专题十内积空间与希尔伯特空间 ppt课件

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第4章希尔伯特空间研究生数值分析教学课件

范数
n
x (x, x)
xi 2 ，
i 1
则 n 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y)
xi yi ，范数 x
xi2 。
i 1
i 1
例 2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
M {y y M , y U}。
（5）设 M 为 U 的线性子空间，x U , 若x0 M , x1 M ，
使得
x x0 x1
（*）
则称 x0 为 x 在 M 上的正交投影，（*）式称为 x 关于 M 的
正交分解。
2) 性质（1）设 U 是内积空间， x, y U , 若x y，则
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
1
范数 x ( xi 2)2 ，
i1
则l 2 是 Hilbert 空间。
例 4 C[a,b]是按范数 x max x(t) 不是内积空间（因为 t[ a ,b ]
不满足平行四边形U 是内积空间，x, y U, M , N U
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) 4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) i ( x iy 2 x iy 2 )
4
4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
x 2 2 Re(x, y) y 2
x 2 2 x y y 2 ( x y )2

希尔伯特空间

n
2 1/ 2
, xn ) ，对元素
, yn ) 定义
ρ ( x, y ) = [∑ (xi − yi ) ]
i Байду номын сангаас1
作为距离.也可以定义
ρ ( x, y ) = ∑ |xi − yi |
i =1
n
或者
ρ ( x, y ) = max | xi − yi |
i
作为距离.由此，n 维欧氏空间是一个距离空间. 例 3 以 C[ a , b ] 表示定义在区间 [ a , b ] 上连续函数的全体，对
的距离空间，简称为完备的空间.否则，就称空间 X 是不完备的. 这是关于空间完备性的定义.除此之外，就没有其它的空间完备性的定义了. 因此，以后提及空间的完备性，一定是指，可以在集合中定义距离而构成距离空间，此距离空间是完备的. 例 5 实数空间 R 在定义了距离 ρ ( x, y ) =| x − y | 之后，是完备的. 例 6 我们把全体有理数的集合记为 Y，对于 Y 中的任意两个元素 x 和 y，定义 ρ ( x, y ) =| x − y | 为两个实数 x 和 y 之间的距离，它符合距离三公理.由此，Y 是一个距离空间.我们取其中一个序列 {Sn }
1 ：S = ∑ m .容易看到，这个序列符合柯 !
n n m =1
西序列的定义，因此是一个柯西序列.这个序列的极限是 e − 1 ，这不是一个有理数，此序列的极限不在有理数空间之内.因此，有理数空间是不完备的. 定义 6 距离空间 X 称为可分的，如果存在一个可数点集 {xn } ⊂ X ，使得对于 X 中的每一点 x ∈ X ，都有 {xn } 中的一个子列 {xnk } ，使得 lim ρ ( xnk , x) = 0 .

内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间

内积空间是希尔伯特空间的特例
完备的内积空间具有完备的几何结构，使得向量可以按照内积进行长度和角度的度量，并且存在一个完备的基底来表示空间中的任意向量。
内积空间是一个具有内积运算的线性空间，其满足正定性、对称性和线性等性质。希尔伯特空间是内积空间的特殊情况，它是一个完备的内积空间。
希尔伯特空间是内积空间的推广
Annual Work Summary Report
2021
2022
2023
目录
Байду номын сангаас
O1
引言
coOnte2nts
内积空间的基本性质
O3
希尔伯特空间的基本性质
O4
内积空间与希尔伯特空间的关系
O5
希尔伯特空间的几何解释
O6
希尔伯特空间的应用
#O1
引言
#2022
什么是内积空间
内积运算用于计算向量之间的角度和长度，是线性代数和泛函分析中的基本概念。内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运算，满足非负性、正交性、对称性和三角不等式等性质。
希尔伯特空间的例子
$L^2$空间
01
函数空间，其元素是平方可积函数，通常用于描述物理系统的
状态。
$L^2$空间的子空间
02
例如，$L^2(0,1)$的闭子空间，通常用于描述量子力学中的束
缚态。
有限维空间
03
例如，$R^n$（实数向量空间），其具有有限个维度。
#O4
内积空间与希尔伯特空间的关系
#2022
描述算子
在量子力学中，概率幅可以通过希尔伯特空间中的内积计算。
计算概率幅
在信号处理和图像处理中的应用

希尔伯特空间向量内积

希尔伯特空间向量内积定义与性质希尔伯特空间是指具有内积运算的完备线性空间，也就是说，每一个柯西列都有收敛的极限，同时这个空间内部定了向量的内积运算，即每一对向量都有一个实数与之对应，称为这两个向量的内积。

内积运算可以看作是向量乘法的一种推广，它不但可以计算向量之间的夹角余弦值，还可以用于计算向量的长度和投影。

向量内积具有如下基本性质：1.非负性：对于任意向量，其内积的值大于等于0。

2.对称性：对于任意两个向量，它们的内积值相等，即<V,V>=<V,V>。

3.线性性：对于任意两个向量以及任意实数V，有<VV+V,V>=V<V,V>+<V,V>。

4.正定性：对于任意非零向量，它们的内积值大于0。

Peano在1888年定义了这种内积，而希尔伯特则在20世纪初规范化了这种定义。

希尔伯特空间的基本性质和它的内积运算被广泛应用于物理学、数学分析以及工程科学等领域，是现代数学和科学研究的一个基石。

应用场景希尔伯特空间的内积运算可以用于定义向量之间的夹角、高斯分布、群的表示和量子力学等领域。

1.向量之间的夹角：在希尔伯特空间中，我们可以通过向量的内积求出它们之间的夹角余弦值。

这个概念被广泛用于几何学、机器学习、图像识别以及计算机视觉等领域，如图像分类、人脸识别等。

2.高斯分布：高斯分布是概率统计学研究中的一种概率分布，也可以被称为正态分布。

在希尔伯特空间中，高斯分布的密度函数可以被表示为基于内积的形式，这个概念在计算机科学和人工智能的模型建立中经常会用到。

3.群的表示：群表示论是数学中的一个分支，主要研究将群中的元素映射为一些向量或矩阵，以便对它们进行更好地分析。

在希尔伯特空间中，向量的内积被用于定义群的表示，如厄米矩阵、酉矩阵等等。

4.量子力学：希尔伯特空间的内积算符在量子力学中有广泛的应用，主要用于描述量子体系中的态矢量及其相互变化的规律等。

可以说，希尔伯特空间和向量内积是量子力学中不可或缺的基础概念。

内积空间和希尔伯特空间 ppt课件

内积空间和希尔伯特空间
在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个
向量的内积的运算,即若 a (1 ,2 ,n )b , (1 ,2 ,．n )
则a与b的内积定义为:
a ,b 1 1 22 nn , ． (1)
其中 i 表示 i 的复共轭,并且内积与向量a的长度有以下关系 a a,a
b
x,y ax(t)y(t)d.t
(6)
易知L2 [a, b]按(6)中内积成为内积空间,又由内积(6)导出的范数
x
(
b
1
内x(积t空)2间d和)希t2尔,伯特空间
a
即为第七章第８节例４中当p 2时所定义的范数,因此由第七章
第８节定理２知,L2[a,b]成为Hilbert空间. 例２ l 2.设 x (1 ,2 ,3 ,)y , (1 ,2 ,3 ,．)
反之,若(4)式中等号成立,假定 y 0 ,则 x与 y自然线性相关,
若y 0,令
x ,y /y ,y ,
由Schwarz不等式推导过程,易知 xy 2 0,即xy.所以x
与 y 线性相关.证毕. 由Schwarz不等式,立即可知 x 满足范数不等式.事实上
xy2 xy,xyx, xy,xx,yy,y
定义1设X是复线性空间,如果对X中任何在两个向量x, y有一复数x,y与之对应,并且满足下列条件:
1. x ,x 0 , 且 x ,x 0 等 x 价 0 ,x X 于 ;
2. xy ,z x ,z y ,z ,其 x ,y ,中 z X , ,为;复数
3.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x,y y,x,x,yX.
由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于a,b0.显然,在有限维复欧氏空间E n中,由(1)定义的内积具有下述性质:

内积空间与希尔伯特空间

2.3 内积空间与希尔伯特空间通过前面的学习，知道n 维欧氏空间就是n 维线性赋范空间的“模型”，范数相当于向量的模，表明了线性赋范空间的代数结构．对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两个向量有夹角，例如θ为向量α和β的夹角时有：cos αβθαβ⋅=或者cos αβαβθ⋅=，其中αβ⋅表示两个向量的数量积(或点积或内积)，α表示向量的模．于是便有了直交性、直交投影以及向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构”．通过在线性空间上定义内积，可得到内积空间，由内积可导出范数，若完备则为Hilbert 空间．2.3.1 内积空间定义1.1 设U 是数域K 上的线性空间，若存在映射( , )⋅⋅：U U ⨯→K ，使得,,x y z U ∀∈，α∈K ，它满足以下内积公理：(1) (,)0x x ≥；(,)00x x x =⇔=；正定性(或非负性) (2) (,)(,)x y y x =；共轭对称性 (3) (,)(,)(,)x z y x y z y αβαβ+=+，线性性则称在U 上定义了内积( , )⋅⋅，称(,)x y 为x 与y 的内积，U 为K 上的内积空间(Inner product spaces )．当=K R 时，称U 为实内积空间；当=K C 时，称U 为复内积空间．称有限维的实内积空间为欧几里德(Euclid spaces )空间,即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉(Unitary spaces )空间．注1：关于复数：设z a bi =+∈C ，那么z oz =；(cos sin )z r i θθ=+其中θ为辐射角、r z =；2z z z ⋅=；z z =；对于12,z z ∈C ，有1212z z z z ⋅=⋅．注2：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性．注3：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的．因为(,)(,)(,)(,)(,)x y y x y x y x x y ααααα===⋅=，所以有(,)(,)(,)x y z x y x z αβαβ+=+，即对于第二变元是共轭线性的．在实内积空间中，第三条内积公理为第一变元、第二变元均为线性的．在n 维欧氏空间n R 中，,n αβ∀∈R ，有cos αβαβθ⋅=，即cos αβαβθαβ⋅=≤．下面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立．如果在内积空间上定义范数12(,)x x x =，其中x U ∈，通过Schwarz 不等式可证明U 为线性赋范空间，即需验证12( , )⋅=⋅⋅满足范数公理．引理1.1 Schwarz 不等式设U 为内积空间，,x y U ∀∈有(,)x y x y ≤⋅．证明当0x =或者0y =时，显然结论成立．假设0x ≠及0y ≠，那么λ∀∈C 有(,)0x y x y λλ++≥即0≤(,)x y x y λλ++=(,)(,)(,)(,)x x x y y x y y λλλλ+++(,)[(,)(,)](,)x x x y y y y x λλλ=+++令(,)(,)x y y y λ=-，则有2(,)0(,)(,)x y x x y y ≤-，即222(,)(,)(,)x y x x y y x y ≤=⋅，因此(,)x y x y ≤⋅．□讨论什么条件下？Schwarz 不等式中的(,)x y x y <⋅成立．验证12( , )⋅=⋅⋅满足范数公理．(1)正定性和(2)齐次性容验证；(3)三角不等式：,x y U ∀∈有2(,)x yx y x y +=++(,)(,)x x y y x y =+++(,)(,)x x y y x y ≤+++ x x y y x y ≤⋅++⋅+ ()x y x y =++故x y x y +≤+．因此任何内积空间都可看成由内积导出的线性赋范空间，由范数12(,)x x x =导出的距离为12(,)(,)d x y x y x y x y =-=--．例1.1 在点列依范数收敛时，内积(,)x y 是,x y 的连续映射．即内积空间U 中的点列{}n x ，{}n y 依范数收敛0n x x →，0n y y →，那么有00(,)(,)n n x y x y →．证明因为当n →∞时0n y y →，所以{}n y 有界，即存在正实数0M ≥，使得n y M ≤，那么000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n x y x y x y x y x y x y -=-+-0000(,)(,)(,)(,)n n n n x y x y x y x y ≤-+-000(,)(,)n n n x x y x y y =-+- 000n n n x x y x y y ≤-+- 0000n n x x M x y y ≤-+-→因此二元函数(,)(,)F x y x y =是连续函数．□2.3.2 希尔伯特空间定义1.2 设U 是数域K 上的内积空间，如果U 按内积导出的范数12(,)x x x =成为Banach 空间，就称U 为Hilbert 空间，简记为H 空间．注4：因为内积(,)x y 可导出范数12(,)x x x =，范数x 可导出距离(,)d x y x y =-，所以有内积空间→线性赋范空间→度量空间．其中称完备的线性赋范空间为Banach 空间，完备的内积空间为Hilbert 空间．下面给出一些Hilbert 空间的例子． 1、实内积空间n R 是Hilbert 空间．对于12(,,,),n x x x x =L 12(,,,)n y y y y =L n ∈R ，n 维欧式空间n R 上的标准内积定义为1122(,)n n x y x y x y x y =+++L导出的范数为1221()ini x x ==∑，距离为1221(,)()ni i i d x y x y ==-∑．□2、复内积空间n C 是Hilbert 空间．对于12(,,,),n x x x x =L 12(,,,)n y y y y =L n ∈C ，n 维酉空间n C 上的内积定义为1122(,)n n x y x y x y x y =+++L导出的范数为1221()ni i x x ==∑，距离为1221(,)()ni i i d x y x y ==-∑．□3、复内积空间2l 是Hilbert 空间．22121{|(,,),,}i i i l x x x x x x ∞===<+∞∈∑L C ，2,x y l ∀∈，定义内积为11221(,)i i i x y x y x y x y ∞==++=∑L由Cauchy 不等式知112222111(,)()()i ii i i i i x y x yx y ∞∞∞====≤≤+∞∑∑∑，内积导出的范数为1221()i i x x ∞==∑，距离为1221(,)()i i i d x y x y ∞==-∑．□4、复内积空间2[,]L a b 是Hilbert 空间．{}22[a,b][,]():[,]| (L) |()|L a b x t a b x t dt =→<+∞⎰C ，2,[,]x y L a b ∀∈定义内积为[a,b](,)() ()()x y L x t y t dt =⎰由荷尔德(Hölder)公式知112222[a,b][a,b][a,b][a,b](,)()()()()(())(())x y x t y t dt x t y t dt x t dt y t dt =≤≤<+∞⎰⎰⎰⎰内积导出的范数为122[a,b](())x x t dt =⎰，距离为122[a,b](,)(()())d x y x t y t dt =-⎰．□2.3.3 内积空间与线性赋范空间的关系对于一个内积空间而言，内积可诱导一个范数，即它也是一个线性赋范空间，那么内积空间中的内积与它作为线性赋范空间的范数的关系如何？定理1.1 极化恒等式内积空间中的内积与范数的关系式． (1) 在实内积空间中221(,)()4x y x y x y =+--．(2) 在复内积空间中22221(,)()4x y x y x y i x iy i x iy =+--++--．证明 (1) 由于在实内积空间中范数12(,)x x x =，所以22(,)(,)x y x yx y x y x y x y +--=++---[(,)(,)(,)(,)][(,)(,)(,)(,)]x x x y y x y y x x x y y x y y =+++---+2(,)2(,)x y y x =+ 4(,)x y =．同理可证(2)复内积空间中的极化恒等式成立．□注5：从上证明过程可知，对于任何内积空间有224Re(,)x y x yx y +--=；对应的另一个结果可从下面的证明过程获得：222222x y x yx y ++-=+．由于内积可诱导出范数，所以一个内积空间可自然而然的看成一个线性赋范空间，然而一个线性赋范空间的范数却未必可由它的某个内积导出，什么情况下成立呢？定理1.2 内积空间的特征性质线性赋范空间X 成为内积空间⇔,x y X ∀∈，范数满足平行四边形公式222222x y x yx y ++-=+．证明必要性⇒ 因为12(,)x x x =，所以22(,)(,)x y x yx y x y x y x y ++-=+++--(,)(,)(,)(,)x x y y x y x x y y x y =++++--- (,)(,)(,)(,)x x y y x y x x y y x y =++++---(,2)(,2)x x y y =+ 2(,)2(,)x x y y =+2222x y =+充分性⇐ 首先定义内积，当X 是实内积空间时，定义221(,)()4x y x y x y =+--；当X 是复内积空间时，定义22221(,)()4x y x y x y i x iy i x iy =+--++--．下面仅验证实内积空间定义的内积满足正定性、共轭对称性及线性性，对于X 是复内积空间时同理可证(练习)．由于2221(,)()4x x x x x x x =+--=，显然内积公理中的正定性成立；根据222211(,)()()(,)44x y x y x y y x y x y x =+--=+--= 可知内积公理中的对称性同样成立．下面证明,,x y z X ∀∈及α∈R 有(,)(,)(,)x y z x z y z +=+，(,)(,)x z x z αα=．由平行四边形公式知：2222()()()()22222222z z z z z z x y x y x y +++++-+=+++；2222()()()()22222222z z z z z z x y x y x y -+-+---=-+-．上述两式相减并除以4得，222222111()2()2()4422422z z z z x y z x y z x x y y ++-+-=⨯+--+⨯+-- 即(,)2(,)2(,)22zz x y z x y +=+，特别地，取0x =或0y =得(,)2(,)2z x z x =，(,)2(,)2zy z y =，于是(,)(,)(,)x y z x z y z +=+．利用归纳法可证对于正整数n ，(,)(,)nx z n x z =成立，对于有理数pr q=，其中,p q ∈N ，有 (,)(,)(,)(,)q rx z qrx z px z p x z ===，于是得(,)(,)(,)prx z x z r x z q==成立．因为对于实数α∈R ，存在有理数列{}()n r n α→→∞，所以有n r x x α→，利用范数的连续性知(,)(,)n r x z x z α→，故(,)lim(,)lim (,)(,)n n n n x z r x z r x z x z αα→∞→∞===．□注6：对于线性赋范空间而X 言，上述定理表明：如果X 上的范数不满足平行四边形公式，那么X 上不存在这样的内积，使得它导出的范数就是X 上的范数．例1.2 对于线性赋范空间121{|(,,),,}ppii i l x x x x x x ∞===<+∞∈∑L C ，其中1p ≥，范数定义为11()ppi i x x ∞==∑，距离为11(,)()ppi i i d x y x y ∞==-∑，前面章节的结论表明p l 为Banach 空间, 2l 为Hilbert 空间．证明当2p ≠时，p l 不成为内积空间．证明由上述定理知，只需验证当2p ≠时，p l 不满足平行四边形公式．令(1,1,0,0,,0,)x =L L ，(1,1,0,0,,0,)y =-L L ，则,px y l ∈，且12p x =，12py =以及2x y +=，2x y -=，于是228x y x y++-=，2222222222242p p px y+=⨯+⨯=⨯，因此222222x y x y x y ++-=+当且仅当2p =，即当2p ≠时，p l 上不能定义内积(,)x x 使得12(,)x x x =．□例 1.3 对于连续函数空间空间[,]C a b 而言，范数为[,]||||max |()|t a b x x t ∈=，导出的距离为[,](,)||||max |()()|t a b d x y x y x t y t ∈=-=-时，[,]C a b 为Banach 空间．证明[,]C a b 不成为内积空间．证明令()1x t =，()t ay t b a-=-，显然1x y ==，而()()1t a x t y t b a -+=+-，()()1t ax t y t b a--=-- 于是有2x y +=，1x y -=，从而得，225x y x y++-=，22224x y+=，因此平行四边形公式不成立，即在[,]C a b 上不能定义内积(,)x x 使得12(,)x x x =．□例 1.4 对于p 次幂可积函数空间{}[a,b][,]()| |()|p p L a b x t x t dt =<+∞⎰，范数定义为1[,]||||(|()|)ppa b x x t dt =⎰，导出的距离为1[,](,)(|()()|)ppa b d x y y t x t dt =-⎰，[,]p L a b 为Banach 空间．证明当2p ≠时，[,]p L a b 不成为内积空间．证明令()1x t =，1[,)()1[,]t a c y t t c b -∈⎧=⎨∈⎩，其中2a b c +=，于是有0[,)()()2[,]t a c x t y t t c b ∈⎧+==⎨∈⎩，2[,)()()0[,]t a c x t y t t c b ∈⎧-==⎨∈⎩．则1()px y b a ==-，1111(2)2()2ppp p b a x y x y b a --+=-=⨯=-．故222224()px yb a +=-，223222()ppx y x yb a -++-=-，可见当2p ≠时平行四边形公式不成立，即在[,]pL a b 上不能定义内积(,)x x 使得12(,)x x x =．□ 数学家简介大卫・希尔伯特（David Hilbert ，1862 年1月23日―1943年2月14日），德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一．希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡，1943年在德国哥廷根逝世．他因为发明和发展了大量的思想观念（例如：不变量理论，公理化几何，希尔伯特空间）而被尊为伟大的数学家、科学家．希尔伯特和他的学生为形成量子力学和广义相对论的数学基础做出了重要的贡献．他还是证明论、数理逻辑、区分数学与元数学之差别的奠基人之一．他热忱地支持康托的集合论与无限数．他在数学上的领导地位充分体现于：1900年，在巴黎举行的第2届国际数学家大会上，38岁的大卫・希尔伯特作了题为《数学问题》的著名讲演，提出了新世纪所面临的23个问题．这23个问题涉及了现代数学的大部分重要领域，著名的哥德巴赫猜想就是第8个问题中的一部分．对这些问题的研究，有力地推动了20世纪各个数学分支的发展．希尔伯特的着作有《希尔伯特全集》《几何基础》《线性积分方程一般理论基础》等．1928年他跟威廉・阿克曼合写《理论逻辑原理》（Grundzuge der Theoretischen Logik）．1930年，希尔伯特在他退休时演讲的最后六个单词，Wir müssen wissen, wir werden wissen. 我们必须知道，我们必将知道（We must know, we shall know）也是鼓舞一代数学家的六个单词．尽管当时第三次数学危机仍然阴魂不散，但他们坚信，数学大厦的基础是坚实的．他们也坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑的推理将其整合到数学的大厦中．这是何等的气魄！这是何等的梦想！。

内积空间PPT课件

第15页/共55页
§4、正交变换定义1 （正交变换）
设T 是内积空间V L(P) 的线性变换，如果
对任意的 x, y V ，满足 (Tx,Ty) ( x, y)
则称线性变换 T为的V 一个正交变换。
定理1 （正交变换的等价定义）
设T 是n维欧氏空间V 的一个线性变换，则下
列命题等价：
⑴ T是正交变换。 ⑵ T保持向量长度不变，即对 x ，V均有
为矩阵 A 的值域，求 R( A) 。
解：y R(A) , y (k11 k22 knn ) y i i 1, 2, , n
( y,i ) iT y 0 i 1, 2, , n AT y
R(A) y AT y N(AT )
注：一般来说，称 N ( AT ) 为矩阵AT 的零空间。
n
k 1
n
1 i j
(Tei ,Te j )
aki akj
k 1
0
i j
第19页/共55页
例5 几个正交变换的例子：
① R的3 一个线性变换，T 对 x ( x1, x2, x3) R3 T(x1, x2, x3) (x2 x3 x1)
补，记为
。
V V
第9页2 /共55页1
性质3 n维欧氏空间V 的任一子空间V1 都有唯一的
正交补。
证明: ①如果 V1 { } ，则V 是V1 唯一的正交补。 ②如果 V1 { } ，在V1 中选取一组正交基e1,e2, , ek
，并将其扩充为 V 的一组正交基 e1,e2, ,ek ,ek1, ,en
容易验证该映射为同构映射，且保持内积不变，从而V
与 Rn 同构。
②设 V是另一n维欧氏空间， e1, e2 , , en 是其一组标准正交基，则有 x V , x x1e1 x2e2 xnen

9-1 内积空间的基本概念

下面我们来证明 x 满足范数不等式.事实上,
xy 2 xy, xy x, x y, x x, y y, y
|| x ||2 x, y y, x || y ||2
|| x ||2 2 || x || || y || || y ||2 (|| x || || y ||)2,
所以
任何在两个向量 x, y,有一复数 x, y 与
之对应,并且满足下列条件:
1. x, x 0,且 x, x 0 等价于 x 0, x X ;
2. x y, z x, z y, z 其中 x, y, z En, , 为复数;
3. x, y y,x , x, y En.
在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,
还定义了两个向量的内积的运算,即若
a (1,2 ,n ), b (1,2 ,n ) 则 a 与 b的内积定义为:
a, b 11 22 nn ,
(1)
其中i 表示 i的复共轭,并且内积与向量 a 的
长度有以下关系
a a, a
由内积定义,可知两个向量 a 与 b 正交等价于
事实上,因为
x, y xn, yn
x, y yn x xn, yn
x y yn x xn yn
三内积空间的具体例子
例１ L2[a,b]. 对 L2[a,b]中任意向量 x, y,定义
b
x, y a xБайду номын сангаасt) y(t)dt.
(8)
易知 L2[a,b] 按(8)中内积成为内积空间,又由
事实上,令 x (1,1,0,), y (1,1,0,), 则
使|| x || 就是由内积 x, y 导出的范数.所以
(5)式是内积空间中范数的特征性质.

《内积空间》课件

混合积
混合积运算结果是一个标量，记作 $mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c})$。混合积可以用来判断三个向量的共面情况：若混合积为零，则三个向量共面。
05
内积空间中的正交与投影
正交的定义与性质
总结词
正交是内积空间中两个非零向量的特殊关系，具有方向无关性、正交性质和几何意义。
01 线性映射的定义
线性映射是从一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足加法、数乘等线性性质。
02 线性映射的性质
线性映射保持向量的加法、数乘等基本性质，即对于任意向量x、y和任意实数k，有 L(x+y)=L(x)+L(y)和L(kx)=kL(x)。
03 线性映射的例子
矩阵表示的线性变换、投影变换等都是线性映射的例子。
矩阵的范数
矩阵范数的定义
矩阵的范数是定义在矩阵上的一个非负实数，表示矩阵的“大小 ”或“强度”。常用的矩阵范数包括谱范数、Frobenius范数和无
穷范数等。
范数的性质
矩阵范数具有与向量范数类似的性质，如非负性、正齐性、三角不等式和归一化等。
范数的应用
矩阵范数在数值分析、线性代数、控制理论和机器学习等领域都有应用，如求解线性方程组、矩阵分解和特征值计算等。
在机器学习中的应用
特征提取
内积空间中的向量可以用来表示机器学习中的特征，通过计算特征向量之间的内积，可以得出特征之间的相似性和关联性，从而实现特征的提取和降维处理。
分类器设计
在机器学习中，分类器的设计往往需要用到内积空间中的向量表示，通过计算样本向量与分类器向量之间的内积，可以得出样本所
向量的加法与数乘
向量的加法

内积空间

N (c, ) ，使其内任意点的函数值满足 f 2( x) 0 ，
从而
( f , f ) b f 2( x)dx c f 2( x)dx 0
a
c
矛盾。其他性质显然可证。
类似地，将矩阵看成由行向量依次连接而成的一个超级向量，即可得如下内积定义：
例6 在矩阵空间 Rm n 中，对任意 A、B Rmn
§2、标准正交基
正交性的重要性无论怎么强调都不过分，尤其在数值线性代数和微分方程数值解中，许多重要的算法都与正交性有密切联系。而这两门学科是在工程科学中有着最广泛应用的数学分支之一。
在欧氏空间内引入标准正交基后，欧氏空间内向量的内积运算就转化成了我们熟悉的向量空间内向量的内积运算。
一、标准正交基(Orthonormal Basis)
( x, y) x1 y1 xn yn xT y yT x, x, y Rn
并在此基础上定义了 Rn 中的向量长度、夹角等概念。
当然可以将这种定义推广到任意线性空间，但由于这种定义与向量空间的基有关，我们目前不打算这样做。取而代之的是，注意到内积是从两个向量得到的一个数，我们自然希望确定这种运算的性质，进而给出线性空间中内积的公理化定义。
在 R3 中，选取自然基 i, j, k，则度量矩阵
(i, i) (i, j) (i, k) 1 0 0 G ( j, i) ( j, j) ( j, k) 0 1 0 I
(k,i) (k, j) (k,k) 0 0 1
说明此时内积是标准内积，因此用坐标计算内积的公式有最简单的形式。
我们当然希望在欧氏空间中通过适当选取基，使得欧氏空间的度量矩阵也是单位矩阵（或者尽可能简单些）。
第二章内积空间

高等量子力学第一章希尔伯特空间 PPT课件

完全集一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性
无关的矢量集合 i ，这个空间中的每个矢量都能表为完
全集中矢量的线性叠加，即每一矢量都能写成
i ai
i
的形式，其中ai 是一组复数。
如果一个空间中有一个线性无关的矢量集 1, 2 ,...n ，
但还不是完全集，这时可以把不能表为其线性叠加的一个矢量
命名为 n1，加入这个矢量集。这时 1, 2 ,...n , n1，肯定是
证明：设在空间中有1和2 ，对所有矢量都满足 1 , 2
取第一式的为2 ，第二式中的为1，分别得 2 1 2,1 2 1
于是，根据条件（1），
2 2 1 1 2 1 即1 2 ，只有唯一的零矢量。
（2）每个矢量的逆元是唯一的。
证明：若 1,2 都是的逆元，即
1 , 2
如果少多，即 m n ，则把全部用完后，仍有未
被顶掉。这就是说，要加上一些才是完全集，与是
完全集相矛盾。所以 m n 是不可能的。
如果多少，即 m n，那么把全部顶掉后，还有一些没
有用到，这就是说，中的一部分就是完全集，也与是完全集
相矛盾。所以 m n也是不可能的。
这是一个复数域上的内积空间。
如果内积定义为：
(l,
m)
l1*
m12
l2*
m
23l
* 3
m34
l 4*
m4
空间是否仍然是一个内积空间？
第四个例子数学对象为在 a x b 区间定义的实变
量 x 的“行为较好”的复函数 f (x) 的全体，而且都是平方可
积的。所谓“行为较好”是指满足一定数学要求，如单值性、连续性及导数存在等等，这里我们不去详细讨论。规定加法

专题十内积空间与希尔伯特空间(讲稿)

n n
x k xk min x k xk
k 1 ( 1 ,..., n ) k 1
即要求出
Hale Waihona Puke x0 k xk span{x1 , x2 ,...xn }
k 1
n
使得||x-x0||最小。 (2) 最佳逼近问题的几何解释：记M=span{x1, x2, …, xn}H, 则
定理1 线性赋范空间X是内积空间x,yX, 有 ||x+y||2 + ||x-y||2=2||x||2 + 2||y||
(平行四边形公式或中线公式)
4
希尔伯特空间
定义3 设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为Banach空间，则称H是希尔伯特空间。
例1 n维欧氏空间Rn按照内积是内积空间。
y M
{yn}M, 使得||yn-x||d (n)
(下确界定义)
1) 证明 {yn}是基本列 M是H的线性子空间ym,ynM, 有
0 ||ym-yn||2 = ||(ym-x)+(x-yn)||2 = ||(ym-x)+(x-yn)||2+||(ym-x)-(x-yn)||2-||(ym-x)-(x-yn)||2 = 2||ym-x||2+2||x-yn||2-||(ym+ yn)-2x||2 (平行四边形公式) 2||ym-x||2+2||x-yn||2-4d20 (m,n) {xn}是基本列
注：正交补的性质：
(1)U {0},{0} U
(2)M U , M M {0}
(3)M U , M 是U的闭线性子空间，即U的
完备子空间，事实上， x,yL及zL, 有<x,z>=0,<y,z>=0 <x+y,z>=<x,z>+<x,z>=0 <x+y,z>LL为H线性子空间 {xn}L, xnx, zL <x,z>=lim<xn,z>=0xL L为H的闭子空间