导数及其应用[1].板块四.导数与其它知识综合2-不等式1.学生版

题型二：导数与不等式综合
不等式的证明：
【例1】 当0x ≠时，有不等式（ ）
A ．e 1x x <+
B ．当0x >时，e 1x x <+；当0x <时，e 1x x >+
C ．e 1x x >+
D ．当0x <时，e 1x x <+；当0x >时，e 1x x >+
【例2】 设0a b <<，且()f x =，则下列大小关系式成立的是（ ）
A ．()2a b f a f f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭
B ．()2a b f f b f +⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
C ． ()2a b f f f a +⎛⎫<< ⎪⎝⎭
D ．()2a b f b f f +⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
【例3】 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+．
⑴若2()1x xf x ax '++≤，求a 的取值范围； ⑵证明：0(1)()x f x -≥．
【例4】 已知函数32()f x mx nx =+（m 、n ∈R ，0m ≠），函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线
与x 轴平行．
⑴ 用关于m 的代数式表示n ； ⑵ 求函数()f x 的单调递增区间；
⑶ 若12x >，记函数()y f x =的图象在点1(())M x f x ，的切线为l ，设l 与x 轴的交点为2(0)x ，，证明：2x ≥3．
【例5】 设函数()2f x x a =-．
⑴ 求函数()()g x xf x =在区间[]0,1上的最小值；
⑵ 当0a >时，记曲线()y f x =在点()()11,P x f x (1x >处的切线为l ，l 与x 轴交于点()
2,0A x ，求证：12x x >．
【例6】 已知函数(1)
()ln 1
a x f x x x -=-
+． ⑴若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围；
⑵设,m n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2
m n m n
m n -+<
-．
【例7】 已知函数2()ln f x x x ax =+-．
⑴若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；
⑵设11n a n
=+（*n ∈N ），求证：222
12123()ln(1)2n n a a a a a a n n +++----<++ ．
【例8】 已知函数()()x f x xe x -=∈R
⑴求函数()f x 的单调区间和极值；
⑵已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >；
⑶如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>．
【例9】 已知函数()(0)b
f x ax c a x
=+
+>的图象在点(1(1))f ，处的切线方程为1y x =-． ⑴用a 表示出b ，c ； ⑵若()ln f x x >在[]1∞，上恒成立，求a 的取值范围； ⑶证明：11111ln(1)()232(1)
n
n n n n +
+++>+++ ≥．
【例10】 设函数()1x f x e -=-．
⑴证明：当1x >-时，()1
x
f x x +≥； ⑵设当0x ≥时，()1
x
f x ax +≤
，求a 的取值范围．
【例11】 已知函数()f x =，()ln g x a x =，a ∈R ．
⑴若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程； ⑵设函数()()()h x f x g x =-，当()h x 存在最小值时，求其最小值()a φ的解析式；
⑶对⑵中的()a φ和任意的0a >，0b >，证明：()()222a b a b ab a b φφφφ''++⎛⎫⎛⎫
'' ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
≤≤．
【例12】 已知函数ln ()()x a
f x a x
+=
∈R ， ⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y --=平行，求a 的值； ⑵求函数()f x 的单调区间和极值；
⑶当1a =，且1x ≥时，证明：()1f x ≤．
【例13】 已知函数1
()ln(1)(1)
n
f x a x x =
+--，其中*n ∈N ，a 为常数． ⑴当2n =时，求函数()f x 的极值；
⑵当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2x ≥时，有()1f x x -≤．
【例14】 已知函数1
()ln f x a x x
=-
，a ∈R ． ⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； ⑵求函数()f x 的单调区间；
⑶当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．
【例15】 设a 为实数，函数()22x f x e x a =-+，x ∈R ．
⑴求()f x 的单调区间与极值；
⑵求证：当ln 21a -＞且0x >时，21x e x ax >-+2．
【例16】 已知定义在正实数集上的函数2
1()22
f x x ax =
+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．
⑴用a 表示b ，并求b 的最大值； ⑵求证：()()f x g x ≥（0x >）．
【例17】 设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．
⑴当1
2
b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；
⑵求函数()f x 的极值点；
⑶证明对任意的正整数n ，不等式23111
ln 1n n
n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．
【例18】 设3
()3
x f x =，对任意实数t ，记2
32()3t g x t x t =-．
⑴求函数8()()y f x g x =-的单调区间；
⑵求证：①当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；
②有且仅有一个正实数0x ，使得800()()t g x g x ≥对任意正实数t 成立．
【例19】 已知21
()ln(1)()2
f x x
g x ax bx =+=+，．
⑴若2b =，且()(1)()h x f x g x =--存在单调递减区间，求a 的取值范围；
⑵若01a b ==，
时，求证()()0f x g x -≤对于(1)x ∈-+∞，成立； ⑶利用⑵的结论证明：若0x y <<，则ln ln ()ln
2
x y
x x y y x y ++>+．
【例20】 已知函数()f x 是定义在[)(]e 00e - ，，上的奇函数，当(]0e x ∈，
时，()ln f x ax x =+（其中e 是自然对数的底，a ∈R ）
⑴求()f x 的解析式； ⑵设ln ()x
g x x =
，求证：当[)e 0x ∈-，
，1a =-时，1
()()2
f x
g x >+． ⑶是否存在负数a ，使得当[)e 0x ∈-，
时，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．
【例21】 已知函数22
()ln ()f x x a x x x
=+
+>0，()f x 的导数是()f x '．对任意两个不等的正数1x 、2x ，
证明：⑴当0a ≤时，
1212()()
2
2f x f x x x f ++⎛⎫
> ⎪⎝⎭
；⑵当4a ≤时，1212|()()| ||f x f x x x ''-> -．。