完整word版,勾股定理——折叠问题与等面积法.docx
勾股定理中的折叠问题(分类整理版)
勾股定理中的折叠问题
1、如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求
线段BN的长．
2、在一张直角三角形纸片中,两条直角边BC等于6,AC等于8,将三角形ABC按如图所示的方式折叠,使点A 和点B重合,折痕为DE,求CD的长
3、如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）
的面积．
变式：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在
斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。
4、如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10CM,求DE的长
5、在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,点D恰好在对角线AC上的点F处、求EF的长。
6、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落
在CD边上的点G处，求BE的长.
7、如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）试说明：AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长．。
勾股定理折叠问题
勾股定理折叠问题勾股定理折叠问题是目前数学界解决的一个难题，也是21世纪优秀数学解决方案的典范。
来自英国伯明翰大学的研究者把该问题解释为：当两个正整数的平方和为另一个正整数时，那么存在一组正整数x，y，z，使得x2+y2=z2。
目前，越来越多的人开始从数学角度探索如何使用勾股定理折叠来解决该类问题。
首先，研究者们必须先完成一个前期的准备，也就是要理解勾股定理。
要想解决这个问题，必须熟悉勾股定理的基本概念：直角三角形的两条直角边的长度称为x和y，直角边上的角称为θ，而x2+y2=z2，则称为勾股定理。
其次，研究者要利用这一理论来解决实际中的问题。
折叠问题是指：现有一个直角三角形，要求折叠后能使其变成一个正方形。
在折叠前，根据勾股定理可知，其中有两条边长相等，若将其中一条边长折叠，使其长度变为两条边之和，则两条边的长度均等，就可以折叠出一个正方形。
另外，在解决勾股定理折叠问题的过程中，求解是确定正方形的关键。
这是一个复杂的过程，一般使用多项式求解法解决，即利用多项式构造一组解，以及其他数学技术和方法来求。
最后，研究者们对勾股定理折叠问题的解决方案做了有效的运用。
如果用多项式求解法，将可以得出精确的解，而且可以用较少的时间完成；如果用其他数学技术，如李宁积分、拉格朗日投影法等也可以实现精确的解决方案。
总而言之，勾股定理折叠问题是数学界一个难解的问题。
英国伯明翰大学的研究者首先将该问题解释为当两个正整数的平方和为另一个正整数时，存在一组正整数x，y，z，使得x2+y2=z2，并提出了一系列求解方案来解决该类问题，而这一求解方案的有效性和精确性也受到了广泛的认可。
因此，勾股定理折叠问题为我们拓展了数学思维，给了我们一种更全面和精确的解决方案，能够更有效地应用于实际问题，为21世纪优秀数学解决方案提供了一个重要的参考示范。
勾股定理折叠问题
勾股定理折叠问题勾股定理是数学中最基础的定理之一，又被称为“经典的三角形定理”。
它的核心概念是当两条边的平方相加等于第三条边的平方，那么这个三角形便是直角三角形，这时这条等式就可以写成a2 + b2 = c2。
勾股定理也可以用来解决各种折叠问题。
折叠问题是一种要求将若干张尺寸不同的纸条组合成特定形状的搭建问题。
例如有一张尺寸为的纸条，要求将其折叠成三角形的形状，那么就可以使用勾股定理来解决这样的折叠问题。
已知三角形的两条边a和b，要求折叠纸条拼凑成直角三角形，可以使用勾股定理来解决。
首先，将纸条折叠成两个小三角形，其中一个三角形的边长为a，另一个三角形的边长为b，根据勾股定理，就可以求出两小三角形的高度，即c，将两个小三角形拼接成一个直角三角形，假设将其拼接的角度为γ，则γ的大小可以根据勾股定理求出，即γ = arccos（）。
可以看出，使用勾股定理可以很方便地解决折叠问题，有助于提高工作效率。
然而，由于折叠问题的复杂性，有些折叠问题可能是无法通过勾股定理来解决的。
比如，当纸条尺寸比较大时，很难将其精确地折叠成要求的形状，或者特定形状需要纸条折叠多次，在折叠过程中精确度可能会有所损失，从而使用勾股定理解决折叠问题变得更加困难。
另外，在折叠问题中，也有一些特殊情况需要考虑。
比如，在折叠一个尺寸为的纸条时，有可能出现三角形不能顺利折叠的情况，或者当纸条数量有限时，也有可能出现无法精确折叠的情况。
此时，就需要考虑其他对解决折叠问题的办法。
总之，在折叠问题中，勾股定理可以作为一种参考，有助于计算纸条折叠后形状的精确度、大小等，但是当出现特殊情况时，就需要采取其他更有效的方法来解决折叠问题了。
(完整word版)勾股定理知识点梳理(良心出品必属精品)
第17章勾股定理知识梳理——汇森中学刘明17.1勾股定理知识点一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222+=，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a b c勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，已知a，b，c，（c为斜边长）中的任意两条边的长度，利用此定理可以求出第三条边的长度.运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，并借助直角明确直角边和斜边勾股定理的变形公式：222=-，c=a=b c a=-，222a c bb=.例1.在Rt ABCBC cm=，8=，求AC的长.∆中，90C∠=°，10AB cm知识点二：勾股定理的探索与证明勾股定理的证明方法有许多种，现在给出集中常见的证明方法：证明一：著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》中，给出了一个很好的证明.做三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，把他们拼成如图所示的形状，使H 、C 、B三点在一条直线上，连接BF 、CD .过C 作CL DE ⊥，交AB 于点M ，交DE 于点L .,,AF AC AB AD FAB CAD ==∠=∠,FAB CAD ∴∆≅∆.于长FAB ∆的面积等于212a ，CAD ∆的面积等方形ADLM 的面积的一半，∴长方形ADLM 的面积=2a .同理可证，长方形MLEB 的面积=2b .正方形ADEB 的面积=长方形ADLM 的面积+长方形MLEB 的面积，∴222c a b =+，即222a b c +=.证明二:用拼图的方法验证勾股定理 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA例2：如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积= 平方厘米；正方形Q的面积= 平方厘米；正方形R的面积= 平方厘米；正方形P、Q、R的面积之间的关系是；由此，我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在关系 .（n为大于1的正整数）的线段例3知识点四：勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．例4. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？类型一：利用勾股定理计算线段的长例1：如图所示，在四边形ABCD中，︒=DBC，3∠90=∠90BAD，︒AD=，4AB=，BC=，求CD.12变式训练1：在ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高AD 为12，求ABC ∆的周长.类型二：勾股定理解决三角形中的折叠问题例2：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边6,8AC cm BC cm ==，将ACD ∆折叠，使点C 与点E 重合，折痕为AD ，则CD 等于 .ABCE D变式训练2：如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C’的位置上，已知3BC=，重合部分△EBD的面积为．AB=，7类型三：勾股定理在空间图形中的应用例3：有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是30cm，40cm，120cm的木箱中，露在外边的长度至少为cm．DA变式训练3：一根筷子长度为17cm，斜放在半径为3cm的圆柱形水杯内，露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯高AC= cm．类型四：勾股定理的规律探索题例4:张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.变式训练4：若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？（2）写出各数都大于30的两组商高数．用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．例5：如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的ABCD的面积是 .变式训练5：在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4= ．类型六：勾股定理的实际应用例6：如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABC DL变式训练6：一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？AABA O类型七：用勾股定理巧求最短距离例7：如图，一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为 .变式训练7：如图，长方体的长为15，宽10，高为20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 .∙∙AB17.2勾股定理的逆定理知识点一：互逆命题与互逆定理1.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.注：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立.2.互逆定理有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.例1：写出下列命题的逆命题：（1）对顶角相等；（2）两个锐角的和是钝角.知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理，即如果直角三角形的三边长,,a b c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形.a b c利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：（1）确定三角形的最长边；（2）分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，且最长边的对角就是直角.例2：判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形.（1）7,24,25===；a b ca b c===；（2）0.3,0.4,0.5（3）2,3,4===.a b c知识点三：勾股数满足222+=的三个正整数，称为勾股数.a b c常见的勾股数：3,4,5； 5,12，13； 6,8,10； 7,24,25； 8,15,17；9,40,41；11,60,61； 12，16,20； 15,20,25. 另外，勾股数的倍数也是勾股数.例3：根据下列条件，判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形（1）7,24,25a b c===；a b c===；（2）8,15,19（3）0.6,0.8, 1.0===.a nb nc na b c===；（4）3,4,5类型一：判断三角形是否是直角三角形例1：在ABC ∆中，22a m n =-，2b mn =，22c m n =+，其中m 、n 是正整数，且m n >，试判断ABC ∆是否是直角三角形.变式训练1：若ABC ∆的三边,,a b c 满足条件222338102426a b c a b c +++=++，试判定ABC ∆的形状．类型二：勾股定理及其逆定理的综合应用例2：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90︒.AB DCFE变式训练2：如图，是一种四边形的零件，东东通过测量，获得了如下数据：AB=4cm，•BC=12cm，CD=13cm，AD=3cm，东东想计算这种零件的面积，你认为东东还需测出哪些数据？请你写出这些数据并帮东东算出这种零件的面积.变式训练3：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．C类型三：利用勾股定理逆定理解决航海中问题例3：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？①“远航”号航行的距离是多少海里？②“海天”号航行的距离是多少海里？③“远航”号航行的距离和“海天”号航行的距离与两船之间的距离满足什么关系？④根据以上各题你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？变式训练4：如图，南北向MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？************勾股定理中考链接*************1.（2013巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．A M C B2.（2013雅安）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣，0），B （，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．124.（2013湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理5.（2013柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A． B． C． D．考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理6.（2013鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．考点：三角形中位线定理；勾股定理．7.（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．8．（2013绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是．考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征．9.（2013莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．考点：勾股定理10.（2013包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度．考点：勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．11.（2013株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．12.（2013襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是．考点：图形的剪拼；勾股定理．13．（2008年广东湛江市）如图9所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于点E．连接AC、OC、BC ．（1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．考点：圆；勾股定理第14章 勾股定理单元测试一、选择题1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D. 82. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）；④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a:b:c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a:b:c =13∶5∶12 4. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是( ) A ．5 B ．25 C ．7 D ．5或7 6．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是( )A. 24cm 2B. 36cm 2C. 48cm 2D. 60cm 27．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )A ．121B ．120C ．90D ．不能确定8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定9．直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )A ．61B ． 71C ．81D ． 9110. 已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ A.6B.8C.10D.12二、填空题11. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 12. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那F第10题图13．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．14．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．15．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.16．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．17．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．18.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 . 三、解答题19.图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形.20.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，a ＝2n 2＋2n ，b ＝2n ＋1，c ＝2n 2＋2n ＋1（n 为大于1的自然数）,试说明△ABC 为直角三角形.21. 如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA=10km,CB=15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处？图1图222. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？E BCAD23.如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B 岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？24. 如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8m，求DE的长．AB CDE25. 如图所示的一块地ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，，求这块地的面积．CDA B。
勾股定理折叠问题
勾股定理折叠问题勾股定理是一个经典的几何定理，它指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于其他两条边的平方和。
它是古希腊数学家苏格拉底提出的，也是至今最有名的几何定理之一。
在现代数学教育中，勾股定理得到了广泛的应用。
它可以用来计算直角三角形的边长，也可以用来解决各种定理和问题。
在过去的几十年中，勾股定理也被用来解决各种类型的学科和活动，如建筑、航海、发动机设计等。
然而，有一个关于勾股定理的问题，仍然困扰着数学爱好者和老师。
这就是“折叠”问题，它指的是，一个直角三角形可以折叠成两个相邻的矩形，而不改变任何一条边的长度。
这个问题似乎很有趣，但是很少有人能给出有效的回答。
据说，在古希腊时期，勾股定理的发现就与折叠问题有关。
但是，直到19世纪，这个问题才得到了正式的解答。
此后，有关折叠问题的研究进入了热潮。
折叠问题可以通过解方程来求解，其中一个重要的方程就是勾股定理。
具体来说，如果一个直角三角形的两个短边长度分别是a和b，那么它的斜边长度就是c，且有 c2 = a2 + b2。
这就是勾股定理的基础内容。
此外，折叠问题还可以用等比数列来解决。
等比数列的定义是，若不等式 an+1 = ran (n≥0)立，则称 a0, a1, a2, ...数列称为等比数列。
这里， r 为公比，an 为等比数列中的元素，n 为正整数。
如果用等比数列的思想来解决折叠问题，就可以得到折叠后斜边长度 c表达式：c = a0 + (r-1)Σ (a1, a2, ... , an)。
这是一个有趣的结果，也验证了苏格拉底在古希腊时期对勾股定理的猜想。
以上就是关于勾股定理折叠问题的研究内容。
通过苏格拉底的几何定理，以及等比数列的定义，我们可以看出，勾股定理在折叠问题中起着重要的作用，可以用来求解折叠后斜边长度的表达式。
总之，勾股定理是一个经典的几何定理，它对于许多学科和活动都有着广泛的应用。
同时，它也为我们提供了一个有趣的折叠问题，可以通过正确的数学方法解决这一问题，以便给出有效的解答。
勾股定理解析折叠问题含详细的答案
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所 示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= ，3 求DC的长。 B
C′
求能角重得平叠到分等部线腰分与三△平角B行形E线D的组面合积时,。 A E
D
B
C
在矩形的折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找
到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方
程思想解决问题。
探究三 如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,
把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的 中点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将 图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用 动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。
谢谢大家！
课后作业
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在
BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么
∠DAE等于
y
AD
B
E
O
C
x
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系 中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取 一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上 的D点，求E点的坐标。
动手折一折
折叠过程就是轴对称变
成用面一积张减直半角的三矩角形形吗形换? 痕,状说折两的痕明边纸就理的片是图由对,形。你称全能轴等，折。折叠
若用一张任意三角形形状的纸片,你还能 折叠成面积减半的矩形吗?
利用勾股定理解决折叠问题
E
B F C
抽查清：8号同学只做第一问，其余全做
如图，沿AE折叠长方形ABCD，使点D 恰好落在BC边的点F处，已知AB=8cm BC=10cm （1）求CE的长 A D （2）求S△AEF E
B
F
C
利用勾股定理解素， 明确解题思路，掌握解题步骤. 2. 能正确利用勾股定理解决有关折 叠问题.
题型一：求线段长度
如图，有一长方形纸片ABCD,长AD=9 宽AB=3，若将其折叠，使点D与点B重合， 求DE的长. E D 解 ： 由折叠可知：DE=BE
A B
设DE=X 则 BE=X AE=9-X 在Rt△ABE中，∠A=90°
F C′ C
根据勾股定理可得：
32+（9-X）2=X2
解得：X=5
∴DE=5
变式训练（一）：
如图所示，折叠长方形ABCD的一边AD, 使点D落在BC边的F处，已知AB=8 BC=10 求CE的长.
A
D
E
B
F
C
变式训练（二）：
题型二：求线段的取值范围 （走进中招） 如图折叠长方形纸片ABCD， 使点B落在边AD 上的点F处，折痕EG 的两端分别在AB、BC上（含端点） AB=6 BC=10，求点F和点A的最远距 离和最近距离. 求 AF 的取值范围 . G C B
2≤AF ≤ 6
E A
F
D
当堂训练：
如图，折叠一个长方形纸片，沿着AE 折叠后，点D恰好落在BC边的以点F处， 已知AB=8 BC=10 求S△EFC
如图，长方形ABCD中，AB=12 BC=5 点E在AB上，将△DAE沿DE折 叠，使点A落在对角线BD上的以点A′ 处，求AE的长.
勾股定理千古第一定理(最全)word资料
勾股定理千古第一定理(最全)word资料勾股定理——千古第一定理在古代，许多民族发现了这个事实即直角三角形的三条边长为a，b，c，则a2+b2=c2.其中a，b是直角边长，c为斜边长.我国的算术《周髀算经》中，就有关于勾股定理的记载，为了纪念我国古人的的伟大成就，就把这个定理定名为“勾股定理”或“商高定理”.在西方，被称为“毕达哥拉斯”定理，是因为现代的数学和科学的来源于西方，而西方的数学和科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，就落在毕达哥拉斯的头上.不管怎么说，勾股定理是数学中的伟大定理，它的应用范围是非常广泛的，它给人们的巨大力量可说是难以估量，几乎所有生产技术和科学研究都离不开它；而且有许多发展目前还探索不够，说不上什么时候会出现创新出奇的崛起，它的前程未可估量.人类远征太空的梦想正在实现.当年，周公憧憬“天可阶而升”的幻想竟变成了现实.今天，人们普遍认为，与世外文明生物对话的日子虽很遥远，但却势在必行.很难想像，他们是什么模样，智能高低如何，总不能按照几千年来人们创造神的形象那样，谁也未曾见过神，于是，神就被模塑得与人一样.可是，人类的智慧毕竟贫乏，无法确定“世外人”的分辨能力，只好将“地球人”的意识强加给“世外人”.因此，为了寻找与“世外人”接触的可能性，人类已向太空发射一批物件，其中包括：地球人的男、女形象，各种物质和元素符号，有代表性的乐曲……数学家华罗庚提出一种新颖的独特设想：最好带两个图形去，一个“数”，一个“数形关系”.他提供的“数”如上图(左)，这是“洛书”，相传大禹治水时，洛水中爬出一只神龟，背负着这幅象征吉祥的图，它构成了一个“幻方”，纵、横和对角线的数字和都为15.“数形关系”则如上图(右)，这分明是一幅人们所熟悉的“勾股弦关系”图.这两个图形说明数学的基础扎根于它们之中，不论在我们居住的地球上，或是某个神秘的天体上，绝无例外.为什么说勾股定理如此重要，是千古第一定理呢？除以上所述外，更重要的在于：(1)勾股定理是联系数学最基本的，也是最原始的两个对象——数与形第一定理；(2)勾股定理导致无理数的发现.这就是所谓的第一次数学危机.(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学；(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多组数满足这个方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导出各式各样的不定方程，包括著名的费马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式.勾股定理的推广如果把勾股定理“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和”中的平方，理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理还可以推广.比如，把由直角三角形三边所构作的三个正方形，推广为以三边为直经的半圆，结论仍然成立，即以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作的半圆的面积之和(如下图).证明如下：因为c 2=a 2+b 2.等式两边同乘4π，得 4πc 2=4πa 2+4πb 2即π(2c )2=π(2a )2+π(2b )2所以222)2(21)2(21)2(21b a c πππ+=如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻一个身，成为下图的样子，不难证明“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”.这两个阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙形”.《原本》一书中勾股定理的证明我们知道，勾股定理的证明方法有五百余种.现存的最古老的证明，载于欧几里得的《原本》一书中，它随《原本》在世界广泛流传而流传，成为二千年来《几何学》教科书中通用证法.如下图，在Rt △ABC 各边上向外作正方形ABED ，BCG K ，CAFH .连结CD ，FB .因为AF =AC ，AB =AD ，∠F AB =∠CAD =90°+∠CAB ，所以△F AB ≌△CAD ，作CL ∥AD .因为S △F AB =21F A ·FH .(FH 为△F AB 的AF 边上的高).而S 正方形CAFH =F A ·FH .所以S 正方形CAFH = 2S △F AB . 又因为S △CAD =21AD ·DL (DL 为AD 边上的高)，而S 长方形ADLM =AD ·DL ，所以S 长方形ADLM = 2S △CAD ；综上所述，可得S 正方形CAFH =S 长方形ADLM .同理可证S 正方形BCGK =S 长方形BELM ，所以S 正方形ABED =S 长方形ADLM +S 长方形BELM =S 正方形CAFH + S 正方形BCGK ，即AB2=AC2+BC2.其实，欧几里得《原本》中的证明并不简单，简明的证明要数公元三世纪我国数学家赵爽给出的勾股圆方图.即这节课我们介绍的验证勾股定理的第二种拼图.c ab ac b b c ba ac勾股定理勾股定理的证明【例】 如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形． 借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？ 练习1． 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称 为弦图．观察图形，验证：c 2＝a 2＋b 2.2、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新 的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ′C ′D ′ 的位置，连接CC ′，设AB=a,BC=b,AC=c ，请利用四边形BCC ′D ′ 的面积验证勾股定理：a 2+b 2=c 2.翻折中的勾股定理【例】．如图，折叠矩形的一边，使点D 落在BC 边的点F 处，其中cm 10,cm 8==BC AB ，你知道CE 多长吗？练习1、 如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /处， BC /交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则DE 的长为（ ） A 3 B 4 C 5 D 62、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm,BC =8cm,现将 直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上， 且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3. 如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出对角线BD,再折叠使AD 边与BD 重合,得到折痕DG,若AB=8. BC=6,求AG 的长.D ＇BC D A C ＇B ＇ a bcAEC D BEBDC'第1题DCA G BD ˊ A B CD A ˊB ˊC ˊ4、如图长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，将该矩形折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为（ ） （A ）3.74 （B ）3.75 （C ）3.76 （D ）3.775、（2020 安徽）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN等于（ ）A.65 B. 95 C. 125 D. 1656、（2020内江）如图，在等腰三角形ACB 中，5AC BC ==，8AB =，D 为底边AB 上一动点（不与点A B ，重合），DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E F ，，则DE DF +=最值问题1、点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是（ ）2．已知长方体的长为2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B 点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?3、如图：有一圆柱，它的高等于cm 8，底面直径等于cm 4（3=π）在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约4、如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm ，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，•最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是________厘米5．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中，●●AB (第1题图) （3题图）BAA 6题图BCDEF A MNC B 第5题4题图5题图则细木棒露在盒外面的最短长度是 ㎝．6．如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？方位角与勾股定理【例】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00吗？练习1．如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛.若C 、B 两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？2、如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西300，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西450，问该货轮到达灯塔正东方向D 处时，货轮与灯塔M 的距离是多少？（精确到0.1海里）勾股定理的逆用【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.小河 A B C D A B练习1. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF是什么三角形？请说明理由.2、如图所示，在四边形ABCD 中，已知：1:3:2:2:::=DA CD BC AB ，且090=∠B ，求DAB ∠的度数。
(完整版)勾股定理中的折叠问题
C E勾股定理中的折叠问题例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）(1)求BF 的长； (2)求EC 的长。
BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5，例2：已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm 2B 、8cm 2C 、10cm 2D 、12cm 2对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，•若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？第11题图AE BCDF2、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，求重合部分△EBD 的面积例3：有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分 线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？对应练习：1、如图，在△ABC 中，∠B= 90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。
AECDB ADBCE F例4：如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，恰与AE 重合，求CD对应练习：1、如图，四边形ABCD 是矩形，AB =3，BC =4，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点E ，求DE 的长和△ACE 的面积.2、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG .ACD BEG A BC'EDCB A 总结：一、 三角形中的折叠基本图形二、矩形FEDCBA EA(B)图1ACBDC ´ABCD E FA ′B ′。
(完整word)用等积法证明勾股定理专题
用等积法证明勾股定理专题姓名：一、引入学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证,依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形． 请读者证明．对应练习:1、如图所示为一种“羊头"形图案，其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16③'④'④③②'②①（图1）（2）（3）a bcl2、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三、股四，则弦五"的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G,H,I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．1213、如图，直线l上有三个正方形a b c，，,若a c，的面积分别为5和11,则b的面积为（)（Ａ）4 (Ｂ)6（Ｃ）16 （Ｄ）554、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=_______。
5、在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系(如图2)．问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆,探究S′+ S″与S的关系（如图3)．6、如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．（1）请你画出一种图形,并验证勾股定理．（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．7、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题。
(完整版)利用勾股定理解决折叠问题及答案
小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( )A.252 cmB.152 cmC.254 cm D.154cm2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )A ．4B ．3 2C ．4.5D ．54．如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( )A ．3 B.154 C ．5 D.1526．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( )A．210－2B．6C．213－2D．47．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE 的周长为________．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________．9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题1．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )A．6 cm B．12 cmC．13 cm D．16 cm2．如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.3．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是________m(精确到0.01 m)．4．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？5．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．参考答案类型11．D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A 7.7 8.6 cm29.13310．1.511.因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以△ADE≌△AFE.所以DE＝FE，AD＝AF.因为BC＝20 cm，AB＝16 cm，所以CD＝16 cm，AD＝AF＝20 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝12 cm.所以CF＝20－12＝8(cm)．因为四边形ABCD是长方形，所以∠C＝90°.设CE＝x，则DE＝EF＝16－x，在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2.解得：x＝6.所以EC＝6 cm.答：EC＝6 cm，CF＝8 cm.类型21．C 2.15 3.2.604．把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC.即O为DC的中点，由勾股定理，得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.5．(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89.∵l1>l2，∴最短路径的长是89.。
八年级勾股定理折叠问题
八年级勾股定理折叠问题在一个阳光明媚的下午，大家聚在一起，准备探讨一个看似简单却又充满乐趣的主题——勾股定理。
想象一下，咱们坐在公园的长椅上，四周的花儿争相斗艳，孩子们在旁边欢声笑语。
嘿，今天咱们就来聊聊这个古老而神奇的数学法则！先别急，听我慢慢说。
勾股定理，说白了就是在直角三角形中，直角两边的平方和等于斜边的平方。
这听上去有点复杂，但其实生活中处处都能碰到它的影子。
你有没有注意过，那个三角形的形状就像个小房子，房子里面有你最爱的甜点，嘿嘿，谁不想一探究竟呢？说到这里，不禁让人想起了小时候的那些小故事。
记得有一次，和小伙伴们一起在院子里玩飞盘，我们决定用勾股定理来测量飞盘落地的位置。
一个个围成一圈，开始比拼，飞盘在空中划出一道优美的弧线，简直是完美得不像话。
然后，我们就开始琢磨怎么用这道理来计算飞盘落点的距离。
想想当时的样子，大家的脸上都写满了“数学探险家”的光辉，真是好玩极了！不知不觉，我们就把这道理运用到了实际，心里那个高兴呀，感觉自己简直成了小小科学家。
勾股定理的魅力不止于此，它在生活中随处可见。
比如，你在搭帐篷的时候，得确保帐篷的每个角都是直角，才能撑得稳。
此时，你心里是不是默念着“勾股定理”呢？而当你用绳子把两根杆子绑在一起时，不妨一试，用三角形的方法，看看能不能搭出个完美的帐篷。
哦，对了，听说过“好马配好鞍”吧，做事情也得讲究技巧，勾股定理就是你在生活中的好搭档，绝对让你事半功倍。
再说说学校的课堂，老师们总是用各种方法来解释这个定理。
有的老师甚至用小动物来举例，像小猫、小狗，真是萌到不行。
想象一下，小狗在追小猫，跑成了一个直角三角形。
大家都笑得前仰后合，而那个小猫就是斜边，追得可真不容易。
每次上课，我都觉得这个定理比吃冰淇淋还要甜。
老师的幽默让这些枯燥的数字变得生动有趣，感觉数学真是个神奇的世界。
勾股定理也不是所有人都能一上来就搞懂的。
有人可能一头雾水，心想：“这和我有什么关系？”别急，慢慢来。
方法归纳 利用勾股定理解决折叠问题
方法归纳利用勾股定理解决折叠问题一、利用勾股定理解决平面图形的折叠问题【例1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5 cm，BC=10 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为( )A.252cm B.152cm C.254cm D.154cm【分析】图中CD在Rt△ACD中，由于AC已知，要求CD，只需求AD，由折叠的对称性，得AD=BD，注意到CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之.【方法归纳】折叠问题是近几年来中考中的常见题型.解折叠问题关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解.1.如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为( )A.1 cmB.1.5 cmC.2 cmD.3 cm2.(2014·青岛)如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF 的长为( )A.4 C.4.5 D.53.如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A.3B.4C.5D.64.如图，长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC 等于( )A.1B.2C.3D.45.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长为( )A.1.5B.2C.2.25D.2.56.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为__________.7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6 cm，AC=8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是__________.8.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为__________.二、利用勾股定理解决立体图形的展开问题【例2】如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为__________cm.【分析】将圆柱形平面展开，将A、C两点放在同一平面内,然后利用勾股定理进行计算.【方法归纳】在曲面上求两点之间的最短距离，根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想，利用勾股定理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长是9 cm而不是18 cm.9.如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )A.6 cmB.12 cmC.13 cmD.16 cm10.如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是__________m（精确到0.01 m）.11.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？12.如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.参考答案例1要使A，B两点重合，则折痕DE必为AB的垂直平分线.设CD=x，则AD=BD=10-x.在Rt△ACD中，由勾股定理，得x2+52=(10-x)2.解得x=15 4.故应选D. 变式练习1.A2.A3.D4.B5.B6.77.6 cm28.13 3例2如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后，侧面是一个长18 cm，宽12 cm的长方形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D.由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP.由已知和长方形的性质，得DC=9,BD=12.在Rt△BCD中，由勾股定理得∴AP+PC=BP+PC=BC=15.即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15 cm.变式练习9.C 10.2.6011.把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图.构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD=OC.即O为DC的中点，由勾股定理得AC′2=AD′2+D′C′2=82+62=100,∴AC′=10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.12.(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC1′D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC1′和AC1两种.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1′，爬过的路径的长l1.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2∵l1>l2，鱼儿，在水中串上串下，吐着顽皮的泡泡；鸟儿从荷叶上空飞过，想亲吻荷花姑娘的芳泽。
八下数学勾股定理折叠问题求面积
八下数学勾股定理折叠问题求面积
小明正在学习八年级数学中的勾股定理，并尝试解决一个折叠问题。
给定一个直角三角形，边长分别为3、4、5，把这个三角形沿着斜边折叠成一个四边形，求这个四边形的面积。
小明知道勾股定理可以用来求斜边长，即 $sqrt{3^2+4^2}=5$，因此可以确定四边形的一条边长为5。
接着，他想到可以利用勾股定理求出两个斜边的长度，分别为3和4。
那么，如何求出另外两条边的长度呢？
小明发现，这个四边形可以被分成两个等腰直角三角形，它们的斜边分别为3和4，可以用勾股定理求出它们的短边长为
$frac{3}{sqrt{2}}$和$frac{4}{sqrt{2}}$。
因此，四边形的另外两条边的长度分别为5-$frac{3}{sqrt{2}}$和5-$frac{4}{sqrt{2}}$。
最后，小明利用四边形的面积公式 $S=(a+b+c+d)r/2$，其中
$r$为对角线的长度，计算出这个四边形的面积为17.5。
小明非常开心，他用勾股定理和几何知识成功解决了这个折叠问题。
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利用勾股定理解决折叠问题的步骤
利用勾股定理解决折叠问题的步骤下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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折叠问题是指给定一张纸，将其折叠成一定形状的问题。
利用勾股定理解决图形折叠和求图形面积的问题
思路点拨:
（1）折叠问题的变与不变，变的是折叠前后图形的位置， 不变的是折叠前后图形的形状和大小，因此折叠前后的 两个图形是全等的，进而可以利用全等的性质求解。
（2）注意折叠中90度角的位置变化，通常在折叠后， 因为90度角的位置变化，会产生直角三角形，进而可以 运用勾股定理求解。
（3）学会将待求量设为未知数，通过勾股定理建立等 量关系式，从方程的思想看待问题，从而将几何问题代 数化。
题一
如图，长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC 上的F处，已知AB＝6，BC=10，则EC等于( ) A．3 B．C＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线 BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段 DE的长为( ) A．3
思路点拨:
（1）折叠问题的变与不变，变的是折叠前后图形的位置，
不变的是折叠前后图形的形状和大小，因此折叠前后的
两个图形是全等的，进而可以利用全等的性质求解。
思路点拨:
（1）折叠问题的变与不变，变的是折叠前后图形的位置， 不变的是折叠前后图形的形状和大小，因此折叠前后的 两个图形是全等的，进而可以利用全等的性质求解。
（2）利用数形结合思想，将已知条件和 分析过程标在图上，通过勾股定理建立 等量关系式，将几何问题代数化，进行 求解。
B.15/4 C．5
D.15/2
题三
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图
中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，
那么△ADC′的面积是(
)．
总结：
（1）在折叠问题中注意找相等的边和相 等的角，注意90度角位置发生的变化。
(word完整版)初二数学--勾股定理讲义(经典)
第一章 勾股定理【知识点归纳】123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）勾股定理的验证abcab cab cabcababa bba例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+（3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A.222a b c +=B. 222a c b +=C. 222c b a +=D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、7D 、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
勾股定理折叠问题
勾股定理折叠问题勾股定理，又称“毕达哥拉斯定理”，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前300年时所发现的一条数学定理，是目前数学中最著名的定理之一。
勾股定理定义：在直角三角形中，三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
记为：a² + b² = c²1、勾股定理发现路径长前300年，毕达哥拉斯是希腊古代最伟大的数学家之一。
在他的探索中，他发现了一条奇异的形态，它就是“勾股定理”。
他与其他数学家一道从南到北，从杨达雅当时的希腊数学鼻祖开始，必经另外三位数学家，包括埃拉托斯特尼，艾培拉和几何学的奠基人厄普代克，才最终发现了勾股定理，以它的实用性和普遍性对数学界造成了巨大的影响。
2、勾股定理的应用勾股定理在日常生活中有着广泛的应用，它可以让我们以更有效率的方式解决许多数学问题，例如解决折叠三角形的大小，测量几何图形等。
此外，勾股定理也能在统计学和金融学中起到解释和替换复杂的概率公式的关键作用，以此来预测期望利率、风险程度等概念。
3、勾股定理的引申此外，这个定理的发现还引发出许多新的数学思想，诸如三角函数和立方根等，从而推动了数学发展的进程。
同时，“勾股定理”也用于科学研究上，有助于帮助我们确定物体行星位置，研究太空测量，对位置、距离和时间的大量计算，以及估算天体运动轨道等。
总之，勾股定理是一个有着悠久历史的数学定理，注定成为数学发展史上不可缺少的一部分。
4、勾股定理的折叠勾股定理折叠，就是在只用纸笔的情况下，通过给定三条直线，来求得所构造三角形，其中能够满足勾股定理的解。
其实折叠并不难，它可以从三个动作来进行解说。
首先，先将三角形折叠成一条直线，再以直线为基础，其他两条线分别放在左边和右边，使得斜边与两边分别相等。
最后，用斜边折出一个似直 h三角形，满足勾股定理的三角形就折叠出来了。
在折叠的过程中，我们不仅要考虑折叠的正确性，还要注意折叠的简明性，在折叠勾股定理三角形时，不能多折纸，也不能歪折纸，因为它会影响最后的结果。
(word版)初二深圳北师大版八年级上册数学知识点及习题,文档
八年级上册数学知识点总及其复习稳固第一章勾股定理1、勾股定理(1)直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c22〕勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法,,〔通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法〕3〕勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a2b2c2的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数有：〔6,8,10〕〔3,4,5〕〔5,12，,13〕〔9,12,15〕〔7,24,25〕〔9,40,41〕,,4、勾股数的规律：1〕，短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。
即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2，那么a,b,c就是一组勾股数.如〔3,4,5〕〔5,12，,13〕〔7,24,25〕〔9,40,41〕,,〔2〕大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：6,8,10〕〔8,15,17〕〔10,24,26〕,,第一章勾股定理一、根底达标:1 .以下说法正确的选项是〔〕A.假设a、b、c是△ABC的三边，那么a2＋b2＝c2；B.假设a、b、c是Rt△ABC的三边，那么a2＋b2＝c2；C.假设a、b、c是Rt△ABC的三边，A90，那么a2＋b2＝c2；D.假设a、b、c是Rt△ABC的三C90，那么a2＋b2＝c2．边，2 .△ABC的三条边长分别是a、b、c，那么以下各式成立的是〔〕A．abcB.abc C.abc D.a2b2c23．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，那么直角三角形的周长为〔〕A．121B．120C．90D．不能确定4．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，那么△ABC的周长为〔〕A．42B．32C．42或32D．37或33 5．斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是．6．假设有一个三角形是直角三角形，那么三边a、b、c之间应满足，其中边1是直角所对的边；如果一个三角形的三边a、b、c满足a2c2b2，那么这个三角形是三角形，其中b边是边，b边所对的角是．7．一个三角形三边之比是10:8:6，那么按角分类它是三角形．8．假设三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边长为1cm，最长边长为2cm，那么这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．9．如图，ABC中，C90，BA15，AC 12，以直角边B BC为直径作半圆，那么这个半圆的面积是．10．一长方形的一边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长是．AC二、综合开展:11．如图，一个高4m、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．一个三角形三条边的长分别为15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是多少？13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.3m4m20m14．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例〞规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪2正前方30m，了2s后，得小汽与速距离50m，小汽超速了？小汽B车小汽C车A点第二章实数一、数的概念及分1、数的分正有理数有理数零有限小数和无限循小数数有理数正无理数无理数无限不循小数无理数2、无理数：无限不循小数叫做无理数。
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折叠问题与等面积法（讲义）
一、知识点睛
1.折叠问题处理思路：
（1 ）找 __________________；
（2 ）____________________；
（3 ）利用 _______________列方程．
2.等面积法
当几何图形中出现多个高（垂直、距离）的时候，可以考虑 ______________解决问题，即利用图形面积的不同表达方式列方程．
二、精讲精练
1.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC =6cm ， BC =8cm ，现将直角边 AC 沿直线
AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与 AE 重合，则线段 CD =__________．
C
A
M
D F
D
N
B E A B E C
第 1题图第 2 题图
2.如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在点 F
处，折痕为 MN ，则线段 CN 的长是 __________．
3.如图，在长方形 ABCD 中， AB =3 ，AD =9 ，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕
为 EF ，则△ ABE 的面积为 ________．
A E D
B F C
C'
4.如图，折叠矩形的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB =8cm ，BC =10cm ，
则 EF =________．
A D
E
B F C
5. 如图，在矩形 ABCD 中， BC =4 ，DC =3 ，将该矩形沿对角线BD 折叠，使点 C 落在点
F 处， BF 交 AD 于点 E，求 EF 的长．
F
A D
E
B C
6.如图，在△ ABC 中，AB =20 ，AC=12 ，BC =16 ，点 E 为线段 BC 上一点，把△ ABC 沿
AE 折叠，使 AB 落在直线 AC 上，求重叠部分（阴影部分）的面积．
A
B E C
B'
7.如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边
上的 B' 处，点 A 的对应点为 A'，且 B'C =3 ，则 CN =______，AM =______.
A'
A M
D
A
B'
N
B N
C B M C
第 7 题图第9题图
8. 若直角三角形两直角边的比为5:12 ，则斜边上的高与斜边的比为（）
A ．60:13
B ． 5:12C． 12:13 D ． 60:169
9.如图，在△ ABC 中， AB =AC=5 ， BC =6 ，点 M 为 BC 的中点， MN ⊥AC 于点 N，则
MN =__________．
10.若直角三角形两条直角边的长分别为 7 和 24 ，在这个三角形内有一点 P 到各边的距离都相
等，则这个距离是 __________．
11.已知 Rt △ ABC 中，∠C=90 °，若 a+b=14cm ，c=10cm ，则 Rt △ABC 的面积是 ________．
12.若等腰三角形底边上的高为 8 ，周长为 32 ，则该等腰三角形的面积为 __________．
13.如图，在四边形 ABCD 中，AB =3cm ，AD =4cm ，BC =13cm ，CD =12cm ，且∠ A=90 °，
求四边形 ABCD 的面积．
A D
B
C
14.如图所示的一块地，已知∠ ADC =90 °， AD =12m ， CD =9m ， AB =39m ，BC =36m ，
求这块地的面积．
C
D
A B
【参考答案】
一、知识点睛
1 ．折叠问题的处理思路：
（1 ）找折痕（折痕所在的直线是对称轴）
（2 ）转移、表达
（3 ）利用勾股定理等列方程．
2 ．等面积法二、精讲精练
1 ． 3cm
2 ．3cm
3． 6
4 ．5cm
5 ．
7
6 ．36
7 ．4 ；2
8 ．D
8
9 ． 12
10 ． 3
11 ．24cm 2
12 ．48
5
13 ． 36 cm 2
14 ．216m 2。