2017年秋季学期新版冀教版九年级数学上学期28.5、弧长和扇形面积的计算、有关弧长公式的应用举例素材

有关弧长公式的应用举例

近年中考，有关弧长公式的计算问题逐渐成为命题的热点．我们知道，利用下面两个公式可以计算弧长：①180n r l π=；②12

S lr =扇形．当然，运用这两个公式及其变形也可以解决许多问题，下面以中考题为例加以说明，供同学们参考．

一、求扇形圆心角的度数

例1 如图1，是排洪水管的横截面，若此管道的半径为54cm ，水面

以上部分的弓形的弧长为30πcm ，则这段弓形所对的圆心角的度数为

______．

析解：直接将公式①变形可得：

1801803010054l n r ⨯π===ππ

．故填100°． 二、求阴影部分的面积

例2 如图2，OAB 是以6cm 为半径的扇形，AC 切 AB 于A ，

交OB 的延长线于C ，如果 AB =3cm ，AC =4cm ，则图中阴影部分的面

积为（ ）

A ．15cm 2

B ．6cm 2

C ．4cm 2

D ．3cm 2

析解：观察图形知：S 阴影＝S △AOC －S 扇形AOB ，因此需要分别计算出△AOC 与扇形OAB 的面积．164122AOC S =⨯⨯=△（cm 2），由公式②得：13692

AOB S =⨯⨯=扇形（cm 2）， 所以S 阴影＝S △AOC －S 扇形AOB =12-9=3（cm 2），故选D ．

三、求滑轮旋转的度数

例3 一定滑轮的起重装置如图3，滑轮半径为12cm ，当重物上升4π

cm 时，滑轮的一条半径OA 按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（ ）

A ．12°

B ．30°

C ．60°

D ．90°

析解：在绳索与滑轮之间没有滑动的前提下，轮子是带着绳子在转动的，当轮子上的点A 转到某一点A ′时，绳子上的某一点也就从点A 被带到某一点A ′，绳子被带动上升了4

πcm ．也就是

AA '的长为4πcm ，所以由公式①得：124180

n ππ=，解得n =60．故选C ． 四、求扇形圆心角的度数和纸杯的表面积

例4 图4是一纸杯，它的母线AC 和EF 延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB ．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm ，

下底面直径为4cm ，母线长EF =8cm ．求扇形OAB 的圆心角及这

个纸杯的表面积（面积计算结果用π表示）．

解：由题意可知： AB =6π， CD =4π，

设∠AOB ＝n °，AO ＝r ，CO =r -8， 由公式180n r π=6π，(8)

4180n r π-=π，

可得方程组

618041808.nr nr n ⨯=⎧⎨⨯=-⎩

，

．

解之，得4524.

n r =⎧⎨=⎩，．

所以扇形OAB 的圆心角是45°．

因为r =24，r -8=16， 所以由公式②，得1416322OCD S =⨯π⨯=π扇形，

1

624722OAB S =⨯π⨯=π扇形．

所以S 纸杯侧面积＝S 扇形OAB －S 扇形OCD

＝72π-32π=40π，

S 纸杯底面积＝π×22＝4π．

所以S 纸杯表面积＝40π＋4π＝44π．