【配套K12】[学习]浙江省2019年中考数学 第四单元 三角形测试练习 (新版)浙教版
浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案(配有卷)
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB落在对角线AC 上，得到折痕AE，那么BE的长度为（）A. B. C. D.2、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交 CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；② △ADC是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB；④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3、如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：① ；②连接，，则为直角三角形；③ ；④若，，则的长为，其中正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.14、如图，在中，，则DF的长为（）A.4B.C.D.35、如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG 分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（）A. B. C. D.6、如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1， l2， l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，DE=4，则DF的长是（）A. B. C.10 D.67、如图，已知l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A，B，C，直线DF分别交l1、l2、l3于D，E，F，DE=4，EF=6，AB=5，则BC的长为（）A. B. C. D.8、如图，直线l1∥l2∥l3 ，直线AC分别交l1 ， l2 ， l3于点A，B，C；直线DF分别交l1 ， l2 ， l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A. B.2 C. D.9、如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为（）A. B. C. D.10、两相似三角形的周长之比为1：4，那么他们的对应边上的高的比为（）A.1∶4B.1∶2C.2∶1D. ∶211、如图，在△ABC中，∠C=90°，过重心G作AC、BC的垂线，垂足分别为D、E，则四边形GDCE的面积与△ABC的面积之比为( )A. B. C. D.12、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（）A.3S1=2S2B.2S1=3S2C.2S1= S2D. S1=2S213、如图，一组互相平行的直线a，b，c分别与直线l1， 12交于点A，B，C，D，E，F，直线11， l2交于点O，则下列各式不正确的是（）A. B. C. D.14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B在反比例函数的图像上，纵坐标分别为1和3，则k的值为（）A. B. C.2 D.315、如图，⊙O的直径为6，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，P在半圆上运动，CP⊥CD交PB的延长线于D点．当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大为（）A.36B.24C.18D.12二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，作EF⊥AE交正方形的外角平分线于点F，连接AF，交CD于点H，连接EH.若AB＝4，则EH的长为________.17、如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为2，则平行四边形ABCD的面积是________.18、如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F.若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝________.19、如图所示，已知点E，F分别是△ABC的边AC，AB的中点，BE，CF相交于点G，FG＝1，则CF的长为________．20、若a：b：c=3：2：5，则=________．21、如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，已知点A的坐标为（1，2），则点C的坐标是________．22、如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C 的坐标为________ ．23、我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为________步。
浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习第四章几何初步与三角形第二节三角形的基础同步测试(含答案)
第二节三角形的基础姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·广西柳州中考)如图，图中直角三角形共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知，如图，在△ABC中，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若DE＝8，则线段BD＋CE的长为( )A．5 B．6 C．7 D．83．(2018·湖北黄石中考)如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )A．75° B．80° C．85° D．90°4．(2017·四川巴中中考)若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足a－9＋(b－2)2＝0，第三边c为奇数，则c＝______.5．(2017·四川乐山中考)点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是_________.6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC，垂足为点D ，AD ＝18，点E 在AC 上，且CE ＝12AC ，连结BE ，与AD相交于点F.若BE ＝15，则△DBF 的周长是________.7．(2018·湖北宜昌中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E. (1)求∠CBE 的度数；(2)过点D 作DF∥BE，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．8. (2019·易错题)如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A ，B 两点在网格格点上．若点C 也在网格格点上，以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点P 是BC 边上的动点，过点P 作PD⊥AB 于点D ，PE⊥AC 于点E ，则PD ＋PE 的长是( )A ．4.8B ．4.8或3.8C ．3.8D ．510．(2017·辽宁大连中考)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( )A ．2aB ．22aC ．3aD.433a11．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，AB ＝BC ＝22，E ，F 分别是AD ，CD 的中点，连结BE ，BF ，EF.若四边形ABCD 的面积为6，则△BEF 的面积为( )A ．2B.94C.52D ．312．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连结EF 交AP 于点G.给出以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AE＝CF ；③AP＝EF ；④△EPF 是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF 的面积是△ABC 面积的一半．其中正确的结论是( )A．只有① B．①②④C．①②③④ D．①②④⑤13．(2017·四川达州中考)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是______________.14．(2019·改编题)已知点G是面积为27 cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于______cm2.15．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点．若S△BFC＝1，则S△ABC＝______.16．有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.(1)请写出其中一个三角形的第三边的长；(2)设该组中最多有n个三角形，求n的值；(3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．17．(2017·山东德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9 s．已知∠B＝30°，∠C＝45°.(1)求B，C之间的距离；(保留根号)(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)18．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC＝________；若∠A＝a°，则∠BEC＝________．【探究】(1)如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝a°，则∠BEC＝________；(2)如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；(3)如图4，O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.A 4.9 5.3556.247．解：(1)∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝50°， ∴∠CBD＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE ＝12∠CBD＝65°.(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°－65°＝25°. ∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°. 【拔高训练】8．C 9.A 10.B 11.C 12.D13．1<m<4 14.9 15.416．解：(1)设三角形的第三边长为x. ∵每个三角形有两条边的长分别为5和7， ∴7－5<x<5＋7，即2<x<12，∴其中一个三角形的第三边的长可以为10(不唯一)． (2)∵2<x<12，它们的边长均为整数， ∴x＝3，4，5，6，7，8，9，10，11， ∴该组中最多有9个三角形，∴n＝9.(3)∵当x ＝4，6，8，10时，该三角形周长为偶数， ∴该三角形周长为偶数的概率是49.17．解：(1)如图，过点A 作AD⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m.∵在Rt△ACD 中，∠C ＝45°， ∴Rt△ACD 是等腰直角三角形． ∴CD＝AD ＝10 m.在Rt△ABD 中，tan B ＝ADBD ，∵∠B＝30°，∴BD＝3AD ， ∴BD＝10 3 m.∴BC＝BD ＋DC ＝(10＋103)m. 答：B ，C 之间的距离是(10＋103)m. (2)这辆汽车超速．理由如下： 由(1)知BC ＝(10＋103)m. 又3≈1.7，∴BC≈27 m， ∴汽车速度v ＝270.9＝30(m/s)．又∵30 m/s＝108 km/h ， 此地限速为80 km/h ，且108>80， ∴这辆汽车超速． 【培优训练】18．解：131° 90°＋12a°【探究】 (1)60°＋23a°(2)∠BOC＝12∠A.理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD ＝∠A＋∠ABC， ∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，∵O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点， ∴∠ABC ＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD， ∴∠A＋∠ABC＝2(∠BOC＋∠OBC)， ∴∠A＝2∠BOC，∴∠BOC＝12∠A.(3)∠BOC＝90°－12∠A.理由如下：∵O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，∴∠OBC＝12(180°－∠ABC)＝90°－12∠ABC，∠OCB＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB，在△OBC 中，∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－(90°－12∠ABC)－(90°－12∠ACB)＝12(∠ABC＋∠ACB)，由三角形的内角和定理得，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， ∴∠BOC＝12(180°－∠A)＝90°－12∠A.。
浙江省中考数学复习 第一部分 考点研究 第四单元 三角形 第19课时 直角三角形与勾股定理试题-人教
第四单元 三角形第19课时 直角三角形与勾股定理(建议答题时间：50分钟)基础过关1. (2017某某)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形2. 在直角三角形中，直角边为a ，b ，且满足a 2＋b 2＝2ab ，则此三角形的三边之比为( )A. 3∶4∶5B. 1∶2∶1C. 1∶1∶ 2D. 1∶1∶13. (2017某某)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( )A. 2aB. 22aC. 3aD. 433a第3题图4. (2017某某)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(3，0)，B(0，4)，把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是( )第4题图A. (5，0)B. (8，0)C. (0，5)D. (0，8)5. (2017宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝2 cm, 点P在边AC 上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动，若点P、Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是( )A. 20 cmB. 18 cmC. 2 5 cmD. 3 2 cm第5题图6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( )第6题图A. 2＋ 3B. 2 3C. 3＋ 3D. 3 37. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC 于点D和点E.第7题图若CE＝2，则AB的长是( )A. 4B. 4 3C. 8D. 8 38. (2017某某)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点，若AB＝8，则EF＝________．第8题图9. (2017某某)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________(用含m的代数式表示)．第9题图10. 甲、乙两位探险者今年到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为12千米，早晨8∶00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，一小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进，上午10∶00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？第10题图满分冲关1. 关注数学文化如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )A. 52B. 42C. 76D. 72第1题图2. (2017某某)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC ＝BC＝3，则B′C的长为( )第2题图A. 3 3B. 6C. 3 2D. 213. (2016某某)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为________．4. 如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上；若AC∶AB＝1∶3，EF⊥EC，则∠ACB的度数为________度，EG∶EF＝________．第4题图5. 如图，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD和∠CAE是直角，若AB＝6，BC ＝5，AC＝4，则DE的长为________．第5题图6. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt △BED边长，易知AE＝2c，这时我们把关于x的形如ax2＋2cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．(1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0必有实数根；(2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求△ABC的面积．第6题图冲刺名校1. 关注数学文化中国古代对勾股定理有深刻的认识．(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图①所示的直角三角形拼成一个图②所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，求(a＋b)2的值；(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步S 6＝m ；第二步：m ＝k ；第三步：分别用3，4，5乘以k ，得三边长．当面积S 等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．第1题图答案基础过关1．B 【解析】∵一个三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3，设这三个内角分别为x ，2x ，3x ，根据三角形内角和为180°可得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴3x ＝90°，则这个三角形一定是直角三角形，但不是等腰直角三角形．2．C 【解析】∵直角边为a ，b ，且满足a 2＋b 2＝2ab ，则(a －b )2＝0，所以a ＝b ，而a ，b 为直角三角形的两个直角边，则该三角形为等腰直角三角形，根据边的关系得此三角形的三边之比为1∶1∶ 2.3．B 【解析】在Rt △CDE 中，CD ＝DE ＝a ，∴CE ＝CD 2＋DE 2＝a 2＋a 2＝2a .∵点E 为Rt △ACB 斜边AB 的中点，∴CE ＝AE ＝BE ＝12AB ，∴AB ＝2CE ＝22a.4．B 【解析】易得AB ＝32＋42AB 绕点A 旋转后得到线段AB ′，使得点B 的对应点B ′落在x 轴的正半轴上，则AB ′＝AB ＝5，所以点B ′到原点的距离是3＋5＝8，所以点B ′的坐标是(8，0)．5．C 【解析】设x 秒后，PQ 值的最小，则有PQ 2＝PC 2＋QC 2＝(6－x )2＋x 2＝36－12x ＋2x 2＝2(x －3)2＋18，因为0<x <2，所以当x ＝2时，即Q 运动到点B 时停止，此时P 点也停止时，线段PQ 最小，最小值为2 5 cm.6．A 【解析】设AC ＝x ，∵AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，∴AB ＝2x ，BC ＝3x ，∵AB ＝BD ，∴BD ＝2x ，∴CD ＝BC ＋BD ＝(2＋3)x ，∵tan ∠DAC ＝CD AC ，∴tan ∠DAC ＝（2＋3）x x＝2＋3.7．B 【解析】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°，∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴E A ＝EB ，ED ⊥AB ，∴∠A ＝∠EBA ＝30°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠EBA ＝30°，又∵BC ⊥AC ，ED ⊥AB ，∴DE ＝CE Rt △ADE 中，DE ＝2，∠A ＝30°，∴AE ＝2DE ＝4，∴AD ＝AE 2－DE 2＝23，∴AB ＝2AD ＝4 3. 8．2 【解析】在Rt △ABC 中，∵AD ＝BD ＝4，∴CD ＝12AB ＝4，∵AF ＝DF ，AE ＝EC ，∴EF ＝12CD ＝2. 9．2＋ 2 m 【解析】如解图，连接BD ，∵∠C ＝∠EBD ，BD ＝CD ，∠CDF ＝∠BDE ，易证△BED ≌△CFD ，∴BE ＝CF ，DE ＝DF ，则BE ＋BF ＋EF ＝BC ＋EF ＝2＋EF ，而Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝m ，∴EF ＝2m ，则△BEF 的周长＝2＋2m .第9题解图10．解：∵早晨8∶00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进，∴上午10∶00时，OA ＝8(千米)，OB ＝6(千米)，∴AB ＝82＋62＝10<12， ∴甲、乙二人相距10千米，还能保持联系．满分冲关1．C 【解析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则x 2＝122＋52＝169，解得x ＝13.故“数学风车”的周长是(13＋6)×4＝76.2.A 【解析】∵∠ACB ＝∠AC ′B′＝90°，AC ＝BC ＝3，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32，∠CAB ＝45°，∵△ABC 和△A′B′C ′大小、形状完全相同，∴∠C ′AB ′＝∠CAB ＝45°，AB ′＝AB ＝32，∴∠CAB ′＝90°，∴B ′C ＝CA 2＋B′A 2＝3 3.3.13或10 【解析】①如解图①，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，∵PB ＝13BC ＝1，∴CP ＝2，∴AP ＝AC 2＋PC 2＝13；②如解图②，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，∵PC ＝13BC ＝1，∴AP ＝AC 2＋PC 2＝10.综上所述，AP 的长为13或10.第3题解图4．60°，3∶1 【解析】如解图，作EP ⊥AD 于点P ，EQ ⊥BC 于点Q ，又∵AD ⊥BC ，∴四边形DPEQ 是矩形，∴∠PEQ ＝90°，∴∠PEG ＋∠QEG ＝90°，又∵∠QEG ＋QEF ＝90°，∴∠PEG ＝∠QEF ，又∵∠EPG ＝∠EQF ＝90°，∴△PEG ∽△QEF ，∴EG EF ＝PE QE.∵AC ∶AB ＝1∶3，∴∠B ＝30°，∠ACB ＝60°，在Rt △ABD 中，tan B ＝ADBD ＝33.∵点E 为AB 的中点，∴AE ＝BE ＝12AB ，又∵QE ∥AD ，PE ∥BD ，∴PE ＝12BD ，QE ＝12AD ，∴EG EF ＝PE QE ＝BD AD＝ 3.第4题解图5. 79 【解析】如解图，连接BE，交CD于F.∵AD＝AB，AC＝AE，∠DAC＝∠BAE ＝90°＋∠BAC，∴△ADC≌△ABE，∵∠ADC＋∠FDB＋∠ABD＝90°，∴∠FDB＋∠ABD＋∠ABE ＝90°，则∠DBF＋∠BDF＝90°，则∠BFD＝90°，根据勾股定理得：DF2＝BD2－BF2，EF2＝CE－CF2，BF2＋CF2＝BC2，根据已知条件和勾股定理得BD＝62，CE＝42，∴DE2＝DF2＋EF2＝BD2－BF2＋CE2－CF2＝BD2＋CE2－(BF2＋CF2)＝BD2＋CE2－BC2＝72＋32－25＝79，∴DE ＝79.第5题解图6．(1)证明：由题意，得b2－4ac＝(2c)2－4ab＝2c2－4ab，∵a2＋b2＝c2，∴2c2－4ab＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a－b)2≥0，即b 2－4ac ≥0， ∴关于x 的“勾系一元二次方程”ax 2＋2cx ＋b ＝0必有实数根； (2)当x ＝－1时，有a －2c ＋b ＝0，即a ＋b ＝2c ，∵2a ＋2b ＋2c ＝62，即2(a ＋b )＋2c ＝62，∴32c ＝62，∴c ＝2，∴a 2＋b 2＝c 2＝4，a ＋b ＝22， ∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2， ∴ab ＝2，∴S △ABC ＝12ab ＝1. 冲刺名校1．(1)解：根据勾股定理可得a 2＋b 2＝13，四个直角三角形的面积是12ab ×4＝13－1＝12，即2ab＝12 则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25，即(a＋b)2＝25;(2)当S＝150时，k＝m＝S6＝1506＝25＝5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，所以这个直角三角形的三边长为15，20，25.。
(基础题)浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是（）A.1B.C.2D.42、如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A. B. C. D.3、如图，在平行四边形中，F为BC中点，延长AD至E，连结EF交DC 于点G，若，则（）A.1：2B.1：3C.1：4D.2：94、如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（）A.4个B.3个C.2个D.1个5、已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A.18cmB.5cmC.6cmD.±6cm6、如图，已知点A、B分别是反比例函数y= （x＞0），y= （x＜0）的图象上的点，且，∠AOB=90°，则的值为（）A.4B.C.2D.7、下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A.∠C=∠F=90°，∠A=55°，∠D=35°B.∠C=∠F=90°，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9C.∠C=∠F=90°，D.∠B=∠E=90°，=8、如图，平行四边形ABCD中，点E为AD边中点，连接AC、BE交于点，若的面积为关于的一元二次方程的解，则的面积为（）．A.4B.5C.6D.79、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A.（6+ ）米B.12米C.（4﹣2 ）米D.10米10、如图，已知△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，点B的坐标为(﹣3，2)，则点C的坐标为( )A.(3，﹣2)B.(6，﹣4)C.(4，﹣6)D.(6，4)11、如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC 交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有（）①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；②I到△ABC三个顶点的距离相等；③∠BIC=90°+ ∠BAC；④线段DI是线段DE与DA的比例中项；⑤点D是△BIC的外心．A.1个B.2个C.3个D.4个12、如图，已知△ABC，P是边AB上的一点，连结CP，以下条件中不能确定△ACP与△ABC相似的是（）A.∠ACP=∠BB.∠APC='∠ACB'C.AC 2=AP·ABD.13、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，把沿BC折叠后，与弦AB交于点P，恰好OP⊥AB．若OP=1，AB=4，则BC：AC等于（）A. B. C. D.14、如右图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为0.3米，踏板长为1.6米，支撑点到踏脚的距离为0.6米，原来捣头点着地,现在踏脚着地，则捣头点上升了（）A.1.2米B.1米C.0.8米D.1.5米15、生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b为2米，则a约为（）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC =________cm2.17、如图，B、C、D依次为一直线上4个点，BC=3，△BCE为等边三角形，⊙O 过A、D、E三点，且∠AOD=120°.设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为________.18、如图，已知Rt ABC中，AC=b，BC=a，D1是斜边AB的中点，过D1作D 1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D 5，…，Dn，分别记BD1E1，BD2E2，BD3E3，…，BDnEn的面积为S1， S2， S3，…Sn．则（1）=________，（2）Sn=________．19、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是________．20、如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是________（填一个即可）.21、如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则Sn=________（用含n的式子表示）．22、如图，在菱形中，是的中点，连接，，将沿直线翻折，使得点落在上的点处，连接并延长交于点，则的值为________.23、如果，∠C=∠F=90°，AB=5，BC=3，DE=15，则DF=________．24、若线段MN的长为1，P是MN的黄金分割点(MP＜NP),则MP的长为________.25、如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=________三、解答题(共5题，共计25分)26、已知x：y：z=2：3：4，求的值．27、如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．28、周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C. A共线.已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.29、已知：= = ，x﹣y+z=6，求：代数式3x﹣2y+z的值．30、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、D3、B4、B5、C6、C7、D9、A10、B11、D12、D13、B14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、30、。
浙江省2019年中考数学复习 第四章 几何初步与三角形 第二节 三角形的基础课前诊断测试
第二节三角形的基础
课前诊断测试
1．(2018·湖南长沙中考)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．4 cm，5 cm，9 cm B．8 cm，8 cm，15 cm
C．5 cm，5 cm，10 cm D．6 cm，7 cm，14 cm
2．(2018·浙江杭州中考)若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则( )
A．AM>AN B．AM≥AN
C．AM<AN D．AM≤AN
3．下列命题是真命题的是( )
A．相等的角是对顶角B．同位角相等
C．内错角相等D．对顶角相等
4. (2018·湖北鄂州中考)一副三角板如图放置，则∠AOD的度数为( )
A．75° B．100°
C．105° D．120°
5．(2018·广西南宁中考)如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于( )
A．40° B．45° C．50° D．55°
6．(2018·甘肃白银中考)已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c＝______．
7．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则S△BEF＝______________.
8．如图，点G为△ABC的重心，GE∥BC，BC＝12，则GE＝______.
参考答案
1．B 2.D 3.D 4.C 5.C
6．7 7.1 cm28.4
2。
【易错题】浙教版九年级上《第四章相似三角形》单元试卷(教师用)
【易错题解析】浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.已知= ，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】比例的性质【解析】【解答】解：∵= ，∴= ．故选：B．【分析】直接利用比例的性质将原式变形求出答案．2.如图1，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【答案】C【考点】相似三角形的判定，等腰直角三角形【解析】根据已知及相似三角形的判定方法即可找到存在的相似三角形。
【解答】∵△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形∴∠B=∠C=∠FAG=∠F=45°，∠BAC=∠FGA=90°∵∠ADC=∠ADE，∠AEB=∠C+∠EAC=∠DAE+∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△EDA△EDA∽△EAB△ADC∽△EAB∴共有3对．故选C．3.图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A. 点PB. 点OC. 点MD. 点N【答案】A【考点】位似变换【解析】【解答】解：点P在对应点M和点N所在直线上，故选A．【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．4.在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（）A.40°B.60°C.80°D.100°【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵，∴∠B与∠D是对应角，故∠B=∠D=60°．故答案为：B．【分析】根据题意，得知∠B与∠D为对应角，求出∠D的度数。
5.如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】根据∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA，易证△BDO∽△BEA，同理可证△BDO∽△CEO，△CEO∽△CDA，从而可以得到结果．【解答】∵∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA，∴△BDO∽△BEA，∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO=90°，∴△BDO∽△CEO，∵∠CEO=∠CDA=90°，∠ECO=∠DCA，∴△CEO∽△CDA，∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA．故选B．【点评】相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.6.如图，在平行四边形ABCD中，AE：AD=2：3，连接BE交AC于点F，若△ABF和四边形CDEF的面积分别记为S1，S2，则S1：S2为（）A. 2：3B. 4：9C. 6：11D. 6：13【答案】C【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AE：AD=2：3，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AEF∽△BCF，∴= ，∴S△BCF= S1∴S四边形ABCD=2（S1+ S1）=5S1，S△AEF= S1，∴S2= S四边形ABCD﹣S△AEF= S1，∴S1：S2= ．故选C．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC，根据相似三角形的性质得到= ，求得S△BCF= S1，S2= S1，即可得到结论．7.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，C的中点，则S△ADE：S△ABC=（）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：5【答案】C【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、C的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE= BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=（）2= ；故选：C．【分析】证出DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE= BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．8.（2017•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，∵AC= = =10，∴6﹣x+8﹣x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴= ，即= ，解得：DF= ，则EF=DF﹣DE= ﹣2= ，故答案为：C．【分析】根据三角形角平分线的定理得出ED=EH=EG，再根据正方形的判定和性质得出全等三角形△DAE≌△HAE，同理△CGE≌△CHE，再根据勾股定理得出AD=4，再由△ADF∽△ABC得出EF的长.9.如图，点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C；如果，那么=（）A. B. C. D.【答案】A【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C，且∠BAD=∠CAB，∴△ABD∽△ACB，如果∴∵，∴AD=x，CD=3x，∴AB2=AC•AD，∴AB=2x∴故答案为：A【分析】先证得△ABD∽△ACB，再利用对应线段成比例及所设出AD与CD的长，可表示出AB长，从而可求得的值.10.如图，Rt△ABC中，BC=2 ，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质，探索数与式的规律，探索图形规律【解析】规律型．【分析】首先由Rt△ABC中，BC=2 ，∠ACB=90°，∠A=30°，求得△ABC的面积，然后由D1是斜边AB 的中点，求得S1的值，继而求得S2、S3、S4的值，即可得到规律：S n=S△ABC；继而求得答案．【解答】∵Rt△ABC中，BC=2 ，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AC==BC=6，∴S△ABC=AC•BC=6 ，∵D1E1⊥AC，∴D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，∵D1是斜边AB的中点，∴D1E1=BC，CE1=AC，∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC；∴在△ACB中，D2为其重心，∴D2E1=BE1，∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC，∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…；∴S n=S△ABC；∴S2013=×6= ．故选：C．【点评】此题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意得到规律S n=S△ABC是解此题的关键．注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（共10题；共30分）11.如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB=4，CD=3，OD=2，那么线段OA的长为________．【答案】【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴OA：OD=AB：CD，即OA：2=4：3，∴OA= ．故答案为：．【分析】根据平行线分线段成比例定理求解。
浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习(含答案)第四章几何初步与三角形第四节等腰三角形同步测试112
第四节等腰三角形姓名： ________班级：________用时：______分钟11、如图，在△ ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于2AB长为半径作弧，两弧订交于 M， N两点；②作直线 MN交 BC于 D，连接 AD.若 AD＝AC，∠B＝25°，则∠ C＝ ( )A、70° B 、60° C 、50° D 、40°OAB的边长为2，则点 B 的坐标为2、 ( 2017·四川南充中考) 如图，等边△( )A、(1 ，1)B、( 3，1)C、( 3， 3)D、(1 ， 3)3、下边给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形、此中必定是等边三角形的有( )A、4个B、3 个C、2个D、1 个4.( 2018·四川绵阳中考 ) 如图，△ ACB 和△ ECD 都是等腰直角三角形， CA＝CB，CE＝CD，△ ACB的极点 A在△ ECD的斜边 DE上，若 AE＝2，AD＝6，则两个三角形重叠部分的面积为( )A.2B、3－2C.3－1D、3－35、如图，在△ ABC中，∠ ABC和∠ ACB的均分线订交于点 O，过点 O 作EF∥BC 交 AB于点 E，交 AC于点 F，过点 O作 OD⊥AC于点 D，以下四个结论：①EF＝BE＋CF；1②∠ BOC＝90°＋2∠A；③点 O到△ ABC各边的距离相等；④设 OD＝m，AE＋AF＝n，则 S△AEF＝mn.此中正确的结论是 ( )A、①②③B、①②④C、②③④D、①③④6、( 2018·黑龙江绥化中考 ) 已知等腰三角形的一个外角为 130°，则它的顶角的度数为 __________________、7、( 2018·湖南娄底中考 ) 如图，△ ABC中， AB＝AC，AD⊥BC于点 D，DE⊥AB 于点 E，BF⊥AC于点 F，DE＝3 cm，则 BF＝______cm.8 、( 2018·浙江嘉兴中考) 已知：在△ ABC 中， AB＝ AC， D 为 AC 的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且 DE＝DF.求证：△ ABC是等边三角形、9.( 2018·江苏镇江中考 ) 如图，△ ABC中， AB＝AC，点 E，F 在边 BC上， BE＝(1)求证：△ ABE≌△ ACF；(2)若∠ BAE＝30°，则∠ ADC＝________°.10、如图，△ ABC是等边三角形，点 P 是∠ ABC的均分线 BD上一点， PE⊥AB 于点 E，线段 BP 的垂直均分线交 BC于点 F，垂足为 Q.若 BF＝2，则 PE 的长为 ( )A、2B、23C. 3D、311、如图，在△ PAB中， PA＝PB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB上的点，且 AM＝BK，BN＝AK，若∠ MKN＝44°，则∠ P 的度数为 ( )A、44° B 、66°C、88°D、92°12、( 2019·易 ) 在一 8 cm， 6 cm的矩形片上，要剪下一个腰5 cm的等腰三角形 ( 要求：等腰三角形的一个点与矩形的点A 重合，其他的两个点都在矩形的上) ，个等腰三角形的剪法有( )A、1 种B、2 种C、3 种D、4 种13、如，等腰△ ABC片 (AB＝AC)可按中所示方法折成一个四形，点A与点 B 重合，点 C与点 D重合，在原等腰△ ABC中，∠ B＝ __________.14、( 2018·宁葫芦中考 ) 如，∠ MON＝30°，点 B1在 OM上，且 OB1＝2，点 B1作 B1A1⊥OM交 ON于点 A1，以 A1B1在 A1B1的右作等三角形A1B1C1；点 C1作OM的垂分交 OM，ON于点 B2，A2，以 A2B2在 A2B2的右作等三角形 A2B2C2；点C2作 OM的垂分交 OM，ON于点 B3，A3，以 A3B3在 A3B3的右作等三角形A3B3 C3，⋯；按此律行下去，△A n A n＋1 C n的面__________________、( 用含正整数 n 的代数式表示 )15、( 2018·浙江绍兴中考 ) 数学课上，张老师举了下边的例题：例1. 等腰三角形 ABC中，∠ A＝110°，求∠B的度数、 ( 答案： 35°)例 2. 等腰三角形 ABC中，∠ A＝40°，求∠B的度数、 ( 答案： 40°或 70°或100°)张老师启迪同学们进行变式，小敏编了以下一题：变式等腰三角形 ABC中，∠ A＝80°，求∠B的度数、(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1) 后，小敏发现，∠A 的度数不一样，获得∠B 的度数的个数也可能不一样，假如在等腰三角形 ABC中，设∠ A＝x°，当∠B有三个不一样的度数时，请你研究x的取值范围、16.( 2018·青海中考 ) 请仔细阅读下边的数学小研究系列，达成所提出的问题、(1)研究 1：如图 1，在等腰直角三角形 ABC中，∠ ACB＝90°， BC＝a，将边 AB1 2绕点 B 顺时针旋转90°获得线段BD，连接 CD.求证：△ BCD的面积为2a ；( 提示：过点 D作 BC边上的高 DE，可证△ ABC≌△ BDE)(2)研究 2：如图 2，在一般的Rt△ABC中，∠ ACB＝90°， BC＝a，将边 AB绕点B顺时针旋转 90°获得线段 BD，连接 CD.请用含 a 的式子表示△ BCD的面积，并说明原因；(3)研究 3：如图 3，在等腰三角形 ABC中， AB＝AC，BC＝a，将边 AB绕点 B 顺时针旋转 90°获得线段 BD，连接 CD.尝试究用含 a 的式子表示△ BCD的面积，要有研究过程、17、如图，已知 AG⊥BD，AF⊥CE， BD，CE分别是∠ ABC和∠ ACB的均分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ ABC的周长为 ________、参照答案【基础训练】1、C 2.D 3.B 4.D 5.A6、50°或 80°7.68、证明：∵ DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠ AED＝∠ CFD＝90°.∵D为 AC的中点，∴ AD＝ DC.在Rt△ADE和 Rt△CDF中，AD＝DC，∵DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠ A＝∠ C，∴BA＝BC，∵AB＝AC，∴ AB＝BC＝AC，∴△ ABC是等边三角形、9、(1) 证明：∵ AB＝AC，∴∠ B＝∠ ACF.AB＝AC，在△ ABE和△ ACF中，∵∠B＝∠ ACF，BE＝CF，∴△ ABE≌△ ACF(SAS)、(2)75【拔高训练】10、C 11.D12.C32n－2313、72° 14.( 2)× 315、解： (1) 若∠A为顶角，则∠ B＝(180 °－∠ A)÷2＝50°；若∠A为底角，∠B 为顶角，则∠ B＝180°－ 2×80°＝ 20°；若∠A为底角，∠B 为底角，则∠ B＝80°.故∠ B＝50°或 20°或 80°.(2)分两种状况：①当 90≤x＜180 时，∠A只好为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当 0＜x＜90 时，若∠A为顶角，则∠ B＝(180－x) °；2若∠A为底角，∠B 为顶角，则∠ B＝(180 －2x) °；若∠ A为底角，∠ B 为底角，则∠ B＝x°.180－x≠180－2x 且 180－2x≠x且180－x当≠x，22即 x≠60 时，∠B有三个不一样的度数、综上所述，可知当0＜x＜90 且 x≠60 时，∠B有三个不一样的度数、16、(1) 证明：过点 D作 DE⊥CB交 CB的延伸线于点 E，∴∠ BED＝∠ ACB＝90°.由旋转知 AB＝BD，∠ ABD＝90°，∴∠ ABC＋∠ DBE＝90°.又∵∠ A＋∠ ABC＝90°，∴∠ A＝∠ DBE.在△ ABC和△ BDE 中，∠ACB＝∠ BED，∵∠A＝∠ DBE，AB＝BD，∴△ ABC≌△ BDE(AAS)，∴DE＝a＝BC，112∴S＝2BC·DE＝2a .△BCD(2)解：过点 D作 DE⊥CB，交 CB的延伸线于点 E，由(1) 得∠ BED＝∠ ACB＝90°.∵线段 AB绕点 B 顺时针旋转 90°获得线段 BD，∴AB＝BD，∠ ABD＝90°.∴∠ ABC＋∠ DBE＝90°.∵∠ A＋∠ ABC＝90°. ∴∠ A＝∠ DBE.在△ ABC和△ BDE中，∠ACB＝∠ BED，∵∠A＝∠ DBE，AB＝BD，∴△ ABC≌△ BDE(AAS)，∴BC＝DE＝a.1 1 2∵S△BCD＝2BC·DE，∴S△BCD＝2a .(3)解：如图，过点 A 作 AF⊥BC于点 F，过点 D作 DE⊥CB，交 CB的延伸线于点E，1 1∴∠ AFB＝∠ E＝90°， BF＝2BC＝2a.∴∠ FAB＋∠ ABF＝ 90°.∵∠ ABD＝90°，∴∠ ABF＋∠ DBE＝90°，∴∠ FAB＝∠ EBD.∵线段 BD是由线段 AB旋转获得的，∴AB＝BD.在△ AFB和△ BED中，∠AFB＝∠ E，∵∠FAB＝∠ EBD，AB＝BD，1∴△ AFB≌△ BED，∴ BF＝ DE＝2a.111 1 2∵S△BCD＝2BC·DE，∴S△BCD＝2a·2a＝4a .1 2∴△ BCD的面积为a .【培优训练】17、30。
浙江省2019年中考数学 第四单元 三角形 课时训练20 相似三角形及其性质练习 (新版)浙教版
(二十) 相似三角形及其性质|夯实基础|1.[2017·兰州] 已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是()A.=B.=C.=D.=2.[2018·兰州] 如图K20-1,边长为4的等边△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,则△ADE的面积是()图K20-1A.B.C.D.23.如图K20-2,在▱ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF∶FC等于()图K20-2A.3∶2B.3∶1C.1∶1D.1∶24.[2018·台州] 如图K20-3,在▱ABCD中,AB=2,BC=3.以点C为圆心,适当长为半径画弧,交BC于点P,交CD于点Q,再分别以点P,Q为圆心,大于PQ的长为半径画弧,两弧相交于点N,射线CN交BA的延长线于点E,则AE的长是()图K20-3A.B.1 C.D.5.[2017·遵义] 如图K20-4,在△ABC中,E是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,EF∥AD交AC于F.若AB=11,AC=15,则FC的长为 ()图K20-4A.11B.12C.13D.146.[2017·自贡] 如图K20-5,在△ABC中,MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N,若AM=1,MB=2,BC=3,则MN的长为.图K20-57.[2017·潍坊] 如图K20-6,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)图K20-68.如图K20-7,在边长为3的菱形ABCD中,点E在边CD上,点F为BE延长线与AD延长线的交点,若DE=1,则DF的长为.图K20-79.[2018·包头] 如图K20-8,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连结DF.若S△AEF=1,则S△ADF的值为.图K20-810.[2018·江西] 如图K20-9,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.图K20-911.如图K20-10,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC 于点N.(1)求证:△ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.图K20-10|拓展提升|12.[2018·湖州] 已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且==m,连结AE,过点D作DM⊥AE,垂足为M,延长DM交AB于点F.(1)如图K20-11①,过点E作EH⊥AB于点H,连结DH.①求证:四边形DHEC是平行四边形;②若m=,求证:AE=DF.(2)如图②,若m=,求的值.图K20-11参考答案1.A [解析] 根据等式的性质2,等式的两边同时乘或者除以一个不为0的数或字母,等式依然成立.故在等式左右两边同时除以2y ,可得=,故选A .2.A3.D4.B [解析] 如图所示,根据作图过程可知CE 是∠BCD 的平分线, ∴∠FCB=∠FCD ,∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,且DC=AB=2,∴∠DFC=∠FCB ,∴∠FCD=∠DFC , ∴DF=DC=2, ∴AF=AD-DF=3-2=1, ∵AF ∥BC ,∴△EAF ∽△EBC ,∴=,即=,解得AE=1.5.C [解析] ∵AD 是∠BAC 的平分线,AB=11,AC=15,∴==.∵E 是BC 的中点,∴CE=BC ,∵EF ∥AD ,∴=,即=,解得CF=13.6.1 [解析] ∵MN ∥BC ,∴△AMN ∽△ABC ,∴=.∵AM=1,MB=2,BC=3,∴=,解得MN=1.7.∠A=∠BDF∠A=∠BFD,∠ADE=∠BFD,∠ADE=∠BDF,DF∥AC,=,=[解析] ∵AC=3AD,AB=3AE,∴==,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴∠AED=∠B.故要使△FDB与△ADE相似,只需再添加一组对应角相等,或夹角的两边成比例即可.8.9.[解析] 由3AE=2EB得=.由EF∥BC易证得△AEF∽△ABC,所以=,又因为S△AEF=1,所以S△ABC=.又因为AC是对角线,所以S△ADC=,又因为==,所以S△ADF=S△ADC=×=.10.解:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC.又∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠DBC=∠D,∴BC=CD=4.又∵∠AEB=∠CED,∴△AEB∽△CED,∴=,∴==2,∴AE=2EC,解得EC=AE,∵AC=AE+EC=6,∴AE+AE=6,解得AE=4.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,AD∥BC,∴∠EAM=∠AMB.∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠B,∴△ABM∽△EFA.(2)在Rt△ABM中,AB=12,BM=5,∠B=90°,∴由勾股定理得AM===13.∵F是AM的中点,∴AF=AM=.∵△ABM∽△EFA,∴=,即=,解得AE=16.9.又AD=AB=12,∴DE=16.9-12=4.9.12.[解析] (1)①已知条件给出的是线段的比,所以考虑利用三角形相似,将线段的比进行转化,从而证明HE与DC相等,再得出平行四边形的结论;②是一个特殊的比值,且出现在直角三角形题目中,所以考虑证明直角三角形为等腰直角三角形,从而得出线段相等,进而通过三角形全等证明结论.(2)虽然m的值发生变化,但整体图形没有发生变化,所以解题的方法还可以仿照第(1)问进行,只需要考虑将全等改为相似就可以.解:(1)①证明:∵EH⊥AB,∠BAC=90°,∴EH∥CA.∴△BHE∽△BAC.∴=.∵=,∴=.∴=.∴HE=DC.∴四边形DHEC是平行四边形.②证明:∵=,∠BAC=90°,∴AC=AB.∵△BHE∽△BAC,则BH=HE.∵HE=DC,∴BH=CD.∴AH=AD.∵DM⊥AE,EH⊥AB,∴∠EHA=∠AMF=90°.∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°.∴∠HEA=∠AFD.又∵∠EHA=∠FAD=90°,∴△HEA≌△AFD.∴AE=DF.(2)过点E作EG⊥AB于G.∵CA⊥AB,∴EG∥CA.∴△EGB∽△CAB,∴==.∵=,∴EG=CD.设EG=CD=3x,AC=3y,由题意得BE=5x,BC=5y,∴BG=4x,AB=4y.∵∠EGA=∠AMF=90°,∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM.∴∠AFM=∠AEG.∵∠FAD=∠EGA=90°,∴△FAD∽△EGA.∴===.11。
【配套K12】[学习]浙江省2019年中考数学 第四单元 三角形 课时训练19 直角三角形练习 (新
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课时训练(十九) 直角三角形|夯实基础|1.以下四个命题正确的是()A.任意三点可以确定一个圆B.菱形的对角线相等C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D.平行四边形的四条边相等2.已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0,当b<0时必有实数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例是()A.b=-1B.b=2C.b=-2D.b=03.如图K19-1,在△ABC中,∠C=45°,点D在AB上,点E在BC上,若AD=DB=DE,AE=1,则AC的长为()图K19-1A.B.2C.D.4.[2018·凉山州] 如图K19-2,数轴上点A对应的数为2,AB⊥OA于A,且AB=1,以O为圆心,OB长为半径作弧,交数轴于点C,则OC长为()图K19-2A.3B.C.D.5.[2017·温州] 四个全等的直角三角形按如图K19-3所示的方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=2EF,则正方形ABCD的面积为()图K19-3A.12SB.10SC.9SD.8S6.[2018·海南] 如图K19-4,在△ABC中,AB=8,AC=6,∠BAC=30°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°,得到△AB1C1,连结BC1,则BC1的长为()图K19-4A.6B.8C.10D.127.[2017·益阳] 如图K19-5,在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线,则CD= .图K19-58.[2017·泸州] 在△ABC中,已知BD和CE分别是边AC,AB上的中线,且BD⊥CE,垂足为O,若OD=2 cm,OE=4 cm,则线段AO的长度为cm.9.如图K19-6,△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C',若∠BAC=90°,AB=AC=,则图中阴影部分的面积等于.图K19-610.[2018·哈尔滨] 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连结AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为.11.[2018·庆云县期末] 如图K19-7,△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上,网格中的每个小正方形的边长均为单位1.(1)求证:△ABC为直角三角形;(2)求点B到AC的距离.图K19-712.[2017·徐州] 如图K19-8,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连结DC,DB.(1)线段DC= ;(2)求线段DB的长度.图K19-8|拓展提升|13.[2018·湖州] 在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点E,F,G,H都是格点,且四边形EFGH为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图.例如,在图K19-9所示的格点弦图中,正方形ABCD的边长为,此时正方形EFGH的面积为5.问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时,正方形EFGH的面积的所有可能值是(不包括5).图K19-914.[2016·绍兴] 对于坐标平面内的点A,现将该点向右平移1个单位,再向上平移2个单位,这种点的运动称为点A的斜平移,如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5),已知点A的坐标为(1,0).(1)分别写出点A经1次,2次斜平移后得到的点的坐标.(2)如图K19-10,点M是直线l上的一点,点A关于点M的对称点为点B,点B关于直线l的对称点为点C.①若A,B,C三点不在同一条直线上,判断△ABC是否是直角三角形?请说明理由.②若点B由点A经n次斜平移后得到,且点C的坐标为(7,6),求出点B的坐标及n的值.图K19-10参考答案1.C2.A3.D4.D[解析] ∵AB⊥OA于A,∴∠OAB=90°.在Rt△OAB中,由勾股定理得OB===.∴OC=OB=.故选择D.5.C[解析] 由题意可知,小正方形边长EF=EH=HG=GF=,4个白色的矩形全等,且矩形的长均为,宽为(-),则直角三角形的短直角边长为.由勾股定理得AB===3,所以正方形ABCD的面积为9S.6.C[解析] 根据旋转的性质,得AC1=AC=6,∠CAC1=60°,∴∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=30°+60°=90°.在Rt△ABC1中,BC1==10,故选择C.7.6.5[解析] 由题意可得AC2+BC2=AB2,再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD的长.因此正确答案是6.5.8.4[解析] 如图,连结AO,作OF⊥AB于点F.∵BD,CE是△ABC的中线,∴OB=2OD=4,∵OE=4,BD⊥CE,∴△BOE是等腰直角三角形,∴AE=BE=4,∴OF=EF=2,AF=6,∴AO==4.9.-110.90°或130°[解析] 情况1当∠ADB=90°时,∠ADC=90°;情况2当∠BAD=90°时,∠ADC=∠BAD+∠B=90°+(180°-100°)÷2=130°.11.解:(1)证明:由勾股定理得,AB=,BC=2,AC=,AB2+BC2=65=AC2,∴△ABC为直角三角形.(2)作高BD,由AB·BC=AC·BD,得××2=××BD,解得BD=,∴点B到AC的距离为.12.[解析] (1)根据旋转的性质,判定△ACD为等边三角形,则DC的长度易求得;(2)过D作DE⊥BC,分别解Rt△CDE,Rt△BDE即可.解:(1)4(2)∵AC=AD,∠CAD=60°,∴△CAD是等边三角形,∴CD=AC=4,∠ACD=60°.过点D作DE⊥BC于E.∵AC⊥BC,∠ACD=60°,∴∠BCD=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∠BCD=30°,∴DE=CD=2,CE=2,∴BE=,在Rt△DEB中,由勾股定理得DB=.13.9,13和49[解析] 设图中直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,则a2+b2=65.小正方形的面积为(a-b)2.∴只要能把长为a和b的线段在网格中画出来,并且a和b的端点都在格点上即可.∵65可以写作64+1或49+16,所以a,b的值分别为8,1或7,4.此时小正方形的面积为49或9.另外,∵长为13和5的线段也可以在网格中画出,所以65还可以写成52+13或45+20,此时a,b的值分别为2,和3,2.此时小正方形的面积为13和5.小正方形的面积为9,13和49对应的图形分别为下图的①②③.故填9,13和49.14.解:(1)∵点A的坐标为(1,0),∴点A经1次斜平移后得到的点的坐标为(2,2),点A经2次斜平移后得到的点的坐标为(3,4).(2)①△ABC是直角三角形,理由:连结CM,如图:由中心对称可知AM=BM,由轴对称可知BM=CM,∴AM=CM=BM,∴∠MAC=∠ACM,∠MBC=∠MCB.∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°,∴∠ACM+∠MCB=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.②延长BC交x轴于点E,过C点作CF⊥AE于点F,如图:∵A(1,0),C(7,6),∴AF=CF=6,∴△ACF是等腰直角三角形,由①得∠ACE=90°,∴∠AEC=45°,∴E点坐标为(13,0).设直线BE的解析式为y=kx+b,由点C,E在直线上,可得解得精品K12教育教学资料∴y=-x+13.∵点B由点A经n次斜平移得到, ∴点B(n+1,2n),由2n=-n-1+13, 解得n=4,∴点B的坐标为(5,8).精品K12教育教学资料。
浙江省2019年中考数学 第四单元 三角形 课时训练20 相似三角形及其性质练习 (新版)浙教版
(二十) 相似三角形及其性质|夯实基础|1.[2017·兰州] 已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是()A BC D2.[2018·兰州] 如图K20-1,边长为4的等边△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,则△ADE的面积是()图K20-1A B C D.3.如图K20-2,在▱ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF∶FC等于()A.3∶2B.3∶1C.1∶1D.1∶24.[2018·台州] 如图K20-3,在▱ABCD中,AB=2,BC=3.以点C为圆心,适当长为半径画弧,交BC于点P,交CD于点Q,再分别以点P,Q为圆心,的长为半径画弧,两弧相交于点N,射线CN交BA的延长线于点E,则AE的长是()图K20-3A B.1 C D5.[2017·遵义] 如图K20-4,在△ABC中,E是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,EF∥AD交AC于F.若AB=11,AC=15,则FC的长为 ()图K20-4A.11B.12C.13D.146.[2017·自贡] 如图K20-5,在△ABC中,MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N,若AM=1,MB=2,BC=3,则MN的长为.7.[2017·潍坊] 如图K20-6,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)图K20-68.如图K20-7,在边长为3的菱形ABCD中,点E在边CD上,点F为BE延长线与AD延长线的交点,若DE=1,则DF的长为.图K20-79.[2018·包头] 如图K20-8,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连结DF.若S△AEF=1,则S△ADF的值为.图K20-810.[2018·江西] 如图K20-9,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.图K20-911.如图K20-10,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC 于点N.(1)求证:△ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.图K20-10|拓展提升|12.[2018·湖州] 已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),,连结AE,过点D作DM⊥AE,垂足为M,延长DM交AB于点F.(1)如图K20-11①,过点E作EH⊥AB于点H,连结DH.①求证:四边形DHEC是平行四边形;②若求证:AE=DF.(2)如图②,若.图K20-11参考答案1.A[解析] 根据等式的性质2,等式的两边同时乘或者除以一个不为0的数或字母,等式依然成立.故在等式左右两边同时除以2y,故选A.2.A3.D4.B[解析] 如图所示,根据作图过程可知CE是∠BCD的平分线,∴∠FCB=∠FCD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且DC=AB=2,∴∠DFC=∠FCB,∴∠FCD=∠DFC,∴DF=DC=2,∴AF=AD-DF=3-2=1,∵AF∥BC,∴△EAF∽△EBC,解得AE=1.5.C[解析] ∵AD是∠BAC的平分线,AB=11,AC=15,∵E是BC的中点,∴,∵EF∥AD,解得CF=13.6.1[解析] ∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC,∵AM=1,MB=2,BC=3,解得MN=1.7.∠A=∠BDF∠A=∠BFD,∠ADE=∠BFD,∠ADE=∠BDF,DF∥AC[解析] ∵AC=3AD,AB=3AE,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴∠AED=∠B.故要使△FDB与△ADE相似,只需再添加一组对应角相等,或夹角的两边成比例即可.89[解析] 由3AE=2EB由EF∥BC易证得△AEF∽△ABC,又因为S△AEF=1,所以S△ABC又因为AC是对角线,所以S△ADC所以S△ADF△ADC10.解:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC.又∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠DBC=∠D,∴BC=CD=4.又∵∠AEB=∠CED,∴△AEB∽△CED,2,∴AE=2EC,解得,∵AC=AE+EC=6,∴6,解得AE=4.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,AD∥BC,∴∠EAM=∠AMB.∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠B,∴△ABM∽△EFA.(2)在Rt△ABM中,AB=12,BM=5,∠B=90°,∴由勾股定理得13.∵F是AM的中点,∴∵△ABM∽△EFA,解得AE=16.9.又AD=AB=12,∴DE=16.9-12=4.9.12.[解析] (1)①已知条件给出的是线段的比,所以考虑利用三角形相似,将线段的比进行转化,从而证明HE与DC相等,再得出平行四边形的结论;,且出现在直角三角形题目中,所以考虑证明直角三角形为等腰直角三角形,从而得出线段相等,进而通过三角形全等证明结论.(2)虽然m的值发生变化,但整体图形没有发生变化,所以解题的方法还可以仿照第(1)问进行,只需要考虑将全等改为相似就可以.解:(1)①证明:∵EH⊥AB,∠BAC=90°,∴EH∥CA.∴△BHE∽△BAC.∴HE=DC.∴四边形DHEC是平行四边形.②证明:∠BAC=90°,∴AC=AB.∵△BHE∽△BAC,则BH=HE.∵HE=DC,∴BH=CD.∴AH=AD.∵DM⊥AE,EH⊥AB,∴∠EHA=∠AMF=90°.∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°.∴∠HEA=∠AFD.又∵∠EHA=∠FAD=90°,∴△HEA≌△AFD.∴AE=DF.(2)过点E作EG⊥AB于G.∵CA⊥AB,∴EG∥CA.∴△EGB∽△CAB,∴EG=CD.设EG=CD=3x,AC=3y,由题意得BE=5x,BC=5y,∴BG=4x,AB=4y.∵∠EGA=∠AMF=90°,∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM.∴∠AFM=∠AEG.∵∠FAD=∠EGA=90°,∴△FAD∽△EGA.11。
浙江省2019年中考数学 第四单元 三角形 课时训练17 三角形与全等三角形练习 (新版)浙教版
课时训练（十七) 三角形与全等三角形|夯实基础｜1.［2017·扬州］若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的周长可能是()A.6B.7 C。
11 D。
122.如图K17-1，AB∥CD，DE⊥CE,∠1=34°，则∠DCE的度数为()图K17-1A.34°B.54°C。
66°D.56°3.[2017·株洲] 如图K17—2，在△ABC中,∠BAC=x，∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD的度数是（)图K17—2A。
145°B。
150°C。
155°D.160°4.［2018·杭州］若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则()A。
AM〉AN B.AM≥ANC.AM<AND.AM≤AN5.如图K17—3，直线a∥b,AC⊥AB，AC交直线b于点C,∠1=60°,则∠2的度数是（)图K17-3A.50°B.45°C.35°D.30°6。
［2018·南京] 如图K17—4，AB⊥CD,且AB=CD。
E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD。
若CE=a，BF=b,EF=c，则AD的长为（)图K17—4A。
a+c B。
b+cC.a-b+c D。
a+b—c7。
若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可以为.(只需填一个数) 8。
［2017·达州］在△ABC中，AB=5，AC=3,AD是△ABC的中线,设AD的长为m,则m的取值范围是。
9。
［2018·衢州] 如图K17—5，在△ABC和△DEF中，点B，F,C,E在同一直线上,BF=CE,AB ∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线)图K17—510。
［2017·常州] 如图K17-6,已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE.（1）求证:AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数.图K17—611。
浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习 第四章 几何初步与三角形 第五节 直角三角形与勾股定理同步测试
第五节 直角三角形与勾股定理姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·海南中考)如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠BAC＝30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△AB 1C 1，连结BC 1，则BC 1的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．122．(2019·改编题)下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是( ) A ．一锐角对应相等 B ．两锐角对应相等 C ．一条边对应相等D ．两条直角边对应相等3．(2017·贵州毕节中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，斜边AB ＝9，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且CF ＝13CD ，过点B 作BE∥DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为( )A ．6B ．4C ．7D ．124．(2018·山东德州中考)如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC ＝5，OM ＝4，则点C 到射线OA 的距离为______．5．(2018·浙江宁波中考)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH 为1 200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为_____________________米(结果保留根号)．6．(2017·湖南常德中考)如图，已知在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过点D作CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________________.7．(2018·湖北襄阳中考)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为__________．8．(2018·四川广安中考)下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形；(2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；(3)画一个面积为5的等腰直角三角形；(4)画一个一边长为22，面积为6的等腰三角形．9．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，则该直角三角形的面积为( )A．5 B．6 C．7 D．810．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )A．90 B．100C．110 D．12111．(2018·江苏无锡中考)已知△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，则△ABC的面积等于______________．12．(2017·湖北襄阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若AC＝8，AB＝10，则CD的长为_______.13.如图，在平面直角坐标系中，将含30°角的三角尺的直角顶点C落在第二象限，其斜边两端点A，B分别落在x轴、y轴上，且AB＝12 cm.(1)若OB＝6 cm，①求点C的坐标；②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； (2)点C 与点O 的距离的最大值＝________cm .14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以AB ，AC ，BC 为边在AB 同侧作正方形ABEF ，ACPQ ，BDMC ，记四块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝________．15．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图1△ABC 中，M 是BC 的中点，P 是射线MA 上的点，设APPM ＝k ，若∠BPC＝90°，则称k 为勾股比．(1)如图1，过B ，C 分别作中线AM 的垂线，垂足为E ，D.求证：CD ＝BE.(2)①如图2，当k ＝1，且AB ＝AC 时，AB 2＋AC 2＝________BC 2(填一个恰当的数)．②如图1，当k ＝1，△ABC 为锐角三角形，且AB≠AC 时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；③对任意锐角或钝角三角形，如图1，3，请用含勾股比k 的表达式直接表示AB 2＋AC 2与BC 2的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.A 4.3 5.1 200(3－1) 6．0<CD≤5 7.23或27 8．解：(1)如图(1)所示． (2)如图(2)所示． (3)如图(3)所示． (4)如图(4)所示．【拔高训练】 9．C 10.C11．153或10 3 12.25813．解：(1)①如图，过点C 作y 轴的垂线，垂足为点D ，在Rt△AOB 中，AB ＝12，则BC ＝6.∵OB＝6＝BC ，AB ＝AB ， ∴Rt△ABC≌Rt△ABO， ∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°. 又∵∠CBA＝60°，∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°， ∴BD＝3，CD ＝33， ∴OD＝BD ＋OB ＝3＋6＝9， ∴点C 的坐标为(－33，9)．②如图，设点A 向右滑动的距离为x ，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x.∴AO＝AB·cos∠BAO＝12×cos 30°＝6 3. ∴A′O＝63－x ，B′O＝6＋x ，A′B′＝AB ＝12. 在△A′OB′中，由勾股定理，得 (63－x)2＋(6＋x)2＝122， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝6(3－1)． ∴滑动的距离为6(3－1)cm. (2)12 【培优训练】 14．1815．(1)证明：∵M 是BC 的中点，∴BM＝CM. ∵BE⊥AM 于E ，CD⊥AM 于D ， ∴∠E＝∠CDM＝90°. 在△BME 和△CMD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠E＝∠CDM＝90°，∠BME＝∠CMD，BM ＝CM ，∴△BME≌△CMD(AAS)，∴CD＝BE. (2)①AB 2＋AC 2＝2.5BC 2②结论仍然成立．设EM ＝DM ＝a ，则AE ＝AM ＋a ，AD ＝AM －a.在Rt△ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝(AM ＋a)2＋BE 2＝AM 2＋2AM·a＋a 2＋BE 2， 在Rt△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝(AM －a)2＋CD 2＝AM 2－2AM·a＋a 2＋CD 2， ∴AB 2＋AC 2＝2AM 2＋(a 2＋BE 2)＋(a 2＋CD 2)．∵BE⊥AM 于E ，CD⊥AM 于D ， ∴∠E＝∠CDM＝90°，∴a 2＋BE 2＝BM 2＝14BC 2，a 2＋CD 2＝CM 2＝14BC 2，∴AB 2＋AC 2＝2AM 2＋12BC 2.∵APPM＝1，∴AP＝PM. ∵∠BPC＝90°，AM 是△ABC 的中线， ∴PM ＝12BC.若△ABC 是锐角三角形，则AM ＝AP ＋PM ＝PM ＋PM ＝2PM ＝BC ， ∴AB 2＋AC 2＝2BC 2＋12BC 2＝52BC 2，即AB 2＋AC 2＝2.5BC 2.③结论：锐角三角形：AB 2＋AC 2＝k 2＋2k ＋22BC 2，钝角三角形：AB 2＋AC 2＝k 2－2k ＋22BC 2.。
浙江省2019年中考数学 第四单元 三角形 课时训练22 锐角三角函数及其应用练习 (新版)浙教版
课时训练(二十二) 锐角三角函数及其应用|夯实基础|1.[2018·云南] 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为()图K22-1A.3B.C.D.2.[2017·宜昌] △ABC在网格中的位置如图K22-1所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC于D,下列选项中,错误的是()A.sin α=cos αB.tan C=2C.sin β=cos βD.tan α=13.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,tan A=1,sin B=,你认为对△ABC最确切的判断是()A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.锐角三角形4.[2018·日照] 如图K22-2,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的☉O的圆心O在格点上,则∠BED的正切值等于()图K22-222 A . B. C .2 D .5.[2018·重庆B 卷] 如图K22-3,AB 是一垂直于水平面的建筑物.某同学从建筑物底端B 出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C ,再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E (A ,B ,C ,D ,E 均在同一平面内).在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°,则建筑物AB 的高度约为(参考数据:sin 24°≈0.41,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.45) ()图K22-3A .21.7米B .22.4米C .27.4米D .28.8米6.把sin 60°,cos 60°,tan 60°按从小到大的顺序排列7.[2018·黄石] 如图K22-4,无人机在空中C 处测得地面度CD 为100米,点A ,D ,B 在同一水平直线上,则A ,B 两点间的距离是图K22-48.[2018·潍坊]如图K22-5,一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行,在A 处测得岛礁P 在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B 处,此时测得岛礁P 在北偏东30°方向,同时测得岛礁P 正东方向上的避风港M 在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M 处,渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行 小时即可到达.(结果保留根号)图K22-59.[2017·舟山] 如图K22-6,把n个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan∠BA1C=1,tan∠BA2C=,tan∠BA3C=,tan ∠BA4C= ,…,按此规律,tan∠BA n C= (用含n的代数式表示).图K22-610.[2017·丽水] 图K22-7是某小区的一个健身器材平面图,已知BC=0.15 m,AB=2.7 m,∠BOD=70°,求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m,参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)图K22-711.[2018·台州] 如图K22-8是一辆吊车的工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂,其转动点A离地面BD的高度AH 为3.4 m.当起重臂AC长度为9 m,张角∠HAC为118°时,求操作平台C离地面的高度(结果保留小数点后一位;参考数据:sin 28°≈0.47,cos 28°≈0.88,tan 28°≈0.53).图K22-834 4 12.[2018·内江] 如图K22-9是某路灯在铅垂面内的示意图,灯柱AC的高为11米,灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A=120°,路灯采用锥形灯罩,在地面上的照射区域DE长为18米,从D,E两处测得路灯B的仰角分别为α和β,且tan α=6,tan β=.求灯杆AB的长度.图K22-9|拓展提升|13.如图K22-10,已知AD∥BC,AB⊥AD,点E,F分别在射线AD,BC上,若点E与点B关于AC对称,点E与点F关于BD 对称,AC与BD相交于点G,则()A.1+tan∠ADB=B.2BC=5CFC.∠AEB+22°=∠DEFD.4cos∠AGB=图K22-1014.如图K22-11,在每一个四边形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.(1)如图①,点M是四边形ABCD的边AD上一点,求△BMC的面积.(2)如图②,点N是四边形ABCD边AD上的任意一点,请你求出△BNC周长的最小值.(3)如图③,在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cos∠BPC的值最小?若存在,求出此时cos∠BPC的值;若不存在,请说明理由.图K22-1156 6 参考答案1.A[解析] 根据正切的定义得tan A==3.2.C[解析] 先构建直角三角形,再根据三角函数的定义计算,sin α=cos α==,tanC==2,sinβ=cos(90°-β),tan α=1,故选C.3.B4.D[解析] 在Rt△ABC中,AB=2,BC=1,∴tan∠BAC==.∵∠BED=∠BAD,∴tan∠BED=.故选D.5.A[解析] 过点C作CN⊥DE于点N,延长AB交ED于点M,则BM⊥DE于点M,则MN=BC=20米.∵斜坡CD的坡比i=1∶0.75,∴令CN=x米,则DN=0.75x米.在Rt△CDN中,由勾股定理,得x2+(0.75x)2=102,解得x=8,从而CN=8米,DN=6米.∵DE=40米,∴ME=MN+ND+DE=66(米),AM=(AB+8)米.在Rt△AME中,tan E=,即=tan24°,从而0.45=,解得AB=21.7(米),故选A.6.cos 60°<sin 60°<tan 60°7.100(1+)[解析] 由题意可知∠A=60°,∠B=45°,∴AD==100米,BD=CD=100米,∴AB=AD+BD=100+100=100(1+)米.8.[解析] 过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,过点M作MN⊥AB,垂足为N.AB=60×1.5=90(海里).设PQ=MN=x,由点P在点A的东北方向可知,∠PAQ=45°,∴AQ=PQ=x,BQ=x-90.在Rt△PBQ中,∠PBQ=90°-30°=60°,tan60°==,解得x=135+45.在Rt△BMN中,∠MBN=90°-60°=30°,∴BM=2MN=2x=2×(135+45)=270+90.∴航行时间为=(小时).9.[解析] 根据所给的三角函数值进行分析可以得到如下规律:tan∠BA1C==,tan∠BA2C==,tan∠BA3C==,tan∠BA4C==,….按此规律tan∠BA n C==.10.[解析] 过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,构造Rt△ABF,运用解直角三角形的知识求出AF,进而求出AE,得出结果.解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,∵OD⊥CD,∴AE∥OD,∴∠A=∠BOD=70°.在Rt△ABF中,AB=2.7,∴AF=2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918,∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1.788 答:端点A 到地面CD 的距离约是1.1 m .11.解:如图所示,过点C 作CF ⊥BD ,垂足为F ,过点A 作AE ⊥CF ,垂足为E,∵AE ⊥CF ,∴∠AEC=90°,在Rt △AEC 中,sin ∠CAE=,可得CE=AC ·sin ∠CAE ≈9×0.47=4.23.∵∠AHF=∠EFH=∠AEF=90°,∴四边形AHFE 是矩形, ∴EF=AH=3.4,∴CF=CE+EF=3.4+4.23=7.63≈7.6(米). 答:操作平台C 离地面的高度为7.6米.12.解:如图,过点B 作BH ⊥DE ,垂足为点H ,过点A 作AG ⊥BH ,垂足为点G. ∵BH ⊥DE ,∴∠BHD=∠BHE=90°. 在Rt △BHD 中,tan α==6,在Rt △BHE 中,tan β==,∴BH=6DH,BH=EH,∴8DH=EH.∵DE=18,DE=DH+EH,∴9DH=18,∴DH=2,BH=12.∵∠BHD=∠AGH=∠ACH=90°,∴四边形ACHG为矩形,∴AC=GH=11,∠CAG=90°,BG=BH-GH=12-11=1,∵∠BAC=120°,∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°.∴在Rt△AGB中,AB=2BG=2.答:灯杆AB的长度为2米.13.A[解析] 如图,连结CE,设EF与BD相交于点O.由对称性,得AB=AE.设AB=1,则BE==.∵点E与点F关于BD对称,∴BE=BF,∠EBD=∠FBD,又∵∠EDB=∠DBF,∴∠EBD=∠EDB,∴DE=BE=,∴AD=1+.∵AD∥BC,AB⊥AD,AB=AE,∴四边形ABCE是正方形,91010 ∴BC=AB=1,1+tan ∠ADB=1+=1+-1=,故A 正确.∵CF=BF-BC=-1,2BC=2×1=2,5CF=5(-1),∴2BC ≠5CF ,故B 错误. ∠AEB+22°=45°+22°=67°,在Rt △ABD 中,BD===,sin ∠DEF===.用计算器计算可得 ∠DEF=67.5°,故C 错误.由勾股定理得OE 2=()2-2=,∴OE=.∵∠EBG+∠AGB=90°, ∠EBG+∠BEF=90°, ∴∠AGB=∠BEF. 又∵∠BEF=∠DEF ,∴4cos ∠AGB=4×=4×=2,故D 错误.14.解:(1)过点A 作AE ⊥BC ,垂足为E. 在Rt △ABE 中,∠ABC=60°,BE=12-8=4, ∴AE=4,∴S△BMC =BC·AE=×12×4=24.(2)作点C关于AD对称的点C',连结BC'交AD于点N,点N为满足条件的点.易知CN=C'N.在Rt△CBC'中,BC=12,CC'=8,∴BC'==4,∴△BCN周长的最小值为12+4.(3)存在点P,使得cos∠BPC的值最小.如图,作BC的垂直平分线PQ交BC于点Q,交AD于点P,连结BP,CP,作△BPC的外接圆☉O,☉O与直线PQ交于点N,又PB=PC,∴圆心O在PN上.∵AD∥BC,∴AD为☉O的切线,切点为P.∵PQ=DC=4>6,∴圆心O在弦BC的上方.在AD上任取一点P',连结P'C,P'B,P'B交☉O于点M,连结MC,∴∠BPC=∠BMC≥∠BP'C,∴∠BPC最大,此时cos∠BPC的值最小.连结BO,在Rt△BOQ中,易知BO=4-OQ,BQ=6,11∴OQ=,∴OB=,∴cos∠BPC=cos∠BOQ=.故cos∠BPC 的最小值是.1212。
2019年浙江省三角形中考数学试题专题解析
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xxxx年浙江省三角形中考数学试题专题解析一、选择题1.如图，在Rt△ABo中，斜边AB=1.若oc∥BA，∠Aoc=36°，则【】A.点B到Ao的距离为sin54°B.点B到Ao 的距离为tan36°c.点A到oc的距离为sin36°sin54° D.点A到oc的距离为cos36°sin54°【答案】c。
【考点】平行线的性质，点到直线的距离，锐角三角形函数定义。
【分析】由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：A、由于在Rt△ABo中∠AoB是直角，所以B到Ao的距离是指Bo的长。
∵AB∥oc，∴∠BAo=∠Aoc=36°。
在Rt△BoA中，∵∠AoB=90°，AB=1，∴Bo=ABsin36°=sin36°。
故本选项错误。
B、由A可知，选项错误。
c、如图，过A作AD⊥oc于D，则AD的长是点A到oc的距离。
在Rt△BoA中，∵∠BAo=36°，∠AoB=90°，∴∠ABo=54°。
∴Ao=AB•sin54°=sin54°。
在Rt△ADo中，AD=Ao•sin36°=AB•sin54°•sin36°=sin54°•sin36°。
故本选项正确。
D、由c可知，选项错误。
故选c。
3.如图，在Rt△ABc中，∠AcB=90°，AB=10，cD 是AB边上的中线，则cD的长是【】【答案】c。
【考点】直角三角形斜边上的中线性质。
浙江省2019年中考数学第四单元三角形测试练习(新版)浙教版
单元测试(四)[范围:三角形限时:45分钟满分:100分]一、选择题(每题5分,共30分)1.下列各组数可能是一个三角形的三边长的是()A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,112.若△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的面积比为()A.1∶3B.1∶9C.3∶1D.1∶3.如图D4-1,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sin α-cos α=()图D4-1A.B.-C.D.-4.如图D4-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为()图D4-2A.12B.6C.6D.65.如图D4-3,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,有下列说法:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的垂直平分线上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中正确说法的个数是()图D4-3A.1B.2C.3D.46.矩形ABCD与CEFG如图D4-4放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连结AF,取AF的中点H,连结GH,若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=()图D4-4A.1B.C.D.二、填空题(每题5分,共30分)7.我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k,若k=,则该等腰三角形的顶角为度.8.如图D4-5,∠A=∠D,AC=DF,则需要补充条件(写出一个即可),才能使△ABC≌△DEF.图D4-59.如图D4-6,在五角星中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为.图D4-610.如图D4-7,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为图D4-711.如图D4-8,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F分别为AC,CD的中点,∠D=α,则∠BEF的度数为.(用含α的式子表示)图D4-812.已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P,若点P到AB所在直线的距离是1,点P到AC所在直线的距离是2,则点P到BC所在直线的最小距离和最大距离分别是.三、解答题(共40分)13.(8分)如图D4-9,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的结论.图D4-914.(8分)如图D4-10,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°,此时教学楼顶端G恰好在视线DH上,再向前走7米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°,A,B,C三点在同一水平线上.(1)计算古树BH的高;(2)计算教学楼CG的高.(参考数据:≈1.4,≈1.7)图D4-1015.(12分)随州市新蹶水一桥(如图D4-11①)设计灵感来源于市花——兰花,采用蝴蝶兰斜拉桥方案,设计长度为258米,宽32米,为双向六车道,2018年4月3日通车.斜拉桥又称斜张桥,主要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图D4-11②所示,索塔AB和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC)均在同一水平面内,BC在水平桥面上.已知∠ABC=∠DEB=45°,∠ACB=30°,BE=6米,AB=5BD.(1)求最短的斜拉索DE的长;(2)求最长的斜拉索AC的长.图D4-1116.(12分)如图D4-12,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点,且PD⊥AD.(1)证明:∠BDC=∠PDC;(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE∶CP=2∶3,求AE的长.图D4-12参考答案1.C2.B[解析] 相似三角形的面积比等于相似比的平方.3.D[解析] 根据大正方形面积为169得到直角三角形斜边为13,小正方形面积为49得直角边的差为7,想到直角边为12和5,得到sinα-cosα=-=-,故选D.4.D[解析] 连结B'B.∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,∴CA=CA'.又∵∠A=60°,∴△AA'C为等边三角形,∴∠ACA'=60°,即旋转角为60°,∴∠BCB'=∠ACA'=60°,∴△BB'C为等边三角形,∴BB'=BC.又∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,∴BB'=BC=6.5.D6.C[解析] 过点H作HM垂直于CG于点M,设AF交CG于点O.根据题意可知△GOF∽△DOA,∴===,所以OF=OA=AF,即AF=3OF,因为点H是AF的中点,所以OH=AF-AF=AF,即AF=6OH,所以OH=OF.根据已知条件可知△HOM∽△FOG,可以推出HM=;同理,通过△HOM∽△AOD,可以推出DM=DG,即GM=DG=.在Rt△GHM中,GH==.故选C.7.36[解析] 设顶角为α,则其底角为(180°-α),由k=,可得(180°-α)=2α,解得α=36°.8.答案不唯一,如∠BCA=∠EFD或AB=DE9.180°10.411.270°-3α[解析] ∵∠ACD=90°,∴∠CAD=90°-∠D=90°-α,∵E,F分别为AC,CD的中点,∴EF∥AD,∴∠CEF=∠CAD=90°-α.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=90°-α,∵∠ABC=90°,E为AC的中点,∴AE=BE,∴∠EBA=∠BAC=90°-α,∴∠BEC=180°-2α,∴∠BEF=270°-3α.12.1,7[解析] 根据题意画出相应的图形,直线DM与直线NF与AB的距离都为1,直线NG与直线ME与AC的距离都为2,当P与N重合时,HN为P到BC的最小距离;当P与M重合时, MQ为P到BC的最大距离.根据题意得△NFG与△MDE都为等边三角形,∴DB=FB==,CE=CG==,∴DE=DB+BC+CE=++=,FG=BC-BF-CG=,∴NH=FG=1,MQ=DE=7.故点P到BC所在直线的最小距离和最大距离分别是1,7.13.解:DF=AE.证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C.∵CE=BF,∴CE-EF=BF-EF,即CF=BE.在△ABE和△DCF中,∴△ABE≌△DCF.∴DF=AE.14.解:(1)在Rt△DEH中,∵∠DEH=90°,∠HDE=45°,∴HE=DE=7米.∴BH=HE+BE=7+1.5=8.5(米).(2)设EF=x米,在Rt△GEF中,∵∠GFE=90°,∠GEF=60°,∴GF=EF·tan60°=x.在Rt△GDF中,∵∠GFD=90°,∠GDF=45°,∴DF=GF.∴7+x=x.将≈1.7代入上式,解得x≈10.GF=x≈17.∴GC=GF+FC=18.5(米).15.解:(1)∵∠ABC=∠DEB=45°,∴∠BDE=90°,BD=DE,在Rt△BDE中,DE=BE·sin∠ABC=6×sin45°=3(米).即最短斜拉索DE的长为3米.(2)过点A作AM⊥BC于点M,由(1)知,BD=DE=3,AB=5BD=5×3=15.在Rt△ABM中,AM=AB·sin∠ABC=15×sin45°=15(米).∵∠ACB=30°,∠AMC=90°,∴AC=2AM=2×15=30(米).即最长斜拉索AC的长为30米.16.[解析] (1)利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC;(2)过点C作CM⊥PD于点M,由相似的证明方法,得出△CPM∽△APD,利用对应边成比例的关系,求出EC的长即可得出答案.解:(1)证明:∵AB=AD,AC平分∠BAD,∴AC⊥BD,∴∠ACD+∠BDC=90°.∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.∵PD⊥AD,∴∠ADC+∠PDC=90°,∴∠BDC=∠PDC.(2)如图,过点C作CM⊥PD于点M,∵∠BDC=∠PDC,∴CE=CM.∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P, ∴△CPM∽△APD,∴=.设CM=CE=x,∵CE∶CP=2∶3,∴PC=x.∵AB=AD=AC=1,∴=,解得x=或x=0(舍去),∴AE=1-=.。
2019年全国各地中考数学真题分类汇编：三角形(浙江专版)(解析卷)
2019年全国各地中考数学真题分类汇编（浙江专版）三角形参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴＝，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴＝，∴＝．故选：C．2．（2019•宁波）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°解：设AB与直线n交于点E，则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．又直线m∥n，∴∠2＝∠AED＝70°．故选：C．3．（2019•温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米解：作AD⊥BC于点D，则BD＝0.3＝，∵cosα＝，∴sinα＝，解得，AB＝米，故选：B．4．（2019•杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a•cos x+b•sin x，故选：D．5．（2019•湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．42解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•DH+BC•CD＝×6×4+×9×4＝30，故选：B．6．（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．7．（2019•金华）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（）A．∠BDC＝∠αB．BC＝m•tanαC．AO＝D．BD＝解：A、∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝OB＝CO＝DO，∴∠DBC＝∠ACB，∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，故本选项不符合题意；B、在Rt△ABC中，tanα＝，即BC＝m•tanα，故本选项不符合题意；C、在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝m，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∴在Rt△DCB中，BD＝，故本选项不符合题意；故选：C．8．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1B．C．D．2解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度＝×2＝．故选：C．二．填空题（共6小题）9．（2019•宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB 约为567米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈567（米）故答案是：567．10．（2019•温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为（5+5）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为4分米．解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP＝∠COD＝30°，∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝OA＝5（分米），∴AM＝AQ+MQ＝5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2（分米），在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝＝2，∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，∴B′E′﹣BE＝4．故答案为5+5，4．11．（2019•湖州）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h 约为120cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，∴∠F AB＝∠BOE＝37°，在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，∴h＝AF＝AB•cos∠F AB＝150×0.8＝120cm，故答案为：12012．（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠P AD＝30°，以点B为圆心，AB 长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为15°或45°．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，∴∠ADE＝45°，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，∴△AE′M为等边三角形，∴∠E′AM＝60°，∴∠DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∵AD＝AE′，∴∠ADE′＝15°，故答案为：15°或45°．13．图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣45cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256cm2．解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点的路程之比为5：4（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝AB＝25cm，∴B运动的路程为（50﹣25）cm∵B、C两点的路程之比为5：4∴此时点C运动的路程为（50﹣25）×＝（40﹣20）cm∴BC＝（50﹣25）+（40﹣20）＝（90﹣45）cm故答案为：90﹣45；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B运动的路程为50﹣30＝20cm∴C运动的路程为16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积＝﹣30×40﹣24×32＝2256cm2．∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．14．（2019•衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．解：∵sinα＝，∴AD＝AC•sinα≈2×0.77＝1.5，故答案为：1.5三．解答题（共9小题）15．（2019•杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴P A＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．16．（2019•嘉兴）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．解：（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形如图1所示；（2）如图2所示．17．（2019•温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．18．（2019•宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）解：（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．19．（2019•温州）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．解：（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．20．（2019•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF∥BC，EF∥AB，∴DF∥BE，EF∥BD，∴四边形BEFD是平行四边形；（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，∴DF＝DB＝DA＝AB＝3，∵四边形BEFD是平行四边形，∴四边形BEFD是菱形，∵DB＝3，∴四边形BEFD的周长为12．21．（2019•衢州）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF．求证：AE＝AF．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝CF．22．（2019•金华）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．解：如图：从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F，则EG平分BC；EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定F点，则EF⊥AC；借助圆规作AB的垂直平分线即可；23．（2019•嘉兴）某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.73）解：（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1，（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，在Rt△CPD中，DP＝CP×cos70°≈0.51（米），在Rt△BCN中，CN＝BC×cos30°≈1.04（米），所以，DE＝DP+PQ+QE＝DP+CN+AB＝2.35（米），如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，在Rt△CKD中，DK＝CD×cos50°≈1.16（米），所以，DH＝DK+KH＝3.16（米），所以，DH﹣DE＝0.8（米），所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米．。
浙江省2019年中考数学复习(含近9年中考真题) 第一部分考点研究第四单元三角形第17课时 三角形的基础知识
第一部分考点研究第四单元三角形第17课时三角形的基础知识浙江近9年中考真题精选命题点1三角形的三边关系(杭州2考，温州2013.4，绍兴2016.22)1. (2013温州4题4分)下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )A. 1，2，4B. 4，5，9C. 4，6，8D. 5，5，112. (2017嘉兴2题3分)长度分别为2、7、x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是( )A. 4B. 5C. 6D. 93. (2012杭州20题10分)有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.(1)请写出其中一个三角形的第三条边的长；(2)设组中最多有n个三角形，求n的值；(3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．4. (2016绍兴22题12分)如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2 cm，BC＝5 cm，如图，量得第四根木条CD＝5 cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由；(2)若固定二根木条AB，BC不动，AB＝2 cm，BC＝5 cm，量得木条CD＝5 cm，∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取到的一个值(直接写出一个即可)；(3)若固定一根木条AB不动，AB＝2 cm，量得木条CD＝5 cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A，C，D能构成周长为30 cm的三角形．求出木条AD，BC的长度．第4题图命题点2三角形内角和及内外角关系(台州2013.13)5. (2012嘉兴8题4分)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )A. 40°B. 60°C. 80°D. 90°6.(2013台州13题5分)如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D＝________________________________________________________________________度．第6题图7.(2016丽水12题4分)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC 相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．第7题图命题点3三角形中的重要线段(杭州2015.22，台州3考，温州2013.18涉及)8. (2017台州5题4分)如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD ＝2，则点P到边OA的距离是( )A. 1B. 2C. 3D. 4第8题图9. (2012台州6题5分)如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为( )A . 5B . 10C . 20D . 40第9题图10. (2014台州3题4分)如图，跷跷板AB 的支柱OD 经过它的中点O ，且垂直于地面BC ，垂足为D ，OD ＝50 cm ，当它的一端B 着地时，另一端A 离地面的高度AC 为( )A . 25 cmB . 50 cmC . 75 cmD . 100 cm第10题图11. (2017湖州6题3分)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝6，点P 是Rt △ABC 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于( )A . 1B . 2C . 32D . 2第11题图12. (2013义乌15题4分)如图，AD ⊥BC 于点D ，D 为BC 的中点，连接AB ，∠ABC 的平分线交AD 于点O ，连接OC ，若∠AOC ＝125°，则∠ABC ＝________.第12题图13. (2015杭州22题12分)如图，在△ABC 中(BC >AC )，∠ACB ＝90°，点D 在AB 边上，DE ⊥AC 于点E .(1)若AD DB ＝13，AE ＝2，求EC 的长；(2)设点F 在线段EC 上，点G 在射线CB 上，以F ，C ，G 为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG 交CD于点P.问：线段CP 可能是△CFG 的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．第13题图答案1．C 【解析】本题考查三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．A .∵1＋2＜4，∴本组数不能构成三角形．故本选项错误；B .∵4＋5＝9，∴本组数不能构成三角形．故本选项错误；C .∵4＋6＞8，∴本组数可以构成三角形．故本选项正确；D .∵5＋5＜11，∴本组数不能构成三角形．故本选项错误．2．C 【解析】根据三角形的三边关系：三角形的一边大于另外两边之差的绝对值，小于另外两边之和，可得：7－2<x<7＋2，即5<x<9.3．解：(1)第三边长为6(2<边长<12中，任取整数边长即可)；(3分)(2)设第三边长为L ，由三角形的性质可得：7－5<L<7＋5， 即2<L<12，而组中最多有n 个三角形且三边长均为整数， ∴L ＝3，4，5，6，7，8，9，10，11，则n ＝9；(6分)(3)在这组三角形个数最多时，即n ＝9，要使三角形周长为偶数因两条定边的和为12, 所以第三边也必须为偶数， 则L ＝4，6，8，10， ∴P(A)＝49.(10分)4．解：(1)相等．第4题解图如解图，连接AC ，∵AB ＝DA ＝2，BC ＝CD ＝5，AC ＝AC ， ∴△ABC ≌△ADC (SSS )， ∴∠B ＝∠D ；(2分)(2)答案不唯一，只要满足29－5≤AD≤29＋5即可，如AD ＝5 cm ；(5分)【解法提示】∵AB ＝2 cm ，BC ＝5 cm ，且∠B＝90°，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝29，根据三角形三边关系可知，29－5≤AD ≤29＋5. (3)设AD ＝x cm ，BC ＝y cm ，根据题意得， 当点C 在点D 的右侧时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝y ＋5x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝10，(7分) 当点C 在点D 的左侧时，⎩⎨⎧y ＝x ＋5＋2x ＋()y ＋2＋5＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝15，(9分)此时AC ＝17 cm ，CD ＝5 cm ，AD ＝8 cm ，∵5＋8＜17，∴不合题意． ∴AD ＝13 cm ，BC ＝10 cm .(10分) 5．A6．36 【解析】∵AB ∥DC ，DE ∥GF ，∠B ＝∠F ＝72°，∴∠DCE ＝∠B ＝72°，∠DEC ＝∠F ＝72°，在△CDE 中，∠D ＝180°－∠DCE －∠DEC ＝180°－72°－72°＝36°.7．70° 【解析】∵MN ∥BC ，∴∠B ＝∠ADE ，∵∠A ＝63°，∠AEN ＝133°，∴∠ADE ＝∠AEN －∠A ＝133°－63°＝70°，∴∠B ＝70°.8．B 【解析】如解图，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，PG ＝PD ＝2.第8题解图9．C 【解析】由点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点可知DF 、EF 、DE 分别为BC 、AB 、AC 的中位线，所以DF ＝12BC ，EF ＝12AB ，DE ＝12AC ，又DF ＋EF ＋DE ＝10，所以BC ＋AB ＋AC ＝20.故答案为C .10．D 【解析】∵O 是AB 的中点，AC ⊥BC ，OD ⊥BC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2OD ＝100 cm .11．A 【解析】如解图连接线段CP 交AB 于点D ，则CD 是AB 边上的中线，C D ＝AD ＝3，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CD 是AB 边上的高，∵CP ＝2DP ，∴DP 为1，即点P 到AB 所在直线的距离等于1.12．70° 【解析】∵AD ⊥BC ，∠AOC ＝125°，∴∠C ＝∠AOC －∠ADC ＝125°－90°＝35°，∵D 为BC 的中点，AD ⊥B C ，∴OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠C ＝35°，∵OB 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠OBC ＝2×35°＝70°.13．解：(1)∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∴AD DB ＝AEEC，(3分) ∵AD DB ＝13，AE ＝2， ∴2EC ＝13， 解得EC ＝6；(5分) (2)分三种情况：①当∠ECD ＝∠CFG 时，即∠1＝∠4，如解图①， ∴CP ＝FP ，第13题解图①∵∠FCG ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°， 又∵∠1＝∠4， ∴∠2＝∠3，(7分) ∴CP ＝PG ， ∴CP ＝FP ＝PG ，∴CP 是△CFG 的中线；(9分) ②当∠ECD ＝∠CGF 时，如解图②，第13题解图②∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∴∠CGP＋∠PCG＝90°，∴CP⊥FG，∴CP是△CFG的高线；(11分)③当CD为∠ACB的平分线时，如解图③第13题解图③CP既是△CFG的高线又是中线．综上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等时，线段CP可能是△CFG的高线，也可能是中线．(12分)。
2019年浙江省中考数学测试试卷附解析
2019年浙江省中考数学测试试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．二次函数y ＝2（x －1）2＋1先向左平移l 个单位，再向上平移1个单位后得解析式为 y ＝2x 2＋bx ＋c ，则b, c 分别为（ ）A ．－8, 0B ．－8, 2C ． 0, 2D ．0, 02．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较 大的半圆面积，则这个三角形为 （ ）A ．锐角三角形或钝角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形3．若二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是y 轴，则必须有（ ）A ． b 2 =4acB ．b=c=0C ．b=2aD ． b=04．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等），任取一个两位数，是“上升数”的概率是（ ）A ．21B ．52C ．53D ．187 5．如图，在△ABC 中，∠B = 90°，DE ∥AC ，交AB 边于点 D ，交BC 边于点E. 若∠C = 30°，则∠1 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°6．要使分式2143x x -+的值为 0，则x 的值应为（ ） A ．1 B ．-1 C ．34- D ．1±7．甲、乙、丙三个同学排成一排拍照，则甲排在中间的概率是（ ）A ．16B ．14C ．13D ．128．如图，点E 在BC 上，ED 丄AC 于F ，交BA 的延长线于D ，已知∠D ＝30°，∠C ＝20°，则∠B 的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50° 9． 如图所示，将△ABC 沿着XY 方向平移一定的距离就得到△MNL ，则下列结论中正确的是（ ）①AM ∥BN ；②AM=BN ；③BC=ML ；④∠ACB=∠MNLA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．下列图形能比较大小的是 （ ）A ．直线与线段B ．直线与射线C ．两条线段D ．射线与线段 11．下列物体的形状，类似于圆柱的个数是（ ）①篮球②书本③标枪头④罐头 ⑤水管A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题12．已知sinA =23，则cosA = ． 13．反比例函数x m y 12--=(m 为常数)的图像如图所示，则m 的取值范围是________． 14．写出一个开口向下，对称轴是直线 x=3，且与y 轴交点是(0，一2)的抛物线的解析 式： ．15． 如图所示，一滑梯 AB 的坡比为 3：4，若滑梯 AB 的长为 lO cm ，则滑梯的顶端离地面的距离 BC= m.16．在如图中添加小正方形，使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱. 不同的添法共有 种.17． 在二元一次方程4314x y -=中，若x ，y 互为相反数，则 x = ．18．三角形中线将三角形的 平分．19．如图，将△ABC 沿CA 方向平移CA 长，得△EFA ，若△ABC 的面积为3cm 2，则四边形BCEF 的面积是__________cm 2．20．一个立方体的体积是125cm 3,则它的棱长是 cm ． 三、解答题21．在△ABC 中，∠A =105°，∠B = 45°，AB = 2，求 AC 的长.22．如图，点P为⊙O的直径EF 延长线上一点，PA交⊙O于点 B．A，PC 交⊙O于点 D．C 两点，∠1=∠2，求证：PB=PD．23．如图，在□ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，求□ABCD的周长．24．如图所示，□ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD，∠DCB．求证：AFCE是平行四边形．25．在□ABCD中，AE，AF分别是BC，CD边上的高，AF与BC交于点G，AE=2 cm，AF=5 cm，∠EAF=30°，求□ABCD各内角的度数和AB，AD的长．26．为配合新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有l万名学生参加了这次竞赛(满分l00分，得分全是整数)．为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取500名学生的竞赛成绩进行了统计，整理见下表：组别分组频数149.5～59.560259.5～69.5120369.5～79.5180479.5～89.5130089.5～99.5b合计a请解答下列问题：(1)上表中a= ,b= ．(2)被抽取的学生成绩的中位数落在第小组内．(3)若成绩在90分以上(含90分)的学生获一等奖，则全市获一等奖的人数大约为人．27．如图，适当地改变方格图中的平行四边形的部分位置，并保持面积不变，先使其成为矩形，再将矩形向下平移 3个格后，继续改变其中某些部分的位置并保持面积不变，使其成为菱形. 说明在变化过程中所运用的图形变换.28．已知方程21|28|(5)02x x y a -+--=．(1）当0y >时，求a 的取值范围；(2）当0y <时，求a 的取值范围．29．在下图中，将图中的小船沿箭头方向平移6格，作出平移后的图形．30．用简便方法计算：(1)12114()()(1)(1)(1)23435-⨯-⨯-⨯-⨯- (2 ) (-5.25 )×(-4.73 )-4.73 ×(-19.75)-25×(-5.27).【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．D3．D4．B5．C6．D．7．C8．C9．B10．C11．B二、填空题12． 53 13． 21-<m 14． 2(3)7y x =--+(答案不唯一)．15．616．417．2, -218．面积19．920．5三、解答题21．如图，过A 作 AH ⊥BC 于H ，∵∠B= 45°, AB= 2，AH=BH=2,∠HAC=60°， ∠C=30°，∴222AC AH ==22．过点O 作OH ⊥AB ，OG ⊥CD ，垂足分别为 H 、G ．∴∠OHP=∠OGP=90°， ∵∠1=∠2，OP=OP ，∴Rt △OHP ≌Rt △OGP(AAS)，∴PH= PG ，OH= OG ， ∵OH ⊥AB ，OG ⊥CD ，∴AB= CD ，BH= DG ，∴PB=PD ．23．□ABCD的周长为20cm24．证明AE∥CF即可25．30°，150°，30°，l50°，AB=4 cm， AD=10cm 26．(1)500，10；(2)3；(3)20027．图略28．(1)a<20；(2)a>2029．略30．(1)35(2)250。
历年(2019-2021)浙江省中考数学真题专项(三角形)练习汇编(附答案)
B．5，6，10
C．5，5，11
）
D．5，6，11
11．（2019•金华）若长度分别为 a，3，5 的三条线段能组成一个三角形，则 a 的值可以是（
B．2
A．1
C．3
）
D．8
12．
（2019•宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图 1，
）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
7．（2020•宁波）△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形 ABC
内．若求五边形 DECHF 的周长，则只需知道（
）
A．△ABC 的周长
B．△AFH 的周长
C．四边形 FBGH 的周长
D．四边形 ADEC 的周长
A．24
B．30
C．36
D．42
二．填空题（共 5 小题）
15．（2021•绍兴）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝70°，以点 C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线
BC 于点 P，连结 AP，则∠BAP 的度数是
．
16．（2021•绍兴）已知△ABC 与△ABD 在同一平面内，点 C，D 不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，
）
A．60°
B．65°
C．75°
D．80°
9．（2019•杭州）在△ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（
）
A．必有一个内角等于 30°
B．必有一个内角等于 45°
C．必有一个内角等于 60°
D．必有一个内角等于 90°
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单元测试(四)[范围:三角形限时:45分钟满分:100分]一、选择题(每题5分,共30分)1.下列各组数可能是一个三角形的三边长的是()A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,112.若△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的面积比为()A.1∶3B.1∶9C.3∶1D.1∶3.如图D4-1,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sin α-cos α=()图D4-1A.B.-C.D.-4.如图D4-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为()图D4-2A.12B.6C.6D.65.如图D4-3,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,有下列说法:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的垂直平分线上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中正确说法的个数是()图D4-3A.1B.2C.3D.46.矩形ABCD与CEFG如图D4-4放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连结AF,取AF的中点H,连结GH,若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=()图D4-4A.1B.C.D.二、填空题(每题5分,共30分)7.我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k,若k=,则该等腰三角形的顶角为度.8.如图D4-5,∠A=∠D,AC=DF,则需要补充条件(写出一个即可),才能使△ABC≌△DEF.图D4-59.如图D4-6,在五角星中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为.图D4-610.如图D4-7,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为图D4-711.如图D4-8,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F分别为AC,CD的中点,∠D=α,则∠BEF的度数为.(用含α的式子表示)图D4-812.已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P,若点P到AB所在直线的距离是1,点P到AC所在直线的距离是2,则点P到BC所在直线的最小距离和最大距离分别是.三、解答题(共40分)13.(8分)如图D4-9,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的结论.图D4-914.(8分)如图D4-10,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°,此时教学楼顶端G恰好在视线DH上,再向前走7米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°,A,B,C三点在同一水平线上.(1)计算古树BH的高;(2)计算教学楼CG的高.(参考数据:≈1.4,≈1.7)图D4-1015.(12分)随州市新蹶水一桥(如图D4-11①)设计灵感来源于市花——兰花,采用蝴蝶兰斜拉桥方案,设计长度为258米,宽32米,为双向六车道,2018年4月3日通车.斜拉桥又称斜张桥,主要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图D4-11②所示,索塔AB和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC)均在同一水平面内,BC在水平桥面上.已知∠ABC=∠DEB=45°,∠ACB=30°,BE=6米,AB=5BD.(1)求最短的斜拉索DE的长;(2)求最长的斜拉索AC的长.图D4-1116.(12分)如图D4-12,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点,且PD⊥AD.(1)证明:∠BDC=∠PDC;(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE∶CP=2∶3,求AE的长.图D4-12参考答案1.C2.B[解析] 相似三角形的面积比等于相似比的平方.3.D[解析] 根据大正方形面积为169得到直角三角形斜边为13,小正方形面积为49得直角边的差为7,想到直角边为12和5,得到sinα-cosα=-=-,故选D.4.D[解析] 连结B'B.∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,∴CA=CA'.又∵∠A=60°,∴△AA'C为等边三角形,∴∠ACA'=60°,即旋转角为60°,∴∠BCB'=∠ACA'=60°,∴△BB'C为等边三角形,∴BB'=BC.又∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,∴BB'=BC=6.5.D6.C[解析] 过点H作HM垂直于CG于点M,设AF交CG于点O.根据题意可知△GOF∽△DOA,∴===,所以OF=OA=AF,即AF=3OF,因为点H是AF的中点,所以OH=AF-AF=AF,即AF=6OH,所以OH=OF.根据已知条件可知△HOM∽△FOG,可以推出HM=;同理,通过△HOM∽△AOD,可以推出DM=DG,即GM=DG=.在Rt△GHM中,GH==.故选C.7.36[解析] 设顶角为α,则其底角为(180°-α),由k=,可得(180°-α)=2α,解得α=36°.8.答案不唯一,如∠BCA=∠EFD或AB=DE9.180°10.411.270°-3α[解析] ∵∠ACD=90°,∴∠CAD=90°-∠D=90°-α,∵E,F分别为AC,CD的中点,∴EF∥AD,∴∠CEF=∠CAD=90°-α.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=90°-α,∵∠ABC=90°,E为AC的中点,∴AE=BE,∴∠EBA=∠BAC=90°-α,∴∠BEC=180°-2α,∴∠BEF=270°-3α.12.1,7[解析] 根据题意画出相应的图形,直线DM与直线NF与AB的距离都为1,直线NG与直线ME与AC的距离都为2,当P与N重合时,HN为P到BC的最小距离;当P与M重合时, MQ为P到BC的最大距离.根据题意得△NFG与△MDE都为等边三角形,∴DB=FB==,CE=CG==,∴DE=DB+BC+CE=++=,FG=BC-BF-CG=,∴NH=FG=1,MQ=DE=7.故点P到BC所在直线的最小距离和最大距离分别是1,7.13.解:DF=AE.证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C.∵CE=BF,∴CE-EF=BF-EF,即CF=BE.在△ABE和△DCF中,∴△ABE≌△DCF.∴DF=AE.14.解:(1)在Rt△DEH中,∵∠DEH=90°,∠HDE=45°,∴HE=DE=7米.∴BH=HE+BE=7+1.5=8.5(米).(2)设EF=x米,在Rt△GEF中,∵∠GFE=90°,∠GEF=60°,∴GF=EF·tan60°=x.在Rt△GDF中,∵∠GFD=90°,∠GDF=45°,∴DF=GF.∴7+x=x.将≈1.7代入上式,解得x≈10.GF=x≈17.∴GC=GF+FC=18.5(米).15.解:(1)∵∠ABC=∠DEB=45°,∴∠BDE=90°,BD=DE,在Rt△BDE中,DE=BE·sin∠ABC=6×sin45°=3(米).即最短斜拉索DE的长为3米.(2)过点A作AM⊥BC于点M,由(1)知,BD=DE=3,AB=5BD=5×3=15.在Rt△ABM中,AM=AB·sin∠ABC=15×sin45°=15(米).∵∠ACB=30°,∠AMC=90°,∴AC=2AM=2×15=30(米).即最长斜拉索AC的长为30米.16.[解析] (1)利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC;(2)过点C作CM⊥PD于点M,由相似的证明方法,得出△CPM∽△APD,利用对应边成比例的关系,求出EC的长即可得出答案.解:(1)证明:∵AB=AD,AC平分∠BAD,∴AC⊥BD,∴∠ACD+∠BDC=90°.∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.∵PD⊥AD,∴∠ADC+∠PDC=90°,∴∠BDC=∠PDC.(2)如图,过点C作CM⊥PD于点M,∵∠BDC=∠PDC,∴CE=CM.∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P,∴△CPM∽△APD,∴=.设CM=CE=x,∵CE∶CP=2∶3,∴PC=x.∵AB=AD=AC=1,∴=,解得x=或x=0(舍去), ∴AE=1-=.。