高一数学竞赛练习卷七

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数学竞赛试题高一及答案

数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。

答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。

答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。

答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。

证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。

因此，该三角形为直角三角形。

2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。

解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。

高一数学竞赛试题

高一数学竞赛试题一、选择题1. （5分）若一个等差数列的首项为3，公差为4，第10项为多少？A. 37B. 35C. 43D. 412. （5分）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(2)的值。

A. 0B. 2C. 4D. 83. （5分）在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(-2,-1)之间的距离是多少？A. 2√5B. 3√2C. 5D. √104. （5分）若一个圆的半径为5，圆心在坐标轴上，且圆上有一点P(3,4)，则这个圆的方程是什么？A. (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25B. (x-3)^2 + (y+4)^2 = 25C. (x+3)^2 + (y-4)^2 = 25D. (x+3)^2 + (y+4)^2 = 255. （5分）已知一个等比数列的前三项分别为2, 6, 18，这个等比数列的第5项是多少？A. 54B. 108C. 216D. 486二、填空题6. （5分）若一个等差数列的前5项和为50，公差为2，首项为_______。

7. （5分）在直角坐标系中，直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为_______。

8. （5分）一个圆的周长为20π，那么这个圆的面积是_______。

9. （5分）若函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|，求g(2)的值，结果为_______。

10. （5分）已知一个等比数列的前三项和为30，公比为3，那么第一项是_______。

三、解答题11. （15分）解方程：\( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} =\frac{1}{x-3} \)12. （15分）已知一个等差数列的前10项和为110，公差为5，求首项a1。

13. （15分）在平面直角坐标系中，点A(1,2)、点B(5,6)和点C(3,-1)构成一个三角形ABC，请计算这个三角形的面积。

14. （15分）证明：若n是正整数，且n^2 - 3n + 2能被4整除，则n也能被4整除。

湖北高一高中数学竞赛测试带答案解析

湖北高一高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.把函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的橫坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为（）A．B．C．D．2.已知，则的值为（）A．B．－C．D．－3.函数在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（）A． B．C D．4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．5.各项均为正数的等比数列的前项和记为（）A．150B．-200C．150或-200D．-50或4006.已知数列的首项，且，则为（）A．7B．15C．30D．317.用火柴棒摆“金鱼”，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．B．C．D．．8.设等差数列中首项为公差为,且从第5项开始是正数，则公差的范围是( ).A ．B ．C ．D ．9.中，角所对的边分别是，若角依次成等差数列，且则等于（）. A ．B ．C ．D ．10.在的对边分别为，若成等差数列,则（）. A ．B ．C ．D ．二、填空题1.给出下面命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴；⑤在区间上的最小值是－2，最大值是，其中正确命题的序号是．2.已知，若，化简______________．3.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a, b, c ，若△ABC 的面积为 S = a 2－(b －c)2，则= .4.已知数列的前项和，则此数列的通项公式为5.若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，c=2a ，则cosB 的值为．6.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1，S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为．7.已知函数f (x )＝s1n2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，]上的最大值为3，则（1）m ＝；（2）当f (x )在[a ，b ]上至少含有20个零点时，b －a 的最小值为．三、解答题1.在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列．(1)若，求边c 的值； (2)设，求t 的最大值．2.已知向量，（1）求；（2）若的最小值是，求实数的值．3.已知数列{an}的前n 项和，（1）求通项公式an ；（2）令，求数列{bn}前n 项的和Tn.4.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、.(1)求数列的通项公式;(2)数列的前n项和为,求证:数列是等比数列.湖北高一高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.把函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的橫坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】向右平移个单位，函数解析式为=，横坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为.【考点】三角函数的图形变换.2.已知，则的值为（）A．B．－C．D．－【答案】A【解析】，=====.【考点】诱导公式.3.函数在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（）A． B．C D．【答案】B【解析】由图象最高点可知，，则，.原函数化为，图象过，则.可得 .【考点】的图像与系数的关系.4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.5.各项均为正数的等比数列的前项和记为（）A．150B．-200C．150或-200D．-50或400【答案】A【解析】由等比数列的前项和公式，，，由两式解得，，.【考点】等比数列的前项和.6.已知数列的首项，且，则为（）A．7B．15C．30D．31【答案】D【解析】由两边同加1，可得，，则是以2为首项，以2 为公比的等比数列.则，所以，.【考点】构造法求数列的通项公式.7.用火柴棒摆“金鱼”，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．B．C．D．．【答案】D【解析】第一个需8根，第二个需8+6=14（根），第三个8+6+6=20（根），需要的火柴棒根数呈等差数列，首项为8，公差为6，则第个需（根）.【考点】等差数列的通项公式.8.设等差数列中首项为公差为,且从第5项开始是正数，则公差的范围是( ).A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知则.则.所以公差的范围是.【考点】等差数列的通项公式.9.中，角所对的边分别是，若角依次成等差数列，且则等于（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】角依次成等差数列,则，所以，且.【考点】等差数列，三角形内角和，三角形面积公式.10.在的对边分别为，若成等差数列,则（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可得，由正弦定理可得，即，则，B=.【考点】正弦定理.二、填空题1.给出下面命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴；⑤在区间上的最小值是－2，最大值是，其中正确命题的序号是．【答案】①④【解析】①=为奇函数；②，最大值；③令,，，但；④对称轴可由，求得，也满足；⑤在区间上的最大值为2.【考点】三角函数的性质.2.已知，若，化简 ______________．【答案】【解析】，，又，则，所以【考点】三角恒等变形，三角函数的性质.3.设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a, b, c，若△ABC的面积为S = a2－(b－c)2，则= .【答案】4【解析】,可化为，又，代入可得，所以=.【考点】余弦定理.4.已知数列的前项和，则此数列的通项公式为【答案】【解析】当时，，当时，，上式不成立，则可得通项公式.【考点】由前n 项和公式求通项公式.5.若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，c=2a ，则cosB 的值为．【答案】【解析】由题可得，又c=2a ，所以.考点:等比数列的概念，余弦定理.6.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1，S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为．【答案】【解析】由题可知，且，据等比数列的前ｎ项和公式可得,解之.【考点】等比数列的前ｎ项和公式，等差数列的定义.7.已知函数f (x )＝s1n2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，]上的最大值为3，则（1）m ＝；（2）当f (x )在[a ，b ]上至少含有20个零点时，b －a 的最小值为．【答案】（1）3 （2）【解析】（1）,在区间[0，]上的函数值范围为，又最大值为3，刚.(2)原函数周期，与函数在每个周期内有两个零点，结合图像，b－a 的最小值为【考点】二倍角公式，辅助角公式，的图角与性质.三、解答题1.在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列．(1)若，求边c 的值； (2)设，求t 的最大值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由三内角成等差可求，再利用余弦定理可求c;(2)由，可将转化为，再由A 范围求出最值.试题解析：解：（1）因为角成等差数列，所以，因为，所以. 2分因为，，,所以.所以或(舍去)． 6分（2）因为，所以9分因为，所以，所以当，即时，有最大值. 12分【考点】等差数列，余弦定理，的性质.2.已知向量，（1）求；（2）若的最小值是，求实数的值．【答案】（1）,=2cosx（2）【解析】（1）由向量的坐标运算，利用公式化简即可；（2）原函数由向量坐标运算可化为即又最小值，则结合二次函数最值可求得. 试题解析：解：（1）==，∵，∴∴=2cosx. 6分（2）由（1）得即∵，∴时，当且仅当取得最小值－1，这与已知矛盾．时，当且仅当取最小值由已知得，解得时，当且仅当取得最小值由已知得，解得，这与相矛盾．综上所述，为所求． 12分【考点】向量的坐标运算，二次函数求最值，函数与方程的数学思想，分类讨论的数学思想.3.已知数列{an}的前n项和，（1）求通项公式an；（2）令，求数列{bn}前n项的和Tn.【答案】(1);（2）.【解析】试题解析：解：(1)当时，.又，也满足上式，所以（2），所以，，两式相减，得所以【考点】数列的通项公式的求法，错位相减法求前n项和公式，等比数列前n项和公式.4.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、.(1)求数列的通项公式;(2)数列的前n项和为,求证:数列是等比数列.【答案】（1）(2)证明见解析.【解析】（1）设成等差数列的三个正数分别为,可得，又成等比，可得方程，则等比数列的三项进一步求公比,可得通项公式.(2)等比数列前n 项和为,由可知数列是等比数列.试题解析：解:(1)设成等差数列的三个正数分别为依题意,得所以中的依次为依题意,有(舍去)故的第3项为5,公比为2.由所以是以为首项,2为以比的等比数列,其通项公式为 6分(2)数列的前项和,即所以所以，数列是等比数列. 12分【考点】等差数列定义，等比数列的定义，等比数列的前n项和公式.。

数学竞赛高一试题及答案

数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。

4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。

三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。

6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。

四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。

五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。

如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。

10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。

答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。

高一全国数学竞赛试题

高一全国数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共10分）1. 下列哪个数不是有理数？- A. π- B. √2- C. 0.33333...（无限循环小数）- D. -1/32. 如果一个函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在这个区间上f(x)的值域为[c, d]，那么下列哪个选项是正确的？- A. f(a) = c- B. f(b) = d- C. f(a) ≤ c- D. f(x)在[a, b]上存在最大值和最小值二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。

2. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是____。

3. 一个圆的半径为5，求该圆的面积。

三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

2. 解不等式：|x + 2| + |x - 3| ≥ 5。

四、综合题（每题25分，共50分）1. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为c元，售价为p元。

工厂每月固定成本为F元，每月生产x件产品。

求工厂的月利润函数，并讨论其增减性。

2. 在平面直角坐标系中，已知点A(-1, 2)和点B(4, -1)，求直线AB的方程，并求出该直线与x轴和y轴的交点坐标。

五、附加题（10分）1. 一个数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_1 = 1，且对于所有n > 1，有a_n = 1/2(a_{n-1} + S_{n-1})。

求证：数列{a_n}是等差数列。

结束语数学竞赛不仅是一场智力的较量，更是一次思维的锻炼。

希望同学们能够通过练习这些题目，提高自己的数学素养和解题能力。

预祝大家在数学竞赛中取得优异的成绩！。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。

9. 一个正六边形的内角和为 _______。

10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。

11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。

三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。

13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。

高一数学竞赛选拔试卷

高一数学竞赛选拔试卷一、填空题1．已知集合{|(2)(6)3,,07}A x x x x Z x =--≥∈≤≤，则A 的非空子集的个数为 2．函数741)(2+++=x x x x f 的值域为 3．在直角坐标平面内，曲线|1||1|||3x x y -+++=围成的图形的面积是 1{|3}2A B x x ⋂=<≤，则点(,)a b 在直角坐标平面aOb 中的轨迹方程是 5．函数122010()1232011x x x x f x x x x x +++=++++++++的图象的对称中心为 6．设n 是小于100的正整数，且满足211(1)35n n -+为整数，则符合条件的所有正整数n 的和为． 7.已知不等式组2215,3752x x ⎧++≥⎪⎪⎨⎪++≤⎪⎩有唯一解，则实数a = 8.已知{,,,,},{,,},A B C a b c d e A B a b c c A B C ⋃⋃=⋂=∈⋂⋂，则符合上述条件的{,,}A B C 共有组 9．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=.若对任意R x ∈，有)()1(x f x f ≤-恒成立，则实数a 的取值范围为10．设[]x 表示不超过x 的最大整数，则201310201322k k k +=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑= 11．已知函数424)42()(24224+++-++=x x x k k x x f 的最小值是0，则非零实数k 的值是 12．已知方程20x ax b -+=的两个不等实根1x 、2x 满足3322331212121211122672()0333x x x x x x x x a b +--+++=+≠.则223a b ab a +--的值为 . 13.如果关于x 的不等式|||||1|x a x x +<++的解集是R ，则实数a 的取值范围是14．当||1x ≤时，不等式2210px qx p +-+≥恒成立，则p q +的最大值为二、解答题15．已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13）,且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存有这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存有，求出这样的点的坐标；如果不存有，请说明理由.16．已知函数x xa x f -=)(，对任意(0,1)x ∈，有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，求实数a 的取值范围.17．如图，在ABC △中，90B ∠=︒，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点P ，连接PC 、PE 、PF 、FD 、ED 。

高一数学竞赛试题

高一数学竞赛试题一、单选题1．若集合A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x |x 2＋2x <0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1}B ．{－1，0}C ．{－2，－1，0}D ．{－1，0，1} 2．对于任意0a >且1a ≠，函数()log (1)3a f x x =-+的图象必经过点（） A ．（4，2） B ．（2，4） C ．（2，3） D ．（3，2） 3．在ABC 中､角A ，B 均为锐角，cos sin A B >，则C ∠是（）A ．直角B ．锐角C ．钝角D ．不确定4．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 5．下列说法正确的是（）A ．若0a b >>，则b b m a a m+<+ B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b >>，则11a b b a +>+ D ．若,R a b ∈，则2a b +6．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A ．B ．C ．D ． 7．已知0.22a -=，ln3b =，0.2log 3c =，则（）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 8．若关于x 的方程(||)1x x a +=有三个不同的实数解，则实数a 的可能取值（） A ．－5B ．－2C ．2D ．3二、多选题9．下列命题正确的是( )A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan α≥0，则k π≤α<π2 ＋k π(k ∈Z )C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α 10．已知函数)123f x =，则（） A ．()17f = B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258- D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 11．命题“x R ∀∈，则2x <”的一个必要不充分条件是（）A ．1x <B ．3x <C ．3x >D ．5x ≤12．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则下列说法正确的是（）A ．41a b +的最小值为9B ．222a b +的最小值为23CD三、填空题 13.函数()f x =______.14． 3log 5lg5lg321-+=____________ 15．223(8)--⨯ __． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．四、解答题17．已知集合{}1A x x =≥，集合{}33,B x a x a a R =-≤≤+∈.（1）当4a =时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.18．已知α为第三象限角，且3sin cos tan()22()sin tan(2)2f ππαααπαπαπα⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若()f α=，求cos()πα+的值.19．已知函数2()21f x x ax =+-，[1,1]x ∈-.（1）若12a =，求函数()f x 的最值；（2）若a ∈R ，记函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 关于a 的函数解析式.20．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件（025x <≤）并全部销售完，每千件的销售收入为()R x （单位：万元），且21108(010),3()17557(1025).x x R x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-++<≤⎪⎩（1）写出年利润()f x （单位：万元）关于年产量x （单位：千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）21．已知函数()y f x =的图像与()log (0a g x x a =>，且1)a ≠的图像关于x 轴对称，且()g x 的图像过点(9,2).(1)求函数()f x 的解析式；(2)若(31)(5)f x f x ->-+成立，求实数x 的取值范围.22．已知函数f(x)＝log a(2＋3x)－log a(2－3x)(a>0，a≠1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)当0<a<1时，求关于x的不等式f(x)≥0的解集．。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。

答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。

答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。

如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。

答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。

首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。

设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。

可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。

对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。

同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题一、猜一猜：（每小题2分共16分）1.司药（打一数学名词）——配方2.招收演员（打一数学名词）——补角3.搬来数一数（打一数学名词）——运算4.你盼着我，我盼着你（打一数学名词）——相等5.北（打一数学名词）——反比6.从后面算起（打一数学名词）——倒数7.小小的房子（打一数学名词）——区间8.完全合算（打一数学名词）——绝对值二、试一试：（每小题4分共8分）1.把12、18、7、6、11分别填入下面□中，使算式成立。

□+□=□=□+□12+6=18=7+112.按规律填数1、6、7、12、13、18、( 19 )、( 24 )、( 25 )三、画一画：（6分）24个人排成6列，要求5个人为一列，你知道应该怎样来排列吗? (一个六边形)四、脑筋急转弯：（每小题4分共20分）1.桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，不久又一阵风吹灭了2根，最后桌子上还剩几根蜡烛呢解答：5根2.一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块卖给另外一个人。

问他赚了多少？答案：2元3.一根绳子两个头，三根半绳子有几个头?解：8个头，(半根绳子也是两个头)4.一栋住宅楼，爷爷从一楼走到三楼要6分钟，现在要到6楼，要走多少分钟?答：15分钟5.如果有5只猫，同时吃5条鱼，需要5分钟时间才吃完。

按同样的速度，100只猫同时吃掉100条鱼，需要( )分钟时间。

解：5分钟6.100个包子，100个人吃，1个大人吃3个，3个小孩吃1个，多少个大人和多少小孩刚好能吃完？解答：25个大人，75个小孩五、算一算：（每小题5分共25分）1. 兄弟共有45元钱，如果老大增加2元钱，老二减少2元钱，老三增加到原来的2倍，老四减少到原来的1/2，这时候四人的钱同样多，原来各有多少钱?解：老大8 老二12 老三5 老四202. 幼儿园新买回一批小玩具。

如果按每组10个分，则少了2个;如果按每组12个分，则刚好分完，但却少分一组。

上海高一高中数学竞赛题目

上海高一高中数学竞赛题目第一题：函数的性质及运算1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x + 2，求函数 f(x) 的单调递增区间和单调递减区间。

解析：为了确定函数 f(x) 的单调性，我们需要求出 f'(x) 的符号。

首先求出 f'(x)，然后我们将 f'(x) = 0 的解代入 f(x)，再根据求出的f'(x) 的符号表，确定 f(x) 的单调性。

计算 f'(x) 得到 f'(x) = 3x^2 - 3。

令 f'(x) = 0，解得 x = 1 或 x = -1。

将 x = -1 代入 f(x)，得到 f(-1) = -2，将 x = 1 代入 f(x)，得到 f(1) = 0。

因此，我们得到以下符号表：x | -∞ | -1 | 1 | +∞f'(x) | - | + | - | +根据符号表，我们可以得出以下结论：1. 当 x < -1 时，f'(x) < 0，即 f(x) 在 (-∞, -1) 区间是单调递减的。

2. 当 -1 < x < 1 时，f'(x) > 0，即 f(x) 在 (-1, 1) 区间是单调递增的。

3. 当 x > 1 时，f'(x) < 0，即 f(x) 在(1, +∞) 区间是单调递减的。

综上所述，函数 f(x) 的单调递增区间为 ( -1, 1 )，单调递减区间为( -∞, -1 ) 和( 1, +∞ )。

第二题：二次函数与一元二次方程2. 已知二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的图像经过点 P (1, 2) 和 Q (-1, 6)，且在 x = 2 处的切线与 x 轴平行。

求函数 f(x) 的解析式。

解析：由题意可知，点 P (1, 2) 和 Q (-1, 6) 在二次函数的图像上，并且在 x = 2 处的切线与 x 轴平行。

高一数学竞赛试题

高一数学竞赛试题姓名：班级：得分：一、选择题（本大题共15小题，每小题分，共分）1、设全集U={2，3，a 2+2a-3}，A={|a+1|，2}，C U A={5}，则a 的值为（）A 、2B 、-3或1C 、-4D 、-4或22、已知函数224)(2-+-=x x x f ，则它是（）A ．奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数3、设x=32-，则x 3-3x 2-3x+2=( )A 、0B 、1C 、2D 、34、设A={1，2}，则从A 到A 的映射中满足f[f(x)]=f(x)的个数是（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、方程01379=++--+x x x 的实根个数（）A 、0B 、1C 、2D 、至少两个6．若关于ｘ的方程ｋcos x ＋cosarc 4π＝0有实数解，且ｘ属于第三象限，则ｋ的取值范围是（）．Ａ．ｋ＜2 Ｂ．ｋ≥－cos arc （4π）Ｃ．4π＜ｋ＜2π Ｄ．ｋ＞cos arc （4π）7、设函数y=f(x)对于一切实数x 都满足f(3+x)=f(3-x), 且方程f(x)=0恰有6个不同的实根，则这6个根之和为（）A ．18B 、12C 、9D 、08、对于任意实数x ，设函数是2-x 2和x 中较小者，那么f(x)的最大值为（）A ． - 2B 、-1C 、1D 、29、设函数f （x ）的定义域为R +，且对于任何正实数x 、y 都有f （xy ）=f （x ）+f （y ），若f （8）=6，则f （2）=（）A 、1；B 、2；C 、－1；D 、210、设有三个函数，第一个函数y=f （x ），第二个函数是第一个函数的反函数，第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是：（）A 、y=－f （x ）；B 、y= )(1x f--； C 、y=);(x f -- Ｄ、ｙ＝)(1x f---11、已知a －b=3,那么a 3－b 3－9ab 的值是（）A 、3B 、 9C 、 27D 、8112、若函数x x y ωωcos sin +=的图象关于直线12π-=x 对称,则ω可能的值为（）A 、-3B 、-1C 、 1D 、 2 13、已知函数)(x f y =的图象关于原点对称,当0<x 时=)(x f 2sin 2+-x x ,那么当0>x 时函数)(x f 的解析式为（）A 、2sin )(2---=x x x fB 、 2sin )(2-+=x x x fC 、2sin )(2-+-=x x x fD 、 2sin )(2++=x x x f14、在ABC ∆中，下列几个命题：（1）B A B A sin sin >⇔> （2）B A B A cos cos >⇔>（3）C B A ,,成等差数列3π=⇔B （4）ABC ∆中CB A ,,的对边c b a ,,成等差数列BC A sin 2sin sin =+⇔ 中正确命题的序号为（）A 、 1B 、 2C 、3D 、415、对于任意实数x ,下列不等式中恒成立的是（）A 、221221log )1(log x x >+ B 、x x21222>+C 、x x 332>+D 、22>+-x x 二、填空题（本大题共4小题，每小题分，共分）1、数列{}n a ，n a >0，*1,2,n n nn N a S a ∈+=则n a = 。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案题一：某数列的前n项和为Sn，已知Sn=(2n+1)(n+2)，求该数列的通项表达式。

解答一：设该数列的通项为an，则该数列的前n项和可表示为Sn=∑an。

根据已知得，Sn=(2n+1)(n+2)。

我们可以尝试寻找数列项an之间的关系，进而求得通项表达式。

由于Sn是前n项和，所以我们可以利用数学归纳法得到两个基础式子：当n=1时，S1=∑a1，代入已知条件得到S1=(3)(2)=6；当n=2时，S2=∑(a1+a2)，代入已知条件得到S2=(5)(4)=20。

通过观察可以发现，S2=2×S1+8，这是一个重要的线索。

我们可以推测，Sn可能与Sn-1之间存在一种类似的关系，即Sn=2×Sn-1+C，其中C为常数。

接下来，我们来进行数学归纳法的假设和证明：假设Sn=2×Sn-1+C成立，即前n项和Sn与前n-1项和Sn-1之间存在关系。

则我们可以推导得到Sn+1=2×Sn+C'，其中C'为常数。

根据已知条件进行计算：Sn+1=(2(n+1)+1)(n+1+2)=(2n+3)(n+3)=2n²+9n+9；由假设得，Sn=2×Sn-1+C，带入Sn+1的计算结果，得到Sn+1=2(2×Sn-1+C)+C'=4×Sn-1+3C+C'，其中3C+C'为新的常数。

比较Sn+1和Sn的关系，可得到4×Sn-1+3C+C'=2n²+9n+9，由此可以推断，3C+C'=9，即C'=9-3C。

综上所述，我们已经推导出两个重要的关系式：Sn=2×Sn-1+CC'=9-3C我们再通过计算已知条件的S1和S2进行迭代计算，得到：C=6，C'=9-3(6)=-9因此，该数列的通项表达式为an=2×an-1+6，其中a1=6。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. √3B. 0.33333（无限循环）C. πD. 1/32. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。

A. 4B. 6C. 8D. 103. 一个圆的半径为 5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 若 a + b + c = 6，且 a^2 + b^2 + c^2 = 14，求 ab + bc + ca 的值。

A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列的首项为 2，公差为 3，求第 10 项的值是__________。

6. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，求前 5 项的和是__________。

7. 若函数 g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 的导数是 g'(x)，则 g'(1) 的值是 __________。

8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3、4、5，求其对角线的长度（保留根号）是 __________。

三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数 n，都有 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。

10. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。

11. 已知函数 h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。

12. 已知一个三角形的三个顶点分别为 A(1, 2)，B(-1, -1)，C(3, 4)，求其面积。

答案一、选择题1. 正确答案：C（π 是无理数）2. 正确答案：A（f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4）3. 正确答案：B（面积= πr^2 = 25π）4. 正确答案：B（根据柯西-施瓦茨不等式）二、填空题5. 第 10 项的值是 2 + 9*(10-1) = 296. 前 5 项的和是 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 1267. g'(x) = 3x^2 - 4x + 3，g'(1) = 3 - 4 + 3 = 28. 对角线的长度是√(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50三、解答题9. 证明：根据调和级数的性质，我们知道 1/n^2 随着 n 的增大而减小，且 1/n^2 < 1/(n-1)^2，因此可以构造不等式 1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 - 1/n < 2。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为5，那么它的第n项可以表示为：A. 3 + 5(n-1)B. 3 + 5nC. 5 + 3(n-1)D. 5 + 3n2. 下列哪个分数可以化简为1/2？A. 3/6B. 5/10C. 7/14D. 9/183. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求f(x)的最小值。

A. -36B. -9C. 0D. 94. 若a, b, c是等比数列，且a + b + c = 0，那么b^2的值是：A. a^2 + c^2B. -a^2 - c^2C. acD. -ac5. 一个圆的半径是5cm，求这个圆的面积（圆周率取3.14）。

A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 200平方厘米D. 314平方厘米二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个等比数列的前三项分别是2, 6, 18，那么它的第四项是_______。

7. 函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|的最小值是_______。

8. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长（根据勾股定理）是_______。

9. 一个圆的周长是12π，那么这个圆的直径是_______。

三、解答题（每题10分，共60分）10. 已知等差数列的前n项和为S_n = n^2 + 2n，求这个等差数列的前三项。

11. 求解方程：\(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = 3\)。

12. 一个圆与直线y = 2x + 3相交于点P，圆心坐标为(1, 0)，且半径为2。

求点P的坐标。

13. 证明：若a, b, c, d是正整数，且满足a^2 + b^2 = c^2 + d^2，则a + b = c + d。

14. 一个等差数列的前10项和为110，且第10项是第2项的3倍，求这个等差数列的公差和首项。

高一数学竞赛答案一、选择题答案1. A2. D3. D4. B5. B二、填空题答案6. 547. 28. 59. 6三、解答题答案10. 首项为2，公差为4，前三项为2，6，10。

高中数学竞赛试题高一

高中数学竞赛试题高一一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.33333...（无限循环）D. -3/42. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若a, b, c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形4. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B的结果：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}5. 将一个圆分成四个扇形，每个扇形的圆心角为90°，那么这四个扇形的面积之和等于：A. 圆的面积B. 圆的面积的一半C. 圆的面积的四分之一D. 圆的面积的两倍6. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值：A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共20分）7. 计算(3x^2 - 5x + 2) / (x - 1)的余数是______。

8. 若sinα + cosα = √2/2，那么sin2α的值为______。

9. 已知点A(2,3)，B(-1,-2)，求线段AB的中点坐标为______。

10. 一个圆的半径为5，圆心到直线x + y - 6 = 0的距离为d，求d 的值为______。

三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。

12. 解不等式：|x - 1| + |x + 2| ≥ 4。

13. 已知函数f(x) = ln(x + 1) - x^2，求其在区间[0, 1]上的最大值和最小值。

四、附加题（10分）14. 一个不透明的袋子中有5个红球和3个白球，每次随机取出一个球，取出后不放回。

求第三次取出红球的概率。

高一奥数竞赛试题及答案

高一奥数竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若实数a、b满足a^2 + b^2 = 1，则下列不等式中恒成立的是（）。

A. a + b ≤ √2B. a + b ≥ √2C. a + b ≤ 1D. a + b ≥ 1答案：A解析：根据柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），对于任意实数a和b，有(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) ≥ (a + b)^2。

因为a^2 + b^2 = 1，所以1 × 2 ≥ (a + b)^2，即a + b ≤ √2。

2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f(-1)的值（）。

A. 3B. -3C. -1D. 1答案：A解析：将x = -1代入函数f(x) = x^3 - 3x + 1，得到f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3。

3. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a5的值（）。

A. 15B. 31C. 63D. 127答案：B解析：根据递推关系an+1 = 2an + 1，可以逐步计算得到：a2 = 2a1 + 1 = 2 × 1 + 1 = 3a3 = 2a2 + 1 = 2 × 3 + 1 = 7a4 = 2a3 + 1 = 2 × 7 + 1 = 15a5 = 2a4 + 1 = 2 × 15 + 1 = 314. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，求角C的大小（）。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：D解析：根据勾股定理，若a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC为直角三角形，且角C为直角，即C = 90°。

二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。