包庄中学第15章复习教案秦芳芳

21
A
D C
B A
第15章 平面图形的认识
包庄中学 秦芳芳
一、复习目标
1．了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），知道三角形两边的和大于第三边，会画出任意三角形的高、中线、角平分线，了解三角形的稳定性． 2．了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式．
3．通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺平面，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计． 4.利用最近基本的尺规作图，做三角形。

二、重点与难点：
重点是：三角形的有关概念和性质，多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式，尺规作图
难点是：借助三角形建立多边形的有关概念和性质，尺规作图 三、知识归纳 1．三角形的概念
不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．
三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形；
（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． 2．三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短； （2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边． 3．三角形的中线、角平分线、高
（1）三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=
12
BC.
注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
（2）三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.
D C
B
A
2.∠1=∠2=
12
∠BAC.
注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D.
3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；
②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；
③三角形三条高所在直线交于一点．
4．三角形的稳定性：
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性； （2）四边形没有稳定性. 5．三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180°． 推理过程：
一、作CM ∥AB ，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800， 即∠A+∠B+∠ACB=1800．
二、作MN ∥BC ，则∠2=∠B ，∠3=∠C ，而∠1+∠2+∠3=1800， 即∠BAC+∠B+∠C=1800．
注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．
（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角． 6．三角形的外角的定义
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.
如:∠ACD 、∠BCE 都是△ABC 的外角，且∠ACD=∠BCE. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处
只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了. 7．三角形外角的性质
B A
C D
2
1B A
C
M (1)
B A
C D
(2)B A C
D
（1） 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． 注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；
（2）作CM ∥AB 由于B 、C 、D 共线 ∴∠A=∠1，∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B. 8．多边形的概念
（1）在同一平面内，由不在一直线上的n (n≥3的整数)条线段首尾顺次相接而组成的图形叫做n 边形.
注意：有几条边就是几边形；三角形、四边形是最简单的多边形． （2）多边形相邻两边组成的角是它的内角．
（3）多边形的边和它邻边的延长线组成的角是它的外角． （4）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线． （5）各个角相等，各条边都相等的多边形是正多边形．
（6）下面两图中，图(1)任何一条边所在的直线整个图形都在这条直线同一侧， 这样的图形我们称它为凸多边形，而图(2)就不满足上述凸多边形的特征， 因为我们画BD 所在直线、整个n 边形不都在这条直线的同一侧.我们称它为凹多边形， 今后我们提到的多边形都是凸多边形.
9．多边形的内角和
n 边形的内角和等于（n 一2）·180°． 注意：（1）要得到多边形的内角和可通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形；
（2）此公式可以已知边数求内角和，也可以已知内角和求边数． 10．多边形的外角和
多边形的外角和等于360°． 注意：多边形的外角和与它的边数无关．
11．平面密铺
（1）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完整覆盖，叫做多边形覆盖平面(或平面密铺)
（2）用同一种正多边形密铺
用同一种正多边形密铺，只要正多边形内角的度数整除360°，这种正多边形就能作平面密铺
注意：
①正三角形、正方形、正六边形能作平面密铺；
②而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°，
所以这些正多边形都不能密铺．
（3）用两种或以上正多边形密铺
用两种或以上正多边形密铺只要几个正多边形的内角和是3600就行．
（4）用一般多边形密铺
用同一种三角形、同一种四边形都可以．
四、典题分析：
考点一、数三角形的个数
例1 图中三角形的个数是（）
A．8 B．9 C．10 D．11
分析与解：以某一条线段为三角形的边依次找三角形．选B．
点评：数三角形时不能重复，不能遗漏．注意按一定的顺序找．
备用：当三角形内部有1个点时，互不重叠的三角形的数目为3；当三角形内部有2个点时，互不重叠的三角形的数目为5．
（1）当三角形内部有3个点时，互不重叠的三角形的数目为________；
（2）当三角形内部有4个点时，互不重叠的三角形的数目为_________；
（3）当三角形内部有n个点时，互不重叠的三角形的数目为___________；
（4）互不重叠的三角形的数目能否为2007，若能请求出三角形内部点的个数；若不能，请说明理由．
分析与解：（1）作出图形，依次数，7；（2）探索规律，3，5，7，从而得9；
（3）2n+1；（4）2n+1=2007，n=1003，当四边形内部有1003个点时，共有2007个三角形．考点二、三角形三边关系
例2 （2006广州）已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是( ) A．l，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10
分析与解：三条线段能否构成一个三角形，关键在于判定它们是否符合三角形三边的不等关系，符合即可构成一个三角形，不符合就不可能构成一个三角形.
对于A，由于1+2=3，不能组成三角形；对于B，由于2+5<8，不能组成三角形；对于D，由于4+5<10，不能组成三角形．所以选C．
点评：想用二根长为a、b（a>b）的木棒，构成一个三角形，由第三根木棒的长度应介于a—b 和a+b之间．
备用：（1）下列各组条件中，不能组成三角形的是( )
A.a+1、a+2、a+3(a>3)
B.3cm、8cm、10cm
C.三条线段之比为1:2:3
D.3a、5a、2a+1(a>1)
分析与解：选项C
（2）以长为3cm ，5cm ，7cm ，10cm 的四根木棍中的三根木棍为边，可以构成三角形的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
分析与解：以四根木棍中的三根木棍主长共可以组成：3，5，7、3，5，10、3，7，10、5，7，10共四种情况．其中只有两种情况能组成三角形．选A ．
考点三、三角形的稳定性
例3 下列图形具有稳定性的有(
)
(1)(2)
(3)
(4)
(5)
A.只有(1)，(2)
B.只有(2)，(3)，(4)
C.只有(5)，(4)
D.(1)，(2)，(3)，(4)，(5) 分析与解：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．选B ．
备用：（1）如图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条，这样做的数学道理是 ．
分析与解：三角形的稳定性．
（2）下列由几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（ ）
A B C D 分析与解：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．选C ． 考点四、三角形内角和定理： 例4 △ABC 中，∠B=
13
∠A=
14
∠C ，求∠B 的度数.
分析与解：设∠B=x 0，则∠A=3x ０
，∠C=4x ０
，从而x+3x+4x=180，x=22.5． 即：∠B=22.50，∠A=67.50，∠C=900．
点评：在一个三角形中，当已知三角关系时，可通过列方程的方法求出三个角．
例5 如图，点O 是△ABC 内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC 等于（ ）
A. 95°
B. 120°
C. 135°
D. 650
分析与解： ∠O=1800—（∠OBC+∠OCB ）
=1800—（1800—（∠1+∠2+∠A ）=∠1+∠2+∠A=1350． 点评：几何题的解题关键是：把未知向已知转化． 例6 （1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，
恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．直角顶点x 在△ABC 内部，若∠A ＝30°，
则∠ABC ＋∠ACB ＝ 度，∠XBC ＋∠XCB ＝ 度；
（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过点B 、C ，直角顶点x 还在△ABC 内部，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．
分析与解：（1）∠ABC+∠ACB=1800—∠A=1800—300=1500， ∠XBC+∠XCB=1800—∠X=1800—900=900；
（2）∵∠ABX+∠XBC+∠XCB+∠ACX+∠A=1800， 又∠XBC+∠XCB=1800—∠X=1800—900=900， ∴∠ABX+∠ACX=1800—900—300=600． 备用：在△ABC 中，∠A=2
1（∠B ＋∠C ）、∠B －∠C=20°，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．
分析与解：∵∠A=2
1（∠B ＋∠C ），∠B+∠C=180—∠A ，
∵∠A=
2
1（180—∠A ），∠A=60°，
∴∠B+∠C=120°，∵∠B －∠C=20°，∴∠B=700，∠C=50°．
考点五、三角形的外角
例7 (2006金华)下图能说明∠1＞∠2的是( )
分析与解：利用三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．选C ． 点评： 比较角的大小一般用外角大于不相邻的一个内角． 备用：一个零件的形状如图，按规定∠Ａ应等于90°，∠Ｂ，∠Ｄ应分别是20°和30°，李叔叔量得∠ＤＣＢ＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？ 分析与解：连接AC ，并延长至E ，则∠1=∠3+∠D ，∠2=∠4+∠B ，
∠DCB=∠3+∠4+∠D+∠B=142°， 即这个零件不合格
考点六、多边形的对角线
例8 观察下面图形， 并回答问题.
①四边形、五边形、六边形各有几条对角线？从中你能得到什么规律？ ②根据规律你知道七边形有多少条对角线吗? ③你知道n 边形有多少条对角线吗？
分析与解：从多边形的一个顶点出发，可以引（n —3）条对角线，n 个顶点共有n （n —3）条对角线，但有一半是重复的，所以n 边形的对角线数目为
2
)
3(-n n ．
点评：请记住多边形的对角线数目的公式．
备用：从一个多边形的一个顶点出发，可引12条对角线，则这个多边形的边数为( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．15
分析与解：从多边形的一个顶点出发，引对角线，本身和相邻的两个点不可以引对角线，其它的点均可以引对角线，选D ． 考点七、多边形的内角、外角
例9 （06长沙）正五边形的一个内角的度数是 ． 分析与解：本题有两个思路．（1）从内角和方面考虑：
108
5
180
)25(=⨯-；（2）从外角
和方面考虑：每一个外角为
00
725
360=，所以每一个外角为1800—720=1080
．
例10（2006南安）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n ＝ ．
分析与解：设这个多边形的边数为n ，则0
3602180)2(⨯=⨯-n ．n=6．
点评：要学会用代数的方法解几何题．
例11 小华从点A 出发向前走10m ，向右转36°然后继续向前走10m ，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A 吗？若能，当他走回到点A 时共走多少米？若不能，写出理由．
分析与解： 360可以看成是一个正多边形的外角，它正好是正十边形．故能回到A 点，共走了100m ． 例12 如图，已知∠DAB+∠D=180°，AC 平分∠DAB ，且∠CAD=25°，∠B=95°（1）求∠DCA 的度数；（2）求∠ECA 的度数．
A
B
D C
E
分析与解：AB∥CD，∠DCA=∠CAB=∠CAD=250，
∠ECA=∠CAB+∠B=1200．
备用：（1）若两个多边形的边数之比是1:2，这两个多边形的内角和为1980°，求这两个多边形的边数．
分析与解：设一个多边形的边数为x，则另一个多边形的边数为2x，
（x—2）180+（2x—2）180=1980，x=5，
这两个多边形分别为五边形和十边形．
（2）在四边形ABCD中，若∠A+∠D=160°．
（1）有一块直角三角板XYZ放置在四边形ABCD的边BC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．直角顶点x在四边形ABCD的内部．
则∠ABC＋∠DCB＝度，∠XBC＋∠XCB＝度；
（2）若改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点x还在四边形ABCD的内部，那么∠ABX＋∠DCX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠DCX的大小．
分析与解：（1）∠ABC+∠DCB=360°—160°=200°，
∠XBC+∠XCB=180°—90°=90°；
（2）∠ABX＋∠DCX=∠ABC+∠DCB—（∠XBC+∠XCB）=200°—90°=110°．
考点八、平面密铺
例13 装饰大世界出售下列形状的地砖：○1正方形；○2长方形；○3正五边形；○4正六边形．若只选购其中某一种地砖密铺地面，可供选用的地砖有（）
A. ○1○2○3
B. ○1○2○4
C. ○2○3○4
D. ○1○3○4
分析与解：用一种图形密铺，有三角形，四边形，正六边形．选B．
例14．（2006盐城）如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面密铺，则n的值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
分析与解：用两种或以上正多边形密铺，其几个正多边形的内角和是3600．
=
+
90=
n．
⨯n
,
3
2
360
60
备用：某体育馆用大小相同的长方形木块密铺地面.
（1）第1次铺2块，如图1；
(2)第2次把第1次铺的完全围起来，如图2.共用_____________块；
（3）第3次把第2次铺的完全围起来，如图3．共用______________块；…；
（4）依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次密铺所使用的木块块数为.
（n为正整数）
（5）王师傅说：“在密铺地面时，有一次铺完后，我用去了100块木块”，小红说：“不可能”，你认为小红说得有无道理？
分析与解：（2）10；（3）18；（4）8n—6；（5）8n—6=100，n无整数解．小红说得有道理．考点九、尺规作图
例15 已知两边及其夹角，求作三角形．
α
a
b
五、思想方法总结：
本章涉及到了类比、化归、方程建模、分类讨论的数学思想方法：如多边形的问题可化归成三角形的问题，求多边形的角度或多边形的边长可用方程建模的思想．。