2010年高考数学名师专题讲座复习4

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高考数学复习强化双基系列课件04《函数的定义域与值域》

x=acosθ求解。
①反函数法或分离常数法：{yy1且yR}
2
例2．求下列函数的值域
① y 1 x 2x 5
②
y
3x x2 4
②判别式法：[
3 4
,
3 4
]
形如：ycxd(a0) 可用反函数法或分离常数法求；
axb
形如：ya1x2b1xc1
a2x2b2xc2
(a1,a2不同时 0)可为用判别式法求。
《求函数的值域》
研究函数的值域：抓牢法则和定义域两者清楚值域明白回归基础理之当然
常见函数类型：
①y=kx+b ②y=ax2+bx+c
③y=k/x
④y=ax
⑤y=logax ⑥y=sinx ⑦y=conx ⑧y=tanx
⑨y=x3
⑩y=x+a/x(a>0)
注：分段函数段段清务必掌握
1、定义域 2、图象
变式一：例5．已知函数求实数a，c的值。
f
(x)
ax1 x2 c
值域为[-1，5]，
变域为式R二，：值例域6为．[已0，知2函]，数f求(xm), n的lo值3g。m2xx28x1n的定义
三．小结 1．熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用； 2．求值域时要务必注意定义域的制约； 3．含字母参数或参数区间的Байду номын сангаас类值域问题要进行合理分类讨论； 4．用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。
2 a log a 2 log a a 2
例5、求函数f(x)=lg(ax－k•2x)(a>0且a≠1，
a≠2)的定义域。例6、已知函数f(x)的定义域是(0,1],

高考数学专题讲座

导数概念
理解导数的定义，掌握导数的几何意义和物理意义。
导数应用
利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，以及在实际问题中的应用。
三角函数与解三角形
三角函数性质
理解三角函数的定义，掌握三角函数的图像和性质，如周期性、奇偶性、单调性等。
三角恒等变换
熟练掌握三角恒等变换公式，如和差角公式、倍角公式等。
函数性质理解不足
包括对函数单调性、奇偶性、周期性等基本概念的理解不清晰。
导数应用问题
如极值、最值、切线等问题中，对导数概念及运算规则掌握不熟练。
三角函数变换
对三角函数的和差化积、积化和差等公式运用不熟练，导致解题困难。
数列与数学归纳法
在数列通项公式、求和公式及数学归纳法的运用中，易出现理解偏差或计算错误。
规范书写保持卷面整洁，字迹晰，步骤完整。严谨推理
在解题过程中，保持严谨的推理和计算，确保每一步的正确性。
注意检查
在解答完成后，仔细检查答案和过程，确保没有遗漏和错误。
04 经典例题解析与实战演练
函数与导数经典例题解析
函数性质综合应用
通过具体例题，深入剖析函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，并探讨它们在解题中的综合应用。
随机变量的分布与数字特征
详细讲解离散型随机变量和连续型随机变量的分布律、概率密度函数等概念，以及数学期望、方差等数字特征的计算和应用。
统计推断与参数估计
介绍统计推断的基本原理和方法，包括点估计和区间估计等，通过实例演示如何利用样本数据对总体参数进行推断和估计。
05 易错知识点剖析及纠正方法
易错知识点归纳整理
03 高考数学常见题型及解题技巧
选择题答题技巧

2010届高考数学一轮精品讲座二(专题11~18)综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题

2010届高考数学一轮复习资料邓旭琛题目高中数学复习专题讲座综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题高考要求函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力重难点归纳在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件学法指导怎样学好函数学习函数要重点解决好四个问题准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识(一)准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑高考试题涉及5个方面 (1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中(三)把握数形结合的特征和方法函数图像的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图像的平移变换、对称变换(四)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识典型题例示范讲解例1设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0(1)求f (21)、f (41);(2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (2n +n21),求).(ln lim n n a ∞→命题意图本题主要考查函数概念，图像函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力知识依托认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)＝f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口错解分析不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形技巧与方法由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为()()()()2222x x x x f x f f f =+=⋅是解决问题的关键(1)解因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=()()()02222x x x x f f f +=≥, x ∈［0,1］又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21,f (41)=a 41(2)证明依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即 f (x )=f (2－x ),x ∈R又由f (x )是偶函数知 f (－x )=f (x ),x ∈R ∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期(3)解由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n21)=…… =f (n 21)·f (n 21)·……·f (n21) =［f (n21)］n =a 21∴f (n21)=a n21又∵f (x )的一个周期是2 ∴f (2n +n 21)=f (n21),∴a n =f (2n +n 21)=f (n 21)=a n21因此a n =a n21 ∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n例2甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ,固定部分为a 元(1)把全程运输成本y (元)表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力知识依托运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法错解分析不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件技巧与方法四步法 (1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价解法一 (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS ,全程运输成本为y =a ·vS +bv 2·vS =S (va +bv )∴所求函数及其定义域为y =S (va +bv ),v ∈(0,c ](2)依题意知，S 、a 、b 、v 均为正数 ∴S (va +bv )≥2Sab ①当且仅当va =bv ,即v =ba 时，①式中等号成立若ba ≤c 则当v =ba 时，有y min ＝2S ab ；若ba >c ,则当v ∈(0,c ]时，有S (va +bv )－S (ca +bc )=S ［(va －ca )+(bv －bc )］=vcS (c －v )(a －bcv )∵c －v ≥0,且c >bc 2, ∴a －bcv ≥a －bc 2>0 ∴S (va +bv )≥S (ca +bc ),当且仅当v =c 时等号成立，也即当v =c 时，有y min ＝S (ca +bc )；综上可知，为使全程运输成本y 最小，当bab ≤c 时，行驶速度应为v =bab,当bab >c 时行驶速度应为v =c解法二 (1)同解法一(2)∵函数y =S (va +bv ), v ∈(0,+∞),当x ∈(0, ba )时，y 单调减小，当x ∈(ba ,+∞)时y 单调增加，当x =ba 时y 取得最小值，而全程运输成本函数为y =Sb (v +vb a ),v ∈(0,c ]∴当ba ≤c 时，则当v =ba 时，y 最小，若ba >c 时，则当v =c 时，y 最小结论同上例3 设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时f (x )<0且f (3)=－4(1)求证 f (x )为奇函数；(2)在区间［－9，9］上，求f (x )的最值(1）证明令x =y =0,得f (0)=0令y =－x ,得f (0)=f (x )+f (－x ),即f (－x )=－f (x ) ∴f (x )是奇函数(2）解 1°,任取实数x 1、x 2∈［－9,9］且x 1＜x 2,这时，x 2－x 1>0,f (x 1)－f (x 2)=f ［(x 1－x 2)+x 2］－f (x 2)=f (x 1－x 2)+f (x 2)－f (x 1)=－f (x 2－x 1)因为x >0时f (x )＜0,∴f (x 1)－f (x 2)>0 ∴f (x )在［－9，9］上是减函数故f (x )的最大值为f (－9),最小值为f (9)而f (9)=f (3+3+3)=3f (3)=－12,f (－9)=－f (9)=12∴f (x )在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12学生巩固练习1 函数y =x +a 与y =log a x 的图像可能是( )2定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)其中成立的是( )A①与④B②与③C①与③D②与④3若关于x的方程22x+2x a+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是____ 4设a为实数，函数f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值5设f(x)=xx-++111(1)证明f(x)在其定义域上的单调性；(2)证明方程f-1(x)=0有惟一解；(3)解不等式f［x(x－21)］216定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f(xyyx++1);②当x∈(－1,0)时，有f(x)>0求证)21()131()111()51(2fnnfff>+++++7某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (米)的函数关系式，并指出其定义域(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价8 已知函数f (x )在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，f (1)=0,又g (θ)=sin 2θ－m cos θ－2m ,θ∈［0,2π］,设M ={m |g (θ)<0,m∈R },N ={m |f ［g (θ)］<0},求M ∩N参考答案:1 解析分类讨论当a >1时和当0＜a ＜1时答案 C2 解析用特值法，根据题意，可设f (x )=x ,g (x )=|x |,又设a =2,b =1,则f (a )=a ,g (a )=|a |,f (b )=b ,g (b )=|b |,f (a )－f (b )=f (2)－f (－1)=2+1=3g (b )－g (－a )=g (1)－g (－2)=1－2=－1∴f (a )－f (－b )>g (1)－g (－2)=1－2=－1又f (b )－f (－a )=f (1)－f (－2)=1+2=3g (a )－g (－b )=g (2)－g (1)=2－1=1,∴f (b )－f (－a )=g (a )－g (－b )即①与③成立答案 C3 解析设2x =t >0，则原方程可变为t 2+at +a +1=0 ①方程①有两个正实根，则⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>-=+≥+-=∆010)1(421212a t t a t t a a 解得 a ∈(－1,2－22]答案 (－1，2－22]4 解 (1)当a =0时，函数f (－x )=(－x )2+|－x |+1=f (x ),此时f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (－a )=a 2+2|a |+1,f (－a )≠f (a ),f (－a )≠－f (a )此时函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数(2)①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2－x +a +1=(x －21)2+a +43,若a ≤21,则函数f (x )在(－∞,a ]上单调递减，从而，函数f (x )在(－∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a >21,则函数f (x )在(－∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ,且f (21)≤f (a )②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x －a +1=(x +21)2－a +43;当a ≤－21时，则函数f (x )在［a ,+∞)上的最小值为f (－21)=43－a ,且f (－21)≤f (a )若a >－21, 则函数f (x )在［a ,+∞)上单调递增，从而，函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1综上，当a ≤－21时，函数f (x )的最小值是43－a ,当－21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1;当a >21时，函数f (x )的最小值是a 435 (1)证明由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+-02011x xx得f (x )的定义域为(－1，1)，易判断f (x )在(－1，1)内是减函数(2)证明 ∵f (0)=21,∴f -－1(21)=0,即x =21是方程f -－1(x )=0的一个解若方程f -－1(x )=0还有另一个解x 0≠21,则f -－1(x 0)=0,由反函数的定义知f (0)=x 0≠21,与已知矛盾，故方程f -－1(x )=0有惟一解(3)解f ［x (x －21)］＜21,即f ［x (x －21)］＜f (0).415121041510)21(1)21(1+<<<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<-∴x x x x x x 或6 证明对f (x )+f (y )=f (xyy x ++1)中的x ,y ,令x =y =0,得f (0)=0,再令y =－x ,又得f (x )+f (－x )=f (0)=0,即f (－x )=－f (x ), ∴f (x )在x ∈(－1,1)上是奇函数设－1＜x 1＜x 2＜0,则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=f (21211x x x x --),∵－1＜x 1＜x 2＜0,∴x 1－x 2＜0,1－x 1x 2>0 ∴21211x x x x --＜0,于是由②知f (21211x x x x --) >0,从而f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 故f (x )在x ∈(－1,0)上是单调递减函数根据奇函数的图像关于原点对称，知f (x )在x ∈(0,1)上仍是递减函数，且f (x )＜02111(1)(2)()[][]31(1)(2)11(1)(2)n n f f f n n n n n n ++==++++--++111112()()()1112112n n f f f n n n n -++==-++-⋅++2111()()()51131f f f n n ∴+++++11111111[()()][()()][()()]()(),23341222f f f f f f f f n n n =-+-++-=-+++ 1101,()0,22f n n <<<++ 时有111()()(),.222f f f n ∴->+故原结论成立7 解 (1)因污水处理水池的长为x 米，则宽为x200米，总造价y =400(2x +2×x200)+248×x200×2+80×200=800(x +x324)+1600,由题设条件⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<162000,160x x 解得12 5≤x ≤16,即函数定义域为［12 5，16］(2)先研究函数y =f (x )=800(x +x324)+16000在［12 5,16］上的单调性，对于任意的x 1,x 2∈［12 5,16］,不妨设x 1＜x 2,则f (x 2)－f (x 1)=800［(x 2－x 1)+324(1211x x -)］=800(x 2－x 1)(1－21324x x ),∵12 5≤x 1≤x 2≤16∴0＜x 1x 2＜162＜324,∴21324x x >1,即1－21324x x ＜0又x 2－x 1>0,∴f (x 2)－f (x 1)＜0,即f (x 2)＜f (x 1), 故函数y =f (x )在［12 5,16］上是减函数∴当x =16时，y 取得最小值，此时，y min =800(16+16324)+16000=45000(元)，16200200=x =12 5(米）综上，当污水处理池的长为16米，宽为12 5米时，总造价最低，最低为45000元8 解 ∵f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞,0)上也是增函数又f (1)=0,∴f (－1)=－f (1)=0,从而，当f (x )＜0时，有x ＜－1或0＜x ＜1,则集合N ={m |f ［g (θ)］＜θ＝}={m |g (θ)＜－1或0＜g (θ)＜1}, ∴M ∩N ={m |g (θ)＜－1}］,由g(θ)＜－1,得cos2θ>m(cosθ－2)+2,θ∈［0,2令x=cosθ,x∈［0,1］得x2>m(x－2)+2,x∈［0,1］，令①y1=x2,x∈［0,1］及②y2=m(m－2)+2,显然①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由x∈［0,1］得y1>y2∴m>4－22,故M∩N={m|m>4－22}课前后备注12、题目高中数学复习专题讲座讲座：等差数列、等比数列性质的灵活运用高考要求等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视高考中也一直重点考查这部分内容重难点归纳1等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用2在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形3“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=412-x (x <－2)(1)求f (x )的反函数f -－1(x ); (2)设a 1=1,11+n a =－f －-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由命题意图本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力知识依托本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题错解分析本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解 (1)设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +,即y =f －-1(x )=－214y +(x >0)(2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n , 设g (n )=1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m 成立例2设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命题意图本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力知识依托本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解错解分析题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方技巧与方法突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3=(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大解法二接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0, ∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大例3 等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________解法一将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得11(1)3022(21)21002m m ma d m m ma d -⎧+= ⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩　① ②2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S mm a m d m 解得解法二由]2)13([32)13(33113d m a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m ［a 1+2)13(d m -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210解法三由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210解法四S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m=S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md ) =S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d由解法一知d =240m ,代入得S 3m =210解法五根据等差数列性质知 S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有 2(S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210 解法六 ∵S n =na 1+2)1(-n n d ,∴nS n =a 1+2)1(-n n d∴点(n , nS n )是直线y =2)1(d x -+a 1上的一串点，由三点(m ,m S m ),(2m , m S m 22),(3m , mS m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m －S m )=210解法七令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案 210学生巩固练习1 等比数列{a n }的首项a 1=－1,前n 项和为S n ,若3231510=S S ，则lim ∞→n S n 等于( )32B. 32A.- C 2 D －22 已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是_________3 等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________4 已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则yc x a +=_________5 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由6 已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列a 1b ,a 2b ,…,a nb ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记T n =C 1n b 1+C 2n b 2+C 3n b 3+…+C nn b n ,求nn nn bT +∞→4lim7 设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,分别求出{a n }及{b n }的前n 项和S 10及T 108 {a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *)(1)求证当k 取不同自然数时，此方程有公共根；(2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…, 求证数列11,,11,1121+++n x x x 为等差数列参考答案:1 解析利用等比数列和的性质依题意，3231510=S S ，而a 1=－1,故q ≠1,∴3213232315510-=-=-S S S , 根据等比数列性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列，且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =21∴.321lim 1-=-=∞→q a S n n 答案 B2 解析解出a 、b ,解对数不等式即可答案 (－∞,8)3 解析利用S 奇/S 偶=nn 1+得解答案第11项a 11=294 解法一赋值法解法二 b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),y c x a + =)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xy cx ay ++++=+=2 答案 25 (1)解依题意有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+==+=021*********1212,12211311213d a S d a S d a a 解之得公差d 的取值范围为－724＜d ＜－3(2)解法一由d ＜0可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13,因此，在S 1，S 2，…，S 12中S k为最大值的条件为 a k ≥0且a k +1＜0,即⎩⎨⎧<-+≥-+0)2(0)3(33d k a d k a∵a 3=12,∴⎩⎨⎧-<-≥122123d kd d kd ，∵d ＜0,∴2－d 12＜k ≤3－d 12∵－724＜d ＜－3,∴27＜－d12＜4,得5 5＜k ＜7因为k 是正整数，所以k =6,即在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大解法二由d ＜0得a 1>a 2>…>a 12>a 13，若在1≤k ≤12中有自然数k ,使得a k ≥0,且a k +1＜0, 则S k 是S 1，S 2，…，S 12中的最大值由等差数列性质得，当m 、n 、p 、q ∈N *,且m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q 所以有2a 7=a 1+a 13=132S 13＜0, ∴a 7＜0,a 7+a 6=a 1+a 12=61S 12>0,∴a 6≥－a 7>0, 故在S 1，S 2，…，S 12中S 6最大解法三依题意得 )(2)212()1(221n n d d n d n n na S n -+-=-+=222)]245(21[,0,)245(8)]245(21[2dn d d d d n d --∴<----= 最小时，S n 最大； ∵－724＜d ＜－3,∴6＜21(5－d24)＜6 5从而，在正整数中，当n =6时，［n －21 (5－d24)］2最小，所以S 6最大点评该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值S k ,1≤k ≤12,思路之一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k +1＜0，思路之三是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法可求解它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解6 解 (1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2,∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{nb a }的公比q =11154a d a a a +==3,∴nb a =a 1·3n －1 ①又nb a =a 1+(b n －1)d =121a b n + ②由①②得a 1·3n －1=21+n b ·a 1 ∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n －1－1(2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C nn b n=C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31－1)+…+C n n (2·3n －1－1) =32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C n n )=32［(1+3)n －1］－(2n －1)= 32·4n －2n +31,.32)41()43(211)41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n b T 7 解 ∵{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，∴a 2+a 4=2a 3,b 2·b 4=b 32,已知a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,∴b 3=2a 3,a 3=b 32, 得b 3=2b 32,∵b 3≠0,∴b 3=21,a 31由a 1=1,a 3=41，知{a n }的公差d =－83,∴S 10=10a 1+2910⨯d =855由b 1=1,b 3=21,知{b n }的公比q =22或q =－22,).22(32311)1(,22);22(32311)1(,221011010110-=--=-=+=--==q q b T q q q b T q 时当时当8 证明 (1）∵{a n }是等差数列，∴2a k +1=a k +a k +2,故方程a k x 2+2a k +1x +a k +2=0可变为(a k x +a k +2)(x +1)=0, ∴当k 取不同自然数时，原方程有一个公共根－1(2）原方程不同的根为x k =kk k k k a da d a a a 2122--=+-=-+1,12k k a x d∴=-+ 111111()()1122222k k k k k k a a a a d x x d d d d +++---=---===-++常数11{}.12k x ∴-+是以为公差的等差数列课前后备注13、题目高中数学复习专题讲座：数列的通项公式与求和的常用方法高考要求数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法重难点归纳1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性2 数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式 a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3 求通项常用方法①作新数列法作等差数列与等比数列②累差叠加法最基本形式是a n =(a n －a n －1+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1③归纳、猜想法4 数列前n 项和常用求法①重要公式 1+2+…+n =21n (n +1)12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1)13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)2②等差数列中S m +n =S m +S n +mnd ，等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n③裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项应掌握以下常见的裂项1111,!(1)!!,ctg ctg2,(1)1sin 2n n n n ααn n n n α=-⋅=+-=-++ 11111C C C ,(1)!!(1)!n r r n n n n n n -+=-=-++等 ④错项相消法⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法典型题例示范讲解例1已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，都有nn c c b c b c +++ 2111=a n +1成立，求lim∞→n nn S S 212+命题意图本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力知识依托本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n 项和，实质上是该数列前n 项和与数列{a n }的关系，借助通项与前n 项和的关系求解c n 是该条件转化的突破口错解分析本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a 1、b 1、d 、q ，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键技巧与方法本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{d n }运用和与通项的关系求出d n ，丝丝入扣解 (1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2， ∴2213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 (2)令nnb c =d n ，则d 1+d 2+…+d n =a n +1,(n ∈N *),∴d n =a n +1－a n =2, ∴nn b c =2,即c n =2·b n =8·(－2)n －1；∴S n =38［1－(－2)n ］∴2lim ,1)21(2)21()2(1)2(121222212212-=--+-=----=+∞→++n n n n n nn n n S SS S例2设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23 (a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3;(1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;(3)设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和；D n 为数列{d n }的前n 项和，T n =B r －D n ，求lim∞→n 4)(n na T命题意图本题考查数列的通项公式及前n 项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力知识依托利用项与和的关系求a n 是本题的先决；(2)问中探寻{a n }与{b n }的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点错解分析待证通项d n =32n +1与a n 的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r 与n 的关系，使T n 中既含有n ，又含有r ，会使所求的极限模糊不清技巧与方法 (1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n 与r 的关系，正确表示B r ，问题便可迎刃而解解 (1)由A n =23(a n －1)，可知A n +1=23(a n +1－1)，∴a n +1－a n =23 (a n +1－a n )，即nn a a 1+=3，而a 1=A 1=23 (a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n=3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 122-n n·4·(－1)+(－1)2n ］=4n +3， ∴32n +1∈{b n }而数32n =(4－1)2n=42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n(3)由32n +1=4·r +3，可知r =43312-+n ，∴B r =)19(827)91(9127,273433)52(2)347(1212-=-⋅-=+⋅-=+=++++n n n n n D r r r r ， 89)(lim ,3)(,433811389)19(827821349444241212=∴=+⋅-⋅=---⋅+=-=∴∞→++n n n n n n n nn n n r n a T a D B T 例3 设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项(1)写出数列{a n }的前3项(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程) (3)令b n =)(2111+++n n n n a a a a (n ∈N *)，求lim ∞→n (b 1+b 2+b 3+…+b n －n ) 解析 (1)由题意，当n =1时，有11222S a =+，S 1=a 1，∴11222a a =+，解得a 1=2 当n =2时，有22222S a =+，S 2=a 1+a 2，将a 1=2代入，整理得(a 2－2)2=16，由a 2＞0，解得a 2=6当n =3时，有33222S a =+，S 3=a 1+a 2+a 3，将a 1=2，a 2=6代入，整理得(a 3－2)2=64，由a 3＞0，解得a 3=10故该数列的前3项为2，6，10(2）解法一由(1）猜想数列{a n } 有通项公式a n =4n －2下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式是a n =4n －2，(n ∈N *）①当n =1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立②假设当n =k 时，结论成立，即有a k =4k －2，由题意，有kk S a 222=+，将a k =4k －2 代入上式，解得2k =kS 2，得S k =2k 2，由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1，将S k =2k 2代入得(221++k a )2=2(a k +1+2k 2)，整理得a k +12－4a k +1+4－16k 2=0，由a k +1＞0，解得a k +1=2+4k ，所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2，即当n =k +1时，上述结论成立根据①②，上述结论对所有的自然数n ∈N *成立解法二由题意知nn S a 222=+，(n ∈N *) 整理得，S n =81(a n +2)2,由此得S n +1=81(a n +1+2)2，∴a n +1=S n +1－S n =81［(a n +1+2)2－(a n +2)2］整理得(a n +1+a n ）(a n +1－a n －4)=0，由题意知a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4，即数列{a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)，即通项公式为a n =4n －2解法三由已知得nn S a 222=+,(n ∈N *) ①，所以有11222++=+n n S a ②，由②式得11222++=+-n n n S S S ，整理得S n +1－22·1+n S +2－S n =0，解得nn S S ±=+21，由于数列{a n }为正项数列，而2,211>+∴=+n n S S S ，因而nn S S +=+21，即{S n }是以21=S 为首项，以2为公差的等差数列所以nS = 2+(n －1) 2=2n ,S n =2n2，故a n =⎩⎨⎧≥-=-=-)2(,24)1(,21n n S S n n n即a n =4n －2(n ∈N *)(3)令c n =b n －1，则c n =)2(2111-+++n n n n a aa a 1212111[(1)(1)],221212121n n n n n n +-=-+-=--+-+ 1212n n b b b n c c c +++-=+++111111(1)()()1,335212121n n n =-+-++-=--++121()(1) 1.lim lim 21n n n b b b n n →∞→∞∴+++-=-=+ 学生巩固练习1 设z n =(21i -)n ，(n ∈N *)，记S n =｜z 2－z 1｜+｜z 3－z 2｜+…+｜z n +1－z n ｜，则lim ∞→n S n =_________2 作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________3 数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0，又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由4 数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ; (3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由5 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =(m +1)－ma n 对任意正整数n 都成立，其中m 为常数，且m ＜－1(1)求证 {a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q =f (m )，数列{b n }满足 b 1=31a 1,b n =f (b n －1)(n ≥2,n∈N *) 试问当m 为何值时，)(3lim )lg (lim 13221n n n n n n b b b b b b a b -∞→∞→+++=⋅ 成立？6 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145(1)求数列{b n }的通项b n ； (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论7 设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式 3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4…)(1)求证数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1=1,b n =f (11-n b )(n =2,3,4…)，求数列{b n }的通项b n ；(3)求和 b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1参考答案,)22(|)21()21(|||:.1111+++=---=-=n n n n n n i i z z c 设解析 22)22(1221])22(1[2121--=--=+++=∴nn n n c c c S221222221lim +=+=-=∴∞→n n S答案 1+222 解析由题意所有正三角形的边长构成等比数列{a n }，可得a n =12-n a ，正三角形的内切圆构成等比数列{r n }，可得r n =12163-n a ,∴这些圆的周长之和c =lim ∞→n 2π(r 1+r 2+…+r n )=233πa 2，面积之和S =lim ∞→n π(n 2+r 22+…+r n 2)=9πa 2答案周长之和233πa ，面积之和9πa 23 解 (1）可解得11+=+n na a n n ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ，(2)T n =2n +n －1(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1可用数学归纳法证明(略）4 解 (1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }成等差数列，d =1414--a a =－2,∴a n =10－2n(2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ，当n ＞5时，S n =n 2－9n +40，故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-540951 922n n n n n n (3)b n =)111(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n)1(2)]111()3121()211[(2121+=+-++-+-=+++=∴n nn n b b b T n n ；要使T n ＞32m 总成立，需32m ＜T 1=41成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为75 解 (1）由已知S n +1=(m +1)－ma n +1 ①， S n =(m +1)－ma n ②,由①－②，得a n +1=ma n －ma n +1，即(m +1)a n +1=ma n 对任意正整数n 都成立∵m 为常数，且m ＜－1 ∴11+=+m ma a n n ，即{1+n n a a }为等比数列(2)当n =1时，a 1=m +1－ma 1，∴a 1=1，从而b 131由(1)知q =f (m )=1+m m，∴b n =f (b n －1)=111+--n n b b (n ∈N *,且n ≥2)∴1111-+=n n b b ，即1111=--n n b b ， ∴{nb 1}为等差数列 ∴nb 1=3+(n －1)=n +2，21+=∴n b n (n ∈N *) 11(),(lg )[lg ]lg ,lim lim 1211n n n n n n m n m m a b a m n m m -→∞→∞-=∴⋅==++++122311111113()3()1lim lim 344512n n n n b b b b b b n n -→∞→∞+++=-+-++-=++ 而lg 1,10,119m m m m m =∴=∴=++由题意知6 解 (1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1452)110(1010111d b b 解得b 1=1,d =3,∴b n =3n －2(2)由b n =3n －2,知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41) (1)231-n )］，31log a b n +1=log 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较(1+1)(1+41) (1)231-n )与313+n 的大小，取n =1时，有(1+1)＞3113+⋅ 取n =2时，有(1+1)(1+41)＞3123+⋅…由此推测(1+1)(1+41) (1)231-n )＞313+n ①若①式成立，则由对数函数性质可判定当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1， ②当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1， ③下面用数学归纳法证明①式(ⅰ)当n =1时，已验证①式成立(ⅱ)假设当n =k 时(k ≥1），①式成立，即313)2311()411)(11(+>-+++k k那么当n =k +1时，1111(11)(1)(1)(1))2).4323(1)23131k k k k k ++++>+=+-+-++2940,2)(31)31k k k k +=>∴+>=++111(11)(1)(1)(1)43231k k ++++>-+ 因而这就是说①式当n =k +1时也成立由(ⅰ）(ⅱ）可知①式对任何正整数n 都成立由此证得当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1；当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +17 解 (1)由S 1=a 1=1,S 2=1+a 2，得3t (1+a 2)－(2t +3)=3t∴a 2=tt a a tt 332,33212++又3tS n －(2t +3)S n －1=3t ， ① 3tS n －1－(2t +3)S n －2=3t ② ①－②得3ta n －(2t +3)a n －1=0∴tt a a n n 3321+=-,n =2,3,4…, 所以{a n }是一个首项为1公比为tt 332+的等比数列；(2)由f (t )= tt 332+=t132+,得b n =f (11-n b )=32+b n －1可见{b n }是一个首项为1，公差为32的等差数列于是b n =1+32(n －1)=312+n ;(3)由b n =312+n ,可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和35，公差均为34的等差数列，于是b 2n =314+n ,∴b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 =b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n －1－b 2n +1)=－34 (b 2+b 4+…+b 2n )=－34·21n (35+314 n )=－94 (2n 2+3n )课前后备注14、题目高中数学复习专题讲座：构建数学模型解数列综合题和应用性问题高考要求纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度重难点归纳1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题2 纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关(1)事理关需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力。

山东高考研讨会：2010年山东高考数学专题复习(田明泉)

C．在 t 0 时刻，两车的位置相同
D． t 0 时刻后，乙车在甲车前面
三次函数图像
（安徽理6文8）设的图像可能是
学科网
a ＜b,函数 y ( x a)2 ( x b)
三次函数性质应用
1 3 f ( x) ax bx 2 x 3 ，其中文（21）已知函数 3 a0
6 4 6 x x2 2 ( x 0，)
的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线 C .若对于每一个旋转角都是一个函数的图像，则
(0 )
，曲线 C
的最大值为__________.
分段函数与合情推理
09山东理（10）定义在R上的函数f(x)满足
log 2 (1 x), x 0 ，则f(2009)的值为 f ( x) f ( x 1) f ( x 2), x 0 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2
集合与函数的概念
2, 理文（1）集合 A {0， a}, B {1, a2} ，若
A B {0,1, 2, 4,16}，则a的值为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
（广东理３）若函数 y f ( x) 是函数 y a x (a 0, 且a 1) 的反函数，其图像经过点 ( a , a) ，则 f ( x) Ａ． log2 x Ｂ． log 1 x Ｃ．
• 解题链长
• 如文科错项求和、理科数归法等
• 思维陷阱
• 如文理（11）几何概型等
值得商榷的几个问题
• 文理（15）的循环结构 • 个别试题的排列顺序——理（8）（9）对应文（7）（5） • 文理科部分对应试题难度——（17）（22） • 个别的概念 • 个别试题答案——文科导数、解析几何 • 部分试题（题眼）取材——抽象函数

高三数学专题讲座复习

2010年高考数学复习讲座——导数在函数解题中的应用应用导数求解函数的相关问题，已成为当今高考的必考内容，这类考题在试卷中所占分数比例也随着教育的发展其分值也不断增大，仅全国卷（Ⅰ）卷中，用导数解函数问题的考题有三道，共有分数29分，约占全试卷分数的20%，有关专家认为：由于导数在工农业生产中的广泛应用，已成为大学各专业课程的不可缺少的基础课内容，所以今后的高考也将作为学生必须加强的考试内容。

为了让2009届考生能成功地应对该知识点的考试，我们特成本稿供同学们参考。

根据2009年的考试大纲，我们预计湖南卷利用导数的考题将会在15%—20%之间，其考题难度可能与09年持平，综合2008年或者2009年理二科试卷，各省市命题点可能落在利用导数讨论函数的单调区间和求参变量的取值范围、求函数参变量的值与在反指定区间内的极值、利用导数法解函数证明题与应用题、利用导数法求解解析几何问题等七种题型上。

现在我们来依一举例说明。

一、利用导数讨论函数的单调区间和求参变量的取值范围、这类题型是2008年命题概率最大的一类，讨论函数的单调区间的解题步骤通常有三步：首先是对函数求导、其次是求)(x f '＞0或)(x f '＜0的区间，再判断函数的增减性。

而求函数参变量的取值范围的解题方法是：想方设法利用求导法建立导函数不等式或不等式组来求解。

例1、全国理19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++333322--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a x∴当23a≤时，得 ()0f x '≥，()f x 在R 上递增而当23a >时，()0f x '=求得两根为x =即()f x 在⎛-∞ ⎝⎭递增，⎝⎭递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增（2）又∵()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数， ∴2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∈33a a ⎛---+ ⎪⎝⎭，∴2313--，且23a >解得：74a ≥二、求函数参变量的值与在指定区间内的极值、求函数多元参变量的值的主体思路是根据已知条件直接得到参数之间的关系式或者利用导函数条件与图象性质得到特殊关系、然后得方程或方程组求解。

高三数学二轮复习讲座详稿

三角函数
考查特点：三年考题基本上是两小一大，小题大都以考查基本公式、
基本性质为主.如：图像及图像变换、七条性质及简单的三角变换；
解答题主要以三角形为载体，综合考察三角函数的基本性质和有关
公式的恒等变换以及用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题.此类题目涉及知识点较多，综合性较强，考查能力比较全面，是高考三题考察的热点题型.
排列组合概率统计
总
一、对07年、08年、09年高考数学试卷的分析
六大主干知识总分值大约在130-140分之间，各部分知识三年分值变化不大，还有一部分知识三年考察的题型
都没发生变化，例如三角函数解答题三年文理考查的都是
三角形中的三角函数问题，立体几何三年文理考查的都是比较特殊的四棱锥. 启示：教学中必须加大这六大知识模块的专题讲解,并且要针对高考考查的方向去训练.千万别盲目的训练，浪费
以下几点：
（1）熟练理解和掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础. （2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元
二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，这是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.一定把握好三个“ 二次”之间的相互转化.
二、如何搞好2010年高考的二轮复习
二、如何搞好2010年高考的二轮复习
复习提示：三角函数的基本公式、图象与性质、特殊角的三角函数等基本知识应烂熟于心. 要加强三角函数恒等变换的训练，注重解三角形等三角综合应用.
高考预测：2010年高考估计仍然会有2至3到小题主要考查化简
求值或图像变换、解三角形、恒等变换，很有可能和其他知识综合考查；解答题依然可能以正、余弦定理为知识框架，以三角形为依托进行考查；但考查三角函数的图像与性质可能性更大，另外也有可能结合实际问题考查正、余弦定理.

高考数学专题讲座(四)

2008年高考数学专题讲座（四）——化归与转化谢金怀（浙江省上虞市上虞中学 312300）解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。

化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。

一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。

数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

转化有等价转化和非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

在不得已的情况下，进行非等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证,它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

我们结合几个例子来谈谈化归与转化的思想方法在解题中的重要作用。

例1．设集合22{(,)|1|}M x y x y x R y R =+=∈∈，，，N x y x y x R y R =-=∈∈{(,)||}20，，，则集合M N 中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4（2）设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A B I ⊆⊆，则下列各式中错误的是（） A C A B IB C A C B I C A C B D C A C B C B I I I I I I I .().()().().()() ====φ解析：（1）将集合M N 中元素个数的符号语言转化为与之等价的文字语言：圆x y 221+=与抛物线x y 20-=交点的个数。

江苏省南京市2010届高三数学二轮复习专题讲座—解析几何

圆锥曲线与方程：《说明》中给出了 3 个小节，仅对“椭圆的标准方程和几何性质（中心在坐标原点）”给出了 B 级要求，而“双曲线的标准方程和几何性质（中心在坐标原点）”“抛物线的标准方程和几何性质（中心在坐标原点） ”只是 A 级要求，因此对圆锥曲线考查大大降低了难度；以前考的最多的“直线与圆锥曲线的关系”被删去了．
2
推广到一般：动点到两个定点的距离之比为常数（不等于 1），则这个动点的轨迹是“圆”。这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹”。

近几年来，阿波罗尼斯圆在高考中是一个亮点，请欣赏：（1）2005 年高考数学江苏卷。 ⊙O1 与⊙O2 的半径都是 1，O1O2＝4，过动点 P 分别作 ⊙O1 与 ⊙O2 的切线 PM、 PN （M、分别是切点）使得 PM N ，＝ 2PN，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程。
O N E F Hx y M
（2）思路一：(最基本的思路)设点 M 坐标为（2， y0），则以 OM 为直径的圆方程为(x y0 －1) ＋(y－y0) ＝1＋．直线 OM 4 y0 的斜率为，因为 F (1，0)，所以 2 2 FN 方程为 y＝－ (x－1)．由直线方 y0
2 2 2
y N E O F
2. 提升课本——适度拓展
例课本（必修 2）习题（第 100 页第 10 题，探究· 拓展）：已知点 M（x，y）与两个定点 O（0，0）， 1 A（3，0）的距离之比为，那么点 M 的 2 坐标应满足什么关系？画出满足条件的点 M 所形成的曲线。
可求得点 M 的坐标应满足什么关系是： x 2 2 2 ＋y ＋2x＝3，即(x＋1) ＋y ＝4.它所形成的曲线是：以（－1，0）为圆心，2 为半径的圆。

题目高中数学复习专题讲座

题目高中数学复习专题讲座处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法（1）高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样特别是两性质的应用更加突出本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识重难点归纳(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一复合函数的奇偶性、单调性问题的解决关键在于既把握复合过程，又掌握基本函数(2)加强逆向思维、数形统一正反结合解决基本应用题目(3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力(4)应用问题在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决特别是往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题典型题例示范讲解例1已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值命题意图本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力知识依托主要依据函数的性质去解决问题错解分析题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域技巧与方法借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x 的不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值解由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得且x ≠0,故0<x <6,又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6},∴B =A ∪{x |1≤x ≤5}={x |1≤x <6},又g (x )=－3x 2+3x －4=－3(x －21)2－413知g (x )在B 上为减函数， ∴g (x )max =g (1)=－4例2已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m ,使f (cos2θ－3)+f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有θ∈［0,2π］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由命题意图本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力知识依托主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题错解分析考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法技巧与方法主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题解 ∵f (x )是R 上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f (x )是R 上的增函数于是不等式可等价地转化为f (cos2θ－3)>f (2m cos θ－4m ),即cos2θ－3>2m cos θ－4m ,即cos 2θ－m cos θ+2m －2>0设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t )=t 2－mt +2m －2=(t －2m )2－42m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g (t )在［0，1］上的最小值为正 ∴当2m <0,即m <0时，g (0)=2m －2>0⇒m >1与m <0不符；当0≤2m ≤1时，即0≤m ≤2时，g (m )=－42m +2m －2>0⇒4－22<m <4+22,4－22<m ≤2 当2m >1,即m >2时，g (1)=m －1>0⇒m >1 ∴m >2综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m >4－2另法(仅限当m 能够解出的情况) cos 2θ－m cos θ+2m －2>0对于θ∈［0,2π］恒成立，等价于m >(2－cos 2θ)/(2－cos θ) 对于θ∈［0,2π］恒成立∵当θ∈［0,2π］时，(2－cos 2θ)/(2－cos θ) ≤4－22，∴m >4－例3 已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0 解 ∵f (2)=0,∴原不等式可化为f ［log 2(x 2+5x +4)］≥f (2)又∵f (x )为偶函数，且f (x )在(0，+∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞,0）上为减函数且f (－2)=f (2)=0∴不等式可化为 log 2(x 2+5x +4)≥2 ①或 log 2(x 2+5x +4)≤－2 ②由①得x 2+5x +4≥4，∴x ≤－5或x ≥0 ③ 由②得0＜x 2+5x +4≤41得 2105--≤x ＜－4或－1＜x ≤2105+- ④ 由③④得原不等式的解集为{x |x ≤－5或2105--≤x ≤－4或－1＜x ≤2105+-或x ≥0} 学生巩固练习1 设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7 5)等于( ) A 0 5 B －0 5 C 1 5 D －1 52 已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,a 的取值范围是( ) A (22，3) B (3，10) C (22，4) D (－2，3)3 若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________4 如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系_________5 已知f (x )是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f (x )在(－∞,0)上的增减性并加以证明6 已知f (x )=xx a 2112+-⋅ (a ∈R )是R 上的奇函数， (1)求a 的值；(2)求f (x )的反函数f －1(x );(3)对任意给定的k ∈R +,解不等式f －1(x x +1 7 定义在(－∞,4］上的减函数f (x )满足f (m －sin x )≤f (m 21+－47+cos 2x )对任意x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围 8 已知函数y =f (x )=cbx ax ++12 (a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f 5 (1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由参考答案:1 解析 f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)=f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5答案 B 2 解析 ∵f (x )是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0∴f (a －3)＜f (a 2－9)∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ∴a ∈(22,3) 答案 A 3 解析由题意可知 xf (x )＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或 ∴x ∈(－3,0)∪(0,3) 答案 (－3，0）∪(0，3） 4 解析 ∵f (x )为R 上的奇函数∴f (31)=－f (－31),f (32)=－f (－32),f (1)=－f (－1), 又f (x )在(－1，0)上是增函数且－31>－32>－1 ∴f (－31)>f (－32)>f (－1),∴f (31)＜f (32)＜f (1) 答案 f (31)＜f (32)＜f (1) 5 解函数f (x )在(－∞,0）上是增函数，设x 1＜x 2＜0,因为f (x )是偶函数，所以f (－x 1)=f (x 1),f (－x 2)=f (x 2),由假设可知－x 1>－x 2>0,又已知f (x )(0，+∞)上是减函数，于是有f (－x 1)＜f (－x 2),即f (x 1)＜f (x 2),由此可知，函数f (x )在(－∞,0)上是增函数 6 解 (1）a =1(2)f (x )=1212+-x x (x ∈R )⇒f －-1(x )=log 2xx -+11 (－1＜x ＜1) (3)由log 2x x -+11>log 2kx +1⇒log 2(1－x )＜log 2k , ∴当0＜k ＜2时，不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1};当k ≥2时，不等式解集为{x |－1＜x ＜1} 7解222sin 44sin 7cos 474sin sin 147sin cos 4m x m x x m x x m x x ⎧⎪-≤-≤⎧⎪+≤⎨≥-++⎪⎩⎪-+⎪⎩即，对x ∈R 恒成立,⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤∴21233m m m 或 ∴m ∈［23,3］∪{21} 8 解 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )=－f (x ),即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴f (x )=bx x b a bx ax 112+=+≥22ba ，当且仅当x =a 1时等号成立，于是22ba =2,∴a =b 2, 由f (1)＜25得ba 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2，又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴f (x )=x 1 (2)设存在一点(x 0,y 0)在y =f (x )的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x 0,－y 0)也在y =f (x )图象上，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1y x x y x x 消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1∴y =f (x )图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称。