数学分析总结复习提纲

数学分析（3）总结复习提纲
用词说明：本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉”等词的内容为较高要求内容，冠以“会、了解、知道”等词的内容为较低要求内容。

第十二章各种积分之间的联系
§1 各种积分之间的联系公式
理解格林公式与高斯公式，了解斯托克斯公式；掌握利用格林公式计算平面曲线积分和利用高斯公式计算曲面积分的方法；会用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分，会用平面曲线积分计算平面图形的面积，会用曲面积分计算立体的体积。

§2曲线积分与路径的无关性
理解平面曲线积分与路径无关的四个等价条件，了解空间曲线积分与路径无关的四个等价条件；掌握利用平面曲线积分与路径无关的条件计算平面曲线积分、以及求二元函数全微分的原函数的方法。

§3 场论初步
理解场的概念；了解梯度场、散度场、及旋度场的物理意义，会求梯度、散度与旋度。

第十三章极限与实数理论
§1 各种极限的精确定义
理解各种极限定义的本质，掌握利用极限定义证明极限的基本方法；会叙述极限不等于某常数的定义，知道数列极限存在的充要条件与归结原则。

§2关于实数的基本定理
理解确界、闭区间套、有限覆盖及聚点等概念，熟悉关于实数完备性的六个等价定理的条件和结论；会用实数完备性定理证明一些简单命题。

§3 闭区间上连续函数性质的证明
理解有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理的条件和结论，理解一致连续的定义和一致连续性定理；会用一致连续的定义证明函数的一致连续性，会用闭区间上连续函数的性质定理证明相关命题。

第十四章隐函数定理与重积分的换元法
§1隐函数存在定理
理解隐函数（组）存在惟一性定理的条件和结论；了解反函数组与坐标变换的概念和反函数组定理的条件与结论；掌握坐标变换的雅可比行列式的计算。

§2 重积分的换元法
理解二重积分的坐标变换公式，掌握用换元法计算二重积分的基本方法；了解三重积分的坐标变换公式，会用球面坐标计算三重积分。

第十五章可积性理论与反常积分的收敛性
§1 可积性理论
理解定积分的定义和可积的必要条件；知道达布和与上下积分的概念和性质；理解函数可积的第一、二充要条件，了解函数可积的第三充要条件；掌握三类可积函数的证明，会用可积充要条件证明简单函数的可积性；知道第二积分中值定理的内容。

§2 无穷限反常积分的收敛性
了解无穷积分收敛的柯西准则与基本性质，理解无穷积分绝对收敛与条件收敛的概念；熟悉p-无穷积分的收敛性结论，掌握无穷积分绝对收敛的柯西判别法的极限形式；理解比较判别法，会用比较判别法判别或证明无穷积分的绝对收敛性；会用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别无穷积分的收敛性。

§3 无界函数反常积分的收敛性
熟悉p-瑕积分的收敛性结论；掌握瑕积分绝对收敛的柯西判别法的极限形式；了解瑕积分收敛性的其他判别法，会判别简单混合反常积分的收敛性。

第十六章数项级数
§1 数项级数的概念和性质
理解无穷级数的概念、级数部分和与余项等概念，知道级数通项与部分和的关系；掌握级数收敛的概念和级数收敛的必要条件；了解级数收敛的柯西准则和无穷级数的基本性质。

§2 正项级数
知道正项级数收敛的有界性原则；熟记等比级数与p-级数的收敛性结论；理解比较判别法及其极限形式，掌握极限判别法；掌握比值法与根值法的极限形式，知道比值法与根值法的一般形式；知道积分判别法。

§3 一般项级数
掌握交错级数收敛性的莱布尼茨判别法；会用狄利克雷判别法与
阿贝尔判别法判别一般级数的收敛性；理解绝对收敛与条件收敛的概念，掌握较简单级数绝对收敛性与条件收敛性的判别；知道绝对收敛级数的重排性质与乘法性质。

第十七章函数列与函数项级数
§1 函数列的一致收敛性
理解函数列、函数列的收敛域、极限函数等基本概念，会求函数列的极限函数；理解函数列一致收敛与内闭一致收敛的定义，知道函数列一致收敛的柯西准则；掌握函数列一致收敛的最大距离判别法；理解一致收敛函数列的极限函数的连续性、可积性与可微性定理。

§2 函数项级数的一致收敛性
理解函数项级数及其部分和函数列、收敛域、和函数等基本概念，理解函数项级数一致收敛的概念，知道函数项级数一致收敛的柯西准则与必要条件；掌握函数项级数一致收敛性的余项判别法与优级数判别法（魏尔斯特拉斯判别法）；会用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别函数项级数的一致收敛性；理解一致收敛函数项级数的和函数的连续性定理、逐项积分性质与逐项求导性质。

第十八章幂级数
§1 幂级数的收敛性
理解关于幂级数收敛性的阿贝尔定理；理解幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域的定义；掌握幂级数收敛域的求法（包括常用方法与一般方法）；理解幂级数和函数的连续性定理、逐项积分性质与逐项求导性质。

§2 函数的幂级数展开
了解泰勒级数及其收敛定理，了解函数展开成幂级数的直接法；熟练记忆六个常用幂级数展开式；掌握函数展开成幂级数的间接法；会用常用幂级数展开式求简单幂级数的和函数及某些特殊常数项级数的和；了解函数幂级数展开式的简单应用。

第十九章 傅里叶级数
§1 周期函数的傅里叶级数
了解傅里叶级数的实际背景，三角函数系的正交性；熟练记忆傅里叶级数、傅里叶系数公式；理解傅里叶级数收敛定理的条件和收敛结论；知道奇（偶）函数的傅里叶级数是正弦（余弦）级数；会把周期函数展开成傅里叶级数。

§2 定义在有限区间上的函数展开成傅里叶级数
理解把定义在有限区间上的函数展开成傅里叶级数的基本思想；掌握把定义在[0,]l 上的函数展开成正弦级数或余弦级数的方法；会把定义在(,]l l 以及[,]a b 上的函数展开成傅里叶级数。

第二十章 含参变量的积分
§1 含参变量正常积分
理解含参变量的正常积分的概念，熟悉含参变量正常积分的连续性、可微性与可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导公式；会用积分号下的积分法与积分号的微分法求某些积分。

§2 含参变量反常积分
理解含参变量反常积分及其一致收敛的概念；掌握一致收敛性的
M判别法（魏尔斯特拉斯判别法）；知道一致收敛的柯西准则，会用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别含参变量反常积分的一致收敛性；理解含参变量反常积分的连续性定理、可积性定理与可微性定理；会用积分号下的积分法与积分号下的微分法求某些反常积分。

§3 欧拉积分
理解Γ函数和B函数的定义；了解Γ函数和B函数在其定义域上的连续性或可微性；知道Γ函数和B函数的不同定义形式和余元公式、掌握Γ函数和B函数的递推公式及其联系公式。