四川省内江眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学(理)试题附答案解析
2019年四川省高考数学二诊试卷(理科)(解析版)
2019年四川省高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＞2}，则A∩B=（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（﹣2，0）2．复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（）A．B．C．D．3．设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤04．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或35．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度得到B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到6．△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足=2，则•的值为（）A．3 B．6 C．9 D．不确定7．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（）A．16 B．32 C．64 D．1288．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369 B．80% 369 C．40% 360 D．60% 3659．定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m的值为（）A． B． C．D．10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A．36πB．π C．8πD．π11．设双曲线﹣y2=1的两焦点分别为F1，F2，P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．12．定义域为R的偶函数f（x）满足∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）恰有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（，）D．（，）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知n=x3dx，则（x﹣）n的展开式中常数项为．14．已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m=．15．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y 轴，|BM|=2，则△ABC的面积为．16．设f（x）=（x＞0），计算观察以下格式：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f（f2（x）），f4（x）=f（f3（x）），…根据以上事实得到当n∈N*时，f n（1）=．三、解答题（本大题6小题，共70分）17．在△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA （Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最值．18．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC．（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求的值；（Ⅱ）求二面角A﹣BF﹣E的大小的正弦值．19．自贡某个工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如图所示，已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内（含±5）的产品为优质品，与中位数误差在±15范围内（含±15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过±15的产品为次品．企业生产一件优质品可获利润20元，生产一件合格品可获利润10元，生产一件次品要亏损10元．（Ⅰ）求该企业2016年一年生产一件产品的利润的分布列和期望；（Ⅱ）是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828K2=．20．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点P（0，）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点），是否存在实数λ，使+λ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知曲线f（x）=ax3﹣blnx在x=1处的切线方程为y=﹣2x+（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）证明：x＞0时，＜（e为自然对数的底数）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcos（θ﹣）=2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+2a|（a∈R，且a≠0）（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）证明：f（x）≥2．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＞2}，则A∩B=（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（﹣2，0）【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x|x2﹣3x＜0}=（0，3），B={x||x|＞2}={x|x＞2或x ＜﹣2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），则A∩B=（2，3）故选：A2．复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3﹣4i）z=1+2i，∴（3+4i）（3﹣4i）z=（3+4i）（1+2i），∴25z=﹣5+10i，则z=﹣+i．故选：A．3．设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是∃x＞0，x﹣lnx≤0．故选：D．4．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可．【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，即2sinαcosα=cos2α，①当cosα=0时，，此时，②当cosα≠0时，，此时，综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3．故选：D．5．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度得到B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，可得f（x）═3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣）的图象，故选：C．6．△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足=2，则•的值为（）A．3 B．6 C．9 D．不确定【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，用、表示出，再计算•．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足=2，∴==（﹣）∴=+=+（﹣）=+，∴•=（+）•=+•=×32﹣×0=6．故选：B．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（）A．16 B．32 C．64 D．128【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意得S n+2+S n+1=2S n，得a n+2=﹣2a n+1，从而得到{a n}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，∴由题意得S n+2+S n+1=2S n，得a n+2+a n+1+a n+1=0，即a n+2=﹣2a n+1，∴{a n}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，∴．故选：C．8．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369 B．80% 369 C．40% 360 D．60% 365【考点】等比数列的通项公式．【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．【解答】解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得，解得b=125，a=20%，m=369．故选：A．9．定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m的值为（）A． B． C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依据程序逐级运算，并通过判断条件n＜7调整运算的继续与结束，即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得m=3，n=1[3]=3为奇数，m=，n=3满足条件n＜7，执行循环体，[]=6不为奇数，m=，n=5满足条件n＜7，执行循环体，[]=6不为奇数，m=，n=7不满足条件n＜7，退出循环，输出m的值为．故选：B．10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A．36πB．π C．8πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．则点O为其外接球的球心，半径R=2．即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．则点O为其外接球的球心，半径R=2．∴这个几何体外接球的体积V==π．故选：B．11．设双曲线﹣y2=1的两焦点分别为F1，F2，P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，求出直线直线PF1的方程为y=（x+2），再联立双曲线﹣y2=1的方程，求出点P的坐标，根据余弦定理即可求出答案．【解答】解：双曲线﹣y2=1的两焦点分别为F1，F2，∴a=，b=1，c=2，渐近线方程为y=±x，∴F1（﹣2，0），F2（2，0）∵P为双曲线上的一点，PF1与双曲线的一条渐近线平行，∴直线PF1的方程为y=（x+2），由，解得x=﹣，y=，∴P（﹣，），∴|PF1|=，∴|PF2|=2a+|PF1|=2+=，由cos∠F1PF2==﹣，故选：A12．定义域为R的偶函数f（x）满足∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）恰有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（，）D．（，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象恰有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），且f（4）＞g（4），求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上恰有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象恰有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上恰有三个零点，则有g（2）＞f（2）且f（4）＞g（4），即log a（2+1）＞f（2）=﹣2，且﹣2＞log a（4+1），解得＜a＜．故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知n=x3dx，则（x﹣）n的展开式中常数项为﹣4．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用定积分求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项．【解答】解：n=n=x3dx=x4=×（24﹣0）=4，∴（x﹣）4的展开式中通项公式为：T r+1=•x4﹣r•=（﹣1）r••，令4﹣r=0，解得r=3；∴常数项为（﹣1）3•=﹣4．故答案为：﹣4．14．已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m=8．【考点】简单线性规划．【分析】依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x﹣y=6，结合图形可知，要使直线x﹣y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y﹣m=0必经过直线x﹣y=6与直线y=1的交点（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，图形可知，要使直线x﹣y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y﹣m=0必经过直线x﹣y=6与直线y=1的交点A（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8．故答案为：8．15．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y 轴，|BM|=2，则△ABC的面积为2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A，B和C点坐标，利用中点坐标公式求得M点坐标，由又BM∥y轴，则b=，由|BM|=2，即可求得a﹣c=2，由三角形的面积公式可知S△ABC=2S△ABM，代入即可求得△ABC的面积．【解答】解：根据题意设A（a，a2），B（b，b2），C（c，c2），不妨设a＞c，∵M为边AC的中点，∴M（，），又BM∥y轴，则b=，故丨BM丨=丨﹣丨==2，∴（a﹣c）2=8，即a﹣c=2，作AH⊥BM交BM的延长线于H．∴S△ABC=2S△ABM=2××丨BM丨丨AH丨=2丨a﹣b丨=2丨a﹣丨=a﹣c=2，△ABC的面积2．故答案为：2．16．设f（x）=（x＞0），计算观察以下格式：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f（f2（x）），f4（x）=f（f3（x）），…根据以上事实得到当n∈N*时，f n（1）=（n∈N*）．【考点】归纳推理．【分析】根据已知中函数的解析式，归纳出函数解析中分母系数的变化规律，进而得到答案．【解答】解：由已知中设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=；f3（x）=f（f2（x））=．f4（x）=f（f3（x））=…归纳可得：f n（x）=，（n∈N*）∴f n（1）=（n∈N*），故答案为（n∈N*）．三、解答题（本大题6小题，共70分）17．在△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA （Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦函数化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程化简后，由不等式求出bc的范围，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，c=acosB+bsinA，由正弦定理得，sinC=sinAcosB+sinBsinA，∵sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，∴sin（A+B）=sinAcosB+sinBsinA，化简得，sinBcosA=sinBsinA，∵sinB＞0，∴cosA=sinA，则tanA=1，由0＜A＜π得A=；（Ⅱ）∵a=2，A=，∴由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，则，即，解得bc≤，当且仅当b=c时取等号，∴△ABC的面积S=，∴△ABC的面积的最大值是．18．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC．（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求的值；（Ⅱ）求二面角A﹣BF﹣E的大小的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，可得AF⊥AC，则AF⊥平面ABC，得到平面ABF⊥平面ABC，过G作GD⊥AB，垂足为D，则GD⊥平面ABC，连接CD，可证得则四边形GDCF为平行四边形，从而得到GD=CE=，则G为BF的中点，得到的值；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，AF⊥AC，∴AF⊥平面ABC，则平面ABF⊥平面ABC，过G作GD⊥AB，垂足为D，则GD⊥平面ABC，连接CD，由GD⊥平面ABC，AF⊥平面ABC，AF∥CE，可得GD∥CE，又EG∥平面ABC，∴EG∥CD，则四边形GDCF为平行四边形，∴GD=CE=，∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知AF⊥AB，AF⊥BC∵BC⊥AB，∴BC⊥平面ABF．如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），=（0，2，0）是平面ABF的一个法向量．设平面BEF的法向量=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣2，x=﹣2，=（﹣2，1，﹣2），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣BF﹣E的正弦值为．19．自贡某个工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如图所示，已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内（含±5）的产品为优质品，与中位数误差在±15范围内（含±15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过±15的产品为次品．企业生产一件优质品可获利润20元，生产一件合格品可获利润10元，生产一件次品要亏损10元．（Ⅰ）求该企业2016年一年生产一件产品的利润的分布列和期望；（Ⅱ）是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828K2=．【考点】独立性检验的应用；茎叶图．【分析】（Ⅰ）根据上半年和下半年的数据，得出这50件产品的利润频率分布表，写出生产一件产品的利润分布列，计算期望值；（Ⅱ）填写2×2列联表，计算观测值K2，比较临界值得出结论．【解答】解：（Ⅰ）上半年的数据为：13，14，18，21，22，26，27，29，31，34，35，35，35，38，42，43，45，46，46，53，54，57，58，61，62；“中位数”为35，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个；下半年的数据为：13，18，20，24，24，28，29，30，31，32，33，33，35，36，37，40，41，42，42，43，47，49，51，58，62；“中位数”为35，优质品有9个，合格品有11个，次品有5个；则这个样本的50件产品的利润的频率分布表为利润频数频率20 15 0.310 21 0.42﹣10 14 0.28所以，该企业2016年一年生产一件产品的利润的分布列为频率利润优质品0.3 6合格品0.42 4.2次品0.28 ﹣2.8期望值为6+4.2﹣2.8=7.4；（Ⅱ）由题意，填写2×2列联表如下；上半年下半年优质品 6 9 15 非优质品19 16 3525 25 50计算观测值K2=≈0.857，由于0.857＜3.841，所以没有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．20．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点P（0，）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点），是否存在实数λ，使+λ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意的离心率求得a2=2b2，椭圆的通径丨AB丨==2，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程，y=kx+，代入椭圆方程，利用韦达定理定理及向量数量积的坐标运算，表示出+λ=﹣（1﹣λ）+，则当λ=﹣2时，﹣（1﹣λ）+=﹣3，则存在实数λ，使+λ为定值【解答】解：（1）由椭圆的离心率e===，则a2=2b2，①则丨AB丨==2，则b2=a，②解得：a=2，b=，∴椭圆的标准方程为：；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kx+2=0，△=（4k）2﹣4×（1+2k2）×2＞0，解得：k2＞，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，从而，+λ=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣）（y2﹣）]，=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+3，=（1+λ）（1+k2）×+k×（﹣）+3，=，=﹣（1﹣λ）+，∴当λ=﹣2时，﹣（1﹣λ）+=﹣3，此时+λ=﹣3，故存在常数λ=﹣2，使得+λ为定值﹣3．21．已知曲线f（x）=ax3﹣blnx在x=1处的切线方程为y=﹣2x+（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）证明：x＞0时，＜（e为自然对数的底数）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，求得函数在点（1，f（1））处的切线l的方程，求得a，b值，进一步求出原函数的极小值点，得到f（x）的极小值；（Ⅱ）把f（x）的解析式代入＜，转化为证﹣＜xlnx，分别构造函数g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），h（x）=﹣（0，+∞），然后利用导数分别求出它们的最值得到要证明的结论．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ax2﹣，故f（1）=a，f′（1）=a﹣b，故切线方程是：y=（a﹣b）（x﹣1）+a=（a﹣b）x﹣a+b，而y=﹣2x+，故a﹣b=﹣2，﹣a+b=，解得：a=2，b=4，故f（x）=x3﹣4lnx，（x＞0），f′（x）=2x2﹣=（x＞0），当x∈（0，3）时，f′（x）＜0；当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，3）上为减函数，在x（3，+∞）上为增函数，∴f（x）的极小值为f（3）=﹣4ln=（1﹣ln2），无极大值；（2）证明：f（x）=x3﹣4lnx，要证＜，即证﹣＜xlnx．令g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），则g′（x）=lnx+1，由g′（x）＜0，得0＜x＜；由g′（x）＞0，得x＞，∴当x=时取得最小值，最小值为g（）=﹣，由h（x）=﹣，可得h′（x）=，∴当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）单调递减．函数h（x）（x＞0）在x=1时取得最大值，又h（1）=﹣，∴h（x）＜﹣，∴任意x∈（0，+∞），＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcos（θ﹣）=2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C的普通方程，即可求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（φ为参数），普通方程为x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0，∴曲线C在极坐标系中的方程为ρ=4sinθ；（Ⅱ）直线l的方程为ρcos（θ﹣）=2，即x+y﹣4=0，圆心到直线的距离d==，∴直线l被曲线C截得的弦长=2=2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+2a|（a∈R，且a≠0）（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）证明：f（x）≥2．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质以及基本不等式的性质证明即可．【解答】（Ⅰ）解：a=﹣1时，f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥5，x≥2时，x+1+x﹣2≥5，解得：x≥3，﹣1＜x＜2时，x+1+2﹣x≥5，无解，x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2≥5，解得：x≤﹣2，故不等式的解集是{x|x≥3或x≤﹣2}．（Ⅱ）证明：f（x）=|x﹣|+|x+2a|≥|x+2a+﹣x|=|2a|+||≥2，当且仅当|2a|=||，即a=时”=“成立．。
四川省眉山市2019届高三第二次诊断性考试化学(2019眉山二诊)及答案
四川省眉山市2019届高三第二次诊断性考试化学（2019眉山二诊）及答案第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷5至6页，第Ⅱ卷7至8页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共42分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共7题，每题6分，共42分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
可能用到的相对原子质量：H─1 C─12 N─14 O─16 Na─23 Mn─551. 化学与生活密切相关，下列说法正确的是A．医药中常用酒精消毒是因为酒精能够使细菌蛋白体发生盐析B．开发清洁能源汽车（如太阳能汽车等）能减少或控制汽车尾气污染C．目前废旧电池的回收，主要是为了防止电池中NH4Cl对水资源的污染D．为了防止中秋月饼等富脂食品氧化变质，可在包装袋中放入生石灰2. 下列离子方程式正确的是A．水玻璃长时间放置在空气中：SiO32－＋CO2＋H2O＝H2SiO3↓＋HCO3－B．硫酸铜溶液显酸性：Cu2＋＋2H2O＝Cu(OH)2↓＋2H＋C．用石墨电极电解饱和食盐水：2H＋＋2Cl－H 2↑＋Cl2↑D．向明矾溶液中滴加Ba(OH)2溶液，恰好使SO42－沉淀完全：Al3＋＋2SO42－＋2Ba2＋＋4OH－＝AlO2－＋2BaSO4↓＋2H2O3. 根据实验目的判断下列实验操作或装置正确的是4．下列关系图中，A是一种正盐，B为气态氢化物，C是单质，F是强酸。
当X无论是强酸还是强碱时都有如下图所示的转化关系（其它反应产物和所需条件均已略去）。
则下列说法中不正确的是A．当X是强酸时，A～F均含同一种元素，F可能为H2SO4B．当X是强碱时，A～F均含同一种元素，F可能为HNO3C．B和Cl2的反应为氧化还原反应D．当X是强酸时，常温下C为气态单质5. 下列说法中正确的是A ．25℃时，pH ＝7的CH 3COOH 与CH 3COONa 的混合液中离子浓度的大小顺序为： c(Na ＋)＞c(CH 3COO－)＞c(H ＋)＝c(OH －)B ．25℃时，0.1mol/L NaHA 溶液pH ＝3，该溶液中某些微粒的浓度大小顺序为： c(HA －)＞c(H ＋)＞c(H 2A)＞c(A 2－)C ．25℃时，若10mL pH ＝a 的盐酸与100mL pH ＝b 的Ba(OH)2溶液混合后恰好中和，则a ＋b ＝13D ．25℃时，Ka(HF)＝3.6×10－4,Ka （CH 3COOH ）＝1.75×10－5,0.1mol/L 的NaF 溶液与0.1mol/L 的CH 3COOK 溶液相比：c(Na ＋)－c(F －)＞c(K ＋)－c(CH 3COO －)6. 为减小CO 2对环境的影响，在倡导“低碳”的同时，还需加强对CO 2创新利用的研究。
四川省眉山市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试卷
四川省眉山市2019届高三第二次模拟考试理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2{50}M x x x =-≤,{28}x N x =≥,则R M C N =I （ ）.A [0,3] .B [0,3) .C (0,3] .D (0,3)2.在复平面内，复数z 满足(1)2z i -=，则z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.下图是某地区2015年~2018年空气质量监测数据中指标为优与良占全年优良指标的比例，下列说法正确的是（ ）.A 2018年空气质量比2015年好 .B 从2015年到2018年，空气质量一直在好转 .C 2018年空气质量指标中为优的天数最多.D 2018年空气质量指标中指标为优的在全年优良中比例最大4．已知随机变量2(2,)X N σ:，若(04)0.6P X <<=，则(0)P X ≤=（ ）.A 0.2 .B 0.3 .C 0.4 .D 0.65.执行如图所示的程序框图，若132log 5a =，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.223c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则输出的结果是（ ）.A 132log 5.B 0.213-⎛⎫⎪⎝⎭ .C 0.223-⎛⎫⎪⎝⎭.D 132l o g 5和0.223-⎛⎫⎪⎝⎭6.已知12ea dx x=⎰，则4()()x y x a ++展开式中3x 的系数为（ ） .A 24 .B 32 .C 44 .D 567.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）.A 23π .B 3π .C 169π.D 29π 8. 已知P 是ABC ∆内一点，30AP AB AC --=uu u r uu u r uuu r，现向ABC ∆内投掷飞镖，则飞镖落在PBC ∆内的概率是（ ）.A13.B 12 .C 14 .D 239.函数()4cos()f x x ωϕ=+（0,2πωϕ><）的部分图象如图所示，其中5(,4)6A π-，(,0)6B π-，则下列说法错误的是（ ）.A 函数()f x 的一个周期为83π- .B 4πϕ=- .C 函数()f x 的图象关于11(,0)6π中心对称 .D 将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称 10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）.A 72 .B 120 .C 192 .D 24011.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的两个焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与以实半轴长为半径，原点为圆心的圆相切，l 与双曲线在第一象限交于点P ，若120PF PF ⋅=u u u r u u u r，则双曲线的离心率为（ ）.A 2 .B .C.D 12.已知函数2()(1)f x ax x x =-+（0a >），方程[()]f f x b =对于任意[1,1]b ∈-都有9个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ）.A (1,)+∞ .B (2,)+∞ .C (3,)+∞ .D (4,)+∞ 第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设,x y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则34z x y =-+的最大值为14．面积为的等边三角形ABC 中，D 是AB 边上靠近B 的三等分点，则CD AB ⋅=uu u r uu u r_____．15.某省普通高校招生考试方案规定：每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中随机选3门参加选考科目的考试，假设每位考生选考任何3门科目的可能性相同，那么从该省的所有考生中，随机选取4人，他们的选考科目中都含有物理的概率为 16.若函数()y f x =的图象存在经过原点的对称轴，则称()y f x =为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有 （填写所有正确结论的序号） ①ln x e y x ⎧=⎨⎩ 001x x ≤<≤ ②1cos(ln )1x y x +=-③ln(1)y =+三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+（1）求证：数列{1}n a -是等比数列； （2）设2log (1)n n b a =-，求数列11{}n n b b +的前n 项和n T 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=o ，2BC =，求二面角B PA E --的余弦值．19. （本小题满分12分）NBA 球员的比赛得分是反映球员能力和水平的重要数据之一，在2017—2018赛季NBA 常规赛中，球员J 和H 在某15场常规赛中的每场比赛得分如图所示（1）试以此样本估计球员J 在本赛季的场均得分以及球员H 在本赛季参加的75场常规赛中，得分超过32分的场数（2）效率值是更能反映球员能力和水平的一项指标，现统计了球员J 在上述15场比赛中部分场次的得分与效率值，如表所示：若球员J 每场比赛的效率值y 与得分x 具有线性相关关系，试用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程（结果精确到0.001），并由此估计在上述15场比赛中，效率值超过31的场数参考公式：1122211()()()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b xx xnx∧====---==--∑∑∑∑，a y b x ∧∧=-参考数据：513288.2i i i x y ==∑，5213355i i x ==∑20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，上顶点M40y ++=的距离为3 （1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 过点(4,2)-且与椭圆C 相交于,A B 两点，l 不经过点M ，证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值21.（本小题满分12分）已知函数2()()ln f x x a x =+ （1）当0a =时，求()f x 的最小值 （2）若()f x 在区间21(,)e +∞上有两个极值点1212,()x x x x < ①求实数a 的取值范围 ②求证：2221()2f x e e-<<- 请考生在第22,23题两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆224x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到曲线C （1）写出曲线C 的参数方程（2）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为cos sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩t 为参数，[0,2)θπ∈），若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB 的最小值23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1412f x x x =--+（1）解不等式()4f x ≤（2）若不等式()()2x f x k f ≤--有解，求实数k 的取值范围理科数学参考答案ＢＤＤＡＢ ＡＣＡＤＤ ＣＤ12题 解析：2()3+(1)f x ax a '=-，若1a ≤，则()0f x '≥，()f x 单调递增，方程[()]f f x b =不可能有9个不等实根，因此1a >，令()0f x '=，得x =1a >时，13a a -<，所以11x -<<，又()f x 是奇函数，且过定点(1,1)和(1,1)--，可知()f x 的大致图象如图所示：只需极小值点处的函数值小于1-，此时任取[1,1]b ∈-，令()t f x =，方程()f t b =的三个根1t ，2t ，3t 都在区间[1,1]-中，而方程1()f x t =，2()f x t =，3()f x t =，一共有9个不等实根，满足题意，由上述分析有2(113f a =--，即2(4)(21)0a a -+>解得4a > 13. 5 14． __83__． 15. 1616. ① ②16题 解析： ①根据函数x y e =与函数ln y x =的图象关于直线y x =对称，知函数ln x e y x ⎧=⎨⎩ 001x x ≤<≤的图象关于直线y x=对称，满足题意 ②1()cos(ln)1xf x x+=-，其中(x ∈-，则111()cos(ln)cos(ln )cos(ln )()111x x xf x f x x x x-++-==-==+--，因此()f x 是偶函数，y 轴是其对称轴，满足题意③当x →-∞时，0→，0y →，当x →+∞时，ln y →=，因此0y =和y =为该函数的两条渐近线，若其具有对称轴，则对称轴必为这两条渐近线所成钝角的角平分线所在直线，即y =，取函数ln(1)y =+图象上的一点(0,ln 2)，该点关于y =的对称点为ln 2()2，将该点代入原函数中并不成立。
精品解析：【全国市级联考】四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学(理)试题(原卷版)
内江市高中2016级第二次诊断性考试数学（理工类）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则满足的集合的个数为（）A. B. C.1 D.2.已知为虚数单位，复数，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.4.空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值5.的展开式中，常数项为（）A. B. C. D.6.若数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.7.若是上的奇函数，且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数的部分图像如图所示，点在图象上，若，且，则（）A. B. C. D.9.若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，则该四面体外接球的表面积是（）A. B. C. D.11.设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．。
四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学(理)试题(含精品解析)
7.若 是 上的奇函数，且
，则
是
的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】 函数 是奇函数,
若
，则
，
则
，
即
成立,即充分性成立，
若
，满足 是奇函数，当
时
满足 但
，此时满足
内江市高中 2016 级第二次诊断性考试
数学（理工类）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合
，则满足
的集合 的个数为（ ）
A.
B.
【答案】A
【解析】
C. 1
D.
【分析】
由
可确定集合 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.
中的数据，对选项进行判断. 【详解】A 选项中，这个月的 指数的趋势是降低的，即空气质量是变好的，所以错误； B、D 选项中，前半月的 指数的平均数明显高于后半月，因此 B、D 选项错误； C 选项中，前半月数据的稳定性没有后半月的稳定，因此前半月的方差大于后半月的，所以 C 项正确. 故选 C 项. 【点睛】本题考查了频率分布折线图的应用问题，是基础题.
，
，即必要性不成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件，
所以 A 选项正确.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.
8.已知函数
，且
2019届四川省高三联合诊断理科数学试题答案
∧ ∧ 28 = -0. 56, a = y -bx = 9-( -0 . 56) ×7 = 12 . 92 . 50 ∧
将 x = 6 代入回归方程可预测该店当日营业额 y = -0. 56×6+12 . 92 = 9 . 56( 千元) 高三数学( 理科) 答案 第 1 页( 共 4 页)
∧
19 . 解:(1) 取 EF 的中点 G ,连结 AG.
1 . 2
12 分 1分
3分
因为 y1 >0,所以 y1 =
高三数学( 理科) 答案 第 2 页( 共 4 页)
所以点 P 坐标为(
(2) 由(1) 可知直线 AP 的方程是 x - 3 y +6 = 0, 设点 M( m,0) ,则点 M 到直线 AP 的距离是 由题意
3 5 3 , ) 2 2
→ m ㊃→ n 1 = . → |m| |→ n| 2
故锐二面角 E
DF
A 的余弦值为
20 . 解:(1) 由已知可得 A( -6,0) ,F (4,0) → → 设点 P ( x1 ,y1 ) ,则AP = ( x1 +6,y1 ) ,FP = ( x1 -4,y1 ) . → → 因为 PA⊥PF ,所以AP ㊃FP = ( x1 +6) ( x1 -4) +y2 1 = 0. x2 y2 ì 1 1 ï ï + =1 36 20 则í 化简得 2 x2 1 +9 x 1 -18 = 0 ï 2 î( x1 +6) ( x1 -4) +y1 = 0 解得 x1 = 3 或 x1 = -6( 舍) 2 5 3 2
5分 | m +6 | . 2 7分 9分
设椭圆上的点( x,y) 到点 m(2,0) 的距离为 d, 则 d2 = ( x -2) 2 +y2 = x2 -4 x +4+20当 x=
2019届四川省成都市高三毕业班第二次诊断性检测数学(理)试题(解析版)
2019届四川省成都市高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合,,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】进行交集、补集的运算即可．【详解】∁U B＝{x|﹣2＜x＜1}；∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1＜x＜1}．故选：A．【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2．已知双曲线的焦距为4,则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出c＝2，再根据1+b2＝c2＝4，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程. 【详解】双曲线C：的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，∵1+b2＝c2＝4，∴b，∴双曲线C的渐近线方程为y x，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题.3．已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．－1 D．1【答案】A【解析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．【详解】由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．4．已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．【详解】条件乙：，即为⇔若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则也可以，但是此时不满足条件甲：a＞b＞0，所以甲是乙成立的充分非必要条件故选：A．【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5．为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
【精选五套高考模拟卷】2019年四川省高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2019年四川省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B=N，则集合A∩B的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知z=2+i，（i是虚数单位），z的共轭复数是，则=（）A．5 B．25 C．4 D．33．已知向量，，与垂直，则实数λ的值为（）A．1 B．C．D．﹣14．已知回归直线方程为，样本点的中心为，若回归直线的斜率估计值为2，且，，则回归直线方程为（）A．B．C．D．5．“k=1”是“函数（k为常数）在定义域上是奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．设x∈[0，3]，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a，“2a﹣10≥0”的概率为（）A．B．C．D．7．如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C． D．8．已知a＞﹣2，若圆O1：x2+y2+2x﹣2ay﹣8a﹣15=0，圆O2：x2+y2+2ax﹣2ay+a2﹣4a﹣4=0恒有公共点，则a的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1]∪[3，+∞）B． C． D．（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）9．设f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，则m的最小值为（）A．B．1 C．D．210．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线于P，Q两点且PQ⊥PF1，若|PQ|=λ|PF1|，，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11． =______．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a4=18﹣a6﹣a5，则S8=______．13．设，则a3=______．14．若x，y满足约束条件则的取值范围为______．15．已知a为正整数，f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7，若y=f（x）至少有一个零点x0且x0为整数，则a的取值为______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．17．自2019年1月26日悄悄上线后，微信红包迅速流行开来，其火爆程度不亚于此前的“打飞机”小游戏，数据显示，从除夕开始至初一16时，参与抢微信红包的用户超过500万，总计抢红包7500万次以上．小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．（Ⅰ）若小张发放10元红包3个，求小王恰得到2个的概率；（Ⅱ）若小张发放4个红包，其中5元的一个，10元的两个，15元的一个，记小明所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，底面ABCD为正方形，E为DP的中点，AF ⊥PC于F．（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=6，S7=56，数列{b n}前n项和为T n，且2T n﹣3b n+2=0．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和Q n．20．已知椭圆C的中心在原点，离心率为，且与抛物线有共同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2，P为椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l：x=4于M、N两点，设d为M、N两点之间的距离，求d的最小值．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求实数a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；（Ⅲ）证明：．2019年四川省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B=N，则集合A∩B的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解不等式求出集合A，进而得到集合A∩B的元素个数，最后由n元集合有2n﹣1个真子集得到答案．【解答】解：∵集合=[，3]，B=N，∴集合A∩B={1，2，3}，故集合A∩B的真子集个数为23﹣1=7个，故选：C．2．已知z=2+i，（i是虚数单位），z的共轭复数是，则=（）A．5 B．25 C．4 D．3【考点】复数求模．【分析】求出z的共轭复数，代入求出的值即可．【解答】解：∵z=2+i，∴=2﹣i，则=|（3﹣2（2+i））•（2﹣i）|=|（﹣1﹣2i）•（2﹣i）|=|﹣3i|=3，故选：D．3．已知向量，，与垂直，则实数λ的值为（）A．1 B．C．D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标可以求出向量和的坐标，根据与垂直便可得到，进行数量积的坐标运算即可得出关于λ的方程，从而可解出λ的值．【解答】解：；∵；∴；∴．故选C．4．已知回归直线方程为，样本点的中心为，若回归直线的斜率估计值为2，且，，则回归直线方程为（）A．B．C．D．【考点】线性回归方程．【分析】根据题意，求出、，代人回归直线方程求出，写出回归直线方程即可．【解答】解：∵回归直线方程为的斜率估计值为2，且，，∴==3， ==5；代人回归直线方程得=5﹣2×3=﹣1，∴回归直线方程为=2x﹣1．故选：C．5．“k=1”是“函数（k为常数）在定义域上是奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数（k为常数）在定义域上是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，化为：k2=1，解出即可判断出结论．【解答】解：函数（k为常数）在定义域上是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，∴+=0，化为：k2（e x+e﹣x）=e x+e﹣x，∴k2=1，解得k=±1，经过验证，此时函数f（x）是奇函数．∴“k=1”是“函数（k为常数）在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．故选：A．6．设x∈[0，3]，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a，“2a﹣10≥0”的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】先分析程序的功能为计算并输出分段函数y=的值，进而求出函数的值域，再由几何概型概率计算公式，得到答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，当x∈[0，2）时，y∈[3，5），当x∈[2，3]时，y∈[5，10]，故输出的结果的范围为[3，10]，若从输出的结果中随机取一个数a，“2a﹣10≥0”⇔a∈[5，10]，则P==，故选：C7．如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C． D．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由正四面体的棱长为a，所以此四面体一定可以放在棱长为a的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入体积公式计算．【解答】解：由题意，由三视图得该几何体是正四面体，棱长为a，此四面体一定可以放在正方体中，∴我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=a，∴正方体的棱长为a，∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，∵外接球的直径=正方体的对角线长，∴外接球的半径为R=a，∴该几何体外接球的体积为V=πR3=πa3．故选：B．8．已知a＞﹣2，若圆O1：x2+y2+2x﹣2ay﹣8a﹣15=0，圆O2：x2+y2+2ax﹣2ay+a2﹣4a﹣4=0恒有公共点，则a的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1]∪[3，+∞）B． C． D．（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据两圆相交的条件进行求解即可．【解答】解：圆O1：x2+y2+2x﹣2ay﹣8a﹣15=0的标准方程为（x+1）2+（y﹣a）2=a2+8a+16，圆心O1（﹣1，a），半径R==|a+4|=a+4，圆O2：x2+y2+2ax﹣2ay+a2﹣4a﹣4=0的标准方程为（x+a）2+（y﹣a）2=a2+4a+4，圆心O2（﹣a，a），半径R==|a+2|=a+2，则圆心距离|O1O2|=|﹣a+1|=|a﹣1|，若两圆恒有公共点，则两圆相交或相切，即a+4﹣（a+2）≤|O1O2|≤a+2+a+4，即2≤|a﹣1|≤2a+6，若a≥1，则不等式等价为2≤a﹣1≤2a+6，即，即得a≥3，若﹣2＜a＜1，则不等式等价为2≤1﹣a≤2a+6，即，即，得﹣≤a≤﹣1，综上﹣≤a≤﹣1或a≥3，故选：C．9．设f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，则m的最小值为（）A．B．1 C．D．2【考点】二次函数的性质．【分析】若x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，则4m≥|f（﹣1）|+|f（1）|+2|f（0）|≥2，解得m的最小值．【解答】解：∵f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，∴4m≥|f（﹣1）|+|f（1）|+2|f（0）|=|1+A+B|+|1﹣A+B|+2|B|≥|（1+A+B）+（1﹣A+B）﹣2B|=2m≥，即m的最小值为，故选：A10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线于P，Q两点且PQ⊥PF1，若|PQ|=λ|PF1|，，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，可得|QF1|=|PF1|，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|=，|PF2|=|PF1|﹣2a，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，代入化简．令t=1﹣λ+，则上式化为8（﹣）2+，由t关于λ单调递减，可得≤t＜，即≤≤，由二次函数的单调性解出即可．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=λ|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=λ|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=λ|PF1|，∴（1﹣λ+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，即有（）2+[]2=4c2，即为+=e2．令t=1﹣λ+，则上式化为e2==8（﹣）2+，由t=1﹣λ+=1+，且≤λ≤，由t关于λ单调递减，可得≤t＜即≤≤，由∉[，]，可得e2在[，]递增，≤e2≤，解得≤e≤．可得椭圆离心率的取值范围是[，]．故选：C．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11． = ．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解： ===﹣．故答案为：．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a4=18﹣a6﹣a5，则S8= 36 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的性质可得：a3+a6=a4+a5=a1+a8．再利用前n项和公式即可得出．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a4=18﹣a6﹣a5，∴a3+a4+a6+a5=18，a3+a6=a4+a5=a1+a8．∴2（a1+a8）=18，即a1+a8=9．则S8==36．故答案为：36．13．设，则a3= 400 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据x7+x6=[（x+2）﹣2]7+[（x+2）﹣2]6，按照二项式定理展开，可得（x+2）3的系数a3的值．【解答】解：∵x7+x6=[（x+2）﹣2]7+[（x+2）﹣2]6=a0+a1（x+2）+a2•（x+2）2+…+a7（x+2）7，∴a3=•（﹣2）4+•（﹣2）3=400，故答案为：400．14．若x，y满足约束条件则的取值范围为[1，] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，化简所求表达式，利用表达式的几何意义，求解即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：则==+．由可行域可知：∈[1，k OA]，由，可得A（1，3），k OA=3，∈， +2∈，∈，则∈[1，]．故答案为：[1，]．15．已知a为正整数，f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7，若y=f（x）至少有一个零点x0且x0为整数，则a的取值为1或5 ．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7=0，则a（x2+4x+4）=2x+7，即a=，结合a为正整数，可得：﹣3≤x≤1，分别代入验证可得答案．【解答】解：∵f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7=a（x2+4x+4）﹣2x﹣7，∴f（﹣2）=﹣3≠0，即x=﹣2不是函数y=f（x）的零点，令f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7=0，则a（x2+4x+4）=2x+7，即a=，∵a为正整数，∴≥1，解得：﹣3≤x≤1，当且仅当x=﹣3时，a=1，x=﹣1时，a=5，x=1时，a=1满足条件，综上可得：a的值为1或5，故答案为：1或5．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由．利用正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）=c（b ﹣c），化简再利用余弦定理即可得出．（II）bcsinA=，化为bc=4．利用余弦定理可得=4，联立解出即可得出．【解答】解：（I）在△ABC中，∵，由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）=c（b﹣c），化为b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴解得A=．（II）bcsinA=，化为bc=4．=4，联立解出：或．17．自2019年1月26日悄悄上线后，微信红包迅速流行开来，其火爆程度不亚于此前的“打飞机”小游戏，数据显示，从除夕开始至初一16时，参与抢微信红包的用户超过500万，总计抢红包7500万次以上．小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．（Ⅰ）若小张发放10元红包3个，求小王恰得到2个的概率；（Ⅱ）若小张发放4个红包，其中5元的一个，10元的两个，15元的一个，记小明所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出小张发放10元红包3个，小王恰得到2个的概率．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，35，40，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．∵小张发放10元红包3个，∴小王恰得到2个的概率p==．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，35，40，P（X=0）=（）4=，P（X=5）==，P（X=10）==，P（X=15）=×+=，P（X=20）==，P（X=25）=×2=，P（X=30）==，P（X=35）==，P（X=40）=（）4=，EX=+++35×=．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，底面ABCD为正方形，E为DP的中点，AF ⊥PC于F．（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向理量法能证明PC⊥平面AEF．（Ⅱ）先求出平面AEC的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角B﹣AC﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AD=2，则P（0，0，2），C（2，2，0），D（2，0，0），B（0，2，0），E（1，0，1），A（0，0，0），=（1，0，1），=（2，2，﹣2），=2+0﹣2=0，∴PC⊥AE，∵AF⊥PC于F，AE∩AF=A，∴PC⊥平面AEF．解：（Ⅱ） =（2，2，0），=（1，0，1），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角B﹣AC﹣E的平面角为α，则cosα===．∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=6，S7=56，数列{b n}前n项和为T n，且2T n﹣3b n+2=0．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和Q n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由于a3=6，S7=56，可得，解出即可得出．由数列{b n}前n项和为T n，且2T n﹣3b n+2=0．利用递推关系即可得出．（II）对n分类讨论，分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=6，S7=56，∴，解得a1=d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．∵数列{b n}前n项和为T n，且2T n﹣3b n+2=0．∴2b1﹣3b1+2=0，解得b1=2．当n≥2时，2T n﹣1﹣3b n﹣1+2=0，∴2b n﹣3b n+3b n﹣1=0，∴b n=3b n﹣1，∴数列{b n}是等比数列，首项为2，公比为3．∴b n=2×3n﹣1．（II），当n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{c n}的前n项和Q n=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k﹣2）=2[1+3+…+（2k﹣1）]+2×（3+33+…+32k﹣3）=+2×=2k2+=+．当n=2k（k∈N*）时，数列{c n}的前n项和Q n=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=2[1+3+…+（2k﹣1）]+2×（3+33+…+32k﹣1）=2k2+=+．20．已知椭圆C的中心在原点，离心率为，且与抛物线有共同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2，P为椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l：x=4于M、N两点，设d为M、N两点之间的距离，求d的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）抛物线的焦点为，即为椭圆的焦点．设椭圆C的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．由题意可得：c=，，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）设P（x0，y0），（x0≠±2，y0≠0），可得+=1，根据点斜式可得直线A1P、A2P的方程，分别交直线l：x=4于M，N两点，可得d=，k=表示经过椭圆上的点P（x0，y0）与点Q（4，0）的直线的斜率（y0≠0）．设经过点Q且斜率为k的直线方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立，根据判别式即可得出．【解答】解：（I）抛物线的焦点为，即为椭圆的焦点．设椭圆C的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．由题意可得：c=，，a2=b2+c2，联立解得c=，a=2，b=1．故椭圆C的标准方程为： =1．（II）由（I）可得：A1（﹣2，0），A2（2，0），设P（x0，y0），（x0≠±2，y0≠0），则+=1，∴=4﹣．直线A1P、A2P的方程分别为：y=（x+2），y=（x﹣2），分别交直线l：x=4于M，N两点，d=====，k=表示经过椭圆上的点P（x0，y0）与点Q（4，0）的直线的斜率（y0≠0）．设经过点Q且斜率为k的直线方程为：y=k（x﹣4），联立，化为：（1+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0，由△=（32k2）2﹣4（1+4k2）（64k2﹣4）≥0，化为：k2≤，解得≤k≤，k≠0，∴k=±时，d取得最小值=2．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求实数a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；（Ⅲ）证明：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的几何意义，结合曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，即可求实数a，b的值；（Ⅱ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）在[0，+∞）上的最小值；（Ⅲ）证明e x≥x+1．取x=﹣，i=1，3，…，2n﹣1，得1﹣≤，即（）n≤，利用累加法，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=e x﹣ax﹣1，∴f′（x）=e x﹣a，∴f′（1）=e﹣a，∵f（1）=e﹣a﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣a﹣1）=（e﹣a）（x﹣1），即y=（e﹣a）x﹣1，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，∴e﹣a=2，b=﹣1，∴a=e﹣2，b=﹣1；（Ⅱ）解：∵f（x）=e x﹣ax﹣1，∴f′（x）=e x﹣a∴a≤1时，函数在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（0）=0；a＞1时，f′（x）=e x﹣a=0，x=lna，∴函数在[0，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增，∴x=lna时，f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（lna）=a﹣alna﹣1；（Ⅲ）证明：设t（x）=e x﹣x﹣1，则t′（x）=e x﹣1，令t′（x）=0得：x=0．在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．∴t（x）最小值为t（0）=0，故e x≥x+1．取x=﹣，i=1，3，…，2n﹣1，得1﹣≤，即（）n≤，累加可得++…+≤+…+=＜，∴．2019年9月26日数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试试题(解析版)
四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试语文试题一、现代文阅读（36分）(一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1〜3题。
近二三十年，书面阅读与数字化体验的迅速普及，湮没了民间文学口头讲述的生活现场。
同时，信息社会文学艺术的发展趋势是融合创新，受众的审美意识变得新奇自由，而传统民间文学的审美表达以传承性和群体性为主，其走向衰落似乎是一种必然。
每个时代的民间文学既反映着历史环境，又彰显出时代背景，还承担着文化传承功能，是中华儿女文化认同的重要基础。
由乡音、乡俗和家乡故事传说而编织起来的童年记忆，往往在人们心中孕育出“底色的乡愁”并镌刻在人的一生中。
中国各民族各地区的民间文学，反映着民族友好、；j土会和谐的中华文明主题，有对孔子、屈原、诸葛亮等人物的思想品格认同，对牛郎织女、孟姜女、白蛇传、梁祝等故事类型用各自的方式接受并传承。
从某种意义上讲，在千百年的历史演进中，分散在中华大地上的群众，通过民间文学的形式传承中华民族共同的价值观。
如今，中国民间文学的人物形象、故事类型、叙事结构等被外来的文学系统挤压，尤其儿童成长初期所接受的童话几乎全是西方文本--白雪公主替代了田螺姑娘、小红帽替代了阿凡提。
长此以往，孩子们对中国民间文学逐渐陌生以致淡忘。
面对严峻的传承危机，亟须采取有效措施增强民间文学的创新能力和传承能力，使其重新回归曰常生活，有效融入当代社会。
首要的是深度发掘中国民间文学的智慧资源，汲取中国民间文学宝库中的教育资源、伦理资源、政治资源和文化资源，增强人们接受本土智慧资源的信心。
比如，以中国民间文学资源为素材，开发原创游戏产品,让中国民间文学资源进入当代文化消费领.域。
最近几年，有关部门组织实施的中国经典民间故事动漫创作工程就是很好的尝试。
通过对盘古开天辟地、精卫填海等民间故事进行再创作，让故事里的经典形象重新立起来，让传统民间故事得到保护和传承。
传统民间文学的传承多是口口相传，在失去原有传承场景的情况下，需要采取新的传承方式。
【全国名校】四川省内江市2019届高三第二次诊断性测试数学(理)试题(扫描版)
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 101I 1213I415161718192021222324252627282930
根据统计 图判断 ,下 列结论正确 的是 A。 整体上看 ,这 个月 的空气质量越来越差 B。 整体上看 ,前 半月的空气质量好 于后半 个月的空气 质量 C∷ 从 AQI数 据看 ,前 半月的方差大于后半 月 的方差 D。 从 AQI数 据看 ,前 半月的平均值小于后半 月的平均值
F(泛 ,ω
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F且 垂 直 于 J轴 的直线 与椭 圆
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(2)过 椭 圆 内一 点 P⑴ ,J),斜 率 为 虑的直线 J交 椭 圆 C于 M,N两 点 ,设 直线 OM,oN(O为 坐 ,存 在 实 数 标原 点 )的 斜率 分别 为 虍 19虑 ?。 若 对任 意 汔 得 虍 l+虍 2=肤 ,求 实 数 取值 范 围。 ・
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数学 (理 工 类 )试 题 第 4页 (共 4页 〉
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高中 级第二次诊断性考试
数学 理工类 参考答案
评 分 说 明 本 解 答 给 出 了 一 种 或 几 种 解 法 供 参 考 如 果 考 生 的 解 法 与 本 解 答 不 同 可 根 据 试 题 的 主 要 !" 考 查 内 容 比 照 评 分 参 考 制 定 相 应 的 评 分 细 则 对 计 算 题 当 考 生 的 解 答 在 某 一 步 出 现 错 误 时 如 果 后 继 部 分 的 解 答 未 改 变 该 题 的 内 容 和 #" 难 度 可 视 影 响 的 程 度 决 定 后 继 部 分 的 给 分 但 不 得 超 过 该 部 分 正 确 解 答 应 得 分 数 的 一 半 如 果 就 不 再 给 分 后 继 部 分 的 解 答 有 较 严 重 的 错 误 解 答 右 端 所 注 分 数 表 示 考 生 正 确 做 到 这 一 步 应 得 的 累 加 分 数 $" 选 只 给 整 数 分 择 题 和 填 空 题 不 给 中 间 分 %"
四川省眉山市2019届高三第二次诊断性考试理数答案(简)
解得)3,#9)! 故综合评分的中位数为,#9)! ………………………………………………………………%分 #由!与频率分布直方图优质花苗的频率为.9.%4.9.#8!.3.9*即概率为.9*
设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为*则*#$$) 于是
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四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学(理)试题(解析版).doc
内江市高中2016级第二次诊断性考试数学（理工类）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 = {0,l},B = {0,l,2},则满足AuC=B 的集合C 的个数为（） A. 4 B. 3C. 12D. 1【答案】A 【解析】【分析】 由AuC=B 可确定集合C 屮元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由AuC = B 可知集合C 中一定有元素2,所以符合要求的集合C 有{2},{2,0},{2,1},{2,0,1},共4种情况, 所以选A 项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.【答案】C 【解析】 【分析】对z 进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到図 【详解】对复数z 进行化简9-3i （9-3i ）（l-i ）z = 2i + ------- =2i + ----- - ---- - = 3-4i1 + i2 所以 |Z| = \炉 + 42 = 5【点睛】考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题.TI3.已知平面向量亦的夹角为亍且问=1,0| = 2,则亦+ 5与5的夹角是（）5TT2nnnB . Mc-3D-6【答案】D 【解析】 【分析】2.己知i 为虚数单位, 复数z = 2i +9-3i1 + i则 |z| =)C. 5D. 25通过|2Q +5| = J(2& + ®2求出|2a + b|,根据向量夹角公式，得到2a + b与5的夹角.【详解】|2a + b\= J(2& + 5)2 =寸4於+ 4& .石+於=^4|a|2 4- 4|a| - |S| - cos(a,L) 4-15|2 = j4 + 4x2xlx| + 4 = 2^3(2 a + B) • S = 2a • + fi2 = 2\a\ - 0| - cos(a,t) +15|2 = 2xlx2x- + 4 = 6设a + 2b与別勺夹角为e,由向量夹角公式得(a + 2b) • b 6 \/3cosB =———-———=—7= =——|2a + b\ • \i\ 2© x 2 2n•・• 0 G ・•・0 = R 所以选D项64.空气质量指数力Q/是一种反映和评价空气质量的方法，4Q?指数与空气质量对应如下表所示:AQI0〜5051 〜100101〜150151〜200201〜300300以上空气质母优良轻度污集中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指/IQ/数变化统计图.AQ1描数根据统计图判断，下列结论正确的是（）A.整体上看，这个月的空气质量越来越差B.整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C.从SQ/数据看，前半月的方差大于后半月的方差D.从4Q/数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】C【解析】【分析】第一个表里反应4©指数越低，空气质量越好，第二个图反应1・30天每天力0指数的数值.通过这两个表格中的数据，对选项进行判断.【详解】A选项中，这个月的SQ，指数的趋势是降低的，即空气质量是变好的，所以错误；B、D选项屮，前半月的力Q/指数的平均数明显高于后半月，因此B、D选项错误；C选项中，前半月数据的稳定性没有后半月的稳定，因此前半月的方差大于后半月的，所以C项正确.故选C 项.【点睛】本题考查了频率分布折线图的应用问题，是基础题. 5. 卜-勻6的展开式中，常数项为()\ X )A. -60B. -15C. 15 【答案】D 【解析】【分析】 写出二项式展开通项，整理后令兀的指数为0,得到相应的项数，然后算出常数项. 【详解］卜一少的展开式的通项为儿+1 = 计［-劈=(-2)&严，令6-3r=0,得到厂=2【点睛】对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题. 6. 若数列何｝的前"项和为S”，且勺=1卫2 = 2,厲+ 1)厲+ 2 + 1) = (» + 1 + 1)2,则»=()对已知(S rj + l)(S n + 2 + l) = (S n + 1 + l)2,进行化简，令® = S“ + 1,可得b n -b n + 2 = b n l lf 即｛阳为等比数列, 利用d r = l f a 2= 2可计算出“的首项和公比，从而可求得乞的通项，得到S”的通项.【详解】•••◎“ + l)(S n * 2 + 1) = (S“ + j + I* 令 bn = + 1•••“•如+ 2 =如人，可得｛乞｝为等比数列，设其公比为Q 妇=S[ + 1 =+ 1 = 2,b 2 = S 2 + l = a A +a 2 + l = 4b 2••• q = — = 2, b n = ~1 = 2 x 2n ~1 = 2n5n = h n -l = 2n -l,故选 C 项.【点睛】本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题. 7. 若fd)是R 上的奇函数，且x lt x 2ER f 则％ +尢2 = 0“是畑 +心2)"的()D. 60展开式中常数项为(-2)2东=60,故选D 项.n(n + 1) L ---- ------ L2 【答案】c 【解析】 【分析】B. 2"一1C. 2"-1D. 2"一】+ 1A.充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】•••函数是奇函数，••・若x 1 + x 2 = 0f 则= -x 2,则 fOG = f （-尤 2）= 一几勺）， 即几勺）+几七）=0成立，即充分性成立， 若f （x ）= o,满足朋）是奇函数，当勺=勺"时 满足兀帀）=f （x 2）=o,此时满足/"（叼）+f （x 2）=o, 但X 1 + X 2 = 4^0,即必要性不成立，故"]+勺=0”是V （x 1） + /（x 2） = 0^的充分不必要条件， 所以A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.7c 3 Ji 7 九8. 已知函数= Asin （a ）x +（p ）^A > 0,® > 0,|爭| < j 的部分图像如图所示，点（°厂訓彳°）待°）在图象上【解析】【分析】 由三角函数的图像的性质可知^ + x 2 = —，根据图像上给出的点，求出3, 0和/!,再代入X 1 + X 2=y,可得 到答案.117 j i【详解】•••函数/（X ） = Asin （a ）x + <p ）的图像与x 轴相邻的交点为伶。
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内江市高中2016级第二次诊断性考试数学（理工类）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则满足的集合的个数为（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.2.已知为虚数单位，复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到【详解】对复数进行化简所以【点睛】考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题.3.已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过求出，根据向量夹角公式，得到与的夹角.【详解】设与的夹角为，由向量夹角公式得，所以选D项4.空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】C【解析】【分析】第一个表里反应指数越低，空气质量越好，第二个图反应1-30天每天指数的数值.通过这两个表格中的数据，对选项进行判断.【详解】A选项中，这个月的指数的趋势是降低的，即空气质量是变好的，所以错误；B、D选项中，前半月的指数的平均数明显高于后半月，因此B、D选项错误；C选项中，前半月数据的稳定性没有后半月的稳定，因此前半月的方差大于后半月的，所以C项正确.故选C项.【点睛】本题考查了频率分布折线图的应用问题，是基础题.5.的展开式中，常数项为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】写出二项式展开通项，整理后令的指数为0，得到相应的项数，然后算出常数项.【详解】的展开式的通项为，令，得到所以展开式中常数项为，故选D项.【点睛】对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题.6.若数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对已知，进行化简，令，可得，即为等比数列，利用可计算出的首项和公比，从而可求得的通项，得到的通项.【详解】，令，可得为等比数列，设其公比为，，故选C项.【点睛】本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题.7.若是上的奇函数，且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】函数是奇函数,若，则，则，即成立,即充分性成立，若，满足是奇函数，当时满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，所以A选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.8.已知函数的部分图像如图所示，点在图象上，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角函数的图像的性质可知，根据图像上给出的点，求出，和，再代入，可得到答案.【详解】函数的图像与轴相邻的交点为，可得一条对称轴为，周期，，即.代入得，即，即代入得，，，且代入得到【点睛】本题考查由函数部分图像求解析式，正弦型函数图像的性质，考查内容比较综合，属于中档题.9.若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】圆都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到，令其小于0，可得答案.【详解】圆与直线联立，整理得图像有两个交点方程有两个不同的实数根，即得.圆都在轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.，解得，故选D项.【点睛】本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题.10.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，则该四面体外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在空间坐标系里画出四个点，可以补成一个长方体，然后求出其外接球的半径，再求外接球的表面积. 【详解】如图，在空间坐标系里画出四个点，可得,面,因此可以把四面体补成一个长方体，其外接球的半径所以，外接球的表面积为，故选B项.【点睛】本题考查几何体的直观图画法，图形的判断，考查空间想象能力，对所画出的几何体进行补充成常见几何体求外接球半径，属于中档题.11.设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出点坐标，表示出直线，将点到直线的距离转化成，与直线平行且与抛物线相切的直线与直线间的距离.再找到其取值范围.【详解】抛物线的准线方程是若点的坐标为，此时直线的方程为，显然点到直线的距离的最小值是1若点的坐标为，其中则直线的斜率为直线的斜率为直线的方程为即，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为代入抛物线方程得所以解得所以与直线平行且与抛物线相切的直线方程为所以点到直线的距离的最小值为直线与直线的距离，即因为所以综合两种情况可知点到直线的距离的最小值的取值范围是所以选B项.【点睛】本题考查直线的表示，曲线上动点到直线距离的转化，圆锥曲线的综合题目，属于中档难度题. 12.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对进行变形，得到，令，，即的整数个数为3，再由的函数图像和的函数图像，写出限制条件，得到答案【详解】，即设，其中时，时，即符合要求，所以时，，单调递减，，单调递增，为极小值.有三个整数解，则还有一个整数解为或者是①当解集包含时，时，所以需要满足即，解得②当解集包含时，需要满足即整理得，而，所以无解集，即该情况不成立.综上所述，由①②得，的范围为故选D项.【点睛】利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．【答案】120【解析】【分析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项. 【详解】因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为，其公差为，前项和为.根据题意可知，，法一：，，.法二：，解得所以【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题.14.根据下列算法语句，当输入时，输出的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】由算法语句可将其转化为线性规划的题目，然后用线性规划的方法解决问题.【详解】由算法语句可知，求的最大值，并与0比较画出可行域如图，为可行域，所求目标函数，整理得，为斜率为-1的一簇平行线，在点时得到最大值.解方程组，解得，点坐标，所以的最大值为2.故答案为2.15.已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．【答案】【解析】【分析】对分类，找到的解集，再求的解集【详解】时，，①当时，，解，即得或，或②当时，解即得当时，解集为或是上的偶函数，由对称性可知当时，解集为或解集为或或时，或或解得或或【点睛】本题考查绝对值函数，不等式求解，偶函数的性质，题目考查知识点较多，比较综合，属于难题.16.设为平面外两条直线，其在平面内的射影分别为两条直线和.给出下列个命题：①；②与平行或重合；③；④ .其中所有假命题的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】分别研究①②③④四个命题的真假，找到反例说明该命题是假命题.【详解】①两条直线的射影互相平行，则两条直线不一定平行，也有可能是异面，所以错误.②正确.③在正四棱锥中，相邻的两条侧棱为，其射影与为该正四棱锥的底面的两条对角线，但相邻的两条侧棱为并不垂直，故③错误；④时，与也可能重合，故④错误.所以，假命题为①③④.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角的对边分别为，若成等差数列，且.求的值；若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】因为成等差数列，所以由正弦定理得即又因为根据余弦定理有：所以因为根据余弦定理有：由知，所以解得.由得，所以的面积【点睛】本题考查等差数列的简单性质，正弦定理、余弦定理、面积公式的考查，难度不大，属于简单题.18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.求图中的值，并求综合评分的中位数.用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）【答案】（1）82.5；（2）见解析；（3）有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【解析】【分析】（1）根据频率之和为1得到，根据面积相等，求出中位数.（2）利用二项分布列出对应的概率，写出分布列，算出数学期望.（3）根据优质花苗颗数，填好表格，选取相应数据，计算得到，再进行判断.【详解】由，解得令得分中位数为，由解得故综合评分的中位数为由与频率分布直，优质花苗的频率为，即概率为，设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为，则，于是，其分布列为：所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望结合与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本种，优质花苗的颗数为棵，列联表如下表所示：可得所以，有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【点睛】本题考查概率分布直方图的基础内容，二项分布的分布列和期望以及的求值和判断，难度不大，属于简单题.19.如图，在边长为的正方形中，点分别是的中点，点在上，且.将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.试判断与平面的位置关系，并给出证明；求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结交于，通过对应线段成比例，得到，即可证明面.（2）解法一：找到二面角，即，在中，找到三边的长度，利用余弦定理，求出余弦值.解法二：建立空间直角坐标系，找到两个面的法向量之间的夹角余弦值，再求二面角的余弦值.【详解】与平面的位置关系是平面.证明如下：在图中，连结交于，交于，则在图中，连结交于，连结.在中，有所以又因为面，面，故平面.解法一：在图中，连结交于，连结.图中的，即图中的所以又所以面又，所以面.则为二面角的平面角.易知，则在中，，则在中，由余弦定理，得所以二面角得余弦值为解法二：以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系则，于是分别设平面，平面法向量为，由得于是取，又由得于是可取.因为所以二面角的余弦值为【点睛】通过线线平行证明线面平行，二面角的余弦值的求法，难度适中，可以考虑多种方法求解，属于中档题.20.已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.求椭圆的方程；过椭圆内一点，斜率为的直线交椭圆于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据焦点和通径列出关系，求出椭圆方程.（2）直曲联立，得到，再将用表示，得到与的关系，由的范围，得到的范围. 【详解】由题意得，解得.所以椭圆的方程为：设直线的方程为由消元可得设，则而由得因为此等式对任意的都成立，所以，即由题意，点在椭圆内，故，解得所以的取值范围是【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直曲联立构造等量关系.对计算能力要求较高，有一定的难度，属于中档题.21.已知函数.若在上单调递增，求的取值范围；若，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）对在上单调递增，转化为恒成立，参变分离，求出的范围；（2）通过求导得到的最值，而的正负需要进行分类，通过分类讨论，恒成立，，得到的范围，时，可得到，虽然解不出来，但可以通过进行代换，得到范围，再得到的范围.最后两部分取并集，得到最终的范围.【详解】由题，由，得.令，则，令，得.若，；若，则.则当时，单调递增；当时，单调递减.所以当时，取得极大值，也即为最大值，即为.所以，即的取值范围是.由，得，令，则.所以在上单调递增，且.当时，，函数单调递增.由于恒成立，则有.即.所以满足条件.当时，则存在，使得，当时，，则单调递减；当时，则，单调递增.所以，又满足，即所以，则即，得又.令，则，可知，当时，，则单调递减.所以，此时满足条件.综上所述，的取值范围是.【点睛】利用导数求函数的单调区间、极值，参变分离、等量代换的方法，分类讨论的思想，对思维要求较高，难度较大，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，圆的极坐标方程为.求的普通方程；将圆平移，使其圆心为，设是圆上的动点，点与关于原点对称，线段的垂直平分线与相交于点，求的轨迹的参数方程.【答案】（1）；（2）（为参数）【解析】【分析】（1）利用，将极坐标方程转化为普通方程；（2）根据垂直平分线性质得到，则，为定值，可以得到点轨迹，再将其转化成参数方程.【详解】根据题意，的圆心为，半径为，故的普通方程为（圆心分，半径分，准确写出方程分）或由两边同乘以，得.则.即的普通方程为.连接，由垂直平分线的性质可知.所以，点的轨迹是以为焦点（焦距为），长轴为的椭圆.由上，该椭圆的短半轴长为.故可得的轨迹的参数方程为（为参数）【点睛】直角坐标系与极坐标的转化，平面几何的简单性质，普通方程与参数方程的转化，属于简单题. 23.设，且.若不等式恒成立，求实数的取值范围；是否存在实数，使得，并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到的取值范围.（2）求出的最小值，然后进行判断【详解】由，得，当且仅当时成立. 不等式即为.当时，不等式为，此时；当时，不等式成立，此时；当时，不等式为，此时；综上，实数的取值范围是.由于.则.当且仅当，即时，取得最小值.所以不存在实数，使得成立.【点睛】本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.。