应用基本不等式求最值教案资料
高考基本不等式求最值教案
高考基本不等式求最值教案一、教学目标1.理解基本不等式的定义和性质。
2.熟练掌握常见的基本不等式及其证明方法。
3.学会灵活运用基本不等式求解最值的方法。
二、教学内容1.基本不等式的概念和性质。
2.常见的基本不等式及其证明方法。
3.利用基本不等式求解最值问题。
三、教学步骤第一步：导入新知1.通过举例子或是提问的方式，引发学生对不等式最值问题的思考。
2.提出问题：如何通过基础不等式求解最值问题？第二步：学习基本不等式的定义和性质1.讲解基本不等式的定义和性质。
2.写出常见的基本不等式的形式，并讲解其证明方法。
第三步：实例分析1.分析并讲解一些常见的基础不等式的实例。
2.引导学生思考如何通过基础不等式求解最值问题。
第四步：练习和巩固1.教师出示一些基础不等式的练习题，可以分组抢答或是个人作答。
2.针对不同的题型，提供不同的解题思路和方法。
第五步：拓展1.提供一些拓展题目，要求学生通过灵活运用基础不等式来求解最值问题。
2.鼓励学生多思考、多尝试，加强解题的技巧和策略。
第六步：总结与归纳1.和学生一起总结基本不等式的性质和求最值的方法。
2.强调对基础不等式的熟练掌握和灵活运用的重要性。
四、教学重难点1.教学重点：基本不等式的定义和性质。
2.教学难点：灵活运用基本不等式求解最值问题。
五、教学方法1.演示法：通过例子的演示，引导学生掌握基本不等式的性质和求解最值的方法。
2.提问法：通过提问的方式，激发学生的思考和解题的兴趣。
六、教学工具1.教学PPT。
2.黑板、粉笔。
七、教学评价1.教师可以通过观察学生的课堂表现和解题情况来进行评价。
2.学生可以通过课堂练习和作业完成情况来进行自我评价。
通过以上教学设计，学生可以在课堂上系统地学习和巩固基本不等式的概念、性质和求解最值的方法。
在教学过程中，充分发挥学生的主体性，通过提问和解题活动，激发学生的思考和兴趣，确保学生能够真正理解和掌握基本不等式的相关知识，并能够熟练运用解题技巧解决最值问题。
高中数学利用基本不等式求最值(一)教案
利用基本不等式求最值（一）【教学目标】知识与技能：2a b +≤≤会应用此不等式求某些函数的最值,理解“一正二定三取等”在解题中的应用，掌握一些简单的综合问题；过程与方法：结合具体问题，体会基本不等式的应用，并能在应用过程中发现和总结容易出现的错误，进而体会基本不等式与三角函数等知识的综合应用，真正理解和掌握基本不等式的应用条件；情感、态度与价值观：进一步提高反思和总结能力，体会解决数学问题过程中的严谨性和灵活性，培养学生的探究精神。
【教学重点】2a b +≤≤ 【教学难点】利用基本不等式求函数的最值【授课类型】：复习课【教学过程】一.知识回顾（1）基本不等式：22,,2()a b R a b ab a b ∈+≥=当且仅当时等号成立;,0,)a b a b a b >+≥=当且仅当时等号成立；如果b a ,)2a b a b +≤=当且仅当时等号成立 （2）基本不等式的常见变形和推广 ： ①2(,b a a b a b+≥同号） ② 2()4(,)a b ab a b R +≥∈ 二.基本不等式的简单应用形如(,b y ax a b x=+同号）例1 (1) 若0>x ,求9()4f x x x =+的最小值;（2）若0<x ,求9()4f x x x=+的最大值.变式题：（1）若2>x ，则421-+x x 的最小值为 _________（2的最小值为 _________（3）若2>x 则2332-+-x x x 的最小值为 _____ 若2<x 则2332-+-x x x 的最大值为 _____.总结：（12a b +≤≤取等（2）已知b a ,都是正数，则有：①如果积ab 是定值P ，那么当且仅当a b ==b a +有最小值p 2;②如果和b a +是定值S ，那么当且仅当2s a b ==时，积ab 有最大值24s （3）形如(,0b y ax a b x=+>）当0x y >≥=时，当且仅当x ；当0x y =<≤-当且仅当x 时，注意：等号取不到时就要利用双勾函数的单调性常值代换例2 （1）已知0,0>>y x 且281x y+=，求y x +的最小值； （2）若0,0>>y x 且22x y +=，求yx 21+的最小值. 变式题： （1）已知0,0>>y x 且082=-+xy y x ，求y x +的最小值；（2）已知)(2z k k x ∈≠π，求xx y 22cos 9sin 4+=的最小值. 总结：已知两个正数的倒数和为定值，求两个正数和的最值这类问题如果用常规的消元代换计算很是复杂，但是采用“1”的代换这个技巧，利用基本不等式大大降低了解题的难度，体现了基本不等式的价值。
基本不等式教学案
基本不等式赣榆县城头高级中学 刘家兴教学三维目标：1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值.2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程.3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.教学重点、难点：重点：基本不等式在解决最值问题中的应用.难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。
在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.一、基础梳理1、 基本不等式：如果a,b 是正数，a b 时取""=号 ）代数背景：如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思想得到基本不等式）几何背景：半径不小于半弦。
2、 常见变形： （1）ab 222a b + （2）222a b + 22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）b a a b+ 2（,a b 同号且不为零） 3、算术平均数与几何平均数如果a ，b 是正数，我们称 为a ，b 的算术平均数，称 的a ，b 几何平均数.4、利用基本不等式求最值问题（建构策略）问题：（1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式：已知0,0x y >>,则（1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当 时，和x +y 有最小值 ；（2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 .二、课前热身1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ）A. 22a b +B.C. 2abD. a b + 2、已知,,a b c 是实数，求证222a b c ab bc ac ++≥++ 3、.1,0)1(的最小值求若xx x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=⋅≥+x x x x 21的最小值是xx +∴ （2）2121,2=⋅≥+≥x x x x x 则 21,2的最小值是时xx x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+>a a a 三、课堂探究1、答疑解惑方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生掌握基本不等式的性质和应用。
2. 培养学生运用基本不等式求解最值问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新思维和合作精神。
二、教学内容1. 基本不等式的定义和性质。
2. 基本不等式在求最值问题中的应用。
3. 典型例题解析。
三、教学重点与难点1. 基本不等式的性质和推导。
2. 运用基本不等式求解最值问题的方法和技巧。
四、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段的不等式知识，引导学生回顾不等式的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 基本不等式的定义和性质：讲解基本不等式的定义，引导学生理解基本不等式的意义，并通过图形、实例等方式展示基本不等式的性质。
3. 基本不等式在求最值问题中的应用：讲解如何运用基本不等式解决最值问题，引导学生掌握解题思路和方法。
4. 典型例题解析：分析典型例题，引导学生运用基本不等式求解最值问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高运用基本不等式求解最值问题的能力。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对基本不等式定义和性质的理解。
2. 练习题：评估学生运用基本不等式求解最值问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在合作中的参与程度和创新思维。
教学课件和资料：1. 基本不等式的定义和性质PPT。
2. 基本不等式求最值问题案例PPT。
3. 典型例题解析PPT。
4. 课堂练习题PDF。
教学建议：1. 注重引导学生主动探究，培养学生的创新思维。
2. 加强课堂练习，及时巩固所学知识。
3. 鼓励学生参与小组讨论，提高合作能力。
4. 注重个体差异，给予每个学生充分的关注和指导。
六、教学策略1. 案例教学：通过具体案例的分析和讨论，使学生理解和掌握基本不等式的应用。
2. 问题驱动：设计一系列问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和动力。
3. 合作学习：组织学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
基本不等式求最值教案
【解析】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。
【例题4】注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。
【题干】求函数 的值域
【解析】令 ，则
因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。
解析：： a、b、c ， 。 。同理 ， 。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。当且仅当 时取等号。
【拔高】
已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。
解析：令 ，
。 ，
课程小结
基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难
下面将x， 分别看成两个因式：
x· ≤ ＝ ＝ 即x ＝ ·x ≤
，
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。
【例题2】凑系数
【题干】当 时，求 的最大值
【解析】由 知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即可。
当 ，即x＝2时取等号当x＝2时， 的最大值为8。
【例题3】分离
例1、设 求函数 的最大值.
例2、
变式1：将条件改为
变式2：去掉条件
变式3：将条件改为
例3、若正数 .
变式：求 的取值范围.
例4、已知 求 的最小值.
变式：已知 若 恒成立，求实数 的取值范围.
《基本不等式与最大值》 教学设计
《基本不等式与最大值》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解基本不等式的定义和形式。
掌握运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、过程与方法目标通过推导和证明基本不等式，培养学生的逻辑推理能力。
引导学生运用基本不等式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3、情感态度与价值观目标让学生在数学学习中体验成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心。
培养学生严谨的思维习惯和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点基本不等式的推导和证明。
运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、教学难点理解基本不等式中等号成立的条件。
运用基本不等式解决实际问题时条件的判断和转化。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示一些实际生活中的优化问题，如面积一定的矩形，怎样围周长最小；周长一定的矩形，怎样围面积最大等，引发学生的思考和兴趣，从而引出本节课的主题——基本不等式与最大值。
2、讲解基本不等式推导基本不等式：对于任意两个正实数 a，b，有\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
通过几何方法和代数方法进行推导，让学生理解其本质。
解释不等式的含义：让学生理解\（＼frac{a ＋ b}｛2}＼）表示的是 a，b 的算术平均数，＼（＼sqrt{ab}＼）表示的是 a，b 的几何平均数，并通过具体的数值例子加深理解。
3、探究基本不等式的应用求最值问题：给出一些简单的求最值问题，如求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（x ＞0）的最小值，引导学生运用基本不等式求解，并强调等号成立的条件。
条件判断：通过一些错误的运用案例，让学生讨论并指出错误的原因，强调运用基本不等式求最值时，一正、二定、三相等的条件缺一不可。
4、小组讨论与练习小组讨论：给出一些较为复杂的实际问题，如某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，容积为 4800m³，深为 3m，如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？让学生分组讨论，运用基本不等式解决问题。
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料第一章：基本不等式概念及性质1.1 基本不等式的定义介绍基本不等式的概念，例如算术平均数不小于几何平均数（AM-GM不等式）通过具体例子让学生理解基本不等式的含义和应用1.2 基本不等式的性质讲解基本不等式的性质，如对称性、可加性、可乘性等通过示例展示基本不等式的性质在解决问题中的应用第二章：一元二次不等式的解法2.1 一元二次不等式的标准形式介绍一元二次不等式的标准形式，如ax^2 + bx + c > 0解释一元二次不等式的解与判别式的关系2.2 一元二次不等式的解法讲解一元二次不等式的解法，包括因式分解法、配方法、判别式法等通过例题展示一元二次不等式解法的应用第三章：分式不等式的解法3.1 分式不等式的定义介绍分式不等式的概念，如a/x > b 或者(ax + b)(cx + d) > 0解释分式不等式的解与分母、分子的关系3.2 分式不等式的解法讲解分式不等式的解法，包括通分法、交叉相乘法、不等式转换法等通过例题展示分式不等式解法的应用第四章：绝对值不等式的解法4.1 绝对值不等式的定义介绍绝对值不等式的概念，如|x| > a 或者|x b| ≤c解释绝对值不等式的解与绝对值的关系4.2 绝对值不等式的解法讲解绝对值不等式的解法，包括绝对值性质法、分段法、图像法等通过例题展示绝对值不等式解法的应用第五章：不等式的应用与拓展5.1 不等式的应用介绍不等式在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等通过具体例子展示不等式在解决问题中的应用5.2 不等式的拓展讲解不等式的拓展知识，如柯西不等式、赫尔德不等式等介绍不等式在高等数学中的应用和研究方向第六章：利用基本不等式求最值6.1 基本不等式求最值的基本步骤介绍利用基本不等式求最值的基本步骤：构造、变形、应用不等式通过具体例子让学生理解并掌握基本步骤6.2 基本不等式在求最值中的应用讲解基本不等式在求最值中的应用，如求函数的最值、求解不等式组的最解等通过例题展示基本不等式在求最值中的应用第七章：利用导数求最值7.1 导数与最值的关系介绍导数与最值的关系，如函数在某点取得最值的必要条件是导数为0解释利用导数求最值的基本思路和方法7.2 利用导数求最值的方法与步骤讲解利用导数求最值的方法与步骤，如求导数、找临界点、判断最值等通过例题展示利用导数求最值的方法与步骤第八章：利用函数性质求最值8.1 函数的单调性与最值介绍函数的单调性与最值的关系，如单调递增函数在定义域内取得最小值解释利用函数单调性求最值的基本思路和方法8.2 利用函数性质求最值的例子讲解利用函数性质求最值的例子，如利用函数的单调性、周期性、奇偶性等通过例题展示利用函数性质求最值的方法与步骤第九章：不等式求最值的综合应用9.1 不等式求最值的综合应用例子介绍不等式求最值的综合应用，如求解多元不等式组的最解、最值问题与实际问题的结合等通过具体例子展示不等式求最值的综合应用9.2 不等式求最值的综合应用技巧讲解不等式求最值的综合应用技巧，如合理运用不等式性质、转化思想等通过例题展示不等式求最值的综合应用技巧第十章：复习与拓展10.1 不等式求最值的复习通过练习题帮助学生巩固所学知识10.2 不等式求最值的拓展介绍不等式求最值的拓展知识，如不等式的推广、最值问题的研究现状等激发学生对不等式求最值问题的研究兴趣，引导学生进行深入探究重点和难点解析第六章：利用基本不等式求最值。
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生掌握基本不等式的性质和运用，能够运用基本不等式求解最值问题。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。
3. 通过对基本不等式的学习，激发学生对数学的兴趣和热情，培养学生的团队协作和表达能力。
二、教学内容1. 基本不等式的概念和性质。
2. 基本不等式的运用，求解最值问题。
3. 典型例题解析和练习。
三、教学重点与难点1. 重点：基本不等式的概念和性质，基本不等式的运用。
2. 难点：如何灵活运用基本不等式求解实际问题，解决最值问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解基本不等式的概念和性质，引导学生理解并掌握基本不等式的运用。
2. 采用案例分析法，分析典型例题，让学生通过实例学会解决最值问题。
3. 采用练习法，布置课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
1. 导入：通过生活中的实例，引入基本不等式的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解基本不等式的性质和运用，引导学生掌握基本不等式的求解方法。
3. 例题解析：分析典型例题，让学生通过实例学会解决最值问题。
4. 课堂练习：布置课堂练习，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调基本不等式的运用和解决实际问题的方法。
6. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，了解学生对基本不等式的理解和运用情况，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的问题。
2. 课后作业：布置与本节课内容相关的课后作业，要求学生在规定时间内完成，以检验学生对知识的掌握程度。
3. 学生互评：组织学生进行小组讨论，互相评价解题过程和结果，提高学生的团队协作和沟通能力。
七、教学反思1. 教师应在课后对课堂教学进行反思，总结教学过程中的优点和不足，不断优化教学方法，提高教学效果。
2. 学生应对自己的学习过程进行反思，找出自己在学习中的薄弱环节，调整学习方法，提高学习效率。
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
这次白话文为您整理了高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇），如果能帮助到您，小编的一切努力都是值得的。
高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值山东省泰安第一中学 许兴堂一、学习目标：1、理解利用基本不等式求最值的原理2、掌握利用基本不等式求最值的条件3、会用基本不等式解决简单的最值问题二、学习重点与难点：重点：运用基本不等式求最值难点：利用基本不等式求最值满足的条件三、学习方法：自主探究式 四、学习过程：1、探究一：极值定理问题1：(,)2a ba b R ++≤∈，已知2(0,0)x y x y ⋅=>>，你能求出x y + 的最小值吗？何时取小值？问题2：(,)2a ba b R ++≤∈，已知2(0,0)x y x y +=>>，你能求出x y ⋅的最大值吗？何时取大值？问题3：已知0,0x y >>（1）若x y ⋅是定值p ，求min ()x y +，等号何时成立？（2）若x y +是定值s ，求m ax ()x y ⋅，等号何时成立？问题4：你能由问题1—3得出一般结论吗？已知,x y R +∈则：（1）若积x y p ⋅=（定值），则和x y +有最小值当日仅当x y =时，取“=”号（2）若和x y s +=（定值），则积x y ⋅有最大值24s 当日仅当x y =时，取“=”号即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”。
自主练习1：①若0x >时，求1y x x =+的最小值.②若1x >，求11y x x =+-的最小值.③若01x <<，求(1)y x x =⋅-的最大值.2、探究二：利用基本不等式求最值满足的条件问题5：若0x <，求1y x x =+的最大值。
条件1：由问题5，你能总结出利用基本不等式求最值时字母必须满足什么条件？ 自主练习2：若0x <，求21x x y x++=的最大值。
问题6：①若2x >，求1252y x x =-+-的最小值。
②若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。
高考数学复习 利用基本不等式求最值学案
高考数学复习利用基本不等式求最值学案一、学习目标：1、理解利用基本不等式求最值的原理2、掌握利用基本不等式求最值的条件3、会用基本不等式解决简单的最值问题二、学习重点与难点：重点：运用基本不等式求最值难点：利用基本不等式求最值满足的条件三、学习方法：自主探究式四、学习过程：知识回顾：基本不等式基本不等式变形1、探究一：利用基本不等式求最值的原理问题1：已知，则有最值为当且仅当时，取“=”号问题2：已知，则有最值为当且仅当时，取“=”号问题3：已知则：（1）若积（定值），则和有最值为当且仅当时，取“=”号（2）若和（定值），则积有最值为当且仅当时，取“=”号即：“积定和最小；和定积最大”。
问题4：利用基本不等式求最值的条件：2、探究二：简单运用问题:5：若，求的最小值变式1：求的最小值自主练习1：①已知m>0, 求的最小值②求的最小值、问题6：若，求的最大值、变式1：若，求的最大值。
自主练习2：若，求的最小值问题7：若，求的最小值变式1：若，求的最大值。
变式2：若，求的最小值。
(作为课后思考题)自主练习3：若，求的最大值。
问题8：你能由问题5—7总结出利用基本不等式求最值必须满足的三个前提条件吗？4、探究四：收获和感想收获：1、用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；2、运用基本不等式求最值常用的变形方法有：（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入、感想：自主探究的“苦”与“乐”；数学思维的严密性与开放性。
5、探究五：自我反馈与矫正（1）求的最小值、(2)求的最大值、（3）求的最大值、6、探究六：课后思考与作业（1）已知，求的最小值、（2）求的最小值、 (3)已知，求函数的最大值，并求相应的值。
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生掌握基本不等式的性质和应用。
2. 培养学生运用基本不等式求解最值问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 基本不等式的概念及性质。
2. 基本不等式在求最值中的应用。
3. 典型例题解析。
三、教学过程1. 导入：回顾基本不等式的概念及性质。
2. 新课讲解：介绍基本不等式在求最值中的应用。
3. 典型例题解析：分析并解决实际问题。
4. 课堂练习：让学生独立解决一些最值问题。
5. 总结：回顾本节课所学内容，强调重点。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解基本不等式的性质和应用。
2. 运用案例分析法讲解典型例题。
3. 组织课堂练习，让学生参与互动。
4. 总结归纳法，帮助学生巩固知识。
五、教学评价1. 课堂练习的完成情况。
2. 学生对典型例题的理解和应用能力。
3. 学生对基本不等式求最值方法的掌握程度。
4. 学生对所学知识的总结和归纳能力。
教案设计注意事项：1. 注重基础知识的教学，让学生掌握基本不等式的性质。
2. 结合典型例题，引导学生运用基本不等式解决实际问题。
3. 注重培养学生的动手能力和思维能力，提高他们分析问题、解决问题的能力。
4. 鼓励学生提问、讨论，激发他们的学习兴趣。
5. 及时进行教学评价，了解学生掌握情况，调整教学方法。
六、教学资源1. PPT课件：包含基本不等式的性质、应用案例、典型例题等。
2. 练习题：涵盖不同难度的最值问题。
3. 教学视频：讲解基本不等式的证明和应用。
4. 教学素材：相关论文、书籍推荐。
七、教学环境1. 教室：多媒体设备、黑板、投影仪等。
2. 网络：确保教学资源的和分享。
3. 学生活动区：方便学生进行课堂练习和讨论。
八、教学策略1. 案例教学：通过分析典型例题，让学生了解基本不等式在实际问题中的应用。
2. 问题驱动：提出问题，引导学生思考和探讨，提高学生的参与度。
“应用基本不等式求最值”教学设计
“应用基本不等式求最值”教学设计(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除“应用基本不等式求最值”教学设计孙志华一、教材分析（一）本节教材所处的地位和作用“基本不等式ab≤a＋b2”是普通高中标准实验教科书数学必修5第三章“不等式”的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以在一轮复习中本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材；同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．（二）教材处理依据一轮复习计划，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解利用基本不等式的证明问题．第二课时讲解应用基本不等式解决某些最值问题．本节课为第二课时。
为了讲好这节内容，在紧扣考纲的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．（三）教学目标知识目标：（1）会利用“基本不等式”解决某些最值问题；（2）掌握获得“基本不等式”条件的常用方法。
能力目标：（1）学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题规律，提高学生的抽象概括能力。
（2）通过学生的口头表述和书面表达提高学生的数学表达和数学交流的能力。
（3）通过例题、变式练习的解决树立学生的化归思想；德育目标：通过具体问题的解决，增强科学严谨的治学态度，体会“探究学习”在学习过程中的作用，使学生体验成功，增强学习数学的自信心。
（四）教学重点、难点、关键重点：用基本不等式求解最值问题的思路和基本方法。
难点：基本不等式的使用条件，合理地应用基本不等式．关键：理解基本不等式的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．二、学情分析我所教的两个班都是理科普通班，大部分学生数学基础较差；学生的理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；但学生有学好数学的自信心，有一定的学习积极性。
利用基本不等式解决最值问题
2.2基本不等式利用基本不等式解决最值问题（一）教学内容：基本不等式的应用（简单的数学情境和实际情境）（二）教学目标1.通过数学情境中的应用，能够利用基本不等式求简单的最值问题，发展数学运算、数据分析等核心素养.2.通过实际情境中的应用，能求解一些简单最优化问题，解决实际问题中的最值，发展学生的数学建模、逻辑推理等核心素养。
（三）教学重点及难点1.重点：运用基本不等式解决简单的最值问题.2.难点：对实际问题的分析建模和使用基本不等式的结构观察。
.（四）教学过程设计1.复习回顾，铺垫引入师：根据上一节课的知识，回顾一下基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？生：已知x，y 都是正数，则①如果积xy 等于定值P(积为定值)，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2P.②如果和x＋y 等于定值S(和为定值)，那么当x＝y 时，积xy 有最大值14S 2.利用基本不等式可以求最值，验证等号成立是求最值的必要条件，即运用“一正、二定、三相等”的方法可以解决最值问题.【设计意图】回顾上节课所学知识，对基本不等式的形式加强记忆以及熟悉其使用条件.2.例题讲解例1：【例1】(1)若x >0，则x ＋2x 的最小值是________；(2)设x>0，y>0,且满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________．解：.2,2,222221时，等号成立即当且仅当）（===⋅≥+x xx xx x x.,10,100222等号成立当且仅当）（===⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x y x xy 例2：（1）(1)已知x <54，求y ＝2－4x ＋x451-的最小值;（2）已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值.(1).11.14514513451)45(234514545142045,45min -===-=--=--⋅-≥--+-=-+-=>-∴<y x x xx xx xx x x y x x 时，所以，当时，等号成立，即当且仅当解： (2)()().16141.41212161221241)21(2412121max 2===-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=y x x x x x x x x x x y 时，所以，当时，等号成立，即当且仅当解：【变式】已知x <54，求y ＝4x －2＋541-x 的最大值.提示：∵x <54，∴0541<-x ，如何利用基本不等式求最值？例3：已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值.(五）归纳小结：（1）先让学生谈谈这节课学到的知识和感觉比较困难的点在哪里；把实际问题转化成数学问题，然后用数学的方法解决数学问题，最后再回归到实际应用当中；（2）总结使用基本不等式的基本经验（观察式子结构，发现和或积的定值条件），利用基本不等式求最值的时候，一定要注意使用的三个条件，看看能不能满足一正二定三相等的条件。
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料教学目标：1. 理解基本不等式的概念和性质；2. 学会运用基本不等式求解最值问题；3. 提高解题能力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 基本不等式的概念和性质；2. 运用基本不等式求解最值问题的方法和步骤。
教学难点：1. 基本不等式的灵活运用；2. 求解最值问题时的细节处理。
教学准备：1. PPT课件；2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入基本不等式的概念，引导学生回顾已学过的不等式知识；2. 提问：什么是基本不等式？它有什么特点？二、知识讲解（15分钟）1. 讲解基本不等式的性质和定理；2. 举例说明基本不等式在求解最值问题中的应用；3. 引导学生理解运用基本不等式求解最值问题的方法和步骤。
三、案例分析（15分钟）1. 给出一个具体的求最值问题，引导学生运用基本不等式进行解答；2. 分析解题过程，讲解关键步骤和注意事项；四、练习与讨论（15分钟）1. 给出几道运用基本不等式求解最值问题的练习题；2. 引导学生独立解答，互相讨论和交流；3. 讲解答案，分析解题思路和方法。
2. 引导学生反思自己在解题过程中的优点和不足，提出改进措施；3. 布置作业，要求学生巩固所学知识，提高解题能力。
教学反思：本节课通过讲解基本不等式的概念、性质和应用，引导学生学会运用基本不等式求解最值问题。
在教学过程中，要注意引导学生理解基本不等式的灵活运用，以及解题过程中的细节处理。
通过练习和讨论，巩固所学知识，提高学生的解题能力和逻辑思维能力。
六、实践练习（15分钟）1. 提供一系列有关基本不等式求最值的问题，让学生独立解决；2. 鼓励学生分享解题思路和心得，讨论解决过程中遇到的问题；3. 教师对学生的解答进行点评，指出解题的关键点和常见错误。
七、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考基本不等式在实际问题中的应用，例如优化问题、经济问题等；2. 提供一些实际问题，让学生尝试运用基本不等式求解；3. 学生展示解题成果，教师进行点评和指导。
2019-2020学年高二数学《用基本不等式求最值》教学设计.doc
2019-2020学年高二数学《用基本不等式求最值》教学设计一、内容与解析(一）内容：用基本不等式求最值时条件，会用化归法求函数的最值。
（二）解析：本节课要学的内容()指的是(),其核心(或关键)是(),理解它关键就是要().学生已经(),本节课的内容()就是在此基础上的发展.由于它还与()有()的联系,所以在本学科有()的地位,并有()作用,是本学科的核心内容(或一般内容,次要内容).教学的重点是(),解决重点的关键是()二、教学目标及解析(一)教学目标:1.理解利用基本不等式求最值的原理2.掌握利用基本不等式求最值的条件3.会用基本不等式解决简单的最值问题4.能综合运用函数关系，基本不等式解决一些实际问题(二)解析:(1)就是指从形式上理解如何才能构建出用均值不等式的结构（2）就是指能从形式上配凑出用均值不等式的结构，并把握住三大条件：“一正；二定；三相等”四、教学过程复习上节课知识给出命题：○1对任意10,lg 2lg x x x >+≥ ○2对任意1,222x x x R ∈+≥ ○3对任意1(0,),tan 22tan x x x π∈+≥ ○4对任意1,sin 2sin x R x x∈+≥ 其中为真命题是有问题1.通过问题1，我们可以总结得到，利用均值不等式求最值时，必须同时满足三个条件：“一正”、“二定”、“三相等”。
已知1x >-，求函数2()1f x x x =++的最小值 求函数2()f x = 求函数2()f x =的最小值求函数()2(3)(03)f x x x x =⋅-<<的最大值求函数221()1x xf xx++=+的值域【设计意图】1.通过该例题的设置，让学生了解在实际问题中我们也可以利用均值不等式求最值。
2.通过设未知量，列方程或不等式。
让学生了解这些过程其实质就是将实际问题转化为数学问题的过程。
【师生活动】1.如何设未知量，如何将实际问题转化为数学问题？2.如何解决上述的数学问题？3.将数学结果还原成实际问题的结论。
利用基本不等式求函数最值教案(市级研究课)
教学过程
环节
教师活动
学生活动
设置意图
复
习
提
问
1.重要不等式：
（1） 当且仅当 时，等号成立；
（2） （a>0,b>0）,
当且仅当 时，等号成立；
（3） ，（a>0,b>0）
当且仅当 时，等号成立.
2.基本不等式：
如果 ，那么 （a>0,b>0），当且仅当 时，等号成立.
最大值;
变式.已知 ，求函数
的最大值;
学生
ห้องสมุดไป่ตู้思考
学生
回答
学生
思考
学生
探讨
学生
分析
学生
思考
学生
探讨
学生
分析
学生
回答
利用基本不等式求 、 最值需注意：
（1） 都是
要正数；（2）要出现
常数；（3）等号成
立时常数
为最值.
利用基本不等式求 、 最值需注意：
（1） 都是
要正数；
（2）要出现
常数；
（3）等号成立时常数
(2)一个矩形的周长为 ，当长宽变化时，问矩形的面积有最什么值？如果存在试写出这个最值.
学生
检测
巩固
应用
授课教师：李 龙 强
课题名称：利用基本不等式求函数的最值
授课地点：高二录课室（三楼）
授课时间：2019年06月02日
课题
利用基本不等式求函数的最值
教材
人教A版必修五
授课班级
永乐店中学高一8班
授课教师
李龙强
授课地点
高二楼录课室
高二数学教案：不等式求最值
高二数学教案：不等式求最值课题:不等式求最值一、学习目标:1、会利用基本的不等式解决简单的最大(小)值问题-2、会利用不等式解决一些生活中实际问题.二、问题导学:1利用不等式求最值时一定要注意三个前提条件，这三个条件可以概括为，，。
2.当x，y是正实数(1)若x+y=s(和为定值)，则当时，积xy有最值，且这个值为。
(2)若xy=p(积为定值)，则当时，和x+y有最值，值为。
三、练习：1、已知x﹥0，y﹥0，x+y=5，则的值为( )。
A、5B、C、D、102、已知0A、 B、 C、 D、3、若x﹥1，则x+ 的最小值为()A、2B、3C、4D、54、在下列函数中，最小值是4的是()A、y=x+B、y= +C、y=D、y= ， x05、已知不等式(x+y) 9，对任意正实数恒成立，则正实数a的最小值为( )A、2B、4C、6D、86、已知a﹥0，b﹥0，a+b=1则的取值范围是。
7，当x= 时，函数f(x)= (4- ) (08、周长为 +1的直角三角形的面积最大值为。
9、(1)已知0(2)已知x ，求函数的最大值。
10，求函数的值域。
11，已知x﹥0，y﹥0，且，求x+y的最小值。
12，若正数a、b满足，求的最大值，并求此时a、b的值。
13，求函数的最小值。
14，已知正数a、b满足ab=a+ b+3，求a+b 的最小值。
15，某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?。
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（2）如果和 x y 是定值S，那么当 x y 时， 积 xy 有最大值 1 S 2
4
和定积最大，积定和最小
例4 设x, y为正实数，且2x 5y 20, 求 u lg x lg y 的最大值.
解：Q x 0, y 0, 2x 5y 2x 5y 10xy 2
Q 0 x 1,
log2 x 0.
5 log2 x log2 x 2
5.
f
x
2 log2
x
5 log2
x
2 ( log2
x
5 log2
) x
2
2
5.
当且仅当log2
x
5 log2
, x
即 x 2
5
时，等号成立.
二、应用基本不等式求最值
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
例3 函数 y x 1 (x 0) 的最小值为
2
2 2
ymin 3 2 2
辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方.
1.已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1的最小值.
ab
解法一： a, b R , a 1 2，2b 1 2 2
a
b
(a 2b) ( 1 1 ) 2 2 2, 1 1 2 2 1
x
三相等
当且仅当 12 3x 即 x 2 时，等号成立. x
二、应用基本不等式求最值
例2 求函数
错解：
f
(x)
2 log2
x
5 log2
(0 x
x
1) 的范围.
f
x
2
log2
x
5 log2
x
2
2
log2
x 5 log2
x
22
5.
一不正, a 0,b 0时常用a b 2 ab
正解:
(3)取不到等号时用函数单调性求最值:
例4 求函数 y x2 5 的最小值.
x2 4
三不等,常用单调性
正解:
y x2 5 x2 4 1 x2 4 1
x2 4 x2 4
x2 4
令 t x2 4, 则y t 1 (t 2) t
当 t
2,即
x
0 时,
ymin
5. 2
下面题中的解法正确吗？为什么？
又 a 2b 1,a b 1 , 1 1 2 3 ab
1 1
6.
9
正确解法
“1”代换法
已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1 的最小值.
ab
正确解法
10xy 10, xy 10. 当且仅当2x 5y时，等号成立.
2x2x5y5y20 解得：x 5, y 2.
u lg x lg y lg(xy) lg10 1.
例5 已知 y x 1 (x 0), 证明：y 2. x
证明：(1)当x 0时，y x 1 2, x
当且仅当x 1 ，即x 1时，等号成立. x
三、典型题解析
例5 已知正数 x, y 满足 2x y 1, 求 1 1 的最小值.
xy
正解： 1 1 2x y 2x y
xy x
y
“1”代换
3 y 2x 3 2 2
xy
法
当且仅当 y 2x 即 y 2x 时，等号成立. xy
而 y 2x
2x y 1
x
y
2 2
1
(2)当x
0时，
x
0,
y
x
1 x
(x)
1 (x)
由(1)可知( x) 1 2,当且仅当x 1时等号成立. (x)
(
x)
1 (x)
2,即y
2.
二、应用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数值取到 = 号.
ab
ab
解法二：由a 2b 1及a、b R , 1 1 (a 2b)( 1 1, 1 1 的最小值为4 2. ab a b
已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1 的最小值. ab
解法三： 1 1 2 1 ，当且仅当a b时""成立, a b ab
应用基本不等式求最值
江西师大附中 黄润华
一、复习回顾
基本不等式：
a,b R, a2 b2 2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)
a 0,b 0, a b ab 2
(当且仅当a=b时取“=”
号)
2ab ab a b
ab
2
a2 b2 2
极值定理
已知 x, y 都是正数，
（1）如果积 xy 是定值P，那么当 x y 时，
1、已知x 1 时,求x2 1的最小值;
2
解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
2、已知x 3,求x 4 的最小值. x
解 : x 4 2 x 4 4,原式有最小值4.
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立.
一正,二定,三相等
二、应用基本不等式求最值
例1 若x 0, f (x) 12 3x 的最小值为 12 ；
x
此时 x 2 .
若x 0, f (x) 12 3x 的最大值为 -12 ；
x
此时 x -2 .
一正
解：Q x 0
二定
f (x) 12 3x 2 12 3x 12
x
x 1
二、应用基本不等式求最值
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
例4 求函数 y x2 5 的最小值. x2 4
错解:
y x2 5 x2 4 1 x2 4 x2 4
x2 4
1
x2 4 2
当且仅当 x2 4 1 时，等号成立. x2 4
二、应用基本不等式求最值
x
三、典型题解析
例5 已知正数 x, y 满足 2x y 1, 求 1 1 的最小值. xy
解：1 2x y 2 2xy
xy 1 即 1 2 2
2 2 xy
1 1 2 1 22 2 4 2 x y xy
即 1 1 的最小值为4 2. xy
错因：解答中两次运用基本不等式中取“=”号过 渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错.
，此时x
.
x 1
解:
二不定,需变形
Q x 0, x 1 0.
y x 1 (x 1) 1 1 2 1 1.
1 x
1 x
当且仅当 x 1 1 即 x 0 时，等号成立. 1 x
练习 1. 求函数 f x (x 1)2 4 (x 1)的最小值.
x 1
2. 求函数 f x x2 3x 1 (x 1)的最小值.