变量之间的关系一

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变量之间的关系

第四章变量之间的关系【知识点梳理】一、自变量与因变量1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量 Y是因变量。

自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的量叫做常量。

2、自变量与因变量的区别与联系联系：1、两者都是某一过程中的变量；2、两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化。

区别：先发生变化或自主发生变化的量后发生变化或随自变量变化而变化的量。

3、能确定变量之间的关系式：相关公式①路程=速度×时间②长方形周长=2×（长＋宽）③梯形面积=（上底＋下底）×高÷2 ④本息和=本金＋利率×本金×时间。

⑤总价=单价×总量。

⑥平均速度=总路程÷总时间4、若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式为y=180-2x.二、变量关系的表现方法1、列表法：采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。

列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。

列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。

2、关系式法：关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。

3、图像法：利用图像来表达自变量与因变量之间关系的一种表达方式，运用非常广泛。

注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点.三、事物变化趋势的描述：对事物变化趋势的描述一般有两种：1.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y 随着自变量x 的增加（大）而增加（大））；2. 随着自变量x 的逐渐增加（大），因变量y 逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y 随着自变量x 的增加（大）而减小）.注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x 的逐渐增加（大），因变量y 逐渐增加（大）等等. 四、估计（或者估算）对事物的估计（或者估算）有三种：1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x 每增加一定量，因变量y 的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等；2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y 的值；3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.【例题讲解】例1: 某蓄水池开始蓄水，每时进水20米3，设蓄水量为V （米3），蓄水时间为t （时）（1）V 与t 之间的关系式是什么？（2）用表格表示当t 从2变化到8时（每次增加1），相应的V 值？（3）若蓄水池最大蓄水量为1000米3，则需要多长时间能蓄满水？（4）当t 逐渐增加时，V 怎样变化？说说你的理由。

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领航两个变量之间的关系一、知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法◆要点1 变量、自变量、因变量(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。

则T为自变量，路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。

找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小◆要点3 用关系式表示变量之间的关系(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。

(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。

◆要点4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。

(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。

如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。

(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。

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(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。

则T为自变量，路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。

(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

◆要点4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。

(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。

BL—01(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。

变量间的相关关系讲义

变量间的相关关系讲义变量间的相关关系讲义一、基础知识梳理知识点1：变量之间的相关关系两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。

当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。

相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。

注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。

点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系相同点：两者均是两个变量之间的关系，不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。

知识点2.散点图.1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。

2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。

3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。

如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从左上角到右下角的区域。

变量间的相互关系

ˆ b
( x x)( y y) x y n x y
i 1 i i
n
n
( x x)
i 1 i
n

2
i 1 n
i
i
x
i 1
2 i
nx
2
,
ˆx ˆ y b a
例1：观察两相关变量得如下表：
x y
解：
-1 -9
-2 -7
-3 -5
-4 -3
-5 -1
（2）当x=5时, y=30.3676≈30.37。
小结
1、现实生活中存在许多相关关系：商品销售与广告、粮食生产与施肥量、人体的脂肪量与年龄等等的相关关系. 2、通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析，找出其中的规律，对其相关关系作出一定判断. 3、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，所以样本数据应较大，才有代表性.才能对它们之间的关系作出正确的判断.
25 脂肪含量
如图：
20 15 10 5 年龄
O
20 25 30 35 40
45 50 55 60 65
我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归直线方程。脂肪含量
Ù
= bx + a
7.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.
8.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.

变量之间的关系

变量之间的关系在编程中，变量是用来存储数据的命名空间。

通过给变量赋值，我们可以在程序中引用和操作这些数据。

变量之间的关系可以通过多种方式来描述，如赋值关系、依赖关系、相等关系等，下面将对这几种关系进行回顾与思考。

1.赋值关系：赋值是最基本的变量之间的关系。

通过将一个变量的值赋给另一个变量，可以在程序中传递和修改数据。

例如，可以将一个变量的值赋给另一个变量，从而将数据从一个变量传递给另一个变量。

2.依赖关系：变量之间可能存在依赖关系，即一个变量的值依赖于另一个变量的值。

当一个变量的值发生变化时，依赖于它的其他变量的值也会受到影响。

这个关系可以用于构建复杂的逻辑和算法。

3.相等关系：4.执行关系：除了上述几种关系之外，变量之间还可能存在其他的关系，如引用关系、作用域关系等。

引用关系指的是一个变量引用了另一个变量所在的内存空间，从而可以通过引用来访问和操作该变量。

作用域关系指的是变量的可见范围，即变量在何处可以被引用和访问。

变量之间的关系在程序设计中起着重要的作用。

通过合理地建立和利用变量之间的关系，可以实现复杂的功能和逻辑，提高程序的可读性和可维护性。

因此，我们应该深入理解和掌握变量之间的关系，善于利用这些关系来解决问题和提高编程效率。

总结来说，变量之间的关系可以通过赋值关系、依赖关系、相等关系等来描述。

这些关系在程序设计中起着重要作用，通过合理地建立和利用这些关系，可以实现复杂的功能和逻辑。

因此，我们应该深入理解和掌握变量之间的关系，善于利用这些关系来解决问题和提高编程效率。

变量之间的关系__变量之间的关系知识讲解

变量之间的关系撰稿：康红梅责编：李爱国【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系.3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.4. 能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测.【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. t 是自变量，s 是因变量.要点二、用表格表示变量间关系借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.要点诠释：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等.要点三、用关系式表示变量间关系关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.要点诠释：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.要点四、用图象表示变量间关系图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.要点诠释：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色.【典型例题】类型一、常量、自变量与因变量1、对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是（）A ．π、R 是变量，2是常量B ．R 是变量，π是常量C ．C 是变量，π、R 是常量D ．C 、R 是变量，2、π是常量【思路点拨】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．【答案】D ；【解析】解：C 、R 是变量，2、π是常量．【总结升华】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容．举一反三：【变式】从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中自变量是（）A．物体 B．速度 C．时间 D．空气【答案】C.类型二、用表格表示变量间关系2、已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：底面半径x（cm） 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0用铝量y（cm3） 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当易拉罐底面半径为2.4cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由．（4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．【思路点拨】（1）用铝量是随底面半径的变化而变化的，因而底面半径为自变量，用铝量为因变量；（2）根据表格可以直接得到；（3）选择用铝量最小的一个即可；（4）根据表格，说明随底面半径的增大，用铝量的变化即可．【答案与解析】解：（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量.（2）当底面半径为2.4cm时，易拉罐的用铝量为5.6cm3.（3）易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适，因为此时用铝较少，成本低.（4）当易拉罐底面半径在1.6～2.8cm变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8～4.0cm间变化时，用铝量随半径的增大而增大．【总结升华】根据表格理解：随底面半径的增大，用铝量的变化情况是关键．类型三、用关系式表示变量间关系3、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝10，设P为BC上任一点，点P不与点B、C重合，且CP＝x．若y表示△APB的面积．(1)求y与x之间的关系式；(2)求自变量x的取值范围．【答案与解析】解： (1)因为AC＝6，∠C＝90°，BC＝10，所以116103022ABC S AC BC ∆==⨯⨯=．又116322APC S AC PC x x ∆==⨯⨯=，所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-，即303y x =-．(2)因为点P 不与点B 、C 重合，BC ＝10，所以0＜x ＜10．【总结升华】利用三角形面积公式找到变量之间的关系式，要把握点P 是一动点这个规律，结合图形观察到点P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．举一反三：【变式】小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形．请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】解：由题意得，2x y +＝80,所以802y x =-，由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩，解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<.类型四、用图象表示变量间关系4、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s （m ）与散步所用的时间t （min ）之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟；（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟；（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟；（4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米／分钟．【答案】（1）300，4；（2）6；（3）200，3；（4）5，100.【解析】由图象可知，0到4分钟，小红从家走到离家300米的报栏，4到10分钟，在公共报栏看新闻，10到13分钟从报栏走到200米外的邮亭，13到18分钟，从离家500米的邮亭返回家里.【总结升华】这个图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.这条线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间.举一反三：【变式】一列货运火车从南京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )．【答案】B；。

变量之间的关系

变量之间的关系知识梳理1．概念变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量是变量。

自变量、因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，其中y随x 的变化而变化，我们就说x是自变量，y是因变量。

常量：在某一个变化过程中，数值始终保持不变的量是常量。

表格法：借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

表格法的基本特征是：表示两个变量之间的表格，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量，从表格中可以发现因变量随自变量变化而存在一定的变化规律，从而可以利用变化趋势对结果作出预测。

关系式法：利用等式表示两个变量之间的关系。

关系式的基本特征是：（1）等式的左边是因变量，等式的右边是关于自变量的代数式；（2）等式中只含有自变量和因变量两个变量，其他的量都是常数；（3）自变量可在允许的范围内任意取值。

图像：将一个变量随着另一个变量的变化而变化的情况绘制成一条曲线，这条曲线称为两个变量之间关系的图像。

图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间关系的方法，叫做图像法。

例题精讲考点1．变量、自变量、因变量、常量例1．甲、乙两城市相距300千米，在甲城市有一列火车以每小时100千米的速度向乙城市行驶，t 小时后火车与乙城市的距离为y 千米，在这个问题中，是常量，是自变量，是因变量。

变式1.下列各题中，哪些量在发生变化？其中的自变量与因变量各是什么？（1）用总长为60m 的篱笆围城一个边长为l (m)、面积为S （㎡）的矩形场地；（2）正方形边长是3，若边长增加x ，则面积增加y 。

变式2．小明帮妈妈预算家庭4月份电费的开支情况，下表是小明家4月处连续8天每天早上电表显示的读数。

（1）表格中反映的变量是，自变量是，因变量是。

（2）估计小明家4月份（按30天计）用电量是，若每度电0.55元，估计他家4月份应交电费元。

考点2.表格法表示变量之间的关系例2.下表是一次秋汛期某河流在一天内涨水情况，警戒水位是25米。

两个变量之间的线性关系

感谢观看
其中，xi和yi分别是两个变量的观测值，x̄和ȳ分别是它们
的均值。
相关系数的解释
01
02
03
相关系数的绝对值大小表示两个变量之间的线性关系的强度，绝对值越接近1表示关系越强。
相关系数的正负号表示线性关系的方向，正号表示正相关，负号表示
负相关。
相关系数只衡量线性关系，对于非线性关系无
法准确描述。
两个变量之间的线性关系
目录
• 线性关系的定义 • 线性回归分析 • 线性相关系数 • 线性预测与决策 • 案例分析
01
线性关系的定义
什么是线性关系
线性关系是指两个变量之间存在一种关系，其中一个变量（自变量）的变化会导致另一个变量（因变量）按照一定的比例变化。
在线性关系中，自变量和因变量之间的关系可以用一条直线来描述，因此称为线性关系。
案例二：气温与空调销量的线性关系
总结词：负相关
详细描述：气温与空调销量之间存在负相关关系。当气温升高时，人们对空调的需求增加，空调销量随之上升。反之，当气温降低时，空调销量则会下降。这种关系可以用一条直线表示，斜率为负，表示两个变量呈负相关。
案例三：GDP与人口数量的线性关系
总结词
不完全正相关
03
预测值与实际值之间的差距最小化。
线性回归模型的建立
01
线性回归模型的建立需要收集两个变量之间的观测数据，并确定因变量和自变量之间的关系。
02
在建立模型之前，需要对数据进行探索性分析和预处理，包括缺失值处理、异常值处理、数据转换等。
03
线性回归模型的一般形式为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量， X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。

变量之间的相关关系

一、知识概述1、相关关系的概念当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系（有因果关系，也有伴随关系）．因此，相关关系与函数关系的异同点如下：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．2、回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析.通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性.3、散点图表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．散点图形象地反映了各对数据的密切程度.粗略地看，散点分布具有一定的规律.4、正相关、负相关从散点图可以看到点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．反之，如果两个变量的散点图中的点的散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．5、回归直线设所求的直线方程为其中a、b是待定系数．则．于是得到各个偏差．显见，偏差的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和．表示n个点与相应直线在整体上的接近程度．上述式子展开后，是一个关于a、b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a、b的值．即相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.特别指出：1、对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、b，求出回归直线方程即可．不要求掌握回归直线方程的推导过程．2、求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．3、求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．4、回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．二、例题讲解例1、对变量x， y 有观测数据（x i，y i）（i＝1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v 有观测数据（u i，v i）（i＝1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断．图1 图2A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析：由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，选C．例2、已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4，5)，则回归直线的方程为（）A．＝1.23x＋4 B．＝1.23x＋5C．＝1.23x＋0.08 D．＝0.08x＋1.23解析：回归直线必过点(4，5)，故其方程为－5＝1.23(x－4)，即＝1.23x＋0.08．答案：C例3、已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下x(血球体积，ｍｍ)，y(血红球数，百万).(1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线并且画出图形．解：（1）见视频（2）．．设回归直线为＝bx＋a，计算得所以所求回归直线的方程为．例4、已知x、y之间的一组数据如下表：对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，试利用最小二乘法判断哪条直线拟合程度更好？解：用作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为用作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为∵Q2＜Q1，故用直线拟合程度更好．。

变量间的相关关系

变量间的相关关系1、相关关系的理解我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。

生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。

这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。

例1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。

在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。

下面我们就用这些方法来研究相关关系。

看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？结论：随着年龄增长，脂肪含量在增加。

用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。

一组样本数据就对应着一个点。

2、散点图这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。

3、判断正、负相关、线性相关：请观察这4幅图，看有什么特点？图1呈上升趋势，图2呈下降趋势。

这就像函数中的增函数和减函数。

即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大到小。

对于图1中的两个变量的相关关系，我们称它为正相关。

图2中的两个变量的相关关系，称为负相关。

后面两个图很乱，前面两个图中点的分布呈条状。

从数学的角度来解释：即图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。

我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系。

这条直线叫做回归直线。

图3、4中的两个变量是非线性相关关系1、找回归直线下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图，图12图图3图4从整体上看，它们是线性相关的。

如果可以求出回归直线的方程，我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性。

这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。

能否画出这条直线？多种方法展示总结：所有的点离这条直线最近的方案最好。

从整体上看，各点与此直线的距离和最小。

变量之间的关系

变量之间的关系变量是编程中的重要概念之一，它表示存储数据的名称。

在编程中，变量之间的关系对于程序的正确运行和数据处理至关重要。

本文将探讨变量之间的关系，包括变量的使用、赋值和操作，以及不同类型变量之间的关系。

变量的使用在编程中，变量用于存储数据，并可以通过变量名进行访问。

通过使用变量，我们可以轻松地在程序中引用和操作数据。

变量的使用包括声明和初始化两个过程。

声明是定义变量名称和类型的过程，而初始化是给变量赋初值的过程。

通过正确使用变量，我们可以更好地组织和处理数据。

变量的赋值赋值是将一个值存储到变量中的过程。

在赋值过程中，我们可以将一个常量值或另一个变量的值分配给目标变量。

通过赋值，我们可以在程序执行过程中更改变量的值。

变量的赋值可以使用赋值操作符（=）来完成。

例如，对于一个整型变量x，我们可以将值5赋给它：x = 5。

在进行变量赋值时，要注意数据类型的匹配。

如果进行不匹配的赋值，可能导致数据错误或类型转换问题。

因此，我们应该确保赋值操作的数据类型是相容的，或者进行必要的类型转换。

变量的操作变量可以进行各种操作，包括数学运算、逻辑运算和比较运算等。

通过操作变量，我们可以对数据进行计算和处理。

例如，对于两个整型变量x和y，我们可以进行加法、减法、乘法和除法等数学运算。

逻辑运算可以使用逻辑运算符（如与、或、非）来组合变量的逻辑值。

比较运算可以比较两个变量的值，并返回布尔值结果。

不同类型在编程中，不同类型的变量之间可以存在一些特定的关系和操作。

例如，字符串变量可以通过连接操作符（+）进行连接。

整型变量和浮点型变量可以进行数学运算，并且结果可能是浮点型变量。

布尔型变量可以与其他布尔型变量进行逻辑运算。

通过了解和灵活运用不同类型变量之间的关系，我们可以更好地进行编程和数据处理。

总结变量之间的关系对于编程的正确性和数据处理至关重要。

通过正确使用变量、赋值和操作，我们可以更好地处理数据和实现程序的功能。

不同类型变量之间的关系也需要我们了解和运用。

高中数学 2.3.1 变量间的相互关系课件

表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.
n
记 Q (yi bxi a)2 (∑为连加符号) i1
上式展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求使Q取得最小值时a、b的值.
这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条。由于平方又叫做二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做“最小二乘法”。
50
方程。
8
60
9
70
10
90
11
120
∑
510
Y
x2
xy
6
25
30
10
100
100
10
225
150
13
400
260
16
900
480
17
1600 680
19
2500 950
23
2600 1380
25
4900 1750
29
8100 2610
46 14400 5520
214 36780 13910
计算a^, b^的值. 由上表分别计算x，y的平均数得 x510,y214
设某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表: (单位：万元)
年收入 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
饮食支出 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
由表中数据可以看出，y有随x增加而增加的趋势当年收入的值由小变大时，年饮食支出的值也在由小变大。这种相关称作正相关；反之如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称作负相关。
用最小二乘法求回归直线方程中a，b
有下面的公式：

变量间的相互关系

称该图为散点图。
30
25
脂肪含量
如图：
20
15
10 5
O
A 20
25 30 35 40
年龄 45 50 55 1640 65
我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条
直线附近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看
大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线
性相关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归直
A
13
从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数.我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断.
下面我们以年龄为横轴，
脂肪含量为纵轴建立直 40
角坐标系，作出各个点，35
A
12
探究：
.
年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 年龄 60 61 脂肪 35.2 34.6
如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系吗？
A
2
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。
怎样判断两个变量有没有相关关系
设某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表: (单位：万元)
年收入 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
饮食支出 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
如何进行定量分析呢？由于变量间的相关关系是一种随机关系，因此，我们只能借助统计这一工具来解决问题，也就是通过收集大量数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，并对它们之间的关系作出推断。

不同变量不同维度之间的关系

不同变量和不同维度之间的关系可以非常复杂，具体关系取决于变量的性质、维度的数量以及它们之间的关系类型。

以下是一些可能的关系：
1. 线性关系：如果两个变量之间存在线性关系，即一个变量是另一个变量的常数倍，那么在散点图上，这两个变量的数据点将形成一条直线。

2. 曲线关系：如果两个变量之间存在曲线关系，比如二次方关系，那么在散点图上，这两个变量的数据点将形成一条曲线。

3. 无关关系：如果两个变量之间没有明显的统计关系，那么在散点图上，这两个变量的数据点将随机分布，没有任何规律可循。

4. 负相关关系：如果一个变量的增加会导致另一个变量的减少，那么这两个变量之间存在负相关关系。

5. 正相关关系：如果一个变量的增加会导致另一个变量的增加，那么这两个变量之间存在正相关关系。

对于更高维度的数据，我们可以通过降维技术（如主成分分析或线性判别分析）来减少维数，以便更方便地分析变量之间的关系。

同时，我们还可以使用相关性矩阵来量化不同变量之间的相关性程度。

两个变量之间的关系(经典和完整版)(强力推荐)

领航两个变量之间的关系一、知识要点◆要点1 变量、自变量、因变量(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。

则T为自变量，路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。

(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

◆要点4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。

(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。

(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象★若图像表示的是距离与时间之间的关系，“上升的线段”①表示物体匀速运动；“水平线段”②表示物体停止运动，“下降的线段”③表示物体反向运动。