【上海市高三数学课堂练习【26B.2016】】
2016年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2016年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).1.(4分)设x∈R,则不等式|x－3|＜1的解集为.2.(4分)设z＝,其中i为虚数单位,则z的虚部等于.3.(4分)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0,l2：2x＋y＋1＝0,则l1,l2的距离.4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是(米).5.(4分)若函数f(x)＝4sinx＋acosx的最大值为5,则常数a＝.6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,则f(x)的反函数f－1(x)＝.7.(4分)若x,y满足,则x－2y的最大值为.8.(4分)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为.9.(4分)在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于.10.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.12.(4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,－1),P是曲线y＝上一个动点,则•的取值范围是.13.(4分)设a＞0,b＞0.若关于x,y的方程组无解,则a＋b的取值范围是.14.(4分)无穷数列{an }由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).15.(5分)设a∈R,则“a＞1”是“a2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.(5分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C117.(5分)设a∈R,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )A.1B.2C.3D.418.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题：①若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题三、简答题：本大题共5题,满分74分19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.21.(14分)双曲线x 2－＝1(b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点. (1)若l 的倾斜角为,△F 1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝,若l 的斜率存在,且|AB|＝4,求l 的斜率.22.(16分)对于无穷数列{a n }与{b n },记A ＝{x|x ＝a n ,n ∈N *},B ＝{x|x ＝b n ,n ∈N *},若同时满足条件：①{a n },{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. (1)若a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数量{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16＝36,求{a n }与{b n }的通项公式. 23.(18分)已知a ∈R,函数f(x)＝log 2(＋a). (1)当a ＝1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.2016年上海市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).1.(4分)设x ∈R,则不等式|x －3|＜1的解集为 (2,4) .【分析】由含绝对值的性质得－1＜x －3＜1,由此能求出不等式|x －3|＜1的解集. 【解答】解：∵x ∈R,不等式|x －3|＜1, ∴－1＜x －3＜1, 解得2＜x ＜4.∴不等式|x －3|＜1的解集为(2,4). 故答案为：(2,4). 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法,是基础题,解题时要认真审题,注意含绝对值不等式的性质的合理运用.2.(4分)设z ＝,其中i 为虚数单位,则z 的虚部等于 －3 . 【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：z ＝＝＝－3i ＋2,则z 的虚部为－3. 故答案为：－3.【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(4分)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0,l 2：2x ＋y ＋1＝0,则l 1,l 2的距离 .【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可.【解答】解：平行直线l 1：2x ＋y －1＝0,l 2：2x ＋y ＋1＝0,则l 1,l 2的距离：＝.故答案为：.【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用,考查计算能力.4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是 1.76 (米).【分析】将数据从小到大进行重新排列,根据中位数的定义进行求解即可.【解答】解：将5位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69,1.72,1.76,1.78,1.80. 则位于中间的数为1.76,即中位数为1.76, 故答案为：1.76【点评】本题主要考查中位数的求解,根据中位数的定义,将数据从小到大进行排列是解决本题的关键.5.(4分)若函数f(x)＝4sinx ＋acosx 的最大值为5,则常数a ＝ ±3 . 【分析】利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的最大值为5,求得a 的值.【解答】解：由于函数f(x)＝4sinx＋acosx＝sin(x＋θ),其中,cosθ＝,sinθ＝,故f(x)的最大值为＝5,∴a＝±3,故答案为：±3.【点评】本题主要考查辅助角公式,正弦函数的值域,属于基础题.(x－1)(x 6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,则f(x)的反函数f－1(x)＝log2＞1) .【分析】由于点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,可得9＝1＋a3,解得a＝2.可得f(x)＝1(y－1),(y＞1).把x与y互换即可得出f(x)的反函数f－1(x). ＋2x,由1＋2x＝y,解得x＝log2【解答】解：∵点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,∴9＝1＋a3,解得a＝2.(y－1),(y＞1).∴f(x)＝1＋2x,由1＋2x＝y,解得x＝log2把x与y互换可得：f(x)的反函数f－1(x)＝log(x－1).2(x－1),(x＞1).故答案为：log2【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.(4分)若x,y满足,则x－2y的最大值为－2 .【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.【解答】解：画出可行域(如图),设z＝x－2y⇒y＝x－z,由图可知,当直线l经过点A(0,1)时,z最大,且最大值为z＝0－2×1＝－2.max故答案为：－2.【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.8.(4分)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为或.【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式,然后求解即可.【解答】解：方程3sinx＝1＋cos2x,可得3sinx＝2－2sin2x,即2sin2x＋3sinx－2＝0.可得sinx＝－2,(舍去)sinx＝,x∈[0,2π]解得x＝或.故答案为：或.【点评】本题考查三角方程的解法,恒等变换的应用,考查计算能力.9.(4分)在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于112 . 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n＝256,求得 n＝8.在展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项.【解答】解：∵在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,∴2n＝256,解得n＝8,＝＝,∴(－)8中,Tr＋1∴当＝0,即r＝2时,常数项为T＝(－2)2＝112.3故答案为：112.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.10.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.【分析】可设△ABC的三边分别为a＝3,b＝5,c＝7,运用余弦定理可得cosC,由同角的平方关系可得sinC,再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为,代入计算即可得到所求值. 【解答】解：可设△ABC的三边分别为a＝3,b＝5,c＝7,由余弦定理可得,cosC＝＝＝－,可得sinC＝＝＝,可得该三角形的外接圆半径为＝＝.故答案为：.【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法,注意运用正弦定理和余弦定理,考查运算能力,属于基础题.11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数,再求出选法相同的选法种数,利用古典概型概率计算公式得答案.【解答】解：甲同学从四种水果中选两种,选法种数为,乙同学的选法种数为,则两同学的选法种数为种.两同学相同的选法种数为.由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.故答案为：.【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用,考查了组合及组合数公式,是基础题. 12.(4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,－1),P是曲线y＝上一个动点,则•的取值范围是[－1,] .【分析】设出＝(x,y),得到•＝x＋,令x＝cosθ,根据三角函数的性质得到•＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋),从而求出•的范围即可.【解答】解：设＝(x,y),则＝(x,),由A(1,0),B(0,－1),得：＝(1,1),∴•＝x＋,令x＝cosθ,θ∈[0,π],则•＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋),θ∈[0,π],故•的范围是[－,1,],故答案为：[－1,].【点评】本题考查了向量的运算性质,考查三角函数问题,是一道基础题.13.(4分)设a＞0,b＞0.若关于x,y的方程组无解,则a＋b的取值范围是(2,＋∞) .【分析】根据方程组无解可知两直线平行,利用斜率得出a,b的关系,再使用基本不等式得出答案.【解答】解：∵关于x,y的方程组无解,∴直线ax＋y－1＝0与直线x＋by－1＝0平行,∴－a＝－,且.即a＝且b≠1.∵a＞0,b＞0.∴a＋b＝b＋＞2.故答案为：(2,＋∞).【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系,基本不等式的应用,属于基础题.14.(4分)无穷数列{an }由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为 4 .【分析】对任意n∈N*,Sn∈{2,3},列举出n＝1,2,3,4的情况,归纳可得n＞4后都为0或1或－1,则k的最大个数为4.【解答】解：对任意n∈N*,Sn∈{2,3},可得当n＝1时,a1＝S1＝2或3；若n＝2,由S2∈{2,3},可得数列的前两项为2,0；或2,1；或3,0；或3,－1；若n＝3,由S3∈{2,3},可得数列的前三项为2,0,0；或2,0,1；或2,1,0；或2,1,－1；或3,0,0；或3,0,－1；或3,1,0；或3,1,－1；若n＝4,由S3∈{2,3},可得数列的前四项为2,0,0,0；或2,0,0,1；或2,0,1,0；或2,0,1,－1；或2,1,0,0；或2,1,0,－1；或2,1,－1,0；或2,1,－1,1；或3,0,0,0；或3,0,0,－1；或3,0,－1,0；或3,0,－1,1；或3,－1,0,0；或3,－1,0,1；或3,－1,1,0；或3,－1,1,－1；…即有n＞4后一项都为0或1或－1,则k的最大个数为4,不同的四个数均为2,0,1,－1,或3,0,1,－1.故答案为：4.【点评】本题考查数列与集合的关系,考查分类讨论思想方法,注意运用归纳思想,属于中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).15.(5分)设a∈R,则“a＞1”是“a2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜－1,即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件,故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A,B,C的直线都和直线EF异面,而由图形即可看出直线B1C1和直线相交,从而便可得出正确选项.【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线；B 1C1和EF在同一平面内,且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交,即选项D正确.故选：D.【点评】考查异面直线的概念及判断,平行直线和相交直线的概念及判断,并熟悉正方体的图形形状.17.(5分)设a∈R,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同.【解答】解：∵对于任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则函数的周期相同,若a＝3,此时sin(3x－)＝sin(3x＋b),此时b＝－＋2π＝,若a＝－3,则方程等价为sin(3x－)＝sin(－3x＋b)＝－sin(3x－b)＝sin(3x－b＋π), 则－＝－b＋π,则b＝,综上满足条件的有序实数组(a,b)为(3,),(－3,),共有2组,故选：B.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的性质,结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键.18.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题：①若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题【分析】①举反例说明命题不成立；②根据定义得f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T),f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T),h(x)＋g(x)＝h(x＋T)＋g(x＋T),由此得出：g(x)＝g(x＋T),h(x)＝h(x＋T),f(x)＝f(x＋T),即可判断出真假.【解答】解：对于①,举反例说明：f(x)＝2x,g(x)＝－x,h(x)＝3x；f(x)＋g(x)＝x,f(x)＋h(x)＝5x,g(x)＋h(x)＝2x都是定义域R上的增函数,但g(x)＝－x不是增函数,所以①是假命题；对于②,根据周期函数的定义,f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T),f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T),h(x)＋g(x)＝h(x＋T)＋g(x＋T),前两式作差可得：g(x)－h(x)＝g(x＋T)－h(x＋T),结合第三式可得：g(x)＝g(x＋T),h(x)＝h(x＋T),同理可得：f(x)＝f(x＋T),所以②是真命题.故选：D.【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题目.三、简答题：本大题共5题,满分74分19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.【分析】(1)直接利用圆柱的体积公式,侧面积公式求解即可.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,即可求解所求角的大小.【解答】解：(1)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,圆柱的体积为：π•12•1＝π.侧面积为：2π•1＝2π.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,OB,则OB∥O1B,∴∠AOB＝,异面直线O1B1与OC所成的角的大小就是∠COB,大小为：－＝.【点评】本题考查几何体的体积侧面积的求法,考查两直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.【分析】(1)设分界线上任意一点为(x,y),根据条件建立方程关系进行求解即可.(2)设M(x0,y),则y＝1,分别求出对应矩形面积,五边形FOMGH的面积,进行比较即可.【解答】解：(1)设分界线上任意一点为(x,y),由题意得|x＋1|＝,得y＝2,(0≤x≤1),(2)设M(x0,y),则y＝1,∴x＝＝,∴设所表述的矩形面积为S3,则S3＝2×(＋1)＝2×＝,设五边形EMOGH的面积为S4,则S4＝S3－S△OMP＋S△MGN＝－××1＋＝,S 1－S3＝＝,S4－S1＝－＝＜,∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积.【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题,考查学生的运算能力,综合性较强,难度较大.21.(14分)双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝,若l的斜率存在,且|AB|＝4,求l的斜率.【分析】(1)由题意求出A点纵坐标,由△F1AB是等边三角形,可得tan∠AF1F2＝tan＝,从而求得b值,则双曲线的渐近线方程可求；(2)写出直线l的方程y－0＝k(x－2),即y＝kx－2k,与双曲线方程联立,利用弦长公式列式求得k值.【解答】解：(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,把x＝c＝代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2,由tan∠AF1F2＝tan＝＝,求得b2＝2,b＝,故双曲线的渐近线方程为y＝±bx＝±x,即双曲线的渐近线方程为y＝±x.(2)设b＝,则双曲线为 x2－＝1,F2(2,0),若l的斜率存在,设l的斜率为k,则l的方程为y－0＝k(x－2),即y＝kx－2k,联立,可得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0,由直线与双曲线有两个交点,则3－k2≠0,即k.△＝36(1＋k2)＞0.x 1＋x2＝,x1•x2＝.∵|AB|＝•|x1－x2|＝•＝•＝4,化简可得,5k4＋42k2－27＝0,解得k2＝, 求得k＝.∴l 的斜率为.【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查了双曲线的简单性质,考查弦长公式的应用,体现了“设而不求”的解题思想方法,是中档题.22.(16分)对于无穷数列{a n }与{b n },记A ＝{x|x ＝a n ,n ∈N *},B ＝{x|x ＝b n ,n ∈N *},若同时满足条件：①{a n },{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. (1)若a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数量{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16＝36,求{a n }与{b n }的通项公式. 【分析】(1){a n }与{b n }不是无穷互补数列.由4∉A,4∉B,4∉A ∪B ＝N *,即可判断；(2)由a n ＝2n ,可得a 4＝16,a 5＝32,再由新定义可得b 16＝16＋4＝20,运用等差数列的求和公式,计算即可得到所求和；(3)运用等差数列的通项公式,结合首项大于等于1,可得d ＝1或2,讨论d ＝1,2求得通项公式,结合新定义,即可得到所求数列的通项公式. 【解答】解：(1){a n }与{b n }不是无穷互补数列. 理由：由a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,可得4∉A,4∉B,即有4∉A ∪B ＝N *,即有{a n }与{b n }不是无穷互补数列； (2)由a n ＝2n ,可得a 4＝16,a 5＝32,由{a n }与{b n }是无穷互补数列,可得b 16＝16＋4＝20, 即有数列{b n }的前16项的和为(1＋2＋3＋…＋20)－(2＋4＋8＋16)＝×20－30＝180；(3)设{a n }为公差为d(d 为正整数)的等差数列且a 16＝36,则a 1＋15d ＝36, 由a 1＝36－15d ≥1,可得d ＝1或2,若d ＝1,则a 1＝21,a n ＝n ＋20,b n ＝n(1≤n ≤20), 与{a n }与{b n }是无穷互补数列矛盾,舍去； 若d ＝2,则a 1＝6,a n ＝2n ＋4,b n ＝.综上可得,a n ＝2n ＋4,b n ＝.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查运算和推理能力,属于中档题.23.(18分)已知a ∈R,函数f(x)＝log 2(＋a). (1)当a ＝1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.【分析】(1)当a ＝1时,不等式f(x)＞1化为：＞1,因此2,解出并且验证即可得出.(2)方程f(x)＋log2(x2)＝0即log2(＋a)＋log2(x2)＝0,(＋a)x2＝1,化为：ax2＋x－1＝0,对a分类讨论解出即可得出.(3)a＞0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t＋1]上单调递减,由题意可得－≤1,因此≤2,化为：a≥＝g(t),t∈[,1],利用导数研究函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)当a＝1时,不等式f(x)＞1化为：＞1,∴2,化为：,解得0＜x＜1,经过验证满足条件,因此不等式的解集为：(0,1).(2)方程f(x)＋log2(x2)＝0即log2(＋a)＋log2(x2)＝0,∴(＋a)x2＝1,化为：ax2＋x－1＝0,若a＝0,化为x－1＝0,解得x＝1,经过验证满足：关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素1.若a≠0,令△＝1＋4a＝0,解得a＝,解得x＝2.经过验证满足：关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素1.综上可得：a＝0或－.(3)a＞0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t＋1]上单调递减,∴－≤1,∴≤2,化为：a≥＝g(t),t∈[,1],g′(t)＝＝＝≤＜0,∴g(t)在t∈[,1]上单调递减,∴t＝时,g(t)取得最大值,＝.∴.∴a的取值范围是.【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.。
【上海市高三数学课堂练习【32B.2016】】
高三数学课堂练习【32.2013.1】学号⎽⎽⎽⎽⎽⎽姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽得分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽【许多事得失成败我们不可预料,也承担不起.我们只需要尽力去做,求得一份付出之后的坦然和快乐.】1.|a |=2，|b |=3，且|a +b |=7，则b a ⋅= .(2)在公差不为零的等差数列{n a }中，S m =S n （m≠ n ），则n m S += .(3) 圆5)1()2(22=-++y x 关于直线y=x 对称的圆的方程为 ． (4)1)32cos(2=-πx 的解集是 .(5) 若12)21(lim +∞→+n n r r 存在，则r 的范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. (6)设022=+-m x x 的两个根为α、β，且|α－β|=2，则实数m= ．7. 已知1z 、2z 是实系数一元二次方程的两虚根，()()R a z z i a ∈+=213ϖ，且2≤ϖ，则a 的范围为⎽⎽⎽⎽⎽⎽.8. 给出下列命题：（1）常数列既是等差数列，又是等比数列；（2）实数等差数列中，若公差d<0，则数列必是递减数列；（3）实数等比数列中，若公比q>1，则数列必是递增数列；（4）1)4142(lim =-+∞→nn n n ；（5）首项为1a ，公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =q q a n --1)1(1．其中正确命题的序号是 ．9. 解不等式：1)1(log )2(log 21221-->--x x x ．9. 在ΔABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知tanC=3，c=7，又ΔABC 的面积为S ΔABC =233，求a +b ．11. 在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案．第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种．根据上述条件，试问：（1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由）（2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，那么a 在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？12. 已知点12,F F 是双曲线M ：22221-=x y a b的左右焦点，其渐近线为=y ，且右顶点到左焦点的距离为3．（1）求双曲线M 的方程；(2)过2F 的直线l 与M 相交于A 、B 两点，直线l 的法向量为(,1),(0)=->n k k ，且0⋅= OA OB ，求k的值；(3)在(2)的条件下，若双曲线M 在第四象限的部分存在一点C 满足2+=OA OB mF C ，求m 的值及△ABC 的面积∆ABC S ．高三数学课堂练习【32B.2015.12】学号⎽⎽⎽⎽⎽⎽姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽得分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽【许多事得失成败我们不可预料,也承担不起.我们只需要尽力去做,求得一份付出之后的坦然和快乐.】 1. 向量、满足||=2，||=3，且|+|=7，则⋅= ．}3{-2. 在公差不为零的等差数列}{n a 中，)(n m S S n m ≠=，则n m S += ．03. 圆5)1()2(22=-++y x 关于直线x y =对称的圆的方程为 5)2()1(22=++-y x ．4. 方程1)32cos(2=-πx 的解集是 ．},3|{Z k k x k x x ∈=+=πππ5. 已知1z 、2z 是实系数一元二次方程的两虚根，()()R a z z i a ∈+=213ϖ，且2≤ϖ，则a 的取值范围为 []1,1- 6. 设方程022=+-m x x 的两个根为α、β，且2||=-βα，则实数m 的值是 ．2或0 7. 若12)21(lim +∞→+n n r r 存在，则r 的取值范围是31r 1-≥-≤ r 8. 给出下列命题：（1）常数列既是等差数列，又是等比数列；（2）实数等差数列中，若公差d<0，则数列必是递减数列；（3）实数等比数列中，若公比q>1，则数列必是递增数列；（4）1)4142(lim =-+∞→nn n n ；（5）首项为1a ，公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =qq a n --1)1(1．其中正确命题的序号是 ．（2）、（4） 9. 解不等式：1)1(log )2(log 21221-->--x x x ．9. 解：原不等式变形为)22(log )2(log 21221->--x x x ，所以，原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--222010222x x x x x x 即：⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-03010)1)(2(2x x x x x 即：⎩⎨⎧<<>30,2x x 故原不等式的解集为{x|2<x<3} 10. 在ΔABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知7,3tan ==c C ，又ΔABC 的面积为S ΔABC =233，求b a +的值．18．解：在ΔABC 中，因为tanC=3，所以∠C=60°，又ΔABC 的面积为S ΔABC =233，所以21absinC = 233即：ab = 6因为c=7，所以c 2 = a 2+b 2–2abcosC 即：a 2+b 2－ab = 7（a+b ）2－3ab= 7a+b= 511. 在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案．第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种．根据上述条件，试问: (1)如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由） （2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，那么a 在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？ （1）第10年末，依第一方案得 1000+2000+…+10000=55000（元） 依第二方案得300+300×2+300×3+…+300×20=63000（元） ∵63000－55000=8000（元） ∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元．（2）第n 年末，依第一方案，得：1000（1+2+3+…+n ）=500n （n+1）（元） 依第二方案，得：a （1+2+3+…+2n ）=an （2n+1） 由题意an （2n+1）>500n （n+1）对所有正整数恒成立a>3100032502501225025012)1(500=+≥++=++n n n ．∴当a>31000时，总是第二方案加薪多． 22．已知点12,F F 是双曲线M ：22221-=x y a b的左右焦点，其渐近线为=y ，且右顶点到左焦点的距离为3．（1）求双曲线M 的方程；(2)过2F 的直线l 与M 相交于A 、B 两点，直线l 的法向量为(,1),(0)=->n k k ，且0⋅= OA OB ，求k 的值；(3)在(2)的条件下，若双曲线M 在第四象限的部分存在一点C 满足2+=OA OB mF C ，求m 的值及△ABC 的面积∆ABC S ．22．解: (1) 由题意得2213-=y x ． (2) 直线l 的方程为(2)=-y k x ，由2213(2)⎧-=⎪⎨⎪=-⎩y x y k x 得2222(3)4(43)0-+-+=k x k x k （*） 所以2122212243433⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪⋅=-⎪-⎩k x x k k x x k 由0⋅= OA OB 得12120⋅+⋅=x x y y即2221212(1)2()40+⋅-++=k x x k x x k代入化简，并解得=k (3)把=k *）并化简得24490+-=x x ，此时1212194+=-⎧⎪⎨⋅=-⎪⎩x x x x ，所以||4=AB设00(,)C x y ，由2+= OA OB mF C得0012⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x m y m 代入双曲线M 的方程解得32=-m （舍），m=2，所以3(,2C ， 点C 到直线AB的距离为=d1||2∆=⋅=ABC S d AB。
上海数学教材练习册高三全一册习题精选
第14章空间直线与平面1.（册P2. 2）三个平面可以把空间分割成__________________个部分.2.（册P7. 1）“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“lα⊥”的___________条件.3.（册P8. 7）已知△ABC，点P是平面△ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的射影，且点O在△ABC内.（1）若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点O一定是△ABC的_______心；（2）若点P到△ABC的三边所在直线的距离相等，则点O一定是△ABC的_______心；（3）若PA BC⊥，PB AC⊥，PC AB⊥，则点O一定是△ABC的_______心.4.（册P10. 2）（理科）已知P是二面角ABαβ--内一点，PCα⊥，垂足为C，PDβ⊥，垂足为D，且3PC=，4PD=，60CPD∠=.（1）求二面角ABαβ--的大小；（2）求CD的长.5.（册P21. 8）（理科）如图，已知二面角lαβ--的两个面内各有一点A、B，A、B在直线l的射影分别为点C、D，3AC BD==，而4CD=，5AB=，求二面角lαβ--的大小.第15章简单几何体6.（本P29例6）如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，点P和Q位于平面11BB C C上DCBAlβαRQPB111ADBEB1D1C1ADBA（PQ 与BC 不平行），点R 位于棱11A B 上，作出由P 、Q 、R 三点确定的平面截正方体所得的截面.7. （本P30. 2）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、H 分别是棱11C D 、1CC 、AB 上的点，画出过点E 、F 、H 的正方体的截面.8. （册P25. 2）从一个底面半径和高都是R 的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底、下底面的中心为顶点的圆锥，得到一个几何体. 如果用一个与圆柱下底面距离等于d 并且平行于底面的平面去截这个几何体，求截面面积.9. （册P29. 2）已知正六棱柱最长的一条对角线长为13厘米，侧面积为180平方厘米，求这个棱柱的体积.10. （册P31. 1）维度为α的纬度圈上有甲乙两地，它们的纬度圈上的弧长等于πcos R α（R 是地球的半径），求甲乙两地的球面距离.11. （册P32. 2）现有以下三个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体. 其中真命题的序号是_______. 12. （册P32. 3）如果一个三棱锥的底面是直角三角形，那么这个三棱锥的三个侧面（ ）（A ）都不是直角三角形 （B ）至多只能有一个是直角三角形 （C ）至多只能有两个是直角三角形 （D ）可能都是直角三角形13. （册P35. 1）已知长方体1111ABCD A B C D -的高为h ，底面积为P ，对角面11BB D D 的面积为Q ，求它的侧面积.14. （册P36. 4）设AB 是球O 的直径，50AB =，1O 、2O 是AB 上的两点，平面α、β分别通过点1O 、2O ，且垂直于AB ，截得圆1O 、圆2O ，当圆1O 、圆2O 的面积分别为49π、400π时，求1O 、2O 两点的距离.第16章 排列组合与二项式定理15.（本P50例3）540的不同正约数共有多少个？16.（本P55例4）求证：11P P Pm m mn n nm-++=.17.（本P55例5）解方程：4321P140Pn n+=.18.（本P55. 2）1!2!3!100!++++的个位数为__________.19.（本P60例4）如果从7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加4100⨯接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？20.（本P61例6）将a、b、c、d、e、f六个不同元素排成一列，其中a不排在首位，b 不排在末位，有几种排法？21.（本P62. 3）A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么共有多少种不同的排法？22.（本P64例2）求证：111C C1m mn nmn+++=+.23.（本P65. 3）解不等式：46C Cn n>.24.（本P67. 3）求证：122C C2C Cm m m mn n n n--+=++.25.（本P67. 4）解方程：221818C Cx x+=.26.（本P71例3）求12(1)a+的二项展开式中倒数第5项.27.（本P73例6）已知42nxx的二项展开式中，前三项系数成等差数列，求二项展开式中的所有有理项.28.（本P74. 3）求5555被8除所得的余数.29.（本P75例11）利用二项式定理证明：221n n n>++（5n≥，n∈N*）.30.（本P76. 4）求证：0241C C C C2n nn n n n-++++=（n是偶数）.31.（册P38. 2）要把4封信投入3个信箱，共有多少种不同的投法？（允许将信全部或部分投入某一个信箱）32. （册P40. 8）已知10P 1095m=⨯⨯⨯，求正整数m 的值.33. （册P42. 3）化简：12312!3!4!!n n -++++. （n ∈N *，2n ≥） 34. （册P42. 5）求证：12311231P 2P 3P P P 1n n n n n ++++++=-. （n ∈N *）35. （册P43. 3）将8个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子内，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，共有多少种不同的放法？36. （册P48. 5）在9(32)x y -的展开式中，求二项式系数的和以及各项系数的和.37. （册P49. 9）求和：1231C 3C 9C 3C n nn n n n -++++.38. （册P49. 10）已知n 为大于1的自然数，证明：112nn ⎛⎫+> ⎪⎝⎭.39. （册P49. 11）在23nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，有且只有第五项的二项式系数最大，求012111C C C (1)C 242nnnn n n n -+-+-. 40. （册P49. 1）求和：02498100100100100100100C C C C C -+--+.41. （册P50. 3）在(13)nx +的二项展开式中，末三项的二项式系数之和等于631. （1）求二项展开式中二项式系数最大的项是第几项； （2）求二项展开式中系数最大的项. 42. （册P50. 4）求777715-除以19的余数. 43. （册P50. 5）用两种方法证明：632123n n --+能被11整除.44. （册P50. 6）已知32(1)1nnx x ax bx cx +=+++++（n ∈N *），且:3:1a b =，求c 的值.45. （册P50. 1（4））用数字0、1、2、3、4、5可组成没有重复数字的六位数，其中数字2、4排在相邻数位上，满足条件的六位数共有___________个.46.（册P52. 1）6个人排成一列，其中甲乙两人之间至少有两个人的不同排法种数是___.第17章概率论初步47.（本P90例7改编为2011年高考试题）求随机抽取10个同学中至少有两个同学在同一个月份出生的概率. （精确到0.0001）48.（册P54. 4）某城镇共有10000辆自行车，牌照编号从00001到10000. 求在此城镇中偶然遇到的一辆自行车，其牌照号码中有数字8的概率.49.（册P56. 1）将n间房分给n个人，每个人都以相等的可能性进入每一间房间，而且每间房间里的人数没有限制，求不出现空房的概率.50.（册P56. 2）把10本书随机地排在书架上，求其中指定的3本书排在一起的概率.51.（册P56. 3）某人有5把钥匙，但只有一把能打开门，他每次取一把钥匙尝试开门，求试到第3把钥匙时才打开门的概率.第18章基本统计方法52.（册P61. 2）某班级有40名同学参加打靶训练，他们的成绩如下表所示（单位：环）：测验成绩频数[4, 5)2[5, 6)3[6, 7)10[7, 8)15[8, 9)8[9, 10]2求该班同学的成绩2σ区间估计. （精确到0.01）高三总复习题53.（册P71. 13）已知567117C C10Cn n n-=，n∈N*，求8C n.54. （册P74. 5）一个球受热膨胀. 如果它的表面积增加21%，那么这个球的半径增加多少？55. （册P74. 6）求383321C C nnnn -++（n ∈N *）的值.56. （册P75. 8）以一个正方体的顶点为顶点能组成多少个三棱锥？ 57. （册P75. 10）已知lg (1)xn x+的二项展开式中，末三项的二项式系数的和为22，二项式系数最大的项为20000，求实数x 的值.。
上海高三高中数学高考模拟带答案解析
上海高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.方程的解是 .2.已知集合则 .3.若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数= .4.直线（为参数）对应的普通方程是_____．5.若，且，则的值为 .6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是_____．7.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 .8.在约束条件下，目标函数的最大值为 .9.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．10.已知椭圆，其左、右焦点分别为.若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值为 .11.已知定点，动点在圆上，点关于直线的对称点为，向量是坐标原点，则的取值范围是 .12.已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．二、选择题1.设分别是两条异面直线的方向向量，向量的夹角的取值范围为所成的角的取值范围为，则“”是“”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2.将函数图象上的点向左平移个单位,得到点，若位于函数的图象上，则A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为3.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）4.设函数的定义域是，对于以下四个命题：(1)若是奇函数，则也是奇函数；(2)若是周期函数，则也是周期函数；(3)若是单调递减函数，则也是单调递减函数；(4)若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．其中正确的命题共有A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题1.直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．(1) 若，求的值；(2) 若，求直线与平面所成的角．2.设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．(1)若，求的值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．3.如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．(1)若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？4.设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段中点．(1)若是正三角形（是坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若，求直线的方程；(3)试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（直接写出结论）．5.已知是上的奇函数，，且对任意都成立.(1)求、的值；(2)设，求数列的递推公式和通项公式；(3)记，求的值.上海高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.方程的解是 .【答案】【解析】由,得,解得.即方程的解是，故答案为.2.已知集合则 .【答案】【解析】因为;而,所以.故答案为.3.若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数= .【答案】【解析】因为=,其为纯虚数,所以,解得=1.故答案为.4.直线（为参数）对应的普通方程是_____．【答案】【解析】两式相加消去可得：，故答案为.5.若，且，则的值为 .【答案】【解析】展开式的通项公式,令,可得;令,可得;而,即,解得;即展开式的通项公式,令,可得.故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是_____．【答案】【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为，故侧面积为，故答案为.7.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数在区间上有零点,则=,解得.即实数的取值范围是.故答案为.8.在约束条件下，目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域,如图四边形所示;,,,.平移目标函数，当过点时,目标函数取得最大值.故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.10.已知椭圆，其左、右焦点分别为.若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值为 .【答案】【解析】由题意得:该椭圆为焦点在轴的椭圆,且;而到直线的距离是与的等差中项，所以到准线的距离,即;而,即,解得;而,所以,解得.即的最大值为.故答案为11.已知定点，动点在圆上，点关于直线的对称点为，向量是坐标原点，则的取值范围是 .【答案】【解析】令,而点关于直线的对称点为，所以,;而,所以;而,所以;所以,=;而动点在圆上,所以,所以,即,所以的取值范围是.故答案为.12.已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．【答案】【解析】∵当时，仍是数列中的项，而数列是递增数列，∴，所以必有，，利用累加法可得：，故，得，故答案为.点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时，仍是数列中的项，结合递增数列必有，，利用累加法可得结果.二、选择题1.设分别是两条异面直线的方向向量，向量的夹角的取值范围为所成的角的取值范围为，则“”是“”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得A=[0,π]，B=(0,π/2]，则 ;所以“α∈A”是“α∈B”的必要不充分条件.故选C.【方法点睛】本题主要考查异面直线的夹角、向量的夹角及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.2.将函数图象上的点向左平移个单位,得到点，若位于函数的图象上，则A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为【答案】A【解析】由题意得,排除B,D;平移后,而位于函数的图象上,所以,而,则的最小值为,排除C.故选A.3.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）【答案】B【解析】∵建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；也就是增大，车票价格不变，即平行于原图象，∴①反映了建议(Ⅰ)；∵建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（Ⅱ），故选B.点睛：此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键；观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（I）的平行于原图象，（II）与原图象纵截距相等，但斜率变大，进而得到答案.4.设函数的定义域是，对于以下四个命题：(1)若是奇函数，则也是奇函数；(2)若是周期函数，则也是周期函数；(3)若是单调递减函数，则也是单调递减函数；(4)若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．其中正确的命题共有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】(1)若是奇函数，则，∴也是奇函数，正确；(2) 若是周期函数，则，也是周期函数，正确；(3)若是单调递减函数，根据“同增异减”的原则，可得也是单调递增函数，故(3)不正确；(4) 若函数存在反函数，且函数有零点，即的图象与的图象有交点，而的图象与的图象关于直线对称，故三者交于一点，即函数也有零点，即(4)正确；故选C.三、解答题1.直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．(1) 若，求的值；(2) 若，求直线与平面所成的角．【答案】（1）（2）【解析】（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出，，利用，求出的值；（2）求出直线的方向向量与平面的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则,，，，由得，即解得．(2) 解法一：此时设平面的一个法向量为由得所以设直线与平面所成的角为则所以直线与平面所成的角为解法二：联结，则，，平面平面所以是直线与平面所成的角；在中，所以所以所以直线与平面所成的角为点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为或相减为，且满足.2.设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．(1)若，求的值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意知，经过整理解出即可求得的值；(2)由得，移项可得，结合基本不等式，故而可求得实数的取值范围.试题解析：（1）由得所以（舍）或，所以（2）由得而，当且仅当时取等号所以，所以．3.如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．(1)若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？【答案】（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元【解析】（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即，=当且仅当，即时等号成立，所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米（2）在(1)的条件下，因为．由得，元所以，建水上通道还需要万元．解法二：在中，在中，在中，=元所以，建水上通道还需要万元．解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，,即，设由，求得，所以所以，元所以，建水上通道还需要万元．4.设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段中点．(1)若是正三角形（是坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若，求直线的方程；(3)试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（直接写出结论）．【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】（1）若是正三角形（是坐标原点），求出的坐标，即可求出此三角形的边长；（2）若，设直线，分类讨论，即可求出直线的方程；(3)根据直线与圆的位置关系，可得结论.试题解析：(1)设的边长为，则的坐标为所以所以此三角形的边长为．(2)设直线当时，符合题意当时，，，，，，，舍去综上所述，直线的方程为：(3)时，共2条；时，共4条；时，共1条．5.已知是上的奇函数，，且对任意都成立.(1)求、的值；(2)设，求数列的递推公式和通项公式；(3)记，求的值.【答案】(1)，；（2）；（3）.【解析】(1)在恒等式中，令、化简即可得结果；(2)取，可得，即，化简可得递推公式，累乘法可得通项公式；(3)代入，化简，利用，可得结果.试题解析：(1)对等式，令,所以令,所以(2)取，可得，即，所以而所以数列的递推公式为故所以数列的通项公式为.(3)由(2)代入得++++=则。
2016年上海市高考数学试卷(文科)教师版
2016 年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共 14 题，每题 4 分，共 56分） .1．（4 分）（2016?上海）设 x∈ R，则不等式 | x﹣3|＜ 1 的解集为（2，4）．【剖析】由含绝对值的性质得﹣1＜ x﹣3＜1，由此能求出不等式 | x﹣3| ＜1 的解集．【解答】解：∵ x∈R，不等式 | x﹣3| ＜1，∴﹣ 1＜x﹣ 3＜ 1，解得 2＜x＜4．∴不等式 | x﹣3| ＜ 1 的解集为（ 2，4）．故答案为：（ 2， 4）．2．（ 4 分）（2016?上海）设 z=，此中 i 为虚数单位，则 z 的虚部等于﹣3 ．【剖析】利用复数的运算法例即可得出．【解答】解： z==﹣，则的虚部为﹣．=3i+2z3故答案为：﹣ 3．3．（4 分）（ 2016?上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则 l1，l2的距离．【剖析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线 l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则 l1，l2的距离：=．故答案为：．4．（4 分）（2016?上海）某次体检， 5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78， 1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是 1.76（米）．【剖析】将数据从小到大进行从头摆列，依据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：将 5 位同学的身高依据从小到大进行摆列为 1.69，1.72，1.76，1.78，1.80．则位于中间的数为 1.76，即中位数为 1.76，故答案为： 1.765．（ 4 分）（2016?上海）若函数 f（ x）=4sinx+acosx的最大值为 5，则常数 a=±3．【剖析】利用协助角公式化简函数f（ x）的分析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得 a 的值．【解答】解：因为函数（fx）=4sinx+acosx=sin（ x+θ），此中，cos θ=，sin θ=，故 f（ x）的最大值为，∴± ，=5a= 3故答案为：± 3．6．（4 分）（2016?上海）已知点（ 3，9）在函数 f（x）=1+a x的图象上，则 f（ x）的反函数 f﹣1（x）= log2（ x﹣1）（x＞1）．【剖析】因为点（3，9）在函数 f（ x）=1+a x的图象上，可得 9=1+a3，解得 a=2．可得 f（x）=1+2x，由 1+2x=y，解得 x=log2（ y﹣ 1），（y＞ 1）．把 x 与 y 交换即可得出 f（ x）的反函数 f ﹣1（x）．【解答】解：∵点（ 3，9）在函数 f （x）=1+a x的图象上，∴ 9=1+a3，解得 a=2．∴f（x）=1+2x，由 1+2x=y，解得 x=log2（ y﹣ 1），（ y＞1）．把 x 与 y 交换可得： f（ x）的反函数 f ﹣1（x） =log2（x﹣ 1）．故答案为： log2（x﹣1），（x＞1）．．（分）（上海）若，知足，则 x﹣ 2y 的最大值为﹣2 ．7 42016?x y【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：画出可行域（如图），设 z=x﹣2y? y= x﹣ z，由图可知，当直线 l 经过点 A（ 0， 1）时， z 最大，且最大值为z max=0﹣2×1=﹣2．故答案为：﹣ 2．8．（ 4 分）（ 2016?上海）方程 3sinx=1+cos2x在区间 [ 0，2π] 上的解为或．【剖析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，而后求解即可．【解答】解：方程 3sinx=1+cos2x，可得 3sinx=2﹣2sin2x，即 2sin2x+3sinx﹣ 2=0．可得 sinx=﹣2，（舍去） sinx= ，x∈[ 0，2π]解得 x= 或．故答案为：或．9．（4 分）（ 2016?上海）在（﹣）n的二项式中，全部的二项式系数之和为256，则常数项等于112．【剖析】依据睁开式中全部二项式系数的和等于2n =256，求得n=8．在睁开式的通项公式中，令x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得睁开式中的常数项．【解答】解：∵在（﹣）n的二项式中，全部的二项式系数之和为256，∴2n=256，解得 n=8，∴（﹣）8中，T r+1==，∴当=0，即r=2 时，常数项为T3 =（﹣ 2）2=112．故答案为： 112．10．（ 4 分）（ 2016?上海）已知△ ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．【剖析】可设△ ABC的三边分别为 a=3，b=5， c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可获得所求值．【解答】解：可设△ ABC的三边分别为 a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，可得sinC===，可得该三角形的外接圆半径为==．故答案为：．11．（ 4 分）（2016?上海）某食堂规定，每份午饭能够在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果同样的概率为．【剖析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法同样的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．【解答】解：甲同学从四种水果中选两种，选法种数为，乙同学的选法种数为，则两同学的选法种数为种．两同学同样的选法种数为．由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果同样的概率为．故答案为：．12．（ 4 分）（2016?上海）如图，已知点是曲线 y=上一个动点，则?O（ 0， 0），A（1，0），B（0，﹣ 1），P 的取值范围是[﹣1，]．【剖析】设出=（x， y），获得? =x+，令 x=cosθ，依据三角函数的性质获得 ?=sin θ+cos θ=sin（θ+），进而求出? 的范围即可．【解答】解：设=（x，y），则=（ x，），由 A（1，0）， B（ 0，﹣ 1），得：（，），= 11∴ ? =x+，令 x=cosθ，θ∈[ 0，π] ，则 ? =sin θ+cos θ= sin（θ+ ），θ∈ [ 0，π] ，故?的范围是[﹣，1，] ，故答案为：[ ﹣1，] ．13．（4 分）（2016?上海）设 a＞0，b＞ 0．若对于 x，y 的方程组则 a+b 的取值范围是（2，+∞）．【剖析】依据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出a，b 基本不等式得出答案．【解答】解：∵对于 x，y 的方程组无解，∴直线 ax+y﹣1=0 与直线 x+by﹣ 1=0 平行，∴﹣ a=﹣，且．无解，的关系，再使用即 a= 且 b≠ 1．∵a＞ 0，b＞ 0．∴ a+b=b+ ＞2．故答案为：（ 2， +∞）．14．（4 分）（ 2016?上海）无量数列 { a n } 由 k 个不一样的数构成， S n为{ a n} 的前 n 项和，若对随意 n∈N*，S n∈{ 2， 3} ，则 k 的最大值为 4 ．【剖析】随意 n∈ N*，S n∈ { 2，3} ，列出 n=1，2，3，4 的状况，可得n ＞4 后都 0 或 1 或 1， k 的最大个数4．【解答】解：随意 n∈N*，S n∈{ 2，3} ，可得当 n=1 ， a1=S1=2 或 3；若 n=2，由 S2∈{ 2，3} ，可得数列的前两2， 0；或 2，1；或 3，0；或 3，1；若 n=3，由 S3∈{ 2，3} ，可得数列的前三2， 0， 0；或 2，0，1；或 2，1，0；或 2，1， 1；或 3，0，0；或 3，0， 1；或 3，1，0；或 3， 1，1；若 n=4，由 S3∈{ 2，3} ，可得数列的前四2，0，0，0；或 2，0，0，1；或 2，0，1，0；或 2，0，1， 1；或 2，1，0，0；或 2，1， 0， 1；或 2，1， 1，0；或 2， 1，1，1；或 3， 0， 0， 0；或 3，0，0， 1；或 3，0， 1，0；或 3， 0， 1，1；或 3， 1，0，0；或 3， 1， 0， 1；或 3，1，1，0；或 3， 1，1，1；⋯即有 n＞4 后一都 0 或 1 或 1， k 的最大个数 4，不一样的四个数均 2，0，1， 1．故答案： 4．二、（本大共有 4 ，分 20 分，每有且只有一个正确答案，得 5 分，否一得零分） .215．（ 5 分）（2016?上海） a∈ R，“a＞1”是“a＞1”的（）A．充足非必需条件B．必需非充足条件C．充要条件D．既非充足也非必需条件【剖析】依据不等式的关系，合充足条件和必需条件的定行判断即可．【解答】解：由 a2＞1 得 a＞ 1 或 a＜ 1，2即“a＞1”是“a＞ 1”的充足不用要条件，故： A．16．（5 分）（ 2016?上海）如，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E、F 分 BC、BB1的中点，则以下直线中与直线EF订交的是（）A．直线 AA1B．直线 A1B1C．直线 A1D1D．直线 B1C1【剖析】依据异面直线的定义即可判断选项A， B， C 的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线订交，进而即可得出正确选项．【解答】解：依据异面直线的观点可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线 EF为异面直线；B1C1和 EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线 B1C1和直线 EF订交，即选项 D 正确．应选： D．17．（ 5 分）（2016?上海）设 a∈R，b∈[ 0， 2π），若对随意实数x 都有 sin（3x ﹣）=sin（ax+b），则知足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1B．2C．3D．4【剖析】依据三角函数恒成立，则对应的图象完整同样．【解答】解：∵对于随意实数x 都有 sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期同样，若a=3，此时 sin（3x﹣） =sin（3x+b），此时 b=﹣ +2π=，若 a=﹣3，则方程等价为 sin（3x﹣）=sin（﹣ 3x+b） =﹣ sin（3x﹣b）=sin（3x ﹣b+π），则﹣=﹣ b+π，则 b=，综上知足条件的有序实数组（a，b）为（ 3，），（﹣3，），共有 2组，应选： B．18．（ 5 分）（2016?上海）设 f（ x）、g（x）、 h（ x）是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f（ x）+g（x）、 f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则 f（ x）、g（x）、 h（ x）均是增函数；②若f（x）+g（ x）、f（x）+h（x）、g （x）+h（ x）均是以 T 为周期的函数，则 f（x）、g（ x）、h（x）均是以 T 为周期的函数，以下判断正确的选项是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【剖析】①举反例说明命题不可立；②依据定义得 f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（ x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（ x+T），由此得出： g（x） =g（ x+T），h（x）=h（x+T）， f（ x）=f（x+T），即可判断出真假．【解答】解：对于①，举反例说明：f（x）=2x，g（x）=﹣x， h（ x） =3x；f（x）+g（x）=x，f（x）+h（x）=5x，g（x） +h（x）=2x 都是定义域 R 上的增函数，但 g（x） =﹣ x 不是增函数，所以①是假命题；对于②，依据周期函数的定义， f（x）+g（ x） =f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（ x）=f（x+T）+h（ x+T），h（x）+g（ x） =h（x+T）+g（x+T），前两式作差可得： g（ x）﹣ h（x） =g（x+T）﹣ h（x+T），联合第三式可得： g（ x） =g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得： f（ x）=f（ x+T），所以②是真命题．应选： D．三、简答题：本大题共 5 题，满分 74 分19．（ 12 分）（ 2016?上海）将边长为1 的正方形 AA1O1 O（及其内部）绕转一周形成圆柱，如图，长为，长为，此中B1与C在平面OO1旋AA1O1O的同侧．（ 1）求圆柱的体积与侧面积；（ 2）求异面直线 O1B1与 OC所成的角的大小．【剖析】（1）直接利用圆柱的体积公式，侧面积公式求解即可．（ 2）设点 B1在下底面圆周的射影为B，连接 BB1，即可求解所求角的大小．【解答】解：（1）将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形2成圆柱，圆柱的体积为：π?1?1=π．侧面积为： 2π?1=2π．（2）设点 B1在下底面圆周的射影为 B，连接 BB1，OB，则 OB∥O1B，∴∠ AOB= ，异面直线 O1B1与 OC所成的角的大小就是∠ COB，大小为：﹣=．20．（ 14 分）（ 2016?上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河畔运走．于是，菜地分别为两个地区S1和S2，此中S1中的蔬菜运到河畔较近， S2中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 S1和 S2的分界限 C 上的点到河畔与到 F 点的距离相等，现成立平面直角坐标系，此中原点 O 为 EF的中点，点 F 的坐标为（ 1， 0），如图（1）求菜地内的分界限 C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量预计出 S1面积是 S2面积的两倍，由此获得 S1面积的经验值为．设 M 是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形 EOMGH的面积，并判断哪一个更靠近于 S1面积的“经验值”．【剖析】（1）设分界限上随意一点为（x， y），依据条件成立方程关系进行求解即可．（2）设 M（x0，y0），则 y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形 FOMGH的面积，进行比较即可．【解答】解：（ 1）设分界限上随意一点为（x，y），由题意得 | x+1| =，得y=2 ，（0≤x≤1），（ 2）设 M （ x0，y0），则 y0=1，∴ x0== ，∴设所表述的矩形面积为 S3，则 S3=2×（ +1）=2× = ，设五边形 EMOGH的面积为 S4，则 S4=S3﹣S△OMP+S△MGN= ﹣× × 1+= ，1﹣S3==，S4﹣S1=﹣=＜，S∴五边形 EMOGH的面积更靠近S1的面积．．（14分）（上海）双曲线x2﹣（＞）的左、右焦点分别为、F2，212016?=1 b0F1直线 l 过 F2且与双曲线交于 A、B 两点．（ 1）若 l 的倾斜角为，△ F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（ 2）设 b=，若l的斜率存在，且| AB| =4，求l的斜率．【剖析】（1）由题意求出A 点纵坐标，由△ F1AB 是等边三角形，可得tan∠AF1F2=tan =，进而求得b值，则双曲线的渐近线方程可求；（2）写出直线 l 的方程 y﹣0=k（x﹣2），即 y=kx﹣ 2k，与双曲线方程联立，利用弦长公式列式求得 k 值．【解答】解：（1）若 l 的倾斜角为，△ F1AB是等边三角形，把 x=c=代入双曲线的方程可得点 A 的纵坐标为 b2，由 tan∠AF，求得 b2 ，b=，1F2=tan = ==2故双曲线的渐近线方程为y=± bx=±x，即双曲线的渐近线方程为y=±x．（ 2）设 b=，则双曲线为x2﹣=1，F2（2，0），若 l 的斜率存在，设 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 y﹣0=k（x﹣2），即 y=kx﹣2k，联立，可得（ 3﹣ k2）x2+4k2﹣2﹣3=0，x4k由直线与双曲线有两个交点，则3﹣k2≠0，即 k．△=36（1+k2）＞ 0．x1+x2=，x1?x2=．∵ | AB| =?| x1﹣x2| =?=?=4，化简可得， 5k4+42k2﹣27=0，解得 k2= ，求得 k=．∴ l 的斜率为．22．（ 16分）（上海）对于无量数列{ a n} 与 { b } ，记 A={ x| x=a ，n∈N*} ，2016?n nB={ x| x=b n，n∈N* } ，若同时知足条件：①{ a n} ，{ b n} 均单一递加；② A∩ B=?且 A∪ B=N*，则称 { a n} 与{ b n} 是无量互补数列．（1）若 a n =2n 1，b n=4n 2，判断 { a n} 与 { b n } 能否无互数列，并明原因；（2）若 a n=2n且 { a n} 与{ b n} 是无互数列，求数目 { b n} 的前 16 的和；（3）若 { a n} 与 { b n} 是无互数列， { a n} 等差数列且 a16=36，求 { a n} 与{ b n } 的通公式．【剖析】（1）{ a n} 与{ b n} 不是无互数列．由4?A，4?B，4?A∪ B=N*，即可判断；（2）由 a n=2n，可得 a4=16，a5=32，再由新定可得 b16=16+4=20，运用等差数列的乞降公式，算即可获得所乞降；（3）运用等差数列的通公式，合首大于等于 1，可得 d=1 或 2， d=1，2求得通公式，合新定，即可获得所求数列的通公式．【解答】解：（1）{ a n } 与 { b n} 不是无互数列．原因：由 a n=2n 1，b n=4n 2，可得 4?A，4?B，即有 4?A∪ B=N*，即有 { a n} 与{ b n} 不是无互数列；（2）由 a n=2n，可得 a4=16， a5=32，由 { a n} 与{ b n} 是无互数列，可得b16=16+4=20，即有数列 { b n} 的前 16 的和（1+2+3+⋯+20）（ 2+4+8+16）=×20 30=180；（ 3） { a n } 公差 d（d 正整数）的等差数列且 a16，1+15d=36，=36a由 a1=36 15d≥ 1，可得 d=1 或 2，若 d=1， a1=21，a n=n+20，b n=n（ 1≤ n≤20），与 { a n}与{ b n} 是无互数列矛盾，舍去；若 d=2， a1， n， n，．=6 a =2n+4 b =，＞上可得， a n， n，．=2n+4 b =，＞23．（ 18 分）（ 2016?上海）已知 a∈ R，函数 f（x）=log2（ +a）．（ 1）当 a=1 ，解不等式 f（x）＞ 1；（ 2）若对于 x 的方程 f（ x） +log2（ x2）=0 的解集中恰有一个元素，求 a 的；（3）设 a＞0，若对随意 t∈[ ，1] ，函数 f（x）在区间 [ t ，t +1] 上的最大值与最小值的差不超出 1，求 a 的取值范围．【剖析】（ 1）当 a=1 时，不等式（fx）＞1 化为：＞1，所以＞2，解出而且考证即可得出．（2）方程 f（x）+log2（ x2）=0 即 log2（ +a）+log2（ x2）=0，（ +a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0，对 a 分类议论解出即可得出．（3）a＞0，对随意 t∈[ ，1] ，函数 f（x）在区间 [ t，t+1] 上单一递减，由题意可得﹣≤ ，所以≤ 2，化为：a≥=g 1（t ）， t∈[，1] ，利用导数研究函数的单一性即可得出．【解答】解：（1）当 a=1 时，不等式 f（x）＞ 1 化为：＞，1∴＞2，化为：＞，解得 0＜x＜1，经过考证知足条件，所以不等式的解集为：（0，1）．（2）方程 f（x）+log2（x2） =0 即 log2（ +a）+log2（x2）=0，∴（ +a）x2=1，化为： ax2+x﹣1=0，若 a=0，化为 x﹣1=0，解得 x=1，经过考证知足：对于 x 的方程 f（ x）+log2（x2）=0 的解集中恰有一个元素 1．若 a≠0，令△ =1+4a=0，解得 a= ，解得 x=2．经过考证知足：对于 x 的方程 f （x）+log2（x2） =0 的解集中恰有一个元素 1．综上可得： a=0 或﹣．（ 3） a＞0，对随意 t∈ [，1]，函数f（x）在区间[ t，t+1]上单一递减，∴﹣≤1，∴≤2，化为： a≥=g（ t），t∈ [，1]，g′（ t）===≤＜0，∴ g（ t）在 t∈ [，1]上单一递减，∴ t=时，g（t）获得最大值，= ．∴．∴ a 的取值范围是，．。
【上海市高三数学课堂练习【21B.2016】】
高三数学课堂练习【21.2015.11】学号⎽⎽⎽⎽⎽⎽姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽得分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ [拉图说：走在一起是缘分，一直在走是幸福。
]1. “若0=ab ,则a 、b 中至少有一个为零”的逆否命题是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽________.(2)要使()a x x x y ≥+=42有反函数，则a 的最小值为__________.(3)在ABC ∆中, 30,1,3=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积= .4. 在等差数列{}n a 中，13a =，公差不等于零，且248,,a a a 恰好是某一个等比数列的前三项，则该等比数列的公比的值等于 .(5)())sin(3)f x x x θθ=---是奇函数，则θ=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.6. 在{}n a 中，11a =，22a =，且21(1)n n n a a +-=+-（n N *∈），则100S =_______．(7)x x y 2cos 32sin +=，],0[π∈x 的递增区间是⎽⎽⎽⎽⎽ ．(8)已知命题：“若{}n a 为等差数列，且m a a =，n a b =（m n ≠，m 、n N *∈），则m n bn am a n m+-=-”；现已知等比数列{}n b （0n b >，n N *∈），m b a =，n b b =（m n ≠，m 、n N *∈），若类比上述结论，则可得到m n b +=________________9. 已知x x x x f cos )3cos ()6s i n()(++-+=ππ.(1)求)(x f 的最小正周期，并写出其递减区间；(2)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，求)(x f 的最大值与最小值.10. {}n a 的前n 项和n S 满足：23n n S a n =-（n N *∈）．(1)求{}n a 的通项公式；(2){}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.11. 根据统计资料，某工艺品厂每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式2(,158)10p x N x x =∈≤≤-(日产品废品率=()()日废品件数日产量件数).已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元.该车间的日利润T 按照日正品赢利额减去日废品亏损额计算.(1)将该车间日利润T (千元)表示为日产量x (件)的函数；(2)(2)当该车间的日产量为多少件时，日利润额最大？最大日利润额是几千元？12. 二次函数()()21f x ax a x a =+-+.（1）()f x 在(),1-∞-上递增，求a 的范围；(2)关于x 的不等式()2f x x≥在[]1,2x ∈上恒成立，求a 的范围；(3)()()()211a x g x f x x--=+在()2,3上是增函数，求a 的范围.高三数学课堂练习【21B.2015.11】学号⎽⎽⎽⎽⎽⎽姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽得分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽【53】 [帕拉图说：走在一起是缘分，一直在走是幸福。
【上海市高三数学课堂练习【35B.2016】】
高三数学课堂练习[35.2015.12] 学号⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽得分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽【年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。
】1. 3232-+-=x x x y 的定义域为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(2)},01|{},032|{2=-==--=ax x B x x x A 若A ⋂B=B ，则a 的范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(3)设x=sin α，且]65,6[ππα-∈，则x arccos 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(4)把)34cos(π+=x y 的图象向右平移ϕ个单位所得的图象恰好关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(5)圆22(1)(2)3x y -++=的一条弦的中点为13(,)22-，这条弦所在的直线方程为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽(6)[]()sin (π0)f x x x x =∈-，的递增区间是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. 7. 等差数列{n a }的前n 项和为S n ，已知,9lim 12a n S n n -=∞→(1a >0) ,则S n 达到最大时n 的值是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(8)数列{n a }中，n n a a a 12,211-==+，则n a =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(9)过椭圆1222=+y x 的左焦点F 1引一条倾斜角为450的直线与椭圆交与A 、B 两点，求∆AOB 的面积.2. 已知.0,cos sin cos sin 2)(π≤≤++=x x x x x x f 求)(x f的最大值M 和最小值m.3. 已知,5)4(),0(,)(=≠+=f k b kx x f 又)6(),3(),2(f f f 成等比数列.（1）求)(x f y =的解析式；（2）设,),1,0(,21)(n n n f n a a a S a a a a +++=≠>= 求n S .(3)*求.lim 1+∞→n n n S S4. 已知正四棱锥P-ABCD 的全面积为2，记正四棱锥的高为h ．（1）用h 表示底面边长,并求正四棱锥体积V 的最大值；（2）当V 取最大值时，求异面直线AB 和PD 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）A B D P高三数学课堂练习[35B.2015.12] 学号⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽得分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽【年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。
【上海市高三数学课堂练习【42B.2016】】
高三数学课堂练习[42.2016.1]学号姓名得分【幸福不是去期盼我们没有的东西,而是尽情地享受我们现在的"所有"'幸福绝大多数是朴素的,它悄悄地开,有静静地落,有如不知名的小花.幸福是一种"经历"."悟性"."心境"."感觉"."一段偶然愉悦的时光"."一种生活的从容".】1. 过点P（2，3）且与原点距离最大的直线方程是.(2)经过点（4,3）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为.(3)连接原点O与抛物线上一动点M，延长OM至P，使|OM|=|MP|，则点P的轨迹方程是.(4)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以2为公比的等比数列的概率为 .5. 若ABC中，,则ABC的形状为.(6)的值域是 . (7)关于x的方程有两个不等实根，则m的范围是.(8)无穷数列，首项，其前项和为，且.若的各项和为，则 .9. 已知奇函数（1）求的值2）求使成立的x值.10. 在棱长为2的正方体中，（如图）是棱的中点，是侧面的中心．(1)求三棱锥的体积；(2)求与底面所成的角的大小．ABCDA1B1C1FED111. 一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权．根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（万元）满足：(1)该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润多少万元？(2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？此时，利润是多少万元？12. 设的前n项和为，点均在的图像上.(1)求的通项公式；(2)设，是的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.高三数学课堂练习[42B.2016.1]学号姓名得分【幸福不是去期盼我们没有的东西,而是尽情地享受我们现在的"所有"'幸福绝大多数是朴素的,它悄悄地开,有静静地落,有如不知名的小花.幸福是一种"经历"."悟性"."心境"."感觉"."一段偶然愉悦的时光"."一种生活的从容".】2. 过点P（2，3）且与原点距离最大的直线方程是.3. 经过点（4,3）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为.4. 连接原点O与抛物线y=3x2+1上一动点M，延长OM至P，使|OM|=|MP|，则点P的轨迹方程是.5. 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以2为公比的等比数列的概率为6. 若ABC中，,则ABC的形状为.[等腰或直角三角形]7. 函数的值域是 .8. 关于x的方程有两个不等实根，则实数m的取值范围是.9. 已知无穷数列，首项，其前项和为，且.若数列的各项和为，则. {}10. 已知奇函数（1）求实数的值；（2）求使成立的值.11. 在棱长为2的正方体中，（如图）是棱的中点，是侧面的中心．(1)求三棱锥的体积；(2)求与底面所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）ABCDA1B1C1FED117.解：（1）．（6分）（体积公式正确3分）（2）取的中点，则，在底面的射影为，所求的角的大小等于的大小，（8分）在中，所以与底面所成的角的大小是．（12分）建坐标系解答参照本标准给分．一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权．根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（万元）满足：1）该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润多少万元？（2）该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？此时，利润是多少万元？18．解：（1），所以，生产750套此种品牌运动装可获得利润万元．（2）由题意，每生产（百件）该品牌运动装的成本函数，所以，利润函数当时，， 3分故当时，的最大值为． 1分当时，， 3分故当时，的最大值为． 1分所以，生产600件该品牌运动装利润最大为3.7万元 (1)分12. （06湖北卷）设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上.(1)求数列的通项公式；(2)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。
2016年高考上海理科数学试题与答案(word解析版)
与底面所成角的大小为
2
arctan，则该正四棱柱的高等于．
3
【答案】22
DD2DD2
【解析】由题意得11
tanDBDDD22
11
BD3323
．
【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成
32
x
x
n
（8）【2016年上海，理8，4分】在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于．
【答案】112
n，由题意得2256
n
【解析】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为2
，所以n8，二项式的通项
为
84
2
r
r38rrrr33
TC(x)()(2)Cx
r188
x
，求常数项则令
84
【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．
（12）【2016年上海，理12，4分】在平面直角坐标系中，已知A1,0，B0,1，P是曲线
2
y1x上一个
动点，则BPBA的取值范围是．
【答案】0,12
2
【解析】由题意得知
y1x表示以原点为圆心，半径为1的上半圆．设Pcos,sin，0,，BA1,1，
fxhx、gxhx均为增函数，则fx、gx、hx中至少有一个增函数；②若fxgx、
fxhx、gxhx均是以T为周期的函数，则fx、gx、hx均是以T为周期的函数，下列判
断正确的是（）
（A）①和②均为真命题（B）①和②均为假命题
【上海市高三数学课堂练习【27B.2016】】
【青春是一本太仓促的书——席慕容】1. x ∈C,分解因式：=+-2212x x ______________.(2)若直线02)1(=-+++m y m x 与直线01642=++y mx 平行，则m=______.(3)若直线04=--ay x 与直线42+-=x y 的夹角为21arctan =θ，则a =___⎽⎽.(4)()x x y -=2arcsin 的值域为______. (5)双曲线的渐近线方程为x y 23±=，且经过A )2,2(-，则双曲线的标准方程是_________.(6)R x f 在)(上有定义，下列函数：①|;)(|x f y -=②)(||2x f x y ⋅=；③);(x f y --=④)()(x f x f y -+=中偶函数的有 .(7)已知),45,4(),45,1(--N M 给出下列曲线方程：,12)4(12)3(3)2(0124)1(222222=-=+=+=-+y x y x y x y x 在曲线上存在点P 满足||||NP MP =的所有曲线方程的序号是________.(8)若经过点)2,0(P 且以),1(a =为方向向量的直线l 与双曲线1322=-y x 相交于不同两点A 、B,则a 的范围是__________.9. 已知2()(lg 2)lg f x x a x b =+++满足(1)2f -=-，且对于任意x R ∈，恒有()2f x x ≥成立.（1）求,a b ;（2）解不等式()5f x x <+.10. 已知22sin 2sin 4)(2-+=x x x f .(1)求)(x f 的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；(3)若]2,0[π∈x ，求)(x f的最大值和最小值.11. 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人（140＜2a ＜420，且a 为偶数)，每人每年可创利10万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，若．裁员．．x 人，则留岗职员每人每年．．．．多创利0.1x 万元，但公司需付下岗职员每人每年4万元的生活费，并且该公司正常运转情况下，所裁人数不超过50人，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？12. 已知椭圆C)0,2(1-F ,)0,2(2F .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知)0,3(-A ,)0,3(B ,P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交y 轴于M 、N ,求⋅的值；(3)在(2)的条件下，若(,0)G s ,(,0)H k ,且⊥，)(k s <，分别以OG 、OH 为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G 、H 点坐标。
【上海市高三数学课堂练习【12B.2015】】
1. (1)12)31(1--=x y 的定义域为____⎽⎽⎽⎽.(2)1log log )3(51)1(5=--+x x 的解集是⎽⎽⎽⎽⎽.(3))0(1)(2≤+=x x x f 的反函数为____________.(4)x y 2sin 42=的最小正周期是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(5)若3π=+y x ，则y x s i n s i n ⋅的最小值为______.(6)设22)(2+-=ax x x f ，当x ∈[-1,+∞)时，都有a x f ≥)(恒成立，则a 的范围是___⎽⎽⎽⎽.7. (1)设()y f x =存在反函数1()y f x -=,且()y x f x =-的图象过点(1,2),则1()y f x x -=-的图象一定过点________.(2)若()x f 是定义在()3,3-上的奇函数，且当30<≤x 时，()x f 的图象如图所示.则()0cos <⋅x x f 的解集是 ______________..9. 试判断xx x f 2)(+=在[2，+∞)上的单调性，并用定义证明.10. 已知以角B 为钝角的ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，)sin ,3(),2,(A n b a m -==，且.n m ⊥（1）求角B 的大小；（2）求C A cos cos +的范围.11. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3000元时，可全部租出。
当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车辆会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？12. 已知)1(,)11()(2>+-=x x x x f .（1）求)(1x f -；（2）判断并证明)(1x f -的单调性；（3）设2)(1)(1++=-x x f x g ，求g(x)的最小值及相应x 的值；（4）若)()()1(1x m m x f x -⋅>⋅--对]21,41[上每一个x 值恒成立，求m 的范围.2. 函数12)31(1--=x y 的定义域为⎽⎽⎽⎽.),21[+∞3. 方程1log log )3(51)1(5=--+x x 的解集是⎽⎽⎽⎽⎽.{4} 4. 函数)0(1)(2≤+=x x x f 的反函数=-)(1x f )1(1≥--x x5. [17]函数x y 2sin 42=的最小正周期是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.}2{π6. 若3π=+y x ，则y x sin sin ⋅的最小值为___________}43{-7. 设22)(2+-=ax x x f ，当x ∈[-1,+∞)时，都有a x f ≥)(恒成立，则a 的取值范围是⎽⎽⎽⎽.]1,3[-∈a8.设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x-=-的图象一定过点(-1,2)9. 如果()x f 是定义在()3,3-上的奇函数，且当30<≤x 时，()x f 的图象如图所示.则不等式()0cos <⋅x x f 的解是 ()⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋃--2,20,22,3ππ.10. 试判断函数xx x f 2)(+=在[2，+∞)上的单调性，并用定义证明.11. 已知以角B 为钝角的ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()),2,sin m a b n A ==-，且.⊥（1）求角B 的大小；（2）求C A cos cos +的取值范围.1） .⊥∴0m n ⋅=，得2sin 0b A -= 由正弦定理，得2sin ,2sin a R A b R B ==，代入得：s i n 2s i n s i n 0,s i n A B A A -=≠，∴23sin =B ， B 为钝角，所以角32π=B .（2）（理科） cos cos A C +=2cos cos 22A C A C +-)6C π=-（或：c o s c o s A C +=c o s c o s 3A A π⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=3s i n 3s i n 23c o s 21c o s πA A A A ）由（1）知 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,33,3,0ππππA A ， ∴⎥⎦⎤⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,233sin πA 故C A cos cos +的取值范围是32⎛ ⎝ 12. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3000元时，可全部租出。
【上海市高三数学课堂练习【25B.2016】】
高三数学课堂练习【25.2015.11.16】学号⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽得分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽【天空不留下鸟的痕迹,但我已经飞过.-----泰戈尔】1. 用描述法表示“被3除余1的整数组成的集合”：⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(2){n a }中，422++=n n S n ，则=n a ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(3)若}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+, 则=++++∞→)......(lim 21n n a a a ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(4))102sin(cos )102cos(sin 00+⋅++⋅=x x x x y 的最小正周期是⎽⎽⎽⎽⎽. 5. )0(211)(>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x f x 的反函数是)(1x f -=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(6)等差数列)}({*N n a n ∈的首项01>a ，设n S 为}{n a 的前n 项和，且116S S =，则当n S 取得最大值时，n=_____.(7)如图，在平面斜坐标系中xoy 中，060=∠xoy ，平面上任一点P 的斜坐标定义如下：若,21e y e x OP +=其中21,e e 分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量，则点P 的斜坐标为),(y x .那么，以O 为圆心，2为半径的圆有斜坐标系xoy 中的方程是⎽⎽⎽⎽__________．(8)实数c b a ,,满足bc a b =，且m m m c b a ,0(>=++为常数)，则b 的范围⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.9. 已知{n a }的前n 项和为S n ，且.321n n a S -=（1）试判断{n a }是怎样的数列，并说明理由；（2）试用n 表示S n .10. 已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.(1)求x x cos sin -；（2）求xx x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++⋅-.11. 某区今年有人口100万，人均住房面积为5 m 2，设该区每年人口的平均增长率为0.1%，区规划部门要求5年后人均住房面积达到10 m 2，求该区5年内每年平均要新增住房面积多少万平方米？(精确到1 m 2)12. 设)2(222)(≥+-=x x x x f ，{}n a （0n a >），12a =，当n≥2时，其前n 项之和11()n n S f S --=，又有｛n C ｝，12122++⋅+=n n n n n a a a a C ，其前n 项之和为n P (1) 求1()f x -;(2)求n S 的解析式;(3)求)(lim n P n n -∞→.O x y 60O高三数学课堂练习【25B.2015.11.16】学号⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽得分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 【55】【天空不留下鸟的痕迹,但我已经飞过.-----泰戈尔】1. 用描述法表示“被3除余1的正整数组成的集合”：{}N k k x x ∈+=,13|2. 数列{n a }中，S n =n 2+2n+4，则=n a ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.}1,121,7{⎩⎨⎧>+==n n n a n 3. 若数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+, 则=++++∞→)......(lim 21n n a a a ____21 4. 函数)102sin(cos )102cos(sin 00+⋅++⋅=x x x x y 的最小正周期是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.{1200} 5. [24/38]函数)0(211)(>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x f x 的反函数是)(1x f -=⎽⎽⎽⎽⎽.)21(),1(log )({211<<-=-x x x f 6. 已知等差数列)}({*N n a n ∈的首项01>a ，设n S 为}{n a 的前n 项和，且116S S =，则当n S 取得最大值时，n=____________89n n ==或；7. 如图，在平面斜坐标系中xoy 中，060=∠xoy ，平面上任一点P 的斜坐标定义如下：若,21e y e x +=其中21,e e 分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量，则点P 的斜坐标为),(y x .那么，以O 为圆心，2为半径的圆有斜坐标系xoy 中的方程是__________．2240x xy y ++-=8. 实数c b a ,,满足b c a b =，且m m m c b a ,0(>=++为常数)，则b 的取值范围是]3,0()0,[m m ⋃- 9. 已知数列{n a }的前n 项和为S n ，且.321n n a S -=（1）试判断{n a }是怎样的数列，并说明理由；（2）试用n 表示S n .})52(1{n n S -=10. （05福建）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.(1)求x x cos sin -的值；（2）求x x x x x x c o t t a n 2c o s 2c o s 2s i n 22s i n 322++⋅-的值.}125108,57{-- 11. 某区今年有人口100万，人均住房面积为5 m 2，设该区每年人口的平均增长率为0.1%，区规划部门要求5年后人均住房面积达到10 m 2，求该区5年内每年平均要新增住房面积多少万平方米？(精确到 1 m 2)}101,10)001.01(1005500{5==++x x 22、（18分）设函数)2(222)(≥+-=x x x x f ，数列{}n a （0n a >），12a =，当n≥2时，其前n 项之和11()n n S f S --=，又有数列｛n C ｝，12122++⋅+=n n n n n a a a a C ，其前n 项之和为n P (1) 求1()f x -;(2)求n S 的解析式;(3)求)(lim n P n n -∞→的值. 22.解：(1)f －1(x)=(x +2)2 (x≥0) 4′ (2)由题意 S n =(1-n S +2)2,得n S =1-n S +2 6′故{n S }是以211==a S 为首项, 2为公差的等差数列 8′∴n S =2n S N =2n 2 10′(3)由a n =S n －S n －1=4n －2 (n≥2)O xy 60O∵a 1=2, ∴a n = 4n －2 (n ∈N) 12′12112111421141422221212+--+=-+=-+=+=++n n n n n a a a a C n n n n n 15′ 122)121121()5131()311(++=+--++-+-+=n n n n n n P n 17′ ∴1122l i m )(l i m =+=-=∞→∞→n n n P n n n 18′。
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第14章 空间直线与平面1. （册 P2. 2 ）三个平面可以把空间分割成 __________________ 个部分 .2. （册 P7. 1 ）“直线 l 垂直于平面内的无数条直线”是“ l”的 ___________条件 .3. （册 P8. 7）已知△ ABC ，点 P 是平面△ ABC 外一点，点 O 是点 P 在平面 ABC 上的射影，且点 O 在△ ABC 内 .（1）若点 P到△ ABC OABC的三个顶点的距离相等，则点 一定是△的_______ 心；（2）若点 P到△ ABCO一定是D 1C 1的三边所在直线的距离相等，则点△ABCA 1 RB 1的 _______心；（3）若 PA BC ，PBAC ， PCAB ，则点 O 一定是△DP QABC 的 _______心 .CAB4. （册 P10. 2）（理科） 已知 P 是二面角AB内一点，D 1EC 1 PC，垂足为 C ，PD，垂足为 D ，且 PC3，PD 4 ， A 1B 1F60o .DCACPDAHBα（1）求二面角AB的大小；DlC（2）求 CD的长 .Bβ5. （册 P21. 8）（理科）如图，已知二面角l的两个面内各有一点 ABAB在直线 l 的射影分别为点 CDACBD3，而 CD 4， AB 5 ，、 ， 、、 ，求二面角l的大小 .第 15章 简单几何体6.（本 P29 例 6）如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，点 P 和 Q 位于平面 BB C C 上（ PQ1 1与 BC 不平行），点 R 位于棱 A 1 B 1 上，作出由 P 、Q 、R 三点确定的平面截正方体所得的截面 . 7. （本 P30. 2 ）如图，在正方体ABCD ABC D 中，、、分别是棱C 1D 1 、 CC 1 、1111E F HAB 上的点，画出过点 E 、 F 、 H 的正方体的截面 .8. （册 P25. 2 ）从一个底面半径和高都是 R 的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底、下底面的中心为顶点的圆锥，得到一个几何体. 如果用一个与圆柱下底面距离等于d 并且平行于底面的平面去截这个几何体，求截面面积.9. （册 P29. 2）已知正六棱柱最长的一条对角线长为13 厘米，侧面积为180 平方厘米，求这个棱柱的体积.10. （册 P31. 1）维度为的纬度圈上有甲乙两地，它们的纬度圈上的弧长等于πRcos（R是地球的半径），求甲乙两地的球面距离.11.（册 P32. 2）现有以下三个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体 . 其中真命题的序号是 _______.12. （册 P32. 3）如果一个三棱锥的底面是直角三角形，那么这个三棱锥的三个侧面（）（ A）都不是直角三角形（B）至多只能有一个是直角三角形（ C）至多只能有两个是直角三角形（D）可能都是直角三角形13. （册 P35. 1）已知长方体ABCD A1B1C1D1的高为h P 1 1，底面积为，对角面BBDD的面积为Q，求它的侧面积.14. （册P36. 4 ）设AB是球O的直径，AB 50， O1、 O2是AB上的两点，平面、分别通过点O1、 O2，且垂直于AB，截得圆O1、圆 O2，当圆O1、圆 O2的面积分别为49π、400π时，求O1、 O2两点的距离.第 16 章排列组合与二项式定理15.（本 P50 例 3）540 的不同正约数共有多少个？16.（本 P55 例 4）求证：P m n mP m n1P m n 1 .17.（本 P55 例 5）解方程：P42n 1140P3n .18. （本 P55. 2 ）1! 2! 3! L 100! 的个位数为 __________.19. （本 P60 例 4）如果从 7 名运动员中选 4 名运动员组成接力队，参加 4 100 接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？20. （本 P61 例 6）将a、b、c、d、e、f六个不同元素排成一列，其中a 不排在首位， b不排在末位，有几种排法？21.（本 P62. 3）A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么共有多少种不同的排法？22. （本 P64 例 2）求证：C n m m 1 C n m 11 .n 123. （本 P65. 3 ）解不等式：C n4 Cn6.24. （本 P67. 3 ）求证： C m C m 2C m 1 C m 2.n 2 n n n25. （本 P67. 4 ）解方程： C182x C18x 2 .26. （本 P71 例 3）求(1 a)12的二项展开式中倒数第 5 项 .1 n27. （本 P73 例 6）已知x 的二项展开式中，前三项系数成等差数列，求二项2 4 x展开式中的所有有理项.28.（本 P74. 3 ）求5555被 8 除所得的余数 .29. （本 P75 例 11）利用二项式定理证明：2n n2 n 1 （n 5，n N*）.30. （本 P76. 4 ）求证：C n0 C n2 C n4 L C n n 2n 1（n是偶数）.31.（册 P38. 2）要把 4 封信投入 3 个信箱，共有多少种不同的投法？（允许将信全部或部分投入某一个信箱）32. （册 P40. 8 ）已知 P10m 10 9 L 5，求正整数 m的值.33. （册 P42. 3 ）化简：12 3 L n 1 . （ n N* ，n 2 ）2! 3! 4! n!34. （册 P42. 5 ）求证： P11 2P 22 3P33 L nP n n P n n 11 1 .（n N* ）35. （册 P43. 3）将 8 个相同的小球放入编号为1、2、3 的三个盒子内，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，共有多少种不同的放法？36. （册 P48. 5 ）在 (3 x 2 y)9 的展开式中，求二项式系数的和以及各项系数的和.37. （册 P49. 9 ）求和： C1n 3C n2 9C n3 L 3n 1 C n n.的自然数，证明： 1 1 n38. （册 P49. 10 ）已知n为大于 1 2 .n39. （册 P49. 11 ）在x2 3x n的二项展开式中，有且只有第五项的二项式系数最大，求C0n 1C1n1C n2 L ( 1)n1n C n n.2 4 240. （册 P49. 1 ）求和： C1000 C1002 C1004 L C10098 C100100 .41. （册 P50. 3 ）在 (1 3 ) nx的二项展开式中，末三项的二项式系数之和等于631.（1）求二项展开式中二项式系数最大的项是第几项；（2）求二项展开式中系数最大的项.42. （册 P50. 4 ）求 7777 15 除以 19 的余数 .43. （册 P50. 5 ）用两种方法证明：26n 3 32 n 1能被11 整除 .44. （册 P50. 6 ）已知 (x 1)n x n L ax3 bx2 cx 1 （n N* ），且a : b 3:1 ，求c 的值.45.（册 P50. 1 （ 4））用数字 0、 1、2、 3、 4、 5 可组成没有重复数字的六位数，其中数字2、 4 排在相邻数位上，满足条件的六位数共有___________个 .46. （册 P52. 1） 6 个人排成一列，其中甲乙两人之间至少有两个人的不同排法种数是___.第 17 章概率论初步47.（本 P90 例 7 改编为 2011 年高考试题）求随机抽取 10 个同学中至少有两个同学在同一个月份出生的概率 . （精确到）48. （册 P54. 4）某城镇共有 10000 辆自行车，牌照编号从00001 到 10000. 求在此城镇中偶然遇到的一辆自行车，其牌照号码中有数字8的概率 .49.（册 P56. 1 ）将n间房分给n个人，每个人都以相等的可能性进入每一间房间，而且每间房间里的人数没有限制，求不出现空房的概率.50. （册 P56. 2 ）把 10 本书随机地排在书架上，求其中指定的 3 本书排在一起的概率.51.（册 P56. 3）某人有 5 把钥匙，但只有一把能打开门，他每次取一把钥匙尝试开门，求试到第 3 把钥匙时才打开门的概率 .第 18 章基本统计方法52. （册 P61. 2 ）某班级有40 名同学参加打靶训练，他们的成绩如下表所示（单位：环）：测验成绩频数[4, 5) 2[5, 6) 3[6, 7)10[7, 8) 15[8, 9) 8[9, 10] 2 求该班同学的成绩 2 区间估计. （精确到）高三总复习题53. （册 P71. 13 ）已知11 7 ， n N* ，求C8n . C5n C6n 10C7n54.（册 P74. 5）一个球受热膨胀 . 如果它的表面积增加 21%，那么这个球的半径增加多少？55. （册 P74. 6 ）求C383n n C321n n（n N* ）的值 .56.（册 P75. 8 ）以一个正方体的顶点为顶点能组成多少个三棱锥？57. （册 P75. 10 ）已知(x lg x1)n的二项展开式中，末三项的二项式系数的和为22，二项式系数最大的项为20000，求实数x 的值.。
【上海市高三数学课堂练习【48B.2016】】
高三数学课堂练习【5.2015.9】班级⎽⎽⎽⎽⎽⎽学号⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽得分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽【记忆想是倒在掌心的水，不论你摊开还是紧握，终究还是会从指缝中一滴一滴流淌干净。
】1. 已知}20|{<<=x x M ,}|{a x x N >=，若M ⋂N ≠Φ，则a 的范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(2))4(log )(221x x x f -=的 递增区间是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(3)523+-=x x y 的值域是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(4)若1>x ，则33l o g 2)(x x x f x ++=的值域为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(5))3(106)(2<+-=x x x x f 的反函数是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(6)已知+∈R y x ,，且1121=+yx , 则y x +的最小值为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(7)11)1(x - 的展开式中含x 的奇数次幂的项的系数和是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(8)|}||),{(},1|),{(x y y x N ax y y x M ==+==，且M ⋂N 为单元素集，则a 的范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.9. 已知22444)(a a ax x x f --+-=在区间]1,0[内有最大值5-，求a .10. 已知032<+-t x x 的解集为},1|{R m m x x ∈<<.（1）求t 、m ；（2）若4)(2++-=ax x x f 在]1,(-∞上递增，求0)23(log 2<-++-t x mx a 的解集.10. 已知a 为实数，2()().21x f x a x R =-∈+(1)求证：对于任意实数a ，()y f x =在(,)-∞+∞上是增函数； (2)当()f x 是奇函数时，若方程12()log ()f x x t -=+总有实数根，求实数t 的范围.12. 已知函数2|1|)(--+=x m x x f ，0>m 且1)1(-=f ．(1)求实数m ；(2)判断)(x f y =在区间]1,(--∞m 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(3)求实数k 的范围，使得关于x 的方程kx x f =)(分别为：① 有且仅有一个实数解；② 有两个不同的实数解；③ 有三个不同的实数解．1.2.3.4.5.6. 高三数学课堂练习[5B.2016.2]学号⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽得分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽[用最少的浪费面对现在。
(完整word版)2016年上海市高考数学试题答卷(理科)
2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016?上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为．2．（4分）（2016?上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=．3．（4分）（2016?上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．4．（4分）（2016?上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．5．（4分）（2016?上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=．．（4分）（2016?上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于．7．（4分）（2016?上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．．（4分）（2016?上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于．9．（4分）（2016?上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．10．（4分）（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为．11．（4分）（2016?上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．12．（4分）（2016?上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则?的取值范围是．13．（4分）（2016?上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．14．（4分）（2016?上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．二、选择题（5×4=20分）15．（5分）（2016?上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ17．（5分）（2016?上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.718．（5分）（2016?上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19．（12分）（2016?上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．20．（14分）（2016?上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．21．（14分）（2016?上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）?=0，求l的斜率．22．（16分）（2016?上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．23．（18分）（2016?上海）若无穷数列{a n}满足：只要a p=a q（p，q∈N*），必有a p+1=a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016?上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，∴﹣1＜x﹣3＜1，解得2＜x＜4．∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．2．（4分）（2016?上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=﹣3．【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．【解答】解：∵Z====2﹣3i，∴Imz=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．3．（4分）（2016?上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：=．故答案为：．【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．4．（4分）（2016?上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76（米）．【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是：=1.76（米）．故答案为：1.76．【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．5．（4分）（2016?上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）（x＞1）．【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，可得9=1+a3，解得a=2．可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f﹣1（x）．【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换可得：f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）．故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（4分）（2016?上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于2．【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，∴tan∠D1BD=，∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，∴BD=3，∴正四棱柱的高=3×=2，故答案为：2．【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角．7．（4分）（2016?上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]解得x=或．故答案为：或．【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．8．（4分）（2016?上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于112．【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得n=8．在展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，∴2n=256，解得n=8，∴（﹣）8中，T r+1==，∴当=0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2=112．故答案为：112．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．（4分）（2016?上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值．【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，可得sinC===，可得该三角形的外接圆半径为==．故答案为：．【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．10．（4分）（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为（2，+∞）．【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，∴直线ax+y=1与x+by=1平行，∵a＞0，b＞0，∴≠，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b=，则a+b=a+，则设f（a）=a+，（a＞0且a≠1），则函数的导数f′（a）=1﹣=，当0＜a＜1时，f′（a）=＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1时，f′（a）=＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2，综上f（a）＞2，即a+b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．11．（4分）（2016?上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【分析】对任意n∈N*，S n∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．故答案为：4．【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．12．（4分）（2016?上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则?的取值范围是[0，1+]．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出?的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴?的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．13．（4分）（2016?上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．14．（4分）（2016?上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题．二、选择题（5×4=20分）15．（5分）（2016?上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ【分析】由图形可知：时，ρ取得最大值，即可判断出结论．【解答】解：由图形可知：时，ρ取得最大值，只有D满足上述条件．故选：D．【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2016?上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．【解答】解：∵，S==，﹣1＜q＜1，2S n＜S，∴，若a1＞0，则，故A与C不可能成立；若a1＜0，则q n，故B成立，D不成立．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．18．（5分）（2016?上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h （x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h （x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（74分）19．（12分）（2016?上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．【分析】（1）连结O 1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥C ﹣O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）（2016?上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可．（2）设M（x0，y0），则y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可．【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|=，得y=2，（0≤x≤1），（2）设M（x0，y0），则y0=1，∴x0==，∴设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×（+1）=2×=，设五边形EMOGH的面积为S4，则S4=S3﹣S△OMP+S△MGN=﹣××1+=，S1﹣S3==，S4﹣S1=﹣=＜，∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．21．（14分）（2016?上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）?=0，求l的斜率．【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程．（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．【解答】解：（1）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，可得：A（c，b2），可得：，3b4=4（a2+b2），即3b4﹣4b2﹣4=0，b＞0，解得b2=2．所求双曲线方程为：x2﹣=1，其渐近线方程为y=±x．（2）b=，双曲线x2﹣=1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=，直线l的方程为：y=k（x﹣2），由题意可得：，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，△=36（1+k2）＞0，可得x1+x2=，则y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（﹣4）=．=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），（+）?=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）?（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，得+4+?k=0可得：k2=，解得k=±．l的斜率为：±．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．22．（16分）（2016?上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．23．（18分）（2016?上海）若无穷数列{a n}满足：只要a p=a q（p，q∈N*），必有a p+1=a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．【分析】（1）利用已知条件通过a2=a5=2，推出a3=a6，a4=a7，转化求解a3即可．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d与q，求出b n，c n得到a n的表达式，推出a2≠a6，说明{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n=C，通过a n+1=C+sina n，证明a p+1=a q+1，得到{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，得到a2=b1+sina1，设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，说明b n+1=b n，即可说明{b n}是常数列．【解答】解：（1）∵a2=a5=2，∴a3=a6，a4=a7=3，∴a5=a8=2，a6=21﹣a7﹣a8=16，∴a3=16．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，b5﹣b1=4d=80，∴d=20，∴b n=20n﹣19，=q4=，∴q=，∴c n=∴a n=b n+c n=20n﹣19+．∵a1=a5=82，而a2=21+27=48，a6=101=．a1=a5，但是a2≠a6，{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n=C，则a n+1=C+sina n，若存在p，q使得a p=a q，则a p+1=C+sina p=C+sina q=a q+1，故{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，则a2=b1+sina1，设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点，∴一定能找到一个a1，使得a1﹣b1=sina1，∴a2=b1+sina1=a1，∴a n=a n+1，故b n+1=a n+2﹣sina n+1=a n+1﹣sina n=b n，∴{b n}是常数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大．菁优网2016年6月12日。
【上海市高三数学课堂练习【43B.2016】】
高三数学课堂练习[43.2016.1]学号⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽得分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽[既然时间给予人金子般的年华,人就应该让时间金子般地闪光.]1. 已知,32sin =α则=α2cos ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(2)7)1(x x +的展开式中5x 的系数是 . (3)已知两个正数a 、 b 的等差中项是5，则2a 、2b 的等比中项的最大值为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(4)要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(5)顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AA 1=2，则A 、C 两点间的球面距离是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(6)在∆ABC 中，若角B=600,,2,42tan ==BC A 则AC= . 7.已知))(,(*Nn a n n ∈是直线12+=x y 上的一点，数列}{n b 满足),(1*1N n a a b n n n ∈⋅=+ n S 是数列}{n b 的前n项和，则10S = . (8)抛物线x y 42=的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且π32=∠AFB ，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为||||,AB M M M ''则的最大值为⎽⎽⎽⎽⎽⎽. 9.在A 、B 两只口袋中均有2个红球和2个白球，先从A 袋中任取2个球转放到B 袋中，再从B 袋中任取1个球转放到A 袋中，结果A 袋中恰有ξ个红球。
求0,1,2,3ξ= 的概率.10. 已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，12PA AC AB ==，N 为AB 上一点，4AB AN =,M、S 分别为PB 、BC 的中点.(1)求异面直线CM与SN 所成的角；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小.11. 数列cn a a a a n n n +==+11,2,}{中（c 是不为零的常数，n=1，2，3，…），且321,,a a a 成等比数列.(1)求c 的值；(2)求}{n a 的通项公式；(3)设数列.,}{n n nn T T n cn ca 求项之和为的前⋅-12. 已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)过点.,,)2,2(B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线 ①当m 求直线时,1=λ的方程；②当△AOB 的面积为24时（O 为坐标原点），求λ的值.高三数学课堂练习[43B.2016.1]学号⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽得分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ [既然时间给予人金子般的年华,人就应该让时间金子般地闪光.] 1. 已知,32sin =α则=α2cos ⎽⎽⎽⎽⎽⎽.{91} 2.7)1(xx +的展开式中5x 的系数是 .{7}3. 已知两个正数a 、b 的等差中项是5，则2a 、2b 的等比中项的最大值为⎽⎽⎽⎽⎽⎽.{25}4. 要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.{2539C C }5. 顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AA 1=2，则A 、C 两点间的球面距离是⎽⎽⎽⎽.{2π}6. 在∆ABC 中，若角B=600,,2,42tan ==BC A 则AC= .{33} 7. 已知))(,(*N n a n n ∈是直线12+=x y 上的一点，数列}{n b 满足),(1*1N n a a b n n n ∈⋅=+ n S 是数列}{n b 的前n 项和，则10S = .{6910} 8. 抛物线x y 42=的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且π32=∠AFB ，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为||||,AB M M M ''则的最大值为339. 在A 、B 两只口袋中均有2个红球和2个白球，先从A 袋中任取2个球转放到B 袋中，再从B 袋中任取1个球转放到A 袋中，结果A 袋中恰有ξ个红球。
上海市崇明区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准--含答案
崇明区2016学年第二次高考模拟考试试卷数 学考生注意：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．函数212sin (2)y x =-的最小正周期是 ▲ ．2．若全集U R =，集合{}{}10A x x x x =<≥∪，则U C A = ▲ ． 3．若复数z 满足2iz i i++=（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 4．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = ▲ ．5．已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的体积为 ▲ ．6．若实数,x y 满足10304x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤，则目标函数2z x y =-的最大值为 ▲ ．7．若1nx ⎫⎪⎭的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项的值为▲ ．8．数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，若122a a +=，231a a +=-，则lim n n S →∞= ▲ ．9．若函数1()42x x f x +=+的图像与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称，则(3)g = ▲ ．10．甲与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车牌尾数是0，其四位朋友的车牌尾数分别是0, 2, 1, 5，为遵守当地4月1日至5日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为 ▲ ．11．已知函数[)22sin(),0(),0,23cos(),0x x x f x x x x παπα⎧++>⎪=∈⎨⎪-++<⎩是奇函数，则α= ▲ ．12．已知ABC ∆是边长为PQ 为ABC ∆外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆边上的动点，则PM MQ ⋅的最大值是 ▲ ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．一组统计数据12345,,,,x x x x x 与另一组统计数据1234523,23,23,23,23x x x x x +++++相比较 (A)标准差相同(B)中位数相同(C)平均数相同(D)以上都不相同14．2b <是直线y b =+与圆2240x y y +-=相交的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件15．若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于,x y 的二元一次方程组132421a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况下列说法正确的是 (A)对任意(0)q R q ∈≠，方程组都有唯一解 (B)对任意(0)q R q ∈≠，方程组都无解(C)当且仅当12q =时，方程组有无穷多解 (D)当且仅当12q =时，方程组无解 16．设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>．若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的个数是①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使,,x x x xa b c 不能构成一个三角形的三边长；③若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =． (A)3个(B)2个(C)1个(D)0个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）在三棱锥C ABO -中，OA 、OB 、OC 所在直线两两垂直，（1）求三棱锥C ABO -的高；ABCO D（17题图）18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）设12F F 、分别为椭圆22221(0)x y a b a bC +=>>:的左、右焦点，点A 为椭圆C 的左顶点，点B 为椭圆C的上顶点，且AB =12BF F ∆为直角三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2y k x =+与椭圆交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，求实数k 的值．19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP 方向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦截机器人甲．若点Q 在矩形区域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知18AB =米，E 为A B 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为θ．（1）若60θ=︒，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1︒） （2）如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲？E20.（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”．()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“M 类函数”，求实数m 的最小值；（3）若22,2log (2)(),23x x mx f x x ⎧-⎪=⎨<-⎪⎩≥为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围．21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知数列{}n a 满足111,,*nn n a a a p n N +=-=∈．（1）若1p =，写出4a 所有可能的值；（2）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值； （3）若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．崇明区2016学年第二次高考模拟高三数学参考答案及评分标准一、填空题1.2π; 2.[0,1);4.16;5.43； 6.2； 7.15； 8.83； 9.0； 10.64； 11.76π； 12.3二、选择题13.D ； 14.A ； 15.C ； 16.A三、解答题17.解：（1）因为,OC OA OC OB ⊥⊥，所以OC AOB ⊥平面...............................2分设(1,03)([0,1])E λλλ-∈，则11(1,1,3),(,,0)BE OD λλ=--=BE 与OD 所成的角为θ，则||1cos 4||||BE OD BE OD θ⋅=⋅ (12) (13)分18.解：（1）||AB ==，所以223a b +=因为12BF F ∆为直角三角形，所以b c =..........................................................................3分 又222b c a +=，...............................................................................................................4分所以1a b ==，所以椭圆方程为2212x y +=........................................................6分 （2）由22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：22(12)860k x kx +++=.............................................8分由22(8)4(12)60k k ∆=-+⋅>，得：232k >..........................................................9分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有12122286,1212k x x x x k k +=-⋅=++.......................10分 因为OP OQ ⊥所以1212OP OQ x x y y ⋅=⋅+⋅2212122610(1)2()44012k k x x k x x k-=+⋅+++=+=+.....12分 所以25k =，满足232k >........................................................................................13分所以k =分 19.解：（1）AEQ 中，2,120AQ EQ AEQ =∠=︒............................................2分 由正弦定理，得：sin sin EQ AQQAE AEQ=∠∠所以sin QAE ∠=............................................................................................4分所以arcsin25.74QAE ∠=≈︒所以应在矩形区域ABCD 内，按照与AB 夹角为25.7︒的向量AQ 方向释放机器人乙，才能挑战成功.............................................................................................................6分 （2）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，建平面直角坐标系， 设(,)(0)Q x y y ≥...........................................................................................8分由题意，知2AQ EQ =，所以22(3)36(0)x y y -+=≥..................................................................11分 即点Q 的轨迹是以(3,0)为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD 内的部分所以当6AD ≥米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲...........................................14分20.解（1）由()()f x f x -=-分分00()()f x f x -=-M 类函数”.....................................................4分(2)因为()2f x m =+是定义在[]1,1-上的“M 类函数”，所以存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-， 即方程2220x xm -++=在[]1,1-上有解,.....................................................5分 令12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.............................................................................................6分则11()2m t t=-+ 因为11()()2g t t t =-+在1[,1]2上递增,在[1,2]上递减..............................8分所以当12t =或2t =时，m 取最小值54-....................................................9分 （3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m <...........................................10分因为若22,2log (2)(),23x x mx f x x ⎧-⎪=⎨<-⎪⎩≥为其定义域上的“M 类函数”所以存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-①当02x ≥时，02x -≤-，所以22003log (2)x mx -=--，所以00142m x x =- 因为函数14(2)2y x x x=-≥是增函数，所以1m ≥-..............................12分 ②当022x -<<时，022x -<-<，所以-3=3，矛盾.............................13分③当02x ≤-时，02x -≥，所以2200log (2)3x mx +=，所以00142m x x =-+ 因为函数14(2)2y x x x=-+≤-是减函数，所以1m ≥-.............................15分 综上所述，实数m 的取值范围是[1,1)-.....................................................16分 21.（1）4a 有可能的值为-2024，，，...............................................................4分（2）因为数列{}n a 是递增数列，所以11.nn n n n a a a a p ++-=-=而11a =，所以2231,1a p a p p =+=++.............................................6分 又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+.....................................8分所以230p p -=.解得13p =或0p =当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，所以13p =...........10分（3）因为{}21n a -是递增数列，所以2+1210n n a a -->，所以()()2+122210n n n n a a a a --+-> ① 但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<- ② 由①，②知，2210n n a a -->，所以()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③......13分因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-< 所以()21221221122n nn n na a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④由③，④知，()1112n n nna a ++--==.............................................................16分所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+ 所以数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅...........................................18分。
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⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(4){n a }中，1a =1,对所有的n ≥2都有221n a a a n =⋅⋅⋅L ，则53a a +=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(5)若直线
033=+++m y mx 与直线02)2(=+-+y m x 平行，则m=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(6){n a }的前n 项和)(23
1N n a S n n ∈-=，则n a =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(7)设)(x f 是定义在R 上，周期为4的偶函数，且在[4，6]上，13)(-=x x f ，则在[-2，0]上，)(x f 的表达式是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(8)设直线12=+my x 的倾斜角为α，若),2[)32,(+∞⋃--∞∈m ，则角α的范围是⎽⎽⎽ ． 9.已知α为第一象限角，且3
22sin =
α.（1）求2cos α；（2）求)32sin(πα+.
10. 已知)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且x x x f 2)(2+-=，求：（1）求)(x g 的解析式;(2)若1)()()(+-=x g x f x h λ，在[]1,1-上是增函数，求λ的范围.
11. 某厂有旧墙14米. 现利用它来建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房（高度与旧墙一致）.工程费用为:
（1）建1米长新墙需a 元；（2）修旧墙的费用为每米需4
a 元，现知利用旧墙一面的矩形边长为x 米，且14≥x ，问当x 为何值时，建墙的费用最省？最省费用为多少元？
12. 直线l 经过)1,2(A ，交抛物线x y 42=于P 1、P 2两点，并且点A 是P 1P 2的中点，求（1）直线l 的方程；（2）|P 1P 2|
的长；（3）是否存在常数a ，使抛物线2
ax y =上总存在两点关于直线l 对称.
⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(4){n a }中，1a =1,对所有的n ≥2都有221n a a a n =⋅⋅⋅L ，则53a a +=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(5)若直线
033=+++m y mx 与直线02)2(=+-+y m x 平行，则m=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(6){n a }的前n 项和)(23
1N n a S n n ∈-=，则n a =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(7)设)(x f 是定义在R 上，周期为4的偶函数，且在[4，6]上，13)(-=x x f ，则在[-2，0]上，)(x f 的表达式是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(8)设直线12=+my x 的倾斜角为α，若),2[)32,(+∞⋃--∞∈m ，则角α的范围是⎽⎽⎽ ． 9.已知α为第一象限角，且3
22sin =
α.（1）求2cos α；（2）求)32sin(πα+.
13. 已知)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且x x x f 2)(2+-=，求：（1）求)(x g 的解析式;(2)若1)()()(+-=x g x f x h λ，在[]1,1-上是增函数，求λ的范围.
14. 某厂有旧墙14米. 现利用它来建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房（高度与旧墙一致）.工程费用为:
（1）建1米长新墙需a 元；（2）修旧墙的费用为每米需4
a 元，现知利用旧墙一面的矩形边长为x 米，且14≥x ，问当x 为何值时，建墙的费用最省？最省费用为多少元？
15. 直线l 经过)1,2(A ，交抛物线x y 42=于P 1、P 2两点，并且点A 是P 1P 2的中点，求（1）直线l 的方程；（2）|P 1P 2|
的长；（3）是否存在常数a ，使抛物线2ax y =上总存在两点关于直线l 对称.。