第六节对数与对数函数高考数学(文科)总复习精品专题讲义

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高考数学一轮复习第二章函数第六节对数与对数函数课件文

13036810=t(t>0),
∴3361=t·1080,∴361lg 3=lg t+80,
∴361×0.48=lg t+80,∴lg t=173.28-80=93.28,∴t=1093.28.
故选D.
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1-2 设2a=5b=m,且 1 + 1 =2,则m=
ab
答案 10
10 .
解析 ∵2a=5b=m>0,
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考点突破
答案 (1)A (2)A
解析
(1)由题意知x1=lo g1 2<0,x2= 212
3
= 2 ∈(0,1), 2
对于x3,满足

1 3

x3
=log3x3,画出y=

1 3

x
与y=log3x的图象(图略)可知x3>1,因
此,三者之间的大小关系为x1<x2<x3.
log log
2
1 2x, x (Fra bibliotekx), x 0.

0,
若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
( C )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
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考点突破
答案 C 解法一:①若a>0,则-a<0,
(2)a=log46,b=log40.2,
c=log23= log43 = log43 =2log43=log49, log4 2 log4 4
∵9>6>0.2,∴log49>log46>log40.2,

高考数学一轮复习第6讲对数与对数函数

第6讲对数与对数函数1．对数的定义如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作01x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)log a(MN)＝02log a M＋log a N，(2)log a MN＝03log a M－log a N，(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．3．对数函数的定义函数04y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．4．对数函数的图象与性质a>10<a<1 图象定义域05(0，＋∞)值域R定点过点06(1,0)单调性07增函数08减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞05．反函数指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)与对数函数y＝09log a x(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线10y＝x对称．1．对数的性质(a＞0且a≠1)(1)log a1＝0；(2)log a a＝1；(3)a log aN＝N.2．换底公式及其推论(1)log a b＝logcblogca(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；(2)log a b·log b a＝1，即log a b＝1logba(a，b均大于0且不等于1)；(3)log am b n＝nm log a b；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d.3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．(2020·全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A ．116B ．19C ．18D ．16答案 B解析由a log 34＝2可得log 34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝19，故选B ．2．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析若a >1，则y ＝a x 是增函数，y ＝log a (－x )是减函数；若0<a <1，则y ＝a x 是减函数，y ＝log a (－x )是增函数，故选B ．3．函数f (x )＝错误!的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D ．(1,2)∪(2,3)答案 D解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋4x －3>0，－x2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，x≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D ．4．(2021·菏泽高三月考)已知x ＝log 52，y ＝log 25，z ＝3，则下列关系正确的是( )A ．x ＜z ＜yB ．x ＜y ＜zC ．z ＜x ＜yD ．z ＜y ＜x答案 A解析 ∵x ＝log 52＜log 55＝12，y ＝log 25＞1，z ＝3＝13∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1.∴x ＜z ＜y .故选A ．5．函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D解析由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，∵y ＝ln t 为增函数，∴要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间．∵当x ∈(4，＋∞)时，函数t ＝x 2－2x －8为增函数， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D ． 6．计算：log 23×log 34＋(3)log 34＝________.答案 4解析 log 23×log 34＋(3)log 34＝lg 3lg 2×2lg 2lg 3＋3log 34＝2＋3log 32＝2＋2＝4.考向一对数的化简与求值例1 (1)(2020·海口模拟)《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102567种方法，设这个数为N ，则lg N 的整数部分为( )A ．2566B ．2567C．2568 D．2569答案 B解析由题可知，lg N＝lg (4.02×102567)＝2567＋lg 4.02.因为1<4.02<10，所以0<lg 4.02<1，所以lg N的整数部分为2567.(2)化简12lg3249－43lg 8＋lg 245＝________.答案1 2解析12lg3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7＝12lg 2＋12lg 5＝12lg (2×5)＝12.(3)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.答案10解析因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝log m2＋log m5＝log m10＝2.所以m2＝10，所以m＝10.对数运算的一般思路(1)拆：把底数或真数进行变形，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算．(2)合：逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．1．(2020·青岛质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，x>0，则f (f (log 23))＝( )A ．－9B ．－1C ．－13D ．－127 答案 B解析 f (log 23)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12log 23＝－2log 23－1＝－13<0，∴f (f (log 23))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝－1.2．lg 52＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2的值为________. 答案 3解析原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.3．若log 147＝a,14b ＝5，则用a ，b 表示log 3528＝________. 答案2－a a ＋b解析 ∵a ＝log 147，b ＝log 145，∴a ＋b ＝log 1435.又log 1428＝log 141427＝2－log 147＝2－a ，∴log 3528＝log1428log1435＝2－a a ＋b.考向二对数函数的图象及其应用例2 (1)(2020·泰安模拟)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )答案 A解析由对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 可知，①当0＜a ＜1时，此时a －1＜0，对数函数y ＝log a x 为减函数，而二次函数y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向下，且其对称轴为x ＝错误!＜0，故排除C ，D ；②当a ＞1时，此时a －1＞0，对数函数y ＝log a x 为增函数，而二次函数y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向上，且其对称轴为x ＝错误!＞0，故B 错误，而A 符合题意．故选A ．(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12内有解，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，22 解析构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x .当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数的大致图象，如图所示．可知，只需两图象在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12上有交点即可，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，即2≥log a 12，则0<a ≤22，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，22.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．4．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致是( )答案 A解析由于函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)是偶函数，故其图象关于y 轴对称．当x >0时，f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)是减函数；当x <0时，f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)是增函数．再由图象过点(1,1)，(－1,1)，可知应选A ．5．(2020·河南洛阳高三阶段性测试)已知正实数a ，b ，c 满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ＝log 3a ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b ＝log 3b ，c ＝log 32，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b答案 B解析在坐标系里画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 与y ＝log 3x 的图象，可得a ＞b ＞1.而c ＝log 32＜1，故c ＜b ＜a .多角度探究突破考向三对数函数的性质及其应用角度1 比较对数值的大小例3 (1)(2020·聊城二模)已知a ＝π，b ＝ln π，c ＝log πe ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >b >c答案 D解析因为a ＝π>π0＝1，b ＝lnπ＝ln (π)＝12ln π，c ＝log πe ＝log π(e )＝12log πe ，又log π1<log πe<log ππ，即c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，ln e<ln π<ln e 2，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，所以a >b >c ，故选D ．(2)(多选)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中可能成立的是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b答案 BCD解析由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ；④0<c <b <a <1.作出函数的图象(如图所示)．由图象可知选项B ，C ，D 可能成立．(3)(2020·全国卷Ⅲ)已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则() A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b答案 A解析∵a，b，c∈(0,1)，ab＝log53log85＝lg 3lg 5·lg 8lg 5＜错误!·错误!2＝错误!2＝错误!2＜1，∴a＜b.由b＝log85，得8b＝5，由55＜84，得85b＜84，∴5b＜4，可得b＜45.由c＝log138，得13c＝8，由134＜85，得134＜135c，∴5c＞4，可得c＞45.综上所述，a＜b＜c.故选A．比较对数值大小的方法6．(2021·长郡中学高三月考)已知实数a，b，c满足lg a＝10b＝1c，则下列关系式中不可能成立的是()A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 答案 D解析设lg a＝10b＝1c＝t，t＞0，则a＝10t，b＝lg t，c＝1t，在同一坐标系中分别画出函数y＝10x，y＝lg x，y＝1x的图象，如图，当t＝x3时，a＞b＞c；当t＝x2时，a＞c ＞b ；当t ＝x 1时，c ＞a ＞b .故选D ．7．(2020·全国卷Ⅱ)若2x －2y ＜3－x －3－y ，则( ) A ．ln (y －x ＋1)＞0 B ．ln (y －x ＋1)＜0 C ．ln |x －y |＞0 D ．ln |x －y |＜0答案 A解析由2x －2y ＜3－x －3－y ，得2x －3－x ＜2y －3－y .令f (t )＝2t －3－t ，∵y ＝2x 为R 上的增函数，y ＝3－x 为R 上的减函数，∴f (t )为R 上的增函数．∴x ＜y ，∴y －x ＞0，∴y －x ＋1＞1，∴ln (y －x ＋1)＞0，故A 正确，B 错误．∵|x －y |与1的大小关系不确定，故C ，D 无法确定．故选A ．角度2 解简单的对数不等式例4 (1)设函数f (x )＝错误!若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a>－log2a或错误!解得a >1或－1<a <0.故选C ．(2)(2020·泰安四模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝－x 2＋2x ，若实数m 满足f (log 2m )≤3，则m 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．12，2C ．(0,8]D ．18，8答案 A解析根据题意，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则f (x )在区间(－∞，0]上为增函数，且f (－1)＝(－1)＋2×(－1)＝－3，又f (x )为奇函数，则f (x )在区间[0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝－f (－1)＝3，故f (x )在R 上为增函数，f (log 2m )≤3⇒f (log 2m )≤f (1)⇒log 2m ≤1，解得0＜m ≤2，即m 的取值范围为(0,2]．故选A ．解对数不等式的类型及方法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．(2)形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x≤1，1－log2x ，x>1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案 D解析当x ≤1时，由21－x ≤2得1－x ≤1，∴0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2得x ≥12，∴x >1.综上，x 的取值范围为[0，＋∞)．故选D ．9．(2020·北京模拟)已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝0，则“不等式f (log 4x )＞0的解集”是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|0＜x ＜12”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝0，∴f (log 4x )＞0，即f (log 4x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，即f (|log 4x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，即|log 4x |＞12，即log 4x ＞12或log 4x ＜－12，解得x ＞2或0＜x ＜12.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＞2或0＜x ＜12是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|0＜x ＜12的必要不充分条件．故选C ．考向四与对数有关的复合函数问题例5 (1)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，83解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－a )>1，得8－2a <0，a >4.a 不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，83.(2)(2020·海南省高三第一次联考)已知函数f (x )＝3＋log 2x ，x ∈[1,16]，若函数g (x )＝[f (x )]2＋2f (x 2)．①求函数g (x )的定义域； ②求函数g (x )的最值．解 ①函数g (x )＝[f (x )]2＋2f (x 2)满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤16，1≤x2≤16，解得1≤x ≤4，即函数g (x )＝[f (x )]2＋2f (x 2)的定义域为[1,4]．②因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]． g (x )＝[f (x )]2＋2f (x 2) ＝(3＋log 2x )2＋6＋2log 2x 2＝(log 2x )2＋10×log 2x ＋15＝(log 2x ＋5)2－10，当log 2x ＝0时，g (x )min ＝15，当log 2x ＝2时，g (x )max ＝39，即函数g (x )的最大值为39，最小值为15.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．10.若f (x )＝lg (x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为直线x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上单调递减，则有错误!即错误!解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．故选A ．11．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，4－x>0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)．(2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x ) ＝log a [(x ＋2)(4－x )]，令t ＝(x ＋2)(4－x )，则变形得t ＝－(x －1)2＋9， ∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9.若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)，若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5， ∴f (x )min ＝log a 9＝－2，则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13.综上，a ＝13.一、单项选择题1．函数f (x )＝错误!的定义域是( ) A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)答案 A解析因为f (x )＝错误!，所以要使函数f (x )有意义，需使错误!即－3<x <0. 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝()A．log2x B．1 2xC．log12x D．2x－2答案 A解析由题意知f(x)＝log a x(x>0)．∵f(2)＝1，∴log a2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.3．(2020·北京市平谷区二模)溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH ＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10－2摩尔/升，则胃酸的pH是(参考数据：lg 2≈0.3010)() A．1.398 B．1.204C．1.602 D．2.602答案 C解析由题意可得，pH＝－lg (2.5×10－2)＝－(lg 2.5＋lg 10－2)＝－(1－2lg 2－2)＝1＋2lg 2≈1.6020.故选C．4．(2020·滨州二模)设a＝0.30.1，b＝log 15，c＝log526，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a 答案 D解析∵0<0.30.1<0.30＝1，∴0<a<1，∵b＝log 15＝log35，log33<log35<log39，∴1<b<2，∵c＝log526>log525＝2，∴c>2，∴c>b>a.故选D．5．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝log a(x＋2)(a＞0，且a≠1)的图象大致为()答案 A解析由题意，知函数f (x )＝2－ax (a ＞0，且a ≠1)为单调递减函数，当0＜a ＜1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a ＞2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数；当a ＞1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a ＜2，且x ＝2a ＞0，又g (x )＝log a (x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数．综上只有A 满足．6．若log a 23<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，1∪(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，23∪(1，＋∞)答案 D解析因为log a 23<1，所以log a 23<log a a .若a >1，则上式显然成立；若0<a <1，则应满足0＜a ＜23.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．故选D ．7．(2020·泰安一模)已知定义在R 上的函数f (x )的周期为4，当x ∈[－2,2)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －x －4，则f (－log 36)＋f (log 354)＝( ) A ．32B ．32－log 32C ．－12D ．23＋log 32答案 A解析因为函数f (x )的周期为4，当x ∈[－2,2)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －x －4，∴f (－log 36)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log316＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13log 3－log 316－4＝2＋log 36，f (log 354)＝f (3＋log 32)＝f (log 32－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log323＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13log 3－log 323－4＝32－log 32＋1－4＝－32－log 32，∴f (－log 36)＋f (log 354)＝2＋log 36－32－log 32＝32.故选A ．8．(2020·枣庄模拟)已知a ＞b ＞0，若log a b ＋log b a ＝52，a b＝b a，则ab＝( )A ．2B ．2C ．22D ．4答案 B解析对a b ＝b a 两边取以a 为底的对数，得log a a b ＝log a b a ，即b ＝a log a b ，同理有a ＝b log b a ，代入log a b ＋log b a ＝52，得ba ＋ab ＝52，因为a ＞b ＞0，所以ab ＞1，所以ab ＝2，ba ＝12，故选B ．9．(2020·海南模拟)函数f (x )＝log 2x4·log 4(4x 2)的最小值为( )A ．－94B ．－2C ．－32D ．0答案 A解析由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)．所以f (x )＝(－2＋log 2x )(1＋log 2x )＝(log 2x )2－log 2x －2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫log2x －122－94≥－94.当x ＝2时，函数取得最小值．故选A ．10．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞单调递增B ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12单调递减C ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12单调递增D ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12单调递减答案 D解析 f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x≠±12，关于坐标原点对称，又f (－x )＝ln |1－2x |－ln |－2x －1|＝ln |2x －1|－ln |2x ＋1|＝－f (x )，∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除A ，C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12时，f (x )＝ln (2x ＋1)－ln (1－2x )，∵y ＝ln (2x ＋1)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12上单调递增，y ＝ln (1－2x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12上单调递减，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12上单调递增，排除B ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12时，f (x )＝ln (－2x －1)－ln (1－2x )＝ln 2x ＋12x －1＝ln⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋22x －1，∵μ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12上单调递减，f (μ)＝ln μ在定义域内单调递增，∴根据复合函数单调性可知f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12上单调递减，D 正确．故选D ．二、多项选择题11．(2020·海南省普通高中高考调研测试)若10a ＝4,10b ＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab >8(lg 2)2 D ．b －a >lg 6答案 ACD解析由10a ＝4,10b ＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，∴a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，∴b －a ＝lg 25－lg 4＝lg254，∵b －a ＝lg254>lg 6，∴b －a >lg 6，∴ab ＝4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4＝8(lg 2)2.故选ACD ．12．(2020·泰安三模)已知直线y ＝－x ＋2分别与函数y ＝e x 和y ＝ln x 的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列结论正确的是( )A ．x 1＋x 2＝2B ．e x 1＋e x 2>2eC ．x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0D ．x 1x 2>e 2答案 ABC解析函数y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，则y ＝e x 与y ＝ln x 的图象关于y ＝x 对称，将y ＝－x ＋2与y ＝x 联立，得x ＝1，y ＝1，由直线y ＝－x ＋2分别与函数y ＝e x 和y ＝ln x 的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，作出函数图象如图：则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为(1,1)，对于A ，由x1＋x22＝1，解得x 1＋x 2＝2，故A 正确；对于B ，e x 1＋e x 2≥2ex1·ex2＝2ex1＋x2＝2e2＝2e ，因为x 1≠x 2，即等号不成立，所以e x 1＋e x 2>2e ，故B 正确；对于C ，将y ＝－x ＋2与y ＝e x 联立可得－x ＋2＝e x ，即e x ＋x －2＝0，设f (x )＝e x ＋x －2，则函数为单调递增函数，因为f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝e ＋12－2＝e －32>0，故函数的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12上，即0<x 1<12，由x 1＋x 2＝2，则32<x 2<2，x 1ln x 2＋x 2ln x 1＝x 1ln x 2－x 2ln 1x1<x 1ln x 2－x 2ln x 2＝(x 1－x 2)ln x 2<0，故C 正确；对于D ，x 1x 2＝x 1(2－x 1)＝2x 1－x 21，又x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，所以x 1x 2∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，34，故D 错误．故选ABC ．三、填空题13．计算：lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 2)2＋lg 16＋lg 0.06＝________. 答案 1解析原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16×0.06＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.14．(2020·南昌三模)已知函数f (x )＝2|x |＋x 2，m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log213，n ＝f (7－0.1)，p ＝f (log 425)，则m ，n ，p 的大小关系是________.答案 p ＞m ＞n解析因为f (x )＝2|x |＋x 2，则f (－x )＝2|－x |＋(－x )2＝f (x )，即f (x )为偶函数，当x ＞0时，f (x )＝2x＋x 2单调递增，m ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫log213＝f (log 23)，n ＝f (7－0.1)，p ＝f (log 425)＝f (log 25)，又log 25＞2＞log 23＞1＞7－0.1＞0，故p ＞m ＞n .15．函数y ＝log 0.6(－x 2＋2x )的值域是________. 答案 [0，＋∞)解析－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，又－x 2＋2x >0，则0<－x 2＋2x ≤1.函数y ＝log 0.6x 为(0，＋∞)上的减函数，则y ＝log 0.6(－x 2＋2x )≥log 0.61＝0，所以所求函数的值域为[0，＋∞)．16．如图，已知过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 图象交于C ，D 两点，若BC ∥x 轴，则四边形ABDC 的面积为________.答案433log 23解析设点A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知，x 1＞1，x 2＞1.则点A ，B 的纵坐标分别为log 8x 1，log 8x 2.因为A ，B 在过点O 的直线上，所以log8x1x1＝log8x2x2，点C ，D 的坐标分别为(x 1，log 2x 1)，(x 2，log 2x 2)．由BC 平行于x 轴，知log 2x 1＝log 8x 2，即log 2x 1＝13log 2x 2，∴x 2＝x 31.代入x 2log 8x 1＝x 1log 8x 2得x 31log 8x 1＝3x 1log 8x 1.由x 1＞1知log 8x 1≠0，∴x 31＝3x 1.考虑x 1＞1，解得x 1＝3.于是点A 的坐标为(3，log 83)，即A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，16log23，∴B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，12log23，C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，12log23，D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，32log23.∴梯形ABDC 的面积为S ＝12(AC ＋BD )×BC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13log23＋log23×23＝433log 23.四、解答题17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1＜f (1)＜1，求实数a 的取值范围．解 (1)当x ＜0时，－x ＞0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∴当x ＜0时，f (x )＝log a (－x ＋1)， ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝错误! (2)∵－1＜f (1)＜1，∴－1＜log a 2＜1， ∴log a 1a＜log a 2＜log a a .①当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a＜2，a ＞2，解得a ＞2；②当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a＞2，a ＜2，解得0＜a ＜12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．18．已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围．解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0， ∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数．所以a ＝0. (2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a ＞0恒成立．即a ＞－12x 恒成立，由于－12x∈(－∞，0)，故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋a ≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a≥4a＋2，4a ＋2＞0，解得－12＜a ≤－13.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－12，－13.19．(2021·荆州月考)已知函数f (x )＝log 13(x 2－2mx ＋5)．(1)若f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(2)若f (x )在(－∞，2]内为增函数，求实数m 的取值范围．解 (1)由f (x )的值域为R ，可得u ＝x 2－2mx ＋5能取得(0，＋∞)内的一切值，故函数u ＝x 2－2mx ＋5的图象与x 轴有公共点，所以Δ＝4m 2－20≥0，解得m ≤－5或m ≥5.故实数m 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．(2)因为f (x )在(－∞，2]内为增函数，所以u ＝x 2－2mx ＋5在(－∞，2]内单调递减且恒正，所以⎩⎪⎨⎪⎧m≥2，9－4m>0，解得2≤m <94.故实数m 的取值范围为2，94.20．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，此时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1,3)．令t ＝－x 2＋2x ＋3，则t ＝－x 2＋2x ＋3在(－1,1]上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y ＝log 4t 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1]，单调递减区间是(1,3)． (2)存在．令h (x )＝ax 2＋2x ＋3，则h (x )有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a －44a ＝1，解得a ＝12.。

高考数学复习考点知识讲解课件11 对数与对数函数

A．地震释放的能量为 1015.3 焦耳时，地震里氏震级约为七级 B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 6.3 倍 C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的 1000 倍 D．记地震里氏震级为 n(n＝1,2，…，9,10)，地震释放的能量为 an，则数列{an}是等比数列
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[解析] 由 y＝ln(1－x)可得 ey＝1－x，即 x＝1－ey，因为函数 f(x)与 y＝ln(1－x)的图象关于直线 y＝x 对称，所以 f(x)＝1－ex.
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核心考点突破
02
(新教材) 高三总复习•数学
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考点一对数的运算——自主练透
对点训练
1．(2022·浙江卷)已知 2a＝5，log83＝b，则 4a－3b＝( C )
对点训练 1．函数 y＝lo1g3x的图象大致是( D )
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[解析] 当 x＝3 时，y＝1，即函数图象过点(3,1)，排除 A；因为 y＝log3x 为增函数，所以 y＝lo1g3x在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，排除 B，C.故选 D.
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(新教材) 高三总复习•数学
只需 f1(x)＝(x－1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)＝logax 图象的下方即可．
当 0<a<1 时，显然不成立；
当 a>1 时，如图，要使 x∈(1,2)时 f1(x)＝(x－1)2 的图象在 f2(x)＝logax 的图象下方，
只需 f1(2)≤f2(2)，
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(新教材) 高三总复习•数学
(2)对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
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2025年高考数学一轮复习第三章-第六节对数与对数函数【课件】

01
强基础知识回归
知识梳理
一、对数的概念与性质
1.对数的概念
=
log
如果________(
> 0，且 ≠ 1)，那么数叫作以为底的对数，记作 =_______，
真数
其中叫作对数的底数，叫作______.
常用对数
两个重要对数：以10为底的对数lg 称为__________；以无理数e
B.(2,3]
C.[3, +∞)
D.[2,3]
[解析] 由− + − > ，得 < < .设函数 = − + − = ，

= − + − ，则抛物线 = − + − 的对称轴方程是 = ,∴ 函数

= − + − 的单调递增区间是(, ]，单调递减区间是[, ). ∵ = 是减函
B.
C.
D.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[解析] = + ，函数的定义域为 −, +∞ ，有 = ，函数图象过
原点，A，D选项不符合， = +
≥ ，B选项不符合.故选C.
4.函数 = log 1 − 2 + 6 − 8 的单调递减区间为( B )
2
A.[3,4)
典例1 化简或求值：
（1）
2
3
lg 3+5lg 9+5lg 27−lg 3
lg 81−lg 27
；
解原式
4
=
1
4lg 3−3lg 3
4
=
9

log − log
=_______________；

高考数学专题复习对数及对数函数(解析版)

第六讲对数及对数函数【套路秘籍】一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M . 二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【套路修炼】考向一对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝. （2）若3a=5b=225，则1a +1b = 。

（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。

【答案】（1）1 （2）12 （3）40【解析】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝lg 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg1 0004＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1) ＝lg 22·(3－2lg 2)＋(lg 22－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1.（2）∵3a =5b =225∴a =log 3225, b =log 5225则1a +1b =log 2253+log 2255=log 22515=12 （3）∵log a 2=m ，log a 5=n ，∴a m =2，a n =5∴a 3m+n =a 3m ⋅a n =23⋅5=40【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为．【答案】 a －2【解析】 log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝.【答案】 1【解析】 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得x log 63＝y log 64＝2， ∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62，故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1.3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝.【答案】 10【解析】由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.4．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.【答案】 1【解析】原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．【答案】1【解析】令a x ＝b y ＝c z＝k .由已知k >0且k ≠1，于是x lg a ＝y lg b ＝z lg c ＝lg k ，故1x ＝lg a lg k ，1y ＝lg b lg k ，1z ＝lg c lg k .因为1x ＋1y ＋1z ＝0，所以lg a ＋lg b ＋lg c lg k ＝0，即lg (abc )lg k ＝0.故lg(abc )＝0，得abc ＝1.6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．【答案】±55.【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ·log b C ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1log Ca ＋1log Cb ＝3，1log Ca ·log Cb ＝1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ·log C b ＝1，(log C a －log C b )2＝(log C a ＋log C b )2－4log C a ·log C b ＝32－4＝5，故log C a －log C b ＝± 5.于是log a bC ＝⎝⎛⎭⎪⎫log C a b －1＝1log C a －log C b ＝±55.7.方程33x －56＝3x －1的实数解为．【答案】 x ＝log 32【解析】原方程可化为2(3x )2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x ＝log 32.考向二对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(18)等于( )A ．3B ．−3C ．−log 36D ．−log 38 【答案】B【解析】因为函数f(x) 为对数函数，所以函数f(x)系数为1，即a 2+a −5=1，即a =2或−3，因为对数函数底数大于0，所以a =2，f(x)=log 2x ，所以f (18)=−3。

高考文科数学一轮复习对数与对数函数精选课件

2．熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．
高三（8）班高考数学第一轮复习
例 1 (1)设新坐2a标＝例51b（＝1）m，且1a＋1b＝2，则 m 等于( A )
A. 10
B．10
C．20
D．100
(2)计算：(lg5)2＋2lg2-（lg2）2； 1
C. 2
D. 3
高三（8）班高考数学第一轮复习
方法总结
1、在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最底点等）排除不符合要求的选项.
2、一些对数型方程、不等式问题常化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解.
高三（8）班高考数学第一轮复习
考点三对数函数的性质及其应用
真正的爱情，不论贫富，不论远近。千般情怀，万般眷恋。红尘陌上，心系悠长。约言迢迢千里，只因情怀而来；邈路遥遥朝暮到洛阳出差一周了。下午忙完，我便决定回趟老家。夕阳余光游走在城市楼房的轮廓中，呆板大街上车来人往。我不喜欢城里的热闹，会吓跑夕阳，家里这时候，风是轻的，田野是静的，夕阳是害羞的。大巴车只到镇上，离老家还有十里路。一下车就听到有人喊我，是父亲。父亲一手接过我行李，一手拿着手机说话：“接到了，接到了，我们就回来。”说罢把电话递给我。电话里母亲问我晚饭想吃什么，我说：“妈，我想吃你擀的捞面条。”
1.对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题．单调性取决于底数与“1” 的大小关系．
2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”．即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．
高三（8）班高考数学第一轮复习

高考数学复习讲义：对数与对数函数

[答案] C
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[易错提醒] 应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误，要记准记牢图象的变换规律．
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[集训冲关]
1.[考法一]函数 f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为 ( )
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解析：由函数 f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于 y 轴对称．设 g(x)＝loga|x|，先画出 x>0 时，g(x)的图象，然后根据 g(x)的图象关于 y 轴对称画出 x<0 时 g(x)的图象，最后由函数 g(x)的图象向上整体平移一个单位即得 f(x)的图象，结合图象知选 A. 答案：A
() ()
(3)存在这样的 M，N 使得 log2(MN)＝log2M·log2N.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
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二、填空题
1．已知 log62＝p，log65＝q，则 lg 5＝________(用 p，q 表示)．
解析：lg 5＝lloogg66150＝log62＋q log65＝p＋q q. 答案：p＋q q
抓牢双基·自学回扣
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对数函数的性质
[基本知识]
函数
y＝logax(a>0，且 a≠1)
a>1
0<a<1
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性单调性在(0，＋∞)上是_增__函__数_ 在(0，＋∞)上是_减__函__数_
质函数值
当 x＝1 时， y＝0
变化规当 x>1 时， y>0 ；当 x>1 时， y<0 ；
N 叫做真数，logaN 叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔ x＝logaN loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝ N

2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第六节对数与对数函数理

第六节对数与对数函数知识梳理一、对数1．对数的定义：如果a b＝N (a >0且a ≠1)，那么幂指数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫做底数，N 叫做真数．2．指数式与对数式的互化： a b＝N ⇔log a N ＝b . 3．对数的运算法则．如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，有 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N ＝log a M －log a N ；(3)log a M n＝n log a M .4．对数换底公式及对数恒等式．(以下各式中a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，c >0，c ≠1，M >0，N >0)(1)对数恒等式：①a log aN ＝N ；②log a a n＝n .(2)换底公式：log a N ＝log b Nlog b a.(3)由换底公式可推出如下结论：①log a b ＝1log b a； ②log a M ＝log an M n；③log a b ·log b a ＝1； ④log a b ·log b c ·log c a ＝1； ⑤log am b n＝n mlog a b .5．常用对数与自然对数：以10为底的对数，叫做常用对数，log 10x 记作lg x ；以无理数e 为底的对数叫做自然对数，log e x 记作ln x ，其中e ＝2.718….二、对数函数的定义、图象与性质1．定义：形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数．其中x 是自变量，其定义1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，并理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是重要的函数模型．4．了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0且a ≠1)．域是(0，＋∞)，值域是(－∞，＋∞)．基础自测1．已知函数f (x )＝lg|x |，x ∈R 且x ≠0，则f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0，＋∞)上单调递增 C ．奇函数且在(0，＋∞)上单调递减 D ．偶函数且在(0，＋∞)上单调递减解析：∵x ∈R 且x ≠0，f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，∴函数为偶函数．当x >0时，f (x )＝lg x 为增函数．故选B.答案：B2．(2013·汕尾二模)函数y ＝x ＋1（x －1）的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)∪(2，＋∞)C ．[0,1)D ．(0，＋∞)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x －1＞0，lg (x －1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＞1，x ≠2.∴1＜x ＜2或x ＞2，∴所以原函数的定义域为： (1,2)∪(2，＋∞)．故选B.答案：B3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 2x ，则满足不等式f (x )>0的x 的取值范围是____________．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)4．若x log 32＝1，则4x＋4－x＝________.解析：由x log 32＝1，得x ＝log 23，∴4x ＋4－x ＝4log 23＋4－log 23＝9＋19＝829.答案：8291．(2012·大纲全国卷)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( ) A ．x <y <z B ．z <x <y C ．z <y <x D ．y <z <x解析：x ＝ln π>1，y ＝log 52＝1log 25<12，z ＝e －12＝1e ，12<1e＜1，∴y <z <x .故选D. 答案：D2．(2013·上海卷)方程33x －1＋13＝3x －1的实数解________．解析：原方程整理后变为32x －2·3x －8＝0⇒3x ＝4⇒x ＝log 34. 答案：log 341．(2013·佛山一模)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值等于________．解析：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14 ＝f (－2)＝－f (2)＝－1. 答案：－12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时，总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解析：(1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点． ∵点Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )(a ＞1)．(2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a x ＋11－x，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0. ∴m ≤0，即m 的取值范围是(－∞，0]．答案：见解析。

2025年高考数学总复习课件13第二章第六节对数与对数函数

对数与对数函数
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
【常用结论】
1.换底公式的变形
(1)logab·logba ＝ 1 ，即 logab ＝
1
a
，b均大于0且不等于1 ； 2 log am bn ＝
log b a
n
log M
log M
logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)；(3)logNM＝ a ＝ b (a，
√
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A
核心考点
解析：函数f (x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象如图所示．故选A．
课时质量评价
第六节
对数与对数函数
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
(4，－1)
4．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．
a
x单调递减，故排除B，D.
1
a
对于A，C，由函数f (x)＝ x 的图象，可知0<a<1，对于函数g(x)＝lg ，g(1)＝lg
a
a<0，故A正确，C错误．
x
第六节
对数与对数函数
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
2．已知函数f (x)＝|ln x|.若0<a<b，且f (a)＝f (b)，则2a＋b的取值范围是(
移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不
确定时应注意分类讨论．
第六节
对数与对数函数

第二章第6讲+对数与对数函数课件——2025届高三数学一轮复习

4
解析：原式 .
核心考点师生共研
02
考点一对数的运算（自主练透）
1.(2022·高考浙江卷)已知 , ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.由两边取以2为底的对数，得 .又，所以 ,所以 ,故选C.
√
2.计算： __.
解析：原式 .
2.对数函数
（1）概念函数（ ,且）叫做对数函数，其中是自变量，定义域是________.
[提醒] 对数函数的3个特征：（1）底数，且；（2）自变量；（3）系数为1.
（2）图象及性质
底数
图象
_
_
性质
定义域：________
Байду номын сангаас值域：
图象过定点______，即恒有
解析：画出函数的图象，如图所示.不妨设 ,其中 ,故 ,且，所以的取值范围是 .
考点三对数函数的性质及应用（多维探究）
[高考考情] 对数函数的性质及应用是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查比较大小、解不等式等问题，难度中档.
角度1 比较对数值的大小
例2 已知 , , ,则 , , 的大小关系为( )
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【对点训练】
（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
考点二对数函数的图象及应用（师生共研）

高考文科数学一轮复习经典教案(带详解)第二章第6节：对数与对数函数

第6节对数与对数函数【最新考纲】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.【高考会这样考】 1.考查对数函数的图像、性质；2.考查对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数问题．要点梳理1.对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.[友情提示]1．对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，log a b>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，log a b<0.2．对数函数的定义域及单调性对数函数y＝log a x的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．3．关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较．基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()(3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( )解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错. (4)当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D3.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D4.已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C5.计算：log 222＝________；2log 23＋log 43＝________.解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12； 2log 23＋log43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案－1233错误!题型分类错误!考点突破考点一对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(2)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z解析 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)令t ＝2x ＝3y ＝5z ，∵x ，y ，z 为正数，∴t >1. 则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z . 答案 (1)－20 (2)D规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【变式练习1】 (1)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8解析 (1)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，所以b 2b ＝b b 2，即2b ＝b 2，解得b ＝2，a ＝4.(2)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log23＝8×2log 23＝24.答案 (1)4 2 (2)A考点二对数函数的图象及应用【例2】 (1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a表示直线在y轴上截距.由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点.答案(1)B(2)(1，＋∞)规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【变式练习2】(1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A.0<a－1<b<1B.0<b<a－1<1C.0<b－1<a<1D.0<a－1<b－1<1(2)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.0解析(1)由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，即log a a－1<log a b<log a1，所以，a－1<b<1.综上有0<a－1<b<1.(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示.∵f(2)＝2ln 2>g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.答案(1)A(2)B考点三对数函数的性质及应用(多维探究)命题角度1比较对数值的大小【例3－1】若a>b>0，0<c<1，则()A.log a c <log b cB.log c a <log c bC.a c <b cD.c a >c b解析由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确；log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定. 答案 B命题角度2 解对数不等式【例3－2】若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.(0，1)∪(1，＋∞) 解析由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 答案 C命题角度3 对数型函数性质的综合应用【例3－3】已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【变式练习3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >aD.c >a >b(2)若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )有最小值12，则实数a 的值等于________.解析 (1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1，又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大. 由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]. ①若a >1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最小值a ，而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6，当x ＝6时，取最小值a －6，因此有⎩⎨⎧a >1，a ＝a －6，解得a ＝9.②若0<a <1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最大值a ，而g (x )不存在最大值，不符合题意，综上，实数a ＝9. 答案 (1)D (2)9错误!课后练习A 组 (时间：40分钟)一、选择题1.“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 log 2(2x －3)<1⇔32<x <52.又4x >8⇔x >32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，故“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件. 答案 A2.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A.10B.10C.20D.100解析由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10. 答案 A3.函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析由f (2)＝2a ＝4，得a ＝2.所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|，则g (x )的图象由y ＝|log 2x |的图象向左平移一个单位得到，C 满足. 答案 C4.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A.5B.3C.－1D.72解析由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案 A5.已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0D.(b －1)(b －a )>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1. 由log a b >1得log a ba >0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0<ba <1，则b >a >1或0<b <a <1.故(b －a )(b －1)>0. 答案 D 二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1.答案－17.设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg1＋x1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.答案 (－1，0)8.若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.解析令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).答案 (0，＋∞)三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).B 组 (时间：20分钟)11.已知函数f (x )＝ln(a x ＋b )(a >0且a ≠1)是R 上的奇函数，则不等式f (x )>a ln a 的解集是( )A.(a ，＋∞)B.(－∞，a )C.当a >1时，解集是(a ，＋∞)，当0<a <1时，解集是(－∞，a )D.当a >1时，解集是(－∞，a )，当0<a <1时，解集是(a ，＋∞)解析依题意，f (0)＝ln(1＋b )＝0，解得b ＝0，于是f (x )＝ln a x ＝x ln a .∴f (x )>a ln a ⇔x ln a >a ln a .当a >1时，x >a ；当0<a <1时，x <a .答案 C12.若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________.解析由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a在(－∞，－2]上递减，则a 2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4，4).答案[－4，4)13.已知函数f(x)＝ln x＋1 x－1.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln x＋1x－1>lnm（x－1）（7－x）恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由x＋1x－1>0，解得x<－1或x>1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln －x＋1－x－1＝lnx－1x＋1＝ln⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x－1－1＝－ln x＋1x－1＝－f(x).∴f(x)＝ln x＋1x－1是奇函数.(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln x＋1x－1>lnm（x－1）（7－x）恒成立，∴x＋1x－1>m（x－1）（7－x）>0，∵x∈[2，6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立.令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.故实数m的取值范围为(0，7).。

山西高考二轮复习高考文科数学第六节对数与对数函数

=
2
(lg3 1) (lg3 2lg 2 1)
=- 3 .
2
(3)原式=log32·log43+log32·log83+log92·log43+log92·log83
= lg 2 · lg3 + lg 2 · lg3 + lg 2 · lg3 + lg 2 · lg3
lg3 2lg 2 lg3 3lg 2 2lg3 2lg 2 2lg3 3lg 2
所以m2=10,所以m= 10 .
对数函数的图象及其应用
典例2 (1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是 ( C )
(2)当0<x≤ 12 时,4x<logax(a>0且a≠1),则a的取值范围是 ( B )

A. 0,

2
2

B.

2 2
,1

C.(1, 2 ) D.( 2 ,2)
loga MN =
logaMn=
logaM-logaN ; nlogaM (n∈R);
lo gam Mn= mn logaM(m,n∈R,且m≠0).
3.对数函数的图象与性质
a>1
图象
性质
定义域:(0,+∞) 值域:R 图象恒过点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 是(0,+∞)上的增函数
3
7) 7)
= 2 log23 log23 log37 = 2 a ab . 2log23 log23 log37 2a ab
1-3 设2a=5b=m,且 1 + 1 =2,则m等于

高三数学总复习第二篇第六节对数函数课件文科新人教版

质当x>1时，y∈(0，＋∞)
当x>1时，y∈(－∞，0)
(5)在(0，＋∞)上为增函数 (5)在(0，＋∞)上为减函数
如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数： ∴0<c<d<1<a<b.
4．反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax 互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．
题错误．
【答案】 B
2．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2 011)＝8，则f(x12)＋f(x22)＋…＋f(x2 0112)＝( )
A．4 B．8
C．16 D．2loga8
【解析】依题意有loga(x1x2…x2 009)＝8，
而f(x12)＋f(x22)＋…＋f(x2 0112)
【解析】
对数式的大小比较对于0<a<1，给出下列四个不等式：
A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 【思路点拨】从题设可知，该题主要考查y＝logax与y＝ax 两个函数的单调性，故可先考虑函数的单调性，再比较大小．
【自主探究】 ∵0<a<1，
即②④正确．【答案】 D 【方法点评】 1.比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成 (1)a>1，f(x)>0，g(x)>0. 则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0； (2)0<a<1，f(x)>0，g(x)>0，则logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x)．

第六节 对数与对数函数 高考数学(文科)总复习精品专题讲义

高考数学一轮复习第二章函数第六节对数与对数函数课件文

高考数学一轮复习第6讲 对数与对数函数

高考数学复习考点知识讲解课件11 对数与对数函数

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