014A.一次函数(正比例函数)的图象与性质

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正比例函数知识点总结

正比例函数知识点总结正比例函数是数学中一种重要的函数形式，也是高中数学中常见的函数类型之一。

它是指两个变量之间的关系是成正比的，即当一个变量增大（或减小）时，另一个变量也相应地增大（或减小）。

下面将从定义、性质、图像、应用等方面对正比例函数进行总结。

一、定义正比例函数又称为一次函数，它的数学定义为：如果两个变量x和y之间的比值恒定，即y与x的比值为常数k，则称y是x的正比例函数，记作y=kx。

其中k为比例系数，表示y与x之间的关系。

正比例函数可以看作是一条直线，其斜率为k，过原点(0,0)。

二、性质1. 常数k为正比例函数的比例系数，它决定了函数图像的斜率。

当k>0时，函数图像向上倾斜；当k<0时，函数图像向下倾斜。

2. 正比例函数的定义域为全体实数，值域为全体实数。

因为无论x 取任何实数，对应的y都可以通过比例系数k计算得出。

3. 正比例函数的图像经过原点(0,0)，这是因为当x=0时，根据函数定义，y=k*0=0。

4. 当x>0时，y也大于0；当x<0时，y也小于0。

这是因为正比例函数的比例系数k为正，所以x的增大必然导致y的增大，x的减小必然导致y的减小。

三、图像正比例函数的图像为一条直线，过原点(0,0)，斜率为k。

当k>0时，图像向上倾斜；当k<0时，图像向下倾斜。

当k=0时，函数图像为一条水平直线，即y=0。

四、应用正比例函数在实际生活中有许多应用，例如：1. 速度与时间的关系：当物体的速度恒定时，速度与时间成正比。

速度为正比例函数，时间为自变量，速度为因变量。

2. 成本与产量的关系：在某些生产过程中，成本与产量呈正比例关系。

成本为正比例函数，产量为自变量，成本为因变量。

3. 周长与半径的关系：在一个圆形中，周长与半径成正比。

周长为正比例函数，半径为自变量，周长为因变量。

4. 温度与气压的关系：在恒定的体积下，温度与气压成正比。

温度为正比例函数，气压为自变量，温度为因变量。

正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳

正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳正比例函数：解析式：y=kx(k为常数，k≠0) ,k叫做函数的比例系数;(注意：x的指数为1) 图像：过原点的直线;必过点：（0,0）和（1，k）；走向：k>o,图像过一三象限，k<0,图像过二四象限；yx倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k|越小，倾斜度越小，也就是越靠近x轴；如图：x增减性:k>0,y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小；一次函数：解析式：y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，k叫做函数的比例系数,(注意：x的指数为1,b为直线与y轴交点的纵坐标) ；正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0时的一种情况；图像：一条直线；必过点：（0，b）（-b/k，0）；走向：k>o，b>0,图像过一二三象限，k>0,b<0,图像过一三四象限；yk<o，b>0,图像过一二四象限k<o，b>0,图像过二三四象限x倾斜度：|k|x轴；如图：x增减性:k>0,y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小；平移：y=kx+b,向上平移m个单位：y=kx+b+m;向下平移n个单位：y=kx+b-n;向左平移m个单位：y=k(x+m)+b;向右平移n个单位：y=k(x-n)+b;简称：上加下减，左加右减；（注：上加下减到代数式后面，左加右减到x后面，直接与x 进行加减，与系数和指数都没关系）；反比例函数：解析式：y=k/x(k为常数，k≠0)图像：双曲线（图像无限靠近坐标轴，但永不相交。

）所在象限：k>0图像经过一三象限；k<0图像经过二四象限。

ykx增减性：k>0,y随x的增大而减小；k<0,y随x的增大而增大；反比例函数知识点归纳一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图2 5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．。

正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象

正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。

当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。

当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。

：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。

图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。

③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。

三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。

当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

练习题 1、若y =(m －1)x22m -是正比例函数，则m 的值为（） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（）A 、25y x = B ．25y x =－1 C ．245y x = D ．25y x=-3、下列函数中，反比例函数是（）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=24、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（）5、直线443--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（） A 3 B 4 C 12 D 66、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（）7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 28、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。

一次函数及正比例函数图像与性质

3 x＋3 的坐标三角形的三条边长； 4 3 （2）若函数 y＝ x＋b（b 为常数）的坐标三角形周长为 16, 4
（1）求函数 y＝
4
求此三角形面积.
y B O A
第 6 题图
x
7．（2010 江西）已知直线经过点（1，2）和点（3，0），求这条直线的解析式.
8．（2010 广东肇庆）已知一次函数 y kx 4 ，当 x 2 时， y 3 （1）求一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向上平移 6 个单位，求平移后的图象与 x 轴交点的坐标.
5
t= ( x1 x2 )(x 1
B. t 0
2．（2010 贵州铜仁）已知正比例函数 y＝kx（k≠0）的函数值 y 随 x 的增大而减少，则一次函数 y＝kx ＋k 的图象大致是（）
1．（2010 辽宁大连）如图 6，直线 1： y 3x 3 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A 、 B ，△AOB 与
1 4 x ．当 y1 y 2 时， 3 3
B．－1＜x＜2 D．x＞2
8．（2010 江苏常州）如图，一次函数 y
1 x 2 的图像上有两点 A、B，A 点的横坐标为 2，B 点的 2
横坐标为 a(0 a 4且a 2) ，过点 A、B 分别作 x 的垂线，垂足为 C、D， AOC、BOD 的面积分别为 S1、S2 ，则 S1、S2 的大小关系是（）
5．（2010 湖北武汉）如图，直线 y 1 ＝kx＋b 过点 A（0《2），且与直线 y 2 ＝mx 交于点 P（1，m），则不等式组 mx＞kx＋b＞mx－2 的解集是．
6．（2010 四川巴中）直线 y = 2x +6 与两坐标轴围成的三角形面积是

正比例函数、一次函数的图像与性质

正比例函数与一次函数的图象与性质1，正比例函数2，一次函数y=kx+b的性质（对比正比例函数的性质和图像的性质）3，函数是通过的观念研究已学过或未学过的知识。

4，变量的定义是：常量的定义是：5，函数的定义：则函数的本质是：6，在函数的定义中，自变量x在“在某一范围内”取值，这就是自变量的取值范围，它有两层含义，分别是：（1）（2）7，函数解析式是式子，写函数解析式必写8，函数的表示方法有种，它们分别是：；在运用时不是单独运用某一种，而综合运用它们。

9，由函数解析式画函数图像，一般步骤是10，一次函数的定义是正比例函数的定义是11，一次函数y=kx+b的平移：1）在y轴如何平移2）在x轴如何平移12，正比例函数是一次函数的特例，特殊在什么地方13，一次函数y=kx+b的趋势是由什么决定的如何决定的14，函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2： 1）平行的条件2）相交的条件3）重合的条件15，作图与作题正比例函数的图像是由决定的而一次函数的图像是由决定的16，一次函数是函数中最简单、最基本的一种函数。

函数与方程不同，方程是从静态的角度看待问题，是求方程所代表的未知数，如x+y=1，就方程而言一个二元一次方程没有意义，要想有意义就要是方程组，才能有一对实数解，这个解用平面直角坐标系来解释就是一个点；而函数是运用运动的观念来研究问题的，是从动态的角度看待问题的，也就是说自变量在某一变化过程中有一定的取值范围，从函数图像上看其就是点的集合，运用方程思想或方法只能求出一点，因此要想确定函数解析式或画出函数图像就要知道函数解析式中自变量的系数与常数即可，这就是待定系数法的由来。

17，待定系数法的定义是：待定系数法是解出函数解析式的方法，是运用方程思想解出函数解析式中未知的系数与常数，其步骤有：（1）根据图像或条件设定函数解析式；（2）运用方程思想方法解出未知的系数与常数。

那么一次函数系数的确定需要的条件是：正比例函数系数的确定需要的条件是：18，一次函数与二元一次方程组二元一次方程组有解是二元一次方程组无解是阅读——函数与方程的联系与区别：区别：（1）方程有若干个未知数，而函数则有若干个变量；（2）方程用等式表示若干个未知数的关系，而函数既可以用等式表示变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系。

正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象

正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象、一次函数的性质和图象：概念：一般地，形如y=kx+b(k , b是常数，且k z0 的函数，叫做一次函数。

图像和性质：①k>0,b>0,则图象过___________________________ 象限②k>0,b<0,则图象过___________________________ 象限当k>0时，y随x的增大而____________________________③k<0,b>0,则图象过________________________ 象限④k<0,b<0,则图象过________________________ 象限当k v 0时,y 随x的增大而 ______________________________________三、反比例函数性质和图象：1. ______________________ 定义：形如 (k为常数，k z0的函数称为反比例函数。

其他形式________________________________________________________2. 图像：反比例函数的图像是双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

，在每个象限内y，在每个象限内y一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如______________ (k是常数，且k z0的函数，叫做正比例函数。

当k>0时，图象过 __________________ 象限；y随x的增大而__________________________________ 。

3. _________________________________________________ 性质:当k >0时双曲线的两支分别位于_______________________________________值随x值的增大而减小。

知识点16 正比例函数与一次函数图象、性质及其应用2021

一、选择题 6．（2020·杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y ＝ax ＋a （a ≠0）的图象经过点P （1，2），则该函数的图象可能是（）{答案}A{解析}本题考查了一次函数的图象.当a ＞0时，函数y ＝ax ＋a （a ≠0）的图象经过第一、三象限，且与y 轴正半轴相交，因此本题选A． 4．（2020·嘉兴）一次函数21y x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．{答案}B{解析}本题考查了一次函数的图象与性质.在一次函数y ＝kx ＋b （k≠0，k 为常数）中，当k ＞0，b ＞0时，图象经过一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，图象经过一、三、四象限，当k ＜0，b ＞0时，图象经过一、二、四象限，当k ＜0，b ＜0时，图象经过二、三、四象限.本题k ＝2，b ＝﹣1，故图象经过一、三、四象限，因此本题选B ．8．（2020湖州）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x +2和直线y =23x +2分别交x 轴于点A 和点B ．则下列直线中，与x 轴的交点不在线段AB 上的直线是（） A ．y ＝x +2B ．y =√2x +2C ．y ＝4x +2D ．y =2√33x +2【分析】求得A 、B 的坐标，然后分别求得各个直线与x 的交点，进行比较即可得出结论．【解答】解：∵直线y ＝2x+2和直线y =23x+2分别交x 轴于点A 和点B ．∴A （﹣1，0），B （﹣3，0） A 、y ＝x+2与x 轴的交点为（﹣2，0）；故直线y ＝x+2与x 轴的交点在线段AB 上； B 、y =√2x+2与x 轴的交点为（−√2，0）；故直线y =√2x+2与x 轴的交点在线段AB 上； C 、y ＝4x+2与x 轴的交点为（−12，0）；故直线y ＝4x+2与x 轴的交点不在线段AB 上；D 、y =2√33x+2与x 轴的交点为（−√3，0）；故直线y =2√33x+2与x 轴的交点在线段AB 上；故选：C ．7．（2020·安徽）已知一次函数y ＝kx +3的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（） A ．（-1，2） B ．（1，-2） C ．（2，3） D ．（3，4）12．（2020·衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴.直线y =x 从原点0出发沿x 轴正方向平移.在平移过程中，直线被▱ ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么▱ ABCD 的面积为（）(第12题图1) (第12题图2) A.3B.32C. 6D.62{答案}B{解析}本题考查了直线平移截四边形、求四边形面积的问题，需要从图象得出相关线段的长度，并结合直线平移的特点，来解决较复杂的函数图象问题.由图象可知，当移动距离为4时，直线经过点A ，当移动距离为6时，直线经过点B ，移动距离为7时，直线经过点D ，则AD=7-4=3，当直线经过点B ，设其交AD 于点E ，则BE=2，作BG ⊥AD 于点G ，∵y=x 于x 轴正方向成45°角，且AD ∥x 轴，∴∠BEG=45°，∴BG=GE ，∴在直角三角形BGE(第12题答图)6．（2020·乐山）直线y ＝kx ＋b 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx ＋b ≤2的解集是（）A ．x ≤－2B ．x ≤－4C ．x ≥－2D ．x ≥－4 {答案}C{解析}先根据图像用待定系数法求出直线的解析式，然后根据图像可得出解集．因为直线y ＝kx ＋b 经过（0，1），x ＝－2，由图像得到不等式kx ＋b ≤2的解集是x ≥－2．8．（2020·北京）有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）（A ）正比例函数关系（B ）一次函数关系（C ）二次函数关系（D ）反比例函数关系{答案}{解析}由题意可以知道水面高度h ＝10＋0.2t ，根据一次函数的定义可确定其为一次函数，因此本题选B ．（2020·江西）6.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB ∆向右上方平移，得到'''Rt O A B ∆，且点'O ，'A 落在抛物线的对称轴上，点'B 落在抛物线上，则直线''A B 的表达式为（） A ．y x = B ．1y x =+ C ．12y x =+D ．2y x =+ 【解析】将抛物线322--=x x y 配方可得4)1(2--=x y ，∴对称轴为直线1=x ，抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为)0,3(),0,1(-，∴B （3,0）与y 轴交点)3,0(-A ，∴OA=3，OB=4根据平移的规律可得3==''OB B O 且1='O x ，∴4='B x ，代入抛物线可得5='B y ，直线AB 的解析式为3-=x y ，根据AB ∥B A ''可得直线B A ''的解析式为m x y +=，再将)5,4(B '代入可得1=m ，∴直线B A ''的解析式为1+=x y ，故选B（2020·济宁）7.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P,根据图象可知，方程x+5=ax+b 的解是（）A. x=20B.x=5C.x= 25D.x=15 {答案}A{解析}由函数图象知，当x=20时，y=x+5=25，y=ax+b=25，所以方程x+5=ax+b 的解是x=20.a{答案}B{解析}本题考查了一次函数、二次函数和反比例函数图象与系数的关系，解答过程如下：由二次函数图象可知：a ＜0，b ＞0，由反比例函数图象可知：c ＞0.5．（2020·泰州）点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（） A ．5 B ．3 C ．3- D ．1-{答案} C{解析}∴点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，∴b ＝3a ＋2，即3a －b ＝－2，所以621a b -+＝－4＋1＝－3． 15．（2020·镇江）一次函数 y =kx +3(k ≠0) 的函数值 y 随 x 的增大而增大，它的图像不经过第( )象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四{答案}D{解析}本题考查了一次函数的性质，由于y 随x 的增大而增大，所以直线呈上升趋势，又因为b ＝3，因此直线交y 轴正半轴．3．（2020·湖北荆州）在平面直角坐标系中,一次函数1yx 的图象是( )A. B. C. D. {答案}C{解析}此题考查了一次函数的图象,熟练掌握一次函数的图象与性质是解本题的关键.观察一次函数的解析式,确定出k 与b 的符号,利用一次函数图象及性质判断即可.一次函数1yx 中,其中k =1,b =1,,故选C.8. (2020·湘潭)如图，直线(0)y kx b k =+<经过点(1,1)P ，当kx b x +≥时，则x 的取值范围为（）A . 1x ≤B . 1x ≥C . 1x <D . 1x >{答案}Ax{解析}本题考查了一次函数的图像和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．由题意将(1,1)P 代入(0)y kx b k =+<，可得1k b +=，即1k b -=-，整理kx b x +≥得，()10k x b -+≥， ∴0bx b -+≥，由图像可知0b >， ∴10x -≤， ∴1x ≤，故选：A ．6．（2020·内江）将直线21y x =--向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（） A. 25y x =--B. 23y x =--C. 21y x =-+D. 23y x =-+{答案} C{解析}本题考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k 和b 的值发生变化．向上平移时，k 的值不变，只有b 发生变化．原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．∴新直线的解析式为y=-2x+1．因此本题选C ．12．（2020·内江）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线22y tx t =++（0t >）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（） A.122t ≤< B. 112t <≤ C 12t <≤ D.122t ≤≤且1t ≠ {答案} D{解析}本题考查了一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t 的值正确画出图象理解题意是解题的关键. 画出函数图象，利用图象可得t 的取值范围. ∴22y tx t =++，∴当y=0时，x=22t--；当x=0时，y=2t+2， ∴直线22y tx t =++与x 轴的交点坐标为（22t--，0），与y 轴的交点坐标为（0，2t+2）， ∴t>0，∴2t+2>2，当t=12时，2t+2=3，此时22t--=-6，由图象知：直线22y tx t =++（0t >）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，当t=2时，2t+2=6，此时22t--=-3，由图象知：直线22y tx t =++（0t >）与两坐标轴围成的三角形区域.（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，当t=1时，2t+2=4，22t--=-4，由图象知：直线22y tx t =++（0t >）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3， ∴122t ≤≤且1t ≠，因此本题选D ．6．（2020·广州）一次函数31y x =-+的图象过点（1x ，1y ），（11x +，2y ）（12x +，3y ），则（） A ．123y y y << B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<{答案}B{解析}本题考一次函数的性质，因为30k =-<，所以y 随x 的增大而减小,即x 越大，对应的y 值越小．因为11212x x x <+<+，所以对应的函数值大小为：321y y y <<，因此本题选B ．10．（2020·恩施）甲乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示，则下列结论错误．．的是（）．C. 乙车比甲车先到B 城D. 乙车比甲车先出发1h{答案}DC ．甲10时到达B 城，乙9时到达B 城，所以乙比甲先到B 城，故此选项正确；D ．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h ，故此选项错误，故选：D ．8．（2020·武汉）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是 ····························（）A．32B．34C．36D．38{答案}C{解析}本题考查了一次函数及其应用，根据图像可知进水的速度为：20÷4＝5（L/min），出水的速度为：5－（35－20）÷（16－4）＝3.75（L/min），第24分钟时的水量为：20＋（5－3.75）×（24－4）＝45（L），a＝24＋45÷3.75＝36min，因此本题选C．5．（2020·邵阳）已知正例函数y=kx(k≠0)的图象过点（2，3），把正例函数y=kx(k≠0)的图象平移，使它过点（1，-1），则平移后的图象大致是（）A B C D{答案}D{解析}本题考查了正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点()1,1-求出一次函数解析式，把点()2,3代入(0)y kx k=≠得23k=32k，正比例函数解析式为22故函数图象大致．因此本题选D．7．（2020·天门仙桃潜江）对于一次函数y=x＋2，下列说法不正确的是A．图象经过点（1，3）B．图象与x轴交于点（－2，0）C．图象不经过第四象限D．当x ﹥2时，y﹤4{答案}D{解析}本题考查了一次函数的图象与性质A．当x=1时y=3所以图象经过点（1，3）正确,B．当x=－1时y=0图象与x轴交于点（－2，0）正确,C．由A,B可以画出图象,图象不经过第四象限正确,D．由y=x＋2得y随x 的增大而增大,当x﹥2时，y﹥4此项错误.二、填空题15．（2020·黔西南州）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．{答案} y＝－2x{解析}本题考查了一次函数的性质、正比例函数的性质、点的坐标意义．∵点P到x轴的距离为2，∴点P的纵坐标为2，∵点P在一次函数y＝－x＋1上，∴2＝－x＋1，解得x＝－1，∴点P的坐标为（－1，2）．设正比例函数解析式为y＝kx，把P（－1，2）代入得2＝－k，解得k＝－2，∴正比例函数的解析式为y＝－2x，因此本题答案为y＝－2x．15．（2020·黔东南州）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为．{答案} y＝2x+3{解析}利用一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”来解．∴把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1；再向上平移2个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1+2＝2x+3．13．(2020·绥化)黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y(km)与行驶时间x(h)的函数关系如图4所示，2小时后货车的速度是______km/h．{答案}65{解析}由图象可知，货车从2h行驶到3h，路程从156km增加到221kn，因此2h后的速度＝(221－156)÷(3－2)＝65(km/h)．12.（2020·苏州）若一次函数36y x=-的图像与x轴交于点(),0m，则m=_______.{答案} 2{解析}本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，∵一次函数36y x=-的图像与x轴交于点(),0m，∴3m-6=0，解得m=2．14．（2020·宿迁）已知一次函数y＝2x－1的图像经过点A(x1，1)，B(x2，3)两点，则x1_______x2（填“＞”、“＜”或“＝”）．{答案}＜．{解析}∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大．∵1＜3，∴x1＜x2．故答案为＜．x/y/kO123422157图413．（2020·南京）将一次函数y ＝－2x ＋4的图象绕原点O 逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是________. {答案} y ＝12x ＋2{解析}直线y ＝－2x ＋4与x 、y 轴的交点分别为(2，0)、(0，4)，该两点逆时针旋转90°后的对应点分别是(0，2)、(－4，0).设旋转后的直线解析式为y ＝k x ＋b ，代入点(0，2)、(－4，0)，得：240b k b =⎧⎨-+=⎩，，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，故旋转后的直线解析式为y ＝12x ＋2.{答案}（﹣1,1），14，50101{解析}联立函数解析式得kx+k+1=（k+1）x+k+2，解得x=﹣1，将x=﹣1代入直线l 1的解析式得y=1，所以交点为（﹣1，1）．当k=1时，直线l 1：y=x ＋2和直线l 2：y =2x+3与x 轴的交点分别为（﹣2，0）和（﹣32，0），所以围成的三角形面积S 1=12×12×1=14，依次可得：S 2=112，S 3=124，S 4=140，……，发现S n =12n (n+1)，所以S 1+S 2+S 3+…+S 100=14+112+124+140+……+1200×101=12（1﹣12+12﹣13+13﹣14+……+1100﹣1101）=12（1﹣1101）=12×100101=50101.13．（2020·常州）若一次函数y ＝kx ＋2的函数值y 随自变量x 增大而增大，则实数k 的取值范围是________． {答案} K ＞0{解析}本题考查了一次函数的增减性性质．∵ y 随x 的增大而增大，∴K ＞0 16．（2020·天津）将直线y ＝－2x 向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________． {答案}y ＝－2x ＋1{解析}本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键．根据直线平移规律是上加下减的原则进行解答即可．∵直线的平移规律是“上加下减”，∴将直线向上平移1个单位长度所得到的的直线的解析式为：；故答案为：．（2020·本溪）12．（3分）若一次函数y ＝2x +2的图象经过点（3，m ），则m ＝． {答案}8{解析}∵一次函数y ＝2x +2的图象经过点（3，m ），∴m ＝2×3+2＝8．{答案}m ＞12．{解析}先根据一次函数的性质得出关于m 的不等式2m ﹣1＞0，再解不等式即可求出m 的取值范围．解：∴一次函数y ＝（2m ﹣1）x+2中，函数值y 随自变量x 的增大而增大，的2y x =-21y x =-+21y x =-+∴2m ﹣1＞0，解得m ＞12．故答案为：m ＞12．12．（2020·抚顺本溪辽阳）若一次函数y ＝2x ＋2的图象经过点(3，m )，则m ＝．{答案}8{解析}根据一次函数y ＝2x ＋2的图象经过点(3，m)，将(3，m)代入一次函数解析式中即可求解．∵一次函数y ＝2x ＋2的图象经过点(3，m)，∴m ＝2×3＋2＝8．故答案为8． 17．（2020·临沂）点1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭和点(2,)n 在直线2y x b =+上，则m 与n 的大小关系是_________. {答案}m n <{解析} 根据一次函数的性质，考虑到k>0，所以y 随x 的增大而增大，122-<，所以m n <.14．（2020·东营）已知一次函数y=kx+b(k ≠0）的图象经过A （1，-1）、B （-1，3）两点，则k 0（填“＞”或“＜”）． {答案}＜{解析}本题考查了一次函数的性质、点的坐标意义． ∵已知一次函数y=kx+b(k ≠0）的图象经过A （1，-1）、B （-1，3）两点， ∴⎩⎨⎧=+--=+31b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=12b k ，∴k ＜0．19．（2020·毕节）一次函数y ＝ax ＋b （a ≠0）的图象与反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象的两个交点分别是A （－1，－4），B （2，m ），则a ＋2b ＝_________． {答案}－2，{解析}本题考查一次函数与反比例函数的交点．解：把A （－1，－4）代入y ＝k x ，得－4＝1k -，∴k ＝4． ∴反比例解析式为y ＝4x．把B （2， m ）代入，得m ＝42，∴m ＝2， ∴B （2，2）．把A （－1，－4），B （2，2）代入y ＝ax ＋b ，得4,22.a b a b -=-+⎧⎨=+⎩解得2,2.a b =⎧⎨=-⎩ ∴a ＋2b ＝2＋2×（－2）＝－2．故答案为－2．13.（2020·郴州）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为． {答案} y ＝3x ＋37{解析}设该函数表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得：，解得，∴该函数表达式为y ＝3x ＋37．故答案为：y ＝3x ＋37．17．（2020·淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．【解析】当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．根据题意，完成下表：服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数1n﹣12（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）32（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n0由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，当x＝14或15时，y取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．三、解答题22（2020·衢州）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t(h)，两艘轮船距离杭州的路程s(km)关于t(h)的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长；（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？②游轮与货轮何时相距12km？{解析}（1）C 点的横坐标为23，即从杭州出发前往衢州共用了23h ．再根据路程，速度和时间之间的关系求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）①先求出B ，C ，D ，E 的坐标，然后用待定系数法求出对应的函数解析式，再解方程组即可求出货轮出发后几个小时追上游轮．（3）分相遇之前和相遇之后两种情形来进行计算．{答案}解：（1）C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h ． ∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长为23﹣（420÷20）＝23﹣21＝2（h ）．（2）①280÷20＝14h ，∴点A （14，280），点B （16，280）， ∵36÷60＝0.6（h ），23﹣0.6＝22.4，∴点E （22.4，420），设BC 的解析式为s ＝20t+b ，把B （16，280）代入s ＝20t+b ，可得b ＝﹣40，∴s ＝20t ﹣40（16≤t ≤23），同理由D （14，0），E （22.4，420）可得DE 的解析式为s ＝50t ﹣700（14≤t ≤22.4），由题意：20t ﹣40＝50t ﹣700，解得t ＝22，∵22﹣14＝8（h ），∴货轮出发后8小时追上游轮． ②相遇之前相距12km 时，20t ﹣40﹣（50t ﹣700）＝12，解得t ＝21.6．相遇之后相距12km 时，50t ﹣700﹣（20t ﹣40）＝12，解得t ＝22.4，∴21.6h 或22.4h 时游轮与货轮何时相距12km ．22.(2020·宁波)(本题10分)A ，B 两地相距200千米.早上8：00货车甲从A 地出发将一批物资运往B 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B 地联系.B 地收到消息后立即派货车乙从B 地出发去接运甲车上的物资.货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B 地，两辆货车离开各．自．出发．．地的路程y (千米)与时间x (小时)的函数关系如图所示．(通话等其他时间忽略不计) （1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y 关于x 的函数表达式.（2）因实际需要，要求货车乙到达B 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B 地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B 地的速度至少为每小时多少千米？{解析}本题考查了一次函数的图象和性质及实际应用．（1）根据函数图象中两点的坐标由待定系数法求得函数表达式；（2）计算出货车乙与货车甲相遇时间，货车甲正常到达B 地的时间，货车乙按要求到达B 地时间，根据速度、路程、时间关系列不等式求得最低速度．{答案}22.解：（1）设函数表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，把(1.6，0)，(2.6，80)代入y ＝kx ＋b ，得0 1.680 2.6k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得80128k b =⎧⎨=-⎩．∴y 关于x 的函数表达式为y ＝80x －128(1.6≤x≤3.1)(注：x 的取值范围对考生不作要求)（2）当y ＝200－80＝120（千米）时，120＝80x －128，解得x ＝3.1. 因为货车甲的行驶速度为80÷1.6＝50（千米/小时），所以货车甲正常到达B 地的时间为200÷50＝4(小时)， 18÷60＝0.3(小时)，4＋1＝5(小时)，5－3.1－0.3＝1.6(小时) ．设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时，则1.6v≥120，解得v≥75.答：货车乙返回B地的车速至少为75千米小时.21．（2019·上海）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数的图象平行于直线y＝12x，且经过点A(2，3)，与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．{解析}（1）设一次函数的解析式为y＝kx＋b，解方程即可得到结论；（2）求得一次函数的图形与x轴的解得为B(－4，0)，根据两点间的距离公式即可得到结论．{答案}解:（1）设一次函数的解析式为：y＝kx＋b，∵一次函数的图象平行于直线y＝12x，∴k＝12.∵一次函数的图象经过点A(2，3)，∴3＝122⨯＋b，∴b＝2.∴一次函数的解析式为y＝12x＋2.（2）由y＝12x＋2，令y＝0，得12x＋2＝0，∴x＝－4，∴一次函数的图象与x轴的解得为B(－4，0)，∵点C在y轴上，∴设点C的坐标为(0，y)，∵AC＝BC=y＝－12，经检验：y＝－12是原方程的根，∴点C的坐标是(0，－12)．{答案}解：：(1)把(3,18)，(−2,8)代入一次函数y=kx+b(k≠0)，得{3k+b=18−2k+b=8，解得{k=2,b=12，∴一次函数的解析式为y=2x+12.(2)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象只有一个交点，∴{y=2x+12y=mx只有一组解，即2x2+12x−m=0有两个相等的实数根，∴⊿=122−4×2×(−m)=0，∴m=−18．把m=−18代入求得该方程的解为：x=−3，把x=−3代入y=2x+12得：y=6，即所求的交点坐标为(−3，6)．27.（2020·苏州）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量()x kg之间函数关系的图像如图中折线所示.请你根据图像及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：（2）求图像中线段BC 所在直线对应的函数表达式.{解析}（1）分析销售记录表确定确定销售量及每千克利润，计算总利润；（2）点B 纵坐标与点A 纵坐标相同，根据这个月水果的利润列方程求得点B 的横坐标，再根据B,C 坐标由待定系数法求得解析式．{答案}解：（1）()200108400⨯-=（元）.答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元. （2）设点B 坐标为(),400a .根据题意，得()()()108600108.52001200400a -⨯-+-⨯=-，解这个方程，得350a =.∴点B 坐标为()350,400. 设线段BC 所在直线的函数表达式为y kxb =+， ∵,B C 两点的坐标分别为()350,400，()800,1200，∴3504008001200k b k b +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得16920009k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴线段BC 所在直线的函数表达式为16200099y x =-. 19．（2020·河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下.方案一:购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二:不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身x (次)，按照方案一所需费用为1y (元)，且11y k x b ；按照方案二所需费用为2y (元)，且22y k x .其函数图象如图所示.(1)求1k 和b 的值，并说明它们的实际意义；(2)求打折前的每次健身费用和2k 的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由.{解析} (1)由待定系数法，把（0,30）和（10,180）代入11y k x b，通过求解二元一次方程组确定1k和b 的值，进而确定实际意义；（2）根据“六折优惠后的费用为15元”，求出每次不优惠的价格，然后乘以0.8即可求出2k 的值；（3）分别把x=8代入两个函数解析式求出y 的值，然后通过比较，确定费用更少的方案.{答案}解:(1)直线11y k x b经过(0，30)和(10，180)两点，∴⎩⎨⎧=+=18010301b k b ，解得:⎩⎨⎧==30151b k ，1k 表示每次健身费用按六折优惠后的费用为15元， b 表示暑期专享卡每张30元； (2)∵每次健身费用按六折优惠后的费用为15元，∴打折前的每次健身费用为:15÷0.6=25(元)， ∵不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠，∴2k =25×0.8=20；(3)当x =8时，1y =15x+30=15×8+30=150（元）， 2y =20x=20×8=160 (元) ，∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少. 21．（2020·陕西）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大鹏栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm 时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y （cm ）与生长时间x （天）之间的关系大致如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系；（2）当这种瓜苗长到大约80cm 时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约多少天，开始开花结果？第21题图{解析}（1）由图像可以确定y 与x 之间的函数关系是一次函数，运用待定系数法可求，但要注意是分段函数；（2）把y ＝80代入求x 的值．{答案}解：（1）当0≤x≤15时，设y ＝kx （k≠0），则20＝15k ，∴k ＝43．∴y ＝43x ．当15＜x≤60时，设y ＝mx+b （m≠0），则201517060m b m b =+⎧⎨=+⎩ 解之，得10330m b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴y ＝10303x -．∴4,01531030,1560.3x x y x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩；＜（2）当y ＝80时，80＝10303x -．解得x ＝33．33－15＝18（天）．答：这种瓜苗移至大鹏后，继续生长大约18天，开始开花结果．25．（2020·黑龙江龙东）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快天递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间；（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）{答案}解：（1）设ME 的函数解析式为y ＝kx+b （k≠0），由ME 经过（0，50），（3，200）可得：{b =503k +b =200，解得{k =50b =50，∴ME 的解析式为y ＝50x+50；（2）设BC 的函数解析式为y ＝mx+n ，由BC 经过（4，0），（6，200）可得： {4m +n =06m +n =200，解得{m =100n =−400，∴BC 的函数解析式为y ＝100x ﹣400；设FG 的函数解析式为y ＝px+q ，由FG 经过（5，200），（9，0）可得： {5p +q =2009p +q =0，解得{p =−50q =450，∴FG 的函数解析式为y ＝﹣50x+450，解方程组{y =100x −400y =−50x +450得{x =173y =5003，同理可得x ＝7h ，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间173h ，7h ；（3）（9﹣7）×50＝100（km ），答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km ．23．（2020·乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？{解析}（1）本题可假设一辆轿车的单程租金为x 元，并根据题意列方程求解即可．（2）本题可利用两种方法求解，关键是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法1可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法2则需要利用枚举法求解本题． {答案}解：（1）设租用一辆轿车的单程租金为x 元. 由题意得：300×2＋3x ＝1320，解得x ＝240，答：租用一辆轿车的单程租金为240元. 方法1：①若只租用商务车，∵346＝523，∴只租用商务车应租6辆，所付租金为300×6＝1800（元）；②若只租用轿车，∵344＝8.5，∴只租用轿车应租9辆，所付租金为240×9＝2160（元）；③若混和租用两种车，设租用商务车m 辆，租用轿车n 辆，租金为W 元. 由题意，得6m ＋4n ＝34，W ＝300m ＋240n , 由6m ＋4n ＝34，得4n ＝－6m ＋34，∴W ＝300m ＋60(－6m ＋34)＝－60m ＋2040， ∵－6m ＋34＝4n ≥0，∴m ≤173， ∴1≤m ≤5，且m 为整数， ∵W 随m 的增大而减小，∴当m ＝5时，W 有最小值1740，此时n ＝1，综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元. 方法2：设租用商务车m 辆，租用轿车n 辆，租金为W 元. 由题意，得6m ＋4n ＝34，W ＝300m ＋240n , 由6m ＋4n ＝34，得4n ＝－6m ＋34≥0，∴m ≤173，∵m 为整数，∴m 只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为9×240＝2160（元）；租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为1×300＋7×240＝1980（元）；租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为2×300＋6×240＝2040（元）；租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为3×300＋4×240＝1860（元）；租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金为4×300＋3×240＝1920（元）；租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为5×300＋1×240＝1740（元）；由此可见，最佳租车方案是租用商务车5辆和轿车1辆，此时所付租金最少，为1740元.20．（2020·绵阳）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．（1）以x （单位：元）表示标价总额，y （单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y 关于x 的函数解析式；（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？{解析}（1）根据甲书店按标价8折出售，利用标价总额乘以0.8即为应支付金额y ；在乙书店购书，若x ≤100，则标价总额即为应支付金额;若x ＞100，则应支付金额y 为100＋0.6（x －100）．（2）求出甲、乙两个书店应付金额相同的标价总额，当购书金额小于这个值时，则去甲书店省钱，购书金额大于这个值时，则去乙书店省钱． {答案}解：（1）甲书店应支付金额为：y 1＝0.8x ；乙书店：当x ≤100时，y ＝x ；当x ＞100时，y ＝100＋0.6(x －100) ． ∴乙书店应支付金额为：y 2＝(100)400.6(100)x x x x ⎧⎨+⎩≤＞（2）当x ＞100时，若y 1＝y 2，则0.8x ＝40＋0.6x ，解得x ＝200.∴当x ＜200时，去甲书店省钱，x ＝200时，去甲乙两家书店购书应付金额相同金额，当x ＞200时，去乙书店省。

正比例函数与一次函数的区别

正比例函数与一次函数的区别
正比例函数和一次函数都是数学中常用的函数类型，它们之间有很多区别和联系。

在学习这两种函数时，我们需要注意它们的定义、特点和应用。

正比例函数是指在两个量之间存在着一种固定的比例关系，即其中一个量的值变化时，另一个量的值也会以相同比例进行变化。

例如，当我们用固定的速度行驶时，行驶的距离与行驶的时间之间的关系就是正比例函数。

正比例函数的一般形式为 y=kx，其中k为比例常数，表示x和y之间的比例关系。

一次函数是指函数中只包含一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的函数。

一次函数的一般形式为 y=ax+b，其中a和b为常数，a表示该函数的斜率，b表示该函数的截距。

一次函数常用于描述两个量之间的线性关系，例如，当我们用不同的速度行驶时，行驶的距离与行驶的时间之间的关系就是一次函数。

正比例函数和一次函数之间的区别主要有以下几点：
1. 定义不同：正比例函数是指两个量之间存在着一种固定的比例关系，而一次函数是指函数中只包含一个未知数，并且该未知数的最高次数为1。

2. 特点不同：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，斜率为比例常数k；而一次函数的图像是一条直线，斜率为常数a，截距为常数b。

3. 应用不同：正比例函数常用于描述两个量之间的比例关系，
例如，速度与时间之间的关系；而一次函数常用于描述两个量之间的线性关系，例如，距离与时间之间的关系。

在实际应用中，正比例函数和一次函数都有其独特的用途。

我们需要根据具体问题的需要选择不同的函数类型，以求得更准确的结果。

(完整版)一次函数的图像与性质

一次函数的性质和图像目录一、函数的定义（一）、一次函数的定义函数。

（二）、正比例函数的定义二、函数的性质（一）、一次函数的性质（二）、正比例函数的性质三、函数的图像（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置（二）、一次函数的图像1、一次函数图像的形状2、一次函数图像的画法（三）、正比例函数的图像1、正比例函数图像的形状2、正比例函数图像的画法3、举例说明正比例函数图像的画法四、k、b两个字母对图像位置的影响K、b两个字母的具体分工是：（一次项系数）k决定图象的倾斜度。

（常数项）b决定图象与y轴交点位置。

五、解析式的确定（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次（二）用待定系数法确定解析式六、两条函数直线的四种位置关系两直线平行，k1= k2，b1≠b2两直线重合，k1= k2，b1=b2两直线相交，k1≠k2两直线垂直，k1×k2=－1（一）两条函数直线的平行（二）两条函数直线的相交（三）两条函数直线的垂直一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数这一节我们要学习正比例函数和一次函数。

一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。

因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。

正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。

在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。

确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。

但是，在一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c中，我们从观察解析式就可以看出，函数y与自变量x之间没有相直接对应的比例关系，因此这两种函数自变量x前面的k，就不能叫比例系数，只能叫常数。

若欲确定一次函数或二次函数的解析式时，题意仅已知常数k还不行，还需要其他常数如b、c等常数的协助。

一次函数的图像与性质知识点总结

一次函数的图像与性质知识点总结知识点1 、一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数. 知识点2、函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3、一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可. 知识点4 、一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②当k ＞0，b ﹥0时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③当k ﹤0，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④当k﹤0，b﹤0时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点5、正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点6、点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．知识点7、确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点8、待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k，b就是待定系数．知识点9、用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．公文写作公文写作是指根据公务活动的客观现实和需求，运用科学的逻辑思路和写作手法完成公文的撰写。

《正比例函数的图象与性质》PPT课件

第一、第三
象限的直线.
和
01
知识讲解
（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
y=-4x
y=-1.5x
发现：这两个正比例函数的图象都是经过原点
和
第二、第四
象限的直线.
01
归纳
正比例函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过
原点的直线.我们称它为直线y=kx.
y=kx(k≠0)
经过的象限
（1）y=2x，y= ；
（2）y=-1.5x，y=-4x.
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
x
y
…
…
-3 -2 -1 0
-6 -4 -2 0
1
2
2
4
3 …
6 …
01
知识讲解
y=2x
②描点.
y=
③连线.
1

3
同样可以画出
1
函数y=3 的图象.
发现：这两个正比例函数的图象都是一条经过原点
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
01
思考
画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比
例函数y=kx (k是常数，k≠0) 的图象.
画正比例函数的图象时，我们只需描点(0，0)和
点 (1，k)，连线即可.
02
练一练
LEARNING
OBJECTIVES
图象必经过的点
图象必经过（0，0）和（1，k）这两个点
谢谢观看！
1
（2）正比例函数y= -2x和y =-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中

正比例函数与一次函数的关系

正比例函数与一次函数的关系正比例函数与一次函数是高中数学中比较重要的概念，它们在解决实际问题中经常被使用。

正比例函数可以用y=kx表示，其中k为比例常数，x与y成正比；一次函数可以用y=kx+b表示，其中k为斜率，b为截距。

虽然二者看上去不同，但它们之间存在着密切关系。

首先，我们来看一下正比例函数与一次函数的图像特征。

正比例函数的图像是一条直线，它经过原点且斜率为k；一次函数的图像也是一条直线，但它在y轴上的截距为b，斜率为k。

因此，我们可以发现，当y=kx+b中，b=0时，一次函数退化成正比例函数；而当b≠0时，一次函数与正比例函数并没有完全相同的特征。

同时，可以通过图像观察到，斜率k的取值范围是一样的，即正比例函数与一次函数在斜率上是等价的。

其次，我们从函数的定义出发来探讨二者之间的关系。

对于正比例函数y=kx，我们有k=y/x。

而对于一次函数y=kx+b，我们有k=(y-b)/x。

因此，我们可以将一次函数中的y-b理解为常数c，即k=(y-c)/x。

这样，我们就把y=kx+b的一次函数转化为了c=kx-y的形式，即一个关于x和y的正比例函数。

这表明了一次函数与正比例函数的另外一个等价。

最后，我们简单探讨一下二者的应用。

正比例函数在实际问题中比较常见，例如速度与时间的关系、重量与体积的关系等等。

一次函数则适用于更为复杂的关系，例如加速度与时间的关系、距离与时间的关系等等。

而在解决实际问题时，我们会发现有些问题既可以用正比例函数来描述，也可以用一次函数来描述。

此时，我们就需要根据具体情况来选择使用哪一种函数。

综上所述，正比例函数与一次函数之间存在着密切的关系。

它们在数学理论与实际应用中都有着重要作用。

了解二者之间的关系，不仅可以加深对它们的理解和掌握，还能够在实际问题中更加灵活地运用它们。

正比例函数知识点总结

正比例函数知识点总结正比例函数知识点总结正比例函数属于一次函数，是一次函数的一种特殊形式。

即一次函数形如：y=kx+b（k为常数，且k≠0）中，当b=0时，则叫做正比例函数。

下面是小编收集整理的正比例函数知识点总结，希望对您有所帮助！—正比例函数公式正比例函数要领：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的.正比例函数。

正比例函数的性质定义域：R(实数集)值域：R(实数集)奇偶性：奇函数单调性：当>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大(单调递增)，为增函数;当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小(单调递减)，为减函数。

周期性：不是周期函数。

对称性：无轴对称性，但关于原点中心对称。

图像：正比例函数的图像是经过坐标原点(0，0)和定点(1，k)两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。

正比例函数的图像是一条过原点的直线。

正比例函数y=kx(k≠0)，当k的绝对值越大，直线越“陡”;当k 的绝对值越小，直线越“平”。

正比例函数求法设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，将已知点的坐标代入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。

另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。

正比例函数图像的作法1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值;2、根据第一步求的x、y的值描出点;3、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。

温馨提示：正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。