知识点142换元法解分式方程(解答)
分式方程知识点归纳总结(二)
分式方程知识点归纳总结（二）引言：分式方程是数学中常见的一种方程形式，它涉及到分数的运算和求解。
本文将对分式方程的知识点进行归纳总结，旨在帮助读者更好地掌握和应用分式方程的解题方法。
正文：一、分式方程的定义和基本性质1. 分式方程的定义：分式方程是包含有分式的方程，其中分子和分母至少有一个是变量。
2. 分式方程的性质：分式方程具有以下性质，a. 变量出现在分式中，需要通过运算将变量移到方程的一侧。
b. 分母为0时，分式方程无解。
c. 分式方程的解需要满足原方程中分式的定义域。
二、分式方程的求解方法1. 消除分式：通过乘以合适的值将方程两边的分式消除，使方程中只剩下整式。
a. 对于含有一个分式的方程，可通过乘以分母的最小公倍数来消除分式。
b. 对于含有多个分式的方程，可通过求得它们的最小公倍数，将每个分式的分子分别乘以最小公倍数再相加。
2. 分解分式：将复杂的分式方程分解为简单的分式方程，然后逐个求解。
a. 对于含有分式的方程，可将其分解为多个小的分式方程，分别进行求解。
b. 分式方程的分子或分母是多项式的情况，可利用待定系数法分解分式。
3. 代入法：将已知的值代入分式方程中，通过验证来确定是否为方程的解。
a. 对于一元分式方程，代入法是常用的求解方法。
b. 对于多元分式方程，代入法可将其中的一个变量看作常量，再进行代入求解。
4. 替换法：通过引入新的变量，将复杂的分式方程转化为简单的代数方程。
a. 对于含有多个分式的方程，可引入新的变量和方程进行替换。
b. 替换法可以简化分式方程的求解过程。
5. 变量换元法：通过引入新的变量，将复杂的分式方程转化为简单的线性方程。
a. 对于含有多个分式的方程，可引入新的变量并进行变量换元。
b. 变量换元法可以将分式方程转化为简单的线性方程，从而简化求解过程。
总结：分式方程是数学中常见的一种方程形式，通过本文对分式方程的知识点进行归纳总结，我们了解了分式方程的定义和基本性质，并学习了多种求解方法，如消除分式、分解分式、代入法、替换法和变量换元法等。
专题08 分式方程(学生版)
知识点01：解分式方程【高频考点精讲】1．解分式方程的步骤（1）去分母。
方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。
（2）去括号。
系数分别乘以括号里的数。
（3）移项。
含有未知数的式子移到方程左边，常数移到方程右边。
（4）合并同类项。
（5）系数化为1。
（6）检验。
把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；如果最简公分母不等于0，这个根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程无解。
2．换元法解分式方程（1）将原分式方程中含有字母的整体用另一个字母代替，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法。
（2）常见类型①直接换元。
例如015)1(2)1(2=----x x ，设1-=x y 。
②配方换元。
例如1)1(31222=+-+x x x x ）（，原方程配方，得05)1(3)1(22=-+-+x x x x ，设x x y 1+=。
③倒数换元。
例如2232=---x x x x ，设xx y 2-=。
④变形换元。
例如1221222-=--x x x x ，可变形为1212222-=---xx x x ，设x x y 22-=。
知识点02：由实际问题抽象出分式方程 【高频考点精讲】1．利用常见数量关系确定等量关系。
例如行程问题中的相遇时间、追击时间相等。
2．利用关键词确定等量关系。
例如“倍”“多”“少”等。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.56一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023•哈尔滨）方程＝的解为（ ）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝2D ．x ＝﹣22．（2分）（2023•德州）某次列车平均提速v 千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s 千米，相同的时间，提速后比提速前多行驶50千米，根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．若设提速后这次列车的平均速度为x 千米/小时，则可列方程为 B ．若设提速后这次列车的平均速度为x 千米/小时，则可列方程为 C ．若设提速前这次列车的平均速度为y 千米/小时，则可列方程为D ．若设提速前这次列车的平均速度为y 千米/小时，则可列方程为3．（2分）（2023•大连）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（）A．1+3＝3x（1﹣x）B．1+3（x﹣1）＝﹣3xC．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x4．（2分）（2023•深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．（2分）（2023•聊城）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠16．（2分）（2023•广元）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a 平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（）A．B．C．D．7．（2分）（2023•东营）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（）A．﹣＝0.4 B．﹣＝0.4C．﹣＝0.4 D．﹣＝0.48．（2分）（2023•云南）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．9．（2分）（2023•辽宁）某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车的速度是x km/h，所列方程正确的是（）A．+1＝B．﹣1＝C．＝D．＝10．（2分）（2023•黑龙江）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•青岛）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为．12．（2分）（2023•苏州）分式方程的解为x＝．13．（2分）（2023•永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是．14．（2分）（2023•绵阳）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距180km的古镇旅行，原计划以速度v km/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果就比原计划提前了0.5h到达，则原计划的速度v为km/h．15．（2分）（2023•建华区三模）若关于x的分式方程﹣1＝有正数解，求m的取值范围．16．（2分）（2023•南海区模拟）分式方程的解是．17．（2分）（2023•高新区模拟）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是．18．（2分）（2023•眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是．19．（2分）（2023•重庆）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为．20．（2分）（2023•沙坪坝区校级二模）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的a的值之积为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•镇江）（1）解方程：＝+1；（2）解不等式组：．22．（6分）（2023•南通）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积（单位：m2）每天施工费用（单位：元）甲x+300 3600乙x2200信息二甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．（1）求x的值；（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？23．（8分）（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？24．（8分）（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：＝+30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．乙：＝1.6×，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．则甲所列方程中的x表示，乙所列方程中的x表示（3）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？25．（8分）（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．26．（8分）（2023•荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；。
换元法解分式方程
三角函数
在处理三角函数相关的数学问题 时，换元法可以帮助我们将三角 函数转化为更易于处理的代数问
题。
换元法的历史与发展
历史
换元法的思想可以追溯到古代中国的数学家们。在《九章算术》等古代数学著作中，就已经出现了换 元法的思想。随着数学的发展，换元法逐渐成为一种重要的数学方法，被广泛应用于各种数学问题中 。
02
确定新变量与原方程中未知数的 关系。
替换原方程中的未知数
将原方程中的未知数用新变量表示出 来。
将所有含有未知数的项都替换为新变 量。
化简方程
对替换后的方程进行化简，以便更容易地解出新变量的值。 可以使用代数方法，如合并同类项、提取公因式等。
解出新变量的值
解出新变量的值，通常需要对方程进行因式分解或使用求根 公式。
实例三：二元一次方程组的换元法解法
总结词
通过换元法将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
详细描述
对于形如 $begin{cases} x + y = a x - y = b end{cases}$ 的二元一次方程组，可以通 过换元法将其转化为 $begin{cases} t_1 + t_2 = a t_1 - t_2 = b end{cases}$ 的形式， 其中 $t_1 = x, t_2 = y$。这样可以将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
考虑特殊情况
对于某些分式方程，需要考虑特殊情况或边 界条件，以确保解的完整性和准确性。例如， 当分母接近零或变量取极大/极小值时，可 能需要额外验证解的合理性。
பைடு நூலகம்5
换元法与其他解法的比 较
与因式分解法的比较
因式分解法适用于解整式方程，通过 将方程的左边和右边都化为0，然后 对左边或右边的多项式进行因式分解， 从而求解方程。而换元法主要用于解 分式方程，通过引入新的变量来简化 原方程，适用于无法直接因式分解或 化简的复杂分式方程。
换元法解分式方程的四种常见类型
换元法解分式方程的四种常见类型换元法是初中数学非常重要的思想方法，在解分式方程时有着极为广泛的应用，本文根据各个方程自身的结构特点，举例说明换元法解分式方程的四种常见类型，供大家参考.一、直接换元例1解方程015)1(21(2=----x x x x .解：设y x x =-1，则原方程可化为01522=--y y .解得5,321=-=y y .当3-=y 时，31-=-x x ，解得43=x ；当5=y 时，51=-x x ，解得45=x .经检验，45,4321==x x 是原方程的根.二、配方换元例2解方程11(31(222=+-+x x x x .解：原方程配方，得05)1(31(22=-+-+x x x x .设,1y x x =+则05322=--y y .解得25,121=-=y y .当1-=y 时，,11-=+x x 即012=++x x .因为0311412<-=⨯⨯-=∆，所以方程012=++x x 无实数根.当25=y 时，,251=+x x 即02522=+-x x .解得21,221==x x .经检验，21,221==x x 是原方程的根.三、倒数换元例3解方程031)1(21122=-+++++x x x x .解：设y x x =+112，则原方程可化为032=-+yy .去分母，整理，得0232=+-y y ，解得2,121==y y .当1=y 时，1112=++x x ，即02=-x x .解得1,021==x x .当2=y 时，2112=++x x ，即0122=--x x .解得21,2143-=+=x x .经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根.四、变形换元例4解方程12222422=+-+-x x x x .解：原方程可变形为05222)22(222=-+-++-x x x x .设y x x =+-222，则原方程可化为0522=-+y y .去分母，整理，得02522=+-y y .解得21,221==y y .当2=y 时，2222=+-x x ，即022=-x x .解得21,021==x x .当21=y 时，21222=+-x x ，即03242=+-x x .因为044344)2(2<-=⨯⨯--=∆，所以方程03242=+-x x 无实数根.经检验，21,021==x x 是原方程的根.。
初中数学解方程所有公式大全
初中数学解方程所有公式大全详解一、引言在初中数学中，解方程是一个非常重要的知识点。
无论是线性方程、二次方程还是其他类型的方程，掌握解方程的公式和方法都是至关重要的。
本文将详细介绍初中数学中解方程的所有公式和方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
二、一元一次方程一元一次方程是最基础的方程类型，其一般形式为ax+b=0。
解一元一次方程的公式为：x=-b/a。
在实际解题过程中，需要先对方程进行化简，使其符合一般形式，然后代入公式求解。
三、二元一次方程组二元一次方程组是由两个一元一次方程组成的方程组。
其一般形式为：{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2}解二元一次方程组的公式为：{x=(c1b2-c2b1)/(a1b2-a2b1)y=(c1a2-c2a1)/(a1b2-a2b1)}这个公式也叫做克拉默法则。
同样地，在实际解题过程中，需要先对方程组进行化简，使其符合一般形式，然后代入公式求解。
四、一元二次方程一元二次方程是初中数学中的一个重要知识点，其一般形式为ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程的公式为：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
这个公式也叫做求根公式。
同样地，在实际解题过程中，需要先对方程进行化简，使其符合一般形式，然后代入公式求解。
需要注意的是，当判别式b^2-4ac小于0时，方程无实数解。
五、分式方程分式方程是一种比较特殊的方程类型，其一般形式为f(x)/g(x)=0。
解分式方程的公式和方法比较灵活，通常需要先对方程进行变形和化简，消去分母，然后求解。
常用的方法有去分母法、换元法等。
在实际解题过程中，需要根据具体情况选择合适的方法。
六、无理方程无理方程是一种含有根号等无理式的方程类型。
其解法通常需要将无理式转化为有理式，然后利用已知的方法进行求解。
常用的方法有平方差公式法、换元法等。
在实际解题过程中，需要根据具体情况选择合适的方法。
七、高次方程和方程组高次方程和方程组是指次数高于2的方程和方程组。
知识点142 换元法解分式方程(解答)
1、（2010•苏州）解方程：．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析:方程的两个分式具备平方关系，设=t,则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方程．先求t,再求x．解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，解得,t1=2，t2=﹣1，当t=2时,=2,解得x1=﹣1，当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点,寻找解题技巧．2、(2010•嘉兴)（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；(2）解方程：+=2．考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。
分析：（1)按解一元一次不等式的步骤进行;(2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y,再求x．结果需检验．解答：解：（1）3x﹣2＞x+4，3x﹣x＞4+22x＞6x＞3；（2）设=y，则原方程化为y+=2．整理得，y2﹣2y+1=0,解之得,y=1．当y=1时,=1，此方程无解．故原方程无解．点评:(1）移项时注意符号的变化．（2)用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3、（2008•苏州）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程—因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2．然后整理原方程化成整式方程求解．解答：解：设=y,则=y2，所以原方程可化为2y2+y﹣6=0．解得y1=﹣2，y2=．即:=﹣2或=．解得x1=2，．经检验，x1=2，是原方程的根．点评：换元法解分式方程可将方程化繁为简，化难为易,是解分式方程的常用方法之一，换元法的应用要根据方程特点来决定,因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特点．4、（2008•上海）解方程：考点：换元法解分式方程;解一元二次方程—因式分解法。
换元法解分式方程
2、换元能达到什么目的？换元的时候要注 意什么？
（降次；换元后的方程应当是能转化为我 们学过的可解的方程）
例1：解方程 3x x23 13
x2
3
x
2
解： 设 x2 ，3则 y x
x x2 3
1 y
原方程可变为： 3 y 13
y
2
去分母，得 : 2y2－13y＋6＝0(关于y的方程）
解得: y1＝6，y2＝
1 2
当y＝6时，即:
x2 3 6
x
解得 x1 3，2 3 x2 32 3
•
当
y＝
1
解得 x3＝2，x4＝
3 2
经检验 x1 ，32 3 x2 32 3
x3＝2，x4＝ 都23是原方程的根.
练习:P49 2题
反思解题步骤:
设元 换元 求新元 回代 验根
例2：解方程
x2
1 x2
x10 x
分析:因为
x2x12
(x1)22 x
这样原方程可整理为 (x1)22(x1)0
x
x
这样可设 x 1 y x
原方程可转化为 y2y20
练习 :
解分式方程:
(1) x2x122(x1x)10
(2)
x2x42
3(x2)0 x
小结:
(1).如何解一个分式方程? 分式方程 转化
换元法解分式方程
知识回顾
• 解分式方程的一般方法是 什么？ • 基本解题步骤有哪几步？ • 求出解以后不可忽视的哪一步？
问题：
？
• 观察下面两个方程，x你会求出它们
的解吗？
x 2 3 ①
分式方程知识点总结
分式方程知识点总结一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．无理方程：根号内含有未知数的方程。
(无理方程又叫根式方程 )3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。
二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。
2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。
解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。
三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程的增根。
2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为 0 。
解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。
常见考法( 1 ) 考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；( 2) 分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。
误区提醒( 1 ) 去分母时漏乘整数项；( 2) 去分母时弄错符号；( 3) 换元出错；( 4) 忘记验根。
知识点42换元法解分式方程(解答)
1、（2010•苏州）解方程：．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方程．先求t，再求x．解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，解得，t1=2，t2=﹣1，当t=2时，=2，解得x1=﹣1，当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．2、（2010•嘉兴）（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；（2）解方程：+=2．考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。
分析：（1）按解一元一次不等式的步骤进行；（2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．解答：解：（1）3x﹣2＞x+4，3x﹣x＞4+22x＞6x＞3；（2）设=y，则原方程化为y+=2．整理得，y2﹣2y+1=0，解之得，y=1．当y=1时，=1，此方程无解．故原方程无解．点评：（1）移项时注意符号的变化．（2）用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3、（2008•苏州）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2．然后整理原方程化成整式方程求解．解答：解：设=y，则=y2，所以原方程可化为2y2+y﹣6=0．解得y1=﹣2，y2=．即：=﹣2或=．解得x1=2，．经检验，x1=2，是原方程的根．点评：换元法解分式方程可将方程化繁为简，化难为易，是解分式方程的常用方法之一，换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特点．4、（2008•上海）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
知识点142 换元法解分式方程(选择)
1、（2009•上海）用换元法解分式方程﹣+1=0时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A、y2+y﹣3=0B、y2﹣3y+1=0C、3y2﹣y+1=0D、3y2﹣y﹣1=0考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设=y，换元后整理即可求得．解答：解：把=y代入方程+1=0，得：y﹣+1=0．方程两边同乘以y得：y2+y﹣3=0．故选A．点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．2、（2007•重庆）附加题：用换元法解方程，若设y=x+，则原方程可化为（）A、y2﹣y+1=0B、y2+y+1=0C、y2+y﹣1=0D、y2﹣y﹣1=0考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：设y=x+，即可把原方程化为整式方程．解答：解：设y=x+，∴=y2，∴原方程可化为y2﹣y=1，进一步化简得：y2﹣y﹣1=0．故选D．点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．3、（2006•淄博）解分式方程+3=0时，设=y，则原方程变形为（）A、y2+3y+1=0B、y2+3y﹣1=0C、y2﹣3y+1=0D、y2﹣3y﹣1=0考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：若设=y，则=，那么，原方程可化为：y﹣+3=0，然后化为整式方程．解答：解：设=y，则=，∴原方程可化为：y﹣+3=0，方程两边都乘最简公分母y得y2﹣1+3y=0，整理得y2+3y﹣1=0．故选B．点评：本题考查用换元法化简分式方程．换元后需再乘最简公分母化为整式方程．4、（2006•舟山）用换元法解方程+2=0，如果设y=，那么原方程可化为（）A、y2﹣y+2=0B、y2+y﹣2=0C、y2﹣2y+1=0D、y2+2y﹣1=0考点：换元法解分式方程。
人教版2023中考数学专题复习：分式方程精讲精练
分式方程精讲精练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________知识点精讲1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．4.分式方程的应用(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．针对训练一、单选题1．下列方程中是分式方程的是（ ）A ．212x x -=B ．223x x =-C ．122x =-D ．312x π+=2．分式方程61222x x x -=---的解是（ ） A ．3x =- B ．2x =- C ．0x = D ．3x =3．关于x 的分式方程2m x x +--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2 4．若关于x 的方程221m x x =+无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．4或6 C ．4 D ．0或45．已知关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥- B ．4m ≥-且3m ≠- C ．4m >-D ．4m >-且3m ≠- 6．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x 件才能按时交货，则x 应满足的方程为（ ）A ．72072054848x =-+B ．72072054848x -=+C ．72072054848x -=-D ．72072054848x -=- 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x 天，则可列出正确的方程为( )A ．900900231x x =⨯+-B ．900900231x x =⨯-+C ．900900213x x =⨯-+D ．900900213x x =⨯+- 8．某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x =-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价 B ．篮球的单价 C ．足球的数量D ．篮球的数量 9．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（ ）A ．1.482.413x x -=-B ．1.482.413x x +=+C ．1.4282.4213x x -=-D ．1.4282.4213x x +=+ 10．若关于x 的不等式组52111322x a x x +≤⎧⎪⎨⎛⎫-<+ ⎪⎪⎝⎭⎩有且仅有四个整数解，关于y 的分式方程26121ay y y -=+--有整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）A ．2B ．5C ．10D ．12二、填空题11．解分式方程2101x x -=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______． 12．分式方程522x x=+的解为_______． 13．若关于x 的分式方程25k x x =+的解为10x =-，则k =_______． 14．代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______． 15．设m ，n 为实数，定义如下一种新运算：39n m n m =-☆，若关于x 的方程()(12)1a x x x =+☆☆无解，则a 的值是______．16．若关于x 的分式方程2122224x m x x x ++=-+-的解大于1，则m 的取值范围是____________． 17．对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝11a b-，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为 _____． 18．若关于x 的分式方程3211x m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是 ______． 19．甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km /h ．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________km /h ．20．开学之际，学校需采购部分课桌，现有A ，B 两个商家供货，A 商家每张课桌的售价比B 商家优惠20元，若该校花费1500元在A 商家购买课桌的数量与花费2500元在B 商家购买课桌的数量一样多，设A 商家每张课桌的售价为x 元，则可列方程为________．三、解答题21．解下列方程：(1)2131x x=+-(2)11222xx x-=---(3)2134412142xx x x+=--+-22．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？23．我县教育局新建了一栋办公楼，需要内装修，甲工程队单独施工需要80天完工，由甲乙两工程队同时施工，那么16天完成了总工程的13 25．(1)如果乙工程队单独施工，则需要多少天完成？(2)如果甲工程队单独施工一天的工钱是5000元，乙工程队单独施工一天的工钱是8100元，为了节约工钱，应选用哪个工程队单独施工比较划算？24．某商场用5000元购进了一批服装，由于销路好，商场又用18600元购进了第二批这种服装，所购数量是第一批同进量的3倍，但单价贵了24元，商场在出售该服装时统一按照每件200元的标价出售，卖了部分后，对剩余的40件，商场按标价的6折进行了清仓处理并全部售完．求：(1)商场两次共购进了多少件服装？(2)两笔生意中商场共盈利多少元？25．小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示爸爸去过西安、成都、重庆．已知西安到成都的路程为770公里，比西安到重庆的路程少230公里，小明爸爸驾车从西安到重庆的平均车速和西安到成都的平均车速比为8:7，从西安到重庆的时间比从西安到成都的时间多1.5 小时．(1)求小明爸爸从西安到重庆的平均车速；(2)从西安到成都时，若小明的爸爸比之前到达的时间至少要提前1小时，则平均车速应满足什么条件？26．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用．②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）。
用换元法求解分式方程和高次方程的教案
用换元法求解分式方程和高次方程的教案
教学目标：通过本节课的学习，学生应该能够了解什么是换元法，学会如何使用换元法解决分式方程和高次方程的问题。
教学内容：
一、什么是换元法
二、用换元法解决分式方程
1. 例题1：找到适当的换元变量，使得原题化为一次方程或二次
方程
2. 例题2：找到适当的换元变量，使得原题变成利用一次方程求
解的问题
三、用换元法解决高次方程
1. 例题1：根据给定的条件，找到适当的换元变量，使得可以利
用一次方程求解得到方程的根
2. 例题2：利用恒等变形将高次方程转化为利用一次方程求解的
问题，并找到适当的换元变量
教学步骤：
一、观看教学视频，了解什么是换元法和它的应用范围
二、展示完整的求解过程，让学生理解换元法的效果
三、通过例子演示如何使用换元法解决分式方程和高次方程
四、让学生自己做练习题，巩固所学的内容
教学方法：
1. 演示法。
2. 课堂练习。
3. 互动讨论。
教学资源：
1. PowerPoint幻灯片和白板
2. 教学视频
3. 翻转课堂的练习题和答案
评价方式：
1. 考试
2. 课堂作业和小组讨论
3. 学生的参与度和观察成果
如何评价本节课：
使用换元法求解分式方程和高次方程是高中数学非常重要的章节，因此，本节课应该引导学生正确理解相关概念，重点讲解针对不同题
型的解决方法，同时通过课堂应用和论述让学生深化理解，最后通过评价方式检验学生是否掌握相关知识。
换元法解分式方程
换元法解分式方程
换元法，就是引进新的变量，把一个较为复杂的数量关系转化成简单的数量关系的解题技巧。
下面用运用“换元法”了解分式方程的几个例子。
例1 解方程
分析括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。
解设，于是原方程变形为
解得
例2 解方程
分析方程左边分式分母为，可将右边看成一个整体，然后用换元法求解。
解设，则原方程变形为
例3 解方程
分析这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。
解原方程为
例4 解方程解设
练习：
1. 解方程
2. 解方程
3. 解方程
提示：1. 设
2.
3. 设。
换元法解分式方程的四种常见类型
换元法解分式方程的四种常见类型换元法是初中数学非常重要的思想方法，在解分式方程时有着极为广泛的应用，本文根据各个方程自身的结构特点，举例说明换元法解分式方程的四种常见类型，供大家参考.一、直接换元例1 解方程015)1(2)1(2=----x x x x . 解：设y x x =-1，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y .当3-=y 时，31-=-x x ，解得 43=x ； 当5=y 时，51=-x x ，解得 45=x . 经检验，45,4321==x x 是原方程的根. 二、配方换元例2 解方程 1)1(3)1(222=+-+x x xx . 解：原方程配方，得 05)1(3)1(22=-+-+xx x x . 设,1y xx =+则05322=--y y . 解得 25,121=-=y y . 当1-=y 时，,11-=+x x 即012=++x x . 因为0311412<-=⨯⨯-=∆，所以方程012=++x x 无实数根. 当25=y 时，,251=+x x 即02522=+-x x . 解得 21,221==x x . 经检验，21,221==x x 是原方程的根. 三、倒数换元例3 解方程031)1(21122=-+++++x x x x . 解：设y x x =++112，则原方程可化为032=-+y y .去分母，整理，得0232=+-y y ，解得 2,121==y y . 当1=y 时，1112=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x .当2=y 时，2112=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x .经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根.四、变形换元例4 解方程12222422=+-+-x x x x . 解：原方程可变形为05222)22(222=-+-++-x x x x . 设y x x =+-222，则原方程可化为0522=-+y y . 去分母，整理，得02522=+-y y .解得 21,221==y y . 当2=y 时，2222=+-x x ，即022=-x x .解得 21,021==x x . 当21=y 时，21222=+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2<-=⨯⨯--=∆，所以方程03242=+-x x 无实数根. 经检验，21,021==x x 是原方程的根.。
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1、（2010•）解方程：．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方程．先求t，再求x．解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，解得，t1=2，t2=﹣1，当t=2时，=2，解得x1=﹣1，当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．2、（2010•）（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；（2）解方程：+=2．考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。
分析：（1）按解一元一次不等式的步骤进行；（2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．解答：解：（1）3x﹣2＞x+4，3x﹣x＞4+22x＞6x＞3；（2）设=y，则原方程化为y+=2．整理得，y2﹣2y+1=0，解之得，y=1．当y=1时，=1，此方程无解．故原方程无解．点评：（1）移项时注意符号的变化．（2）用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3、（2008•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2．然后整理原方程化成整式方程求解．解答：解：设=y，则=y2，所以原方程可化为2y2+y﹣6=0．解得y1=﹣2，y2=．即：=﹣2或=．解得x1=2，．经检验，x1=2，是原方程的根．点评：换元法解分式方程可将方程化繁为简，化难为易，是解分式方程的常用方法之一，换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特点．4、（2008•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查解分式方程的能力，观察分式因为与互为倒数，所以可根据方程特点选择换元法进行解方程，同时又可用常用方法：去分母方法进行解方程．解答：解：方法一：设，则原方程化为，整理得2y2﹣5y+2=0，∴y1=，y2=2，当y=时，，解得：x=2；当y=2时，，解得：x=﹣1．经检验x1=2，x2=﹣1是原方程的根；方法二：去分母得2（x﹣1）2+2x2=5x（x﹣1），整理得x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，经检验x1=2，x2=﹣1是原方程的根．点评：解方程时要注意根据方程特点选择合适的方法，达到灵活技巧解题的效果．5、（2008•）解方程：x2﹣=2x﹣1考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：运用换元法，设y=x2﹣2x，降次求方程的解．解答：解：设y=x2﹣2x，则原方程变为：，即y2+y﹣12=0，得（y﹣3）（y+4）=0，解得：y=3或y=﹣4，当y=3时，x2﹣2x=3，（x﹣3）（x+1）=0，解得x1=3，x2=﹣1，当y=﹣4时，x2﹣2x=﹣4，∵△=﹣12＜0，∴此方程无解．经检验，x1=3，x2=﹣1都是原方程的根．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．6、（2007•）解分式方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．∵∴可设y=．把y代入原方程，转化为整式方程求解．解答：解：设，原方程化为y2﹣y+3=0，解得y1=2，，当y=2时，，解得x=﹣1．当时，，解得x=﹣2．经检验x1=﹣1，x2=﹣2都是原方程的根．点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．本题应注意：最后需代入y=求得x的值，再验根．7、（2006•）用换元法解方程：x2+3x﹣=﹣1．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，观察可得方程若直接去分母会很麻烦，涉及到的计算量会很大，因此可设x2+3x=y，将原方程变形整理为y﹣=﹣1，即：y2+y﹣20=0，求得y的值，然后再去解一元二次方程即可求得x的值．解答：解：设x2+3x=y，则原方程变形为y﹣=﹣1，即y2+y﹣20=0，解得y1=﹣5，y2=4．当y=﹣5时，x2+3x=﹣5，即x2+3x+5=0，∵△=32﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，∴此方程无解；当y=4时，x2+3x=4，即x2+3x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=1．经检验，x1=﹣4，x2=1都是原方程的解．点评：解分式方程的关键就是把分式方程通过去分母或换元等方式转化为整式方程，因此应根据方程特点选择合适的方法．求解后要注意验根．8、（2006•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程能力，观察方程，根据其特点可设=y，可得=，再进一步去分母整理化为整式方程即可求解．解答：解：设：=y，则原方程为：2y2﹣y﹣1=0，解得：．由得：x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．由y2=1得：x2﹣x﹣1=0，此方程的解x3=，x4=．检验：都是方程的根．点评：用换元法可将分式方程化繁为简，化难为易，是解分式方程常用方法之一，要注意总结能够熟练运用换元法解分式方程的特点．9、（2006•）阅读理解题：一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话，请你阅读完后再解答下面问题：老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？老师：这样，原方程可整理为x4﹣2x3﹣7x2+8x+12=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？学生乙：我发现方程中x2﹣x是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好．如果我们把x2﹣x看成一个整体，用y来表示，那么原方程就变成y2﹣8y+12=0．全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y2﹣8y+12=0的解是y1=6，y2=2，就有x2﹣x=6或x2﹣x=2．学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x1=3，x2=﹣2，x3=2，x4=﹣1，嗬，有这么多根啊．老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种很重要的转化方法．全体同学：OK！换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：阅读型。
分析：换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设=y，换元后整理并求得y的值，再代入=y中求x的值．解答：解：设y=，则原方程可变为y2﹣5y﹣6=0，解得y1=6，y2=﹣1，∴=6，=﹣1，解得x=或，经检验，都是原方程的根．∴原方程的解为x=或．点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．10、（2006•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程因为与互为倒数，所以可设=y，则原方程可变形整理为y+=，再进一步解这个方程即可．解答：解：设=y，则原方程可变形整理为：y+=，整理得：2y2﹣5y+2=0．解得：y1=2，y2=．当=2时，方程可整理为2x2﹣x+2=0，因为△=b2﹣4ac=﹣15＜0，所以方程无解．当=时，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．∴原方程的根为x=1．点评：本题若用常规方法，则较繁琐，灵活应用换元法，则可化繁为简，因此解分式方程时，要根据方程特点选择合适的方法．11、（2006•贺州）解方程：．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，根据方程特点可设=y，则原方程可整理为y2+3y=4，再去求解即可．解答：解：设=y，则（）2=y2，原方程可整理为y2+3y=4，解得：y1=﹣4，y2=1，当y1=﹣4时，=﹣4，x=﹣4x+4，解得：x=，当y2=1时，=1，方程无解．经检验：x=是原方程的解，∴方程的解为：x=．点评：用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．要注意总结能用换元法解的分式方程特点，做到能够根据方程特点选择合适的解方程方法．12、（2006•）用换元法解方程：x+=2．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．因为x+=，且与互为倒数，所以可采用换元法解分式方程．解答：解：由可设，则y﹣=2，整理得y2﹣2y﹣3=0，解得y1=3，y2=﹣1．当y=3时，=3，x2﹣3x+2=0，解得x1=2，x2=1．当y=﹣1时，=﹣1，x2+x+2=0，△=1﹣8=﹣7＜0，此方程没有实数根．经检验：x1=2，x2=1是原方程的根．∴原方程的根是x1=2，x2=1．点评：用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．13、（2006•）用换元法解方程：x2﹣x+1=．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：本题要求运用换元法解题，可先对方程进行观察，可知方程左右两边都含有x2﹣x，如此只要将x2﹣x看作一个整体，用y代替，再对方程进行化简得出y的值，最后用x2﹣x=y 来解出x的值．解答：解：设x2﹣x=y，则，原方程化为y+1=，∴y2+y﹣6=0即（y+3）（y﹣2）=0，解得y1=﹣3，y2=2．当y=﹣3时，x2﹣x=﹣3，∴x2﹣x+3=0，∵△=1﹣12＜0，∴此方程无实根；当y=2时，x2﹣x=2，∴x2﹣x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=2．经检验，x1=﹣1，x2=2都是原方程的根．∴原方程的根是x1=﹣1，x2=2．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．14、（2005•）解方程：．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。