2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：2.2.1综合法和分析法
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2．2.1综合法和分析法
[目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法的思考过程、特点.2.会用综合法和分析法证明数学问题．
[重点] 综合法与分析法的逻辑思维过程与逻辑思维方法．
[难点] 综合法与分析法的应用．
知识点一综合法
[填一填]
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
[答一答]
1．综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的充分条件还是必要条件？
提示：是必要条件，由综合法的特点，它的每一步推证都是由“已知”推出“新结论”，直至要证的结论．其实质是命题“p⇒q”中已
知p寻找q，即是寻找必要条件．
2．综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
提示：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．
知识点二分析法
[填一填]
1．分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
2．分析法的思维过程
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
[答一答]
3．(1)分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
(2)分析法中每一步寻找的是充分条件还是必要条件？为什么？
提示：(1)分析法的推理过程属于演绎推理，这是因为在分析法的推理过程中，每一步推理都是严密的逻辑推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．
(2)分析法每一步寻找的都是充分条件而不是必要条件，分析法的证明过程常采用“欲证Q只需证P”的形式表示，亦即只要P成立，就一定有Q成立，因此P是Q的充分条件，当然P是Q的充分必要
条件时也可以．
综合法和分析法的关系
分析法和综合法是统一的，不能把分析法和综合法孤立起来使用，分析和综合相辅相成，有时先分析后综合，有时先综合后分析，有时分析找思路，综合写解答．
类型一 综合法的应用
【例1】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .
(1)求证：A 的大小为60°；
(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．
【证明】 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，
得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，
∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，
∴2a 22R ＝(2b －c )·b 2R ＋(2c －b )·c 2R ，
即2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，
由余弦定理推证：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.
∴A ＝60°.
(2)由A ＝60°，∴B ＝120°－C ，
∵sin B ＋sin C ＝3，
∴sin(120°－C )＋sin C ＝3，
即sin120°cos C －cos120°sin C ＋sin C ＝3，
可得32cos C ＋32sin C ＝ 3.从而得3sin(30°＋C )＝3，
∴sin(30°＋C )＝1，
又0° ∴30°＋C ＝90°，∴C ＝60°. ∴B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形． 综合法从正确地选择已知或真实的命题出发，依次推出一系列的真实命题，最后达到我们所需要证明的结论.在运用综合法证明命题的时候，必须首先找到正确的出发点，也就是想到能从哪里起步.一般地，要广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层递进，步步为营，由已知逐渐地引导到结论. 如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( B ) A ．a 1a 8>a 4a 5