2019年高考应用题精讲-解析几何模型类

2019年高考应用题精讲-解析几何模型类

此类题目需构造几何模型，运用几何模型的基本性质求解

1. 如图，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中AE ＝30 m ．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看，活动中心的截面由两部分组成，其下部分是矩形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长EG 不超过

2.5

m ，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ＝34

. (1) 若设计AB ＝18 m ，AD ＝6 m ，问：能否保证上述采光要求？

(2) 在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中π取3)

解：如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．

(1) 因为AB ＝18，AD ＝6，所以半圆的圆心为H(9，6)，

半径r ＝9.设太阳光线所在直线方程为y ＝－34

x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝0，(2分) 则由|27＋24－4b|32＋42

＝9，解得b ＝24或b ＝32(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34

x ＋24.(5分) 令x ＝30，得EG ＝1.5 m ＜2.5 m.

所以此时能保证上述采光要求．(7分)

(2) 设AD ＝h m ，AB ＝2r m ，则半圆的圆心为H(r ，h)，半径为r.

(解法1)设太阳光线所在直线方程为y ＝－34

x ＋b ，即3x ＋4y －4b ＝0. 由|3r ＋4h －4b|32＋42

＝r ，解得b ＝h ＋2r 或b ＝h －2r(舍)．(9分) 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34

x ＋h ＋2r. 令x ＝30，得EG ＝2r ＋h －452，由EG ≤52

，得h ≤25－2r.(14分) 所以S ＝2rh ＋12πr 2＝2rh ＋32×r 2≤2r(25－2r)＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52

(r －10)2＋250≤250.

当且仅当r ＝10时取等号．

所以当AB ＝20 m 且AD ＝5 m 时，可使得活动中心的截面面积最大．(16分)

(解法2)欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5 m ，则此时点G 为(30，

2.5)．

设过点G 的上述太阳光线为l 1，则l 1所在直线方程为y －52＝－34

(x －30)，即3x ＋4y －100＝0.(10分)

由直线l 1与半圆H 相切，得r ＝|3r ＋4h －100|5

. 而点H(r ，h)在直线l 1的下方，则3r ＋4h －100＜0，

即r ＝－3r ＋4h －1005

，从而h ＝25－2r.(13分) 又S ＝2rh ＋12πr 2＝2r(25－2r)＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52

(r －10)2＋250≤250. 当且仅当r ＝10时取等号．

所以当AB ＝20 m 且AD ＝5 m 时，可使得活动中心的截面面积最大．(16分)