高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨第二节平面与圆柱面的截线课堂导学案

第二节 平面与圆柱面的截线

课堂导学

三点剖析

一、椭圆的度量性质

【例1】已知平面α与一圆柱的母线成60°角,那么该平面与圆柱截口图形的离心率是

( ) A.23 B.1 C.2

2 D.21 解析：∵平面与圆柱截口图形为椭圆,其离心率e=cos60°=

21. 答案:D

温馨提示

椭圆是圆柱与平面的截口,因此,椭圆的度量性质与底面半径、截面及母线夹角密切相关.

二、探讨椭圆的性质

【例2】如图3-2-2,已知球O 1、O 2分别切平面β于点F 1、F 2.G 1G 2=2a,Q 1Q 2=2b,G 1G 2与Q 1Q 2垂直平分,求证:F 1F 2=2

22b a .

图3-2-2

证明：过G 1作G 1H⊥BG 2,H 为垂足,则四边形ABHG 1是矩形.

∴G 1H=AB.

∵Q 1、Q 2分别是P 1、P 2的平行射影,

∴P 1Q 1P 2Q 2.

∴P 1Q 1Q 2P 2是平行四边形.

∴Q 1Q 2=P 1P 2,

即Q 1Q 2等于底面直径.

∴G 1H=AB=Q 1Q 2=2b.

又由切线长定理,

G 1A=G 1F 1=G 2F 2,G 2F 1=G 2B,

∴G 2F 1-G 2F 2=G 2B-G 1A.

又G 1A=BH,

∴G 2F 1-G 2F 2=G 2B-BH.

∴F 1F 2=G 2H.

在Rt△G 1G 2H 中,G 2H=2222212212)2()2(b a b a H G G G -=-=-.

温馨提示

探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质,要仔细考查Dandlin 双球与圆柱及其截平面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似与全等、解直角三角形,以及平行射影的性质等等.

三、数形结合——椭圆的解析性质

【例3】已知圆柱底面半径为3,平面β与圆柱母线夹角为60°,在平面β上以G 1G 2所在直线为横轴,以G 1G 2中点为原点,建立平面直角坐标系,求平面β与圆柱截口椭圆的方程. 解：过G 1作G 1H⊥BC 于H.∵圆柱底面半径为3,∴AB=32.∵四边形ABHG 1是矩形,∴AB=G 1H=32.在Rt△G 1G 2H 中,G 1G 2=2

3

32sin 211=∠H G G H G =4.又椭圆短轴长等于底面圆的直径32, ∴椭圆的标准方程为3

42

2y x +=1.

图3-2-4

各个击破

类题演练1

已知圆柱的底面半径为r,平面α与圆柱母线的夹角为60°,则它们截口椭圆的焦距是

( ) A.r 32 B.r 34 C.r 3 D.3r 解析:如图3-2-1,过G 2作G 2H⊥AD,H 为垂足,则G 2H=2r.

图3-2-1

在Rt△G 1G 2H 中,

G 1G 2=︒

60cos 2H G =2r×2=4r, ∴长轴2a=G 1G 2=4r,短轴2b=2r.

∴焦距2c=2r r b a 323222=⨯=-.

答案:A

类题演练2

如图3-2-3,设两焦点的距离F 1F 2=2c,两端点距离G 1G 2=2a,截面β与圆柱母线的二面角为φ. 求证:P 到F 1的距离与到l 1的距离之比等于a c ,即e=cos φ=a

c .

图3-2-3

证明:过G 1作G 1H⊥BC 于H,则G 1A=BH.

由切线长定量得G 2F 1=G 2B, G 1A=G 1F 1=G 2F 2,

∴G 2F 1-G 2F 2=G 2B-BH.∴G 2H=F 1F 2=2c.

在△PQK 1和△G 2G 1H 中,∠QPK 1=∠G 1G 2H=φ,∠QK 1P=∠G 1HG 2=90°,

∴△PQK 1∽△G 2G 1H. ∴a

c a c G G H G PQ PK ===221221=cos φ=e. 又由内切线长定理得PK 1=PF 1, ∴a

c PQ PK PQ PF ==11=cos φ=e. 类题演练3

在例3题设下,截面β与α、γ交线各为l 1、l 2,如图3-2-4,求l 1、l 2的方程. 解析:设P 是椭圆的顶点.

过P 作PQ⊥l 1于Q.过P 作平面α的垂线,垂足为K 1,连结K 1Q. ∵OP=3,OF 1=1)3(222=-,

∴PF 1=212OF OP +=2.

由切线长定理,PK 1=PF 1.

在Rt△PK 1Q 中,PQ=︒

=∠60cos 2cos 11QPK PK =4.

又OE=PQ,∴OE=4.

∴l1的方程为x=-4,l2的方程为x=4.

温馨提示

椭圆的平面坐标系内的解析方程及解析性质来源于几何性质,它们是统一的,是从不同侧面对它的描述.