第二章 等额年金 (上) Microsoft PowerPoint 演示文稿

解：
20000 a10 = P (1 + i )
5
20000 × 7.360087 P= 0.747285 = 196982 .0617 元
李明今年30岁 他计划每年初存 李明今年 岁，他计划每年初存300元，共存 年建 元 共存30年建 立个人养老金，这笔存款能使他从60岁退休开始每年 立个人养老金，这笔存款能使他从 岁退休开始每年 初得到固定金额的养老金，共能取20年 初得到固定金额的养老金，共能取 年，假设存款利 率在前30年为 年为6%， 年为12%，求每年得到的养 率在前 年为 ，后20年为 年为 ， 老金额。 老金额。 解：
Pa10 = 20000 1 v P = 20000 d P = 3485.25元
10
1 v10 P = 20000 i
P
= 3985.04元
2、延期m年的n年期年金
1）期末付延期年金 现值 0 m
Vm+1 m+1 1 m+n-1 1 m+n 1
vm+n-1 Vm+n
m
an = v
m +1
+v
5a6 + 7 6 a 9 +1015 a5
终值
105 + 79 (1 + i ) + 56 (1 + i ) s s s
5
14
四、年金的利率、时间问题求解
1、利率问题 1）迭代法一 2）Newton-Raphson迭代法
1）迭代法一
迭代公式
it +1 = f (it ) (i
步骤
第一步 ：确定i0，求i1； A、i0 可由线性插值法确定； B、泰勒级数前两项确定。 2
③ a 与 的关系 n sn
n = an (1 + i ) s
n
1 1 或： = + d n an s
④期初付年金与期末付年金
an = (1 + i )an
n = (1 + i ) sn s
⑤其他
an = an+1 1 an = an1 + 1 n = sn+1 1 s
例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年 内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求： 1）每年末的还款额； 2）每年初的还款额。 解: Pa10 = 20000
m+ n
2)期初付延期年金
现值
n = v m + v m +1 + + v m + n 1 a m
= v (1 + v + v + + v
m 2
n 1
)
= v an
m
或：m an = am+ n am
。
终值
n = (1 + i ) + (1 + i ) 2 + + (1 + i ) n s m (1 + i ) n 1 = d = n s
试算得： 试算得：f(0.040)=0.1109=f(i2) f(0.045)=-0.0873=f(i1)
f (i1 ) i0 = i1 (i2 i1 ) = 0.04280 f (i2 ) f (i1 )
2(10 8) i 解二：迭代一：0 ≈ 8(10 + 1) = 0.045
由公式： 由公式：
n 0
n
0
(1 + i ) t (1 + i ) dt = ln( 1 + i )
t
=
(1 + i ) n 1
δ
永续年金 a∞ = 1
δ
例：某企业从银行获得一笔贷款，年利率为6%，假设企业每 某企业从银行获得一笔贷款，年利率为 ， 年末向银行偿还20， 年后还清， 年末向银行偿还 ，000元，10年后还清，如果企业打算在 元 年后还清 如果企业打算在5 年内一次还清，试求一次还清的额度。 年内一次还清，试求一次还清的额度。
n m = n (1 + i ) = m + n m s s s s
m
.
年金的当前值
0 1 1 ------m 1 1 n 1
vn = an (1 + i ) m = sm + an m m
同理： 同理：
m n
v = an (1 + i )
m
= m + an m s
年每年初投资5万元 例：某投资项目，前3年每年初投资 万元，后3年每 某投资项目， 年每年初投资 万元， 年每 年末投资3万元 万元， 年末投资 万元，i=6%，试计算该项投资在 年末的 ，试计算该项投资在10年末的 终值 解：前3年投资在10年末的终值为：
30030 6% = Pa20 12% s
P = 3365.78元
例：某单位计划用10年时间每年初存入银行一笔固定 某单位计划用 年时间每年初存入银行一笔固定 的金额建立基金，用于10年末开始每年 年末开始每年2， 的金额建立基金，用于 年末开始每年 ，000元的永 元的永 续奖励支出， 求每年需存入的金额。 续奖励支出，i=12%,求每年需存入的金额。 求每年需存入的金额
得：
1 (1 + i ) i= A
n
。
得：
1 (1 + it ) itt+1 = +1 A
n
缺点：收敛速度慢。即达到精确值的速度慢。
2）Newton-Raphson迭代公式
it +1 1 (1 + it ) n Ait = it 1 + ( n +1) [1 + it ( n + 1)] 1 (1 + it ) t = 0,1, 2
m+ 2
++ v
m + n 1
+v
m+n
。
= v (v + v + + v )
m 2 n
= v an
m
或：
an = am+n am m
终值
m
s n = 1 + (1 + i ) + (1 + i ) 2 + + (1 + i ) n 1 (1 + i ) n 1 = = sn i
或：
m
sn = m an (1 + i )
Vn-1
an = 1 + v + v + + v
2
n 1
。
1 v = d
1 v = 1 v
n
n
或： = d an + v 1
n
②终值
。
0 1 1 1 n-2 1 n-1 1 1+i (1+i)2 n
(1+i)n
。
n = (1 + i ) + (1 + i ) 2 + + (1 + i ) n s (1 + i ) n 1 = d
。
1 (1 + it ) 得：F (it ) = it
n
A
n 1 (1 + it ) Ait it +1 = it 1 + ( n +1) [1 + it (n + 1)] = 0,1,2
如果已知 sn ，则迭代公式
(1+ it )n 1 sit it +1 = it 1+ n1 (1+ it ) [1 it (n 1)] 1
解：
P10 12% = 2000a∞ 12% s
P = 949.74元
年的年金额为5元 例：设某期初付年金共支付20年，其中：前6年的年金额为 元， 设某期初付年金共支付 年 其中： 年的年金额为 中间9年的年金额为 年的年金额为7元 年的年金额为10元 中间 年的年金额为 元，后5年的年金额为 元，请写出年金 年的年金额为 现值和终值的表达式。 现值和终值的表达式。 解：现值
3、永续年金
1）期末付年金现值
1 vn 1 a ∞ = lim a n = lim = n→ ∞ n→ ∞ i i 2）期初付年金现值
1 期初投资 i 元，
则 每年可获得1元 每年可获得 元
1 期初投资 d 元，则
1 v 1 a∞ = lim an = lim = n→∞ n→∞ d d
n
每年可获得1元 每年可获得 元
第二章
等额年金（上）
主要内容
年金的定义 年金的类型 年金的现值与终值 年金的利率问题、时间问题求解
一、年金的定义
年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付 或收款。 等额年金：每次的支付额相等。
二、年金的类型
确定性分类：确定型年金、不确定型年金。 每次的支付额分类：等额年金、变额年金。 支付时点分类：期初付年金、期末付年金。 支付期限分类：定期年金、永续年金。 连续性年金：离散型年金、连续型年金。
3）延期m年的永续年金
v a = lim v an = m ∞ n →∞ i
m m m
v a = lim v an = m ∞ n →∞ d
m
4、其他时点上的年金
过期年金的终值
0 1 1 ------n 1 n+1 n+m
sn m = sn (1 + i ) m = sm + n sm
同理： 同理：
②年金终值
.
0 1 1 n-2 1 n-1 1 n 1
1+i (1+i）2 ） (1+i)n-1
sn = 1 + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i )