建力第六章(扭转2)
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T 9.55 10
3
P n
390 Nm 单位长度阻力矩
T
M
M A
A
max
T ( x)
l
x
4 1737MPa . 50 WP 60 1 60 16 l T x dx AB 0 GI P
M1
M
3
M
4
Tmax W Tmax4 D P 1 16
3
500 4kN
500
500
Tmm 16 d 4 D 3 3 D D W78max 4 1 39mm 76.7mm P 1 16
3
21
1.5kN
M
d1
2
M1
d2
M
I P1
25.1cm
3
32
源自文库
I P2
A
0.8kN· m 0.8m
d 2
32
4
236cm
4
B
1.0m
C
AB
BC
T1 L1 GI P1 T2 L2 GI P 2
0.0318rad 0.0079rad
1.5kN· m
AC AB BC 0.0318rad 0.0079rad 0.0239rad
1 max
I t b
4
一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400N· m 作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm×20mm， 试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。
分别计算两种截面杆最大切应力 圆杆： 矩形杆：
max
h b
T WP 16 T
d
3
16 400 N m 31 . 9 MPa 3 40 mm
T
T §5 等直圆杆扭转时的变形.刚度条件
d
d
x
dx
dx
d dx
G
G d dx
G
d
d dx
T
T IP
dA T
A
dA T
2 A
dx 截面的极惯性矩
GI P
Ip
T
T
d
d
x
dx
dx
d dx
G
2
2GI P
2
本章作业
3－1， 3－5， 3－6， 3－14， 3－15
轴向拉压
扭 转 内力分量 变形公式 扭矩T
T GI P
内力分量
轴力FN 应力分布规律
L FN L EA
FN EA
TL GI P
应力分布规律 切应力与距圆心 距离成正比分布
正应力均匀分布 应力分量
FN A
位移 截面的角位移 刚度条件
截点或截面的线位移
应力分量
T WP
因两杆扭转变形时无相对转动
M
e
1 2
D 2 d 2
T1 L G1 I P1
T 2L G2IP2
T1 T2
G 1I P1 G2IP2
2
1
T1
1
d
D
2
I P1 T2 IP2
TI 2 D G 1 1 1 P 2 T 22I P 1 d G
2
1
例题
3.11
T
Nm 9.75Nm 390 m L 3 40 390 10 m
T
T x Mx
T L
x
B
AB
l
T
x
B
0
l dx GI P GI P
T
32 390 40 l 0.148rad 9 4 4 12 80 10 60 50 10 2 2
等直圆杆扭转时的应变能
x
dx
2
V
V
v dV
v dAdx
l A
T IP
G
z
V
l A
l T dAdx 2G I P 2G
2
dA
2
T l 2GI P
2
A
§7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。
例题
3.10
一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实 心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆 杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2， 假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。 试问两杆横截面上的最大切应力之比τ1/τ2为多大？并画 出沿半径方向的切应力变化规律。
当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时，需要先画出扭矩图，然后 分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总变形。
i
GI P i
Ti Li
T GI P
例题
3.7
如图所示阶梯轴。外力偶矩M1＝0.8KN· m， M2＝ 2.3KN· m， M3＝1.5KN· m，AB段的直径d1＝4cm，BC段 的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模量G＝80GPa， 试计算φAB和φAC。 4 d1 4
自由扭转：横截面可以自由翘曲。
横截面上只有切应力而无正应力
约束扭转： 横截面的翘曲受到限制。 横截面上既有切应力又有正应力
矩形截面轴扭转时切应力的分布特点
1
角点切应力等于零
边缘各点切应力沿 切线方向
T
max
最大切应力 发生在 长边中点
T Wt T GIt
Wt b
3
max
0
m
Tmax GI P
180
0
§6 等直圆杆扭转时的应变能
y
dz
单元体外力作功 dW
1 2
dydz dx dxdydz
2
1 dxdydz 1 2
1
dW dV
dy
应变能密度 v
dV dV
2 dxdydz
1 2
G d dx
G
d dx
d dx
T
T IP
dA T
A
dA T
2 A
GI P
Ip
截面的极惯性矩
§4 等直圆杆扭转时的变形.刚度条件
d dx T GI P
d
l
l
T GI P
dx
0
当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时
TL GI P
0.267
矩形面积与圆形面积相 近.但最大应力却增大了一 倍,且 h/b之值越大，切应 力也越大，因此工程中应尽 量避免使用矩形截面杆作扭 转杆件。
max
T
b h
2
400 10
2
3
0.267 20 60
62.4MPa
2
A bh 1200mm
刚度条件
max
例题
3.8
M
2
图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M1＝9KN· m，轮2、轮3、 轮4为从动轮,力偶矩分别为M2＝4KN· m，M3＝3.5KN· m，M4＝ 1.5KN· m。已知空心轴内外径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并 求出全轴两端的相对扭转角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。
60 mm 20 mm
T
3
查表：β＝0.801
max
b
3
400 N m 62 . 4 MPa 0 . 801 20 mm
3
分别计算两杆截面面积 圆杆：
A
40 mm
4
2
2
1260 mm
2
矩形杆：
A 60 20 mm
1200 mm
2
矩形截面面积与圆形面积相 近，但是最大切应力却增大 了近一倍，因此工程中应尽 量避免使用矩形截面杆作扭 转杆件。
T21L GI P T13 L GI P T34 L GI P
0.00734rad 0.00917rad 0.00275rad
5kN
13
24 21 13 34 0.00458rad
34
例题
3.9
已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW， 转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。 设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土 壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3） 求A、B两截面相对扭转角。
FN EA
T 180 GI P
0
max
T IP
强度条件
强度条件
T
应变能
max
FN 2 A max 1 FN L v V 2 EA 2
max T L W 1 V P max v
圆杆:
一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作 用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm×20mm，试 比较这两种杆的最大切应力和截面面积。
max
T WP
16T
d
d
4
3
2
16 400 10
3
40
2
3
31.9MPa
A
1260mm
矩形杆:
h b
3
3
P n
390 Nm 单位长度阻力矩
T
M
M A
A
max
T ( x)
l
x
4 1737MPa . 50 WP 60 1 60 16 l T x dx AB 0 GI P
M1
M
3
M
4
Tmax W Tmax4 D P 1 16
3
500 4kN
500
500
Tmm 16 d 4 D 3 3 D D W78max 4 1 39mm 76.7mm P 1 16
3
21
1.5kN
M
d1
2
M1
d2
M
I P1
25.1cm
3
32
源自文库
I P2
A
0.8kN· m 0.8m
d 2
32
4
236cm
4
B
1.0m
C
AB
BC
T1 L1 GI P1 T2 L2 GI P 2
0.0318rad 0.0079rad
1.5kN· m
AC AB BC 0.0318rad 0.0079rad 0.0239rad
1 max
I t b
4
一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400N· m 作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm×20mm， 试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。
分别计算两种截面杆最大切应力 圆杆： 矩形杆：
max
h b
T WP 16 T
d
3
16 400 N m 31 . 9 MPa 3 40 mm
T
T §5 等直圆杆扭转时的变形.刚度条件
d
d
x
dx
dx
d dx
G
G d dx
G
d
d dx
T
T IP
dA T
A
dA T
2 A
dx 截面的极惯性矩
GI P
Ip
T
T
d
d
x
dx
dx
d dx
G
2
2GI P
2
本章作业
3－1， 3－5， 3－6， 3－14， 3－15
轴向拉压
扭 转 内力分量 变形公式 扭矩T
T GI P
内力分量
轴力FN 应力分布规律
L FN L EA
FN EA
TL GI P
应力分布规律 切应力与距圆心 距离成正比分布
正应力均匀分布 应力分量
FN A
位移 截面的角位移 刚度条件
截点或截面的线位移
应力分量
T WP
因两杆扭转变形时无相对转动
M
e
1 2
D 2 d 2
T1 L G1 I P1
T 2L G2IP2
T1 T2
G 1I P1 G2IP2
2
1
T1
1
d
D
2
I P1 T2 IP2
TI 2 D G 1 1 1 P 2 T 22I P 1 d G
2
1
例题
3.11
T
Nm 9.75Nm 390 m L 3 40 390 10 m
T
T x Mx
T L
x
B
AB
l
T
x
B
0
l dx GI P GI P
T
32 390 40 l 0.148rad 9 4 4 12 80 10 60 50 10 2 2
等直圆杆扭转时的应变能
x
dx
2
V
V
v dV
v dAdx
l A
T IP
G
z
V
l A
l T dAdx 2G I P 2G
2
dA
2
T l 2GI P
2
A
§7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。
例题
3.10
一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实 心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆 杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2， 假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。 试问两杆横截面上的最大切应力之比τ1/τ2为多大？并画 出沿半径方向的切应力变化规律。
当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时，需要先画出扭矩图，然后 分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总变形。
i
GI P i
Ti Li
T GI P
例题
3.7
如图所示阶梯轴。外力偶矩M1＝0.8KN· m， M2＝ 2.3KN· m， M3＝1.5KN· m，AB段的直径d1＝4cm，BC段 的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模量G＝80GPa， 试计算φAB和φAC。 4 d1 4
自由扭转：横截面可以自由翘曲。
横截面上只有切应力而无正应力
约束扭转： 横截面的翘曲受到限制。 横截面上既有切应力又有正应力
矩形截面轴扭转时切应力的分布特点
1
角点切应力等于零
边缘各点切应力沿 切线方向
T
max
最大切应力 发生在 长边中点
T Wt T GIt
Wt b
3
max
0
m
Tmax GI P
180
0
§6 等直圆杆扭转时的应变能
y
dz
单元体外力作功 dW
1 2
dydz dx dxdydz
2
1 dxdydz 1 2
1
dW dV
dy
应变能密度 v
dV dV
2 dxdydz
1 2
G d dx
G
d dx
d dx
T
T IP
dA T
A
dA T
2 A
GI P
Ip
截面的极惯性矩
§4 等直圆杆扭转时的变形.刚度条件
d dx T GI P
d
l
l
T GI P
dx
0
当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时
TL GI P
0.267
矩形面积与圆形面积相 近.但最大应力却增大了一 倍,且 h/b之值越大，切应 力也越大，因此工程中应尽 量避免使用矩形截面杆作扭 转杆件。
max
T
b h
2
400 10
2
3
0.267 20 60
62.4MPa
2
A bh 1200mm
刚度条件
max
例题
3.8
M
2
图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M1＝9KN· m，轮2、轮3、 轮4为从动轮,力偶矩分别为M2＝4KN· m，M3＝3.5KN· m，M4＝ 1.5KN· m。已知空心轴内外径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并 求出全轴两端的相对扭转角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。
60 mm 20 mm
T
3
查表：β＝0.801
max
b
3
400 N m 62 . 4 MPa 0 . 801 20 mm
3
分别计算两杆截面面积 圆杆：
A
40 mm
4
2
2
1260 mm
2
矩形杆：
A 60 20 mm
1200 mm
2
矩形截面面积与圆形面积相 近，但是最大切应力却增大 了近一倍，因此工程中应尽 量避免使用矩形截面杆作扭 转杆件。
T21L GI P T13 L GI P T34 L GI P
0.00734rad 0.00917rad 0.00275rad
5kN
13
24 21 13 34 0.00458rad
34
例题
3.9
已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW， 转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。 设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土 壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3） 求A、B两截面相对扭转角。
FN EA
T 180 GI P
0
max
T IP
强度条件
强度条件
T
应变能
max
FN 2 A max 1 FN L v V 2 EA 2
max T L W 1 V P max v
圆杆:
一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作 用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm×20mm，试 比较这两种杆的最大切应力和截面面积。
max
T WP
16T
d
d
4
3
2
16 400 10
3
40
2
3
31.9MPa
A
1260mm
矩形杆:
h b
3