x f ≤)((或L x f ≥)()，则称)(x f 在I 上有上界(或下界)，并称L 为)(x f 在I 上的一个上界(或下界).I x ∈∀，若0>∃M ，使得M x f ≤|)(|成立，则称)(x f 在I 上有界.(2).单调性：I x x ∈∀21,，当21x x <，总有)()(21x f x f <))()((21x f x f <，则称)(x f 在I 上是单调增加 (单调减少) 的.单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.(3).奇偶性：设函数)(x f 的定义域D 关于原点对称， D x ∈-∀，若)()(x f x f =-恒成立，则称)(x f 为偶函数，若)()(x f x f -=-恒成立，则称)(x f 为奇函数.注：奇函数的图形关于原点对称；偶函数的图形关于y 轴对称.(4).周期性：D x ∈∀，若0>∃l ，使得D l x ∈+，都有)()(x f l x f =±，则称)(x f 为周期函数，称 l 为周期(一般指最小正周期).注: 周期函数不一定存在最小正周期.例如：常量函数C x f =)(；狄利克雷函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x f ,0,1)(. 4.反函数与复合函数：相对于逆映射和复合映射的概念，有反函数和复合函数的概念.(1).反函数的概念及性质定义：若函数)(:D f D f →为单射,则存在一新映射D D f f →-)(:1使)(D f y ∈∀，有 x y f =-)(1，其中y x f =)(，称此映射1-f 为f 的反函数.习惯上, 函数D x x f y ∈=,)(的反函数记成)(,)(1D f x x f y ∈=-.性质:①. y ＝f (x ) 单调递增(或递减)，其反函数)(1x f y -=存在,且也单调递增(或递减). ②.函数y ＝f (x )与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.(2). 复合函数：设有函数链,),(f D u u f y ∈=与,),(D x x g u ∈=且f g D R ⊂，则称函数)()]([D x x g f y ∈=为由)(x g u =与)(u f y =确定的复合函数，记作))((][x g f )x (g f =, 其中u 称为中间变量，有时也称)(x g u =为内函数，)(u f y =为外函数.注：构成复合函数的条件f g D R ⊂不可少.5. 初等函数(1). 基本初等函数: 反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数.(2). 初等函数: 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成, 并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 否则称为非初等函数.注：符号函数、取整函数以及狄利克雷函数都是非初等函数.第二节数列的极限一、数列极限的定义1. 数列：称自变量取正整数的函数为数列,记作)(n f x n =或}{n x ，n x 称为通项(一般项).2. 数列极限(1).引例(刘徽割圆术)：对给定的圆，用其内接内接正126-⨯n 边形的面积n A 逼近其面积.容易得到内接内接正126-⨯n 边形的面积序列： ,,,,21n A A A ，当n 无限增大时, n A 无限接近S . S 称为数列}{n A 的极限.对于数列，我们关心的主要问题是：当n 无限增大时，n x 的变化趋势如何？例如：①．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1随着n 的无限增大而无限接近常数1. ②．数列})1{(n -随着n 的无限增大没有确定的变化趋势.③．数列}2{n 随着n 的无限增大而无限增大.但是，仅仅凭直觉观察得到极限和用“无限增大” 、“无限接近”来描述极限是远远不够的，例如：我们不能根据观察而判断出数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11的极限，因此，需要用精确、定量的数学语言来定义极限.下面以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1为例来介绍数列极限.我们知道点n x 与点a 之间的距离a x n -是刻画数n x 与a 接近程度的一个度量.当n 无限增大时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1无限接近1，也就是说当n 无限增大时，nn x n n 11)1(11=--+=-可以无限的变小，例如如果要求10111<=-n x n ，那么只要10>n ，即从数列第11项起，后面的所有项与1的距离都小于1/10; 如果要求310111<=-n x n ，那么只要1000>n ，即从数列第1001项起，后面的所有项与1的距离都小于1/103;上述过程实际上说明了如下事实：无论要求n x 与1多么接近，即1-n x 多么小，只要n 足够大，就可以使1-n x 变得那么小，n 足够大的程度由1-n x 小的程度来决定. 为了刻画n x 与1的接近程度，我们引入任意给定的正数ε，那么上述事实可描述成：不论给了多么小的的正数ε，总存在一个正整数N (比如上述过程中的[]ε1=N )，当N n >时，总有ε<-1n x ，数1就叫做数列}{n x 当∞→n 时的极限.将这个例子中的思想方法和表述方式用于一般数列，就得到了如下数列极限的定义：(2). 数列极限：若数列}{n x 与常数a 满足：0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n >∀时，总有ε<-a x n ，则称该数列}{n x 以a 为极限，或称数列}{n x 收敛于a ，记作a x n n =∞→lim 或)(∞→→n a x n . 数列收敛：a x n n =∞→lim ⇔0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n >∀时，总有ε<-a x n . 数列发散：对任意常数a ，若00>∃ε，+∈∀N N ，N n >∃0，使得00ε≥-a x n ，则数列}{n x 发散.数列收敛的几何意义：对于点a 的任意ε邻域),(εa U ，总存在一个项数N ，使得数列}{n x 中自第1+N 项开始后面的一切项都落在点a 的ε邻域),(εa U 内，在这个邻域之外至多只能有}{n x 的有限项N x x x ,,,11 .(数列的收敛性及其极限值与它前面的有限项无关，改变数列中的有限项的值，并不能改变其收敛性及其极限值.)注：在数列极限定义中，1°.正数ε必须是任意给定的，ε可以充分小，只有这样，不等式ε<-a x n 才能体现出n x 无限接近a 的要求,因此在讨论极限问题时常常要限定ε的范围，例如：为了使]/1[ε是正整数，需要限定1<ε，此时1]/1[>ε.此外，εc ，ε， ,2ε也都是任意给定的正数，它们只是形式不同，没有本质的区别，今后证明极限问题时经常要用到.2°.正整数N 是依赖于ε的给定而确定的(常记为)(εN )，它给出了一个项号，只要n 增大到这一项之后，就有ε<-a x n .3°.对应于给定的一个ε，N 并不是唯一的.4°.一般地，为了比较简便地得到一个N ，可适当放大a x n -，使之小于某一个以n 为变量的简单且趋于零的表达式，令它小于ε后求出N .例1. 证明：1)1(lim =-+∞→nn nn . 证明：对于0>∀ε，要使不等式ε<=--+=-n n n a x n n 11)1(成立，只要ε1>n ，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N .于是, 0>∀ε,当N n >时，有ε<=--+nn n n 11)1(，即1)1(lim =-+∞→n n n n . 例2. 证明：0)1()1(lim 2=+-∞→n nn . 证明：对于0>∀ε(假定1<ε)，要使不等式ε<+<+=-+-=-11)1(10)1()1(22n n n a x n n 成立，只要11->εn ，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11εN . 于是, 0>∀ε,当N n >时，有ε<+=-+-22)1(10)1()1(n n n ，即0)1()1(lim 2=+-∞→n n n . 例3. 对1||<q ，证明：0lim 1=-∞→n n q . 证明：对于0>∀ε(假定1<ε)，要使不等式ε<=-=---110n n n qq a x 成立，只需εln ln )1(<-q n ，(注意到0ln <q .) 即q n ln ln 1ε+>，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=q N ln ln 1ε.于是, 0>∀ε,当N n >时，有ε<=---110n n qq ，即0lim 1=-∞→n n q . 二、收敛数列的性质1.极限的唯一性：定理1. 若数列}{n x 收敛，则它的极限是唯一的(收敛数列的极限是唯一). 证法(一):用反证法.证明:假设a x n n =∞→lim 与b x n n =∞→lim 同时成立，且b a <.取2a b -=ε，由极限定义，对0>∀ε，⎪⎩⎪⎨⎧<->∀∈∃<->∀∈∃++εεb x N n N N a x N n N N n n ,,,,2211，取},max{21N N N =，N n >∀，有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-εεb x a x n n 同时成立，即2b a a x a x n n +=+<⇒<-εε，2b a b x b x n n +=->⇒<-εε同时成立，出现矛盾，定理得证.证法(二): 直接证明.证明:假设a x n n =∞→lim 与b x n n =∞→lim 同时成立，往证b a =.由极限定义，对0>∀ε，⎪⎩⎪⎨⎧<->∀∈∃<->∀∈∃++εεb x N n N N a x N n N N n n ,,,,2211，取},m a x {21N N N =，N n >∀，有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-εεb x a x n n 同时成立，于是， b a a x b x a x b x b a n n n n =⇒<-+-≤---=-ε2)()(，即收敛数列的极限是唯一的.例4.证明数列),2,1()1(1 =-=+n x n n 是发散的.证法一：直接证明，只需证明R a ∈∀都不是数列})1{(1+-n 的极限. 证明：10=∃ε，分两种情形：1. 当0≥a 时，+∈∀N N ，N k n n >=∃)2(00，有011|1||)1(|ε≥+=--=--+a a a n .2. 当0<a 时，+∈∀N N ，N k n n >+=∃)12(00，有01)(1|1||)1(|ε≥-+=-=--+a a a n . 综上说明数列})1{(1+-n 发散. 证法二：用反证法.证明：假设数列})1{(1+-n 收敛，由定理1知，数列})1{(1+-n 有唯一极限，不妨设a n n =-+∞→1)1(lim ，由数列极限定义，对21=ε，+∈∃N N ，当N n >时，21|)1(|1<--+a n 成立，即当N n >时，21)1(211+<-<-+a a n ，又∞→n 时，})1{(1+-n 交替取值 1 与－1，而这两个数不能同时位于长度为1的区间()21,21+-a a 内，出现矛盾，故数列})1{(1+-n 发散.2. 收敛数列的有界性：定理2. 若数列}{n x 收敛，则}{n x 一定有界.证明：设a x n n =∞→lim ，取1=ε，则+∈∃N N ，当N n >时，有1<-a x n ，从而有||1|||||)(|||a a a x a a x x n n n +<+-≤+-=，取{}||1,||,,||,||max 21a x x x M N += ，则有),2,1( =≤n M x n ，由此证明收敛数列必有界. 注：1°.数列无界必发散.(逆否命题)2°.数列有界未必收敛，例如),2,1()1(1 =-=+n x n n 有界，即1≥∀n ，1||≤n x ，但该数列却发散.3. 收敛数列的保号性：定理3. 若a x n n =∞→lim ，且0>a (或0<a )，则+∈∃N N ，当N n >时，都有0>n x (或0<n x ).证明：对 a > 0，取2/a =ε，则+∈∃N N ，当N n >时，02/2/>->⇒<-a a x a a x n n . 推论：若数列}{n x 从某项起0≥n x (或0≤n x )，且a x n n =∞→lim ，则0≥a (或0≤a ).4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限：子数列：在数列}{n x 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列}{k n x 为原数列}{n x 的一个子数列(简称子列). 注：1°. 对N k ∈∀，k n k ≥，当∞→k 时，∞→k n .2°. 当12-=k n k 时，称}{k n x 为奇子列；当k n k 2=时，称}{k n x 为偶子列. 定理4. a x n n =∞→lim ⇔对数列}{n x 的任何子列}{k n x ，都有a x k n k =∞→lim .证明：必要性：由a x n n =∞→lim ，有0>∀ε，+∈∃N N ，当N n >时，ε<-a x n .取N K =，当N K k =>时，有N n n n N K k >=>，有ε<-a x k n ，即a x k n k =∞→lim .充分性显然.注：若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散. 例如：数列),2,1()1(1 =-=+n x n n 发散，而1lim 12=-∞→k k x ，1lim 2-=∞→k k x .此例也说明发散的数列也可能有收敛的子列.第三节函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限 1. 0x x →时函数)(x f 的极限(1).定义：设函数)(x f 在点0x 的某去心邻域内有定义, 对常数A ，若0>∀ε，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有ε<-A x f )(，则称 A 为函数)(x f 当0x x →时的极限,记作A x f x x =→)(lim 0或A x f →)(当)(0x x →.“δε-”定义：A x f x x =→)(lim 0⇔0>∀ε,0>∃δ,当),()(0δx U f D x⋂∈时，有ε<-A x f )(.注：A x f x x =→)(lim 0研究函数)(x f 当0x x →时的变化趋势，不考虑函数)(x f 在点0x 是否有定义.例如：函数24)(2--=x x x f 当2≠x 时，2)(+=x x f ，所以2→x 时4)(→x f .再如：函数⎩⎨⎧=≠==000,1|sgn |)(x x x x f ，当0→x 时对应的函数值趋于1.(2).几何意义：对于一个以直线ε+=A y 和ε-=A y 为两边的带型区域，总存在一个0>δ，使得函数)(x f 在区间),(00x x δ-与),(00δ+x x 内的图形都位于这个带型区域内. 例1. 证明C C x x =→0lim ，C 为常数.证明：对0>∀ε，ε<=-=-0)(C C A x f 总成立，于是，0>∀ε，0>∀δ，:x ∀δ<-<00x x ，总有ε<=-0C C ，即C C x x =→0lim .例2. 证明1)12(lim 1=-→x x .证明：对0>∀ε，要使ε<-=--=-121)12()(x x A x f 成立，只需21ε<-x ，取2εδ=.于是0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀10:x x ，总有ε<-=-12)(x A x f ，即1)12(lim 1=-→x x .例3. 证明211lim21=--→x x x . 证明：对0>∀ε，要使ε<-=-+=---=-121211)(2x x x x A x f 成立,取εδ=.于是0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀10:x x ，总有ε<-=-1)(x A x f ，即211lim21=--→x x x . 例4.证明:当00>x 时，00limx x x x =→.证明：对0>∀ε，要使ε<-≤+-=-=-000001)(x x x x x x x x x A x f 成立,只要ε00x x x <-.由于x 的定义域是),0[∞+，因此选取的0>δ要使),0[),(00∞+⊂+-δδx x ，取{}00,minx x εδ=.于是0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，总有ε<-0x x ，即00limx x x x =→.（详细说明：由于000001x x x x x x x x x -≤+-=-，当εδ0x =时，即ε00x x x <-，代入上式有ε<-0x x ；当0x =δ时，有ε00x x <，即ε<0x ，将00x x x <-代入上式得ε<<-00x x x .）(在0x x →的过程中，0x x →的方式是任意的，x 既可以是0x 左侧的点，也可以是0x 右侧的点，但要限定x 只在0x 某一侧趋于0x ，则有下面的单侧极限，即左极限和有极限.) 2. 单侧极限左极限：⇔==-→-A x f x f x x )(lim )(000>∀ε，0>∃δ，),(00x x x δ-∈∀，有ε<-A x f )(. 右极限: ⇔==+→+A x f x f x x )(lim )(000>∀ε，0>∃δ，),(00δ+∈∀x x x ，有ε<-A x f )( 定理：⇔=→A x f x x )(lim 0A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 00. 例5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f 当0→x 时的极限是否存在. 解：因为1)1(lim )(lim 0-=-=--→→x x f x x ，1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x ，显然)0()0(+-≠f f ，所以)(lim 0x f x →不存在.3. 函数极限的性质 (1). 函数极限的唯一性定理1.若A x f x x =→)(lim 0存在，则该极限值唯一.(2). 函数极限的局部有界性定理2.若A x f x x =→)(lim 0，则0>∃M ，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有M x f ≤)(.证明：由A x f x x =→)(lim 0，可取1=ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有1)()(1)(+≤+-≤⇒≤-A A A x f x f A x f ，取1||+=A M ，则有M x f ≤)(. (3).函数极限的局部保号性定理3.若A x f x x =→)(lim 0,且0>A (或0<A )，则0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有0)(>x f (或0)(<x f ).证明：由0)(lim 0>=→A x f x x ，可取2A=ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有 022)(2)(>=->⇒≤-AA A x f A A x f .同理可证明0<A 的情形.定理3’. 若A x f x x =→)(lim 0,且0≠A ，则0>∃δ， δ<-<∀00:x x x ，有2)(Ax f >. (4).函数极限的局部保序性定理4.若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0，B A <，则0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有)()(x g x f <.证明：对02>-=AB ε，由⇒=→A x f x x )(lim 001>∃δ，当100δ<-<x x 时，有22)(2)(BA AB A x f A B A x f +=-+<⇒-≤-.由⇒=→B x g x x )(lim 002>∃δ，当200δ<-<x x 时，有22)(2)(BA AB B x g A B B x g +=-->⇒-≤-. 取},min{21δδδ=，:x ∀δ<-<00x x ，由2)(B A x f +<和2)(BA x g +>得到)()(x g x f <. 推论：若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0，且0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有)()(x g x f ≤，则B A <.(5).函数极限的归并性(函数极限与数列极限之间的关系)定理5.(海涅定理) ⇔=→A x f x x )(lim 0对任何数列}{n x (0x x n ≠)，只要0lim x x n n =∞→，就有A x f n n =∞→)(l i m .证明：必要性：设A x f x x =→)(lim 0，由极限定义知，对0>∀ε，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有ε<-A x f )(.由于0lim x x n n =∞→，0x x n ≠，故对上述0>δ，+∈∃N N ，当N n >时，有δ<-<00x x n .综上可得：0>∀ε，+∈∃N N ，当N n >时，有ε<-A x f n )(，故A x f n n =∞→)(lim .充分性：用反证法.假设A x f x x ≠→)(lim 0，则00>∃ε，+∈∀N n ，:n x ∃nx x n 100<-<，但0)(ε≥-A x f n .由此得到一个数列}{n x ，由于nx x n 100<-<，故0x x n ≠，且0lim x x n n =∞→，但是A x f n n ≠→∞)(lim ，与已知条件矛盾，从而必有A x f x x =→)(lim 0.二、自变量趋于无穷大时函数的极限1. ∞→x 时函数)(x f 的极限(1). 定义1.设函数)(x f 当0||>>αx 时有定义, 对常数A ，若0>∀ε，0>∃X ，:x ∀X x >||，有ε<-A x f )(，则称 A 为)(x f 当∞→x 时的极限,记作A x f x =∞→)(lim 或A x f →)(当)(∞→x .“X -ε”定义：A x f x =∞→)(lim ⇔0>∀ε,0>∃X ,:x ∀X x >||，有ε<-A x f )(.(2). 几何意义：对于一个以直线ε+=A y ，ε-=A y 为两边的带型区域，总存在一个0>X ，使得函数)(x f 在区间),(X --∞与),(∞+X 内的图形都位于该带型区域内，直线A y =是曲线)(x f y =的水平渐近线. 例6. 证明01lim=∞→xx . 证明：对0>∀ε，要使不等式ε<=-xx 101成立，只需ε1>x ，取ε1=X ，于是，对0>∀ε，0>∃X ，:x ∀X x >||，有ε<-01x，即01lim =∞→x x .2. 单侧极限⇔=+∞→A x f x )(lim 0>∀ε,0>∃X ,X x >∀，有ε<-A x f )(.⇔=-∞→A x f x )(lim 0>∀ε,0>∃X ,X x -<∀，有ε<-A x f )(.思考与练习:1. 若极限)(lim 0x f x x →存在，是否一定有)()(lim 00x f x f x x =→？2. 设函数⎩⎨⎧>+≤=1,121,)(2x x x x a x f ，且)(lim 1x f x →存在, 则3=a .第四节无穷小量与无穷大量一、无穷小量1. 定义：若0x x → (或∞→x )时,函数0)(→x f ，即0)(lim 0=→x f x x (或0)(lim =∞→x f x )，则称函数)(x f 为0x x → (或∞→x )时的无穷小量. 例如 :0)1(lim 1=-→x x ,函数1)(-=x x f 当1→x 时为无穷小量；01lim=∞→x x ，函数xx f 1)(=当∞→x 时为无穷小量； 011lim=-∞-→x x ，函数xx f -=11)(当-∞→x 时为无穷小量. 注：无穷小量不是很小的数，而是绝对值小于任意给定正常数ε的量，除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小量，因为⇔=→0lim 0C x x 0>∀ε，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，ε<-0C ，显然C 只能是0 !2. 无穷小量与函数极限的关系定理1. ⇔=→A x f x x )(lim 0α+=A x f )(，其中α 为0x x →时的无穷小量,即0lim 0=→αx x .证明：必要性：⇒=→A x f x x )(lim 0,0,0>∃>∀δε:x ∀δ<-<00x x ，，有ε<-A x f )(，即α+=A x f )(，其中0lim 0=→αx x .充分性：⇒=→0lim 0αx x ,0,0>∃>∀δε:x ∀δ<-<00x x ，有εα<,又α+=A x f )(，则有ε<-A x f )(，即A x f x x =→)(lim 0.对自变量的其它变化过程类似可证.二、无穷大量定义：若0>∀M ，0>∃δ(或0>∃X )，对:x ∀δ<-<00x x (或:x ∀X x >), 总有M x f >)(，则称函数)(x f 当0x x →)(∞→x 时为无穷大量,为了便于叙述函数的这一性态，也说函数的极限是无穷大量，记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).若将M x f >)(换成M x f >)((或M x f -<)()，则将无穷大量记作+∞=∞→→)(lim )(0x f x x x (或-∞=→∞→)(lim )(0x f x x x ).注：1°.无穷大量不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2°.函数为无穷大量, 必定无界 . 但反之不真! 例如：函数),(,cos )(∞+-∞∈=x x x x f ，∞→=π2)π2(n n f ，当∞→n ，但0π2=⎪⎭⎫⎝⎛+n f π，所以∞→x 时，)(x f 不是无穷大量!3°.若∞=→)(lim 0x f x x ，则称直线0x x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线.若C x fx =→∞)(lim ，则称直线C y =为曲线)(x f y =的水平渐近线.例2. 证明∞=-→11lim1x x . 证明：对0>∀M ，要使M x >-11，只需M x 11<-，取M 1=δ. 于是，0>∀M ，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有M x >-11，即∞=-→11lim1x x . 注：直线1=x 是曲线11-=x y 的铅直渐近线. 例3. 求曲线1)(22-==x x x f y 的水平、铅直两种渐近线.解：由111lim 1111lim 1lim 22222=-+=-+-=-∞→∞→∞→x x x x x x x x 知直线1=y 是已知曲线的一条水平渐近线.由∞=-→1lim 221x x x 知直线1=x 是已知曲线的一条铅直渐近线. 由∞=--→1lim 221x x x 知直线1-=x 也是已知曲线的一条铅直渐近线. 三、无穷小与无穷大的关系定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若)(x f 为无穷大量,则)(1x f 为无穷小量；若)(x f 为无穷小量且0)(≠x f ,则)(1x f 为无穷大量. 证明：设∞=→)(lim 0x f x x ，则0>∀ε，对于ε1=M ，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有ε1)(=>M x f ，即ε<)(1x f ，即)(1x f 为0x x →时的无穷小量. 反之，设0)(lim 0=→x f x x 且0)(≠x f ，则0>∀M ，对于M1=ε，0>∃δ，:x ∀δ<-<00x x ，有M x f 1)(=<ε，又:x ∀δ<-<00x x ，0)(≠x f ，从而M x f >)(1，)(1x f 为0x x →时的无穷大量.类似可证∞→x 的情形.第五节极限运算法则一、无穷小量的运算法则定理1. 有限多个无穷小量的和还是无穷小量.证明:考虑两个无穷小量的和. 设0lim 0=→αx x ，0lim 0=→βx x ，而βαγ+=.0>∀ε,⎪⎩⎪⎨⎧<<-<∀>∃<<-<∀>∃2/,0:,02/,0:,0202101εβδδεαδδx x x x x x ,取{}21,min δδδ=，于是，0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有εβαβαγ<+≤+=，即0lim 0=→γx x .类似可证: 有限个无穷小量之和仍为无穷小量. 但无穷多个无穷小量之和未必是无穷小量，例如: 1π1π21π1lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++→∞n n n n n n .(后面再证明)定理2 .有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.证明：设函数u 在0x 的某一去心邻域内有界，即0>∃M ，01>∃δ，),(10δx U x∈∀，有M u ≤||. 又设0lim 0=→αx x ，即0>∀ε,M x x x /,0:,0202εαδδ<<-<∀>∃.取{}21,min δδδ=.于是，0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有εεαα=⋅<=M M u u /，即0lim 0=→αu x x .推论1. 常数与无穷小量的乘积是无穷小量. 推论2. 有限个无穷小量的乘积是无穷小量. 例1. 求xxx sin lim∞→.解：由于1sin ≤x ，而01lim=∞→x x ，故0sin lim =∞→x xx . 注：直线0=y 是曲线xxy sin =的水平渐近线.二、极限的四则运算法则定理 3 . 若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，则有B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[. 证明：由A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小量) 于是, )()()()()()(βαβα±+±=+±+=±B A B A x g x f ，即B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[.推论: 若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，且)()(x g x f ≥，则B A ≥. 证明：令)()()(x g x f x -=ϕ，则0)(≥x ϕ，从而0)(lim ≥x ϕ，由于B A x g x f x -=-=)]()(lim[)(lim ϕ，于是B A ≥.说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.定理4.若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，则有AB x g x f x g x f =⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[.证明：由A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小量) 于是, αβαββα+++=++=B A AB B A x g x f ))(()()(，由于0lim lim lim ===αβαβB A ，从而)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==. 说明: 定理4可推广到有限个函数相乘的情形. 推论1. )(lim )](lim[x f C x f C = ( C 为常数). 推论2. n n x f x f ])(lim [)](lim[= ( n 为正整数).例2. 设 n 次多项式n n n x a x a a x P +++= 10)(，试证)()(lim 00x P x P n n x x =→.证明: )(lim lim )(lim 010100x P x a x a a x a x a a x P n n n n x x n x x n x x =+++=+++=→→→ .定理5. 若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，且0≠B ，则有BAx g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim. 证明：由A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小量) 设 )()(1)()(βαββαγA B B B B A B A B A x g x f -+=-++=-=，因此 γ 为无穷小量, 即γ+=BA x g x f )()(，由极限与无穷小关系定理, 得)(lim )(lim )()(limx g x f B A x g x f ==. 因为数列是一种特殊的函数,下面定理给出数列的极限的运算法则：定理6 . 若A x n n =∞→lim ，B y n n =∞→lim ，则有(1). B A y x n n n ±=±→∞)(lim ；(2). B A y x n n n ⋅=→∞lim ；(3). 当0≠n y 且0≠B 时，BA y x n n n =∞→lim. 例3. 对分式函数)()()(x Q x P x R =，其中)(x P 、)(x Q 是多项式，若0)(0≠x Q ，试证: )()(lim 00x R x R x x =→.证明：)()()()(lim )(lim )(lim 000000x R x Q x P x Q x P x R x x x x x x ===→→→. 例4. 3162)3(lim )1(lim 31lim )3)(3()1)(3(lim 934lim3333223==+-=+-=+---=-+-→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x .例5. 求4532lim21+--→x x x x .解：由于031241513245lim221=-⋅+⋅-=-+-→x x x x ，于是∞=+--→4532lim 21x x x x . 例6. 737243lim 357243lim 332323=-+++=-+++→∞→∞x x x x x x x x x x .（分子分母同除以3x ）例7. 020522123lim 52123lim 332232==+---=+---∞→∞→xx x x x x x x x x x .（分子分母同除以3x ）例8. 12352lim 223--+-→∞x x x x x .解：由例7知052123lim 232=+---→∞x x x x x ，故例7知 ∞=+---→∞52123lim 232x x x x x . 一般有如下结果：n n n m m mx b x b x b a x a x a ++++++--→∞ 110110lim ⎪⎩⎪⎨⎧<∞>==mn m n mn a ,,0,00. ( n m b a ,,000≠为非负常数)三、复合函数的极限运算法则定理7. 设函数)]([x g f y =是由函数)(x g u =与)(u f y =复合而成，)]([x g f 在点0x 的某去心邻域),(00δx内有定义，若0)(lim 0u x g x x =→，A u f u u =→)(lim 0，且0)(u x g ≠，则A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0.证明：由⇒=→A u f u u )(lim 00>∀ε，0>∃η，当η<-<00u u 时，有ε<-A u f )(.由⇒=→0)(lim 0u x g x x 对上述的0>η，01>∃δ，当100δ<-<x x 时，有η<-0)(u x g .取{}10,min δδδ=，则当δ<-<00x x 时，有η<-<0)(0u x g ，从而有ε<-=-A u f A x g f )()]([,即A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0.注：若定理中若∞=→)(lim 0x g x x ,A u f u =∞→)(lim ,则有A u f x g f u x x ==→∞→)(lim )]([lim 0;若∞=→∞)(lim x g x ,A u f u =∞→)(lim ,则有A u f x g f u x ==→∞→∞)(lim )]([lim .例8.求93lim23--→x x x .解：令932--=x x u ，则6131lim lim 33=+=→→x u x x ，所以6661lim 93lim 6123===--→→u x x u x . 例9.2)1(lim 1)1)(1(lim 11lim111=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x .(分母有理化)另解：令x u =，有111112+=--=--u u u x x ，于是2)1(lim 11lim11=+=--→→u x x u x . 本节的最后，我们应用极限的运算法则来得到曲线的渐近线的具体表达式. 四、曲线的斜渐近线定理8. 曲线)(x f y =在右(或左，或左右)方以直线b kx y +=为渐近线的充分必要条件是x x f k x )(lim+∞→=(或x x f k x )(lim -∞→=，或xx f k x )(lim ∞→=)；))((lim kx x f b x -=+∞→(或))((lim kx x f b x -=→∞，或))((lim kx x f b x -=→∞).证明：必要性:设曲线)(x f =在右方以b kx y +=为渐近线，点))(,(x f x 到直线b kx y +=的距离为)(x d ，则由渐近线的定义知，0)(lim =+∞→x d x ，即01)(lim2=+--+∞→kb kx x f x ，等价于0))((l i m =--+∞→b kx x f x ，从而有))((lim kx x f b x -=+∞→.由此得0)(lim )(lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→x kx x f k x x f x x ，即x x f k x )(lim +∞→=. 充分性：由))((lim kx x f b x -=+∞→得0))((lim =--+∞→b kx x f x ，从而0)(lim =+∞→x d x .练习：试确定常数 a 使0)1(lim 33=--∞→x a x x .解：令x t 1=，则t a t t a t t t --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=→→3303301lim 11lim 0，所以必有[]01lim 330=--→a t t ，故01=--a ，即1-=a .第六节极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则定理1.(夹逼准则)若函数h g f ,,满足(1). 在0x 的某一去心邻域),(0δx U内，有)()()(x h x f x g ≤≤,(2). A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0, 则A x f x x =→)(lim 0.证明：由A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0知0>∀ε，⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-⇒<-<-<∀>∃+≤≤-⇒<-<-<∀>∃εεεδδεεεδδA x h A A x h x x x A x g A A x g x x x )()(,0:,0)()(,0:,0202101,取{}21,min δδδ=，于是，0>∀ε，0>∃δ，δ<-<∀00:x x x ，有εε+≤≤≤≤-A x h x f x g A )()()(，即ε<-A x f )(，因此A x f x x =→)(lim 0.推论：若数列}{n x 、}{n y 、}{n z 满足 (1). N n ∈∃0，当0n n >时，有n n n z x y ≤≤, (2). a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ,则a x n n =→∞lim .例1.求极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++→∞n n n n n 22212111lim . 解：由于11211122222+≤++++++≤+n n nn n n nn n ，而1111limlim2=+=+→∞→∞nnn nn n ，1111lim1lim22=+=+→∞→∞n n nn n ，于是由夹逼准则知112111lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++→∞n n n n n . 例2.证明：1π1π21π1lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n . 证明：由于ππ1π21π1π2222222+≤⎪⎭⎫⎝⎛++++++≤+n n n n n n n n n n ，而1πlim 22=+∞→n n n n ，1πlim 22=+∞→n n n ，由夹逼准则知1π1π21π1lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n . 定理2.(单调有界准则)单调有界数列必收敛，即若数列}{n x 单调增加(或单调减少)且有上界(或有下界)，则n n x →∞lim 必存在.证明：仅就}{n x 单调增加且有上界的情形证明,}{n x 单调减少且有下界的情形类似可证.因为}{n x 单调增加且有上界，由确界存在定理知，}{n x 必有上确界}sup{n x =β.由上确界定义知+∈∀N n ，β≤n x ；0>∀ε，}{n N x x ∈∃，使εβ->N x ，于是，0>∀ε，+∈∃N N ，N n >∀，有εββ->>≥N n x x ，即εβ<-≤n x 0，因而εβ<-||n x ，所以n n x →∞lim 存在，且β=∞→n n x lim .注：单调增加有上界的数列的极限就是其上确界；单调减少有下界的数列的极限就是其下确界.例3.设0>x ，x x =1，,,2 x x x +=,, x x x x n +++=证明数列}{n x 极限存在，并求出其极限.证明：由数列}{n x 的定义知，1≥∀n ，0>n x 且n n x x x +=+1.现用数学归纳法证明}{n x 单调增加有上界.首先，21x x <，设n n x x <-1，则n n n n x x x x x x >+>+=-+11，所以}{n x 单调增加. 其次，11+<=x x x ，设1+<x x n ，则11211+=++<++<+=+x x x x x x x x n n ，综上可知}{n x 单调增加有上界.根据单调有界准则，数列}{n x 收敛，设A x n n =∞→lim ，在等式n n x x x +=+21两边令∞→n ，取极限得A x A +=2，解得2411xA +±=，但由极限的保号性知0≥A ，故 2411lim xx n n ++=→∞. 例4.证明数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11收敛.证明: 利用二项式公式, 有nn n x ⎪⎭⎫⎝⎛+=11n n n n n n n n n n n n n n n n 1!)1()1(1!3)2)(1(1!2)1(1!1132⋅+--++⋅--+⋅-+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n n n n n n 112111!12111!3111!2111 ， ⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=+11121111)!1(1121111!31111!21111n n n n n n n n x n ，比较可知),2,1(1 =<+n x x n n ，即数列}{n x 单调增加. 由于n k ≤≤2时，)1(1!1112111!1-<<⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k n k n n k ，有 !1!31!2111n x n +++++< nn ⋅-++⋅+⋅++<)1(132121111 nn n n 1111121312121111--+---++-+-++= n13-= 3<，即}{n x 有上界.根据单调有界准则知数列}{n x 收敛，将其极限记为e ，即e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+→∞11lim ，e 为自然对数的底，为无理数，其值为 590457182818284.2e =. 定理3.(柯西收敛准则)数列}{n x 收敛的充分必要条件是0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n m >∀,，有ε<-m n x x . 证明略.注：1°.柯西收敛准则的等价形式：数列}{n x 收敛的充分必要条件是0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n >∀，+∈∀N p 有ε<-+n p n x x . 2°.数列发散的充要条件：数列}{n x 收敛的充分必要条件是00>∃ε，+∈∀N N ，N n m >∃,，使0ε>-m n x x . 例5.设222131211n x n ++++= ，证明数列}{n x 收敛. 证明：+∈∀N p n ,，要使222)(1)2(1)1(1p n n n x x n p n ++++++=-+ ))(1(1)2)(1(1)1(1p n p n n n n n +-+++++++<p n p n n n n n +--++++-+++-<1112111111 ε<<+-=np n n 111 成立，只需ε1>n ，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N . 于是，0>∀ε，+∈∃N N ，使得N n >∀，+∈∀N p 有ε<-+n p n x x ，由柯西收敛准则知，数列}{n x 收敛. 例6. 设nx n 131211++++= ，证明数列}{n x 发散. 证明：对210=ε，+∈∀N N ，取N n >，N n m >=2，有 212212111=≥+++++=-n n n n n x x n m ，由柯西收敛准则知数列}{n x 发散. 二、两个重要极限1.重要极限一：1sin lim 0=→xxx .证明：先设20π<<x ，作一单位圆，圆心角x AOB =∠，点A 处的切线与OB 的延长线相交与D ，又OA BC ⊥，则CB x =sin ，B A x=，AD x =tan ，由图易知，AOB ∆的面积<扇形AOB 的面积<AOD ∆的面积，即有x x x tan 2121sin 21<<，或x x x tan sin <<，两边各项同除以x sin ，得xx x cos 1sin 1<<，或1sin cos <<x xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πx ，因为x cos 与x x sin 都是偶函数，所以当02<<-x π时，不等式1sin cos <<xxx 也成立，即有1sin cos <<x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2||0πx ，从而2222sin 2cos 1sin 10222x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅<=-<-< ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2||0πx . 令0→x ，由夹逼准则得0sin 1lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x ，从而 1sin 11lim sin lim00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=→→x x x xx x . 注：上述证明过程中，得到|||sin |x x <，2cos 102x x <-<，于是有0sin lim 0=→x x ，1cos lim 0=→x x .例7.1cos 1lim sin lim cos 1sin lim tan lim0000=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=→→→→x x x x x x x x x x x x . 例8.2112122sin lim 212sin 2limcos 1lim222022020=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==-→→→x xx x x xx x x . 例9.xx x arcsin lim0→t x sin =1sin 1lim sin lim 00===→→tt t t x x .2.重要极限二：e 11lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x .证明：1≥∀x ，有1][][+<≤x x x 或][111][1x x x <≤+，记][x n =，则当+∞→x 时，∞→n ，且 11111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n xnn x n ，而 e 111lim 111lim 111lim 111lim 111=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++→∞+→∞-+→∞→∞n n n n n n n n n n n ， e 11lim 11lim 11lim 1=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→∞+→∞n n n n nn n n ，故由夹逼准则知e 11lim =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→xx x .。

高等数学数二知识重点及复习计划

习题1－1:4,5,8,9,15,16
1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立应用问题的函数关系.
2.了解函数的有界性、单调性、周期性与奇偶性.
3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.
4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.
5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.
高等数学(数二)复习知识点及作业
按照同济大学高等数学பைடு நூலகம்六版制定
第一章函数与极限(时间1周,每天2-3小时)
章节
复习知识点及作业
大纲要求
1、1
函数的概念,常见的函数(有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数)、复合函数、反函数、初等函数具体概念与形式、注:一、集合二、映射 P17-20双曲函数 (不用瞧)
习题1－10:1,2,5
总复习题一:1,2,3,4,5,9,10,11,12
第二章导数与微分(时间1周,每天2-3小时)
2、1
导数的定义、几何意义、,单侧与双侧可导的关系,可导与连续之间的关系(非常重要,经常会出现在选择题中),函数的可导性,导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质,按照定义求导及其适用的情形,利用导数定义求极限、会求平面曲线的切线方程与法线方程、
1、4
无穷小与无穷大的定义,它们之间的关系,以及与极限的关系
习题1－4:4,6,7
1、5
极限的运算法则(6个定理以及一些推论)
习题1－5:1,2,3,4,5
1、6
重点
两个重要极限(要牢记在心,要注意极限成立的条件,不要混淆,应熟悉等价表达式),函数极限的存在问题(夹逼定理、单调有界数列必有极限),利用函数极限求数列极限,利用夹逼准则求极限,求递归数列的极限、

高等数学2知识点总结和例题

高等数学2知识点总结和例题高等数学2课程主要包含了微积分的高级内容，如多元函数微积分、向量场、曲线积分、面积积分、常微分方程等。

本文将对这些知识点进行总结，并提供一些例题和解答，以供大家参考。

1. 多元函数微积分1.1 偏导数多元函数的偏导数定义：设函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)的邻域内，当y=y0时，f(x,y)关于x的导数存在，则称该导数为函数f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数，记为fx(x0,y0)。

偏导数的计算方法：对于多元函数z=f(x,y)，求其在点(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)时，将y视为常数，对x求一阶导数即可。

1.2 全微分全微分的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续且存在偏导数，则称与∆z=f(x,y)-f(x0,y0)满足的关系式∆z=A∆x+B∆y+o(∆r)，其中A=fx(x0,y0)，B=fy(x0,y0)，∆r=√[(∆x)^2+(∆y)^2]称作函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分。

全微分的计算方法：计算函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分时，首先求出其偏导数，然后用偏导数构造微分式，即dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy。

1.3 链式法则链式法则的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)有连续的偏导数，并且u=g(x,y)在点(u0,v0)有连续的偏导数，则复合函数z=f[g(x,y)]在点(x0,y0)具有偏导数，且有：∂z/∂x = (∂z/∂u)·(∂u/∂x) + (∂z/∂v)·(∂v/∂x)∂z/∂y = (∂z/∂u)·(∂u/∂y) + (∂z/∂v)·(∂v/∂y)其中(∂u/∂x)、(∂u/∂y)、(∂v/∂x)、(∂v/∂y)可以由u=g(x,y)的偏导数求得，而(∂z/∂u)、(∂z/∂v)可以由z=f(u,v)的偏导数求得。

同济高等数学第三章第一节课件

即设
f ( x ) sin x x=x
F ( x ) = f ( x ) sin x
=0
验证 F ( x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件.
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2. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
提示: 设 f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 , x1 < x2 ,
直线AB的斜率
f (b) f (a) k= ba f (b) f (a) f (x)= ba
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拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续在开区间(a b)内可导那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)=f (x)(ba) 简要证明令j(x)=f (x)f (a) f (b) f (a) (xa) ba 则函数j(x)在区间[a b]上满足罗尔定理的条件于是至少存在一点x(a b) 使j (x)=0 即
1 由于 f (0)=0 f (x) = 因此上式即为 1 x ln(1 x) = x 1x 又由0<x<x 有 x < ln(1 x) < x 1 x
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例4. (p132 6)证明等式
证: 设
由推论可知令x=0,得
(常数)
又
故所证等式在定义域
上成立.
由此得
f (b) f (a) =0 j (x)=f (x) ba f(b)f(a)=f (x)(ba)
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高等数学第2版课件第3章导数的应用

[例] 显然有lim cos x 1 x0 1 x
cos x
(cos x)
sin x
lim
lim
lim
0
x0 1 x x0 (1 x) x0 1
这显然是一个错误的结果!
第二节函数的单调性与极值一、函数单调性的判定
观察下列图形,能否发现其规律性?
f0
f0 f0
f0
函数单调性的判别方法
❖
[例3] 设有一块边长为48cm的正方形铁皮，
知x 2是函数的唯一一个极大值点. 所以函数的最大值即为此极大值，
最大值为f (2) 1.
思考
1.若函数 f (x)在[a,b]上是单调的，如何求最值 ? 2.若函数 f (x)在[a,b]上是可导的，且在(a, b)上只有一个极值，如何求最值 ?
( 二 ) 函数的最值应用举例
在利用导数研究实际应用问题的最值时，如果在(a,b)内函数f (x) 有唯一的驻点x0, 又从实际问题本身可以知道, 函数f (x)的最大值或最小值必在区间(a, b)内部取得, 则 f (x0 ) 就是所要求的最大值或最小值.
在书中第九章记载了瑞士数学家约翰‧伯努利发现并在 1694年7月22日告诉他的一个著名定理：洛必达法则，即求一个分式当分子和分母都趋于零时的极限的法则。后人误以为是他的发明，故洛必达法则之名沿用至今。
现在，洛必达法则也被叫作伯努利法则。
回忆极限的四则运算法则:
如果 lim f (x) A, lim g(x) B 且 B 0
[解] 函数f (x)的定义域为(, )
而 f (x) x2 2x 3 (x 1)(x 3)
令 f (x) 0, 得驻点 x1 1, x2 3

高等数学(同济版)第三章-习题课

m f (0), f (1), f (2) M
m
f (0) f (1) f (2) 3
M
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
由罗f分(c尔析) 定: 所想理f f(给到3知(c)条找),必1件一,存f且可点(0在)写fc(f,为x3(使1))在(cff[(,f(c032(,)))c3)]f上3(11()0连f,(3f0续())2,),使f在3(11)(f,c(,ff3((2))3)内)0可1. 导,
一、主要内容
Cauchy 中值定理
F(x) x
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
Lagrange 中值定理
f (a) f (b)
Rolle 定理
n0
Taylor 中值定理
常用的泰勒公式
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数图形的描绘; 曲率;求根方法.
( x)
1 ln(1
x)
1
1 x
2
0
(x 0)
故 x 0时, (x)单调增加 , 从而 (x) (0) 0
即
ln(1 x) arctan x (x 0)
1 x
思考: 证明 1 x ln(1 x) (0 x 1) 时, 如何设辅助 1 x arcsin x
函数更好 ?
提示: (x) (1 x) ln(1 x) 1 x2 arcsin x
y
2 x( x2 (x2
3) 1)2
(
x
1 1)3
(x
1 1)3

同济高等数学第三版上册答案详解

同济高等数学第三版上册答案详解同济大学高等数学第三版上册是比较有名的一本数学教材，最新出版的三版包含了更多的知识和技能。

下面是同济高等数学第三版上册答案详解：第一章：实数和函数1.练习题：1、设x与y为实数，请计算：（1）（2x-3)/(x+2y) = 2x/ (x+2y) - 3/ (x+2y)（2）x+|y|-2y = x-y+2（|y|-|y|）=x-y2、如果a>0,b>0，那么：（1）1/a +1/b = 1/a + 1/b =(ab)/ab=1（2）(a-b)/ab = a/ab - b/ab = (a/b) -13、D=(a +b )2 /4，那么，D/(ab)= (a+b)2/4(ab) =(a+b)/2 2.定理：1、对任何实数x，均有：x-x=02、若a＞b，则a-b＞03、若a＞0，b＞0，则a/b＞1第二章：多项式、函数和系数1.练习题：1、如果a+b=3,且a*b=2，那么：（1）a2 +b2 = 9+4=13（2）a3 + b3 = 8+1=92、若多项式P(x)=2x3+7x2-3x+20，则：（1）P（1）= 2*1^3+7*1^2-3*1+20=26（2）P（-2）=2*(-2)^3+7*(-2)^2-3*(-2)+20=-182.定理：1、若系数a+b=3，则a*b=3-a2、若多项式P(x)=ax3 +bx2 +cx +d，则P(x+h)=a(x+h)3 +b(x+h)2 +c(x+h) +d第三章：极坐标与向量1.练习题：1、如果向量m=(-2,4)，则（1）|m|=根号(-2)^2+4^2=根号20=4.47213（2）m方向的极坐标r=4.47213，O=45°2、若向量m=(3,-3)，则（1）向量m的极坐标r=根号3^2 +(-3)^2 =根号18 =4.24264，\theta=135°（2）向量m在极坐标中的表示法为(4.24264,135°)2.定理：1、若向量a=(a1,a2)和向量b=(b1,b2)，则向量a+b=(a1+b1,a2+b2)2、若向量a=(a1,a2)，则|a|=根号a1^2 +a2^2。

同济二版高等数学(下)期末复习试题

高数〔2〕期末复习题一、填空题1. 322()y y xy x '''+=为___ 二 ___阶微分方程．2. 微分方程dy x dx =的通解为212y x c=+ ．3. 微分方程04=-''y y 的通解为___x x e c e c y 2221-+=___.4. 点(1,2,1)M --到平面0522=--+z y x 的距离是 4 .5. 空间点(4,4,2)M -关于xoy 平面的对称点坐标为 (4,4,2)--6. y0z 平面的曲线z y a =+ 绕z 轴旋转生成的曲面方程为_222()z a x y -=+_.7. 将xoy 面上的双曲线221x y -=绕X 轴旋转一周，所形成的曲面方程为_________________________.9. 三单位向量c b a ,,满足0=++c b a ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= .10. 函数()22ln 1z x y =+-域为 .11. 设函数22e y xz +=，则z d = .12. 已知函数324),(y x y x y x f -+=，则=∂∂x f．13. 设21()y xdz e xdy ydx x =-，则22zy ∂=∂ ．14. 曲面122-+=y x z 在点〔2，1，4〕处的切平面方程为__________.15. 曲线23,,x t y t z t ===在点〔1，1，1〕处的切线方程为___________.16.由二重积分的几何意义，计算二重积分221x y +≤σ=⎰⎰________．17. 改变积分次序210(,)x x dx f x y dy =⎰⎰.18. 在直角坐标系下将二重积分化为累次积分，其中D 为11≤+x ，1≤y 围成的区域，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰ ．19. 幂级数121n nn x n ∞=+∑的收敛半径为 . 20. 幂级数12nnn x n ∞=∑的收敛半径为 .21.幂级数4)n n x ∞=-的收敛域为___________．二、选择题1. 微分方程22(1)0y dx x dy --=是〔〕微分方程.A. 一阶线性齐次B. 一阶线性非齐次C. 可别离变量D. 二阶线性方程2. 方程 0y y '''-= 的通解为〔〕.A. 12x y C C e =+B. 12()x y e C x C =+C. 12x y C C e -=+D.12()x y e C x C -=+ 3.以下微分方程中，通解为)sin cos (212x C x C e y x +=的方程是〔〕. A．054=-'-''y y yB ．054=+'-''y y yC ．052=+'-''y y yD ．x e y y y 254=+'-''4. 与向量)0,1,1(-垂直的单位向量是〔〕．A ．)0,21,21( B ．)0,21,21(C ．)0,1,1(D ．)0,1,1(-5. 设(2,3,2)a =，(2,4,)b c =-，a b ⊥，则常数c =〔〕.C. 4D. 56. 直线327x y z==-与平面3278x y z -+=的位置关系是〔〕.A.线与面平行但不相交B.线与面垂直C.直线在平面上D.线与面斜交7. 方程322=++z y x 表示的曲面是〔〕.A. 旋转抛物面B. 圆柱面C. 圆锥面D. 球面8. 以下曲面方程为抛物柱面方程的是〔〕．A ．222z y x =+B ．2222a z y x =++C ．222z y x =-D ．242+=x y9. 等式〔〕是正确的.A. 01a =(0a 是单位向量)B. ||||||cos(,)a b a b a b ⋅=C. 222()()()a b a b ⋅=D. ||||||sin(,)a b a b a b ⨯=10. 函数1ln()z x y =+的定义域是〔〕. B. {}0|),(≠+y x y x C. {}1|),(>+y x y x D. {}10|),(≠+>+y x y x y x 且11. 函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极大值点是〔〕.A. (1,0)B. (1,2)C. (3,0)-D. (3,2)-12. 设22y x x z ++=，则(1,1)zy -∂=∂ 〔〕．A.211+B. 21-C. 211-D. 2113. 设二元函数22sin y z y e x =-，则dz =〔〕.A.2yye dy ；C.2(2sin cos )(2)y yx x dx ye y e dy -++; D. (2sin cos )x x dx -.14. 曲线 2,1 ,1t z t ty t t x =+=+= 对应 t = 1的点处的切向量为〔〕.A. )1,2,21(； B. (1, -4, 8) ；C. (1,1,1)；D. (1,2,3).15. 函数 22z x y = 当1,1,0.2,0.1x y x y ==∆=∆=- 时的全微分为 ( ) .A. 0.20B. 0.20-C. 0.1664-D. 0.1664 16. 以224y x z --=为顶，0=z 为底，侧面为柱面122=+y x 的曲顶柱体体积是〔〕.A.22d πθ⎰⎰B. 2202d ππθ-⎰⎰21d πθ⎰⎰D. 2204d πθ⎰⎰17. 二重积分22214x y x d σ≤+≤⎰⎰可表达为累次积分〔〕.A.223201cos d r drπθθ⎰⎰ B.223201cos r dr d πθθ⎰⎰C.222dx dy-⎰D.121dy dx-⎰18. 二重积分2214(,)x dx f x y dy⎰⎰ 交换积分次序后成为〔〕.A. 100(,)dy f x y dx ⎰B. 120(,)dy f x y dx ⎰C.210(,)dy f x y dx⎰D.201(,)dy f x y dx⎰19. 以下级数中，发散的级数是〔〕.①2211n n ∞=+∑ ②2111n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ ③31113n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑④1n ∞=∑A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④20. 以下级数中,收敛的级数为〔〕．①11n n ∞=∑ ②3121n n ∞=∑ ③14!n n n ∞=∑ ④∑∞=+1)11ln(n nA. ①③B. ①④C. ②③D. ②④21. 以下说法不正确的选项是〔〕.A. ∑∞=1n nn x 的收敛域为 [-1, 1 )；B.∑∞=1n nka与∑∞=1n na同时发散；C. 假设∑∞=1||nnu收敛，则∑∞=1nnu收敛；D. ∑∞=1)3(nnx的收敛半径是3 .三、解答题1. 求微分方程dxyedye xx=+)1(的通解.2. 求微分方程()sin tan0y x dx xdy-+=的通解.3. 求微分方程2x yy e-'=满足初始条件0|0xy==的特解.4. 求过点(2,0,3)-且与直线247035210x y zx y z-+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程．5. 与z轴垂直的直线l在平面1=+yx上且过点(2,1,4)-，求其方程．6. 求平行于平面12=--+zyx和12=+-+zyx，且通过点)1,2,1(-的直线方程．7. 设函数),,(xyzxyxfw=，求xw∂∂，yw∂∂, zw∂∂．8. 设函数)(222yxfyxz++=，求xz∂∂，yz∂∂．9. 设),(22xyyxfz-=，其中f是可微函数，求yzxz∂∂∂∂,．10. 设vez u sin=，而yxvxyu+==,，试求yzxz∂∂∂∂,．11. 方程2=-yzxe z确定二元函数),(yxfz=，求dz．12. 设),(yxfz=由方程xyzzx=+)2sin(确定，求yzxz∂∂∂∂,．13. 求yzeyxu++=2sin的全微分．14. 计算二重积分⎰⎰+-Dy x yx d d e )(22，其中D 是由0,0≥≥y x ，122≤+y x 所围区域．,d d ⎰⎰y x xy 2,2y x y x ==-所围成的闭区域.16. 计算⎰⎰-+Dyx y x d d )12(，其中D 是由直线0=x ，0=y 及12=+y x 围成的区域．17. 求幂级数1n n x n ∞=∑的收敛域及和函数()S x18. 求幂级数∑∞=+0)1(n nxn 的收敛域及和函数()S x .19. 求幂级数211121n n x n ∞-=-∑的收敛域及和函数()S x .四、应用题1. 要设计一个容量为8m 3的长方体无盖水箱, 问长、宽、高为多少时用料最省？2. 求内接于半径为R的球面，且具有最大体积的长方体．3. 求函数222(,,)23f x y z x y z=++在平面11x y z++=上的最小值.4. 计算由平面0=x,0=y及1x y+=所围成的柱体被平面0=z及抛物面226x y z+=-截得的立体的体积.5. 求圆柱面122=+yx与平面2,0=+-+=zyxz所围成的立体的体积. 6. 求由曲面222yxz+=及2226yxz--=所围成的立体的体积.。

高等数学数二知识重点及复习计划优选稿

2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．
4．会用导数判断函数图形的凹凸性.
5.会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．
6．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．
1.2
数列极限的定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性 )注：用定义证明极限不用看
习题1－2：1，4，5，6注：记住4,5,6的结论，不用证明
1.3
函数极限的定义与基本性质（极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等）注：用定义证明极限不用看
习题1－3：1，2，4
1.4
无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系
习题1－4：4，6，7
1.5
极限的运算法则(6个定理以及一些推论)
习题1－5：1，2，3，4,5
1.6
重点
两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼准则求极限，求递归数列的极限.
习题9—8：1—12
总复习题九：1.3.4
注：9.9与9.10不用看
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．
4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．
2.2
重点
复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数，由复合函数求导法则导出的微分法则，（幂、指数函数求导法，反函数求导法），分段函数求导法.
习题2－2：2，3，5，7，8，10，11，14

高等数学Ⅱ答案同济大学第三版

解所求平面的法线向量可设为 n=(0, b, c). 因为点(4, 0, −2)和(5, 1, 7)都在所求平面上,
所以向量n =(5, 1, 7)−(4, 0, −2)=(1, 1, 9)与n是垂直的, 即 1
b+9c=0, b=−9c , 于是 n=(0, −9c, c)=−c(0, 9, −1). 所求平面的方程为
4. 自点P0(x0, y0, z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标.
解在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x , y , 0)、(0, y , z )和(x , 0, z ).
00
00
0
0
在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(x , 0, 0), (0, y , 0)和(0, 0, z ).
3
.
3
(5)y+z=1; 解y+z=1是平行于x轴的平面, 它在y轴、z轴上的截距均为1. (6)x−2z=0; 解x−2z=0是通过y轴的平面. (7)6x+5−z=0.
解 6x+5−z=0 是通过原点的平面. 求平面2x−2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解此平面的法线向量为n=(2, −2, 1).
0
0
0
5. 过点P (x , y , z )分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点的坐 00 0 0
标各有什么特点？解在所作的平行于 z 轴的直线上, 点的坐标为(x , y , z); 在所作的平行于 xOy 面的平面上,
00
点的坐标为(x, y, z ). 0
6. 一边长为 a 的立方体放置在 xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在 x 轴和 y 轴上, 求它各顶点的坐标.

高数同济教材新课预习自学期末复习第三章3-习题课

定义
定理1
方法1: 设函数f ( x)在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0, (1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点; (2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
方法2: 设函数f ( x)在x0的邻域内三阶可导, 且f ( x0 ) 0,而f ( x0 ) 0, 那末( x0 , f ( x0 ))是曲线y f ( x)的拐点.
两个不同的根与，那么在(a, b)（）
f ( x) 0.
（A）必有；（B）可能有；（C）没有；（D）无法确定.
4、设lim f ( x) lim F( x) 0，且在点 a 的某
xa
xa
邻域中（点 a 可除外）， f ( x)及F ( x)都存在，
且F ( x) 0,则lim f ( x) 存在是lim f ' ( x)
定理(第一充分条件) 定理(第二充分条件)
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x); (2) 求驻点，即方程 f ( x) 0 的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号或 f ( x) 在该点的符号,判断极值点; (4) 求极值.
(3) 最大值、最小值问题
步骤:
1.求驻点和不Байду номын сангаас导点;
20. 0 , ,00,1 ,0型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
的类型
.
注意：洛必达法则的使用条件.
5、泰勒中值定理
常用函数的麦克劳林公式
6、导数的应用
(1) 函数单调性的判定法
定理设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导. 10如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调增加； 20 如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调减少.

同济大学高等数学2.3函数的微分

NQ y,
y f (x)
Q
T y
P dy
dx N
o
x
x x
x
NT PN tg f (x)dx, dy NT.
2 . 应用举例
当| x |很小时，y dy为x的高阶无穷小
y f (x0 x) f (x0 ) dy f (x0 )x f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x
3. f (x) 在 x处可微 , 则 y dy o(x) f (x)x o(x)
当x 很小时，y dy f (x)x
例 1 . 求函数 y x3 在 x 2 处的微分。
解： dy (x3 )dx 3x2dx
dy| 3x2dx| 12dx
x2
x2
二 . 微分法
1 .基本公式
y Ax o(x)
其中 A 是不依赖于 x ，而 o(x) 是比 x 高阶
的无穷小，则称函数 y f (x) 在点 x0处可微 , 而 Ax 称为函数 y f (x) 在点 x0 的微分, 记作dy,即:
dy A x
由定义可知 , 当 A 0 时,微分 dy A x 是 x的线性函数,
第3节函数的微分
一 . 微分的概念
1 . 例一边长为 x的正方形金属片受热均匀膨胀 ,
问此薄膜片的面积增加了多少 ?
设面积为 S S(x) , 则 S x2
x
(x)2
当自变量 x 有增量 x 时 , 面积 S 有增量
S S(x x) S(x) (x x)2 x2 2x x (x)2
x
x
令 x 0 , 得
lim y A , 故 x0 x
f
在
x0 处可导 ,
且 f (x0 ) A

同济高数每章知识点总结

同济高数每章知识点总结第一章：函数的极限，连续，导数，微分1。

函数及其性质：(1)函数定义域是全体实数;(2)任意实数x， y与z， y与z之间都存在着一一对应的关系;(3)当自变量趋于无穷时，因变量也无穷，则函数也无穷; (4)函数可以有两个或两个以上的解;(5)函数不可能单调递增或单调递减;(6)两个互为相反数的函数相加，和仍为函数;(7)函数f(x) =-kx+m， 0<m<0，则f(x)>0;(8)在某区间上，函数f(x)f(x+u)，函数的图像关于曲线y=f(x)dx=f(x+u)dx上对称;(9)函数f(x)=x。

1。

函数的概念：给定一个实际的开区间和一个函数f，那么这个开区间就是所求解的值集合或区间，这个函数就叫做原函数或所要求的解。

2。

函数的定义域：原函数的定义域就是所求值集合或区间。

2。

定义域的取法：先用配方法求出未定式a的系数，然后设未知数f的系数为k，用x-a=f(x-k)，即f(x-k)f(x)=a(f(x)-x)((x-k)-x)>0，那么我们就把k的集合定为该函数的定义域，例如： f(x)=x，当k=0时， x=-1，函数没有定义，那么我们就把-1定为函数的定义域，这种方法叫做换元法。

例如f(x)=ax+b，当k=0时，函数为f(x)=x，当k=1时，函数为f(x)=2x+b，当k=2时，函数为f(x)=3x+b，当k=3时，函数为f(x)=4x+b。

6。

原函数的极限与函数的极限的定义：函数的极限就是自变量趋向某个值时，因变量也随之趋向该值的过程，但函数的极限与原函数无关，例如y=f(x)dx=f(x+u)dx=x+u(x-u)，当u=0时， y=f(x)，所以函数的极限也是自变量趋于0时，因变量也趋于0，但它们却不是同一个量。

函数极限的求法是利用微积分基本定理中的极限法则来确定的。

函数极限的定义，简洁、直观，并且完全符合函数单调性的要求，常被用来证明极限的存在性。

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