知识点142换元法解分式方程(解答)

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初一数学知识点：分式方程及应用

初一数学方程应用及练习：

【考点归纳】

1.分式方程:分母中含有( )的方程叫分式方程.

2.解分式方程的一般步骤：

(1)去分母，在方程的两边都乘以( )，约去分母，化成整式方程;

(2)解这个整式方程;

(3)验根，把整式方程的根代入( )，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

3. 用换元法解分式方程的一般步骤：

① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;

② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值;

③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值;

④ 检验作答.

4.分式方程的应用：

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：

(1)检验所求的解是否是所列( );(2)检验所求的解是否( ).

5.易错知识辨析：

(1) 去分母时，不要漏乘没有分母的项.

(2) 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.

(3) 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程;②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.

例2 在2019年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地××局组织电工进行抢修.××局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从××局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地.已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度.例3 某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校.现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务.经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天;乙小组每天比甲小组多修8套;学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元.

分式运算(逐项通分、裂项相消、换元法)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题

问题1：分式运算的基础是什么？

问题2：对于复杂的分式运算要通过恰当的变形，转化成简单的熟悉的分式运算来进行，通常的策略有_______、________等．

问题3：解分式方程要注意什么？

问题4：为什么解分式方程要检验？

以下是问题及答案，请对比参考:

问题1：分式运算的基础是什么？

答：分式运算的基础是分式的基本性质和分式的运算法则．

问题2：对于复杂的分式运算要通过恰当的变形，转化成简单的熟悉的分式运算来进行，通常的策略

有、等．

答：逐项通分和列项相消．

问题3：解分式方程要注意什么？

答：解分式方程要检验．

问题4：为什么解分式方程要检验？

答：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解可能使原方程中分母为0，因此要检验．

分式运算（逐项通分、裂项相消、换元法）（人

教版）

一、单选题(共9道，每道11分)

1.( )

A. B.

C. D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：逐项通分

2.( )

A. B.

C. D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：逐项通分

3.( )

A. B.

C. D.

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：裂项相消

4.( )

A. B.

C. D.

答案：A

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：裂项相消

5.已知，则

( )

A. B.

C. D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：裂项相消

6.方程的解是( )

A. B.

C. D.

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：换元法

7.方程的解是( )

A. B.

C. D.

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：换元法

完整版本分式及分式方程学习知识点总结计划

分式及分式方程聚焦考点☆ 复习理解

一、分式

1、分式的观点

一般地，用A、B 表示两个整式，A÷ B 就能够表示成A

的形式，假如B中含有字母，式子

就叫做分BB

式。此中， A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质

（1）分式的基天性质：

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

（2）分式的变号法例：

分式的分子、分母与分式自己的符号，改变此中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法例

a c ac ; a c a d ad ;

b d bd b d b

c bc

( a )n a

n ( n为整数 );

b b n

a b a b

c c c

;

a c ad bc

b d bd

二、分式方程

1、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转变为“整式方程”。它的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母

（2）解所得的整式方程

（ 3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应当舍去；若不等于零，就是原方程

的根。

3、分式方程的特别解法换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用特别宽泛，当分式方程拥有某种特别形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

名师点睛 ☆ 典例分类

考点典例一、分式的值

【例 1】（2015 ·黑龙江绥化）若代数式

x5x6

的值等于0，则x=_________.

2x 6

【点睛】分式 x

5x 6

的值为零则有 x 2-5x+6 为 0 分母 2x-6 不为 0，从而即可求出 x 的值 .

专题08 分式方程(学生版)

知识点01：解分式方程

【高频考点精讲】

1．解分式方程的步骤

（1）去分母。方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。（2）去括号。系数分别乘以括号里的数。

（3）移项。含有未知数的式子移到方程左边，常数移到方程右边。

（4）合并同类项。

（5）系数化为1。

（6）检验。把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；如果最简公分母不等于0，这个根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程无解。 2．换元法解分式方程

（1）将原分式方程中含有字母的整体用另一个字母代替，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法。（2）常见类型

①直接换元。例如015)1(2)1(2

=----x x ，设1-=x y 。

②配方换元。例如1)1(3122

=+-+

x x x x ）（，原方程配方，得05)1(3)1(22=-+-+x x x x ，设x x y 1

+=。 ③倒数换元。例如2232=---x x x x ，设x

x y 2

。 ④变形换元。例如1221222

-=--x x x x ，可变形为1212222-=---x

x x x ，设x x y 22-=。

知识点02：由实际问题抽象出分式方程【高频考点精讲】

1．利用常见数量关系确定等量关系。例如行程问题中的相遇时间、追击时间相等。 2．利用关键词确定等量关系。例如“倍”“多”“少”等。

检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.56

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023•哈尔滨）方程＝的解为（）

(完整)第十五章--分式方程(知识点+题型分类练习),推荐文档

．
x 1 m
16.（2013•威海）若关于 x 的方程 x 5 10 2x 无解，则 m=
．
考点二、解分式方程
1.解下列分式方程
第 8 页共 10 页
（1） 3x 2 3 x2 x2
（2） 3 x 2 1
x2
2x
（3） x 2 1 3
x2
x2 4
x 21 2.（2013•资阳）解方程： x4 4 x 2 x 2 ．
考点七：分式创新型题目
1.（2013•
枣庄）对于非零实数
a、b
，规定
a
b
1 b
1 a
，若
2
(2x
1)
1，则
x
的值为
5 A. 6
5 B. 4
3 C. 2
1 D. 6
ab
1
2.定义运算“＊”为：a＊b b a ，若 3＊m＝－ 5 ，则 m＝
.
分式方程专题练习
第 7 页共 10 页
1 C. a2 1
2xy + y2
1 D. a2 1 x+y
4．（2013 河北）若 x+y＝1，且，则 x≠0，则(x+ x ) ÷ x 的值为_______．
考点六：分式的化简与求值
第 4 页共 10 页
1．先化简，再求值：

换元法解分式方程的四种常见类型

换元法是初中数学非常重要的思想方法，在解分式方程时有着极为广泛的应用，本文根据各个方程自身的结构特点，举例说明换元法解分式方程的四种常见类型，供大家参考.

一、直接换元

例1解方程015)1

(21(

2=----x x x x .解：设y x x =-1，则原方程可化为01522=--y y .解得5,321=-=y y .

当3-=y 时，

31-=-x x ，解得43=x ；当5=y 时，51=-x x ，解得45=x .经检验，45,4321==x x 是原方程的根.二、配方换元

例2解方程11(31(222

=+-+x x x x .解：原方程配方，得05)1(31(22=-+-+x x x x .设,1y x x =+则05322=--y y .解得25,121=-=y y .当1-=y 时，,11-=+x x 即012=++x x .因为0311412

<-=⨯⨯-=∆，

所以方程012=++x x 无实数根.当25=

y 时，,251=+x x 即02522=+-x x .解得21,221==x x .经检验，21,221==x x 是原方程的根.三、倒数换元

例3解方程031

)1(21122=-+++++x x x x .解：设y x x =+112，则原方程可化为032=-+y

y .

去分母，整理，得0232

=+-y y ，解得2,121==y y .当1=y 时，11

12=++x x ，即02=-x x .解得1,021==x x .

当2=y 时，21

分式方程的解法——换元法

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§第3讲分式方程的解法（换元法）

换元法：将原分式方程中含有字母的整体用另一个字母代替，将方程变形，然后去分母，化为整式方程，求出新方程的解，然后代入含有字母的整体中，求出原方程的根，最后检验。步骤：

1.替换未知数

2.转化方程

3.去分母并整理方程

4.求解

5.代入求根

6.验根

知识点142 换元法解分式方程(解答)

1、（2010•苏州）解方程：．

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。

专题：换元法。

分析:方程的两个分式具备平方关系，设=t,则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化为

关于t的一元二次方程．先求t,再求x．

解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，

解得,t1=2，t2=﹣1，

当t=2时,=2,解得x1=﹣1，

当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，

经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．

点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点,寻找解题技巧．

2、(2010•嘉兴)（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；

(2）解方程：+=2．

考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。

分析：（1)按解一元一次不等式的步骤进行;

(2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为．可用换元法转化

为关于y的分式方程．先求y,再求x．结果需检验．

解答：解：（1）3x﹣2＞x+4，

3x﹣x＞4+2

2x＞6

x＞3；

（2）设=y，则原方程化为y+=2．

整理得，y2﹣2y+1=0,

解之得,y=1．

当y=1时,=1，此方程无解．

故原方程无解．

点评:(1）移项时注意符号的变化．

（2)用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

3、（2008•苏州）解方程：

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程—因式分解法。

专题：计算题；换元法。

2020年上海名校八年级数学第二学期知识点梳理

八年级数学第二学期知识点梳理

一次函数的概念

【知识梳理】

要点1.一次函数的概念

概念：解析式形如)0(≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数。当b=0，)0(≠=k kx y 即正比例函数（一次函数特例）

要点2.一次函数的定义域

定义域：一切实数（实际问题视问题而定，定义域可能仅为部分实数）

要点3.常值函数

常值函数：c y =（c 为常数）（不论x 值怎么变化，y 值不变）

要点4.待定系数法

步骤：（1）设函数的解析式为：y=kx+b （k 、b 是常数，k≠0）；

（2）由以知条件得出关于k 、b 的二元一次方程组；

（3）解出k 、b 的值；

（4）把k 、b 的值代入y=kx+b ，得到一次函数的关系式。

一次函数的图像

【知识梳理】

要点1.图像

一条直线，也称直线)0(≠+=k b kx y 。(实际问题中可能是一条射线或线段)，其中k 是直线的斜率，b 是直线的截距。

要点2.画法

（1）画法：两点法（0，b ）、（)0,k b -

（两点确定一条直线）（2）步骤：1）列表2）描点3）连线

要点3.直线)0(≠+=k b kx y 与坐标轴交点坐标

①与y 轴交点：当x=0，y=b ，所以交点坐标(0,b)

②与x 轴交点：当y=0，0=+b kx ，k b x -=，所以交点（)0,k

b -注：直线)0(≠+=k b kx y 与坐标轴围成三角形的面积：k

b b k b S 2212=⋅-=要点4.平行直线

当21b b ≠，直线)0(1≠+=k b kx y 与)0(2≠+=k b kx y 平行

中考数学专题复习四--分式方程和不等式(组)

中考数学专题复习四-

-分式方程和不等式

(组)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

中考数学专题复习（四）分式方程和不等式（组）

【知识梳理】

1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.

2．解分式方程的一般步骤：

（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

3. 用换元法解分式方程的一般步骤：

①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所

得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.

4．分式方程的应用：

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：

（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：

（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.

（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.

（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.

6．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.

7．不等式的基本性质：

（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或

分式方程知识点总结

一．分式方程、无理方程的相关概念：

1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2．无理方程：根号内含有未知数的方程。 (无理方程又叫根式方程 )

3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。

二．分式方程与无理方程的解法：

1．去分母法：

用去分母法解分式方程的一般步骤是：

①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

②解这个整式方程；

③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。

在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。2．换元法：

用换元法解分式方程的一般步骤是：

②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；

③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；

④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。

解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。

三．增根问题：

1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程的增根。

2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为 0 。

解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。

换元法解方程组

换元法解分式方程

虹星桥镇中学熊有达

教学目标：1、了解换元法的概念；

2、理解换元法解方程组的几种常见方法；

3、学会运用换元法解方程组.

教学重点：理解换元法解方程组的几种常见方法

教学难点：学会运用换元法解方程组

一、复习回顾，引入新课

1.用适合的方法解下列方程组

①⎩⎨⎧=+=1032y x y x ② ⎩⎨⎧=+=-11362y x y x ③ ⎩⎨⎧=+=+1153732y x y x ④⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+-+121

334

304231y x y x

2.解方程组一般可有几种方法？

代入消元法和加减消元法

3.第④个方程组还可以怎么解？

（略）

师：今天我们就一起来学习方程组中的特殊解法，下面我们一起来看.第④个方程组。

二、新知讲授，发现规律

（一）、单参数换元

例1 ⎩

⎨⎧-+=-=+② .7)1(3)1-(5① ,)1(312y x y x ）（解：由①，设k y x 6)1(312=-=+）（.

则13-=k x ，12+=k y ，

代入②，得7)22(3235-+=-k k ）（.

∴1=k .

∴213=-=x ，312=+=y .

∴原方程组的解是⎩

⎨

⎧==.3,2y x 概念: 像以上这种用一个字母来代替原方程中的一个较复杂的代数式，从而使原方程简化，易于求解的方法，叫换元法。

解题步骤： 1、设元 2、换元 3、求新元 4、回代 5、求解 6、验根

学生尝试练习: 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+-+② ,121334

3① ,04231y x y x

例2 ⎩⎨⎧-+=-=+②

.7)1(3)1-(5① ,)1(312y x y x ）（

分式方程知识讲解

【学习目标】

1、了解分式方程的概念；

2、经历探索可化为一元二次方程的分式方程求解方法的过程，知道求解分式方程的一般步骤，领会化归思想.

3、掌握“去分母”法解分式方程，知道可能产生增根，掌握验根的方法.

4、会运用分式方程解决简单的实际问题。

【要点梳理】

要点一、分式方程

分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.

（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.

（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程.

要点二、求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤.

可以用下面的图表示：

要点三、分式方程的解法

1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.

2、解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

要点诠释：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.

分式方程及其增根

【考点1 解分式方程】

【方法点拨】分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 【例1】（2020春•东阳市期末）小明在解一道分式方程1−x 2−x

−1=2x−5x−2

，过程如下：

第一步：方程整理

x−1x−2

−1=

2x−5x−2

第二步：去分母…

（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是、；（2）请把以上解分式方程过程补充完整．

【变式1-1】（2020春•梁平区期末）解下列分式方程：（1）1

a+1

32−a

=0；（2）

x+1

2x 3x+3

+1．

【变式1-2】（2020春•织金县期末）解方程（1）x−2x+2

84−x 2

=1；（2）

x−1

−1=

32x−2

．

【变式1-3】（2019秋•崇川区校级期末）解下列方程：（1）1

x−2

1−x 2−x

−3 （2）

x 2+x

−

1x 2−x

【考点2 换元法解分式方程】

【方法点拨】解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．

分式方程的解法——换元法

§第3讲分式方程的解法（换元法）

1.替换未知数

2.转化方程

3.去分母并整理方程

4.求解

5.代入求根

6.验根

知识点142 换元法解分式方程(选择)

1、（2009•上海）用换元法解分式方程﹣+1=0时，如果设=y，将原方程化

为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）

A、y2+y﹣3=0

B、y2﹣3y+1=0

C、3y2﹣y+1=0

D、3y2﹣y﹣1=0

考点：换元法解分式方程。

专题：换元法。

分析：换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设

=y，换元后整理即可求得．

解答：解：把=y代入方程+1=0，得：y﹣+1=0．

方程两边同乘以y得：y2+y﹣3=0．故选A．

点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

2、（2007•重庆）附加题：用换元法解方程，若设y=x+，则原

方程可化为（）

A、y2﹣y+1=0

B、y2+y+1=0

C、y2+y﹣1=0

D、y2﹣y﹣1=0

考点：换元法解分式方程。

专题：换元法。

分析：设y=x+，即可把原方程化为整式方程．

解答：解：设y=x+，

∴=y2，

∴原方程可化为y2﹣y=1，

进一步化简得：y2﹣y﹣1=0．

故选D．

点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．

3、（2006•淄博）解分式方程+3=0时，设=y，则原方程变形为（）

A、y2+3y+1=0

B、y2+3y﹣1=0

C、y2﹣3y+1=0

D、y2﹣3y﹣1=0

考点：换元法解分式方程。

专题：换元法。

分析：若设=y，则=，那么，原方程可化为：y﹣+3=0，然后化为整式方程．

解答：解：设=y，则=，

∴原方程可化为：y﹣+3=0，

方程两边都乘最简公分母y得y2﹣1+3y=0，