2015届东北师大附属中学高三数学一轮复习学案《轨迹与轨迹方程》B
吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习(知识
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮复习（知识梳理+题型探究+方法提升+课后作业）函数的概念及表示导学案 文知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页）1、 函数（1）、函数的定义：（2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式：自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法2、 映射映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。
4、函数解析式求法求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．二、题型探究探究一：求函数的定义域1. [2014·山东卷] 3．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( ) A ．(0，2) B ．(0，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)[解析]3．C 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.2．函数y=253x x --的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为________. 解析:∵y≤0或y≥4,∴253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x≤72. 答案: 52≤x<3或3<x≤72. 探究二：求函数的解析式 例2．（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；三、方法提升1、判断一个对应是否为映射关键在于是否“取值任意性，成象唯一性；判断是否为函数“一看是否为映射，二看A ，B 是否为非空的数集”2、函数是中学最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数的三要素基本内容与方法，由给定的函数的解析式求其定义域是这类问题的代表，实际上是求使函数有意义的x 有取值范围；求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．四、 反思感悟五、课时作业函数的解析式与定义域一、选择题1.函数y=322--x x +log 2(x+2)的定义域为（ ）A.（-∞,-1）∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪［3,+∞）C.(-2,-1]D.(-2,-1］∪［3,+∞) 答案：D解析：⎩⎨⎧->-≤⇒⎩⎨⎧>+≥--,2,1,02,0322x x x x x 或x ≥3⇒-2<x ≤-1或x ≥3. 2.若f(x+1)=21f(x),则下列函数中f(x)为（ ） A.2x B.x+21 C.2-x D.21log x 答案：C3.g(x)=1-2x,f ［g(x)］=221x x -(x≠0),则f(21)等于（ ） A.1 B.3 C.15 D.30 答案：C解析：令g(x)=21,则x=41,∴f(21)=22)41()41(1-=15. 解析：C 、D 表示二次函数故首先排除.又∵f(-1)=0,故排除A ，故选B.二、填空题5.函数f(x)=xx -++211的定义域为_______________. 答案：［-1，2）∪（2，+∞）解析：∵⎩⎨⎧≠-≥+.02,01x x ∴x ≥-1且x ≠2. 6.设函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),函数g(x)=-x 2+bx+c 且f(2+2)-f(2+1)=21,g(x)的图象过点A （4，-5）及B （-2，-5），则a=_____;函数f ［g(x)］的定义域为_______________.答案：2 , -1<x<3解析：log a (2+2)-log a (2+1)=21⇒log a 2=21,a=2.由g(4)=g(-2)=-5,知g(x)+5=-(x-4)(x+2),故⎩⎨⎧==.3,2c b ∴f ［g(x)］=log 2(-x 2+2x+3),由-x 2+2x+3>0，得-1<x<3.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）7.已知函数f(x)=34723++-ax ax x 的定义域为R ,求a 的取值范围. 解析：当a=0时，函数定义域为R .当a ≠0时，要使ax 2+4ax+3≠0对一切x ∈R 恒成立，其充要条件是Δ<0,即16a 2-12a<0,∴0<a<43.因此a 的取值范围为［0，43）. 13.如下图，用长为l 的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框，中间有2根横档，要使透光效果最好，应如何设计?解析：设半圆的半径为x,则窗户的面积y=21πx 2+2x ·)26(26ππ+-=--x x l x 2+l x, 由⎪⎩⎪⎨⎧>-->,026,0x x l x π解得0<x<π+6l .∴y=-(6+2π)x 2+lx(0<x<π+6l ). 当x=π+12l 时y 有最大值.这时半圆的直径为π+122l ,大矩形的另一边长为π+123l . 8.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t 为参数).（1）写出函数f(x)的定义域和值域；（2）当x ∈［0，1］时，求函数g(x)解析式中参数t 的取值范围;（3）当x ∈［0，1］时，如果f(x)≤g(x),求参数t 的取值范围.∴U=m-2(m 2-1)=-2m 2+m+2=-2(m-41)2+81+2.∴当m=1(x=0)时，U max =1.∴t ≥1.。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习教案-参数方程
一、知识梳理：(阅读教材:选修4-4第21页至39页) 1、曲线的参数方程的概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程设圆O （O 为坐标原点）的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数。
这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。
圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数。
4．椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b+=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）。
吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习(知识
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮复习（知识梳理+题型探究+方法提升+课后作业）函数的奇偶性导学案文一、知识梳理：（阅读教材必修1第33页—第36页）1、函数的奇偶性定义：2、利用定义判断函数奇偶性的步骤（1）首先确定函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称；（2）确定与的关系；（3）作出相应结论3、奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含0，则（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；（7）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：4、一些重要类型的奇偶函数（1）、f(x)= (a>0,a) 为偶函数;f(x)= (a>0,a) 为奇函数;（2）、f(x)=（3）、f(x)=（4）、f(x)=x+（5）、f(x)=g(|x|)为偶函数;二、题型探究[探究一]：判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性（1）、[2014·重庆卷] 4．下列函数为偶函数的是( )A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x[解析] 4．DA中，f(－x)＝－x－1，f(x)为非奇非偶函数；B中，f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，f(x)为非奇非偶函数；C中，f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数；D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，f(x)为偶函数．故选D.（2）、[2014·广东卷] 5．下列函数为奇函数的是( )A．2x－12xB．x3sin x C．2cos x＋1 D．x2＋2x例2:函数f(x)的定义域为R，且对任意的a、b，f(a+b) = f(a)+f(b),判断f(x)的奇偶性，并证明。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习教案--用样本估计总体
一、知识梳理：(必修3教材65-83) 1．作频率分布直方图的步骤：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）； （2）决定组距与组数； （3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×组距频率=频率。
2．频率分布折线图和总体密度曲线折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。
3．用茎叶图刻画数据的两个优点, (1)所有数据都可以从数据中得到;(2)茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况,但当样本数据较多或数据较大时,茎叶图的效果就不是很好了.4.平均数、众数、中位数、标准差和方差（1）、平均数：平均数是用来表示数据的平均水平。
一般用来表示，计算公式： （2）、众数：一组数据中出现次数最多的数。
（3）、中位数：将数据从小到大的顺序排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数。
若有偶数个数，则中间两个数的平均数是中位数。
（4）、标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，用来刻画数据的分散程度，一般用s 来表示，计算公式： ，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。
（5）方差：方差是标准差的平方，它也可以用来刻画数据的分散程度，计算公式： 。
5．有样本频率分布估计总体分布通常分为两种情况：（1）、当总体中的个体取不同值很少时，其频率分布表由所取样本的不同值及其相应频率表示，就是相应的条形图；（2）、当总体中的个体不同值很多时，就用频率分布直方图来表示相应的样本的频率分布。
6、利用频率分布直方图来估计众数、中位数、平均数在频率分布直方图中，众数的估计值．．．．．．是其中最高矩形底边中点的横坐标；中位数．．．的左边和右边的直方图面积相等；平均数．．．的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 函数与定积分应用(2)学案 理
"吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习函数与定积分应用（2）学案理"探究7：讨论函数的单调性例8：设函数，试讨论函数的单调性(解析:注意讨论K的范围,注意函数的定义域)时，单调递增；时，单调递减；（，1）单调递增。
探究8：导数与函数的极值和最值例9：设函数，其中求函数的极大值和极小值。
（极大值0；极小值）例10：已知函数(1)、求的最小值；)（2）、若对所有的，都有，求实数a的取值范围。
(a)探究9：已知函数的极大值和最值，求参数的值或取值范围。
例11：函数R x x x x f ∈+-=,56)(3（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；(增区间：(-),(,)减区间为:();极大值:5+4极小值：5-4.（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.( 5-4)（Ⅲ）已知当(1,)x ∈+∞时，()f x ≥(1)k x - 恒成立，求实数k 的取值范围.K5[考题赏析]例12．已知函数2221()1ax a f x x -+=+()x R ∈，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 【分析】(I)解：当1a =时，224(),(2).51x f x f x ==+又2222222(1)2.2226'(),'(2).25(1)(1)x x x x f x f x x +--===-++所以，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 46(2),525y x -=--即625320.x y +-=(II)解：22222(1)2(21)'()(1)a x x ax a f x x +--+=+222()(1).(1)x a ax x --+=+ 由于0,a ≠以下分两种情况讨论.(1)当0a >时，令'()0,f x =得到121,.x x a a=-=当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在11x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.(2)当0a <时，令'()0,f x =得到121,x a x a==-.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间(),a -∞1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.函数()f x 在21x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 【考题赏析】例13．[2014·湖北卷] 22． π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；(2)求e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3； 由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3.综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.(3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(2)知，ln ππ<ln e e ，得πe <e π.故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小．由(1)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e，即ln x x <1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－eπ.①由①得，eln π>e ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e π>2.7×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，即eln π>3，亦即ln πe >ln e 3，所以e 3<πe.又由①得，3ln π>6－3eπ>6－e>π，即3ln π>π，所以e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π. 探究10．利用导数求和： ()121123n n S x x nx -=+++⋅⋅⋅+（0x ≠, *x N ∈）.()212323nn nn n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅+（*x N ∈）. 分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习教案-坐标系
一、知识梳理：(阅读教材:选修4-4第1页至20页)1. 平面直角坐标系(1) 平面直角坐标系的概念:在平面上,当取定两条互相垂直的直线交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系,它使平面上任一点P 与有序实数对(x,y)对应.(2) 平面直角坐标系的伸缩变换设点p(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换 的作用下,点p(x,y)对应到点(),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2. 极坐标系(1). 极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。
）(2)、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 逆时针转到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。
特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是 （10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()24P π，，圆心为直线3sin 3ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 【答案】解：∵圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点， ∴在3sin 3ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭中令=0θ，得1ρ=。
∴圆C 的圆心坐标为（1，0）。
∵圆C 经过点()24P π，，∴圆C 的半径为()2221212cos =14PC π=+-⨯⨯。
∴圆C 经过极点。
∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ。
【考点】直线和圆的极坐标方程。
【解析】根据圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C 经过点()24P π，求出圆C 的半径。
从而得到圆C 的极坐标方程。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习教案-空间向量及应用
一、知识梳理1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
2．向量运算和运算率b a AB OA OBb a OB OA BA)(R a加法交换率：.a b b a加法结合率：).()(c b a c b a数乘分配率：.)(b a b a说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。
共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数 使b ＝ a 注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝ a ，其中 是唯一确定的实数。
②判断定理：若存在唯一实数 ，使b ＝ a （a ≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a ）上）。
⑵对于确定的 和a ，b ＝ a 表示空间与a 平行或共线，长度为 | a |，当 >0时与a 同向，当 <0时与a反向的所有向量。
⑶若直线l ∥a ，l A ，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。
推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式a t ①其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习教案--抛物线
一、知识梳理：【阅读2-1第64-77页】 1. 抛物线的定义定义的理解:定点在直线上,轨迹是: . 2. 抛物线的标准方程及性质(见下表)标准方程图 形顶 点对称轴焦 点准 线离心率焦半径焦点弦公式()022>=p px yxyOFl()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2px -=1=e02x pPF += )(21x x p l ++= ()022>-=p pxyxyOFl()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p2p x =1=e02x pPF -=)(21x x p l +-=()022>=p py x()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2py -=1=e02y pPF +=)(21y y p l ++=()022>-=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2p y =1=e02y pPF -=)(21y y p l +-=3、焦半径公式=2px (p>0) ， M(,)为抛物线上任意一点。
F 为抛物线的焦点， |MF|=+（2）、n= , m=+=4、若抛物线过焦点的弦AB ，设A （）B （），分别是A 、B 在准线上的投影，直线AB 的倾斜角为 ，则有下列结论：（1）、|AB|=p++（2）、|AB|=( =2px (p>0), |AB|=( =2py (p>0))（3）、|AB|=( =2py (p>0))(通径是最短的焦点弦)（4）、= ,=-（5）、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|AB|=2p （6）、焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：=|AB||ON|=|OF|||=|OF|||（ON 表示原点到AB 的距离）（7）、以焦点弦为直径的圆与准线相切,以焦半径为直径的圆与坐标轴相切. （8）、过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上 5.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上。
以为例说明特例：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为在准线上．证明:当弦AB 过焦点F ，设()11,y x A 、()22,y x B 则过A 点的切线方程是：()11x x p y y += ① 过B 点的切线方程是：()22x x p y y += ②由①－②可得：()()2121x x p y y y -=- 即：()py y p y y y 2222121-⋅=-∴221y y y +=代入①式可得：px y y 221=⋅x=，即∵弦AB 过焦点弦，由焦点弦性质可知221p y y -=，∴交点P坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,221y y p ．结论延伸：切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论发散：当弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．6.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三高考理科一轮复习教案：简单的线性规划
简单的线性规划一、知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域；(直线定边界、选点定区域)一般地，若Ax+By+C>0,则当B>0时表示直线Ax+By+C=0的上方；当B<0时，表示直线Ax+By+C=0的下方.若Ax+By+C<0，与上述情况相反.2.线性规划(1)约束条件、线性约束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、y的约束条件，如果约束条件都是关于x、y的一次不等式，则约束条件又称为线性约束条件；(2)目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数.如果这个解析式是x、y的一次解析式，则目标函数又称为线性目标函数；(3)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题；(4)可行域：满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；(5)最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解.3.求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组,求最值.二、题型探究[探究一]：用二元一次不等式（组）表示平面区域。
例1.试画出不等式组所表示的平面区域。
（1）指出x,y的取值范围。
（2）平面区域内有多少个整点。
（3）求平面区域的面积。
【提示：在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一找出；若数目较大，则可分x=m逐条分段统计】例2：在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积A B.4 C.2 D.[探究二]：最值问题[题型三]：线性规划在实际问题中的应用例4．(2010·南通)某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知每生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；每生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？三、方法提升：1二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域2线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案四：课后反思： . .. 五：课时作业：1.求不等式｜x －1｜+｜y －1｜≤2表示的平面区域的面积分析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积 解：｜x －1｜+｜y －1｜≤2可化为114x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或112x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或112x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或110x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩ 其平面区域如图∴面积S =21×4×4=8 点评：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界2.某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50 n mi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去应该在同一天下午4至9点到达C 市设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；（2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元）， 那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?分析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围解：（1）依题意得v =y 50，w =x300，4≤v ≤20，30≤w ≤100 ∴3≤x ≤10，25≤y ≤225 ① 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在9至14个小时之间，即9≤x +y ≤14 ②因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）∵p =100+3·（5－x ）+2·（8－y ）， ∴3x +2y =131－p1410931492.5oyx设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x =10，y =4时，p 最小此时，v =125，w =30，p 的最小值为93元点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义3. 某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z 元，那么9106683604,7,x y x y x x N y y N+≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎨≤∈⎪⎪≤∈⎩ z =252x +160y ，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l 0：252x +160y =0，把直线l 向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y 轴上的截距最小观察图形，可见当直线252x +160y =t 经过点（2，5）时，满足上述要求此时，z =252x +160y 取得最小值，即x =2，y =5时，z min =252×2+160×5=1304 答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低点评：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f （x ，y ）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点4. 设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4624x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩求z 的最大值和最小值面解：由已知，变量,x y 满足的每个不等式都表示一个平区域，因此①所表示的区域为如图中的四边形ABCD∴当2z x y =+过点C 时，z 取最小值，当2z x y =+过点A时，z 取最大值即当3,1x y ==时，min 7z =，745x+4y=30x+y=9o y x当5,1x y ==时，max 11z =5. 某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付3000元的固定费用，它生产1千克糖果的成本是10元，而销售价是每千克15元，试问：每天应生产并销售多少糖果，才能使收支平衡，即它的盈亏平衡点是多少？令()()y x R x =，得30001015600.x x x +==得，即每天必须生产并销售600千克糖果，这条流水线才能做到盈亏平衡，从图中可以看出，当600x >时，()()R x y x >，表示有盈利，反之则表示亏本6.某人有楼房一幢，室内面积共180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他们只能筹8000元用于装修，且游客能住满客房，它应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？解：设应隔出大房间x 间和小房间y 间，则1815180x y +≤且10006008000x y +≤，,x y N ∈目标函数为540350z x y =⨯+⨯，作出约束条件可行域：根据目标函数200150z x y =+，作出一组平行线200150x y t +=当此线经过直线1815180x y +=和直线10006008000x y +=的交点2060(,)77C ， 此直线方程为130002001507x y +=， 1055oyx由于2060(,)77不是整数，所以经过整点（3，8）时，才是他们的最优解，同时经过整点(0,12)也是最优解即应隔大房间3间，小房间8间，或者隔大房间0间，小房间12间，所获利益最大如果考虑到不同客人的需要，应隔大房间3间，小房间8间实验班补充练习1下列命题中正确的是A 点（0，0）在区域x +y ≥0内B 点（0，0）在区域x +y +1<0内C 点（1，0）在区域y >2x 内D 点（0，1）在区域x －y +1>0内 解析：将（0，0）代入x +y ≥0，成立 答案：A2设动点坐标（x ，y ）满足（x －y +1）（x +y －4）≥0，x ≥3，则x 2+y 2的最小值为A 5B 10C 217D10解析：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10 答案：D3不等式组 2x －y +1≥0，x －2y －1≤0， x +y ≤1表示的平面区域为 A 在第一象限内的一个无界区域 B 等腰三角形及其内部 C 不包含第一象限内的点的一个有界区域 D 正三角形及其内部 答案：B4点（－2，t ）在直线2x －3y +6=0的上方，则t 的取值范围是______ 解析：（－2，t ）在2x －3y +6=0的上方，则2×（－2）－3t +6＜0，解得t ＞32 答案：t ＞325不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个 解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个 答案：36（x －1）2+（y －1）2=1是｜x －1｜+｜y －1｜≤1的__________条件 A 充分而不必要 B 必要而不充分C 充分且必要 D 既不充分也不必要答案：B分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值解：如图，连结点A 、B 、C ，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域 直线AB 的方程为x +2y －1=0，BC 及CA 的直线方程分别为x －y +2=0，2x +y －5=0 在△ABC 内取一点P （1，1），分别代入x +2y －1，x －y +2，2x +y －5 得x +2y －1>0，x －y +2>0，2x +y －5<0 因此所求区域的不等式组为x +2y －1≥0，x －y +2≥0，2x +y －5≤0作平行于直线3x －2y =0的直线系3x －2y =t （t 为参数），即平移直线y =23x ，观察图形可知：当直线y =23x －21t 过A （3，－1）时，纵截距－21t 最小此时t 最大，t max =3×3－2× （－1）=11；当直线y =23x －21t 经过点B （－1，1）时，纵截距－21t 最大，此时t 有最小值为t min = 3×（－1）－2×1=－5因此，函数z =3x －2y 在约束条件x +2y －1≥0，x －y +2≥0，2x +y －5≤0下的最大值为11，最小值为－5 9某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价05元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价04元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克）， 所需费用为S =05x +04y ，且x 、y 满足 6x +3y ≥8，4x +7y ≥10，x ≥0，y ≥0，由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少 10配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg 今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A 、B 两种药分别配x 、y 剂（x 、y ∈N ），则 x ≥1，y ≥1，3x +5y ≤20，5x +4y ≤25上述不等式组的解集是以直线x =1，y =1，3x +5y =20及5x +4y =25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．11某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资 金 单位产品所需资金（百元） 月资金供应量（百元）空调机 洗衣机 成 本 30 20 300 劳动力（工资） 5 10 110 单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少? 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，由题意有30x +20y ≤300，5x +10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x 、y 均为整数由图知直线y =－43x +81P 过M （4，9）时，纵截距最大这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元12实系数方程f （x ）=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12--a b 的值域； （2）（a －1）2+（b －2）2的值域； （3）a +b －3的值域。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 函数的图象学案 理
"吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习函数的图象学案理 "知识梳理：函数的图象是函数的直观表达，形象地显示了函数的性质，借助函数的图象，我们可以方便地研究函数的性质，加深对函数的理解和认识，而且函数的图象是运用“数形结合”思想解决一些综合问题的有力工具，它一方面能启发我们发现解题思路，另一方面能够简化解题过程。
（一）、作图象作函数的图象通常有以下两种办法：（1）、描点法：其步骤①、②、③、④、⑤、连线。
（2）、图象的变换法：主要有以下四种形式：①、平移变化：(②、对称变换：主要有：③、伸缩变换：主要有：④、翻折变换：主要有：（二）、识图象对于给定的函数的图象，要能从图象的左右上下分布范围、变化趋势，来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质；（三）、用图象函数的图象形象对显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题图径、获得问题结果的重要工具。
(2)若的图象关于直线x=m及x=n对称，则周期函数，2|m-n|是它的一个周期；(3)若的图象关于点（m，0）（n，0）对称，则周期函数，2|m-n|是它的一个周期。
二、题型探究探究一：应用函数的性质作函数的图象例1：作出下列函数的图象（1）、f(x)=|x+2|(x-1)（2）、 f(x)=|(3)、f(x)=(4)、f(x)=(5)、f(x)=sin|x|(6)、f(x)=|lnx|(7)、f(x)=ln|x+1|(8)、f(x)=||-3(9)、f(x)=(10)、f(x)=f(x)=(11)、f(x)=|x+1|+|x-1| f(x)= |x+1|-|x-1|(12)、f(x)=[x]([x]表示不超过x 的最大整数)探究二：利用数形结合的思想解题例2：【2014天津高考理第14题】已知函数()23f x x x =+，．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________．例3：函数的图象和函数的图象的交点的个数是（）（A）、1 （B）、2 （C）、3 （D）、4例4：函数f(x)=lo() (a>0,a)的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）（A）、（B）、（C）、（D）、例5：设函数y=f(x)的图象关于直线x=0及直线x=1对称，且x时，f(x)=，则=( )A、 B、 C、 D、例6：已知函数f(x)=,将y=f(x)的图象向左平移一个单位，再将图象所有的点横标坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象.(1)、求y=g(x)的定义域；（2）、令F(x)= f(x-1)- g(x)，求F(x)值域。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习教案--变量间的相关关系、统计案例
一、知识梳理：(必修3教材84-93、选修2-3，79-100)1．散点图：表示具有相关关系的两个变量组成一组数据，将各级数据在平面直角坐标系中描点，这种图形叫散点图。
2．两个变量的线性关系（1）正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，两个变量的这种相关关系称为正相关；（2）负相关：在散点图中，点散布在从右下角到左上角的区域，两个变量的这种相关关系称为正负相关；（3）线性相关关系，回归直线如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。
3．线性回归方程：（1）最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。
（2）线性回归方程方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x 1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n）的线性回归方程，其中b是回归方程斜率，a是截距，计算公式如下：,它主要用来估计和预测取值及变化趋势。
4．回归分析：通过散点图直观了解两个相关变量间的关系，然后通过最小二乘法建立回归模型，最后通过分析相关系数、随机误差评价回归模型的好坏，这就是回归分析的基本思想。
如果回归比较好地刻画了两个相关变量的关系，以自变量的某个值，就可以通过回归模型预测相应回归变量的值。
（1）相关系数：统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱，若相应于变量x的取值x i，变量y的观测值为y i （1），则两个变量的相关系数的计算公式为r= ，当r时，表明两具变量正相关，当r时，表明两个变量负相关，r的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，当r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常当r的绝对值大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关关系.（）（2）随机误差:①在线性回归模型:y=bx+a+e中,a,b为模型中的未知数,e是y与=bx+a之间的误差,通常e为随机变量,称为随机误差.②线性回归方程完整表达方式为:,随机误差e的方差越小,通过回归直线=bx+a预报真实值y的精确度越高.(3)残差分析:①残差:对于样本点（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n）而言,它们的随机误差为=-=--（）残差。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习教案-算法与程序框图
一、知识梳理：（必修3第1页-第51页）1.算法：可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤．2.算法中的程序和步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.3.算法具有概括性（能解决一类问题），确切性（每一步操作的内容和顺序必须是明确的），有穷性（必须在有限步内结束并返回一个结果），不唯一性（一个问题可以有多个算法，算法有优劣之分），普遍性（很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决）.4.程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。
构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。
输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
如下：1）、使用标准的图形符号。
2）、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3）、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4）、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
5）、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
5.几种重要的结构（1）顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
它是由若干个依次执行的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
见示意图和实例：AB 示意图输入n flag=1顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。
如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行B 框所指定的操作。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习教案-几何证明选讲
一、知识梳理 （一）、相似三角形的判定及有关性质 1．平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
（2）推论：①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2．平行线分线段成比例定理及推论（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
如图，若123////l l l ，则有：,,.AD AE AD AE DB ECAB AC DB EC AB AC ===注：把推论中的题设和结论交换之后，命题仍然成立。
3．相似三角形的判定及性质 （1）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
（2）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如图，若EF//BC ，则⊿AEF ∽⊿ABC 。
②判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。
③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
④判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
注：根据判定定理2，对于两等腰三角形，只需再添加一顶角或底角对应相等就可以了。
若两等腰三角形的一底角相等，则另一底角必然相等，由判定定理1即可判定其相似；若顶角对应相等，则它们的两底角也对应相等，由判定定理1即可判定；若一等腰三角形的顶角与另一等腰三角形的一底角对应相等，它们不一定相似。
（3）直角三角形相似的判定：①上述所有的任意三角形相似的判定皆适用于直角三角形。
②定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。
③定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
④定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 等比数列导学案 文
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习等比数列导学案文知识梳理：（阅读教材必修5第36页—45页）1、等比数列的定义: 。
说明:等比数列{}中, q；等比数列{}中，若q则各项符号相同，若，则各项的符号正负交替出现。
2、等比数列判断方法：①、定义法：②、等比中项法：=；③、c (c、q均0)；④=k（-1），q1，k。
3、等比数列通项公式及前n项和:通项公式: ;前n项和公式: ; 说明：（1）、知道，n，，，这五个量中任意三个，就可求出其余两个；（2）、===c，当q是不等于1的正数时，y=是一个指数函数，而y= c是指数型函数。
4、等比中项: ；5、等比数列常用的性质：（1）、{}是等比数列，则{}（p）；{}；{}；{}；{}；仍是等比数列。
（2）、；（3）、等和性：若m+n=p+q（m、n、p、q）则（4）、等比数列{}中，等距离抽出的子数列依然是等比数列，即，，，…为等比数列，公比为；（5）、片段和性质：若是等比数列的前n项和，且则，，，…成等比数列，公比为。
（6）、三个数成等比，可以设，a，aq （q为公比）（7）、单调性：，0时或，时，{}是增数列；，时或，0时，{}是减数列；0时，为摆动数列；当q=1时，为常数列。
二、题型探究[探究一]：已知等比数列的某些项，求某项例1：已知{}是等比数列，=2，=162，则；[探究二]：已知等比数列前n项和，求项数。
例2：（1）、已知，=93，=48，公比q=2，求n；（）（2）、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两项之和为37，中间两数之和为36，求这四个数。
[探究三]：求等比数列的前n项和例3：求等比数列1，2，4，8…中，从第5项到第10项的和。
例4：已知，最小，且+=66，+=128=126，求q,n.[探究四]：等比数列的性质例5：已知，=54，=60，求例6：已知满足=（a为常数，且a，a1）（1）、求的通项公式；(2)、设=+1，若{}是等比数列，求a 。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三文科数学一轮复习：抛物线[1]
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抛物线［1］（教案)一、 知识梳理:1.抛物线的定义定义的理解:定点在直线上,轨迹是: 。
2.抛物线的标准方程及性质(见下表）标准方程图 形顶 点对称轴 焦 点准 线离心率焦半径 焦点弦公式()022>=p pxyxyOFl()0,0x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p2px -=1=e 02x pPF +=)(21x x p l ++= ()022>-=p pxyxyOFl()0,0x 轴 ⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p2p x =1=e02x p PF -=)(21x x p l +-=()022>=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫⎝⎛2,0p2py -=1=e02y pPF +=)(21y y p l ++=()022>-=p pyx()0,0y轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =1=e02y p PF -=)(21y y p l +-=3、焦半径公式（1）y 2=2px (p>0） ， M （x 0, y 0） 为抛物线上任意一点。
F 为抛物线的焦点， |MF ｜=P 2+x 0（2)、n=p 1+cosθ , m=p 1−cosθ 1m + 1n = 2p4、若抛物线y 2=2px （p >0）过焦点的弦AB ，设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2)，则有下列结论:(1)、｜AB ｜=p+x 1+x 2(2）、|AB|=2p sin 2θ( y 2=2px (p 〉0), |AB|=2p cos 2θ（ x 2=2py （p>0)) （3)、｜AB|=2p cos 2θ（ x 2=2py （p 〉0))(通径是最短的焦点弦）（4）、x 1x 2=p 24 , y 1y 2=—p 2（5)、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|AB ｜=2p (6）、焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S ∆AOB =p 22sinθ=12｜AB ｜∙|ON ｜=12｜OF ｜∙|A 1 B 1｜=12｜OF ｜∙｜y A−y B ｜（7）、以焦点弦为直径的圆与准线相切,以焦半径为直径的圆与坐标轴相切.（8）、过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处?以y 2=2px （p >0）为例说明特例:当弦轴时，则点P 的坐标为(−p 2，0)在准线上．证明:当弦AB 过焦点F,设、则过A 点的切线方程是： 过B 点的切线方程是：由①－②可得：即:∴代入①式可得:∵弦AB 过焦点弦,由焦点弦性质可知，∴x AB ⊥()11,y x A ()22,y x B ()11x x p y y +=()22x x p y y +=()()2121x x p y y y -=-()py y p y y y 2222121-⋅=-221y y y +=px yy 221=⋅221p yy -=x=−p2，即交点P 坐标为．结论延伸：切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论发散：当弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．（9）、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点. 以（p ＞0）为例说明特例：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．证明: p(−p 2，0)，设、，则切线PA 的方程为，切线PB 的方程为．均过点P ，则x 1=p 2,，x 2=p2，故弦AB 过焦点．证明：设准线上任一点p (−p 2，y 0)，切点分别为、,则切线方程分别为：，两切线均过点P ，则满足，．，故过两切点的弦AB 方程为：则弦AB 过焦点．结论延伸:过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．（10）、如图，AB 是过抛物线（p ＞0）焦点F 的弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，，,过点A ，B 的切线相交于P 点，PQ 与抛物线交于点M ．（1）与是否有特殊的位置关系？⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,221y y p pxy22=()11,y x A ()22,y x B ()11x x p y y +=()22x x p y y+=()11,y x A ()22,y x B ()11x x p y y +=()22x x p y y +=⎪⎭⎫⎝⎛+-=1012x p p y y ⎪⎭⎫⎝⎛+-=2022x p p y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20p x p y y pxy22=l AA ⊥1lBB ⊥1PA PB结论：PA ⊥PB ． 证明：，，∴∴PA ⊥PB ．(2）与是否有特殊的位置关系？ 结论:PF ⊥AB ． 证明：,，∴PF ⊥AB ．（3)点M 与点P 、Q 的关系 结论：M 平分PQ ． 证明：，∴∴∴M 平分PQ ．1y p k PA=2y p k PB=1212-=⋅=⋅y y p k k PBPA PF AB ⎪⎭⎫⎝⎛+-=2,221y y p P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,2p F p y y k PF 221-+=1-=⨯∴AB PF K K ⎪⎭⎫⎝⎛+-2,221y y p P ⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x Q 221y y y M +=()()24822828221221222212212QP M M x x p x x p p x x p p p y y p y y p y x +=-+=-+=-+=+==21222121212122y y ppy y y y x x y y K AB +=--=--=。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习教案--随机事件的概率
一、知识梳理：(必修3教材108-124页)1、随机事件和确定事件（1）在一定条件下，叫做相对于s的必然事件；在一定条件下，叫做相对于s的不可能事件；统称为相对于s的确定事件。
（2）在一定条件下，叫做相对于s的随机事件；确定事件和随机事件统称为事件。
一般用A，B，C表示事件2、频率与概率（1）频数与频率：在相同条件S下进行n次试验，观察某一事件A是否出现，则称为在n次试验中事件A出现的次数为为事件A出现的频数，事件A出现的比例，为事件A出现的频率。
（2）、概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，稳定在某个常数，则把这个常数记作，称为事件A的概率。
3、事件的关系和运算（1）包含关系：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，事件B一定发生，这时称事件B 事件A（或称事件A包含于事件B），记作。
（2）相等关系：一般地，，则称事件A与事件B为，记作。
运算内容表示并事件若某事件发生当且仅当A或B发生，则称事件为事件A与事件B的交事件若某事件发生当且仅当A且B发生，则称事件为事件A与事件B的互斥事件若A B为不可能事件，则称事件A与事件B为对立事件若A B为不可能事件，A B为必然事件，称事件A与事件B为（1）任何事件的概率都在0—1之间，（2）当事件A与事件B互斥时，P（A B）= ；（3）对立事件的概率和为，即事件A与事件B对立，则。
二、题型探究事件的判断例1：例1．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？（1）“抛一石块，下落”.（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某人射击一次，中靶”；（4）“如果a ＞b ,那么a －b ＞0”;（5）“掷一枚硬币，出现正面”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水份，种子能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．解析：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件点评：熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮复习(知识梳理+题型探究+方法提升+课后作业)命题及其关系%
p q 吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮复习（知识梳理+题型探究+方法提升+课后作业）命题及其关系充分条件必要条件导学案 文知识梳理：（阅读教材选修2-1第2页—第13页）1、 四种命题（1）、命题是可以 可以判断真假的语句 ，具有 “若P,则q 的形式；（2）、一般地用P 或q 分别表示命题的条件或结论,用 或 分别表示P 和q 的否定,于是四种命题的形式就是:原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:(3)、四种命题的关系：两个互为逆否命题的真假是相同的，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。
2、 充分条件、必要条件与充要条件（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。
3、 判断充分性与必要性的方法：（一）、定义法（1）、且q ，则p 是q 的 充分不必要条件 ； （2）、，则p 是q 的 必要不充分条件 ； （3）、，则p 是q 的 既不充分也不必要条件 ； （4）、 且 ，则p 是q 的 充要条件 ；（二）、集合法：利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p 的元素构成集合A ，满足条件q 的元素构成集合B ；（1）、若A，则p 是q 的 充分条件 若 ，则p 是q 的必要条件;（2）、若A，则p 是q 的充要条件 ； （3）、若A，且A ，则p 是q 的充分不必要条件；q 是p 的必要不充分条件； （4）、若A ，且，则p 是q 的既不充分也不必要条件 ； 二、题型探究探究一：四种命题的关系与命题真假的判断例1；设原命题是“已知p 、q 、m 、n 是实数，若p=q ，m=n ，则p ＋m=q ＋n”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解：逆命题：“已知p 、q 、m 、n∈R，若p ＋m=q ＋n ，则p=q ，m=n(假)．否命题：“已知p 、q 、m 、n∈R，若p≠q，m≠n，则p ＋m≠q＋n”(假)逆否命题：“已知p 、q 、m 、n∈R，若p ＋m≠q＋n ，则p≠q 或m≠n”(真)注:否命题“若p≠q，m≠n”应理解为“p≠q 或m≠n”即是指：①p≠q，但m=n ，②p=q 但m≠n，而不含p≠q 且m≠n．因为原命题中的条件：“若p=q ，m=n ．”应理解为“若p=q 且m=n ，”而这一语句的否定应该是“p≠q 或m≠n”．例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。
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轨迹与轨迹方程(学案)B
一、知识梳理：
1.求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质
就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同时具备一定的推理能力和运算能力。
2.求曲线的轨迹方程常采用的方法有：直接法、定义法、参数法、几何法、交轨法
(1)、定义法:若动点的轨迹条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆,双曲线,圆等)可用定义直接求解.
(2)、直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程（也就是常说的五步法）
(3)、相关点法（轨迹转移法）：根据相关点所满足的方程,通过转换而求出动点轨迹的方程.
(4)、参数法:若动点的坐标(x，y)中的x,y,分别随另一个变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数建立轨迹的参数方程.
(5)、交轨法:求两动曲线交点的轨迹时,可由方程直接消去参数,例如:求两动直线交点的轨迹时常用此方法,也可以引入参数来建立这些动曲线之间的联系,然后消去参数得到轨迹方程.
3.易错点提示:
(1):要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”这两个不同的概念；（2）：检验是否有不符合条件的眯或漏掉的点。
二、题型探究
探究1：定义法
例1：
（1）、由动点p向圆=1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，，求动点P 的轨迹方程。
(2)已知三边AB,BC,AC的长度成等差数列,点B,C的坐标分别是(-1,0),C(1,0),求点A 的轨迹方程.
探究2：直接法：
例2：已知中，BC=2，，求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是图形。
探究3：相关点法：
例3：已知P是圆=1上任意一点，由P向x轴作垂线段PM，M为垂足，求线段PM 的中点N的轨迹。
探究4：参数法
例4：设椭圆的方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程。
探究5：交轨法：
例5：双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，-y1）是双曲线上不同的两个动点，求直线A1P与A2 Q交点的轨迹E的方程。
三、方法提升：
求轨迹方程时，一般先观察能否根据条件直接判断轨迹是什么图形，设出方程，利用等定系数法求方程，即定义法；否则通过条件列出动点坐标所满足的方程，若能直接列出就是直接法；否则寻求动点的坐标与其它动点的坐标的关系即相关点法，或寻求动点坐标与其它参数的关系，消去参数得到轨迹方程即参数法，交轨法关键是处理涉及到的轨迹方程，消参得到变通方程。
四、反思感悟
五、课时作业
一、选择题（每小题6分，共42分）
1.两定点A（-2，-1），B（2，-1），动点P在抛物线y=x2上移动，则△PAB重心G的轨迹方程是（）
A.y=x 2-31
B.y=3x 2-32
C.y=2x 2-32
D.y=21x 2-4
1
2.曲线C 上任意一点到定点A （1，0）与到定直线x=4的距离之差等于5，则此曲线C 是（ ）
A.抛物线
B.由两段抛物线弧连接而成
C.双曲线
D.由一段抛物线和一段双曲线弧连接而成
3.下列命题中，一定正确的是（ ）
A.到两定点距离之比为定常数的点的轨迹是椭圆
B.到定点F （-c ，0）和到定直线x=-c
a 2的距离之比为a c （a ＞c ＞0）的点的轨迹是椭圆的左半部分
C.到定直线x=-c
a 2
和到定点F （-c ，0）的距离之比为a c （a ＞c ＞0）的点的轨迹是椭圆 D.平面上到两定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹是圆
4.一动圆与圆x 2+y 2=1外切，而与圆x 2+y 2-6x+8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）
A.双曲线的一支
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
5.已知点P 是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M （-1，2），Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q 点的轨迹方程是( )
A.2x+y+1=0
B.2x-y-5=0
C.2x-y-1=0
D.2x-y+5=0
6.设A 1、A 2是椭圆4
92
2y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点P 的轨迹方程为( ) A.4922y x +=1 B.4
92
2x y +=1 C.4922y x -=1 D.4
92
2x y -=1 7.点M （x ，y ）与定点F （1，0）的距离和它到直线x=8的距离的比为
2
1，则动点M 的轨迹方程为( ) A.3422y x +=1 B.7
82
2y x +=1 C.12
162
2y x +=1 D.3x 2+4y 2+8x-60=0 二、填空题（每小题5分，共15分）
8.(2012北京西城区一模，12)点P （0，2）到圆C ：（x+1）2+y 2=1的圆心的距离为_____________，
如果A 是圆C 上一个动点，AB =3AP ,那么点B 的轨迹方程为_______________________.
9.已知定直线l 上有三点A 、B 、C ，AB=2，BC=5，AC=7，动圆O 恒与l 相切于点B ，则过点A 、C 且都与⊙O 相切的直线l 1、l 2的交点P 的轨迹是_________________________.
10.F 1、F 2为椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上任意一点，从某一焦点引∠F 1QF 2的外角平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是____________________.
三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）
11.设抛物线y 2=2px 的准线l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任意一点，PQ ⊥l ，Q 为垂足，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.
12.(2012湖北重点中学模拟，21)平面直角坐标系中，O 为原点，给定两点A （1，0）、B （0，-2），点C 满足OC=αOA +βOB ，其中α、β∈R ，且α-2β=1，
（1）求点C 的轨迹方程；
（2）设点C 的轨迹与双曲线22
22b
y a x -=1（a ＞0,b ＞0）交于两点M 、N ，且以MN 为直径的圆过原点，求证：
2
211b a -为定值.
13.(2012湖北十一校大联考，22)已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A （-2，0），B （2，0），|AD |=2，AE =2
1（AB +AD ）, （1）求点E 的轨迹方程； （2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点.线段MN 的中点到y 轴距离为
54
且直线MN 与点E 的轨迹相切，求椭圆的方程.
14.(2010广东珠海一模，18)已知两定点A （-t,0）和B （t ，0），t ＞0.S 为一动点，SA 与SB 两直线的斜率乘积为21t
. （1）求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型；
（2）当t 取何值时，曲线C 上存在两点P 、Q 关于直线x-y-1=0对称？。