二次函数的图象和性质(二)

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2 二次函数的图象与性质(2)

倍速 2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). 课 (2)最值不同:分别是c和0. 时 3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象沿y轴整体平移学 |c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移). 练
习题
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,如果需
二次函数y=-3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3x2+1的图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,-1).
y 3x 2
y 3x 2 1
二次函数y=3x2+1的图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,-1).
y 3x 2 1
y 3x2
倍速课时学练
位置不同; 最大值不同分别是1和0
二次项系数为正数3,开口向上;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性与也相同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和 y=-3x2的图象,会是什么样?
…
18
8
2
0
2
8
18
…
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数 y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2的图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线.
y x2
y 2x2
只是开口大小不同.
的性质

二次函数的图像及性质

与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实数，而对数函数值域为实数加一个常数
图像：二次函数图像为抛物线，而对数函数图像为单调递增或递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全体实数，而对数函数定义域为正实数
性质：二次函数具有对称性，而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小值或最大值，反比例函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、物理等领域有广泛应用，反比例函数在解决一些实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，一次函数的一般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是一条直线，没有开口方向

北师大版数学九年级下册课件二次函数的图像与性质第二课时

2.如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直
角
坐
标
系
,
左
面
的
一
条
抛 y 物 9 线 x2 9可x 10以 400 10
用
表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
老师提示: 结合二次函数的图像和性质，灵活运用顶点坐标公式.
2.2 二次函数的图像和性质
第二课时
➢ 用心做一做下面接着讨论y=ax²，y=a（x-h）²的二次函数的图像和性质.
画出二次函数y=2（x-1）²的图像.
①完成下表:
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=2（x-1）2 50 32 18 8 2 0 2 8 18
观察上表你能发现2（x-1）²与2x²的值有什么关系？
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
➢ 用心做一做
➢1.确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：（1）y=3x2-6x+7；
（2）y=2x2-12x+8.
2.指出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：（1）y=2（x-3）²-5；（2）y=-0.5（x+1）² ;
（3）y=-3/4x²;
（4）y=2（x-2）²+5 ;
（5）y=-0.5（x+4）² +2;（6）y=--3/4（x-1）² .
➢ 我们已经认识了形如y=a（x-h）²+k的二次函数的图像和性质，你能研究二次函数y=2x²-4x+5的图像和性质吗？

6.2二次函数的图象和性质2

m2 m
4、已知点A（3，a）在二次函数y=x2的图像上。 (1）求a的值；（2）点B（3，-a）在二次函数y=x2的图像上吗？思考: 5、已知二次函数y=-x2. (1)当-2<x<-3时,求y的取值范围; (2)当-4<y<-1时,求x的取值范围. 6、已知抛物线y=ax2过M（-2，-2）（1）求出这个函数关系式并画出函数图象。（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2, 解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）因为 4 2(1) 2 所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上。
x 3 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是 ( 3,6)与( 3,6)
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
x
y 2x2
课堂练习
1、根据左边已画好的函数图象填空：
（0，0）（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是
,
对称轴是
2 2 y x 3
y轴
，在
对称轴的右对称轴的左 0 0
侧，
时，
y随着x的增大而增大；在
侧，
y随着x的增大而减小，当x=
函数y的值最小，最小值是
线y=2x2在x轴的（2）抛物线
2 y x2 3
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
课堂练习
1、二次函数y=x2的图像开口，对称轴是，顶点是。x取任何实数，对应的y值总是数。 2、点A（2，-4）在函数y=-x2的图像上，点A在该图像上的对称点的坐标是。 1 2 1 2 3、二次函数y= x 与 y=- x 的图像关于 2 2 ___ 对称。 4、若点A（1，a）B（b，9）在函数y=x2 的图像上，则a= ,b= .

二次函数及其图象和性质

二次函数及其图象和性质（二）一、内容提要（一）二次函数的解析式：1．一般式：y=ax2+bx+c；其中a≠0, a, b, c 为常数2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。

3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。

注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。

（二）二次函数的图象：抛物线（三）性质：1．对称轴，顶点坐标：2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。

a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。

3．增减性：（Ⅰ）a>0时，当x时，y随x增大而减少当x>时，y随x增大而增大（Ⅱ）a<0时，当x时，y随x增大而增大当x>时，y随x增大而减小4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时，（Ⅱ）a<0时，当x= 时，5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。

6．抛物线与x轴的位置关系：（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。

（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）二、典型例题：例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。

解：由题意得解得 m=-1∴y=-3x2+3x+6=,开口向下，顶点坐标（），对称轴x=。

说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。

例2．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, Δ=b2-4a c的符号，(2)求证:a-b+c>0, (3)当x取何值时，y>0, 当x取何值时y<0。

二次函数的图像和性质

二次函数的图像和性质二次函数是数学中的一个重要概念，它在中学数学中占据着重要的地位。

本文将从二次函数的图像和性质两个方面进行论述，旨在帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。

一、二次函数的图像二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。

我们先来讨论二次函数的图像。

1. 开口方向二次函数的图像可以是开口向上的，也可以是开口向下的。

当a大于0时，二次函数的图像开口向上；当a小于0时，二次函数的图像开口向下。

例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1和g(x) = -x^2 + 2x + 1，它们的图像分别如下所示：（插入图片：开口向上和开口向下的二次函数图像）2. 对称轴和顶点二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称的。

这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程可以通过求解二次函数的x坐标的平方项系数的相反数除以2倍的平方项系数得到。

对称轴上的点称为二次函数的顶点，它的横坐标和纵坐标可以通过代入对称轴的方程求解得到。

例如，考虑函数f(x) = -2x^2 + 4x - 1，它的对称轴方程为x = -b/2a = -4/(2*(-2))= 1。

代入对称轴方程可以求得顶点的坐标为(1, -3)。

3. 判别式和根的性质二次函数的判别式可以通过求解一元二次方程的判别式得到，它的表达式为Δ = b^2 - 4ac。

判别式的正负决定了二次函数的根的性质。

当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根；当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根；当判别式小于0时，二次函数没有实根，但有两个共轭复根。

例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1，它的判别式为Δ = (-2)^2 - 4*1*1 = 0。

由于判别式等于0，该二次函数有两个相等的实根x = 1。

二、二次函数的性质除了图像外，二次函数还有一些重要的性质，我们将在下面进行讨论。

1. 单调性和极值点二次函数的单调性是由二次函数的开口方向决定的。

2.2.二次函数的图象和性质(2)

2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). (2)最值不同:分别是c和0.
3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平移|c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).
独立
知识的升华
作业
P36 习题2.3 1,2题.
祝你成功
3.实验探究系数与图象间的关系
a与图象的关系
a决定图象的形状
开口方向开口大小
当a > 0 时开口向上当a < 0 时开口向下 a 越大图象开口越小
a 越小图象开口越大
c与图象的关系
当c＝0时图象过原点 C 确定图象与y轴当 c > 0时图象与y轴正半轴相交的交点
当c < 0时图象与y轴负半轴相交
第二章《二次函数》
在同一坐标系中作出二次函数y=2x²+1的图象与二次函数y=2x²的图象
y
9 8

y=2x2
函数y=2x2+1的图象是什
6
么形状?
5
它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
它与y=2x2的图象有什么相同和不同?
-4 -3
4
3
2
1
x -2 -1 o 1 2 3 4
y=2x2+1
4、将抛物线y=x2+1的图像向下平移一个单位，
将得到 y=x2 的图像；如果向上平移一个单位，将得到 y=x2+2 的图像.
5、若抛物线y=-3x2+c的顶点坐标为（0，-5），
则ｃ＝＿-＿5＿，二次函数关系式为＿y=＿-３＿＿x2＿-５，
那么它的图像是由y=-3x2怎样移动得来的？

5.2二次函数的图象和性质(2)

5.2二次函数的图象和性质（2）学校：世业实验学校主备人：施明杰主备时间：2015.09 审核人：齐佳红班级 ______________ 姓名_________________ 评价 ________________ 学习目标：1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．学习重点：画二次函数的图像，并根据二次函数的图像感受二次函数的性质学习难点：二次函数的性质学习过程：一、复习回忆2二、自主学习、合作交流1、在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2 , y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．解：先列表再描点并画图观察图象得：1．填表：2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的开口大小_____________（填“相同”或者“不同”）三、总结归纳：1、填表：2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________，顶点坐标是_____________抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．顶点坐标是_____________因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线______________；顶点坐标是_____________把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．顶点坐标是_____________3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的开口方向__________，开口大小_______四、课堂练习：2．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________． 3．顶点坐标为（0，－3），形状与线y ＝－x 2相同的抛物线的解析式_ _． 4．抛物线y ＝4x 2＋1关于y 轴对称的抛物线解析式为______________________．关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．五、课后反馈：1、若二次函数()1632--=x m y 的开口方向向下，则m 的取值范围为___________2、将二次函数22x y -=的图象向下平移5个单位，得到的抛物线的解析式为_______________3、二次函数3312--=x y 图象的顶点坐标为________________4、将二次函数122--=x y 图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为________________5、若点A （1x ，m ）、B （2x ，n ）在抛物线y=-2x 2的上，且021<<x x ，则m 与n 的大小关系为 .6．将抛物线22x y =沿x 轴翻折，再向下平移3个单位得到的抛物线是_________________ 7、将抛物线y=-3x 2+4沿x 轴翻折，再向上平移3个单位得到的抛物线是_________________ 8、抛物线y=x 2+1与直线y=2x-2的交点坐标是_____________六、课后反思：。

九年级下册数学精品课件2 二次函数的图象与性质(第2课时)

1 y=-2x2+ 2
y=-2x220
1 2
2019/5/19
知识拓展
已知函数y=ax2+c的图象经过点
5 （1， 3 ）和（-3，-1）.
（1）求函数的关系式；（2）指出顶点坐标；（3）求抛物线y=ax2+c与x轴的交点.
2019/5/19
21
解：（1）由题意，得 1 5 a a + c = 3 解得 3 9 a + c = 1 c 2
15
例题讲解
1 1 抛物线y= 3 x2+4是由抛物线y= 3 x2怎样平移
得到的？并说明：（1）顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况；（2）函数的最值.
2019/5/19
16
1 1 解：抛物线y= 3 x2+4是由抛物线 y= 3 x2向上平移4
个单位得到的.
（1）顶点坐标：（0，4）
对称轴：y轴
2019/5/19
3
想一想
图象有什么相同和不同？
相同：
1 在图2-4中画出y= 3 x2的图象，它与y=x2，y=3x2的
不同：
形状
开口方向
开口大小
︱a︱越大，开口越小
对称轴
顶点坐标
2019/5/19
4
归纳
函数y=ax2（a＞0）的图象与性质图象：
y轴向上开口方向：______, 对称轴：______. （ 0， 0）顶点坐标：_______.
2019/5/19
7
归纳
增减性：
x＜0时，y随x的增大而增大 x＞0时，y随x的增大而减小最值：当x=0时，y取得最大值 y最大值=0

2二次函数的图像及其性质(二)教案

A、①
B、②
C、③
D、④
3.在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝________m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.
教学重点
1.函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。
2.用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
3.会通过配方求出二次函数的最大或最小值
教学难点
1.识图能力的培养
2.学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－， )
当k＜0时，函数y=kx2开口向下，而y=kx﹣2的图象过二、三、四象限，
分析选项可得，只有B符合，
故选B．
5.【答案】﹣3
【解析】已知了抛物线的顶点横坐标为2，即抛物线的对称轴方程为x=﹣ =2，可据此求出m的值．
解：∵抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣ 的顶点的横坐标是2，
∴ =2；
解得m=﹣3，
故答案为：﹣3．
答案与解析
1.【答案】A
【解析】∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，
设原抛物线上有点(x,y),绕原点旋转180∘后,变为(−x,−y),点(−x,−y)在抛物线y=x2+5x+6上，

二次函数的图象及性质(2)

2 2

2.填写下表:
y=a(x-h)² +k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0 a<0
中考语录
中考是人生的第一个十字路口，车辆很多，但要勇敢地穿过去。
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数 y=-3x2的图象有什么关系?

３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?
2
图象与抛物线y=3x2和 y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向下平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
2
顶点是(1,-2).
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似. 开口向上, 当x=1时y有最小值:且最小值= -2.
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2 的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x+1)2
二次函数y=-3(x+1)2+2与 2 y 3x 1 2 y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x+1)2有什 2 y 3x 1 么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么? 2

2 二次函数的图象与性质(第2课时)

的图象和性质吗？
将二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y=2x2-1的图象.
1.顶点坐标与对称轴. 2.位置与开口方向.
抛物线顶点坐标对称轴 y=2x2 （0，0） y轴(直线x=0) 在x轴上方 y=2x2+1 （0，1） y轴(直线x=0) y=2x2-1 （0，-1） y轴(直线x=0)
检测反馈
1.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 ( B )
A.y=-x+1 1 C.y= x B.y=x2-1 D.y=-x2+1
解析:A,y=-x+1,一次函数,k<0,故y随着x的增大而减小,错
误;B,y=x2-1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而增大,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而减小,正
向上 (0 ,0) y轴 (直线x=0) 在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。在对称轴的右侧， y随着x的增大而增大。
对称轴
增减性
最值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
观察思考观察下面的二次函数表达式:
学习新知
1 2 x. 2
(1)y=x2 ；(2)y=-x2 ；(3)y=2x2 ；(4)y=3x2 ；(5)y=
y=2x2 y=x2
描点、连线
6 4 2
图 2-4
-4 -2
0
2
4
x
（3）二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2 的图象是一条抛物线.
开口都是向上

1.2二次函数的图象与性质(第2课时)课件

小结二次函数 ya(xh)2的图象及性质： (1)形状、对称轴、顶点坐标； (2)开口方向、极值、开口大小； (3)对称轴两侧增减性。
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
-2
-3
y
1(x1)2---456y
2
-7
1 x2 y 21(x1)2
2
-8
探究
三、观察三条抛物线： y
(5)增减性怎么样？
2 1
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x
-2
-3
y
1(x1)2---456y
2
-7
1 x2 y 21(x1)2
2
-8
归纳
二次函数 ya(xh)2的图象及性质：
复习
二次函数 yax2 c的图象及性质：
2.当a>0时，开口向上；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当x=0时，y取最小值为c。
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二次函数 yax2 c的图象及性质：
3.当a<0时，开口向下；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；当x=0时，y取最大值为c。

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。

下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。

一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。

3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。

4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。

5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。

二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。

2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

二次函数的图像和性质

二次函数的图像和性质一、二次函数的一般形式二次函数是一种形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a eq0。

二、二次函数的图像1.抛物线二次函数的图像是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

2.判别法利用二次函数的判别式 $\\Delta = b^2 - 4ac$ 的正负性可以确定二次函数的图像开口方向和与x轴的交点情况。

3.最值点二次函数的顶点为抛物线的最值点，当a>0时，最小值在顶点处取得；当a<0时，最大值在顶点处取得。

顶点的横坐标为 $-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。

三、二次函数的性质1.对称轴二次函数的对称轴为直线 $x = -\\frac{b}{2a}$，即抛物线关于对称轴对称。

2.单调性当a>0时，二次函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。

3.零点二次函数的零点为方程f(x)=0的解，可以利用求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 求得。

4.图像的平移如f(x)=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为平移后的顶点坐标，抛物线上下平移，方向与a的正负有关。

四、应用二次函数在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。

例如几何问题中的抛物线轨迹、物体自由落体运动方程、经济学中的成本、收益关系等均可用二次函数描述。

结语二次函数作为高中数学中重要的函数类型，在图像和性质上有着独特的表现，通过对其图像和性质的深入理解，可以更好地应用于解决实际问题。

希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握二次函数的知识。

2.2二次函数的图象与性质2

对称轴与图象的交点是
图象的开口向下
值随自变量取值的增大而减小，简称为右；降图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为左；升
当x=
0
时，函数值最
大
.
当a＜0时，y=ax2的图象也具有上述性质. 于是今后画y=ax2(a＜0)的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分. 在画右边部分时，只要“列表、描点、连线” 三个步骤就可以了.
由此可知， y = - 1 x2 的图象与 y = 1 x2的图象 2 2 关于x轴对称，因此只要把 y = 1 x2 的图象沿着x轴 2 翻折并将图象“复印”下来，就得到 y = - 1 x2的 2 图象. 如图2-5.
观察
我们已经正确地画出了 y = - 1 x2的图象， 2 因此现在可以从图象(见图2-5)看出 y = - 1 x2 2 的性质：对称轴是 y轴，
图2-6
y = - 1 x2 的图象很像掷铅球时，铅球在空中 4 经过的路线.
以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正向水平向右，y轴的正向竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是形式为y=ax2(a＜0)的图象的一段，由此受到启发，我们引进下述概念：
一般地，二次函数y=ax2的图象叫做抛物线. 二次函数y=ax2的图象关于y轴对称. 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
例2
画二次函数 y = - 1 x2的图象. 4
解列表：
x
y = - 1 x2 4
0 0
1
2 -1
3
4 -4
-1 4
-9 4
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.

二次函数的图象和性质(2)

h＜0时,将抛物线y=ax2向左平移 h
个单位得到抛物线y=a(x–h)2 .
二次函数y=a(x-h)2 (a≠0)的图象和性质
a>0
图象
a<0
h>0
开口方向顶点坐标对称轴
增减性最值
h<0
h>0
h<0
1.如何由y=4x2的图象得到y=4x2-3的图象. 说明y=4x2-3图象的顶点，对称轴，增减性. 2.如何由y=4x2的图象得到y=4(x+5)2的图象.
说明y=4(x+5)2图象的顶点，对称轴，增减性.
3.如何由y=4x2的图象得到y=4(x+5)2-3的图象.
练习
1 2 1.把抛物线 y x 向下平移2个单位，可以得 1 22 到抛物线____________ ，再向上平移5个单 y x 2 2 1 2 位，可以得到抛物线 y x 3 ； 2 2.对于函数y= –x2+1，当x ＜0 时，函数值y
a<0
k<0
增减性
最值
在同一直角坐标系中画出函数的图象.
y 2x , y 2( x 3) , y 2( x 1)
2 2
2
抛物线y=ax2与抛物线 y=a(x–h)2 (a、h是常数，a≠0 )的关系：
h＞0时,将抛物线y=ax2向右平移 h 个单位得到抛物线 y=a(x–h)2 ；
答：a=-2或4或-8.
1 2 9.已知抛物线 y x ，把它向下平 2 移，得到的抛物线与x轴交于A、B两
点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角
三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？
10、已知抛物线y=3x2+m与x轴的交点为A、B（B在A