2015年高考数学创新设计二轮精品规范练4

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2015年高考理科数学(全国通用)二轮专题配套word版练习12份

目录选择题的解法 (1)概率与统计 (12)函数与导数 (26)活用“审题路线图”，破解高考不再难 (40)集合与常用逻辑用语 (59)解答题的八个答题模板 (65)解析几何 (95)立体几何 (107)三角函数、解三角形、平面向量 (121)数列、不等式 (131)填空题的解法 (140)推理与证明、复数、算法 (149)选择题的解法【题型特点概述】高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做．方法一直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A.12 B.23 C.32D ．2解析对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，取m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1⇒a n ＋1a n ＝a 1＝13，故数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列，则S n ＝13(1－13n )1－13＝12(1－13n )<12，由于S n <a对任意n ∈N *恒成立，故a ≥12，即实数a 的最小值为12，选A.答案 A思维升华直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．将函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象分别向左平移m (m >0)个单位、向右平移n (n >0)个单位所得到的图象都与函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象重合，则|m －n |的最小值为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3答案 C解析函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位可得y ＝sin 2(x ＋m )＝sin(2x ＋2m )的图象，向右平移n (n >0)个单位可得y ＝sin 2(x －n )＝sin(2x －2n )的图象．若两图象都与函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象重合，则⎩⎨⎧2m ＝π3＋2k 1π，2n ＝－π3＋2k 2π，(k 1，k 2∈Z )即⎩⎨⎧m ＝π6＋k 1π，n ＝－π6＋k 2π.(k 1，k 2∈Z )所以|m －n |＝|π3＋(k 1－k 2)π|(k 1，k 2∈Z )，当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝π3.故选C.方法二特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例2 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260(2)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A ．3∶1 B ．2∶1 C ．4∶1D.3∶1解析 (1)取m ＝1，依题意a 1＝30，a 1＋a 2＝100，则a 2＝70，又{a n }是等差数列，进而a 3＝110，故S 3＝210，选C.(2)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有1C AA B V -＝1A ABC V -＝1113ABC A B C V -，故选B.答案 (1)C (2)B思维升华特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32B. 2 C ．1 D.12答案 A解析如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点， AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. 方法三排除法(筛选法)例3 函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )解析容易判断函数y＝x sin x为偶函数，可排除D；时，y＝x sin x>0，排除B；当0<x<π2当x＝π时，y＝0，可排除C；故选A.答案 A思维升华排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，a变动时，方程b＝g(a)表示的图形可以是()答案 B解析研究函数y ＝2|x |，发现它是偶函数，x ≥0时，它是增函数，因此x ＝0时函数取得最小值1，而当x ＝±4时，函数值为16，故一定有0∈[a ，b ]，而4∈[a ，b ]或者－4∈[a ，b ]，从而有结论a ＝－4时，0≤b ≤4，b ＝4时，－4≤a ≤0，因此方程b ＝g (a )的图形只能是B. 方法四数形结合法(图解法)在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．例4 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx ＝0，得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cos πx ，令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)， h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1， 1≤x ≤4，2x －1，－2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g(x)＝⎝⎛⎭⎫1x－1|关于x＝1对称，2|又x＝1也是函数h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的对称轴，所以函数g(x)＝⎝⎛⎭⎫1x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的交点也关于x＝1对称，2|且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.答案 C思维升华本题考查函数图象的应用，解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题，然后画出函数的图象找出零点再来求和．严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种数形结合的解题策略．过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－ 3答案 B解析由y＝1－x2，得x2＋y2＝1(y≥0)，其所表示的图形是以原点O为圆心，1为半径的上半圆(如图所示)．由题意及图形，知直线l的斜率必为负值，故排除A，C选项．当其斜率为－3时，直线l的方程为3x＋y－6＝0，点O到其距离为|－6|3＋1＝62>1，不符合题意，故排除D选项．选B.方法五估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例5 若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A.34 B ．1 C.74D ．2 解析如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故选C 项．答案 C思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在于所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A.m －39－mB.m －3|9－m |C.13 D ．5答案 D解析利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值，再根据半角公式求tan θ2，但运算较复杂，试根据答案的数值特征分析．由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，m为一确定的值，进而推知tanθ2也为一确定的值，又π2<θ<π，因而π4<θ2<π2，故tanθ2>1.1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力．概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．答案 24解析由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了． [问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________．答案 203．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和．标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．(2)简化计算公式①s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]，或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[问题3] 已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是________．答案 0.15、0.145 4．变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .[问题4] 回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________．答案 (x ，y )5．独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如表：y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d根据观测数据计算由公式k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )所给出的检验随机变量K 2的观测值k ，并且k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度．[问题5] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关．(请用百分数表示) 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2>k 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828答案 99.5%6．互斥事件有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[问题6] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．答案 237．古典概型P (A )＝mn (其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)[问题7] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．答案1128．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．即P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积和体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积和体积)[问题8] 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6答案 B解析记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. 9．解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法． (1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]＝n ！(n －m )！，其中m ，n ∈N *，m ≤n .当m ＝n 时，A n n ＝n ·(n－1)·……·2·1＝n ！，规定0！＝1. (2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]m ！＝n ！m ！(n －m )！. (3)组合数性质C m n ＝C n－mn，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1，规定C 0n ＝1，其中m ，n ∈N *，m ≤n .[问题9] (1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有________种．(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有________种．答案 (1)35 (2)70 10．二项式定理(1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n －1n ab n －1＋C n nb n (n ∈N *)．通项(展开式的第r ＋1项)：T r ＋1＝C rna n －r b r ，其中C r n (r ＝0,1，…，n )叫做二项式系数． (2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －r n. ②二项式系数的和等于2n (组合数公式)，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n＝2n . ③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. 特别提醒：二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错． [问题10] 设⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A ∶B ＝________. 答案 4∶1解析 T r ＋1＝C r 6x6－r (－1)r ⎝⎛⎭⎫2x r＝C r 6(－1)r 2r362r x-，6－32r ＝3，r ＝2，系数A ＝60，二项式系数B ＝C 26＝15，所以A ∶B ＝4∶1. 4∶1.11．要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别：(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生．(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB )．[问题11] 设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．答案 3512．求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k ·(1－p )n －k . [问题12] 若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的值为________.ξ 0 1 2 3 4 5 P2x3x7x2x3xx答案209解析根据概率之和为1，求出x ＝118，则E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋…＋5x ＝40x ＝209.13．一般地，如果对于任意实数a <b ，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是： ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.[问题13] 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.易错点1 统计图表识图不准致误例1 如图所示是某公司(共有员工300人)2012年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的大约有________人．错解由频率分布直方图，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10＋0.10＋0.08)＝0.62.∴估计年薪在1.4万元～1.6万元之间约有300×0.62＝186(人)．找准失分点本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义，频率分布直方图中，纵轴(矩形高)表示“频率组距”，每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率，由于概念不清，识图不准导致计算错误．正解由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24.所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)．答案 72易错点2 在几何概型中“测度”确定不准致误例2 如图所示，在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．错解记AM <AC 为事件E ，设CA ＝CB ＝a ，因为△ABC 是直角三角形，所以，AB ＝2a ，在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ＝a ，那么对线段AD 上的任意一点M 都有AM <AD ，即AM <AC ，因此AM <AC 的概率为P (E )＝AD AB ＝a 2a ＝22. 找准失分点据题意，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，射线CM 在∠ACB 内部均匀分布，但是点M 在AB 上的分布不是均匀的．正解在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ，因为AD ＝AC ＝a ，∠A ＝π4，所以∠ACD ＝∠ADC ＝3π8，则P (E )＝∠ACD ∠ACB ＝3π8π2＝34.易错点3 分不清是排列还是组合致误例3 如图所示，A ，B ，C ，D 是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？错解对于有一个中心的结构形式有A 44，对于四个岛依次相连的形式有A 44，∴共有2A 44＝48(种)．找准失分点没有分清是排列还是组合．正解由题意可能有两种结构，如图：第一种：，第二种：对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C 14种方法．对于第二种结构，有C 24A 22种方法． ∴总共有C 14＋C 24A 22＝16(种)．易错点4 均匀分组与非均匀分组混淆致误例4 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种．(用数字作答) 错解 288错误!未找到引用源。

2015届高考数学二轮(文理通用)专题综合测试：专题四

专题四综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积为()A．2πB．4πC．6π D．8π解析由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其全面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π，故选C.答案 C2．平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C. 答案 D3.如图是一正方体被过点A 、M 、N 的平面和点N 、D 、C 1的平面截去两个角后所得的几何体，其中M 、N 分别为棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则该几何体的正视图为()解析正视图是正方形，点M 的射影是中点，对角线DC 1在正视图中是虚线，故选B.答案 B4．将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的( )A.12B.13C.23D.14解析设正方体的棱长为1，依题意知，截去的角为一个三棱锥，其体积为：V 1＝13×12×1×1×1＝16，则V 正四面体＝1－4×16＝13.∴V 正四面体V 正方体＝131＝13.答案 B 5.在正四面体P ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDE⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析若平面PDE⊥平面ABC，则顶点P在底面的射影在DE上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此假设不成立，故选C.答案 C6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l.因为AB∥l，所以AB∥m，故A一定正确．因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，从而B一定正确．因为AB∥l，l⊂β，AB⊄β.所以AB∥β.故C也正确．因为AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立，故D 不一定成立．答案 D 7．(理)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点．那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )A.23B.105C.45D.155解析建立如图所示的空间直角坐标系，则O (1,1,0)，E (0,2,1)，D 1(0,0,2)，F (1,0,0)，OE →＝(－1,1,1)，FD 1→＝(－1,0,2)， ∴OE →·FD 1→＝3，|OE →|＝3，|FD 1→|＝5， ∴cos 〈OE →，FD 1→〉＝33·5＝155. 即OE 与FD 1所成的角的余弦值为155.答案 D7．(文)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析从正视图可排除A ，B ，从俯视图可排除C ，选D. 答案 D 8.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析记点B 到平面AB 1C 1的距离为d ，BB 1与平面AB 1C 1所成角为θ，连接BC 1，利用等体积法，VA －BB 1C 1＝VB －AB 1C 1，即13×3×12×2×3＝13d×12×2×23，得d＝32，则sinθ＝dBB1＝12，所以θ＝π6.答案 A9．如图，某几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为直角三角形，则这个几何体的表面中，直角三角形个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析依题意知，如图，该几何体是一个三棱锥A－BCD，其中AB⊥平面BCD，且BC⊥CD，因此有AB⊥BC，AB⊥BD，CD⊥AC，即在该几何体的表面中，直角三角形个数是4.答案 D10．设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是( )A ．V 1比V 2大约多一半B ．V 1比V 2大约多两倍半C ．V 1比V 2大约多一倍D ．V 1比V 2大约多一倍半解析设球的半径为R ，则V 1＝43πR 3，设正方体棱长为a ，则2R ＝3a ，V 2＝a 3，所以V 1＝3π2V 2，估算得选项D.答案 D11．(理)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面C 1AB 的距离为( )A.34 B.12 C.32D ．1解析取AB 中点D ，连接CD ，C 1D ，则∠CDC 1是二面角C －AB －C 1的平面角．因为AB ＝1，所以CD ＝32，所以在Rt △DCC 1中，CC 1＝CD ·tan60°＝32×3＝32，C 1D ＝CDcos ∠CDC 1＝ 3.设点C 到平面C 1AB 的距离为h ，由VC －C 1AB ＝VC 1－ABC ，得13×12×1×3h ＝13×12×1×32×32，解得h ＝34.答案 A11．(文)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面三角形BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为( )A ．16 3B ．8 3C ．4 3D.833解析设正三棱柱的底面边长为a ，高为2h ，则BD ＝C 1D ＝a 2＋h 2，BC 1＝a 2＋4h 2，由△BC 1D 是面积为6的直角三角形，得⎩⎨⎧2×(a 2＋h 2)＝a 2＋4h 2，12(a 2＋h 2)＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，h ＝2，故此三棱柱的体积为V ＝12×8×sin60°×4＝8 3.答案 B 12.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )A.23B.33C.23D.53解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，设点P 的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q 的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，∴PQ ＝(1－μ)2＋(λ－μ)2＋4λ2 ＝2μ2＋5λ2－2λμ－2μ＋1＝5⎝⎛⎭⎪⎫λ－15μ2＋95⎝⎛⎭⎪⎫μ－592＋49，当且仅当λ＝19，μ＝59时，线段PQ 的长度取得最小值23. 答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．解析该几何体为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2.所以体积V ＝13×12×π×12×2＝π3.答案 π314．关于直线m ，n 和平面α，β，有以下四个命题： ①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； ②若m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β，则α⊥β； ③若α∩β＝m ，m ∥n ，则n ∥α且n ∥β； ④若m ⊥n ，α∩β＝m ，则n ⊥α或n ⊥β. 其中假命题的序号是________．解析命题①m 与n 也可能相交或异面，所以①是假命题；命题②由条件可得m ⊥β，又m ⊂α，故α⊥β，所以②是真命题；命题③也可得到n ⊂α或n ⊂β，所以③是假命题；命题④由已知只能得到n 垂直α与β内的一条直线，无法判定n ⊥α或n ⊥β，所以命题④是假命题．答案 ①③④15．三棱锥P －ABC 的两侧面P AB ，PBC 都是边长为2a 的正三角形，AC＝3a，则二面角A－PB－C的大小为________．解析取PB的中点M，连接AM，CM，如图所示．则AM⊥PB，CM⊥PB.故∠AMC为二面角A－PB－C的平面角．在△P AB和△PBC中可得AM＝CM＝3a，而AC＝3a，则△AMC为正三角形，∴∠AMC＝60°.则二面角A－PB－C的大小为60°.答案60°16.如图，三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC ⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确结论的序号是________．解析由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，①②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离12a ，④正确．答案 ①②③④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是棱BB 1的中点，N 是CC 1的中点，AC 1与A 1N 相交于点E .(1)求三棱锥A －MNA 1的体积；(2)求证：AC 1⊥A 1M .解 (1)∵三棱锥A －MNA 1的体积等于三棱锥M －ANA 1的体积，∴V ＝13×12×6×3×1＝22.(2)证明：∵BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，∴BC ⊥面ACC 1.连接MN ，由M ，N 分别是BB 1和CC 1的中点可知MN ∥BC ， ∴MN ⊥面ACC 1，又∵AC 1⊂面ACC 1.∴MN ⊥AC 1.在Rt △A 1C 1N 中，A 1N 2＝NC 21＋A 1C 21＝3＋64＝92，∴A 1N ＝32 2.在Rt △AC 1C 中，AC 21＝CC 21＋AC 2＝3＋6＝9，∴AC 1＝3.由CC 1∥AA 1可得，NE ＝13NA 1＝22，EC 1＝13AC 1＝1，∴NE 2＋EC 21＝NC 21.∴AC 1⊥A 1N .∴AC 1⊥面A 1MN ，又∵A 1M ⊂面A 1MN ，∴AC 1⊥A 1M .18．(本小题12分)如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积．解 (1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC .∵AD ⊂平面ADB ，∴平面ADB ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ，∵DB ＝DA ＝DC ＝1，∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32，∴表面积S ＝12×3＋32＝3＋32. 19．(本小题12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：P A ⊥BD ；(2)设PD ＝AD ＝1，求棱锥D －PBC 的高．解 (1)因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD＝3AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D，所以BD⊥平面P AD.又P A⊂平面P AD，故P A⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E，已知PD⊥底面ABCD，则PD ⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD.又PD∩BD＝D，故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.由题设知PD＝1，则BD＝3，PB＝2.根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝3 2.即棱锥D－PBC的高为3 2.20．(理)(2014·山东卷)(本小题12分)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．解(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB＝2CD，所以AB∥DC.又由M是AB的中点，因此CD∥MA且CD＝MA.连接AD1，如图(1)．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此C1M∥D1A.又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，所以C1M∥平面A1ADD1.(2)如图(2)，连接AC，MC.由(1)知CD∥AM且CD＝AM，所以四边形AMCD为平行四边形，可得BC ＝AD ＝MC ，由题意∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C －xyz ，所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)，因此M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，0. 设平面C 1D 1M 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧ n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝0，3x ＋y －23z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量，因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→·n |CD 1→||n |＝55. 所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55.20．(文)(2014·北京卷)(本小题12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．解(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝ 3.所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.21．(理)(2014·四川卷)(本小题12分)三棱锥A －BCD 及其侧(左)视图、俯视图如图所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP .(1)证明：P 是线段BC 的中点；(2)求二面角A －NP －M 的余弦值．解(1)如图，取BD 中点O ，连接AO ，CO .由侧(左)视图及俯视图知，△ABD ，△BCD 为正三角形，因此AO ⊥BD ，OC ⊥BD .因为AO ，OC ⊂平面AOC ，且AO ∩OC ＝O ，所以BD ⊥平面AOC .又因为AC ⊂平面AOC ，所以BD ⊥AC .取BO 的中点H ，连接NH ，PH .又M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以NH ∥AO ，MN ∥BD .因为AO ⊥BD ，所以NH ⊥BD .因为MN ⊥NP ，所以NP ⊥BD .因为NH ，NP ⊂平面NHP ，且NH ∩NP ＝N ，所以BD ⊥平面NHP .又因为HP ⊂平面NHP ，所以BD ⊥HP .又OC ⊥BD ，HP ⊂平面BCD ，OC ⊂平面BCD ，所以HP ∥OC .因为H 为BO 中点，故P 为BC 中点．(2)由俯视图及(1)可知，AO ⊥平面BCD .因为OC ，OB ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，AO ⊥OB .又OC ⊥OB ，所以直线OA ，OB ，OC 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，以OB→，OC →，OA →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .则A (0,0，3)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，D (－1,0,0)．因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，又由(1)知，P 为线段BC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0. 于是AB →＝(1,0，－3)，BC →＝(－1，3，0)，MN →＝(1,0,0)，NP →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，－32.设平面ABC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1⊥AB →，n 1⊥BC→，即⎩⎨⎧n 1·AB→＝0，n 1·BC→＝0，有⎩⎪⎨⎪⎧(x 1，y 1，z 1)·(1，0，－3)＝0，(x 1，y 1，z 1)·(－1，3，0)＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0.取z 1＝1，则x 1＝3，y 1＝1，所以n 1＝(3，1,1)．设平面MNP 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2⊥MN →，n 2⊥NP→，即⎩⎨⎧n 2·MN→＝0，n 2·NP→＝0，有⎩⎨⎧(x 2，y 2，z 2)·(1，0，0)＝0，(x 2，y 2，z 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，－32＝0，从而⎩⎨⎧x 2＝0，32y 2－32z 2＝0.取z 2＝1，所以n 2＝(0,1,1)．设二面角A －NP －M 的大小为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(3，1，1)·(0，1，1)5×2＝105. 故二面角A －NP －M 的余弦值是105. 21．(文)(2014·安徽卷)(本小题12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．解(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为P A＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB:AB＝KB:DB＝1:4，从而KB＝14DB＝12OB，即K为OB的中点．再由PO∥GK得GK＝12PO，即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.22．(理)(本小题12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .并求BDBC 1的值．解 (1)证明：因为四边形AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC . 因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)，A 1B →＝(0,3，－4)，A 1C 1→＝(4,0,0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(3)证明：设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→，所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. 所以AD→＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925. 因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，此时，BD BC 1＝λ＝925.22．(文)(2014·天津卷)(本小题12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点． (1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P －AD －B 为60°， ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．解 (1)证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12BC . 由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD . 又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)①证明：如图，连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2. 在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1. 在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC . 又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD . ②连接BF .由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角．而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故EF ＝112.又BE ＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111. 所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111.。

【创新设计】2015高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：真题感悟·考点整合选修4-5 Word版含解析]

[真题感悟]1．(2014·广东卷)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．解析当x <－2时，原不等式等价于1－x －x －2≥5⇒x ≤－3，此时得到x ≤－3；当－2≤x ≤1时，原不等式等价于1－x ＋x ＋2≥5，此时无解；当x >1时，原不等式等价于x －1＋x ＋2≥5⇒x ≥2，此时得到x ≥2.于是原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．答案 {x ≤－3或x ≥2}2．(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________. 解析由|ax －2|<3，解得－1<ax <5，当a ＞0时，－1a ＜x ＜5a 与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a ＜0时，5a ＜x ＜－1a ，又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，故a ＝－3. 答案－33．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．解析根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.答案 5 4．(2014·重庆卷)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析法一设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x ≤－2，－x ＋3，－2<x <12，3x ＋1，x ≥12，∴x ＝12，函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|取最小值3×12＋1＝52，∴|2x －1|＋|x ＋2|≥52≥a 2＋12a ＋2，即2a 2＋a －1≤0，∴－1≤a ≤12.法二 |2x －1|＋|x ＋2|＝|x －12|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|x －12|＋|x ＋2|≥0＋|(x －12)－(x ＋2)|＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [考点整合]1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1na 2i )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1nb 2i ≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.需要灵活地应用．6．不等式的性质，特别是基本不等式链11a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.。

【创新设计】(江西专用)2015高考数学二轮复习专题训练限时练4 理

限时练四(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若(a －1)(a ＋1＋i)是纯虚数，则a 的值为 ( )．A ．－1或1B ．1C ．－1D ．3解析 ∵(a －1)(a ＋1＋i)＝(a 2－1)＋(a －1)i 是纯虚数，∴a 2－1＝0，且a －1≠0，∴a ＝－1.答案 C2．若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q 的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件．答案 A3．已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析先把不同底指数化成同底指数，再利用指数函数的单调性比较大小，最后利用中间值与对数函数值进行比较大小．a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a . 答案 A4．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为 ( )． A ．24 B ．39 C ．52D ．104解析 ∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，由等差数列的性质得6a 4＋6a 10＝48，∴a 7＝4，∴数列{a n }的前13项和为13a 7＝52.答案 C5.执行如图的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析此程序框图的算法功能是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞2，x 2－1，x ≤2的求值，当y ＝3时，相应的x 值分别为±2,8. 答案 C6．登山族为了了解某山高y (km)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：由表中数据，得到线性回归方程y ＝－2x ＋a (a ∈R )．由此估计山高为72(km)处气温的度数为 ( )．A ．－10B ．－8C ．－6D ．－4解析 ∵x ＝10，y ＝40，∴样本中心点为(10,40)，∵回归直线过样本中心点，∴40＝－20＋a ^，即a ^＝60，∴线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，∴山高为72(km)处气温的度数为－6. 答案 C7．曲线f (x )＝e x(其中e 为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线与直线y ＝－x ＋3和x 轴所围成的区域为D (包含边界)，点P (x ，y )为区域D 内的动点，则z ＝x －3y 的最大值为 ( )． A ．3B ．4C．－1 D．2解析∵f′(x)＝e x，∴f′(0)＝1，∴曲线f(x)＝e x在点(0,1)处的切线方程为y＝x ＋1，其与直线y＝－x＋3及x轴围成的平面区域如图阴影部分所示，当直线z＝x－3y 过点A(3,0)时，目标函数z＝x－3y取得最大值3.答案 A8．三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为( )．A．211 B．4 2C.38 D．16 3解析取AC的中点D，连接BD，SD，由正视图及侧视图得，BD⊥平面SAC，SC⊥平面ABC，则∠SDB＝90°，且BD＝23，SD＝25，∴SB＝4 2.答案 B9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是 ( )． A ．1 B ． 2 C ．3D ． 3解析 ∵c sin A ＝3a cos C ∴sin C sin A ＝3sin A cos C ， ∵sin A ≠0，∴tan C ＝3，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴32＜3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3，∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.答案 D10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a －y 2b ＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2.若线段MF 1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为( )．A ．4＋2 3B ．3－1 C.3－12D ．3＋1解析 ∵正三角形MF 1F 2的边长为2c ，设MF 1的中点为N ，∴F 2N ⊥NF 1，在Rt △NF 1F 2中，容易求得，|NF 2|＝3c ，|NF 1|＝c ，又N 在双曲线上，∴|NF 2|－|NF 1|＝2a ，∴2a ＝3c －c ，∴e ＝c a＝23－1＝3＋1. 答案 D11．若k ∈[－3,3]，则k 的值使得过A (1,1)可以做两条直线与圆(x －k )2＋y 2＝2相切的概率等于 ( )．A.12 B ．13 C.23D ．34解析点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切，故需圆心与点A 距离大于半径即可，即(1－k )2＋1＞2，解得k ＜0或k ＞2，所以所求k ∈[－3,0)∪(2,3]，概率为P ＝46＝23.答案 C12．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图，下列关于函数f (x )的四个命题：①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．其中真命题的个数是 ( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析首先排除①，不能确定周期性，f (x )在[0,2]上时f ′(x )<0，故②正确，当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，结合原函数的单调性知0≤t ≤5，所以排除③；不能确定在x ＝2时函数值和a 的大小，故不能确定几个零点，故 ④错误．答案 D 二、填空题13．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，且a ∥b ，则|a －b |＝________.解析 ∵a ∥b ，∴1×6－2x ＝0，∴x ＝3. 故|a －b |＝－2＋－2＝2 5.答案 2 514.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________．解析 T r ＋1＝C r5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r ＝C r 5(－2)r x 10－5r ，令10－5r ＝0得r ＝2.所以常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40. 答案 4015．在三棱锥P ABC 中，侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则三棱锥的外接球的表面积为________．解析 ∵侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，∴三棱锥P ABC 的外接球就是以PC ，PB ，PA 为长，宽，高的长方体的外接球，∵PA ＝1，PB ＝2，PC ＝3，∴长方体的体对角线即外接球的直径为14，∴此三棱锥的外接球的表面积为14π. 答案 14π16．若实数a ，b ，c ，d 满足|b ＋a 2－3ln a |＋(c －d ＋2)2＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为______．解析 ∵|b ＋a 2－3ln a |＋(c －d ＋2)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3ln a －a 2，d ＝c ＋2，(a －c )2＋(b －d )2表示两点(a ，b )，(c ，d )间距离的平方，将直线d ＝c ＋2平移到与曲线b ＝3ln a －a 2相切，切点到直线d ＝c ＋2的距离即两点(a ，b )，(c ，d )间距离的最小值，由b ′＝3a －2a ＝1，得a ＝1(a ＝－32舍去)，∴切点为(1，－1)，到直线d ＝c ＋2的距离为22，∴(a －c )2＋(b －d )2的最小值为8. 答案 8。

2015年高考理科数学(鲁闽皖津京)二轮突破练4份

突破练(一) ................................................................................................................................ 1 突破练(二) ................................................................................................................................ 7 突破练(三) .............................................................................................................................. 13 突破练(四) (20)突破练(一)1．已知函数f (x )＝sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos 2x －12.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝12，b ＋c ＝3.求a 的最小值．解 (1)f (x )＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＋cos 2x －12＝32sin x cos x ＋12cos 2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋14＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14. ∴函数f (x )的最大值为34.当f (x )取最大值时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，∴2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π6，k ∈Z .故x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意f (A )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋14＝12，化简得sin (2A ＋π6)＝12.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈(π6，13π6)，∴2A ＋π6＝5π6， ∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc . 由b ＋c ＝3，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝94，即a 2≥94. ∴当b ＝c ＝32时，a 取最小值32.2．某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的被淘汰，若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图．(1)求获得参赛资格的人数；(2)根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望E (ξ)．解 (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为500×(0.005 0＋0.004 3＋0.003 2)×20＝125人．(2)设500名学生的平均成绩为x ，则x ＝[(30＋50)×0.0 065＋(50＋70)×0.0 140＋(70＋90)×0.0 170＋(90＋110)×0.0 050＋(110＋130)×0.0 043＋(130＋150)×0.0 032]×12×20＝74.84分．(3)设学生甲答对每道题的概率为P (A )，则[1－P (A )]2＝19，P (A )＝23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5. 则P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝13，P (ξ＝4)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1027， P (ξ＝5)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.所以ξ的分布列为 ξ 3 4 5 P131027827E (ξ)＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝－4S n ＋1，a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，a n ＝－4S n －1＋1，又a n ＋1＝－4S n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝－4a n ，即a n ＋1a n ＝－3，n ≥2，又a 2＝－4a 1＋1＝－3，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝－3的等比数列， ∴a n ＝(－3)n －1.(2)由(1)可得b n ＝n ·(－3)n －1，T n ＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n －1)·(－3)n －2＋n ·(－3)n －1，－3T n ＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n －2)·(－3)n －2＋(n －1)·(－3)n －1＋n (－3)n ， ∴4T n ＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ·(－3)n ，所以，T n ＝1－(4n ＋1)(－3)n 16.4．如图，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12AP ＝2，D 是AP 的中点，E 、G 分别为PC 、CB 的中点，F 是PD 上的点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD .(1)若F 是PD 的中点，求证：AP ∥平面EFG ；(2)当二面角G －EF －D 的大小为π4时，求FG 与平面PBC 所成角的余弦值．(1)证明 F 是PD 的中点时，EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，∴AB ∥平面EFG ，PB ∥平面EFG ，AB ∩PB ＝B ，∴平面P AB ∥平面EFG ，AP ⊂平面P AB ，∴AP ∥平面EFG .(2)解建立如图所示的坐标系，则有G (1,2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0)，设F (0,0，a )，GF →＝(－1，－2，a )，GE →＝(－1，－1,1)，设平面EFG的法向量n 1＝(x ，y,1)，则有 ⎩⎨⎧－x －2y ＋a ＝0，－x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2－a ，y ＝a －1，∴n 1＝(2－a ，a －1,1)．取平面EFD 的法向量n 2＝(1,0,0)，依题意， cos 〈n 1，n 2〉＝2－a (2－a )2＋(a －1)2＋1＝22， ∴a ＝1，于是GF→＝(－1，－2,1)．设平面PBC 的法向量n 3＝(m ，n,1)，PC→＝(0,2，－2)，BC →＝(－2,0,0)，则有⎩⎨⎧ 2n －2＝0，－2m ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝0，n ＝1.∴n 3＝(0,1,1)．设FG 与平面PBC 所成角为θ，则有sin θ＝|cos 〈GF →，n 3〉|＝16·2＝36，故有cos θ＝336.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，l 与抛物线的一个交点为A ，与抛物线的准线交于点B ，且AF→＝FB →.(1)求以AB 为直径的圆被抛物线的准线截得的弦长；(2)平行于AB 的直线与抛物线相交于C 、D 两点，若在抛物线上存在一点P ，使得直线PC 与PD 的斜率之积为－4，求直线CD 在y 轴上截距的最大值．解 (1)过A 作y 2＝4x 准线的垂线AH ，垂足为H ，则|AH |＝|AF |＝12|AB |，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，所以B (－1，－23)，|BF |＝4，所以，以AB 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝16，所以，截得的弦长为4 3.(2)设直线CD ：y ＝3x ＋m ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，把y ＝3x ＋m 代入y 2＝4x ，消去x 得，3y 2－4y ＋4m ＝0，则y 1＋y 2＝43，y 1·y 2＝4m 3，Δ＝16－163m ＞0，所以m ＜33，所以，k PC ·k PD ＝4y 1＋y 0·4y 2＋y 0＝－4，所以y 1·y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝－4，所以y 20＋4y 03＋4m3＝－4，所以3y 20＋4y 0＋(4m ＋43)＝0.所以Δ＝16－43(4m＋43)≥0，所以m≤－23 3当m＝－233时，直线CD：y＝3x－233，所以直线在y轴上截距最大值为－23 3.6．已知函数f(x)＝ln x.(1)求证：当0＜x＜1时，f(1＋x)＜x－x3 6；(2)设g(x)＝ax－(x＋1)f(x＋1)，若g(x)的最大值不大于0，求a的取值集合；(3)求证：(1＋1)(1＋12) (1)1n)＞e n－25(n∈N*)．(1)证明要证f(x＋1)＜x－16x3(0＜x＜1)，即证：ln(x＋1)＜x－16x3(0＜x＜1)，设u(x)＝x－16x3－ln(x＋1)(0＜x＜1)，则u′(x)＝－x(x＋2)(x－1)2(x＋1)＞0，所以，u(x)在(0,1)递增，即u(x)＞u(0)＝0.从而f(x＋1)＜x－16x3(0＜x＜1)成立．(2)解g(x)＝ax－(x＋1)ln(x＋1)，∴g′(x)＝a－[1＋ln(x＋1)]，令g′(x0)＝0，则x0＝e a－1－1.x (－1，x0)x0(x0，＋∞)g′(x)＋0－g(x)极大∴g(x)max＝g(x)极大值＝g(x0)＝a(e a－1－1)－(a－1)e a－1＝e a－1－a，令a－1＝x，则a＝x＋1，∴g(x)max＝e x－(x＋1)，设h(x)＝e x－(x＋1)，则h′(x)＝e x－1.令h′(x)＝0，则x＝0.x (－∞，0)0(0，＋∞)g ′(x ) － 0 ＋ g (x )极小所以，h (x )≥h (0)＝0，从而有e a －1－a ≥0，又因为g (x )max ＝e a －1－a ≤0，所以，e a －1－a ＝0，即：a ＝1. (3)证明要证(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12…＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞e ，即证：ln(1＋1)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞n －25，由(2)可知ln(x ＋1)≥x x ＋1，令x ＝1n，当n ≥3时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ≥11＋n ＞1n －1＋n＝n －n －1，所以，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12≥2－1，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＞3－2，…，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞n －n －1，所以，ln(1＋1)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞n －1＋ln 2＞n －25，即：(1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋12…(1＋1n)＞e 成立．突破练(二)1．已知函数f (x )＝A sin (ωx －π6)(ω＞0)相邻两个对称轴之间的距离是π2，且满足，f (π4)＝ 3.(1)求f (x )的单调递减区间；(2)在钝角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，sin B ＝3sin C ，a ＝2，f (A )＝1，求△ABC 的面积．解 (1)由题意知周期T ＝π，∴ω＝2，因为f (π4)＝3，所以A ＝2，f (x )＝2sin (2x －π6)，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )．(2)由题意b ＝3c ，f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝12，∵ －π6＜2A －π6＜11π6，∴A ＝π6或π2，因为△ABC 为钝角三角形，所以A ＝π2舍去，故A ＝π6， ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝3c 2＋c 2－23c 2×32＝c 2，所以c ＝2，b ＝23，S △ABC ＝12×23×2×12＝ 3. 2．已知正项等比数列{a n }满足a 2＝19，a 4＝181，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n log 3a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .解 (1)设公比为q .∵a 4a 2＝19＝q 2，∴q ＝13或q ＝－13.又数列{a n }为正项等比数列，∴q ＝13. 又∵a 2＝19. ∴a 1＝13， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，n ∈N *.(2)∵b n ＝log 3a n ·log 3a n ＋1，n ∈N *， ∴b n ＝n (n ＋1)，n ∈N *. ∴1b n＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.3．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示．若要在成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查．(1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；(2)在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求ξ的分布列和数学期望．解(1)设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A，第三组人数为100×0.06×5＝30，第四组人数为100×0.04×5＝20，第五组人数为100×0.02×5＝10，根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，则：P(A)＝C12·C118＋1C220＝37190.(2)第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.且P(ξ＝i)＝C i3C3－i3C36(i＝0、1、2、3)，则随机变量ξ的分布列为：ξ012 3P120920920120E(ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.4. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝4，BD＝23，PD⊥底面ABCD.(1)证明：平面PBC ⊥平面PBD ； (2)若二面角P －BC －D 大小为π4，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值．(1)证明 ∵CD 2＝BC 2＋BD 2.∴BC ⊥BD . 又∵PD ⊥底面ABCD .∴PD ⊥BC . 又∵PD ∩BD ＝D .∴BC ⊥平面PBD .而BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PBD .(2)解由(1)所证，BC ⊥平面PBD ，所以∠PBD 即为二面P －BC －D 的平面角，即∠PBD ＝π4.而BD ＝23，所以PD ＝2 3.因为底面ABCD 为平行四边形，所以DA ⊥DB ，分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，B (0,23，0)，C (－2,23，0)，P (0,0,23)，所以，AP→＝(－2,0,23)，BC →＝(－2,0,0)，BP→＝(0，－23，23)，设平面PBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎨⎧－2a ＝0，－23b ＋23c ＝0. 令b ＝1则n ＝(0,1,1)，∴AP 与平面PBC 所成角的正弦值为sin θ＝||AP →·n ||AP →||n ＝234×2＝64.5．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －2y ＋35＝0相切，点A 为圆上一动点，AM ⊥x 轴于点M ，且动点N 满ON→＝33OA →＋(1－33)OM →，设动点N 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于B 、D 两点，求△OBD 面积的最大值．解 (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AM ⊥x 轴于M ，所以M (x 0,0)，设圆C 1的方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意得r ＝|35|1＋4＝3，所以圆C 1的方程为x 2＋y 2＝9，由题意，ON→＝33OA →＋(1－33)OM →，得(x ，y )＝33(x 0，y 0)＋(1－33)(x 0,0)，所以⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝33y 0，即⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝3y . 将A (x ，3y )代入x 2＋y 2＝9，得动点N 的轨迹方程x 29＋y 23＝1. (2)由题意可设直线l ：2x ＋y ＋m ＝0，设直线l 与椭圆 x 29＋y 23＝1交于B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧y ＝－2x －m ，x 2＋3y 2＝9得13x 2＋12mx ＋3m 2－9＝0，Δ＝144m 2－13×4(3m 2－9)＞0，解得m 2＜39， x 1,2＝－12m ±468－12m 226＝－6m ±117－3m 213，又因为点O 到直线l 的距离d ＝|m |5， BD ＝5·|x 1－x 2|＝5·2117－3m 213，所以S △OBD ＝12·|m |5·5·2117－3m 213＝m 2(117－3m 2)13＝3m 2(39－m 2)13≤332(当且仅当m 2＝39－m 2即m 2＝392时取到最大值)．所以△OBD 面积的最大值为332.6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－e 2x＋bx ＋c ，x ≤1，a (x 2ln x －x ＋1)＋1，x ＞1，函数f (x )在x ＝0处取得极值1.(1)求实数b ，c 的值；(2)求f (x )在区间[－2,2]上的最大值．解 (1)由题意当x ＝0时，f (0)＝c －1＝1，∴c ＝2，当x ＜1时，f ′(x )＝－2e 2x ＋b ，依题意得f ′(0)＝－2e 0＋b ＝0，∴b ＝2，经检验⎩⎨⎧b ＝2，c ＝2符合条件．(2)由(1)知，f (x )＝⎩⎨⎧－e 2x＋2x ＋2，x ≤1，a (x 2ln x －x ＋1)＋1，x ＞1，①当－2≤x ≤1时，f (x )＝－e 2x ＋2x ＋2，f ′(x )＝－2e 2x ＋2，令f ′(x )＝0得x ＝0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －2 (－2,0) 0 (0,1) 1 f ′(x ) ＋ 0 － f (x )－e －4－2递增极大值1递减4－e 2由上表可知f(x)在[－2,1]上的最大值为1.②当1＜x≤2时，f(x)＝a(x2ln x－x＋1)＋1.f′(x)＝a(2x ln x＋x－1)，令g(x)＝2x ln x＋x－1，当1＜x≤2时，显然g(x)＞0恒成立，当a＜0时，f′(x)＝a(2x ln x＋x－1)＜0，f(x)在(1,2]单调递减，所以f(x)＜f(1)＝1恒成立．此时函数在[－2,2]上的最大值为1；当a＝0时，在(1,2]上f(x)＝1，当a＞0时，在(1,2]上f′(x)＝a(2x ln x＋x－1)＞0，所以在(1,2]上，函数f(x)为单调递增函数．所以f(x)在(1,2]上最大值为a(4ln 2－1)＋1，因为a(4ln 2－1)＋1＞1，故函数f(x)在[－2,2]上的最大值为a(4 ln 2－1)＋1.综上：当a≤0时，f(x)在[－2,2]上的最大值为1；当a＞0时，f(x)在[－2,2]上的最大值为a(4 ln 2－1)＋1.突破练(三)1．设函数f(x)＝sin (ωx＋π6)＋2sin2ωx2(ω＞0)，已知函数f(x)的图象的相邻对称轴的距离为π.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(其中b＜c)且f(A)＝3 2，△ABC的面积为S＝63，a＝27，求b，c的值．解(1)f(x)＝32sin ωx＋12cos ωx＋1－cos ωx＝32sin ωx－12cos ωx＋1＝sin (ωx－π6)＋1.∵函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π.∴函数f(x)的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (x －π6)＋1. (2)由f (A )＝32，得sin (A －π6)＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵S ＝12bc sin A ＝6 3. ∴12bc sin π3＝63，bc ＝24.由余弦定理，得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－24. ∴b 2＋c 2＝52.又∵b ＜c ，解得b ＝4，c ＝6.2．为了了解某校今年高三男生的身体状况，随机抽查了部分男生，将测得的他们的体重(单位：千克)数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.(1)求该校随机抽查的部分男生的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市高三男生中任选3人，设X 表示体重超过55千克的学生人数，求X 的数学期望．解 (1)设该校随机抽查的部分男生的总人数为n ，前3个小组的频率分别为P 1、P 2、P 3，则⎩⎨⎧P 2＝2P 1，P 3＝3P 1，P 1＋P 2＋P 3＋(0.037 5＋0.012 5)×5＝1，解得⎩⎨⎧P 1＝0.125，P 2＝0.25，P 3＝0.375.因为P 2＝0.25＝12n ，所以n ＝48.(2)由(1)可得，一个男生体重超过55千克的概率为P ＝P 3＋(0.037 5＋0.012 5)×5＝58.所以X ～B (3，58)，所以P (X ＝k )＝C k 3(58)k (38)3－k，k ＝0,1,2,3. 随机变量X 的分布列为(可不写)：X 0 1 2 3 P27512135512225512125512则E (X )＝0×27512＋1×135512＋2×225512＋3×125512＝158. (或：E (X )＝3×58＝158)3．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2S n(－2)n (n ＋1)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .解 (1)∵S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *，当n ＝1时，S 1＝a 1(a 1＋1)2，∴a 1＝1. 由⎩⎨⎧2S n ＝a 2n ＋a n2S n －1＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2)得，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n ＋a n －1＞0， ∴a n －a n －1＝1(n ≥2)，∴数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝n . (2)由(1)知S n ＝n (n ＋1)2，∴b n ＝2S n (－2)n(n ＋1)＝n(－2)n， ∴T n ＝1－2＋2(－2)2＋…＋n －1(－2)n －1＋n(－2)n ，－2T n ＝1＋2－2＋…＋n －1(－2)n －2＋n (－2)n －1，两式相减，得－3T n ＝1＋1－2＋1(－2)2＋…＋1(－2)n －1－n(－2)n＝1－1(－2)n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－n (－2)n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(－2)n －n(－2)n ， ∴T n ＝－29＋2＋3n 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.4．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2，A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D . (1)求证：BA 1⊥AC 1；(2)求二面角A －A 1B －C 的余弦值．(1)证明取AB 的中点E ，连接DE ，则DE ∥BC . ∵BC ⊥AC ，∴DE ⊥AC .∵A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，∴A 1D ⊥平面ABC .∴分别以DE ，DC ，DA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .则A (0，－1,0)，C (0,1,0)，B (2,1,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3)，∴AC 1→＝(0,3，3)，BA 1→＝(－2，－1，3)． ∴AC 1→·BA 1→＝0，BA 1⊥AC 1.(2)解设平面A 1AB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)． AA 1→＝(0,1，3)，AB →＝(2,2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，得⎩⎨⎧y 1＋3z 1＝02x 1＋2y 1＝0，令z 1＝1，得x 1＝3，y 1＝－3， ∴n ＝(3，－3，1)．设平面A 1BC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)． CA 1→＝(0，－1，3)，CB →＝(2,0,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA 1→＝0，m ·CB →＝0，得⎩⎨⎧－y 2＋3z 2＝0，2x 2＝0，令z 2＝1，得y 2＝3，∴m ＝(0，3，1)．故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－77. 易知二面角A －A 1B －C 为锐二面角， ∴二面角A －A 1B －C 的余弦值为77.5．已知点P (1，－32)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，过椭圆C 的右焦点F 2(1,0)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MN ∥AB ，W ＝|AB |2|MN |.试判断W 是否为定值？若W 为定值，请求出这个定值；若W 不是定值，请说明理由．解 (1)椭圆C 的右焦点坐标为(1,0)，∴c ＝1，椭圆C 的左焦点坐标为(－1,0)，可得2a ＝(1＋1)2＋(－32)2＋(1－1)2＋(－32)2＝52＋32＝4，解得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线斜率不存在时，|AB |2＝(2b )2＝4b 2， |MN |＝2b 2a ，∴W ＝|AB |2|MN |＝4b 22b 2a＝2a ＝4.②当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －1)得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)[(8k 23＋4k 2)2－4×4k 2－123＋4k 2]＝12(k 2＋1)3＋4k 2.设直线AB 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx消去y ，并整理得：x 2＝123＋4k 2，设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则 |AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴W ＝|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(1＋k 2)3＋4k 2＝4.由①②可得，W 为定值4.综上所述，W 为定值1.6．已知函数f (x )＝ax －bx ln x ，其图象经过点(1,1)，且在(e ，f (e))处的切线斜率为3(e为自然对数的底数)．(1)求实数a、b的值；(2)若k∈Z，且k＜f(x)x－1对任意x＞1恒成立，求k的最大值；(3)证明：2ln 2＋3ln 3＋…＋n ln n＞(n－1)2(n∈N*，n＞1)．(1)解因为f(1)＝1，所以a＝1，此时f(x)＝x－bx ln x，f′(x)＝1－b(1＋ln x)，依题意，f′(e)＝1－b(1＋ln e)＝3，所以b＝－1.(2)解由(1)知：f(x)＝x＋x ln x，当x＞1时，设g(x)＝f(x)x－1＝x＋x ln xx－1，则g′(x)＝x－2－ln x (x－1)2.设h(x)＝x－2－ln x，则h′(x)＝1－1x＞0，h(x)在(1，＋∞)上是增函数．因为h(3)＝1－ln 3＜0，h(4)＝2－ln 4＞0，所以，存在x0∈(3,4)，使h(x0)＝0.当x∈(1，x0)时，h(x)＜0，g′(x)＜0，即g(x)在(1，x0)上为减函数；同理g(x)在(x0，＋∞)上为增函数，从而g(x)的最小值为g(x0)＝x0＋x0ln x0x0－1＝x0，因为x0∈(3,4)，所以k的最大值为3.(3)证明由(2)知，当x＞1时，f(x)x－1＞3，所以f(x)＞3x－3，即x＋x ln x＞3x－3，x ln x＞2x－3，所以2ln 2＋3ln 3＋…＋n ln n＞(2×2－3)＋(2×3－3)＋…＋(2n－3)＝2(2＋3＋…＋n)－3(n－1)＝2×(n－1)(2＋n)2－3n＋3＝n2－2n＋1＝(n－1)2(n∈N*，n＞1).突破练(四)1．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h (x )的图象，再将h (x )的图象向右平移π3个单位得到g (x )的图象，求函数g (x )的解析式，并求g (x )在[0，π]上的值域．解 (1)∵f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ， ∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z . 得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)∵f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1――→横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，∵x ∈[0，π]，∴x －π6∈[－π6，5π6]． ∴sin (x －π6)∈[－12，1]． ∴g (x )在[0，π]上的值域为[0,3]．2．今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数469634(1)完成被调查人员的频率分布直方图；(2)若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解各组的频率分布是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1.所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02，0.01，0.01.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 26C 210＝610×1545＝45225＝1575， P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 26C 210＋C 24C 25·C 14×C 16C 210＝410×1545＋610×2445＝102225＝3475， P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 14·C 16C 210＋C 24C 25·C 24C 210＝410×2445＋610×645＝66225＝2275， P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 24C 210＝410×645＝12225＝475，所以ξ的分布列是ξ012 3P 157534752275475所以ξ的数学期望E(ξ)＝6 5.3．如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2.(1)求证：AF∥平面CDE；(2)求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；(3)求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．(1)证明法一取CE的中点为G，连接DG，FG.∵BF∥CG且BF＝CG，∴四边形BFGC为平行四边形，则BC∥FG，且BC＝FG.∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD且BC＝AD，∴FG∥AD且FG＝AD，∴四边形AFGD为平行四边形，则AF∥DG.∵DG⊂平面CDE，AF⊄平面CDE，∴AF∥平面CDE.法二在矩形ABCD中有AB∥CD，∵CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ， ∴AB ∥平面CDE .在梯形BCEF 中有BF ∥CE . ∵CE ⊂平面CDE ，BF ⊄平面CDE ， ∴BF ∥平面CDE .又∵AB ∩BF ＝B ，且AB ⊂平面ABF ，BF ⊂平面ABF ， ∴平面ABF ∥平面CDE . 又∵AF ⊂平面ABF ， ∴AF ∥平面CDE .(2)解 ∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥CD ，又∵平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD ∩平面BCEF ＝BC ， BC ⊥CE ，∴DC ⊥平面BCEF .以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意我们可得以下点的坐标：A (2,0,4)，B (2,0,0)，C (0,0,0)，D (0,0,4)，E (0,4,0)，F (2,2,0)，则AD →＝(－2,0,0)，DE→＝(0,4，－4)．设平面ADE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n 1＝0，DE →·n 1＝0，∴⎩⎨⎧－2x ＝0，4y 1－4z 1＝0，取z 1＝1，得n 1＝(0,1,1)． ∵DC ⊥平面BCEF .∴平面BCEF 的一个法向量为CD→＝(0,0,4)．设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n 1|CD →|·|n 1|＝44×2＝22，因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值为22. (3)解根据(2)知平面ADE 的一个法向量为 n 1＝(0,1,1)，∵EF→＝(2，－2,0)，∴cos 〈EF →，n 1〉＝EF →·n 1|EF →|·|n 1|＝－222×2＝－12，设直线EF 与平面ADE 所成的角为θ，则cos θ＝|sin 〈EF →，n 1〉|＝32，因此，直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值为32.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n ·b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3. (1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n .解 (1)当n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n ＋1，∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3， ∴b n ＋1＝4n ＋33n .∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式，∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，①13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4×13(1－13n －1)1－13－4n －13n＝5－4n ＋53n ， ∴T n ＝152－4n ＋52×3n －1.5．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为单位圆C 2：x 2＋y 2＝1的直径，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆短轴的上顶点B 1作直线分别与单位圆C 2和椭圆C 1交于A ，B 两点(A ，B 两点均在y 轴的右侧)，设B 2为椭圆的短轴的下顶点，求∠AB 2B 的最大值．解 (1)由题知b ＝1，又e ＝c a ＝a 2－1a ＝63，得a 2＝3，∴椭圆的方程为x23＋y 2＝1.(2)由(1)得B 1(0,1)，B 2(0，－1)，设过椭圆的短轴的上顶点B 1的直线的方程为y ＝kx ＋1，由于B 1B 2为圆的直径，所以直线B 2A 的斜率k 1＝－1k . 把y ＝kx ＋1代入C 1得B (－6k1＋3k 2，1－3k 21＋3k 2)，由题意易知k ＜0，且直线B 2B 的斜率为k 2＝1－3k 21＋3k 2＋1－6k 1＋3k 2＝－13k ，所以k 1，k 2＞0，且k 1＝3k 2，又△B 2AB 是直角三角形，所以∠AB 2B 必为锐角，因为B 2A →与B 2B →的方向向量分别为(1，k 1)，(1，k 2)，所以B 2A →·B 2B →＝(1，k 1)·(1，k 2)＝1＋3k 22，又B 2A →·B 2B →＝1＋k 21·1＋k 22cos ∠AB 2B ，从而cos ∠AB 2B ＝1＋3k 221＋9k 22·1＋k 22 ＝1－4k 221＋10k 22＋9k 42＝1－41k 22＋9k 22＋10≥32，当且仅当k 2＝33时，cos ∠AB 2B 取得最小值32，由∠AB 2B 为锐角得∠AB 2B 的最大值为π6.6．已知函数f (x )＝[ax 2＋(a －1)2x －a 2＋3a －1]e x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在(2,3)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝0，设g (x )＝f (x )e x ＋ln x －x ，斜率为k 的直线与曲线y ＝g (x )交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中x 1＜x 2)两点，证明：(x 1＋x 2)k ＞2.(1)解 f ′(x )＝[]ax 2＋(a 2＋1)x ＋a e x ，当a ≥0时，∵x ∈(2,3)，∴f (x )在(2,3)上单调递增；当a ＜0，∵f (x )在(2,3)上单调递增，f ′(x )＝a (x ＋a )(x ＋1a )·e x≥0，ⅰ)当－1＜a ＜0时，得－a ≤x ≤－1a ，依题意知(2,3)⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，－1a ，得－13≤a＜0；ⅱ)当a ＝－1时，f ′(x )＝－(x －1)2·e x ≤0，不合题意，舍去；ⅲ)当a ＜－1时，得－1a ≤x ≤－a 依题意知(2,3)⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，－a ，得a ≤－3.综上得：a ∈(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞.(2)证明当a ＝0时，g (x )＝f (x )e x ＋ln x －x ＝ln x －1， k ＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1，要证(x 1＋x 2)k ＞2，即证(x 1＋x 2)·ln x 2－ln x 1x 2－x 1＞2，∵x 2－x 1＞0，即证ln x 2x 1＞2(x 2x 1－1)x 2x1＋1(x 2x 1＞1)．令h (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1(x ＞1)，则h ′(x )＝1x －4(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2＞0，∴h (x )在(1，＋∞)单调递增，h (x )＞h (1)＝0.∴ln x 2x 1＞2(x 2x 1－1)x 2x 1＋1.即(x 1＋x 2)k ＞2成立．。

2015年高考数学创新设计二轮精品补偿练1

补偿练1集合与简易逻辑
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x－1≥0}，则集合A∩B＝()．
A．(0,1)B．(0,1]
C．(1,2)D．[1,2)
解析A∩B＝{x|1≤x＜2}＝[1,2)．
答案D
2．已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋2}，若A⊆B，则a的值为()．
答案D
4．下列命题中的假命题是()．
A．∀x∈R,2x－1＞0B．∃x∈R，lgx＜1
C．∀x∈R，x2＞0D．∃x∈R，tanx＝2
解析当x＝0时，x2＝0，故C不成立．
答案C
5．已知集合M＝{x|y＝ln(1－x)}，集合N＝{y|y＝ex，x∈R}(e为自然对数的底数)，则M∩N＝()．
A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}
答案B
10．下列有关命题的说法正确的是()．
A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”
B．命题“∃x0∈R，使得2x－1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2－1＜0”
C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题
∴2＜x＜4，
∴B＝{x|2＜x＜4}，
∴∁UB＝{x|x≤2或x≥4}，
∴A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤2}．
答案{x|－1≤x≤2}
12．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”与它的逆命题、逆否命题、否命题中，真命题有__________个．
解析原命题：“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”是真命题，故其逆否命题也是真命题；它的逆命题是“若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形”，也是真命题，故其否命题也是真命题．

【创新设计】(江西专用)2015高考数学二轮复习专题训练规范练二数列理

规范练二数列1．已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋－n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋……＋d 2n ；数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 015项和．解 (1)∵d n ＝3＋－n2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n2＝3n . 因为b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根．所以b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64，解得：b 2＝4，b 4＝16，所以：b n ＝2n.(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4，公比均是8，T 2 015＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 015)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 014)．＝－81 0081－8＋－81 0071－8＝20×81 007－67.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3nb n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n ＜7时n 的最大值．解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1， ∴a n －1＝2n －1. ∴a n ＝2n ＋1，∴3n·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，∴b n ＋1＝4n ＋33n ，∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式，∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1，∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1， ①13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ， ② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4·13－13n －11－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n . ∴T n ＝152－4n ＋52·3n －1.T n －T n ＋1＝n ＋＋52·3n－4n ＋52·3n －1＝－n ＋3n＜0.∴T n ＜T n ＋1，即{T n }为递增数列．又T 3＝599＜7，T 4＝649＞7，∴T n ＜7时，n 的最大值为3.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1＜c n ≤13. (1)解由a n ＋1＝2S n ＋1， ① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，②①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ∴a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3，又当n ＝1时，a 2a 1＝3也符合上式，∴a n ＝3n －1.由数列{b n }为等差数列，b 3＝3，b 5＝9，设{b n }公差为d ， ∴b 5－b 3＝9－3＝2d ，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(2)证明由(1)知：a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，所以c n ＝3n 3＝n3，所以c n ＋1－c n ＝1－2n3n ＋1＜0，∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，∴c n ＋1＜c n ≤13.4．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 5和a 7的等差中项为11，且a 2·a 5＝a 1·a 14，令b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .(1)求a n 及T n ；(2)是否存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为{a n }为等差数列，设公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 7＝22，a 2·a 5＝a 1·a 14，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋10d ＝22，a 1＋d a 1＋4d ＝a 1a 1＋13d ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝11，d ＝2a 1⇒⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 由b n ＝1a n ·a n ＋1＝1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1) 所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n2n ＋1.(2)假设存在．由(1)知，T n ＝n 2n ＋1，所以T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n2n ＋1，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则有T 2m ＝T 1·T n ⇒(m 2m ＋1)2＝13·n 2n ＋1⇒m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3⇒4m 2＋4m ＋1m 2＝6n ＋3n ⇒3n ＝4m ＋1－2m2m 2，……①因为n ＞0，所以4m ＋1－2m 2＞0⇒1－62＜m ＜1＋62，因为m ∈N *，m ＞1，∴m ＝2，当m ＝2时，带入①式，得n ＝12.综上，当m ＝2，n ＝12时可以使T 1，T m ，T n 成等比数列．。

创新设计(全国通用)高考数学二轮复习大题规范天天练第四周星期五选考系列文

星期五 (选考系列)2017年____月____日一、(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝14y得到曲线C ′. (1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1，3).当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程.解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝14y .得C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ. ∴曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1. (2)设P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1，3)，且AD 中点为P ，所以有：⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3. 又点A 在曲线C ′上，∴代入C ′的普通方程x 24＋y 2＝1得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4. ∴动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.二、(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|.(1)解不等式：f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围.解 (1)原不等式即为|2x －1|－|x ＋4|>0，当x ≤－4时，不等式化为1－2x ＋x ＋4>0，解得x <5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x ≤－4}. 当－4<x <12时，不等式化为1－2x －x －4>0，解得x >－1，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－4<x <12，|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |－4<x <－1}.当x ≥12时，不等式化为2x －1－x －4>0，解得x >5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x >5}，综上，原不等式的解集为{x |x <－1，或x >5}.(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9，∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10，故所求a 的取值范围是{a |－8≤a ≤10}.。

【创新设计】2015高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习真题感悟·考点整合选修4-4Word版含解析

[真题感悟]1．(2014·安徽卷)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )． A.14 B ．214 C. 2D ．2 2解析由题意得，直线l 的直角坐标方程为y ＝x －4，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，直线l 被圆C 截得的弦长为222－(2)2＝2 2. 答案 D2．(2014·湖北卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．解析由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得C 1的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，x ＝3y ，解得x ＝3，y ＝1. 答案 (3，1)3．(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α 为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．解析曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，消去参数得(x －2)2＋(y －1)2＝1.由于|AB |＝2，因此|AB |为圆的直径，故直线过圆的圆心(2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0，化为极坐标方程为 ρcos θ－ρsin θ＝1，即ρ(cos θ－sin θ)＝1. 答案 ρ(cos θ－sin θ)＝14．(2014·重庆卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________. 解析参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t ，化为直角坐标方程y －x ＝1，① 由ρsin 2θ－4cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0，其对应的直角坐标方程为y 2－4x ＝0，② 由①②联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，∴ρ＝x 2＋y 2＝ 5. 答案5[考点整合]1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．⎧x＝2pt2，y＝2pt (t为参数).(3)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎨。

【创新设计】2015高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题4第1讲专题训练 Word版含解析

一、选择题1．(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()．A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.答案 D2．(2014·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()．A．54 B．60 C．66 D．72解析还原为如图所示的直观图，S表＝S△ABC＋S△DEF＋S矩形ACFD＋S梯形ABED＋S梯形CBEF＝12×3×4＋12×3×5＋5×3＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×5＝60.答案 B3．(2014·安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()．A.233B．476C．6 D．7解析如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为V＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.答案 A4．(2014·潍坊一模)三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为()．A.32πB．32πC．3πD．12π解析如图，因为AB⊥BC，所以AC是△ABC所在截面圆的直径，又因为SA ⊥平面ABC，所以△SAC所在的截面圆是球的大圆，所以SC是球的一条直径．由题设SA＝AB＝BC＝1，由勾股定理可求得：AC＝2，SC＝3，所以球的半径R ＝32，所以球的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π.答案 C 二、填空题5. (2014·金丽衢十二校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．解析由题意可得，几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角，角的相邻三条棱长分别是1,2,2，所以几何体的体积为8－23＝223. 答案 2236．(2014·山东卷)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析设棱锥的高为h ，则V ＝13×S 底·h ＝13×6×34×22×h ＝23， ∴h ＝1，由勾股定理知，侧棱长为22＋1＝5， ∵六棱锥六个侧面全等，且侧面三角形的高为 (5)2－12＝2，∴S 侧＝12×2×2×6＝12. 答案 127．(2014·武汉调研测试)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析由三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为3，母线长为2的圆锥的一半，其表面积是整个圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和．所以，S＝12×12×2π×1×2＋12×π×12＋12×2×3＝3π2＋ 3.答案3＋3π28．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E－ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.解析因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；易得②正确；记正方体的体积为V，则V E－ABC ＝16V为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．答案①②③三、解答题9．(2014·山东卷)如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面P AC.证明(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC. 由于E为AD的中点，AB＝BC＝12AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△P AC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF.所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面P AC，所以BE⊥平面P AC.10. (2014·威海一模)如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC；(3)求多面体CD－AFEB的体积V.(1)证明∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝3，∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB，又∵AF⊂平面ADF；∴平面ADF⊥平面CBF.(2)证明连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF，又∵CF⊂平面AFC，PH⊄平面AFC，∴PH∥平面AFC，连接PO，则PO∥AC，又∵AC⊂平面AFC，PO⊄平面AFC，PO∥平面AFC，PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC，又∵PM⊂平面POH，∴PM∥平面AFC.(3)解多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝3 2.所以V C －BEF ＝13S △BEF ×CB ＝13×12×1×32×1＝312， V F －ABCD ＝13S 矩形ABCD ×EE 1＝13×2×1×32＝33，所以V ＝V C －BEF ＋V F －ABCD ＝5312.11．(2014·江西卷)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1. (1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC －A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．(1)证明由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC ，又BB 1⊥A 1B ，故BB 1⊥平面BCA 1，即BB 1⊥A 1C ，又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1. (2)解法一设AA 1＝x ，在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2. 同理，A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－ x 2.在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C＝－x 2(4－x 2)(3－x 2)，sin ∠BA 1C ＝12－7x 2(4－x 2)(3－x 2)，所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22，因x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7(x 2－67)2＋367，故当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.法二如图，过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD .由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，故BC ⊥平面AA 1D ，BC ⊥AD ，又∠BAC ＝90°，所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，所以AD ＝2217.设AA 1＝x ，在Rt △AA 1D 中， A 1D ＝AD 2－AA 21＝127－x 2，S △A 1BC ＝12A 1D ·BC ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7(x 2－67)2＋367，故当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.。

2015年高考数学创新设计二轮精品补偿练4

答பைடு நூலகம்A
4．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为()．
A．4B．5
C．6D．7
解析画出可行域(如图)，目标函数向上平移至点A时，取得最大值，由得A(4,3)，
∴(x＋y)max＝4＋3＝7.
答案D
5．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝()lnx，c＝elnx，则a，b，c的大小关系是()．
A．c＞b＞aB．b＞c＞a
答案B
7．若存在x使不等式＞成立，则实数m的取值范围为()．
A．(－∞，－)B．(－，e)
C．(－∞，0)D．(0，＋∞)
解析依题意得，关于x的不等式＞，即－m＞ex－x有解．记f(x)＝ex－x(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥ex×2－1＝ex－1＞－1＞0(x＞0)，因此函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(x)的最小值是f(0)＝0，于是有－m＞0，m＜0，实数m的取值范围是(－∞，0)．
C．(－∞，－1]D．[－1,0]
解析在同一直角坐标系下作出y＝|f(x)|和y＝ax－1的图象如图所示，由图象可知当y＝ax－1与y＝x2－4x相切时符合题意，由x2－4x＝ax－1有且只有一负根，则Δ＝0且<0，得a＝－6，绕点(0，－1)逆时针旋转，转到水平位置时都符合题意，所以a∈[－6,0]．
C．a＞b＞cD．b＞a＞c
解析∵x∈(e－1,1)，∴－1＜lnx＜0,1＜()lnx＜2，＜elnx＜1，∴b＞c＞a.
答案B
6．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是()．
A.B.
C.D.
解析对于x2＋3xy－1＝0可得y＝(－x)，∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当＝，即x＝时等号成立)．
答案C

【创新设计】2015高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：大题综合突破练4Word版含解析

突破练四
1．已知函数 f(x)＝2cos2x＋ 3sin 2x，x∈R.
(1)求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变得到函数
π h(x)的图象，再将 h(x)的图象向右平移 3个单位得到 g(x)的图象，求函数 g(x)的
解析式，并求 g(x)在[0 ， π上］的值域．解 (1)∵f(x)＝2cos2x＋ 3sin 2x＝1＋cos 2x＋ 3sin 2x，
2 人中至少有一名女出租车司机的概率．
解 (1)答对题目数小于 9 的人数为 55，记“答对题目数大于等于 9”为事件 A，
55 P(A)＝1－100＝ 0.45.
(2)设答对题目数小于 8 的司机为 A、B、C、D、E，其中 A、B 为女司机，任选
出 2 人包含 AB、AC、AD、 AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共 10 种情况，
(1)求证： P、A、B、 C、 D 五点在同一个球面上，并求该球的体积； (2)如果点 F 在线段 BD 上， DF＝ 3BF，且 EF∥平面 PAB，求 PEEC的值． (1)证明设 PA 的中点为 M，连接 AC，CM，则△ PAC 为直角三角形，
6 ∴CM＝PM＝ AM＝ 2 . 设正方形 ABCD 的中心为点 O，连接 OM，则 OM∥PC，OM＝1，∵PC⊥底面 ABCD，
h(x)＝2sin
π x＋6 ＋1，
∵x∈[0，π，］
∴x－π6∈[－
π6，
5π 6 ]．
∴sin
π (x－6)∈
[－12，1]．
∴g(x)在[0 ，π上］的值域为 [0,3] ．
2．某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对租车司机进行调查．调查问卷共 10 道题，答题情况如下表：

步步高2015大二轮数学第四篇高考小题分项练(四)

高考小题分项练(四)(推荐时间：40分钟)1．(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18答案 A解析由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×(4－12)＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.2．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D. 2 答案 B解析若b ＝2，两直线方程为y ＝－a 4x －1和x ＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程为x ＝－4a 和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，此时，两直线方程为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由⎝⎛⎭⎫－a b ＋2·⎝⎛⎭⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，即ab 的最大值是2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以选B.3．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C.[]－3，3 D.⎣⎡⎦⎤－23，0答案 B解析如图，若|MN |＝23，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d 2＝22－(3)2＝1.因为直线方程为y ＝kx ＋3，所以d ＝|k ·2－3＋3|1＋k2＝1，解得k ＝±33.若|MN |≥23，则－33≤k ≤33. 4．设P 表示一个点，a 、b 表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ) ①P ∈a ，P ∈α⇒a ⊂α ②a ∩b ＝P ，b ⊂β⇒a ⊂β③a ∥b ，a ⊂α，P ∈b ，P ∈α⇒b ⊂α ④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β⇒P ∈b A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案 D解析当a ∩α＝P 时，P ∈a ，P ∈α，但a ⊄α，∴①错；当a ∩β＝P 时，②错；如图，∵a ∥b ，P ∈b ，∴P ∉a ， ∴由直线a 与点P 确定唯一平面α，又a ∥b ，由a 与b 确定唯一平面β，但β经过直线a 与点P ，∴β与α重合，∴b ⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．5．设A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 也是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC 答案 C解析 A 中，若AC 与BD 共面，则A 、B 、C 、D 四点共面，则AD 与BC 共面；B 中，若AC 与BD 是异面直线，则A ，B ，C ，D 四点不共面，则AD 与BC 是异面直线；C 中，若AB＝AC ，DB ＝DC ，四边形ABCD 可以是空间四边形，AD 不一定等于BC ；D 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，可以证明AD ⊥BC .6．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为H ，则以下命题中，错误的命题是( )A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直于平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45° 答案 D解析 △A 1BD 为正三角形，其重心、外心、中心合一．∵AB ＝AA 1＝AD ，∴H 到△A 1BD 各顶点的距离相等，∴A 正确；∵CD 1∥BA 1，CB 1∥DA 1，CD 1∩CB 1＝C ，BA 1∩DA 1＝A 1，∴平面CB 1D 1∥平面A 1BD ，∴AH ⊥平面CB 1D 1，∴B 正确；连接AC 1，则AC 1⊥B 1D 1，∵B 1D 1∥BD ，∴AC 1⊥BD ，同理AC 1⊥BA 1，∴AC 1⊥平面A 1BD ，∴A 、H 、C 1三点共线，∴C 正确，故选D.7．若a ，b ，c 是△ABC 三个内角的对边，且c sin C ＝3a sin A ＋3b sin B ，则圆M ：x 2＋y 2＝12被直线l ：ax －by ＋c ＝0所截得的弦长为( ) A ．4 6 B ．2 6 C ．6 D ．5答案 C解析由正弦定理，知a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，故由c sin C ＝3a sin A ＋3b sin B ，可得c 2＝3(a 2＋b 2)．圆M ：x 2＋y 2＝12的圆心为M (0,0)，半径r ＝23，圆心M 到直线l ：ax －by ＋c ＝0的距离为d ＝|c |a 2＋b2＝3，所以圆M 被直线l 所截得的弦长为2r 2－d 2 ＝2(23)2－(3)2＝6.故选C.8．(2014·山东)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ，∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又∵c 21＝a 2－b 2，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－(b a)4，即1－(b a )4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y 2b 2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0.9．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 B解析过点P 作底面的垂线，射影是P ′，则∠PAP ′即为所求角，根据已知条件得，三棱柱的底面积是：S ＝12×3×3×sin π3＝334，根据柱体体积公式得：94＝334×h ，∴h ＝3，在△ABC 中，AP ′＝23×3×sin π3＝1，∴tan ∠PAP ′＝3，∴∠PAP ′＝π3.10．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.316 B.38 C.233 D.433答案 D解析抛物线C 1的标准方程为x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p 6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，动点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案 M ∈线段FH解析因为HN ∥BD ，HF ∥DD 1，所在平面NHF ∥平面B 1BDD 1，故线段FH 上任意点M 与N 相连，都有MN ∥平面B 1BDD 1.12．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和最小值是________．答案17－1解析点P 到抛物线的准线距离等于点P 到抛物线焦点F (1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为17，即圆上的点Q 到抛物线焦点的距离的最小值是17－1，这个值即为所求．13．如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．答案3＋1解析连接AF 1，则△AF 1F 2为有一个锐角为30°的直角三角形，根据锐角三角函数定义|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c ，根据双曲线定义|AF 2|－|AF 1|＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.14．若双曲线x 29－y 216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m的取值范围是________．答案 (－∞，－5]∪[5，＋∞)解析双曲线的渐近线为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.要使渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x－m )2＋y 2≥16内，则有圆心(m,0)到渐近线的距离d ≥4，即d ＝|4m |42＋32＝4|m |5≥4，解得|m |≥5，即m ≥5或m ≤－5，所以实数m 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．15．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠2，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确结论的序号都填上) 答案 ①③解析过N 作NP ⊥BB 1于点P .连接MP ，可证AA 1⊥平面MNP ，∴AA 1⊥MN ，①正确．过M 、N 分别作MR ⊥A 1B 1、NS ⊥B 1C 1于点R 、S ，则当M 不是AB 1的中点，N 不是BC 1的中点时，直线A 1C 1与直线RS 相交；当M 、N 分别是AB 1、BC 1的中点时，A 1C 1∥RS ，∴A 1C 1与MN 可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA 1⊥平面MNP ，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴平面MNP ∥平面A 1B 1C 1D 1，故③正确．综上所述，其中正确结论的序号是①③.。

(有解析)理数(全国卷II)高考模卷4

2015高考数学模拟试卷第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 复数1z i =-（i 是虚数单位），则22z z -等于 ( )A.12i +B.12i -C. 1-D.12i -+2．定义{|,,}xA B z z xy x A y B y⊗==+∈∈.设集合{0,2}A =，{1,2}B =，{1}C =.则集合()A B C ⊗⊗的所有元素之和为（）A ．3B ．9C ．18D ．273.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅＝（）A.6B.4C.4-D.6- 4.如果实数,x y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么yx的最大值是（） A ．21 B ．33 C ．23D ．35.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s 值为 ( ) A.102 B.410 C.614 D. 16386.若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2024()a a a ++213()a a -+的值为（）A.1B.-1C.0D.27.在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（）A.72种B.36种C.144种D.108种8.若函数b ax x x f ++=2)(有两个不同的零点21,x x ，且3121<<<x x ，那么在(1),(3)f f 两个函数值中A.只有一个小于1 B.至少有一个小于1第3题图C.都小于1D.可能都大于19.设{}n a 是等差数列，从{}1220,,,a a a 中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列的个数最多有（）A.90B.120C.180D.200 10.已知两点M （1，54），N （－4，-54），给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0 ②x 2+y 2=3 ③222x y +=1 ④222x y -=1在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是………………………………（） A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④第Ⅱ卷二.填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.11.已知数列10*11),(0,2,}{a N n a a a a n n n 则中∈=+=+的值等于 .12.已知)3()0)(2()1()0(),1(log )(2f x x f x f x x x f 则⎩⎨⎧>---≤-=的值等于 . 13.如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆α千克，则共需油漆的总量为千克 14.给出下列四个结论：①“若22am bm <则a b <”的逆命题为真； ②若0()f x 为()f x 的极值，则0()0f x '=； ③函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点；④对于任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=且x >0时,()0,()0f x g x ''>>，则x <0时()()f x g x ''> 其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号） 15．（在给出的二个题中，任选一题作答. 若多选做，则按所做的第一题给分）(1)(坐标系与参数方程选做题) 设过原点O 的直线与圆C ：22(1)1x y -+=的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点。

【创新设计】(江西专用)2015高考数学二轮复习专题训练突破练4 理

突破练四1．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h (x )的图象，再将h (x )的图象向右平移π3个单位得到g (x )的图象，求函数g (x )的解析式，并求g (x )在[0，π]上的值域．解 (1)∵f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ， ∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z .得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)∵f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1――→横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，∵x ∈[0，π]，∴x －π6∈[－π6，5π6]．∴sin (x －π6)∈[－12，1]．∴g (x )在[0，π]上的值域为[0,3]．2．某超市计划在春节当天从有抽奖资格的顾客中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样分别为1,2,3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球构成等差数列的为二等奖，奖金60元；三球分别为1,6,8为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金． (1)求顾客甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；(2)若顾客乙幸运地先后获得四次抽奖机会，求他得奖次数η的方差是多少？解 (1)奖金ξ的所有可能取值为0,30,60,240. 顾客抽奖一次，基本事件总数为C 310＝120，P (ξ＝30)＝7×2＋6×7120＝56120＝715，P (ξ＝60)＝8＋6＋4＋2120＝20120＝16，P (ξ＝240)＝1120， P (ξ＝0)＝1－56120－20120－1120＝43120. ∴ξ的分布列为ξ 0 30 60 240 P43120715161120∴E (ξ)＝0×43120＋30×715＋60×16＋240×1120＝26.(2)顾客乙一次抽奖中奖的概率P ＝1－43120＝77120.四次抽奖相互独立，所以得奖次数η～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，77120， ∴D (η)＝4×77120×43120＝3 3113 600.3．如图所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF ∥CE ，BC ⊥CE ，DC ＝CE ＝4，BC ＝BF ＝2.(1)求证：AF ∥平面CDE ；(2)求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； (3)求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值． (1)证明法一取CE 的中点为G ，连接DG ，FG .∵BF∥CG且BF＝CG，∴四边形BFGC为平行四边形，则BC∥FG，且BC＝FG.∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD且BC＝AD，∴FG∥AD且FG＝AD，∴四边形AFGD为平行四边形，则AF∥DG.∵DG⊂平面CDE，AF⊄平面CDE，∴AF∥平面CDE.法二在矩形ABCD中有AB∥CD，∵CD⊂平面CDE，AB⊄平面CDE，∴AB∥平面CDE.在梯形BCEF中有BF∥CE.∵CE⊂平面CDE，BF⊄平面CDE，∴BF∥平面CDE.又∵AB∩BF＝B，且AB⊂平面ABF，BF⊂平面ABF，∴平面ABF∥平面CDE.又∵AF⊂平面ABF，∴AF∥平面CDE.(2)解∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CD，又∵平面ABCD⊥平面BCEF，且平面ABCD∩平面BCEF＝BC，BC⊥CE，∴DC⊥平面BCEF.以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意我们可得以下点的坐标：A (2,0,4)，B (2,0,0)，C (0,0,0)，D (0,0,4)，E (0,4,0)，F (2,2,0)，则AD →＝(－2,0,0)，DE →＝(0,4，－4)．设平面ADE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n 1＝0，DE →·n 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＝0，4y 1－4z 1＝0，取z 1＝1，得n 1＝(0,1,1)． ∵DC ⊥平面BCEF .∴平面BCEF 的一个法向量为CD →＝(0,0,4)．设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n 1|CD →|·|n 1|＝44×2＝22，因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值为22. (3)解根据(2)知平面ADE 的一个法向量为n 1＝(0,1,1)，∵EF →＝(2，－2,0)，∴cos 〈EF →，n 1〉＝EF →·n 1|EF →|·|n 1|＝－222×2＝－12，设直线EF 与平面ADE 所成的角为θ，则cos θ＝|sin 〈EF →，n 1〉|＝32，因此，直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值为32.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n·b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n .解 (1)当n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n ＋1，∴3n·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3， ∴b n ＋1＝4n ＋33n .∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式，∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1，∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，①13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4×131－13n －11－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n ，∴T n ＝152－4n ＋52×3n －1.5．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为单位圆C 2：x 2＋y 2＝1的直径，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆短轴的上顶点B 1作直线分别与单位圆C 2和椭圆C 1交于A ，B 两点(A ，B 两点均在y 轴的右侧)，设B 2为椭圆的短轴的下顶点，求∠AB 2B 的最大值．解 (1)由题知b ＝1，又e ＝c a ＝a 2－1a ＝63，得a 2＝3，∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)得B 1(0,1)，B 2(0，－1)，设过椭圆的短轴的上顶点B 1的直线的方程为y ＝kx ＋1，由于B 1B 2为圆的直径，所以直线B 2A 的斜率k 1＝－1k.把y ＝kx ＋1代入C 1得B (－6k 1＋3k 2，1－3k21＋3k2)，由题意易知k ＜0，且直线B 2B 的斜率为k 2＝1－3k21＋3k 2＋1－6k 1＋3k 2＝－13k，所以k 1，k 2＞0，且k 1＝3k 2，又△B 2AB 是直角三角形，所以∠AB 2B 必为锐角，因为B 2A →与B 2B →的方向向量分别为(1，k 1)，(1，k 2)，所以B 2A →·B 2B →＝(1，k 1)·(1，k 2)＝1＋3k 22，又B 2A →·B 2B →＝1＋k 21·1＋k 22cos ∠AB 2B ，从而cos ∠AB 2B ＝1＋3k 221＋9k 22·1＋k 22＝1－4k 221＋10k 22＋9k 42＝1－41k 22＋9k 22＋10≥32，当且仅当k 2＝33时，cos ∠AB 2B 取得最小值32，由∠AB 2B 为锐角得∠AB 2B 的最大值为π6. 6．已知函数f (x )＝[ax 2＋(a －1)2x －a 2＋3a －1]e x(a ∈R )．(1)若函数f (x )在(2,3)上单调递增，某某数a 的取值X 围； (2)若a ＝0，设g (x )＝f xex＋ln x －x ，斜率为k 的直线与曲线y ＝g (x )交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中x 1＜x 2)两点，证明：(x 1＋x 2)k ＞2.(1)解 f ′(x )＝[]ax 2＋a 2＋1x ＋a e x，当a ≥0时，∵x ∈(2,3)，∴f (x )在(2,3)上单调递增；当a ＜0，∵f (x )在(2,3)上单调递增，f ′(x )＝a (x ＋a )(x ＋1a)·e x≥0，ⅰ)当－1＜a ＜0时，得－a ≤x ≤－1a ，依题意知(2,3)⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，－1a ，得－13≤a ＜0； ⅱ)当a ＝－1时，f ′(x )＝－(x －1)2·e x≤0，不合题意，舍去；ⅲ)当a ＜－1时，得－1a≤x ≤－a 依题意知(2,3)⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，－a ，得a ≤－3.综上得：a ∈(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞.(2)证明当a ＝0时，g (x )＝f xex＋ln x －x ＝ln x －1，k ＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1，要证(x 1＋x 2)k ＞2，即证(x 1＋x 2)·ln x 2－ln x 1x 2－x 1＞2，∵x 2－x 1＞0，即证ln x 2x 1＞2x 2x 1－1x 2x 1＋1(x 2x 1＞1)．令h (x )＝ln x －2x －1x ＋1(x ＞1)，则h ′(x )＝1x －4x ＋12＝x －12x x ＋12＞0，∴h (x )在(1，＋∞)单调递增，h (x )＞h (1)＝0.∴ln x 2x 1＞2x 2x 1－1x 2x 1＋1.即(x 1＋x 2)k ＞2成立．。