1.1.1命题及其关系课件_新人教A版选修1-1
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5．已知A、B是两个集合，则下列命题中为真命题的是( A ) A．如果A⊆B，那么A∩B＝A B．如果A∩B＝A，那么(∁UA)∩B＝∅ C．如果A⊆B，那么A∪B＝A D．如果A∪B＝A，那么A⊆B 解析：由集合的Venn图知选项A中的命题是真命题． 6．下列命题中，是真命题的为( C ) A．若一个四边形的对角线互相垂直且平分，则该四边形为正方形 B．若集合M＝{x|x2＋x<0}，N＝{x|x>0}，则M⊆N C．若a2＋b2≠0，则a，b不全为零 D．若x2＋x＋1<0，则x∈R 解析：A也可为菱形；B中的集合M＝{x|－1<x<0}，M N；D中的不等式无解， x∈∅.
同时成立才是命题．注意不要把假命题误认为
不是命题．
判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)求证π是无理数； (2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0； (3)一个数的算术平方根一定是负数； (4)你是高三学生吗？ 【思路点拨】 借助命题的定义“可以判断真假 的陈述句叫做命题”来判断． 【解】 (1)是祈使句，不是命题；(2)是陈述句， 并且可以判断真假，故为命题；(3)是命题，并且 是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数； (4)不是命题，因为它不是陈述句．
①3≥3：________； ②100或50是10的倍数：________.
答案：①真命题
②真命题
4．写出命题“如果一个函数的图象是一条直线， 那么这个函数为一次函数”的条件p和结论q. 解：条件p：一个函数的图象是一条直线；结论q： 这个函数为一次函数．
一、选择题 1．下列语句不是命题的有( B ) 2 ①2<1； ②x<1； ③若x<2， 则x<1； ④函数f(x)＝ x 是R上的偶函数． A ． 0个 B ． 1个 C ． 2个 D ． 3个
【思路点拨】
分析条件和结论
→ 写成“若p，则q”形式 → 判断真假
【解】 (1)若一个数是实数，则它的平方是非 负数．真命题． (2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是 全等三角形．假命题． (3)若ac>bc，则a>b.假命题． (4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点 到这个角的两边的距离相等．真命题． 【名师点评】 不要认为假命题没有条件和结 论，对于一个命题，无论是真命题还是假命题， 它必须由条件和结论组成，只是有些命题的条 件和结论不是十分明显．
命题的形式 将命题改写成“若 p，则 q”的形式的关键是分清 命题的条件和结论，有时也写成“只要 p ，就有 q”，“如果 p ，那么 q”的形式，但要注意语言 描述的流畅性． 例3 把下列命题改写成“若p，则q”的形式， 并判断真假： (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当ac>bc时，a>b； (4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4．下列命题中真命题的个数为( A ) ①面积相等的两个三角形是全等三角形； ②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0； ③若a>b，则a＋c>b＋c； ④矩形的对角线互相垂直． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
解析：.①错；②错，若xy＝0，则x，y至少有一个为0，而 未必|x|＋|y|＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数， 不等号开口方向不变；④错．
【思路点拨】 【解】 ＝4＋2.
根据真、假命题的定义进行判断．
(1) 假命题．反例： 1≠4 或 5≠2 ，而 1 ＋ 5
(2)真命题．这是事实． (3)真命题．因为m>1⇒Δ＝4－4m<0⇒方程x2－2x＋ m＝0无实数根．
(4)假命题．空集不是它本身的真子集．
(5)假命题．反例：有可能互相垂直，如墙角．
解：(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题． (2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一 个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条 件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：该四边形 是矩形，真命题． (3)命题“相等的两个角的正切值相等”，即“若两个角相等， 则这两个角的正切值相等”．条件p：两个角相等，结论q：这 两个角的正切值相等，假命题．
变式训练2 指出下列命题中的条件p和结论q （1）若整数a能被2整除，则a是偶数 （2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平 分
变式训练 3 把下列命题改写成“若 p ，则 q”的形 式，并判断命题的真假： (1)奇数不能被2整除； (2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (3)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2. 解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真 命题； (2) 若 (a － 1)2 ＋ (b － 1)2 ＝ 0 ，则 a ＝ b ＝ 1 ，是真命题； (3)已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2， 是假命题．
方法感悟 1．对命题概念的理解 对命题概念的理解抓住两点：可以判断真假和陈述 句．对于“x>0”，由于x是未知数，无法判断该不等 关系是否成立，所以它不是命题；对于“三角函数 是周期函数吗？”等疑问句或其他的祈使句、感叹 句等都不是命题． 2．命题真假的判断 判断一个命题的真假，也就是看由条件能否得出其 结论．在判断命题时，首先要理解命题的结构，然 后联系其他有关知识来判断．注意，要联想有关定 义、性质和公式，而不仅仅是逻辑知识本身．
9．给出下列几个命题： ①若x，y互为相反数，则x＋y＝0； ②若a>b，则a2>b2； ③若x>－3，则x2＋x－6≤0； ④若a，b是无理数，则ab也是无理数． 1 其中的真命题有________ 个．
三、解答题 10．指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假： (1)若整数a是偶数，则a能被2整除； (2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形； (3)相等的两个角的正切值相等．
2．命题的形式
若p，则q 是常见的命题形式，命题中 在数学中，_________ p 叫做命题的条件，__ q 叫做命题的结论． 的__
问题探究 我们学过的定理、公理都是命题吗？ 提示：都是命题，并且都是真命题．
课堂互动讲练
考点突破 命题的判断 判断一个语句是否为命题，一般把握住两点：
看其①是否为陈述句；②能否判断真假，两者
12．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p正确且q正确 的m的取值范围． 解：若p为真，则解得m>2. 若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1<m<3. p真，q真，即 故m的取值范围是(2,3)．
解析：①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题． 2．下列命题是真命题的是( D ) A．{∅}是空集 B.{x∈N|x-1|<3}是无限集 2 C．π是有理数 D. －5x＝0的根是自然数 2 解析：选D. －5x＝0的根为 x1 ＝0， 2＝5，均为自然数．
x
x
x
3．(2010年高考山东卷)在空间，下列命题正确的是( D ) A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平，则q”的形式，并判断命题的真假： (1)6是12和18的公约数； (2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. 解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题． (2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命 1 题．因为当a＝0时，方程变为2x－1＝0，此时只有一个实根x 2 ＝. (3)已知x、y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假 命题．
课堂检测
1．下列语句是命题的是( A ) A．梯形是四边形 B．作直线AB C．x是整数 D．今天会下雪吗 2．(2011年高考课标全国卷)已知a与b均为单位向量，其夹角为 θ，有下列四个命题： 2 p1 ：|a＋b|>1⇔θ∈[0， 23 p2：|a＋b|>1⇔θ∈( ) ，π] 3
p3 ：|a－b|>1⇔θ∈[0， 3
二、填空题 7．命题：一元二次方程x2＋bx－1＝0(b∈R)有两个不相等的实数根．则条 件p：________，结论q：________，是________(填“真”或“假”)命 题． 答案：一元二次方程为x2＋bx－1＝0(b∈R) 有两个不相等的实数根 真
②③ ②③ 8．下列语句中是命题的有________ ，其中是假命题的有________ ．(只填序号) ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数； ③大角所对的边大于小角所对的边． 解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假． ①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题； ②是假命题，因为0既不是正数也不是负数； ③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．
例1
变式训练1 判断下列语句中那些是命题？是真命题 还是假命题 （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）指数函数是增函数吗？ （4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行 2 （5）（- 2） 2 （6）x>15
答案：（1）(2)(4)（5）是命题，(1)(5)且是真命题，(2)(4) 是假命题 （3）不是陈述句，所以不是命题 （6） 虽然是陈述句，但不能判断真假，所以不是命题
命题真假的判断 要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反 例即可；而要判断一个命题是真命题，一般需 要经过严格的推理论证．判断时要有推理依据， 有时应综合各种情况作出正确的判断． 例2 判断下列命题的真假： (1)已知a，b，c， d∈R，若 a≠c或b≠d，则a＋ b≠c＋d； (2)2010年亚运会在中国广州举行； (3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； (4)空集是任何集合的真子集； (5)垂直于同一个平面的两个平面互相平行．
)
p4 ：|a－b|>1⇔θ∈(
，π] 3
其中的真命题是( A ) p1 ，p3 A． p1 ，p4 B．
D． p2 ，p4 2 解析：|a＋b|>1⇔1＋1＋2cosθ>1⇔θ∈[0， )． 3 |a－b|>1⇔1＋12cosθ>1⇔θ∈( ，π]． 3 C．p2 ， p3
3．判断下列命题的真假：
1．1
命题及其关系
题
1．1.1 命
学习目标
1.了解命题的概念．
2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若 p，则q”的形式．
温故夯基
1．对顶角相等；两直线平行，同位角相
等．这两个例子都能判断其真假． 2．垂直于同一条直线的两条直线互相平行是
______ 错误 的．
知新盖能
1．命题
在数学中，用语言、符号或式子表达的，可以判 陈述句 叫做命题，判断为真的语句叫做 断真假的_______ 真命题 ，判断为假的语句叫做________ 假命题 ． ________
同时成立才是命题．注意不要把假命题误认为
不是命题．
判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)求证π是无理数； (2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0； (3)一个数的算术平方根一定是负数； (4)你是高三学生吗？ 【思路点拨】 借助命题的定义“可以判断真假 的陈述句叫做命题”来判断． 【解】 (1)是祈使句，不是命题；(2)是陈述句， 并且可以判断真假，故为命题；(3)是命题，并且 是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数； (4)不是命题，因为它不是陈述句．
①3≥3：________； ②100或50是10的倍数：________.
答案：①真命题
②真命题
4．写出命题“如果一个函数的图象是一条直线， 那么这个函数为一次函数”的条件p和结论q. 解：条件p：一个函数的图象是一条直线；结论q： 这个函数为一次函数．
一、选择题 1．下列语句不是命题的有( B ) 2 ①2<1； ②x<1； ③若x<2， 则x<1； ④函数f(x)＝ x 是R上的偶函数． A ． 0个 B ． 1个 C ． 2个 D ． 3个
【思路点拨】
分析条件和结论
→ 写成“若p，则q”形式 → 判断真假
【解】 (1)若一个数是实数，则它的平方是非 负数．真命题． (2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是 全等三角形．假命题． (3)若ac>bc，则a>b.假命题． (4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点 到这个角的两边的距离相等．真命题． 【名师点评】 不要认为假命题没有条件和结 论，对于一个命题，无论是真命题还是假命题， 它必须由条件和结论组成，只是有些命题的条 件和结论不是十分明显．
命题的形式 将命题改写成“若 p，则 q”的形式的关键是分清 命题的条件和结论，有时也写成“只要 p ，就有 q”，“如果 p ，那么 q”的形式，但要注意语言 描述的流畅性． 例3 把下列命题改写成“若p，则q”的形式， 并判断真假： (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当ac>bc时，a>b； (4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4．下列命题中真命题的个数为( A ) ①面积相等的两个三角形是全等三角形； ②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0； ③若a>b，则a＋c>b＋c； ④矩形的对角线互相垂直． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
解析：.①错；②错，若xy＝0，则x，y至少有一个为0，而 未必|x|＋|y|＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数， 不等号开口方向不变；④错．
【思路点拨】 【解】 ＝4＋2.
根据真、假命题的定义进行判断．
(1) 假命题．反例： 1≠4 或 5≠2 ，而 1 ＋ 5
(2)真命题．这是事实． (3)真命题．因为m>1⇒Δ＝4－4m<0⇒方程x2－2x＋ m＝0无实数根．
(4)假命题．空集不是它本身的真子集．
(5)假命题．反例：有可能互相垂直，如墙角．
解：(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题． (2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一 个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条 件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：该四边形 是矩形，真命题． (3)命题“相等的两个角的正切值相等”，即“若两个角相等， 则这两个角的正切值相等”．条件p：两个角相等，结论q：这 两个角的正切值相等，假命题．
变式训练2 指出下列命题中的条件p和结论q （1）若整数a能被2整除，则a是偶数 （2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平 分
变式训练 3 把下列命题改写成“若 p ，则 q”的形 式，并判断命题的真假： (1)奇数不能被2整除； (2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (3)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2. 解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真 命题； (2) 若 (a － 1)2 ＋ (b － 1)2 ＝ 0 ，则 a ＝ b ＝ 1 ，是真命题； (3)已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2， 是假命题．
方法感悟 1．对命题概念的理解 对命题概念的理解抓住两点：可以判断真假和陈述 句．对于“x>0”，由于x是未知数，无法判断该不等 关系是否成立，所以它不是命题；对于“三角函数 是周期函数吗？”等疑问句或其他的祈使句、感叹 句等都不是命题． 2．命题真假的判断 判断一个命题的真假，也就是看由条件能否得出其 结论．在判断命题时，首先要理解命题的结构，然 后联系其他有关知识来判断．注意，要联想有关定 义、性质和公式，而不仅仅是逻辑知识本身．
9．给出下列几个命题： ①若x，y互为相反数，则x＋y＝0； ②若a>b，则a2>b2； ③若x>－3，则x2＋x－6≤0； ④若a，b是无理数，则ab也是无理数． 1 其中的真命题有________ 个．
三、解答题 10．指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假： (1)若整数a是偶数，则a能被2整除； (2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形； (3)相等的两个角的正切值相等．
2．命题的形式
若p，则q 是常见的命题形式，命题中 在数学中，_________ p 叫做命题的条件，__ q 叫做命题的结论． 的__
问题探究 我们学过的定理、公理都是命题吗？ 提示：都是命题，并且都是真命题．
课堂互动讲练
考点突破 命题的判断 判断一个语句是否为命题，一般把握住两点：
看其①是否为陈述句；②能否判断真假，两者
12．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p正确且q正确 的m的取值范围． 解：若p为真，则解得m>2. 若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1<m<3. p真，q真，即 故m的取值范围是(2,3)．
解析：①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题． 2．下列命题是真命题的是( D ) A．{∅}是空集 B.{x∈N|x-1|<3}是无限集 2 C．π是有理数 D. －5x＝0的根是自然数 2 解析：选D. －5x＝0的根为 x1 ＝0， 2＝5，均为自然数．
x
x
x
3．(2010年高考山东卷)在空间，下列命题正确的是( D ) A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平，则q”的形式，并判断命题的真假： (1)6是12和18的公约数； (2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. 解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题． (2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命 1 题．因为当a＝0时，方程变为2x－1＝0，此时只有一个实根x 2 ＝. (3)已知x、y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假 命题．
课堂检测
1．下列语句是命题的是( A ) A．梯形是四边形 B．作直线AB C．x是整数 D．今天会下雪吗 2．(2011年高考课标全国卷)已知a与b均为单位向量，其夹角为 θ，有下列四个命题： 2 p1 ：|a＋b|>1⇔θ∈[0， 23 p2：|a＋b|>1⇔θ∈( ) ，π] 3
p3 ：|a－b|>1⇔θ∈[0， 3
二、填空题 7．命题：一元二次方程x2＋bx－1＝0(b∈R)有两个不相等的实数根．则条 件p：________，结论q：________，是________(填“真”或“假”)命 题． 答案：一元二次方程为x2＋bx－1＝0(b∈R) 有两个不相等的实数根 真
②③ ②③ 8．下列语句中是命题的有________ ，其中是假命题的有________ ．(只填序号) ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数； ③大角所对的边大于小角所对的边． 解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假． ①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题； ②是假命题，因为0既不是正数也不是负数； ③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．
例1
变式训练1 判断下列语句中那些是命题？是真命题 还是假命题 （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）指数函数是增函数吗？ （4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行 2 （5）（- 2） 2 （6）x>15
答案：（1）(2)(4)（5）是命题，(1)(5)且是真命题，(2)(4) 是假命题 （3）不是陈述句，所以不是命题 （6） 虽然是陈述句，但不能判断真假，所以不是命题
命题真假的判断 要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反 例即可；而要判断一个命题是真命题，一般需 要经过严格的推理论证．判断时要有推理依据， 有时应综合各种情况作出正确的判断． 例2 判断下列命题的真假： (1)已知a，b，c， d∈R，若 a≠c或b≠d，则a＋ b≠c＋d； (2)2010年亚运会在中国广州举行； (3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； (4)空集是任何集合的真子集； (5)垂直于同一个平面的两个平面互相平行．
)
p4 ：|a－b|>1⇔θ∈(
，π] 3
其中的真命题是( A ) p1 ，p3 A． p1 ，p4 B．
D． p2 ，p4 2 解析：|a＋b|>1⇔1＋1＋2cosθ>1⇔θ∈[0， )． 3 |a－b|>1⇔1＋12cosθ>1⇔θ∈( ，π]． 3 C．p2 ， p3
3．判断下列命题的真假：
1．1
命题及其关系
题
1．1.1 命
学习目标
1.了解命题的概念．
2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若 p，则q”的形式．
温故夯基
1．对顶角相等；两直线平行，同位角相
等．这两个例子都能判断其真假． 2．垂直于同一条直线的两条直线互相平行是
______ 错误 的．
知新盖能
1．命题
在数学中，用语言、符号或式子表达的，可以判 陈述句 叫做命题，判断为真的语句叫做 断真假的_______ 真命题 ，判断为假的语句叫做________ 假命题 ． ________