2018-2019学年北京市清华大学附属中学高一10月月考数学试题(解析版)

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2018-2019学年北京市清华附中高一(上)期中数学试卷(解析版)

第1页，共5页2018-2019学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集，集合，，则集合 U =R A ={x|x >0}B ={x|x <1}(∁U A)∩B =()A. B. C. D. (‒∞,0)(‒∞,0](1,+∞)[1,+∞)【答案】B【解析】解：集合，，∵A ={x|x >0}∴∁AU ={x|x ≤0}，∵B ={x|x <1}，∴(∁U A)∩B ={x|x ≤0}故选：B ．求出集合A 的补集，从而求出其和B 的交集即可．不同考查了集合的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，不同是一道基础题．2.命题“，使得”的否定是 ∃x ∈R x 2<1()A. ，都有 B. ，使得∀x ∈R x 2<1∃x ∈R x 2≥1C. ，都有 D. ，使得∀x ∈R x 2≥1∃x ∈R x 2>1【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则否命题的否定是：，都有，∀x ∈R x 2≥1故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.下列函数中，既是奇函数又在R 单调递减的是 ()A.B. C. D. y =1xy =e‒xy =lnx y =‒x|x|【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，，为反比例函数，其定义域为，不符合题意；y =1x{x|x ≠0}对于B ，，不是奇函数，不符合题意；y =e ‒x =(1e )x对于C ，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；y =lnx 对于D ，，既是奇函数又在R 单调递减，符合题意；y =‒x|x|={‒x 2,x ≥0x 2,x <0故选：D ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.已知，，，那么 a =log 23b =log 32c =log 0.52()A. B. C. D. a <b <ca <c <bc <b <a b <c <a【答案】C【解析】解：，，，a =log 23>1b =log 32∈(0,1)c =log 0.52<0可得．c <b <a 故选：C ．利用对数性质，判断三个数的范围，即可得到结果．本题考查对数值的大小比较，是基础题．5.“”是““的 a >|b|a >b (()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“”““，反之不成立．a >|b|⇒a >b “”是““的充分不必要条件．∴a >|b|a >b 故选：A ．由“”可得““，反之不成立即可判断出关系．a >|b|a >b .本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.函数的零点所在的一个区间是 f(x)=2x ‒1+log 2x ()A.B.C.D. (18,14)(14,12)(12,1)(1,2)【答案】C【解析】解：函数，在单调递增．∵f(x)=2x ‒1+log 2x (0,+∞)，，∴f(1)=1f(12)=‒1根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是，∴(12,1)故选：C ．根据函数，在单调递增，，，可判断分析．f(x)=2x ‒1+log 2x (0,+∞)f(1)=1f(12)=‒1本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．7.要得到的图象，只需将函数的图象 g(x)=log 2(2x)f(x)=log 2x ()A. 向上平移1个单位B. 向下平移1个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位【答案】A【解析】解：，g(x)=log 2(2x)=log 2x +1故将函数的图象向上平移1个单位，即可得到，f(x)=log 2x 故选：A ．利用对数的运算性质，可得，结合函数图象平移变换法则，可得答案．g(x)=log 2(2x)=log 2x +1本题考查的知识点是函数图象的平移变换，对数的运算性质，难度中档．8.函数，的图象为 y =a|x +b|(0<a <1,‒1<b <0)()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，∵0<a <1的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过，∴y =a x(0,1) 的图象可看成把的图象在y 轴的右铡的不变，再将右侧的图象作关于y 轴的图象得到的，y =a |x|y =a x的图象可看成把的图象向右平移个单位得到的，y =a |x +b|y =a x ‒b(0<‒b <1)故选：C ．先考查的图象特征，的图象可看成把的图象向右平移个单位得到y =a |x|y =a |x +b|y =a x‒b(0<‒b <1)的，即可得到的图象特征．y =a|x +b|本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9.函数的定义域是______．y =ln(x ‒1)+12‒x 【答案】(1,2)【解析】解：由，解得．{x ‒1>02‒x >01<x <2函数的定义域是．∴y =ln(x ‒1)+12‒x (1,2)故答案为：．(1,2)由对数式的真数大于0，分式中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解即可．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．10.若为R 上的奇函数，当时，，则______．f(x)x <0f(x)=log 2(2‒x)f(0)+f(2)=【答案】‒2【解析】解：为R 上的奇函数，f(x)则，f(‒x)=‒f(x)即有，，f(0)=0f(‒2)=‒f(2)当时，，x <0f(x)=log 2(2‒x)，f(‒2)=log 2(2+2)=2则．f(0)+f(2)=0‒2=‒2故答案为：．‒2运用奇函数的定义，已知解析式，可得，，即可得到结论．f(0)=0f(2)=‒2本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．11.已知函数对任意的满足，且当时，，若有4个零f(x)x ∈R f(‒x)=f(x)x ≥0f(x)=x 2‒ax +1f(x)点，则实数a 的取值范围是______．【答案】(2,+∞)第3页，共5页【解析】解：，∵f(‒x)=f(x)函数是偶函数，∴f(x)，∵f(0)=1>0根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，x ≥0f(x)即，，{△=a 2‒4>0‒‒a 2=a2>0∴{a >2或a <‒2a >0解得，a >2即实数a 的取值范围，(2,+∞)故答案为：(2,+∞)由，可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，即可得f(‒x)=f(x)x ≥0f(x)到结论．本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．12.已知函数，若，则x 的取值范围是______．f(x)={x +1,x ≤1log 2x,x >1f(x)>f(x +1)【答案】(0,1]【解析】解：函数，∵f(x)={x +1,x ≤1log 2x,x >1故函数在上单调递增，在上单调递增，f(x)(‒∞,1](1,+∞)由于，且，f(x)>f(x +1)x <x +1则有，{x ≤1x +1>1x +1>log 2(x +1)由，可得，，0<x ≤11<x +1≤20<log 2(x +1)≤1不等式在成立，x +1>log 2(x +1)0<x ≤1则的解集为．f(x)>f(x +1)(0,1]故答案为：．(0,1]由题意可得函数在上单调递增，在上单调递增，由，可得，f(x)(‒∞,1](1,+∞)f(x)>f(x +1)x +1>1，，由此求得x 的范围．x ≤1x +1>log 2(x +1本题考查分段函数的应用：解不等式，函数的单调性的应用，属于中档题．13.函数的值域是______注：其中表示不超过x 的最大整数f(x)=[3x]‒3[x].([x])【答案】(‒1,3)【解析】解：根据高斯函数的性质，，x ‒1<[x]≤x 那么：，3x ‒3<3[x]≤3x 则 ‒3x ≤‒3[x]<3‒3x 由，3x ‒1<[3x]≤3x∴‒1<[3x]‒3[x]<3函数的值域为．f(x)=[3x]‒3[x](‒1,3)故答案为(‒1,3)根据高斯函数的性质，，，结合不等式的性质即可求解；x ‒1<[x]≤x 3x ‒1<[3x]≤3x 本题考查了表示不超过x 的最大整数新定义的应用，其实是高斯函数的性质应用属于中档题．[x].三、解答题（本大题共7小题，共85.0分）14.已知，，则______．4a=2lgx =a x =【答案】10【解析】解：，∵4a=2，∴22a =2即2a =1解得a =12，∵lgx =a ，∴lgx =12∴x =10故答案为：10根据指数函数和对数函数的定义计算即可．本题主要考查了指数函数和对数函数的运算，属于基础题．15.已知集合，．A ={x|x 2‒ax +12≤0}B ={x|x 2‒6x +5<0}若，求；(1)a =8A ∩B 若集合中至少存在一个整数，求实数a 的取值范围．(2)A ∩B 【答案】解：时，集合，(1)∵a =8A ={x|x 2‒8x +12≤0}={x|2≤x ≤6}．B ={x|x 2‒6x +5<0}={x|1<x <5}．∴A ∩B ={x|2≤x <5}集合，．(2)∵A ={x|x 2‒ax +12≤0}B ={x|1<x <5}集合中至少存在一个整数，A ∩B ，∴A ={x|a ‒a 2‒482≤a ≤a +a 2‒482}或，∴{a ‒a 2‒482≤1a +a 2+482≥2{a‒a 2‒482≤4a +a 2+482≥5解得．a ≥163实数a 的取值范围是．∴[163,+∞)【解析】时，集合，(1)a =8A ={x|x 2‒8x +12≤0}={x|2≤x ≤6}，由此能求出．B ={x|x 2‒6x +5<0}={x|1<x <5}A ∩B 集合，由集合中至少存在一个整数，得(2)A ={x|x 2‒ax +12≤0}B ={x|1<x <5}.A ∩B ，由此能求出实数a 的取值范围．A ={x|a ‒a 2‒482≤a ≤a +a 2‒482}本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知函数f(x)=a x(a >0,a ≠1)若，求的值；(1)f(1)+f(‒1)=3f(2)+f(‒2)若函数在区间的最大值与最小值的差为，求实数a 的值．(2)f(x)[‒1,1]83【答案】解：，可得，(1)f(1)+f(‒1)=3a +a‒1=3两边平方可得，a 2+a ‒2=7即有；f(2)+f(‒2)=a 2+a‒2=7当时，在递增，(2)a >1f(x)[‒1,1]可得，f(1)‒f(‒1)=a ‒a ‒1=83解得；a =3当时，在递减，0<a <1f(x)[‒1,1]可得，f(‒1)‒f(1)=a ‒1‒a =83解得．a =13综上可得或．a =313【解析】由题意可得，两边平方即可得到所求值：(1)a +a ‒1=3讨论和，运用指数函数的单调性，可得a 的方程，解方程即可得到所求值．(2)a >10<a <1本题考查指数函数的单调性和运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17.已知函数，，若在区间上有最大值5，最小值2．f(x)=ax 2‒2ax +2+b (a ≠0)f(x)[2,3]求a ，b 的值；(1)若，在上为单调函数，求实数m 的取值范围．(2)b <1g(x)=f(x)‒mx [2,4]【答案】解：由于函数，，对称轴为，(1)f(x)=ax 2‒2ax +2+b =a(x ‒1)2+2+b ‒a (a ≠0)x =1当时，函数在区间上单调递增，由题意可得，a >0f(x)[2,3]{f(2)=2+b =2f(3)=2+b +3a =5解得．{a =1b =0当时，函数在区间上单调递减，由题意可得，a <0f(x)[2,3]{f(2)=2+b =5f(3)=2+b +3a =2解得．{a =‒1b =3综上可得，，或．{a =1b =0{a =‒1b =3若，则由可得，，(2)b <1(1){a =1b =0g(x)=f(x)‒mx =x 2‒(m +2)x +2再由函数在上为单调函数，可得，或，g(x)[2,4]m +22≤2m +22≥4解得，或，m ≤2m ≥6故m 的范围为．(‒∞,2]∪[6,+∞)【解析】由于函数，，对称轴为，分当时、当时两(1)f(x)=a(x ‒1)2+2+b ‒a (a ≠0)x =1a >0a <0种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a 、b 的值．由题意可得可得，，根据条件可得，或，由此求得m(2){a =1b =0g(x)=x 2‒(m +2)x +2m +22≤2m +22≥4的范围．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18.设函数是R 上的增函数，对任意x ，，都有f(x)y ∈R yf(x)‒xf(y)=xy(x 2‒y 2).求；(1)f(0)求证：是奇函数；(2)f(x)若，求实数x 的取值范围．(3)f(x 2+1)+f(3x ‒5)<0【答案】解：对任意x ，，都有，(1)y ∈R yf(x)‒xf(y)=xy(x 2‒y 2)可令，，可得，即；x =1y =00‒f(0)=0f(0)=0证明：由任意x ，，都有，(2)y ∈R yf(x)‒xf(y)=xy(x 2‒y 2)可令，可得，y =‒x ‒xf(x)‒xf(‒x)=‒x 2⋅(x 2‒x 2)=0可得，由，可得，‒x[f(x)+f(‒x)]=0x ∈R f(‒x)=‒f(x)即有为奇函数；f(x)奇函数是R 上的增函数，(3)f(x)由，即，f(x 2+1)+f(3x ‒5)<0f(1+x 2)<‒f(3x ‒5)=f(5‒3x)即有，1+x 2<5‒3x第5页，共5页解得．‒4<x <1实数x 的取值范围为．(‒4,1)【解析】可令，，计算可得所求；(1)x =1y =0f(0)可令，结婚酒函数的奇偶性的定义，即可得证；(2)y =‒x 由奇函数是R 上的增函数，将已知不等式移项，可得，由二次不等式的解法，即可(3)f(x)1+x 2<5‒3x 得到所求范围．本题考查抽象函数的奇偶性的判断和运用，考查不等式的解法，注意运用函数的单调性和奇偶性，考查运算能力，属于中档题．19.若函数满足：在区间内有且仅有一个实数，使得成立，则称函数具有性f(x)(‒2,2)x 0f(x 0)=1ff(x)质M ．判断函数是否具有性质M ，说明理由；(1)y =1+x2‒x若函数具有性质M ，求实数a 的取值范围；(2)y =log a x(a >0,a ≠1)若函数具有性质M ，求实数m 的取值范围．(3)f(x)=x 2+2mx +2m +1【答案】解：函数，由，可得，(1)y =1+x2‒x1+x 2‒x=1x =12∈(‒2,2)则函数具有性质M ；y =1+x2‒x函数具有性质M ，(2)y =log a x(a >0,a ≠1)可得，即，log a x =1x =a ∈(‒2,2)可得a 的取值范围是；(0,1)∪(1,2)依题意，若函数具有性质M ，(3)f(x)=x 2+2mx +2m +1即方程在上有且只有一个实根．x 2+2mx +2m =0(‒2,2)设，即在上有且只有一个零点，ℎ(x)=x 2+2mx +2m ℎ(x)=x 2+2mx +2m (‒2,2)由得，，解得或．ℎ(‒2)⋅ℎ(2)<0(4‒2m)(6m +4)<0m <‒23m>2同时需要考虑以下三种情况：由解得；①{‒2<‒m <2△=4m 2‒8m =0m =0由解得，不等式组无解；②{‒2<‒m <0ℎ(‒2)=4‒2m =0{0<m <2m =2由解得，解得．③{0<‒m <2ℎ(2)=6m +4=0{‒2<m <0m =‒23m =‒23综上所述，若函数具有性质M ，实数m 的取值范围f(x)是或或．m ≤‒23m >2m =0【解析】解方程可得想x ，可判断是否具有性质M ；(1)y =1由题意可得，解方程可得，再由性质M 即可得到所求范围；(2)log a x =1x =a 依题意，若函数具有性质M ，即方程在上有且只(3)f(x)=x 2+2mx +2m +1x 2+2mx +2m =0(‒2,2)有一个实根设，即在上有且只有一个零点讨论m 的.ℎ(x)=x 2+2mx +2m ℎ(x)=x 2+2mx +2m (‒2,2).取值范围，结合零点存在定理和二次函数的图象，即可得到m 的范围．本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20.已知函数．f(x)=1‒a ⋅(12)x +(14)x当时，求函数在上的值域；(1)a =3f(x)(‒∞,0)若不等式在区间上恒成立，求实数a 的取值范围．(2)|f(x)|≤3[0,+∞)【答案】解：当时，，(1)a =3f(x)=1‒3⋅(12)x +(14)x 令，则原函数化为，(12)x =ty =t 2‒3t +1，则，∵x ∈(‒∞,0)t ∈(1,+∞)当时，．∴t =32y min =94‒3×32+1=‒54函数在上的值域为；∴f(x)(‒∞,0)[‒54,+∞)由知，在区间上恒成立，(2)(1)|f(x)|≤3[0,+∞)即在上恒成立，|t 2‒at +1|≤3t ∈(0,1]令，g(t)=|t 2‒at +1|则，解得：．{g(0)=1<3g(1)=|2‒a|≤3g(a 2)=|1‒a 24|≤3‒1≤a ≤4实数a 的取值范围是．∴[‒1,4]【解析】把代入函数解析式，利用换元法结合二次函数求最值；(1)a =3令，把问题转化为在上恒成立，得到关于t 的不等式组求(2)g(t)=|t 2‒at +1||t 2‒at +1|≤3t ∈(0,1]解．本题考查函数值域的求法，考查恒成立问题的求解方法，训练了换元法，体现了数学转化思想方法的应用，是中档题．。

北京师范大学附属实验中学2018-2019学年高一10月月考数学试题(解析版)

北京师范大学附属实验中学2018-2019学年高一10月月考数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知集合2，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：2，，；．故选：D．根据集合2，，，即可得出，，，从而判断A，B，C都错误，只能选D．考查列举法表示集合的定义，集合相等和子集的定义，交集、并集的运算．2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】解：或，即有，则．故选：B．运用二次不等式的解法，求得集合Q，求得Q的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题．3.已知集合，，则中元素的个数为A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】解：，．中元素的个数为2．故选：B．根据交集定义求即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4.已知集合，，若，则实数a的取值范围A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，．故选：A．由，得，得．本题考查了交集及其运算，是基础题．5.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由“”得，由得或，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．6.若不等式的解集是空集，则下列结论成立的是A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】A【解析】解：当时，为开口向下的抛物线，不等式的解集为空集，显然不成立；当时，为开口向上的抛物线，不等式的解集为空集，得到，综上，不等式的解集是空集的条件是：且．故选：A．分两种情况考虑，当a小于0时，根据二次函数的图象与性质得到不等式的解集是空集不可能；当a大于0时，根据二次函数的图象与性质得到不等式的解集是空集即为二次函数与x轴有一个交点或没有交点，即根的判别式小于等于0，综上，得到原不等式为空集的条件．此题考查了分类讨论及函数的思想解决问题的能力，考查学生掌握空集的意义及二次函数的图象与性质，是一道基础题．7.已知函数的定义域为，则函数的定义域为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：原函数的定义域为，，解得．则函数的定义域为．故选：B．原函数的定义域，即为的范围，解不等式组即可得解．考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．8.下列函数中，值域为的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由得，，故选：D．根据，可求得本题考查了函数的值域，属基础题．9.已知函数是奇函数，且当时，，则A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】解：是定义在R上的奇函数，，，又当时，，，，故选：A．由奇函数定义得，，根据的解析式，求出，从而得到．本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．10.如果是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：是奇函数，．对于A，，是奇函数．对于B，，是偶函数．对于C，，为非奇非偶函数，对于D，，是奇函数．故选：B．逐个计算，观察与的关系得出答案．本题考查了函数奇偶性的性质和奇偶性的判断，属于基础题．11.已知命题“，是假命题，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：“，”的否定为“，““，”为假命题“为真命题即恒成立解得故选：B．写出原命题的否命题，据命题p与￢真假相反，得到恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．本题考查含量词的命题的否定形式：将量词””与“”互换，同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑．12.已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：是偶函数，，不等式等价为，在区间单调递增，，解得．故选：A．根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.满足关系式2，3，的集合A的个数是______．【答案】4【解析】解：由题意知，满足关系式2，3，的集合A有：，3，，3，，3，1，，故共有4个，故答案为：4．由题意一一列举出集合A的情况即可．本题考查了集合的化简运算及应用．14.若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据题意，函数为二次函数，其对称轴为，且开口向上，若在区间上是减函数，必有，即，即a的取值范围为；故答案为：根据题意，由二次函数的性质求出的对称轴，进而分析可得若在区间上是减函数，必有，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查二次函数的性质，注意分析二次函数的对称轴，属于基础题．15.定义在R上的偶函数满足：对任意的，，有则，，的大小顺序是______．【答案】【解析】解：是偶函数又任意的，，有在上是减函数又故答案为：先由奇偶性将问题转化到，再由函数在区间上的单调性比较．本题主要考查用奇偶性转化区间和单调性比较大小，在比较大小中，用单调性的较多，还有的通过中间桥梁来实现的，如通过正负和1来解决．16.已知集合2，3，，函数的定义域、值域都是A，且对于任意，，则满足条件的函数有______个【答案】9【解析】解：根据题意分析可知：问题等价于4个元素的全错位排列有多少个的问题，当时，若，则，；若，则，，若，则，，共3种；同理可得：当，时，都有3种．综上所述：满足条件的函数共有9种．故答案为：9．将问题等价转换为：4个元素的全错位有多少个排列然后分类计数后相加可得．本题考查了函数的值域、分类计数原理、函数的概念，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共40.0分）17.已知函数，若，则______．【答案】【解析】解：函数，，当时，，解得或舍；当时，，解得，不合题意．综上，．故答案为：．当时，；当时，，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.函数的定义城为A，若，，且时总有，则称为单函数、例如，函数是单函数，下列命题：函数是单函数；若为单函数，，且，则；若f：为单函数，则对于任意，它有且只有一个原象；函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．其中的真命题是______，写出所有真命题的编号【答案】【解析】解：对于函数，由得，，所以不是单函数，错误；对于为单函数，则时，有，逆否命题是时，有，所以是正确的；若f：为单函数，则对于任意，它至多有一个原象，正确，否则不是单函数若函数是单调函数，则满足时，有，所以是单函数，正确；故答案为：利用单函数的定义当时总有，分别对四个命题进行判断，可以得出正确结论．本题考查了函数性质的推导与判断，考查学生分析问题解决问题的能力，有一定的综合性．19.已知集合，．若，求；若，求实数a的取值范围．【答案】解：或，若，则，；，，，实数a的取值范围为．【解析】首先确定A、B，然后根据交集定义求出即可；由，得，得．本题考查了交集及其运算，考查了并集运算的应用，是基础题．20.设函数满足．求的解析式；若的定义域是区间，求的值域．【答案】解：设，则，带入得：；；；；时，取最小值，且；的值域为．【解析】可设，从而求得，代入并整理可得出，从而得出；配方得出，根据的定义域为即可得出最小，并求出，从而可得出的值域．考查换元求函数解析式的方法，配方求二次函数最值的方法，函数值域的定义及求法．21.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时有判断函数在上的单调性，并用定义证明；求函数的解析式写成分段函数的形式．【答案】解：函数在上单调递增．证明：设，则，，又，所以，，，所以．则，即，故函数在上单调递增；由于当时有，而当时，，则，即．则．【解析】运用函数的单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；运用偶函数的定义，求出的表达式，即可得到的解析式．本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．22.已知的定义域为，且对任意，都有，若，且，解不等式．【答案】解：设，则，，都有，，，在上为增函数，，任意正数x，y都有成立，令，得，令，，得；化为，，，解得，故不等式的解集是【解析】先判断函数的单调性，利用条件、恒等式和赋值法即可求的值；将不等式等价转化，结合函数的定义域、单调性列出不等式组，求解即可．本题考查抽象函数的函数值和单调性问题，以及不等式的解集，一般采用赋值法、等价转化的思想，根据恒等式、函数单调性将不等式进行转化是解决本题的关键。

北京师大附中2018年10月2018～2019学年度高一第一学期期中考试数学试卷及参考答案教师专用

2018年10月2018～2019学年度北京师大附中高一上学期期中考试数学试题数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1.已知集合＝＝ ,则 A. B. ＝ C. ＝ D. ＝2.若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R,则关于实数a 的下列说法中正确的是A.1a =-或3B.1a =-C.3a >或1a <-D.13a -<<3.下列函数中,在区间＋上是增函数的是 A. ＝ B. ＝ C. ＝＋ D. ＝4.给定四个函数:① ＝＋；② ＝；③ ＝＋；④ ＝＋,其中是奇函数的有A.1个B.2个C.3个D.4个5.函数＝在R 上为增函数,且＋ ,则实数m 的取值范围是 A. B. ＋C. ＋D. ＋6.函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是A.B.C.D.7.A. B. C. D.8. 是区间＋上的偶函数并且在区间＋上是减函数,则下列关系中正确的是 A. B. C. ＝ D.二者无法比较 9.设,则A. B. C. D.二、解答题10.已知函数＝＋的定义域为A, ＝＋的值域为B 。

(1)求A,B ；(2)设全集＝ ,求11.已知集合＝＝＋ (1)若＝ ,求a 的取值范围； (2)若＝ ,求a 的取值范围。

12.已知函数＝＋＋ (1)当a ＝1时,求函数的值域。

(2)若函数在区间上是单调函数,求实数a 的取值集合。

北京市清华附中2018届高三10月月考数学试题(Word版,无答案)

北京市清华附中2018届高三10月月考数学试题（Word版，无答案）2 清华附中高三2017 年10 月月考试卷数学（理）一、选择题：（共8 个小题，每小题5 分，共40 分）1.设集合M ={x | x2 -x - 2 ≤0}，N ={y | y =x2 -1, -1≤x ≤2}，则有（A）M ⊆N（B）N ⊆M（C）M =N（D）M N =∅2.如果cosθ> 0 ，sin 2θ< 0 ，则θ的终边位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A）y =x2 +1（B）y = tan x（C）y = 2x（D）y =x +sin x4.等差数列{a n } 的首项为1，公差不为0 .若a2 ,a3 ,a6 成等比数列，则{a n } 前6 项的和为（A）-24 （B）-3（C）3 （D）85.下列四个命题：①∃x0 ∈R ，使x+ 2x+ 3 =0；②命题“∃x0 ∈R ，lg x0 > 0 ”的否定是“∀x ∈R,l g x < 0 ”；③如果a,b∈R ，且a >b ，那么a2 >b2 ；④“若α=β，则sinα= sin β”的逆否问题为真命题其中正确的命题是（A）①（B）②（C）③（D）④6.设a,b 是两个向量，则“| a + b |>| a - b |”是“a ⋅b > 0 ”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件7.已知函数 f (x ) = x 2 = 2x ， g (x ) = ax + 2(a > 0) ，如果∀x ∈[-1, 2] ， ∃x ∈[-1, 2] 使12得g (x 1 ) = f (x 2 ) ，那么a 的取值范围是1（A ）(0, ] 2（C ）[3, +∞)1 （B ）[ , 3]2（D ） (0, 3]8.已知函数 f (x ) = e x- e - x，则下列命题中错误的是（A ） f ( x ) 是奇函数（B ） f ( x ) 是 R 上的单调递增函数（C ）方程 f (x ) = x 2+ 2x 有且仅有1 个实数根（D ）如果对任意 x ∈ (0, +∞) 都有 f (x ) > kx ，那么 k 的最大值为 2二、填空题：（共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）9.计算：⎰ 2 1 dx =.1x10.已知向量 a,b 的夹角为 60 ，| a |= 2 ，| b |= 1 ，则| a + 2b |=.11.在平面直角坐标系 xOy 中，角α 与角 β 均以射线 Ox 为始边，它们的终边关于 x 轴对称，1 若 sin α = ，则 cos(α - β ) =.212.已知线段 AB 的边长为 2 ， P 为任意一点，则 PA ⋅ PB 的最小值为.13.将函数 f ( x ) = 2 s in(ω x - π )(ω > 0) 的图象向左平移 π个单位，得到函数y = g (x ) 的 3 3ω 图象，若 y = g (x ) 在区间[0, π] 上为增函数，则ω 的最大值为 .4⎧ 14.已知函数 f ( x ) = ⎨ xe x , x ≤ 0， g (x ) = f (x ) - k ， ⎩- x 2+ 4x , x > 0当 k = 0 时，函数 g ( x ) 的零点个数为.若函数 g ( x ) 恰有 2 个不同的零点，则实数 k 的取值范围为.三、解答题（共6 小题，19、20 题每题14 分，其余每题13 分，共80 分）π15.已知函数f (x) = sin ωx(cos ωx-ωx) (ω> 0) 的最小正周期为.2 2⑴求ω的值及f ( x) 的单调递减区间；⑵求函数f ( x) 在区间(0,π) 上的零点.216.已知ABC 的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a, b, c ，sin( A+C) =817为锐角.⑴求cos B 的值；⑵若a +c = 6 ，ABC 的面积为2 ，求边长b .17.已知函数f ( x) =a ln x -1x2 +1(a ∈R).2⑴当a =-1时，求曲线y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；⑵求函数f ( x) 在[1, e] 上的最大值.，且角B18.已知数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a n +1 = 2S n (n ∈ N数列{b n }是公差为12a a 的等差数列，且 a 1 =b 1 = 3.⑴判断数列{a n } 是否为等比数列，并说明理由；⑵求所有使得 a k = b m 成立的正整数对 (k , m ).19.设函数 f ( x ) = x - 2 x + 2e x，函数 g ( x ) =e x- a x - a . x 2⑴求 f ( x ) 的单调区间；⑵证明：当 x > 0 时，有 (x - 2)e x+ x + 2 > 0 ；⑶证明：当 a ∈ (0,1) 时，函数 g ( x ) 在区间 (0, 2) 上存在极小值.20.对于给定的正整数 k ，若数列{a n } 满足：a n -k + a n -k +1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1 + a n +1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n +k -1 + a n +k = 2ka n 对任意正整数 n (n > k ) 恒成立，则称数列{a n } 是“ P (k ) 数列” .⑴证明：等差数列{a n } 是“ P (3) 数列”；⑵若数列{a n } 既是“ P (2) 数列”，又是“ P (3) 数列”，证明：{a n } 是等差数列.。

北京市清华大学附属中学2018-2019学年高一10月月考数学试题含答案

高一第一学期10月检测数学一、选择题共6小题，每小题5分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知全集U＝Z，集合A＝｛1，2｝，B＝｛1，3，4｝，那么A. B. C. D.【答案】C【分析】先求A补集，再根据交集定义求结果.【详解】因为，所以，选C.【点睛】本题考查集合的补集与交集，考查基本求解能力.2.下列哪组中的两个函数是同一函数A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】B【分析】先求函数定义域，再化简函数解+析式，最后比较是否相同确定结果.【详解】定义域为R定义域为，所以不是同一函数，B.，定义域为R，定义域为R，所以是同一函数，C.,所以不是同一函数，D.,所以不是同一函数，综上选B.【点睛】本题考查函数概念与定义域，考查基本判断与分析求解能力.3.函数的值域为A. B. C. D.【答案】A【分析】先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法，即得函数值域.【详解】因为对称轴为，所以当时取最小值-1，当时取最大值3，因此值域为，选A.【点睛】本题考查二次函数值域，考查基本求解能力.4.偶函数在区间上单调递减，则由A. B.C. D.【答案】A【分析】先根据偶函数性质将自变量转化到区间[0,4]，再根据单调性确定大小关系.【详解】因为偶函数，所以，因为，且在区间上单调递减，，所以，选A.【点睛】利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的奇偶性、对称性、周期性转化为单调区间上函数值，然后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.5.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【分析】根据对称轴与定义区间位置关系列不等式，解得结果.【详解】因为函数在上单调递增，所以，选C.【点睛】二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．6.已知函数，函数.若函数恰好有2个不同的零点，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【分析】转化研究交点个数，先讨论a=0，再讨论二次函数，结合图象确定有两个交点的条件，解不等式得结果.【详解】当时，与仅有一个交点，当时，由得，又当时与仅有一个交点，所以当时，与有两个交点，综上实数a的取值范围是，选D.【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题共3小题，每小题5分，共15分。

学附属中学18—19学年高一10月月考数学试题(附答案)

中央民族大学附中2018-2019学年第一学期高一年级月考练习数学本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上.第I卷（共40分）一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）1. 集合的子集有A. 个B. 个C. 个D. 个2. 命题“对任意，都有”的否定为A. 对任意，都有B. 不存在，使得C. 存在，使得D. 存在，使得3. 图中的图象所对应的函数解析式为A. B.C. D.4. 下列各组中的两个集合和，表示同一集合的是A. ，B. ，C. ，D. ，5.集合，，则下列关系中成立的是A. B. PQ∈ C. D.6. x（）A. xB. xC. xD. x7. 已知集合，，则满足条件的集合的个数为A. B. C. D.8. 有以下命题：①“若，则，互为倒数”的逆命题；②”面积相等的两个三角形全等“的否命题；③”若，则有实数解”的逆否命题；④“若，则”的逆否命题．其中真命题为A. ①②B. ②③C. ④D. ①②③9. 下列语句：①x+1是一次函数吗？②民大附中孩子好优秀呀！③0122=+-xx④北京的天空好蓝.其中是命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 310. 设命题：；命题：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是A.B.C.D.第II 卷（共110分）二、填空题（共6小题,每题5分，共30分）11.函数x x x f +-=1)(的定义域为．12.已知集合，．若，则实数的值为．13. 若函数，则的解析式为 .14. 已知函数若，则 x= ．15. 已知命题：，且，命题：，恒成立，若为假命题，则的取值范围是．16.某班共有学生名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班人不会打乒乓球，人不会打篮球，人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是．三、解答题（共6小题；共80分）17.（本题13分）已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )． 18.（本题14分）根据解析式求函数值．（1）已知函数，求，；（2）已知，求；（3）已知的定义域为，且，若，求．19. 已知集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x| m －6≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．20.（本题13分）已知f(x)为二次函数错误！未找到引用源。

北京市清华大学附属中学2019-2020学年高三年级第一学期10月考数学试卷

清华附中高三2019年10月月考试卷数学一、选择题1.已知集合{}2A x x =>，()(){}130B x x x =--<，则A B =( )A.{}1x x >B.{}23x x <<C.{}13x x <<D.{}21x x x ><或2.若角θ的终边过点()3,4P -，则()tan θπ+=( ) A.34B.34-C.43 D.43-3.已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A.1b a >>B.1b a >>C.1a b >>D.1a b >>4.设函数()y f x =的定义域为R ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知3cos 4α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为( )A.36 B.38- D.6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏7.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A.4 B.5 C.6 D.78.已知定义在R 上的函数()()2,0ln ,0xa x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若方程()12f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A.1122a -≤≤B.102a ≤<C.01a ≤<D.102a -<≤二、填空题9.已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x =___________处取得极值.10.32-，123，2log 5三个数中最大的数是_____________. 11.在ABC △中，13cos 14A =，73a b =，则B =____________. 12.去年某地的月平均气温y (℃)与月份x (月)近似地满足函数sin 6y a b x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(a 、b 为常数，02πϕ<<)，其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为_______℃，ϕ=__________.13.在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，60ABC =︒∠，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF ⋅的值为_____________.14.如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP x =，CPD △的面积为()f x ，则()f x 的定义域为_________，()'f x 的零点是__________.三、解答题15.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+0,0,02A πωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为1-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,⎡-⎢⎣，求m 的取值范围.16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若n n b a =，且数列{}n b 的前n 项和记为n T ，求415T T +的值.17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()8sin 17A C +=，且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求边长b .18.已知函数()1xax f x e -=. (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a <时，求函数()f x 在区间[]0,1上的最小值.19.已知函数()39f x x x =-，函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞，求实数a 的取值范围.20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=…； ②1231n a a a a ++++=…；(1) 分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；(2) 若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3) 记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…，试证：12k S ≤.一、1-8 BDAB DBCB二、9．函数y＝f（x）的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，x＜﹣1时，f′（x）＜0，x＞﹣1时，f′（x）≥0，所以函数只有在x＝﹣1时取得极值．10．由于0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24＝2，则三个数中最大的数为log25．11．∵在△ABC中，cos A，∴sin A，∵7a＝3b，∴sin B，∵B∈（0，π），∴B或．12．∵函数y＝a+b sin（x+φ）（a，b为常数），∴当x8时，sin（x+φ）取得最大或最小值，∴8+φkπ，k∈Z，解得φ＝kπ，k∈Z，又0＜φ＜，∴φ；∴a﹣b＝31，且a+b sinπ＝13，解得a＝13，b＝﹣18；∴y＝13﹣18sin（x），当x＝2时，y＝13﹣18sin（2）＝﹣5（°C）．13．∵AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴BG，CD＝2﹣1＝1，∠BCD＝120°，∵，，∴•（）•（）＝（）•（）••••＝2×1×cos60°2×1×cos0°1×1×cos60°1×1×cos120°＝1，14．由题意，DC＝2，CP＝x，DP＝6﹣x∵△CPD，∴＞＞＞，解得x∈（2，4）如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来即f（x），∴f′（x），令f′（x）＝0，解得x＝3，三、15．（1）由函数的最小值为﹣1，A＞0，得A＝1，∵最小正周期为，∴ω3，∴f（x）＝cos（3x+φ），又函数的图象过点（0，），∴cosφ，而0＜φ＜，∴φ，∴f（x）＝cos（3x），（2）由x∈[，m]，可知3x3m，∵f（）＝cos，且cosπ＝﹣1，cos，由余弦定理的性质得：π≤3m，∴m，即m∈[，]．16．（1）∵数列{}是首项为9，公差为﹣1的等差数列，∴9+（n﹣1）×（﹣1）＝10﹣n，即S n＝﹣n2+10n，①∴n≥2时，S n﹣1＝﹣（n﹣1）2+10（n﹣1），②①﹣②可得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣2n+11，又当n＝1时，a1＝S1＝9，满足上式，∴a n＝﹣2n+11；（2）由题意，b n＝|a n|＝|11﹣2n|，∴当1≤n≤5时，T n＝a1+a2+…+a n═﹣n2+10n；n≥6时，T n＝25n2﹣10n+50．∴T4+T15＝24+125＝149．17．（1）∵sin（A+C），∴sin B＝sin[π﹣（A+C）＝sin（A+C），∵角B为锐角，∴cos B＞0，即cos B．（2）∵△ABC的面积为2，∴S ac sin B ac2，则ac，∵a+c＝6，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac•36﹣2236﹣17﹣15＝4，则b＝2．18．（Ⅰ）a＝1时，f（x），x∈R，∴f′（x），令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，∴f（x）在（﹣∞，2）递增，在（2，+∞）递减；（Ⅱ）由f（x）得：f′（x），x∈[0，1]，令f′（x）＝0，∵a＜0，解得：x＝1＜1，①10时，即﹣1≤a＜0时，f′（x）≥0对x∈[0，1]恒成立，∴f（x）在[0，1]递增，f（x）min＝f（0）＝﹣1；②当0＜1＜1时，即a＜﹣1时，x，f′（x），f（x）在[0，1]上的情况如下：∴f（x）min＝f（1）；综上，﹣1≤a＜0时，f（x）min＝﹣1，a＜﹣1时，f（x）min．19．（1）f'（x）＝3x2﹣9，g'（x）＝6x，设f（x）与g（x）的交点坐标为（x0，y0），则，解得：或，∴a的值为5或﹣27；（2）令h（x）＝x3﹣3x2﹣9x，则y＝h（x）的图象在直线y＝a的下方的部分对应点的横坐标x∈（﹣∞，b），∵h'（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x+1）（x﹣3），∴令h'（x）＝0，得：x＝﹣1或3，列表：∴h（x）的极大值为h（﹣1）＝5，极小值为h（3）＝﹣27，又∵当x→+∞时，h（x）→+∞，当x→﹣∞时，h（x）→﹣∞，如图所示：∴当a＞5或a≤﹣27时，满足题意，∴实数a的取值范围为：（﹣∞，﹣27]∪（5，+∞）．20．（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013，∴1006d d，即d，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．。

2019-2020学年北京市清华附中高三(上)10月月考数学试卷试题及答案

2019-2020学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|2x x >或1}x <2．若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan()(θπ+= ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-3．已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A ．1b a >>B ．1b a >>C ．1a b >>D ．1a b >>4．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知3cos 4α=，(2πα∈-，0)，则sin 2α的值为( )A ．38B ．38-C D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏7．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A ．4B ．5C ．6D ．78．已知定义在R 上的函数2,0()(),0x a x f x ln x a x ⎧+=⎨+>⎩…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．1122a -<…B ．102a <… C ．01a <…D ．102a -<…二、填空题9．已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在 x = 处取得极值．10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是． 11．在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B = ． 12．去年某地的月平均气温(C)y ︒与月份x （月)近似地满足函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b为常数，0)2πϕ<<．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为 C ︒，ϕ= ．13．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF 的值为． 14．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．则()f x 的定义域为；()0f x '=的解是．三、解答题15．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<< 的图象过点1(0,)2，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x 的解析式．（2）若[6x π∈，]m ，()f x 的值域是[1-，，求m 的取值范围．16．数列{}n a 的前项n 和记为n S ，若数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列．（1）求数列{}n a 通项公式n a ．（2）若||n n b a =，且数列{}n b 的前项n 和记为n T ，求415T T +的值．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，8sin()17A C +=，且角B 为锐角．（1）求cos B 的值；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求边长b ．18．已知函数1()xax f x e -=．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0，1]上的最小值．19．已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值；（2）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围．20．设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，⋯，n a 为(2n n =，3，4，⋯，)阶“期待数列”：①1230n a a a a +++⋯+=； ②123||||||||1n a a a a +++⋯+=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1k S k =，2，3，⋯，)n ，试证：1||2k S …．2019-2020学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|2x x >或1}x <【解答】解：集合{|2}A x x =>， {|(1)(3)0}{|13}B x x x x x =--<=<<，则{|23}A B x x =<<．故选：B ．2．若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan()(θπ+= ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-【解答】解：角θ的终边过点(3,4)P -，则44tan()tan 33y x θπθ-+=-=-=-=，故选：D ．3．已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A ．1b a >>B ．1b a >>C ．1a b >>D ．1a b >>【解答】解：由图象可知，01a <<，1b >，故选：A ．4．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：函数()y f x =的定义域为R ，若函数()f x 为奇函数，则(0)0f =，反之不成立，例如2()f x x =．∴ “(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件．故选：B ． 5．已知3cos 4α=，(2πα∈-，0)，则sin 2α的值为( )A ．38B ．38-C D ．【解答】解：3cos 4α=，(2πα∈-，0)，sin α∴===，3sin 22sin cos 2(4ααα∴==⨯⨯= 故选：D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解答】解：设塔的顶层共有1a 盏灯，则数列{}n a 公比为2的等比数列， 717(12)38112a S -∴==-，解得13a =．故选：B ．7．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A 选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A 不成立，B 选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B 不成立， C 选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C 成立， D 选项：76>，故不为最少人数，故不成立，故选：C ．8．已知定义在R 上的函数2,0()(),0x a x f x ln x a x ⎧+=⎨+>⎩…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．1122a -<…B ．102a <… C ．01a <…D ．102a -<…【解答】解：由题意知当0x >时，()()f x ln x a =+，则0a …，当0x …时，()1a f x a <+…，若0a …，当0x >时，()()f x ln x a lna =+…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则11212a a lna ⎧<+⎪⎪⎨⎪<⎪⎩…，即1212a a a ⎧<⎪⎪⎪-⎨⎪⎪<⎪⎩…，得1122a -<…，0a …，102a ∴<…，故选：B ．二、填空题9．已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x = 1- 处取得极值．【解答】解：函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示， 1x <-时，()0f x '<，1x >-时，()0f x '…，所以函数只有在1x =-时取得极值．故答案为：1-．10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是 2log 5 ．【解答】解：由于3021-<<，12132<<，22log 5log 42>=，则三个数中最大的数为2log 5．故答案为：2log 5． 11．在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B 3或3．【解答】解：在ABC ∆中，13cos 14A =，sin A ∴== 73a b =，sin 7sin 3b A B a ∴===(0,)B π∈， 3B π∴=或23π．故答案为：3π或23π． 12．去年某地的月平均气温(C)y ︒与月份x （月)近似地满足函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b为常数，0)2πϕ<<．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为 5- C ︒，ϕ= ．【解答】解：函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b 为常数），∴当51182x +==时，sin()6x πϕ+取得最大或最小值， ∴862k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，解得56k πϕπ=-，k Z ∈，又02πϕ<<，6πϕ∴=；31a b ∴-=，且sin 13a b π+=，解得13a =，18b =-；1318sin()66y x ππ∴=-+，当2x =时，1318sin(2)5()66y C ππ=-⨯+=-︒．故答案为：5-，6π．13．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF 的值为18．【解答】解：2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，1122BG BC ∴==，211CD =-=，120BCD ∠=︒， 23BE BC =，16DF DC =， ∴21()()()()36AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC =++=++ 12216336AB AD AB DC BC AD BC DC =+++ 122121cos6021cos011cos6011cos1206336=⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯⨯︒111291331818=++-=，故答案为：291814．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 (2,4) ；()0f x '=的解是．【解答】解：由题意，2DC =，CP x =，6DP x =- CPD ∆，∴262662x xx x x x +>-⎧⎪+->⎨⎪+->⎩，解得(2,4)x ∈如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来即()f x==()f x∴'=，令()0f x'=，解得3x=，故答案为：(2,4)，3．三、解答题15．已知函数()cos()(0f x A x Aωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<的图象过点1(0,)2，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x的解析式．（2）若[6xπ∈，]m，()f x的值域是[1-，，求m的取值范围．【解答】解：（1）由函数的最小值为1-，0A>，得1A=，最小正周期为23π，2323πωπ∴==，()cos(3)f x xϕ∴=+，又函数的图象过点1(0,)2，1cos2ϕ∴=，而02πϕ<<，3πϕ∴=，()cos(3)3f x xπ∴=+，（2）由[6xπ∈，]m，可知533633x mπππ++剟，5()cos66fππ==cos1π=-，7cos6π=，由余弦定理的性质得：7336mπππ+剟，∴25918mππ剟，即2[9mπ∈，5]18π．16．数列{}n a 的前项n 和记为n S ，若数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列．（1）求数列{}n a 通项公式n a ．（2）若||n n b a =，且数列{}n b 的前项n 和记为n T ，求415T T +的值．【解答】解：（1）数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列， ∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-，即210n S n n =-+，① 2n ∴…时，21(1)10(1)n S n n -=--+-，②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+，又当1n =时，119a S ==，满足上式， 211n a n ∴=-+；（2）由题意，|||112|n n b a n ==-，∴当15n 剟时，212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+===-+；6n …时，2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+．41524125149T T ∴+=+=．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，8sin()17A C +=，且角B 为锐角．（1）求cos B 的值；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求边长b ．【解答】解：（1）8sin()17A C +=， 8sin sin[()sin()17B AC A C π∴=-+=+=，角B 为锐角， cos 0B ∴>，即15cos 17B ===．（2）ABC ∆的面积为2，118sin 22217S ac B ac ∴==⨯=，则172ac =， 6a c +=，2222151717152cos ()2236223617154172217b ac ac B a c ac ac∴=+-=+--=-⨯-⨯⨯=--=，则2b =．18．已知函数1()xax f x e -=．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）1a =时，1()xx f x e -=，x R ∈， 2()xx f x e -+∴'=，令()0f x '>，解得：2x <，令()0f x '<，解得：2x >，()f x ∴在(,2)-∞递增，在(2,)+∞递减；（Ⅱ）由1()xax f x e -=得： 1()xax a f x e -++'=，[0x ∈，1]，令()0f x '=，0a <，解得：111x a=+<， ①110a+…时，即10a -<…时，()0f x '…对[0x ∈，1]恒成立，()f x ∴在[0，1]递增，()(0)1min f x f ==-；②当1011a<+<时，即1a <-时， x ，()f x '，()f x 在[0，1]上的情况如下：111()(1)aaf x min f ae +∴=+=；综上，10a -<…时，()1min f x =-，1a <-时，11()min aa f x e+=．19．已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值；（2）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）2()39f x x '=-，()6g x x '=，设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ，0)y ，则3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩，解得：015x a =-⎧⎨=⎩或0327x a =⎧⎨=-⎩，a ∴的值为5或27-；（2）令32()39h x x x x =--，则()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-，∴令()0h x '=，得：1x =-或3，列表：()h x ∴的极大值为(1)5h -=，极小值为h （3）27=-，又当x →+∞时，()h x →+∞，当x →-∞时，()h x →-∞，如图所示：∴当5a >或27a -…时，满足题意，∴实数a 的取值范围为：(-∞，27](5,)-+∞．20．设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，⋯，n a 为(2n n =，3，4，⋯，)阶“期待数列”：①1230n a a a a +++⋯+=； ②123||||||||1n a a a a +++⋯+=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1k S k =，2，3，⋯，)n ，试证：1||2k S …．【解答】解：（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d ， 1220130a a a ++⋯+=，∴120132013()02a a +=，120130a a ∴+=，即10070a =， 1008a d ∴=，当0d =时，与期待数列的条件①②矛盾，当0d >时，据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=， 100610051100622d d ⨯∴+=，即110061007d =⨯， *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯，2013)n …，当0d <时，同理可得100710061007n n a -+=⨯，*(n N ∈，2013)n …．（Ⅲ）当k n =时，显然1||02n S =…成立；当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+，12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=…，1||(12k S k ∴=…，2，⋯，)n ．。

2019_2020学年10月北京海淀区清华大学附属中学高三上学期月考数学试卷

A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
”是“函数为奇函数”的（）． B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知
，
，则
的值为（）．
A.
B.
C.
D.
6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
的解集为
，求实数的取值范围．
20. 设满足以下两个条件的有穷数列
为
阶“期待数列”：
①
；
②
．
1 ）分别写出一个单调递增的阶和阶“期待数列”；
2 ）若某阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
3 ）记阶“期待数列”的前项和为
，试证：
．
A.
B.
C.
D.
8. 已知定义在上的函数
则的取值范围是（）．
A.
B.
，若方程 C.
有两个不相等的实数根， D.
二、填空题
（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）
9. 已知函数
的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数
在
处取得极值．
10.
，，
三个数中最大的数字是
．
11. 在
中，
，
，则
．
12. 去年某地的月平均气温（）与月份（月）近似地满足函数
17. 已知
的内角，，所对的边分别为，，，
1 ）求
的值．
2 ）若
，
的面积为，求边长．
，且角为锐角．
18. 已知函数 1 ）当 2 ）当

北京市北京理工大学附中2018～2019学年度高一第1学期10月月考数学试题及参考答案解析

2018－～2019学年10月北京海淀区北京理工大学附属在学高一第一学期月考数学试卷一、选择题1.已知集合{}|(1)0A x x x =-=,那么( ). A.1A -∈ B.0A ∈ C.1A ∉ D.0A ∉【参考答案】B 【试题分析】由(1)00x x x -=⇒=或1x =, ∴0A ∈且1A ∈,故选B .2.设全集U =R ,集合{}220A x x x =-<,{}1B x x =>,则()C U A B =I ()A.{}12x x << B.{}12x x ≤<C.{}01x x <<D.{}011x <≤【参考答案】D 【试题分析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得. 解一元二次不等式化简集合A,得{|02}A x x =<<, 由{|1}B x x => 得{|1}U C B x x =≤, 所以(){|01}U A C B x x ⋂=<≤. 故选D.本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题.3.已知:2p x >,:1q x >,则p 是q 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【参考答案】A【试题分析】将命题,p q 转化为集合{|2}A x x =>和{|1}B x x =>,再根据集合A 与B 之间的包含关系以及充分必要条件的定义可得.设命题p :2x >对应的集合为{|2}A x x =>, 命题q :1x >对应的集合为{|1}B x x =>, 因为A B,所以命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选A.本题考查了充分必要条件,解题关键是将命题之间的关系转化为集合之间的关系,属基础题.4.函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3,最小值为2, m 的取值范围是( ) A.(,2]-∞ B.[0,2]C.[1,2]D.[1,)+∞【参考答案】C 【试题分析】根据函数解析式,做出函数图像,结合图像分析出m 的取值范围作出函数f (x )的图象,如图所示,当x ＝1时,y 最小,最小值是2,当x ＝2时,y ＝3,函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0,m ]上上有最大值3,最小值2,则实数m 的取值范围是[1,2].故选：C ..让学生学会利用数形结合的方法,分析参数的取值范围5.已知函数()f x 定义域为R ,“()()12f f <是“()f x 在区间[]1,2上单调递增的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】B 【试题分析】由两个特殊自变量的大小关系及其函数值的大小关系是不能推出函数的单调性的,因为它不满足增函数的定义中的两个自变量在定义域中要具有任意性,因此“()()12f f <”不能推出“()f x 在区间[]1,2上单调递增,根据增函数的性质可得:若()f x 在区间[]1,2上单调递增,则(1(2)f f <是正确的, 故选B.因为1和2是区间[1,2]内的两个指定值,不具有任意性,不满足增函数的定义, 所以由“()()12f f <”不能推出“()f x 在区间[]1,2上单调递增”,反过来,若()f x 在区间[]1,2上单调递增的,根据增函数的性质可以推出()()12f f <, 因此根据充分必要条件的定义可知:“()()12f f <是“()f x 在区间[]1,2上单调递增的必要不充分条件. 故选B.本题考查了增函数的定义和性质,充分必要条件的定义,特别要注意增函数定义中的关键词”任意的”.切记:用指定自变量的函数值的大小关系不能用来肯定函数的单调性,只能用来否定函数的单调性.属于基础题.6.关于函数()2145f x x x =++的说法,正确的是()A.()f x 最小值为1B.()f x 的图象不具备对称性C.()f x 在[]2,-+∞上单调递增D.对x ∀∈R ,()1f x ≤【参考答案】D 【试题分析】将函数()f x 变形为21()(2)1f x x =++,根据2(2)0x +≥可知函数()f x 的最大值为1,所以A 不正确;D 正确;根据()(4)f x f x =--,可知函数图象关于直线2x =-对称,所以B 不正确;因为函数2245(2)1y x x x =++=++ 在[2,)-+∞上是单调递增,且0y >恒成立, 所以函数()f x 在[2,)-+∞上单调递减,所以C 不正确. 因为2245(2)11y x x x =++=++≥, 所以函数2211()145(2)1f x x x x ==≤++++, 所以函数()f x 的最大值为1 因此选项A 不正确;因为2211(4)()(42)1(2)1f x f x x x --===--++++,所以函数()f x 的图象关于直线2x =-对称,所以选项B.不正确;因为函数2245(2)1y x x x =++=++ 在[2,)-+∞上是单调递增,且0y >恒成立,所以函数()f x 在[2,)-+∞上单调递减,所以C 不正确.故选D.本题考查了函数的最值,对称性,单调性和奇偶性,.函数性质的常用结论有:①若()0f x >,则函数()f x 在区间[,]a b 上的单调性与函数1()f x 在[,]a b 上的单调性相反;②若函数(2)()f a x f x -=恒成立,则函数()y f x =的对称轴为22a x xx a -+==对称.本题属于中档题.7.已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩,则满足不等式()()f a f a <-的实数a 的取值范围是()A.2a <-B.02a <<C.20a -<<或2a >D.2a <-或02a <<【参考答案】D 【试题分析】显然0a ≠,对a 分类讨论:① 当0a >时,0a -<,利用分段函数的解析式求出()f a 和()f a -代入不等式()()f a f a <-可解得. ② 当0a <时,0a ->, 利用分段函数的解析式求出()f a 和()f a -代入不等式()()f a f a <-可解得,再将两次解得的结果相并即可得到所求a 的范围.. 显然0a ≠,当0a > 时,0a -< ,所以2()2f a a a =-,22()()2()2f a a a a a -=----=-+,将()f a 和()f a -代入()()f a f a <- 得2222a a a a -<-+,即220a a -<,解得02a << ; 当0a < 时,0a ->,所以2()2f a a a =-- ,2()()2()f a a a -=---22a a =+, 将()f a 和()f a -代入()()f a f a <-得2222a a a a --<+,即220a a +>, 解得0a >或2a <-,又0a <,所以2a <-. 综上所述:实数a 的取值范围是2a <-或02a <<. 故选D.本题考查了分段函数求值,分类讨论,一元二次不等式的解法, 解题关键是对a 的范围进行讨论,以便根据分段函数的解析式求得()f a 和()f a -后,再代入()()f a f a <-去解.,本题属于中档题.8.已知函数()2,2,x x af x x x a⎧≥=⎨<⎩,若存在实数k ,使得关于x的方程()f x k =有两个不同的实根,则实数a的取值范围是() A.0a < B.02a <<C.0a <或02a <<D.2a <【参考答案】C 【试题分析】若存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根,等价于存在实数k,使函数()2,2,x x a f x x x a⎧≥=⎨<⎩与函数y k =的图象有两个不同的交点,然后对a 分四种情况讨论,作出函数()y f x =的图象,根据图象可以得到实数a 的范围.联立22y x y x⎧=⎨=⎩ ,解得(0,0),(2,2)P , 当0a <时,函数()f x 在(,)a -∞上递增,在[,0]a 上递减,在[0,)+∞上递增, 如图:由图可知,存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根. 当0a =时,函数()f x 在R 上递增, 如图:由图可知,不存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根. 当02a <<时,函数()f x 在(,)a -∞上递增,在[,)a +∞上也递增,并且22a a ->, 如图:由图可知, 存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根;当2a ≥时,()f x 在R 上是增函数, 如图:由图可知,不存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根. 综上所述: 实数a 的取值范围是0a <或02a <<. 故选C.本题考查了函数与方程,正确的对a 分四种情况讨论,作出函数的图象,利用存在实数k,使两个函数的图象有两个不同的交点来求出a 的范围,是解题关键,一般地,方程的根的个数问题通常是转化为两个函数的图象的交点的个数问题来解决.属于较难题.二、填空题9.已知命题：:0p x ∃>,220x x -<,则命题的否定p ⌝为_______. 【参考答案】0x ∀>,都有220x x -≥ 【试题分析】命题的否定就是非P 命题,写非P 命题时,将存在量词改成全称量词,小于改成大于等于即可得到. 因为命题：:0p x ∃>,220x x -<,则命题否定p ⌝为:0x ∀>,都有220x x -≥. 故答案为0x ∀>,都有220x x -≥.本题考查了命题的否定,解题方法:将存在量词改成全称量词,全称量词改成存在量词,再否定结论,属于基础题.10.已知函数(),0x x f x x ⎧≤⎪=>,则()()2f f -=_______；若()2f a =,则实数a =_____.【参考答案】(2).－2或4 【试题分析】先根据2-满足0x <,利用分段函数的第一段解析式,可求得(2)|2|2f -=-=, 再根据2满足0x >,利用分段函数的第二段解析式,可求得(2)f =即((2))f f -=;对a 分两种情况求得()f a ,再将()f a 代入()2f a =可以解得a 即可. 因为(2)|2|2f -=-=,所以((2))(2)f f f -==当0a ≤时,()||2f a a ==,解得2a =-,或2a = (舍去); 当0a >时,()2f a ==,解得4a =.综上2a =- 或4a =.故答案为; 2a =- 或4a =.本题考查了分段函数的求值以及分类讨论思想.求分段函数的函数值时,注意判断自变量的范围,自变量在哪一段的范围内,就选择哪一段的解析式求值,如果自变量不确定在哪一段的范围内,就必须要分类讨论,本题属于中档题.11.已知函数()f x 在区间[]1,2-上递增,在区间[]2,5上递减. ①()()02f f <； ②()()03f f =；③()f x 在区间[]1,5-的最大值是()2f ； ④()f x 在区间[]1,5-的最小值是()5f ；上述命题中,所有正确的序号有__________. 【参考答案】①③ 【试题分析】①根据函数单调性,可得①正确;②(0)f 和(3)f 的大小不确定,所以②不正确;③()f x 在[1,5]-上的最大值是(2)f 是正确的,所以③正确,()f x 在[1,5]-上的最小值是(1)f - 或者是(5)f ,所以④不正确.故答案为①③.①因为函数()f x 在区间[]1,2-上递增,在区间[]2,5上递减,且0<2,所以(0)(2)f f <,故①正确; ② 0和3不在同一个单调区间上,不能比较大小,所以②不正确;③显然正确; ③()f x 在[1,5]-上的最小值是(1)f - 或者是(5)f ,所以④不正确. 故答案为①③.本题考查了函数的单调性和最值,注意:只有两个自变量在同一个单调区间内,才能利用单调性比较大小,本题属于中档题.12.已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增,则满足()()211f x f -<的x 的取值范围是__________. 【参考答案】(0,1) 【试题分析】因为21x -不一定也在单调递增区间[0,)+∞内,所以不能利用函数单调性解函数不等式,所以要用偶函数的性质将(21)f x -变成(|21|)f x -,然后再用函数在[0,)+∞上的单调性解函数不等式. 因为函数()f x 为偶函数,所以(21)(|21|)f x f x -=-, 所以不等式()()211f x f -<等价于(|21|)(1)f x f -<,又因为函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增,所以|2|11x -< ,解得01x <<, 所以x 的取值范围是(0,1). 故答案为: (0,1).本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法,抽象函数不等式的解法,都是用函数的单调性来解,利用函数的单调性时,一定要保证自变量在同一个单调区间内,不满足这一点的,往往利用偶函数的性质变形后,再用函数的单调性解不等式.本题属于中档题.13.已知函数()22,0,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩,若方程()f x m =有三个不同实根1x 、2x 、3x ,则123x x x ++的取值范围是__________. 【参考答案】(1,2) 【试题分析】将方程()f x m =有三个不同实根转化为函数()y f x =与函数y m =的图象有三个不同的交点后,作出两个函数的图象,利用图象可以得到1x 、2x 、3x 的关系和取值范围,从而可以得到123x x x ++的取值范围. 因为方程()f x m =有三个不同实根1x 、2x 、3x ,所以函数()y f x =与函数y m =的图象有三个不同的交点, 三个交点的横坐标为1x 、2x 、3x , 不妨设123x x x <<,作出函数()y f x =与y m =的图象如下:由图可知:110x -<<,23212x x +=⨯=, 所以12312x x x <++< ,即123x x x ++的取值范围是(1,2). 故答案为: (1,2).本题考查了函数与方程,解题关键是将方程()f x m =有三个不同实根转化为两个函数的图象有三个不同的交点,要抓住23x x +为定值,1x 的范围是(1,0)-.本题是中档题.14.若函数()f x =[)0,+∞,则实数k 的取值范围是__________. 【参考答案】[0,1] 【试题分析】将函数()f x [)0,+∞转化为221(0)y kx x k =-+≥的图象与x 轴有交点,再按照0k =和0k >两种情况讨论可得.当0k =时,函数()f x =1(,]2-∞,值域为[0,)+∞,符合题意;当0k ≠时,△2(2)40,0k k =--≥>,解得:01k <≤, 此时的定义域是不等式2210kx x -+≥的解集. 综上所述: 实数k 的取值范围是[0,1]. 故答案为:[0,1]本题考查了函数的值域,意在考查221(0)y kx x k =-+≥的图象与x 轴的交点个数,解题关键是将函数()f x =[)0,+∞转化为221(0)y kx x k =-+≥的图象与x 轴有交点.本题属于中档题.三、解答题15.已知函数()22f x x x =-.⑴判断()f x 的奇偶性.⑵写出()f x 的单调区间(只需写出结果). ⑶若方程()f x a =有解,求实数a 的取值范围.【参考答案】(1)奇函数;(2) 函数()f x 的单调递减区间为:(,1]-∞-,[0,1];单调递增区间为:[1,0]-,[1,)+∞;(3)[1,)-+∞ 【试题分析】(1)利用奇偶函数的定义()()f x f x -=- 和()()f x f x -=判断可得;(2)先写出0x ≥时函数()f x 的单调区间,再根据函数的奇偶性得到0x <时的单调区间;(3)将方程()f x a =有解转化为函数()y f x = 与函数y a = 的图象有交点,作出图象后,观察图象可得. (1)因为2()2||f x x x =-的定义域为R,,所以22()()2||2||()f x x x x x f x -=---=-=, 所以函数()f x 为偶函数.(2)当0x >时,2()2f x x x =-在[0,1]上递减,在[1,)+∞上递增,又因为函数()f x 为偶函数,所以()f x 在(,1]-∞-上递减,在[1,0]-上递增, 故函数()f x 的单调递减区间为:(,1]-∞-,[0,1];单调递增区间为:[1,0]-,[1,)+∞. (3)因为方程()f x a =有解,所以函数()y f x =与函数y a =的图象有交点, 作出函数的图象如下:由图可知:1a ≥-.所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞.本题考查了函数的奇偶性,单调性,函数与方程,写偶函数的单调区间时,可以先写出0x ≥时的单调区间,再根据对称性写出0x < 时的单调区间.方程有解的问题通常转化为函数图象有交点问题去解决.本题属于中档题.16.解下列关于x 的不等式. ⑴ 2230x x --+>.⑵ ()()210x a x a a -++<∈R .【参考答案】(1) (3,1)-;(2) 当1a <时,原不等式的解集为(,1)a ; 当1a =时,原不等式的解集为空集; 当1a >时,原不等式的解集为(1,)a . 【试题分析】(1)将2230x x --+>化成标准形式2230x x +-<后,令2230x x +-=得到13x =-,或21x =,再根据口诀:大于取两边,小于取中间可得;(2)将()()210x a x a a -++<∈R 化为(1)()0x x a --<,然后对a 分三种情况:①1a < ;②1a = ;③1a >进行讨论可得. (1)由2230x x --+>,得2230x x +-<, 令2230x x +-=,得13x =-,或21x =, 所以,31x -<<,所以原不等式的解集为(3,1)-. (2)因为()()210x a x a a -++<∈R ,所以(1)()0x x a --<, 当1a <时,得1<<a x ; 当1a =时,不等式无解; 当1a >时,得1x a <<.综上所述:当1a <时,原不等式的解集为(,1)a ; 当1a =时,原不等式的解集为空集; 当1a >时,原不等式的解集为(1,)a .本题考查了一元二次不等式的解法,首先要将不等式化为标准形式,然后利用对应的一元二次方程的根来表示不等式的解集,口诀是大于取两边,小于取中间.对于含参的一元二次不等式,注意使用分类讨论思想.本题属于中档题.17.函数()f x 满足如下四个条件： ①定义域为()0,∞+； ②()21f =；③当1x >时,()0f x >；④对任意0x >满足()()()f xy f x f y =+. 根据上述条件,求解下列问题： ⑴求()1f 及12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. ⑵应用函数单调性的定义判断并证明()f x 的单调性. ⑶求不等式()132f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集.【参考答案】(1)0; (2)见解析; (3) (1,)+∞ 【试题分析】(1) 在()()()f xy f x f y =+中,令1x y ==可得:(1)0f =; 在()()()f xy f x f y =+中,令12,2x y ==,可得1()12f =-. (2)()f x 为(0,)+∞ 上的增函数.设120x x >>,利用,()()()f xy f x f y =+, 可得12()()f x f x -=()11222222()()()x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫-=+-=⎪⎝⎭g 12()x f x ,结合1x >时,()0f x >,利用单调性的定义可证.(3)根据(2)1f =,可得2(2)2f =,所以原不等式可化为1(3)()f x f x +>+(2)(2)f f +4()f x=,再利用单调性可解得.(1)在()()()f xy f x f y =+中,令1x y ==,得(1)(1)(1)f f f =+,解得(1)0f =.在()()()f xy f x f y =+中,令12,2x y ==. 得11(2)(2)()22f f f ⨯=+, 得1(1)(2)()2f f f =+, 得101()2f =+, 所以1()12f =-.(2) ()f x 为(0,)+∞ 上的增函数. 证明如下:设120x x >>,则121,x x > 所以12()0xf x >. 因为12()()f x f x -＝1222()()x f x f x x ⋅-＝()112222()()()x xf f x f x f x x +-=0>, 即12()()f x f x >.根据增函数的定义可知, ()f x 为(0,)+∞ 上的增函数. (3)因为()132f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭,所以1(3)()2f x f x+>+, 又因为(2)1f =,所以2(2)2f =,所以1(3)()f x f x +>+(2)(2)f f +, 所以1(3)(2)(2)f x f f x +>⨯+24(2)()f f x x=⨯=,由(2)知函数()f x 在(0,)+∞上单调递增, 所以430x x+>>,解得:1x >. 所以不等式()132f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集是(1,)+∞.本题考查了抽象函数求函数值,抽象函数的单调性的判断和证明,抽象函数不等式的解法,解题关键是对已知恒等式()()()f xy f x f y =+中的,x y 合理赋值.,容易漏掉定义域.属中档题18.已知函数()2f x x bx c =++,且函数()1f x -是定义在R 上的偶函数.⑴求实数b 的值.⑵若函数()()[]()2,1g x f x x =∈-的最小值为1,求函数()g x 的最大值. 【参考答案】(1)2;(2)5 【试题分析】(1)根据函数(1)f x -的对称轴以及图象变换可得()f x 的对称轴,从而可得b 的值;(2)由()g x 的最小值为1,可得()1g x ≥在[2,1]x ∈-上恒成立,解得c 的范围为2c ≥或4c ≤-,再分两种情况讨论,可求得()g x 的最大值.(1)因为函数(1)f x - 是定义在R 上的偶函数, 所以(1)f x -的对称轴为0x =,所以()f x 的对称轴为1x =-, 所以12b-=-,解得2b = , (2)由(1)知,2()|()||2|g x f x x x c ==++([2,1]x ∈-),因为()g x 的最小值为1,所以2|2|1x x c ++≥ 在[2,1]x ∈-上恒成立, 即221c x x ≤--- 或221c x x ≥--+ 在[2,1]x ∈-上恒成立,所以2min (21)4c x x ≤---=-或2max (21)2c x x ≥--+=,当4c ≤-时, 22()2(1)1410f x x x c x c c =++=++-≤+-<()|()|()g x f x f x ==-＝2(2)x x c -++2(1)1x c =-+-+,所以()g x ＝|()|f x 的最小值为(1)31f c -=--=,解得4c =-, 此时()g x 的最大值为(1)|(1)|5g f -=-=.当2c ≥时,22()2(1)110f x x x c x c =++=++-≥>,所以()|()|()g x f x f x ==＝22x x c ++2(1)1x c =++-,因为对称轴1[2,1]x =-∈-,所以min ()g x ＝(1)11g c -=-=,解得2c = ,符合. 此时()g x 的最大值为(1)122g =++＝5, 综上所述, 函数()g x 最大值是5.本题考查了二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值的求法以及分类讨论思想,根据最小值为1,即g (x )大于等于1,可以缩小c的范围,可以减少讨论次数是解题关键.属难题.。

北京市北师大附中2018_2019学年高一数学上学期10月月考试题(含解析)

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！北京市北师大附中2018-2019学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则() A. A B =B. A B =∅IC. A B ⊆D.()1A B ∈U 【答案】D 【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】对于选项A,显然A ≠B,所以该选项是错误的；对于选项B,{2,3}A B φ=≠I ,所以该选项是错误的；对于选项C,应该是B A ⊆,所以该选项是错误的；对于选项D,{1,2,3},A B =U 所以()1A B ∈U ，所以该选项是正确的. 故选D【点睛】本题主要考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2.已知集合{}{}2|13,|4,P x R x Q x R x =∈≤≤=∈≥则()R P Q ⋃=ðA. [2,3]B. （ -2,3 ]C. [1,2）D.(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】有由题意可得：{}|22R C Q x x =-<< ，则()R P Q ⋃=ð ( -2,3 ] . 本题选择B 选项.【此处有视频，请去附件查看】3.已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B 【解析】【分析】解方程组2y x y x⎧=⎨=⎩即得解.【详解】解方程组2y x y x ⎧=⎨=⎩得1111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或，所以={1,11,1)}A B --I （），（，所以A B I 中元素的个数为2个. 故选B【点睛】本题主要考查集合的交集的运算和集合的表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知集合{}A x x a =≤，{}05B x x =<<，若A B B =I ，则实数a 的取值范围是()A. 5a ≥B. 4a ≥C. 5a <D. 4a <【答案】A 【解析】【分析】由题得B A ⊆,即得a ≥5.【详解】因为A B B =I ，所以B A ⊆，所以a ≥5. 故选A【点睛】本题主要考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【此处有视频，请去附件查看】6.如果不等式ax 2+bx+c<0 （a≠0）的解集是空集,那么（） A. a<0，且b 2-4ac>0 B. a<0且b 2-4ac≤0 C. a>0且b 2-4ac≤0 D. a>0且b 2-4ac>0【答案】C 【解析】【详解】设2(0),y ax bx c a =++≠要使不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集是∅，需使抛物线开口向上，图象在x 轴上方（或相切），则2040.a b ac >-≤且故选C7.已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为（） A. (1,1)- B. 1(1,)2--C. (1,0)-D. 1(,1)2【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域．【此处有视频，请去附件查看】8.下列函数中，值域为[]0,1的是() A. 2y x =B. 1y x =+C. 211y x =+ D.y =【答案】D 【解析】【分析】求出每一个选项的函数的值域即得解.【详解】对于选项A,函数2y x =的值域为[0+∞，），所以该选项不符；对于选项B,函数1y x =+的值域为R ，所以该选项不符；对于选项C,函数211y x =+的值域为0,1]（，所以该选项不符；对于选项D, 函数y =[0,1],所以该选项符合. 故选D【点睛】本题主要考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21f x x x=+,则()1f -= ( ) A. -2 B. 0 C. 1D. 2【答案】A 【解析】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A. 10.如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是 A. ()y x f x =+ B. ()y x f x =⋅ C. 2()y x f x =+ D. 2()y x f x =⋅【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，设()()g x xf x =，则()()()()()g x x f x xf x g x -=--==，所以函数()g x 为偶函数，故选B ．考点：函数奇偶性的判定．11.已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A. (,1)-∞- B. (1,3)- C. (3,)-+∞ D. (3,1)-【答案】B 【解析】【分析】原命题等价于212(1)02x a x +-+>恒成立，故2()114202a ∆=--⨯⨯<即可，解出不等式即可.【详解】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ．【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.12.已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围为（） A. 12(,)33B. 12[,)33C. 12(,)23D. 12[,)23【答案】A 【解析】【分析】根据单调性，将函数值的大小关系转变为自变量间的大小关系，注意偶函数对应的函数的对称情况.【详解】因为偶函数()f x 是在[)0,+∞上递增，则()f x 在(),0-∞递减，且11()33f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；又因为1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，根据单调性和奇偶性有：112133x -<-<，解得：12,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 故选A.【点睛】本题考查利用函数单调性、奇偶性求解参数范围问题，难度一般.对于这种奇偶性和单调性的综合问题，除了可以直接分析问题，还可以借助图象来分析，也可以高效解决问题.【此处有视频，请去附件查看】二、填空题13.满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 的个数是__________. 【答案】4 【解析】【分析】列举出满足题意的集合A 即得解.【详解】由题得满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 有：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}.所以集合A 的个数为4. 故答案为4【点睛】本题主要考查集合关系和集合个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若函数243y x ax =++在区间(),5-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是__________.【答案】5]2∞（-,- 【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，再分析得解.【详解】由题得抛物线的对称轴为x=-2a,因为函数243y x ax =++在区间(),5-∞上是减函数，所以-2a≥5，所以52a ≤-. 故答案为5]2∞（-,- 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的1x ，[)()2120,x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则()3f ，()2f -，()1f 从小到大依次是__________.【答案】(3),(1),(2)f f f - 【解析】【分析】先分析得到函数的单调性，再比较大小得解. 【详解】因为对任意的1x ，[)()2120,x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以函数在[0,)+∞上单调递减，因为函数是奇函数，所以函数在R 上单调递减，因为312>>-，所以(3)(1)(2)f f f <<-. 故答案为(3),(1),(2)f f f -【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，()f i i ≠，则满足条件的函数()f x 有_____个. 【答案】9【解析】【分析】直接列举出满足题意的函数，即得满足题意的函数的个数. 【详解】当f （1）2=时，若f （2）1=，则f （3）4=，f （4）3=；若f （2）3=，则f （4）1=，f （3）4=，若f （2）4=，则f （3）1=，f （4）3=，共3种；同理可得：当f （1）3=，f （1）4=时，都有3种．综上所述：满足条件的函数()f x 共有9种．故答案为9．【点睛】本题考查了函数的定义域和值域、函数的概念，属基础题．17.已知函数21,02,0x x y x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f x =，则x=___________【答案】3- 【解析】【分析】当0x >时，()2010f x x =-<≠,当0x ≤时，由()2110f x x =+=可得结果.【详解】因为函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，当0x >时，()2010f x x =-<≠, 当0x ≤时，()2110f x x =+=,可得3x =（舍去），或3x =-，故答案为3-.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及分类讨论思想的应用，属于简单题.18.函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数.例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题：①函数f x （）=2x （x ∈R ）是单函数；②若f x （）为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠则12f x f x ≠（）（）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象；④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）【答案】②③ 【解析】【详解】命题①：对于函数，设，故和可能相等，也可能互为相反数，即命题①错误；命题②：假设，因为函为单函数，所以，与已知矛盾，故，即命题②正确；命题③：若为单函数，则对于任意，，假设不只有一个原象与其对应，设为，则，根据单函数定义，，又因为原象中元素不重复，故函数至多有一个原象，即命题③正确；命题④：函数在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，即命题④错误,综上可知，真命题为②③. 故答案为②③．三、解答题19.已知集合{}44A x a x a =-+<<+，105x B x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭.⑴若1a =，求A B I .⑵若A B =U R ，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) {|31}x x -<≤-;(2) {|13}a a <≤. 【解析】【分析】（1）把a 的值代入确定出A ，再求出B, 求出A 与B 的交集即可；（2）根据A 与B 的并集为R ，确定出a 的范围即可．【详解】(1) 把1a =代入得：{|35}A x x =-<<， {|1B x x =≤-Q 或5}x >， {|31}A B x x ∴=-<≤-I ；（2）{|44}A x a x a =-+<<+Q ，{|1B x x =≤-或5}x >，且A B R =U ，∴4145a a -+≤-⎧⎨+>⎩，解得：13a <?，则实数a 的范围是{|13}a a <≤．【点睛】本题主要考查集合的交集和并集运算，考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.设函数()f x 满足()2231f x x x -=+-.⑴求()f x 的解析式；⑵若()f x 的定义域是区间()5,0-，求()f x 的值域. 【答案】（1）2111()244f x x x =++；（2）511[,)44- 【解析】【分析】（1）可设23x t -=，从而求得1322x t =+，代入2(23)1f x x x -=+-并整理可得出2111()244f t t t =++，从而得出2111()244f x x x =++；（2）配方得出215()(4)44f x x =+-，根据()f x 的定义域为(5,0)-即可得出5(4)4f -=-最小，并求出11(0)4f =，从而可得出()f x 的值域．【详解】设23x t -=，则1322x t =+，代入2(23)1f x x x -=+-得：221313111()()12222244f t t t t t =+++-=++；∴2111()244f x x x =++；（2）215()(4)44f x x =+-；(5,0)x ∈-Q ；4x ∴=-时，()f x 取最小值54-，且11(0)4f =；()f x ∴的值域为511[,)44-．【点睛】考查换元求函数解析式的方法，配方求二次函数最值的方法，函数值域的定义及求法．21.已知函数()f x 的定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时有()44x f x x =+. ⑴判断函数()f x 在[)0,+∞上的单调性，并用定义证明.⑵求函数()f x 的解析式(写出分段函数的形式). 【答案】(1)单调递增，证明见解析；（2）4(0)4()4(0)4x x x f x x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩…. 【解析】【分析】（1）运用函数的单调性的定义证明；（2）运用偶函数的定义，求出0x <的表达式，即可得到()f x 的解析式．【详解】（1）函数4()4x f x x =+在[0，)+∞上单调递增．证明：设120x x >…，则12121244()()44x x f x f x x x -=-++， 12121216()4()16x x x x x x -=+++，又120x x >…，所以120x x ->，120x x …，120x x +>，所以12121216()04()16x x x x x x ->+++．则12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，故函数4()4x f x x =+在[0，)+∞上单调递增；（2）由于当0x …时有4()4x f x x =+，而当0x <时，0x ->，则44()()44x x f x f x x x --===-+-，即4()(0)4x f x x x =<-．则4(0)4()4(0)4x x x f x x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩…．【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．22.已知()f x 的定义域为()0,∞+，且对任意01x <<，都有()0f x <，若()21f =，且()()()f xy f x f y =+，解不等式()()23f x f x +-≤.【答案】{|24}x x <≤【解析】【分析】先证明函数的单调性，再利用单调性解不等式得解.【详解】设120x x >>，所以222121111111()()()=()x x x f x f x f x f x f x f x f x x x -=-⋅--（）（）-f(）=（），因为22211101,x x x f f x x x <<∴∴-（）<0,（）>0，12()()f x f x ∴>. 所以函数f(x)在()0,∞+上是增函数.由题得(22)(2)(2)112(4)f f f f ⨯=+=+==，(42)(4)(2)213(8)f f f f ⨯=+=+==，因()()23f x f x +-≤，所以()()0[2](8),2028x f x x f x x x ⎧>⎪-≤∴->⎨⎪-≤⎩，所以24x <≤.所以()()23f x f x +-≤的解为{|24}x x <≤.【点睛】本题主要考查函数单调性的证明和应用，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

北京市北京理工大学附中2018_2019学年高一数学上学期10月月考试题(含解析)

北京市北京理工大学附中2018-2019学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{}|(1)0A x x x =-=，那么（）．A. 1A -∈B. 0A ∈C. 1A ∉D. 0A ∉ 【答案】B【解析】由(1)00x x x -=⇒=或1x =，∴0A ∈且1A ∈，故选B ．2.设全集U =R ，集合{}220A x x x =-<，{}1B x x =>，则()C U A B =I () A. {}12x x << B. {}12x x ≤< C. {}01x x << D. {}011x <≤【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得.【详解】解一元二次不等式化简集合A,得{|02}A x x =<<,由{|1}B x x => 得{|1}U C B x x =≤,所以(){|01}U A C B x x ⋂=<≤.故选D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题.3.已知:2p x >，:1q x >，则p 是q 的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将命题,p q 转化为集合{|2}A x x =>和{|1}B x x =>,再根据集合A 与B 之间的包含关系以及充分必要条件的定义可得.【详解】设命题p :2x >对应的集合为{|2}A x x =>,命题q :1x >对应的集合为{|1}B x x =>,因为A B,所以命题p 是命题q 的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了充分必要条件,解题关键是将命题之间的关系转化为集合之间的关系,属基础题.4.函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值为2， m 的取值范围是（） A. (,2]-∞ B. [0,2] C. [1,2] D.[1,)+∞【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，做出函数图像，结合图像分析出m 的取值范围【详解】作出函数f （x ）的图象，如图所示，当x =1时，y 最小，最小值是2，当x =2时，y =3，函数f （x ）=x 2-2x +3在闭区间[0，m ]上上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是[1，2]．故选：C ．.【点睛】让学生学会利用数形结合的方法，分析参数的取值范围5.已知函数()f x 定义域为R ，“()()12f f <是“()f x 在区间[]1,2上单调递增的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由两个特殊自变量的大小关系及其函数值的大小关系是不能推出函数的单调性的, 因为它不满足增函数的定义中的两个自变量在定义域中要具有任意性,因此“()()12f f <”不能推出“()f x 在区间[]1,2上单调递增,根据增函数的性质可得:若()f x 在区间[]1,2上单调递增,则(1(2)f f <是正确的,故选B.【详解】因为1和2是区间[1,2]内的两个指定值,不具有任意性,不满足增函数的定义, 所以由“()()12f f <”不能推出“()f x 在区间[]1,2上单调递增”,反过来,若()f x 在区间[]1,2上单调递增的,根据增函数的性质可以推出()()12f f <, 因此根据充分必要条件的定义可知:“()()12f f <是“()f x 在区间[]1,2上单调递增的必要不充分条件.故选B.【点睛】本题考查了增函数的定义和性质,充分必要条件的定义,特别要注意增函数定义中的关键词”任意的”.切记:用指定自变量的函数值的大小关系不能用来肯定函数的单调性,只能用来否定函数的单调性.属于基础题.6.关于函数()2145f x x x =++的说法，正确的是() A. ()f x 最小值为1B. ()f x 的图象不具备对称性C. ()f x 在[]2,-+∞上单调递增D. 对x ∀∈R ，()1f x ≤【答案】D【分析】将函数()f x 变形为21()(2)1f x x =++,根据2(2)0x +≥可知函数()f x 的最大值为1,所以A 不正确;D 正确;根据()(4)f x f x =--,可知函数图象关于直线2x =-对称,所以B 不正确;因为函数2245(2)1y x x x =++=++ 在[2,)-+∞上是单调递增,且0y >恒成立, 所以函数()f x 在[2,)-+∞上单调递减,所以C 不正确.【详解】因为2245(2)11y x x x =++=++≥, 所以函数2211()145(2)1f x x x x ==≤++++, 所以函数()f x 的最大值为1 因此选项A 不正确; 因为2211(4)()(42)1(2)1f x f x x x --===--++++,所以函数()f x 的图象关于直线2x =-对称,所以选项B.不正确;因为函数2245(2)1y x x x =++=++ 在[2,)-+∞上是单调递增,且0y >恒成立,所以函数()f x 在[2,)-+∞上单调递减,所以C 不正确.故选D.【点睛】本题考查了函数的最值,对称性,单调性和奇偶性,.函数性质的常用结论有:①若()0f x >,则函数()f x 在区间[,]a b 上的单调性与函数1()f x 在[,]a b 上的单调性相反;②若函数(2)()f a x f x -=恒成立,则函数()y f x =的对称轴为22a x x x a -+==对称. 本题属于中档题.7.已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，则满足不等式()()f a f a <-的实数a 的取值范围是()A. 2a <-B. 02a <<C. 20a -<<或2a >D. 2a <-【答案】D【解析】【分析】显然0a ≠,对a 分类讨论:① 当0a >时,0a -<,利用分段函数的解析式求出()f a 和()f a -代入不等式()()f a f a <-可解得.② 当0a <时,0a ->, 利用分段函数的解析式求出()f a 和()f a -代入不等式()()f a f a <-可解得,再将两次解得的结果相并即可得到所求a 的范围..【详解】显然0a ≠,当0a > 时,0a -< ,所以2()2f a a a =-,22()()2()2f a a a a a -=----=-+, 将()f a 和()f a -代入()()f a f a <- 得2222a a a a -<-+,即220a a -<,解得02a << ;当0a < 时,0a ->,所以2()2f a a a =-- ,2()()2()f a a a -=---22a a =+, 将()f a 和()f a -代入()()f a f a <-得2222a a a a --<+,即220a a +>,解得0a >或2a <-,又0a <,所以2a <-.综上所述:实数a 的取值范围是2a <-或02a <<.故选D.【点睛】本题考查了分段函数求值,分类讨论,一元二次不等式的解法, 解题关键是对a 的范围进行讨论,以便根据分段函数的解析式求得()f a 和()f a -后,再代入()()f a f a <-去解.,本题属于中档题.8.已知函数()2,2,x x a f x x x a⎧≥=⎨<⎩，若存在实数k ，使得关于x方程()f x k =有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是()A. 0a <B. 02a <<C. 0a <或02a <<D. 2a <【答案】C【解析】【分析】若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，等价于存在实数k,使函数()2,2,x x a f x x x a⎧≥=⎨<⎩与函数y k =的图象有两个不同的交点,然后对a 分四种情况讨论,作出函数()y f x =的图象,根据图象可以得到实数a 的范围.【详解】联立22y x y x⎧=⎨=⎩ ,解得(0,0),(2,2)P ,当0a <时,函数()f x 在(,)a -∞上递增,在[,0]a 上递减,在[0,)+∞上递增,如图:由图可知,存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根.当0a =时,函数()f x 在R 上递增,如图:由图可知,不存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根.当02a <<时,函数()f x 在(,)a -∞上递增,在[,)a +∞上也递增,并且22a a ->, 如图:由图可知, 存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根;当2a ≥时,()f x 在R 上是增函数,如图:由图可知,不存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根.综上所述: 实数a 的取值范围是0a <或02a <<.故选C.【点睛】本题考查了函数与方程,正确的对a 分四种情况讨论,作出函数的图象,利用存在实数k,使两个函数的图象有两个不同的交点来求出a 的范围,是解题关键,一般地,方程的根的个数问题通常是转化为两个函数的图象的交点的个数问题来解决.属于较难题.二、填空题9.已知命题：:0p x ∃>，220x x -<，则命题的否定p ⌝为_______.【答案】0x ∀>,都有220x x -≥【解析】【分析】命题的否定就是非P 命题,写非P 命题时,将存在量词改成全称量词,小于改成大于等于即可得到.【详解】因为命题：:0p x ∃>，220x x -<，则命题的否定p ⌝为:0x ∀>,都有220x x -≥.故答案为0x ∀>,都有220x x -≥.【点睛】本题考查了命题的否定,解题方法:将存在量词改成全称量词,全称量词改成存在量词,再否定结论,属于基础题.10.已知函数(),00x x f x x ⎧≤⎪=>，则()()2f f -=_______；若()2f a =，则实数a =_____. 【答案】(2). -2或4【解析】【分析】先根据2-满足0x <,利用分段函数的第一段解析式,可求得(2)|2|2f -=-=,再根据2满足0x >,利用分段函数的第二段解析式,可求得(2)f =即((2))f f -=; 对a 分两种情况求得()f a ,再将()f a 代入()2f a =可以解得a 即可. 【详解】因为(2)|2|2f -=-=,所以((2))(2)f f f -==当0a ≤时,()||2f a a ==,解得2a =-,或2a = (舍去); 当0a >时,()2f a ==,解得4a =. 综上2a =- 或4a =.故答案为; 2a =- 或4a =.【点睛】本题考查了分段函数的求值以及分类讨论思想.求分段函数的函数值时,注意判断自变量的范围,自变量在哪一段的范围内,就选择哪一段的解析式求值,如果自变量不确定在哪一段的范围内,就必须要分类讨论,本题属于中档题.11.已知函数()f x 在区间[]1,2-上递增，在区间[]2,5上递减.①()()02f f <；②()()03f f =；③()f x 在区间[]1,5-的最大值是()2f ；④()f x 在区间[]1,5-的最小值是()5f ；上述命题中，所有正确的序号有__________.【答案】①③【解析】【分析】①根据函数单调性,可得①正确;②(0)f 和(3)f 的大小不确定,所以②不正确;③()f x 在[1,5]-上的最大值是(2)f 是正确的,所以③正确,()f x 在[1,5]-上的最小值是(1)f - 或者是(5)f ,所以④不正确.故答案为①③.【详解】①因为函数()f x 在区间[]1,2-上递增，在区间[]2,5上递减,且0<2,所以(0)(2)f f <,故①正确;② 0和3不在同一个单调区间上,不能比较大小,所以②不正确;③显然正确;③()f x 在[1,5]-上的最小值是(1)f - 或者是(5)f ,所以④不正确.故答案为①③.【点睛】本题考查了函数的单调性和最值,注意:只有两个自变量在同一个单调区间内,才能利用单调性比较大小,本题属于中档题.12.已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增，则满足()()211f x f -<的x 的取值范围是__________.【答案】(0,1)【解析】【分析】因为21x -不一定也在单调递增区间[0,)+∞内,所以不能利用函数单调性解函数不等式,所以要用偶函数的性质将(21)f x -变成(|21|)f x -,然后再用函数在[0,)+∞上的单调性解函数不等式.【详解】因为函数()f x 为偶函数,所以(21)(|21|)f x f x -=-,所以不等式()()211f x f -<等价于(|21|)(1)f x f -<,又因为函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增,所以|2|11x -< ,解得01x <<,所以x 的取值范围是(0,1).故答案为: (0,1).【点睛】本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法,抽象函数不等式的解法,都是用函数的单调性来解,利用函数的单调性时,一定要保证自变量在同一个单调区间内,不满足这一点的,往往利用偶函数的性质变形后,再用函数的单调性解不等式.本题属于中档题.13.已知函数()22,0,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，若方程()f x m =有三个不同实根1x 、2x 、3x ，则123x x x ++的取值范围是__________.【答案】(1,2)【解析】【分析】将方程()f x m =有三个不同实根转化为函数()y f x =与函数y m =的图象有三个不同的交点后,作出两个函数的图象,利用图象可以得到1x 、2x 、3x 的关系和取值范围,从而可以得到123x x x ++的取值范围.【详解】因为方程()f x m =有三个不同实根1x 、2x 、3x ,所以函数()y f x =与函数y m =的图象有三个不同的交点,三个交点的横坐标为1x 、2x 、3x ,不妨设123x x x <<,作出函数()y f x =与y m =的图象如下:由图可知:110x -<<,23212x x +=⨯=,所以12312x x x <++< ,即123x x x ++的取值范围是(1,2).故答案为: (1,2).【点睛】本题考查了函数与方程,解题关键是将方程()f x m =有三个不同实根转化为两个函数的图象有三个不同的交点,要抓住23x x +为定值,1x 的范围是(1,0)-.本题是中档题.14.若函数()f x =[)0,+∞，则实数k 的取值范围是__________.【答案】[0,1]【解析】【分析】将函数()f x [)0,+∞转化为221(0)y kx x k =-+≥的图象与x 轴有交点,再按照0k =和0k >两种情况讨论可得.【详解】当0k =时,函数()f x =1(,]2-∞,值域为[0,)+∞,符合题意; 当0k ≠时,△2(2)40,0k k =--≥>,解得:01k <≤,此时的定义域是不等式2210kx x -+≥的解集.综上所述: 实数k 的取值范围是[0,1].故答案为:[0,1]【点睛】本题考查了函数的值域,意在考查221(0)y kx x k =-+≥的图象与x 轴的交点个数,解题关键是将函数()f x [)0,+∞转化为221(0)y kx x k =-+≥的图象与x 轴有交点.本题属于中档题.三、解答题15.已知函数()22f x x x =-.⑴判断()f x 的奇偶性.⑵写出()f x 的单调区间(只需写出结果).⑶若方程()f x a =有解，求实数a 的取值范围.【答案】(1)奇函数;(2) 函数()f x 的单调递减区间为:(,1]-∞-,[0,1];单调递增区间为:[1,0]-,[1,)+∞;(3)[1,)-+∞【解析】【分析】(1)利用奇偶函数的定义()()f x f x -=- 和()()f x f x -=判断可得;(2)先写出0x ≥时函数()f x 的单调区间,再根据函数的奇偶性得到0x <时的单调区间;(3)将方程()f x a =有解转化为函数()y f x = 与函数y a = 的图象有交点,作出图象后,观察图象可得.【详解】(1)因为2()2||f x x x =-的定义域为R,,所以22()()2||2||()f x x x x x f x -=---=-=,所以函数()f x 为偶函数.(2)当0x >时,2()2f x x x =-在[0,1]上递减,在[1,)+∞上递增,又因为函数()f x 为偶函数,所以()f x 在(,1]-∞-上递减,在[1,0]-上递增,故函数()f x 的单调递减区间为:(,1]-∞-,[0,1];单调递增区间为:[1,0]-,[1,)+∞.(3)因为方程()f x a =有解,所以函数()y f x =与函数y a =的图象有交点,作出函数的图象如下:由图可知:1a ≥-.所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,单调性,函数与方程,写偶函数的单调区间时,可以先写出0x ≥时的单调区间,再根据对称性写出0x < 时的单调区间.方程有解的问题通常转化为函数图象有交点问题去解决.本题属于中档题.16.解下列关于x 的不等式.⑴ 2230x x --+>.⑵ ()()210x a x a a -++<∈R .【答案】(1) (3,1)-;(2) 当1a <时,原不等式的解集为(,1)a ;当1a =时,原不等式的解集为空集;当1a >时,原不等式的解集为(1,)a .【解析】【分析】(1)将2230x x --+>化成标准形式2230x x +-<后,令2230x x +-=得到13x =-,或21x =,再根据口诀:大于取两边,小于取中间可得;(2)将()()210x a x a a -++<∈R 化为(1)()0x x a --<,然后对a 分三种情况:①1a < ;②1a = ;③1a >进行讨论可得.【详解】(1)由2230x x --+>,得2230x x +-<,令2230x x +-=,得13x =-,或21x =,所以,31x -<<,所以原不等式的解集为(3,1)-.(2)因为()()210x a x a a -++<∈R , 所以(1)()0x x a --<,当1a <时,得1<<a x ;当1a =时,不等式无解;当1a >时,得1x a <<.综上所述:当1a <时,原不等式的解集为(,1)a ;当1a =时,原不等式的解集为空集;当1a >时,原不等式的解集为(1,)a .【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,首先要将不等式化为标准形式,然后利用对应的一元二次方程的根来表示不等式的解集,口诀是大于取两边,小于取中间.对于含参的一元二次不等式,注意使用分类讨论思想.本题属于中档题.17.函数()f x 满足如下四个条件：①定义域为()0,∞+；②()21f =；③当1x >时，()0f x >；④对任意0x >满足()()()f xy f x f y =+.根据上述条件，求解下列问题：⑴求()1f 及12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. ⑵应用函数单调性的定义判断并证明()f x 的单调性.⑶求不等式()132f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集. 【答案】(1)0; (2)见解析; (3) (1,)+∞【解析】【分析】(1) 在()()()f xy f x f y =+中,令1x y ==可得:(1)0f =;在()()()f xy f x f y =+中,令12,2x y ==,可得1()12f =-. (2)()f x 为(0,)+∞ 上的增函数.设120x x >>,利用,()()()f xy f x f y =+, 可得12()()f x f x -=()11222222()()()x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭g 12()x f x ,结合1x >时,()0f x >,利用单调性的定义可证.(3)根据(2)1f =,可得2(2)2f =,所以原不等式可化为1(3)()f x f x +>+(2)(2)f f +4()f x=,再利用单调性可解得. 【详解】(1)在()()()f xy f x f y =+中,令1x y ==,得(1)(1)(1)f f f =+,解得(1)0f =.在()()()f xy f x f y =+中,令12,2x y ==.得11(2)(2)()22f f f ⨯=+, 得1(1)(2)()2f f f =+, 得101()2f =+, 所以1()12f =-.(2) ()f x 为(0,)+∞ 上的增函数.证明如下:设120x x >>,则121,x x > 所以12()0x f x >. 因为12()()f x f x -=1222()()x f x f x x ⋅-=()112222()()()x x f f x f x f x x +-=0>, 即12()()f x f x >. 根据增函数的定义可知, ()f x 为(0,)+∞ 上的增函数.(3)因为()132f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭, 所以1(3)()2f x f x+>+,又因为(2)1f =,所以2(2)2f =, 所以1(3)()f x f x+>+(2)(2)f f +, 所以1(3)(2)(2)f x f f x +>⨯+24(2)()f f x x =⨯=, 由(2)知函数()f x 在(0,)+∞上单调递增, 所以430x x+>>,解得:1x >. 所以不等式()132f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集是(1,)+∞. 【点睛】本题考查了抽象函数求函数值,抽象函数的单调性的判断和证明,抽象函数不等式的解法,解题关键是对已知恒等式()()()f xy f x f y =+中的,x y 合理赋值.,容易漏掉定义域.属中档题18.已知函数()2f x x bx c =++，且函数()1f x -是定义在R 上的偶函数.⑴求实数b 的值.⑵若函数()()[]()2,1g x f x x =∈-的最小值为1，求函数()g x 的最大值.【答案】(1)2;(2)5【解析】【分析】(1)根据函数(1)f x -的对称轴以及图象变换可得()f x 的对称轴,从而可得b 的值;(2)由()g x 的最小值为1,可得()1g x ≥在[2,1]x ∈-上恒成立,解得c 的范围为2c ≥或4c ≤-,再分两种情况讨论,可求得()g x 的最大值.【详解】(1)因为函数(1)f x - 是定义在R 上的偶函数,所以(1)f x -的对称轴为0x =,所以()f x 的对称轴为1x =-, 所以12b -=-,解得2b = , (2)由(1)知,2()|()||2|g x f x x x c ==++([2,1]x ∈-), 因为()g x 的最小值为1,所以2|2|1x x c ++≥ 在[2,1]x ∈-上恒成立,即221c x x ≤--- 或221c x x ≥--+ 在[2,1]x ∈-上恒成立,所以2min (21)4c x x ≤---=-或2max (21)2c x x ≥--+=,当4c ≤-时, 22()2(1)1410f x x x c x c c =++=++-≤+-<()|()|()g x f x f x ==-=2(2)x x c -++2(1)1x c =-+-+,所以()g x =|()|f x 的最小值为(1)31f c -=--=,解得4c =-,此时()g x 的最大值为(1)|(1)|5g f -=-=.当2c ≥时,22()2(1)110f x x x c x c =++=++-≥>, 所以()|()|()g x f x f x ===22x x c ++2(1)1x c =++-,因为对称轴1[2,1]x =-∈-,所以min ()g x =(1)11g c -=-=,解得2c = ,符合. 此时()g x 的最大值为(1)122g =++=5,g x综上所述, 函数()的最大值是5. 【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值的求法以及分类讨论思想,根据最小值为1,即g(x)大于等于1,可以缩小c的范围,可以减少讨论次数是解题关键.属难题.。