中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形第15讲等腰三角形与直角三角形精练试题

第十五讲 等腰三角形与直角三角形
(时间：45分钟)
一、选择题
1.如图,已知等腰三角形ABC,AB ＝AC,若以点B 为圆心,BC 长为半径画弧,交腰AC 于点E,则下列结论一定正确的是( C )
A .AE ＝EC
B .AE ＝BE
C .∠EBC ＝∠BAC
D .∠EBC ＝∠ABE
,(第1题图)
,(第2题图)
2.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD ,AE 与AB 的夹角为48°,若CF 与EF 的长度相等,则∠C
的度数为( D )
A .48°
B .40°
C .30°
D .24°
3.如图,△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形,△BCD 中,∠DBC ＝90°,∠BCD ＝60°,DC 的中点为E,AD 与BE 的延长线交于点F,则∠AFB 的度数为( B )
A .30°
B .15°
C .45°
D .25°
,(第3题图)
,(第5题图)
4.已知等腰三角形的两条边长分别为2和3,则它的周长为( D )
A .7
B .8
C .5
D .7或8
5.如图,在△ABC 中,∠ACB ＝90°,CD ⊥AB,垂足为D,点E 是AB 的中点,CD ＝DE ＝a,则AB 的长为( B )
A .2a
B .22a
C .3a
D .
43
3
6.一次函数y ＝x ＋1的图象交x 轴于点A,交y 轴于点B.点C 在x 轴上,且使得△ABC 是等腰三角形,符合题意的点C 有( C )
A .2个
B .3个
C .4个
D .5个
二、填空题
7.如图,在△ABC 中,∠B ＝__25°__.
8.如图,已知直线l 1∥l 2,将等边三角形如图放置,若α＝40°,则β等于__20°__.
,(第7题图) ,(第8题图) ,(第9题图)
9.如图,已知△ABC中,AB＝AC,AD平分∠BAC,E是AC的中点,若AB＝6,则DE的长为__3__.
10.如图,已知Rt△ABE中,∠A＝90°,∠B＝60°,BE＝10,D是线段AE上的一动点,过D作CD交BE于C,并使得∠CDE＝30°,则CD长度的取值范围是__0＜CD≤5__.
,(第10题图) ,(第11题图)
11.如图,在△ABC中,AB＝AC＝6,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,连结AD,若AD＝4,则DC＝__5__.
12.在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,则DE＋DF＝__23__.
三、解答题
13.如图,在△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD＝DE.
(1)若∠C＝40°,求∠BAD的度数；
(2)若AC＝5,DC＝4,求△ABC的周长.
解：(1)∵EF垂直平分AC,∴AE＝CE,
∴∠C＝∠EAC＝40°.
∵AD⊥BC,BD＝DE,
∴AB＝AE,
∴∠B＝∠BEA＝2∠C＝80°,
∴∠BAD＝90°－80°＝10°；
(2)由(1)知AE＝EC＝AB.∵BD＝DE,
∴AB＋BD＝DE＋AE＝DE＋CE＝DC,
∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝2DC＋AC＝2×4＋5＝13.
14.在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,若CD＝2,过点D作DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,求EF的长.
解：∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B ＝∠ACB＝60°.
∵DE ∥AB,∴∠EDC ＝∠B＝60°, ∴△EDC 是等边三角形,∴DE ＝DC ＝2. 在Rt △DEF 中,∠DEF ＝90°,∠EDF ＝60°, ∴EF ＝DE·tan 60°＝2 3.
15.如图,四边形ABCD 中,∠ABC ＝∠ADC＝90°,BD 平分∠ABC ,∠DCB ＝60°,AB ＋BC ＝8,则AC 的长是__86
3
__.
16.如图①,△ABC 是边长为4 cm 的等边三角形,边AB 在射线OM 上,且OA ＝6 cm .点D 从O 点出发,沿OM 的方向以1 cm /s 的速度运动.当D 不与点A 重合时,将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ,连结DE.
(1)求证：△CDE 是等边三角形；
(2)如图②,当6＜t ＜10时,△BDE 的周长是否存在最小值？若存在,求出△BDE 的最小周长；若不存在,请说明理由；
(3)如图③,当点D 在射线OM 上运动时,是否存在以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在,求出此时t 的值；若不存在,请说明理由.
(1)证明：∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ,∴∠DCE ＝60°,DC ＝EC, ∴△CDE 是等边三角形；
(2)存在.当6＜t ＜10时,由旋转得BE ＝AD, ∴C △BDE ＝BE ＋DB ＋DE ＝AB ＋DE ＝4＋DE. 由(1)知,△CDE 是等边三角形, ∴DE ＝CD,∴C △BDE ＝CD ＋4.
由垂线段最短可知,当CD⊥AB 时,△BDE 的周长最小,此时C D ＝2 3 cm , ∴△BDE 的最小周长为(23＋4) cm ； (3)存在.
①∵当点D 与点B 重合时,D 、B 、E 不能构成三角形,∴当点D 与点B 重合时,不符合题意； ②当0≤t＜6时,由旋转可知,∠ABE ＝60°, ∠BDE ＜60°,∴∠BED ＝90°. 由(1)可知,△CDE 是等边三角形, ∴∠DEC ＝60°,∴∠CEB ＝30°. ∵∠CEB ＝∠CDA ,∴∠CDA ＝30°. ∵∠CAB ＝60°,∴∠ACD ＝∠ADC＝30°,
∴DA ＝CA ＝ 4 cm ,∴OD ＝OA －DA ＝6－4＝ 2 cm ,∴t ＝2÷1＝2；
③当6＜t＜10时,∠DBE＝120°＞90°,
∴此时不存在；
④当t＞10时,由旋转可得∠DBE＝60°.
又由(1)知∠CDE＝60°,
∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC,
而∠BDC＞0°,∴∠BDE＞60°,
∴只能∠BDE＝90°.
从而∠BDC＝∠BCD＝30°,∴BD＝BC＝4 cm,
∴OD＝14 cm,∴t＝14÷1＝14.
综上所述,当t＝2或14时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.
17.如图,已知AB＝A1B,A1B1＝A1A2,A2B2＝A2A3,A3B3＝A3A4,…,若∠A＝70°,则∠A n－1A n B n－1的度数为( C)
A.70
2n
B.
70
2n＋1
C.
70
2n－1
D.
70
2n＋2
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