第十章 曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

一、选择题

1、设L 为03

,02

x x y =≤≤

，则4L ds ⎰的值等于 （D ）

A 、04x

B 、06x

C 、0

D 、6

2、设L 为直线cos sin x a t

y a t =⎧⎨=⎩上取顺时针方向，则2L

dy ⎰的值等于 （C ）

A 、4

B 、06y

C 、0

D 、6

3，设L 为上半圆周0y y =上从A （0，y 0）到B （3，y 0）的有向线段，则L

ydx xdy

-⎰的值等于 （C ） A 、0 B 、

2

ab π

C 、ab π

D 、ab 4、设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则在D 内L

Pdx Qdy +⎰ 路径无关的条件

,(,)Q P

x y D x y

∂∂=∈∂∂是（ B ） A 、充分条件 B 、充分必要条件 C 、必要条件 D 、既不充分也不必要条件

5、平面有界闭区域边界曲线的正向是指（ C ） A 、逆时针方向 B 、顺时钟方向

C 、人沿这个方向行走，区域总位于人的左侧

D 、人沿这个方向行走，区域总位于人的右侧

6．设L 为222x y R +=，则3(2)L

x y ds +=⎰________。

A ．2；

B ．2

3

； C ．-2； D ．0。

7．设L 为

222

2

1x y a

b

+

=的逆时针方向，则()()L

x y dx x y dy ++-=⎰________。

A ．-2πab ；

B ．2πab ；

C ．πab ；

D ．0。

8．设OM 是从(0,0)(1,1)O M 到的直线段，则与OM

I =

⎰

不相等的积分是______ _。

A ．1

0⎰； B ．1

⎰； C ．0

r

dr ； D ．1

e ⎰。

9．设L 是从（0，0）沿折线11y x =--至点（2，0）的折线段，则L

ydx xdy -+=⎰_______。

A ．0；

B ．－1；

C ．2；

D ．－2。

10．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，L 所围的平面闭区域D 的面积为A ，(2)(43)9L

x dx x y -++=-⎰，则A=__________。

11．质点在力场22()()(0)m

F x y yi x j y =+-> 内运动时场力所做的功与路径无关，

m =__________。

12．设L 为A （-1，-1）沿223x xy y ++=经过E （1，-2）到B （1，1）的曲线段，则

(2)(2)L

x y dx x y dy +++⎰=__________。

二、填空题

1．设i 为圆22(2)(2)2x y -+-=的逆时针一周，则l

ydx xdy +⎰__________。

2．设L 为下半圆y =22()L

x y ds +=⎰__________。

3．设L 为圆周2268121L

L

x y I x ds I y ds +===⎰⎰则与的大小关系是__________。

4．221L x y +=为上从(1,0)A 经(0,1)E 到(1,0)B -的曲线，则2

y L

e dy =⎰________

5．设MEN 是由(0,1)M x -=沿(1,0)(0,1)E N 到的曲线段，则曲线积分 3

M E N

I y d x y d y

=

+

=⎰

__________。 A ．0； B ．2

3EN

y dx y dy +⎰

； C ．2

EN

y dx ⎰

； D ．2

3EN

y dy ⎰

。

6．设L 是21,(11)y x x =--≤≤表示的曲线正向，则2

2

22L

xdx ydy x y

++⎰

之值为____。

7．设函数f(x)连续（x>0），对x>0的任意闭曲线C 有3

4()0C

x ydx xf x dy +=⎰ 且f(1)=2,则

f(x)= 。

A ．324122424x x x -+-；

B ．32412242410rx x x x e -+-+；

C ．x 3；

D ．31

x x

+

三计算题

1．计算()⎰+L

dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。

2．计算⎰

+L

ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。

．

3．计算()⎰+L

ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=，

()π20≤≤t 。

4．计算⎰L

xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。

5．计算⎰-+L

ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线

段AB 。

6．计算()()⎰---L

dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()

t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)：

．7．计算()()⎰-++L

dy x y dx y x ，其中L 是：

1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧；

2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。 8．计算

()()

⎰-+-L

x x

dy mx y e dx my y e

cos sin 其中L 为()t t a x sin -=，

()t a y cos 1-=，π≤≤t 0，且t 从大的方向为积分路径的方向。

9．确定λ的值，使曲线积分()()

⎰

-++-βα

λλdy y y x dx xy x

4214

564与积分路径

无关，并求()0,0A ，()2,1B 时的积分值。

．10．计算积分()()⎰++-L

dy y x dx x xy 222，其中L 是由抛物线2x y =和x

y =2所围成区域正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。

．11．证明曲线积分()()

()

()⎰

-+-4,32

,12232

366dx xy y x dx y xy

在整个xoy 平面内与

路径无关，并计算积分值。

12．利用格林公式计算曲线积分

()()

⎰-+-+L

x x dy ye x x dx e y x xy x xy

2sin sin 2cos 222

，

其中L 为正向星形线3

23232

a

y x =+()0>a 。