高考立体几何大题20题汇总情况
立体几何综合大题20道理
立体几何综合大题（理科）40道及答案
1、四棱锥中,⊥底面,,,
.
(Ⅰ)求证:⊥平面；
(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。 【答案】
(Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即B C D ∆为等腰三角形，
又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥. 因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线
AC PA ,都垂直，
故⊥平面。
(Ⅱ)解：33
2sin 2221sin 21=⨯⨯=∠∙∙=
∆πBCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知23233
1
31=⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC P .
由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8
1
,
故：4
1
32813318131=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC F
4
7
412=-=-=---BCD F BCD P BDF P V V V
2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，
90APD ︒∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2A B A D ==，,E F 分别为PC 和BD
的中点．
P ABCD -PA
ABCD PA =2BC CD ==3
ACB ACD π
∠=∠
=
BD PAC PC F 7PF FC =P BDF -BD PAC
（Ⅰ）证明：EF
平面PAD ；
（Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．
【答案】
（Ⅰ）证明：如图，连结AC ．
∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，EF
高中立体几何大题20题汇总
(2012江西省）（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与
点G，得到多面体CDEFG.
（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；
（2)求多面体CDEFG的体积。
【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EGGF又因为CF底面EGF,可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG⊥
平面CFG.
（2）过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为
1112
S正方形GO5520
DECF
335
Word资料
2012，山东(19)(本小题满分12分)
如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，
CBCD,ECBD.
(Ⅰ)求证：BEDE；
(Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
解：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD，
又已知CEBD，所以BD平面OCE.
所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线，
所以BEDE.
(II)取AB中点N，连接MN,DN，
∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DNAB.
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，所以ND∥BC，
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.
Word资料
BC2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直
立体几何大题求体积习题汇总
全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何
1．［·重庆卷20］ 如图１4所示四棱锥ＰA ＢCD 中,底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面CD ，AB =2，∠BAD ＝π
3
,M
为B Ｃ上一点，且BM =１
２
.
（１)证明：B Ｃ⊥平面P ＯＭ;(2)若MP ⊥AP ,求四棱锥P A ＢMO
图１４
２.[·北京卷１7] 如图１5，在三棱柱A ＢC A 1B １Ｃ1中,侧棱垂直于底面，A Ｂ⊥B Ｃ,AA 1=ＡC ＝２，BC =1,Ｅ,F 分别是Ａ1Ｃ1,BC 的中点．
(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1ＢCC 1；(２)求证:C 1F ∥平面A ＢE ;（3）求三棱锥E ＡBC
3．[·福建卷1９] 如图16所示,三棱锥A B ＣＤ中,ＡB ⊥平面BC Ｄ，ＣＤ⊥
（１）求证：C Ｄ⊥平面A ＢＤ；(2)若ＡB =B Ｄ＝CD ＝１,M 为AD 中点,求三棱锥
4.[·新课标全国卷Ⅱ１8］如图13,四棱锥PABCD中，底面AＢCD为矩形，PA⊥平面ABＣD,E为PD的中点.
(1)证明:PＢ∥平面AＥＣ;（2)设AＰ＝１，AD＝3,三棱锥PＡBD的体积Ｖ=错误!,求A到平面PＢC的距离．
5.[·广东卷18] 如图12所示,四边形ABCD为矩形,PＤ⊥平面ABCＤ，ＡB=1，BC=ＰC=2,作如图１3折叠:折痕ＥF∥ＤC,其中点E，Ｆ分别在线段PD,ＰC上，沿EF折叠后点P叠在线段AＤ上的点记为Ｍ,并且MF⊥CF.
(1）证明：ＣＦ⊥平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积．
近年高考理科立体几何大题汇编
近几年高考理科立体几何大题汇编
1. (2018年III卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.
(1)证明：平面AMD丄平面BMC ;
(2)当三棱锥M -ABC体积最大时，求面MAB与面
MCD所成二面角的正弦值.
2、［2014新课标全国卷U ］四棱锥P-ABCD中，底面ABC助矩形，PA丄平面ABCD E为PD的中点.
(1) 证明：PB//平面AEC
(2) 设二面角DAEC 为60°, AP= 1, AD= 3, 求三棱锥E-ACD勺体积.
3. (2017?新课标I 卷)如图，在四棱锥P- ABCDh AB// CD 且/ BAP= CDP=90 . ⑴证明：平面PABL平面PAD
(2)若PA=PD=AB=DC Z APD=90,求二面角A- PB- C 的余弦值.
4. (菱形建系)[2014新课标全国卷I ]如图三棱柱
ABC-AB i C中，侧面BBCC为菱形，AB 丄BC
(1)证明：AOAB;
⑵若AC丄AB,/ CBB= 60°, AB= BC,求二
面角A -A i B i -G的余弦值.
5. (菱形建系)【2015高考新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，/ AB(=120°
E, F是平面ABC阴一侧的两点，BE!平面ABCD DF丄平面ABCD BE=2DF, AE! EC (I)证明：平面AECL平面AFC
(U)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
6.(翻折)(2018年I卷)如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD, BC的中点，以DF为折痕把△ DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF BF .
高考立体几何20-22(附答案)
高考立体几何20-22
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）
A．20+12√3B．28√2C．56
3D．28√2 3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
2．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足
MN⊥OP的是（）
A．B．
C．D．
三、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
3．正三棱台高为1，上下底边长分别为3√3和4√3，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）
A．100πB．128πC．144πD．192π
四、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
4．如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB=ED=2FB，记三棱锥E−ACD，F−ABC，F−ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）
A．V3=2V2B．V3=2V1C．V3=V1+V2D．2V3=3V1
五、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
5．如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）
2024届新高考数学大题精选30题--立体几何(解析版)
大题 立体几何
1(2024·黑龙江·二模)如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，M 是BC 的中点，N 是AB 1的中点，P 是B 1C 1的中点．
(1)证明：MN ⎳平面A 1CP ；(2)求点P 到直线MN 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)3
【分析】(1)建立如图空间直角坐标系A -xyz ，设平面A 1CP 的一个法向量为n
=(x ,y ,z )，利用空间向量法
证明MN ⋅n
=0即可；
(2)利用空间向量法即可求解点线距.
【详解】(1)由题意知，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC =60°，而AB ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，在平面ABC 内过点A 作y 轴，使得AB ⊥y 轴，建立如图空间直角坐标系A -xyz ，
则A (0,0,0),B (2,0,0),C (1,3,0),A 1(0,0,2),B 1(2,0,2)，得M 32,32,0
,N (1,0,1),P 32,3
2,2
，所以A 1C =(1,3,-2),A 1P =32,32,0 ,MN =-12,-3
2,1 ，
设平面A
1CP 的一个法向量为n
=(x ,y ,z )，
则n ⋅A 1C
=x +3y -2z =0
n ⋅A 1P =32x +32y =0
，令x =1，得y =-3,z =-1，所以n
=(1,-3,-1)，
所以MN ⋅n =-12×1+-32
×(-3)+1×(-1)=0，
又MN 不在平面A 1CP 内
即MN ⎳平面A 1CP ；
(2)如图，连接PM ，由(1)得PM =(0,0,-2)，则MN ⋅PM =-2，MN =2,PM =2，所以点P 到直线MN 的距离为d =PM 2-MN ⋅PM
历年高考数学立体几何大题
历年高考数学立体几何大题
立体几何是高考数学中的重要知识点，近年来的高考数学中经常出现立体几何大题。以下是部分历年高考数学立体几何大题的题目和解答：
-题型五：证明面面平行。
-题型六：面面平行探索性题型。
-题型七：证明线面垂直。
-题型八：证明面面垂直。
-题型九：垂直探索性题型。
-题型十：翻折中的垂直。
-题型十一：常规求法和等体积转化型。
-题型十二：多面体割补型。
-题型十三：两部分体积比型。
-题型十四：动点型。
-题型十五：最值型。
高考数学专题20 立体几何大题(解析版)
专题20 立体几何大题（解析版）
立体几何解答题高考中的必考题，占12分，一般考察立体几何知识掌握情况及解答技巧。如线面垂直、面面垂直、线面平行，线面角、二面角等问题。 立体几何解答题中的易错和易混点
易错点1：求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法；
易错点2：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；
易错点3：作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见；
易错点4：求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法、向量法） 易错点5：求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 易错点6： 两条异面直线所成的角的范围：0°
二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°
易错点7：用向量法求线面角得的是正弦值，而不是余弦值；
易错点8：用向量法求二面角时，最后一步忘了判断二面角的平面角是钝角还是锐角，导致结果错误。 题组一 1．（2015新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8， 点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
高考数学专题20 立体几何中的平行与垂直问题(解析版)
专题20 立体几何中的平行与垂直问题
一、题型选讲
题型一、线面平行与垂直
知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线
例1、(2021南通、泰州、扬州一调〕如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.
求证：(1)MN∥平面PBC；
MD⊥平面PAB.
【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD.(2分)又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分)
又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC. (6分)
(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD.(8分)
又MD⊂侧面PAD，所以AB⊥MD.(10分)
因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥PA. (12分)
又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB.(14分)
例2、(2021扬州期末〕如下图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．
(1) 求证：EF∥平面ABC；
(2) 求证：BB1⊥AC.
标准解答(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EF∥AC.(4分)因为EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(8分)
高考数学专题20 立体几何大题(解析版)
高考数学专题20 立体几何大题(解析版)
立体几何是高考中必考的题型，占12分，通常考察考生
对立体几何知识的掌握情况和解题技巧，如线面垂直、面面垂直、线面平行、线面角、二面角等问题。
在解答立体几何题目时，容易出现以下易错点：
1.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面
角时，如果所求的角为90°，还有一种求角的方法，即用证明
它们垂直的方法。
2.线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈。面面平行的判定定理易把条件错误地记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相
交直线分别平行”，导致证明过程跨步太大。
3.作出二面角的平面角的主要方法有哪些？（定义法、三
垂线法、垂面法）其中，三垂线法是一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见。
4.求点到面的距离的常规方法有哪些？（直接法、等体积法、换点法、向量法）
5.求多面体体积的常规方法有哪些？（割补法、等积变换法）
6.两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90°；直线与平面所成的角的范围：0°≤α≤90°；二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°。
7.用向量法求线面角得到的是正弦值，而不是余弦值。
8.用向量法求二面角时，最后一步要判断二面角的平面角是钝角还是锐角，否则结果会出错。
题组一
1．（2015新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=16，BC=10，AA 1
8，点E，F分别在A
1
B
1
D
1
C
1
上，A
1
E=D
1
F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围
成一个正方形。
1）画出交线围成的正方形；
兵无常势 水无常形——２０２２年新高考Ⅱ卷第２０题解法分析
２０２３年５月上半月㊀
讲题比赛
㊀
㊀㊀㊀
讲题比赛特等奖获奖论文之十九:
兵无常势㊀水无常形
∗
２０２２年新高考Ⅱ卷第２０题解法分析
◉海南华侨中学㊀徐㊀香㊀李玉玲
㊀㊀海南省近几年的高考立体几何解答题都给出了比较规则的几何体,要求进行线面关系的论证和空间角的求解．２０２２年的高考题打破了这一模式,学生需根据题目所给条件建立直观模型进行理解和分析,对核心素养的要求较高．应透彻了解教材上的定义㊁定理及其证明,领悟知识本质才能以不变应对题型的万变．当画出的立体图形所表达的位置关系不太精确时,学生需要借助直观想象,结合所学知识将模型分析清楚,将立体关系平面化,进而解决立体几何中的问题．
１
试题呈现
图１
(２０２２年新高考Ⅱ卷第
２０题)如图,P O 是三棱锥P Ｇ
A B C 的高,P A ＝P B ,A B ʅA C ,E 是P B 的中点．
(１)求证:O E ʊ平面
P A C ;
(２)若øA B O ＝øC B O ＝３０ʎ,P O ＝３,P A ＝５,
求二面角C ＧA E ＧB 的正弦值．
２试题分析
本题第(１
)问是考查空间中的平行关系,需要熟练掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,还需要有一定的平面几何知识基础．论证点O 的位置时,用相似三角形或者直角三角形相关知识都可解决．与以往高考题不同的是,本题第(１)问并不简单,所给图形中底面直角三角形看上去并不像直角,学生直观感知容易受挫．第(２)问相对容易入手,而且与第(１)问没有直接联系,可跳过第(１)
问直接做第(２)问(这就需要考生在考试中灵活处理)．建系后将底面单独分离出来,将立体问题平面化,相关点的坐标就很容易找到．如果学生平时只是机械刷题,对概念和定理的本质理解不透彻,那么遇到和平时不一样的数学模型就会心慌退缩,在面对这题时就容易卡在第(１)问,白白浪费了第(２
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考立体几何大题20
题汇总情况
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
(2012江西省）（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，
BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG.
（1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体C DEFG 的体积。
2012，山东(19) (本小题满分12分)
如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，
,CB CD EC BD =⊥.
(Ⅰ)求证：BE DE =；
(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .
2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直
底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD
11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中
点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。
(第20题图)
F E
C 1
B 1
D 1A 1
A D B
C
（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点，
（Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小；
2010辽宁文（19）（本小题满分12分）
如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥
（Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ；
（Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。
2012辽宁（18）(本小题满分12分)
如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，
2,AB AC ==A A ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//
B C 的中点。
(Ⅰ)证明：MN ∥平面//A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥/A MNC -的体积。
（椎体体积公式V=1
3
Sh,其中S 为地面面积，h 为高）
2012，北京（16）（本小题共14分）
如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为
AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆ 沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：DE //平面1A CB ； （Ⅱ）求证：1A F BE ⊥；
（Ⅲ）线段1A B 上是否存在点Q ，使1
AC ⊥⊥平面DEQ
说明理由．
2012天津17.（本小题满分13分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，PC=23，PD=CD=2.
（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值；
D F
D E
B
C
A 1
F
E
C B
A
图2
图1
（II ）证明平面PDC ⊥平面ABCD ；
（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。
18．（本题满分12分）
如图，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，90ACB ︒
∠=，
2AC BC ==， 14AA =，E 、F 分别是棱CC 1、AB 中
点．
（1）判断直线CF 和平面AEB 1的位置关系，
并加以证明；
（2）求四棱锥A —ECBB 1的体积．
(本小题满分12分) 如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形. （Ⅰ）求证：DM //平面APC ；
（Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ；
（Ⅲ）若BC =4，AB =20，求三棱锥D —BCM 的体积.
【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在．试题卷上作答无效．．．．．．．．
） 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，
PA ⊥底面ABCD ，22AC =，2PA =，E 是PC 上的一
点，2PE EC =。
（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；
（Ⅱ）设二面角A PB C --为90，求PD 与平面PBC 所成角的大小。
E
D
A
P
27.【2012高考安徽文19】（本小题满分 12分）
如图，长方体1111D C B A ABCD -中，底面1111D C B A 是正方形，O 是BD 的中点，E 是棱1AA 上任意一点。
（Ⅰ）证明：BD 1EC ⊥ ；
（Ⅱ）如果AB =2，AE =2，1EC OE ⊥,，求1AA 的长。
【2012高考四川文19】(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上。
（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小。