全品作业本-高中-数学-必修4-RJA(1-64)

全品作业本高中数学必修4新课标（RJA）目录课时作业第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．1．1 任意角1．1．2 弧度制1．2 任意角的三角函数1．2．1 任意角的三角函数第1课时任意角的三角函数第2课时三角函数线及其应用1．2．2 同角三角函数的基本关系1．3 三角函数的诱导公式►滚动习题（一）[范围1．1〜1．3]1．4 三角函数的图像与性质1．4．1 正弦函数、余弦函数的图像1．4．2 正弦函数、余弦函数的性质1．4．3 正切函数的性质与图像1．5 函数y=A sin（ωx+φ）的图像第1课时函数y=A sin（ωx+φ）的图像第2课时函数y=A sin（ωx+φ）的性质1．6 三角函数模型的简单应用►滚动习题（二）[范围1．1~1．6]第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．1．1 向量的物理背景与概念2．1．2 向量的几何表示2．1．3 相等向量与共线向量2．2 平面向量的线性运算2．2．1 向量加法运算及其几何意义2．2．2 向量减法运算及其几何意义2．2．3 向量数乘运算及其几何意义2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3．1 平面向量基本定理2．3．2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3．3 平面向量的坐标运算2．3．4 平面向量共线的坐标表示2．4 平面向屋的数量积2．4．1 平面向量数量积的物理背景及其含义2．4．2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2．5 平面向量应用举例2．5．1 平面几何中的向量方法2．5．2 向量在物理中的应用举例►滚动习题（三）[范围2.1~2.5]第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1．1 两角差的余弦公式3．1．2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式3．1．3 二倍角的正弦、余弦、正切公式►滚动习题（四）[范围3．1]3．2 简单的三角恒等变换第1课时三角函数式的化简与求值第2课时三角函数公式的应用►滚动习题（五）[范围3．1〜3．2]参考答案综合测评单元知识测评（一）[第一章]卷1单元知识测评（二）[第二章] 卷3单元知识测评（三）[第三章]卷5模块结业测评（一）卷7模块结业测评（二）卷9参考答案卷提分攻略（本部分另附单本）第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．1．1 任意角攻略1 判定角的终边所在象限的方法1．1．2 弧度制攻略2 弧度制下的扇形问题1．2 任意角的三角函数1．2．1 任意角的三角函数攻略3 三角函数线的巧用1．2．2 同角三角函数的基本关系攻略4 “平方关系”的应用方法1．3 三角函数的诱导公式攻略5 “诱导公式”的应用方法攻略6 三角函数的诱导公式面面观1．4 三角函数的图像与性质1．4．1 正弦函数、余弦函数的图像攻略7 含绝对值的三角函数的图像画法及应用1．4．2 正弦函数、余弦函数的性质攻略8 三角函数性质的综合应用题型1．4．3 正切函数的性质与图像攻略9 正切函数的图像应用剖析1．5 函数y=A sin（ωx+φ）的图像攻略10 求函数y=A sin（ωx+φ）+k解析式中ω，φ的方法攻略11 三角函数图像的平移和伸缩1．6 三角函数模型的简单应用攻略12 三角函数的应用类型剖析第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．1．1 向量的物理背景与概念2．1．2 向量的几何表示2．1．3 相等向量与共线向量攻略13 平面向量入门易错点导析2．2 平面向量的线性运算2．2．1 向量加法运算及其几何意义攻略14 向量加法的多边形法则及应用2．2．2 向量减法运算及其几何意义攻略15 向量加减法法则的应用2．2．3 向量数乘运算及其几何意义攻略16 平面向量中三角形面积比问题的求解技巧2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3．1 平面向量基本定理2．3．2 平面向量的正交分解及坐标表示攻略17 定理也玩“升级”2．3．3 平面向量的坐标运算攻略18 向量计算坐标化解题能力能升华2．3．4 平面向量共线的坐标表示攻略19 善用“x1y2－x2y1=0”巧解题2．4 平面向量的数量积2．4．1 平面向量数量积的物理背景及其含义2．4．2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角攻略20 “盘点”向量数量积应用类型攻略21 数量积应用易错“点击2．5 平面向量应用举例2．5．1 平面几何中的向量方法2．5．2 向量在物理中的应用举例攻略22 直线的方向向量和法向量的应用攻略23 向量在平面几何和物理中的应用第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1．1 两角差的余弦公式攻略24 已知三角函数值求角3．1．2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式攻略25 三角函数问题中怎样“缩角”3．1．3 二倍角的正弦、余弦、正切公式攻略26 二倍角公式的“8种变化”3．2 简单的三角恒等变换攻略27 —道三角求值题的解法探索攻略28 三角变换的技巧与方法整合参考答案第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．1．1 任意角基础巩固1．不相等的角的终边（）A．—定不同B．必定相同C．不一定不相同D．以上都不对【答案】C2．已知角α，β的终边相同，则α－β的终边在（）A．x轴的非负半轴上B．y轴的非负半轴上C．x轴的非正半轴上D．y轴的非正半轴上【答案】A3．若α=k•180°+45°，k∈Z，则角α的终边在（）A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限【答案】A【解析】当2()k n n Z=∈时,36045,=︒+︒∈，α为第一象限角；当a n n Zk n n Z=+∈时，360225,21()=︒+︒∈，a为第三象限角.a n n Z4．已知α是锐角，那么2α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．第一或第二象限角【答案】C【解析】由题意知090︒<<︒，所以02180a︒<<︒a5．若角α满足180°<α<360°，角5α与α的终边相同，则α=___270°_______．能力提升6．[2014·湖南五市十校期中]与1303°终边相同的角是（）A．763°B．493°C．－137°D．－47°【答案】C【解析】1303°= 360°+943°= 360°× 2 + 583°= 360°×3 + 223°= 360°× 4+（-137°)7．若A ={α|α=k ·360°，k ∈Z }，B ={α|α=k ·180°，k ∈Z }，C ={α|α=k ·90°，k ∈Z }，则下列关系中正确的是（ ） A ．A =B =C B ．A =B ∩C C ．A ∪B =C D ．A B C ⊆⊆【答案】D【解析】∵ 90,90,90C B A ︒∈︒∉︒∉, ∴选项 A ，C 错误.∵180,180,180C B A ︒∈︒∈︒∉，∴选项B 错误.8．[2015·深圳高级中学期中]如图1-1-1所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α| k ·360°－45°≤α≤k ·360°+120°，k ∈Z }D ．{α| k ·360°+120°≤α≤k ·360°+315°，k ∈Z } 【答案】C9．如果角2α的终边在x 轴的上方，那么α是（ ） A ．第一象限角 B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角 【答案】C【解析】 根据题意，知3602360180,k a k k Z ︒<<︒+︒∈,∴18018090,k a k k Z ︒<<︒+︒∈.当2()k n n Z =∈时，36036090,n a n n Z ︒<<︒+︒∈，则α是第一象限角；当21()k n n Z =+∈时，360180360270,n a n n Z ︒+︒<<︒+︒∈，则 α是第三象限角.故α为第一或第三象限角.10．若角α与角β的终边关于y 轴对称，且在x 轴的上方，则α与β的关系是__________． 【答案】(21)180,a k k Z β=+︒-∈【解析】 当,(0,180)a β︒︒时，a +β=180°，即a =180°-β，所以当a ，β的终边均在x 轴的上方时，有a =k •360°+180°-β=(2k +1)•180°-β,k ∈Z .11．[2014·济南一中月考]在平面直角坐标系中，下列说法正确的是__________．（1）第一象限的角一定是锐角；（2）终边相同的角一定相等；（3）相等的角，终边一定相同；（4）小于90°的角一定是锐角；（5）钝角的终边在第二象限；（6）终边在直线3y x =上的角表示为k ×360°+60°，k ∈Z ． 【答案】(3)(5)【解析】第一象限的角还可能是负角或大于90°的角，（1)错；终边相同的角相差360°的整数倍，（2)错；（3)正确；小于90°的角还可能是负角，（4)错；（5)正确；终边在直线y =上的角表示为k ×360°+60°，k ∈Z .或k ×360°+240°，k ∈Z ，（6)错.12．已知锐角α的10倍与它本身的终边相同，则角α=__________．【答案】40°或80°【解析】因为锐角α的10倍的终边与角α的终边相同，所以10a =a + k •360°, k ∈Z ，解得 a = k •40°, k ∈Z .又α为锐角，所以a =40°或80°.13．若角α的终边落在直线x +y =0上，求在[－360°，360°]内的所有满足条件的角α． 【答案】解：若角α的终边落在第二象限，则a =135°+ k ×360°，k ∈Z ； 若角α的终边落在第四象限，则a =315°+ k ×360°，k ∈Z . ∴终边落在直线x +y =0上的角α的集合为{}{}{}135360,315360,135180,a a k k Z a a k k Z a a k k Z =︒+⨯︒∈=︒+⨯︒∈==︒+⨯︒∈.令-360°≤135°+k ×180°≤360°,得{}2,1,0,1k ∈--，∴满足条件的α为-225°，-45°，135°,315°.14．[2014•沈阳铁路实验中学期末]已知α，β为锐角，且α+β的终边与－280°的终边相同，α－β的终边与670°的终边相同，求角α，β． 【答案】 解：由题意得a +β=-280°+k •360°=(k -1)•360°+80°（k ∈Z )，a -β=670°+ k •360°=(k +2)•360°-50°（k ∈Z ).又a ，β都为锐角，∴0°＜a +β＜180°, - 90°＜a -β＜90°， ∴a +β= 80°，a -β=-50°，∴a =15°，β= 65°. 难点突破15．已知A ={α|α=k ·360°+45°，k ∈Z }，B ={β|β=k ·360°+135°，k ∈Z }，则A ∪B =__________．【答案】 {}180(1)45,k a a k k Z=︒+-︒∈【解析】∵{}{}36045,218045,A a a k k Z a a k k Z ==︒+︒∈==︒+︒∈， {}{}360135,(21)18045,B k k Z k k Z ββββ==︒+︒∈==+︒-︒∈，∴{}180(1)45,k AB a a k k Z ==︒+-︒∈.16．[2014•嘉兴一中期中]若α是第三象限角，则3α是第几象限角？ 【答案】解:α是第三象限角，∴k •360°+180°<a < k •360°+270°，k ∈Z ，∴1206012090,3ak k k Z ︒+︒<<︒+︒∈. ①当k = 3n ，n ∈Z 时，3606036090,3an n n Z ︒+︒<<︒+︒∈； ②当k =3n +1，n ∈Z 时, 360180360210,3an n n Z ︒+︒<<︒+︒∈； ③当k = 3n +2，n ∈Z 时，360300360330,3an n n Z ︒+︒<<︒+︒∈.∴3a是第一或第三或第四象限角. 1．2．2 弧度制 基础巩固 1．将－300°化为弧度是（ ） A ．4πrad 3- B ．5πrad 3-C ．7πrad 4-D ．7πrad6- 【答案】B2．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则（ ）A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积变为原来的2倍D ．扇形的圆心角变为原来的2倍 【答案】B3．已知集合A ={α| 2k π≤α≤（2k +1）π，k ∈Z }，B ={α|－4≤α≤4}，A ∩B 等于（ ） A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α| 0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} 【答案】D4．若三角形三内角的弧度数之比为4：5：6，则三内角的弧度数分别是__________． 【答案】 415π，3π，25π【解析】设三角形的三个内角的弧度数分别为4x ，5x ，6x ，则有 4x + 5x +6x = π，解得15x π=，∴三内角的弧度数分别为415π，3π，25π.5．（1）若θ∈（0，π），且θ与7θ的终边相同，则θ=__________． （2）设α=－2，则α的终边在第__________象限．【答案】 (1)3π或23π（2)三 【解析】(1)由题意得7θ=2kπ+θ(k ∈Z )，∴()3k k Z πθ=∈.又(0,),3πθπθ∈=或23π. (2)-2=-2π+2π-2，∴322,2πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故α为第三象限角.能力提升6．与角π6-终边相同的角是（ ）A ．5π6 B ．π3C ．11π6D ．2π3 【答案】C7．[2015•福建清流一中模拟]半径为10cm ，面积为100cm 2的扇形中，弧所对的圆心角为（ ）A ．2B ．2°C ．2πD ．10 【答案】A【解析】设弧所对的圆心角为a ，由题知21(10)1002a ⨯=，解得a =2.8．集合ππππ,42k k k αα⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z ≤≤所表示的角的范围（用阴影表示）是（ ）【答案】C【解析】当k =2m ，m ∈Z 时，22,42m a m m Z ππππ+≤≤+∈；当k =2m +1，m ∈Z 时，5322,42m a m m Z ππππ+≤≤+∈.故选C . 9．[2014•西安一中期末]已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2 B ．2sin1C ．2sin1D ．sin2 【答案】B【解析】由题知半径为1sin1,所以弧长为2sin1. 10．在直径为10厘米的轮子上有一长为6厘米的弦，P 为弦的中点，若轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒后P 转过的弧长为__________．【答案】100厘米 【解析】P 到圆心O 的距离22534OP -=（厘米），所以P 转过的弧长为25×4 = 100(厘米）.11．[2014•盐城中学期末]已知扇形的周长是4cm ，则当扇形的面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是__________．【答案】2【解析】设此扇形的圆心角为a ，半径为r ，弧长为l ，则2r +l =4，则扇形的面积2211(42)2(1)122S rl r r r r r ==-=-+=--+,•••当 r =l 时，S 最大，这时l = 4-2r =2，从而221l a r ===.12．[2014•九江外国语学校月考]一个半径大于2的扇形，其周长C =10，面积S =6，求这个扇形的半径r 和圆心角α的弧度数． 【答案】解：由 C =2r +ra =10，得102r a r -=，将上式代入2162S ar ==,得 r 2-5r +6 =0, ∴r =3(r =2舍去)，∴10243r a r -==.13．若弓形的弧所对的圆心角为π3，弓形的弦长为2cm ，求弓形的面积． 【答案】解：如图所示，r =AB =2cm ，∴2343(cm )4OAB S ∆=⨯=，2212S 2(cm )233OAB ππ∆=⨯⨯=扇形，∴22=3(cm )3OABOAB S S S π∆∆-=-弓形扇形难点突破14．一个扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，则圆心角的弧度数为__________，弦长AB =__________ cm ．【答案】2 2sin 1 【解析】设扇形的半径为r cm ,弧长为 l cm ,圆心角为a ，则11,224,lr l r ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得1,2,r l =⎧⎨=⎩∴圆心角2la r==. 如图所示，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则ZAOH =I , ∠AOH =1，∴AH =1·sin 1=sin 1 (cm ) , ∴ AB = 2sin 1 cm . 15．[2015．陕西兴平秦岭中学期中]（1）已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径r =6，求弧长l 及扇形的面积S ．（2）已知扇形的周长为20，当扇形的圆心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】 解：（1)因为21203a π=︒=，所以2643l ar ππ==⨯=，11461222S lr ππ==⨯⨯=.(2)设弧长为l ,半径为r ，圆心角为a ，由题知l +2r =20，所以l = 20-2r ，所以202l ra r r-==， 所以扇形的面积2221120210(5)2522r S lr r r r r r-===-+=--+，故当r =5时，S 取得最大值，最大值为25，这时2022l r a r r-===.1．2 任意角的三角函数 1．2．1 任意角的三角函数 第1课时 任意角的三角函数 基础巩固1．角α的终边经过点P （－b ，4），且，则b 的值为（ ） A ．3 B ．－3C ．±3D ．5 【答案】 A2．下列三角函数值的符号判断错误的是（ ） A ．sin165° >0 B ．cos280°>0C ．tan170°>0D ．tan310°<0 【答案】 C3．点A （sin 2015°，cos 2015°）在直角坐标平面上位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 C【解析】sin 2015°=sin 215°＜0，cos 2015°=cos 215°＜0，故选C .4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线y = 2x （x ≤0）上，则 cos θ的值为（ ）A ．B ．C D 【答案】 A【解析】在角θ的终边上取点P ( -1, -2)，则r OP ==cosθ=.5．已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点12⎛- ⎝⎭，2α∈[0,2π），则tan α= _ _________【解析】由题知角2a 的终边在第二象限，tan 2a =又2a ∈[0,2π]，所以223a π=，得3a π=，所以tan a =能力提升6．[2014·浏阳一中模拟]若π02α-<<，则点（tan α，cos α）位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 B【解析】α是第四象限的角，所以tanα＜0，cosα＞0，所以点（tanα, cosα）在第二象限.7．[2015·嘉兴一中期中]若3sin5α=，4cos5α=-，则在角α终边上的点是（）A．（－4,3）B．（3，－4）C．（4，－3）D．（－3,4）【答案】 A【解析】由a的两个三角函数值，可知a的终边在第二象限，排除B，C.又3 sin5a=，4cos5a=-，故选A.8．已知角α的终边上一点的坐标为ππsin,cos66⎛⎫⎪⎝⎭，则角α的最小正值为（）A．11π6B．5π6C．π3D．π6【答案】C【解析】cos62tan1sin62aππ===故角α的最小正值为3π.9．[2014·九江七校期中联考]已知角α的终边经过点P（－1,3），则2sinα+cosα=（）ABC．D．【答案】A【解析】由三角函数的定义知sin a=cos a==所以2sin cosa a+10．给出下列三角函数：①sin（－1000°）；②cos（－2200°）；③tan（－10）；④7πsin cosπ1017tanπ9．其中结果为负值的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】sin (-1000°)=sin 80°＞0；cos （-2200°）=cos 320°＞0；tan （-10）＜0；77sincos sin 10101717tan tan 99πππππ=-，易知7sin 010π>，17tan 09π<，故7sin 10017tan 9ππ->.故选C . 11．点P 从（1,0）出发，沿单位圆x 2+y 2=0逆时针方向运动π3到达Q 点，则Q 点的坐标为__________．【答案】12⎛ ⎝⎭【解析】根据题意得cos ,sin 33Q ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12Q ⎛ ⎝⎭.12．（1）已知角α的终边经过点P （4, －3），求2sin α+cos α的值．（2）已知角α的终边经过点P （4a , －3a ）（a ≠0），求2sin α+cos α的值． 【答案】解：⑴∵5r =，∴3sin 5y a r ==-，4cos 5x a r ==，∴6422sin cos 555a a +=-+=-.（2）∵5r a ， 当a ＞0时，r =5a ，∴33sin 55a a a -==-，44cos 55a a a ==， ∴6422sin cos 555a a +=-+=-.当a ＜0时，r =-5a ，∴33sin 55a a a -==-，44cos 55a a a ==--， ∴6422sin cos 555a a +=-=-. 13．已知角α的终边经过点P （x,（x ≠0），且cos α=，求sin α，tan α的值 【答案】解：∵(,0)P x x ≠，∴P到原点的距离r =又cos a =，∴cos a x ==. ∵0x ≠，∴x =r =当x =P点的坐标为，∴sin a =tan a =；当x =P点的坐标为(，∴sin a =tan a =；难点突破14．[2014·巴东一中月考]若α为第三象限角，则sincos 22sincos22αααα+的值为（ ）A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2 【答案】A【解析】∵α为第三象限角，∴2a为第二或第四象限角. 当2a 为第二象限角时，y =1-1=0；当2a为第四象限角时，y =-1+1=0. 15．已知sin α<0，tan α>0． （1）求角α的集合； （2）求2α终边所在的象限； （3）试判断tan sin cos 222ααα的符号．【答案】解：（1)由sin α＜0，知角α的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合；由tan α＞0,知角α的终边可能位于第一或第三象限.故角α的终边只能在第三象限，所以角α的集合为3(21)2,2a k a k k Z πππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. (2)由3(21)2,2k a k k Z πππ+<<+∈，得3,224a k k k Z ππππ+<<+∈，故2a的终边在第二或第四象限. (3)当2a 为第二象限角时，tan 02a <，sin 02a>，cos 02a <，所以tan sin cos 222a a a的符号为正.当2a 为第四象限角时，tan 02a <，sin 02a<，cos 02a >，所以tan sin cos 222a a a的符号为正.因此，tan sin cos 222a a a的符号为正.第2课时 三角函数线及其应用 基础巩固1．如图1-2-1所示，在单位圆中，角α的正弦线和正切线分别为（ ）A ．PM ，A T ''B ．MP ，A T ''C ．MP ，ATD ．PM ，AT 【答案】C2．在[0，2π]上，满足1sin 2x ≥的x 的取值范围为（ ）A ．π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B3．已知α角（0<α<2π）的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则α的值为（ ）A ．π4或3π4 B ．5π4或7π4C ．π4或5π4 D ．π4或7π4 【答案】C4．比较大小：sin1__________πsin 3．（填“>”或“<”）【答案】 ＜ 【解析】由0132ππ<<<及单位圆中的三角函数线知，sin1sin3π=.5．不等式3tan 0α>的解集是__________． 【答案】 (,62a k a k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭[解析]不等式的解集如图所示（阴影部分），∴(,62a k a k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭.能力提升6．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是（ ）A ．sin1> sin1.2> sin1.5B ．sin1>> sin1.2C ．sin1.5> sin1.2> sin1D ．sin1.2> sin1> sin1.5 【答案】C【解析】∵1,1.2,1.5 均在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内，正弦线在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内随a 的增大而逐渐增大，∴sin1.5＞sin 1.2＞sin 1，故选C .7．[2015·深圳高级中学期中]若ππ42θ<<，则下列不等式中成立的是（ ） A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ> tan θ> sin θC ．sin θ> tan θ> cos θD ．tan θ> sin θ> cos θ 【答案】D【解析】 作出角θ的三角函数线（如图所示），易知 AT ＞MP ＞OM ，即 tanθ＞sinθ＞cosθ.8．依据三角函数线，作出如下判断：①π7πsin sin 66=；②ππcos cos 44⎛⎫-= ⎪⎝⎭；③π3πtan tan 85>；④3π4πsin sin55>． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】6π的终边与单位圆的交点在第一象限，sin 06π>；76π的终边与单位圆的交点在第三象限，7sin 06π<，故①不正确. ,44ππ-的终边与单位圆的交点关于x 轴对称，故余弦值相等，故②正确. 8π的正切值大于0，35π的正切值小于0，故③正确.易知④正确.故正确的有3个.9．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是（ ） A ．sin α+cos α B ．tan α+sin α C ．sin α－cos αD ．sin α－tan α 【答案】B【解析】 如图所示，作出a 的三角函数线，sin α=MP ,tan α=AT ，由图易知 sin α+tan α＜0.10．[2015·福建清流一中测试]已知|cos θ|=－cos θ且tan θ <0，则 lg （sin θ－cos θ）_________0．（填“>”或“<”）【答案】＞ 【解析】由cos cos θθ=-，得cosθ≤0.又 tanθ＜0，∴角θ的终边在第二象限，∴sinθ＞0,cosθ＜0.又由三角函数线可知sinθ-cosθ＞1，∴lg (sinθ-cosθ)＞O .11．已知|cos θ|≤|sin θ|，则θ的取值范围是_________．【答案】3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ [解析]若cos sin θθ=，则θ角的终边落在直线y =x 或y =-x 上,所以满足cos sin θθ≤的θ角的终边落在如图所示的阴影部分，所以3,44k k k Z πππθπ+≤≤+∈. 12．[2015•吉林普通高中期末]设θ是第二象限角，试比较sin 2θ，cos2θ，tan2θ的大小．【答案】.解: θ是第二象限角，即22()2k k k Z ππθππ+<<+∈，故()422k k k Z πθπππ+<<+∈.当22()422k k k Z πθπππ+<<+∈时，cossintan222θθθ<<；当5322()422k k k Z πθπππ+<<+∈时，sin cos tan 222θθθ<<.13．若π02α<<，证明： （1）sin α+cos α>1；（2）sin α<α<tan α．【答案】 证明：（1)在如图所示的单位圆中，∵02a π<<，1OP =，∴sin α=MP ,cosα=OM .又在△OPM 中，有1MP OM OP +>=，∴sin α+cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设AP 的长为l AP ， ∵OAP OAP OAT S S S ∆∆∆<<扇形，∴111222AP OA MP l OA OA AT <<，∴AP MP l AT <<，即sin tan a a a <<.难点突破14．[2015•天水秦安二中期末]已知α∈（0，π），且sin α+cos α=m （0<m <1），则sin α－cos α的符号为_________（填“正”或“负”）．【答案】 正 【解析】若02a π<<，则如图所示，在单位圆中，OM =cos α，MP =sin α.又在△OPM 中，有1MP OM OP +>=，∴sin cos 1a a +>. 若2a π=，则sin cos 1a a +=.又0＜m ＜1，故,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos 0a a ->.15．求函数()212cos ln sin f x x x ⎛=-- ⎝⎭的定义域． 【答案】解：由题意，自变量x 应满足不等式组12cos 0,sin 0,x x -≥⎧⎪⎨>⎪⎩即sin 21cos .2x x ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩因为sin x 的解集为322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭，1cos 2x ≤ 的解集为522,33x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，所以所求定义域为322,34x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 1．2．2 同角三角函数的基本关系基础巩固1．[2014•广东中山五校联考]已知4cos 5α=-，且α为第二象限角，则tan α的值等于（ ） A ．43 B ．43- C ．34 D ．34- 【答案】D2．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x +a = 0的两根，则实数a 的值为（ ） A ．65 B ．56- C ．34 D ．43 【答案】B3．已知sinθ·tan θ<0，那么角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角 【答案】B【解析】2sin sin sin tan sin 0cos cos θθθθθθθ==<，即cos 0θ<，因此角θ是第二或第三象限角.4．若α是三角形的一个内角，且2sin cos 3αα+=，则这个三角形为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 【答案】D 【解析】由2sin cos 3a a +=，得412sin cos 9a a +=，∴52sin cos 9a a =-，∴α为钝角.故该三角形为钝角三角形.5．若2sin cos 13sin 2cos αααα+=-，则tan α的值为__________．【答案】3【解析】由2sin cos 2tan 113sin 2cos 3tan 2a a a a a a ++==--，解得 tan α=3.能力提升6．已知tan θ=2，则sin 2θ+sin θcos θ－2cos 2θ=（ ）A ．43-B ． 54C ．34-D ．45 【答案】D【解析】∵ tanθ=2，∴2222222222sin sin cos 2cos tan tan 22224sin sin cos 2cos sin cos tan 1215θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-+-====+++.7．若3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+，其中π,π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m 的值为（ ）A ．0B ． 8C ．0或8D ． 无法确定 【答案】B【解析】因为 sin 2θ+cos 2θ=1,所以m 2-6m +9+16-16m +4m 2=m 2+10m +25，即m 2-8m =0,所以m =0 或m = 8.当 m =0时，3sin 5θ=-，与,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦矛盾，故m =8.8．已知tan α=m ，α是第二或第三象限角，则sin α的值等于（ ）AB ．C ．D ．【答案】D【解析】∵tan α=m ，∴222222cos sin 11tan 1cos cos a a a m a a ++===+，∴221cos =1a m +.又α是第二或第三象限角，∴cos =a ，故21sin tan cos =()1a a a m m =-==+. 9．[2015·湖南师大附中月考]若角α的终边落在直线x +y =0上，则的值为（ ）A．2 B．－2 C．－2或2 D．0【答案】D【解析】∵角α的终边落在直线x+y=0上，∴角α为第二或第四象限角.sinsincos cosaaa a=+，∴当角α为第二象限角时，sin sin=0cos cosa aa a-+=原式；当角α为第四象限角时，sin sin=0cos cosa aa a-+=原式.故选D.10．[2015·重庆青木关中学月考]已知α为第二象限角，则cos sin=__________．【答案】0【解析】∵α是第二象限角，∴11 =cos sin sin cos sin0cos sina aa a==+=-原式11．若cos2sinαα+=，则tan =__________．【答案】2【解析】由22cos2sinsin cos1,a aa a⎧+=⎪⎨+=⎪⎩得sincosaa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12．化简下列各式：（1（2【答案】解：（1cos40===︒.(2)cos40sin40cos40sin401cos40sin40cos40sin40︒-︒︒-︒====︒-︒︒-︒13．已知1sin cos5ββ+=，且0<β<π．（1）求sinβ－cosβ的值；（2）求sinβ，cosβ，tanβ的值．【答案】解：（1）由1sin cos5ββ+=及sin2β+cos2β=1,知242sin cos25ββ=.又由0＜β＜π，知sinβ＞0，∴cosβ＜0，故7sin cos5ββ-==.(2)由1sin cos5ββ+=及7sin cos5ββ-=，得4sin5β=，3cos5β=-，∴sin4tancos3βββ==-.难点突破14．[2014·西安第一中学期末]已知关于x的方程)2210x x m-+=的两根分别为sinθ和cosθ，θ∈（0,2π），则m的值为__________，θ的值为__________．3π或6π【解析】由韦达定理知sin cossin cos2mθθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,②，由①式可知1+2sin cos1θθ=+，∴sin cosθθ=2m=.∴m=当m=221)0x x-=.解得1x=，212x=.又∵θ∈（0,2π），∴sin1cos2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或1sin2cosθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴3πθ=或6π.15．[2015·重庆青木关中学月考]证明：（1）221cos sin cossin cossin cos tan1αααααααα-+-=+--；（2）（2－cos2α）（2+tan2α）=（1+2 tan2α）（2－sin2α）．【答案】证明：（1）22222222222sin sin cos sin sin cos=sin sin cossin cos sin cos1cos cossin cos sin cossin cossin cos sin cos sin cosa a a a a aa a aa a a aa aa a a aa aa a a a a a++-=-=------==+=---左边右边∴原式成立.(2)∵左边=4+2tan2a-2cos2a-sin2a=2+2tan2a+2sin2a-sin2a=2+tan2a+sin2a，右边=(1+2tan2a)(1+cos2a)=1+2tan2a+cos2a+2sin2a=2+2tan2a+sin2a,∴左边=右边，故原式成立.1．3 三角函数的诱导公式 基础巩固1．[2014·衡水第十四中学期末]sin570°的值是（ ） A ．12 B ． 12-C D ． 【答案】B【解析】1sin570sin(360210)sin 210sin(18030)sin302︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒=-. 2．若()1cos π2α-=-，则cos （－2π－α）的值为（ ）A ．12B ．C ．12-D ． 12±【答案】A【解析】因为1cos()cos 2a a π-=-=-，所以1cos 2a =-，所以1cos(2)cos()cos 2a a a π--=-==. 3．已知f （x ）= sin x ，下列式中成立的是（ ） A ． f （x+π）=sin x B ． f （2π－x ）= sin xC ．πcos 2f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ． f （π－x ）=－f （x ）【答案】C【解析】()sin()sin f x x x ππ+=+=-， (2)sin(2)sin f x x x ππ-=-=-，()sin()sin()cos 222f x x x x πππ-=-=--=-，()sin()sin ()f x x x f x ππ-=-==，故选C .4．已知πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12 B ．12-C D ． 【答案】C【解析】3sin()sin ()sin()444a a a ππππ⎡⎤-=-+=+=⎢⎥⎣⎦. 5．已知5cos 13α=-，且α是第二象限角，则tan （2π－α）=__________． 【答案】125【解析】由α是第二象限角，得12sin 13a =，所以sin 12tan cos 5a a a ==-，所以12tan(2)tan 5a a π-=-=. 能力提升6． 给出下列三角函数：①4sin ππ3n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；②πcos 2π6n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；③πsin 2π3n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；④()πcos 21π6n ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦；⑤()πsin 21π3n ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦（n ∈Z ）其中函数值与πsin3的值相同的是（ ） A ．①② B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤ 【答案】C 【解析】当n 为偶数时，4sin()sin 33n πππ+=-，∴①不对，故排除A ，B ，D ，故选C .7． [2015 •南昌二中月考] 已知f （cos x ）=cos3x ，则f （sin30°）的值为（ ） A ．0 B ．1C ．－1 D【答案】C【解析】∵(cos )cos3f x x =，∴(sin30)(cos60)cos1801f f ︒=︒=︒=-. 8．[2014 •宁波效实中学期末]若α是第二象限角，且()1tan π2α-=，则3πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C D ．【答案】D 【解析】 因为3cos()sin 02a a π-=-<，所以排除A ，C .由1tan()2a π-=，得1tan 2a =-，所以排除B ，故选D . 9．已知n 为整数，化简()()sin πcos πn n αα++所得的结果是（ ）A ．tan nαB ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α 【答案】C【解析】 当n =2k (k ∈Z )时，sin(2)sin =tan cos(2)cos k a aa k a aππ+==+原式；当n =2k +1(k ∈Z )时，sin(2)sin()sin =tan cos(2)cos()cos k a a aa k a a aππππππ+++-==+++-原式.故选C .10．[2014 •西安第一中学期末] 25π25π25πsin cos tan 634⎛⎫++-= ⎪⎝⎭__________． 【答案】0 【解析】 25252511sincos tan()sin cos tan 1063463422ππππππ++-=+-=+-=. 11．已知π2cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【答案】 23-【解析】 22sin sin sin cos 3262663a a a a ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 12．[2015•江西新余四中测试]（1）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （—3，4），求()πcos πcos 2αα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．（2）若tan β=3，求222sin 2sin cos 2sin cos βββββ++的值．【答案】 解：(1)由题意知4sin 5a =，3cos 5a =-，所以341cos()cos()cos sin 2555a a a a ππ-++=--=-=-.(2) 22222sin 2sin cos tan 2tan 96152sin cos 2tan 129119ββββββββ+++===++⨯+.13．[2014•盐城中学期末]已知△A 1B 1C 1，的三个内角A 1，B 1，C 1的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角A 2，B 2，C 2的正弦值．（1）试判断△A 1B 1C 1，是否为锐角三角形；（2）试借助诱导公式证明△A 2B 2C 2中必有一个角为钝角．【答案】解：（1)由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,即cosA 1＞0, cosB 1＞0,cosC 1＞0,所以△A 1B 1C 1一定是锐角三角形. (2)证明：由题意可知211sin cos sin()2A A A π==-，211sin cos sin()2B B B π==-，211sin cos sin()2C C C π==-.若A 2,B 2,C 2全为锐角，则2221111113()()()()22222A B C A B C A B C πππππ++=-+-+-=-++=，不合题意.又A 2,B 2,C 2均不可能为直角，且满足A 2+B 2+C 2=π, 所以△A 2B 2C 2中必有一个角为钝角. 难点突破14．[2015•湖北重点中学月考]已知角α的终边上一点的坐标为5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则角α的最小正值为（ ） A ．5π6 B ．5π3C ．11π6 D ．2π3 【答案】B【解析】 因为51sinsin()sin 6662ππππ=-==，5coscos()cos 666ππππ=-=-=，所以点55sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在第四象限.又5cos6tan 5sin6a ππ==53π. 15．已知()()()π3cos cos 2πsin π223sin πsin π2f αααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．（1）化简f （α）；（2）若α是第三象限角，且31cos π25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求f （α）的值．【答案】 解：（1）sin cos()sin 2sin cos cos ()cos sin cos sin()sin 2a a a a a a f a a a a a a πππ⎡⎤⎛⎫---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦===--⎛⎫++ ⎪⎝⎭.（2）由31cos 25a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin 5a -=，即1sin 5a =-.又α是第三象限角，所以cos a ==，所以()cos f a a =-滚动习题（一）[范围1．1~1．3] （时间：45分钟 分值：100分）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 1．给出下列说法：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小都无关； ④若sin α=sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 【答案】 A2．sin2cos3tan4的值（ ） A ．小于0 B ．大于0C ．等于0D ．不存在 【答案】 A【解析】∵sin 2＞0，cos 3＜0,tan 4＞0，∴sin 2cos 3tan 4＜0.3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ） A ．40πcm 2B ．80πcm 2C ．40cm 2D ．80cm 2 【答案】 B【解析】2725π︒=，∴212=20=80()25S ππ⨯⨯2扇形cm .4．[2015•中山杨仙逸中学模拟]若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．sin AB ．cos AC ．tan AD ．1tan A【答案】 A【解析】△ABC 的内角的取值范围是(0,π),故一定取正值的是sinA . 5．[2015•山西大学附中月考]若sin αtan α<0，且cos 0tan αα<，则角α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】 C【解析】由sin αtan α＜0，知sin α,tan α异号，则α是第二或第三象限角；由cos 0tan aa<，知cos α，tan α异号，则α是第三或第四象限角.所以α是第三象限角. 6．已知()()()()sin πcos 2πcos πtan f ααααα--=--，则31π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12 B ．13-C ．12-D ．13 【答案】C【解析】 因为sin cos sin ()cos cos tan tan a a af a a a a a===--，所以31311cos cos 10cos 3332f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7．[2014•嘉峪关一中期中]若α∈[0,2π]sin cos αα=-，则α∈（ ）A ．π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】 sin cos sin cos a a a a +=-，所以sin α≥0,cos α≤0，所以,2a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）8．[2014·西安第一中学期中]已知sin x =，则x 的集合为_________． 【答案】22,2,33x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭【解析】 当x 时第一象限角时，2,3x x x k k Z ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭；当x 是第二象限角时，22,3x x x k k Z ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭.所以满足sin x =的x 的集合为22,2,33x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭. 9．f （x ）=a sin （πx +α）+ b cos （πx +β）+4（a ，b ，α，β均为非零实数），若f （2014）=6，则f （2015）=_________．【答案】2【解析】 (2014)sin(2014)cos(2014)4sin cos 46f a a b a a b ππββ=++++=++=，∴sin cos 2a b β+=，∴(2015)sin(2015)cos(2015)4sin cos 42f a a b a a b ππββ=++++=--+=.10．[2015·盐城中学月考]若()1cos π3α+=-，则πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】13【解析】由1cos()3a π+=-，得1cos 3a =，所以1sin()cos 23a a π-==.11．已知πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭25πcos πsin 66αα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．【答案】【解析】∵5cos cos cos 666a a a ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2212sin 1cos 16633a a ππ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2==3原式.三、解答题（本大题共3小题，共45分）12．（15分）已知角α的终边经过点P （－3cos θ，4cos θ），其中π2π,2ππ2k k θ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（k∈Z ），求角α的正弦、余弦和正切值．【答案】解：∵()2k ,2k k Z 2π⎛⎫θ∈π+π+π∈ ⎪⎝⎭，∴cosθ＜0，∴点P 在第四象限.∵x=-3cosθ，y=4cosθ，∴r 5cos 5cos ==θ=-θ，∴434sin ,cos ,tan 553α=-α=α=-.13．（15分）是否存在ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，β∈（0，π），使等式()πsin 3π2αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()()παβ-=+同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：假设存在角,αβ满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧==②①,cos 2cos 3,sin 2sin βαβα∴sin 2α+3cos 2α=2.∴21sin 2α=，∴sin α=.∵,22ππ⎛⎫α∈- ⎪⎝⎭，∴4πα=±当4πα=时，由②式知cos β=，又β∈（0，π），∴6πβ=，此时①式成立；当4πα=-时，由②式知cos β，又β∈（0，π），∴6πβ=，此时①式不成立，故舍去. ∴存在,46ππα=β=满足条件.14．（15分）[2015·深圳高级中学期中]已知tan α和cos α是关于x 的方程5x 2－mx +4=0的两根，且α是第二象限角． （1）求tan α及m 的值；（2）求2222sin sin cos 3cos 1sin ααααα-⋅++的值．【答案】解：（1）由已知，得tan αcos α=45，∴sin α=45.又α是第二象限角，∴3cos 5α=-，∴4tan 3α=-.又m 29tan cos 515α+α==-，∴29m 3=-.（2）由（1）得4tan 3α=-，∴222222sin sin cos 3cos 2tan tan 3711sin 2tan 141α-α⋅α+αα-α+==+αα+.1．4 三角函数的图像与性质1．4．1 正弦函数、余弦函数的图像 基础巩固1．用“五点法”作y =2sin 2x 的图像时，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，π C ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3【答案】B2．函数y =1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图像是（ ）【答案】B。