实变函数与泛函分析ppt课件

又故对ω(任x)意为实[a,数b]t上，有{x界函E数:，(x) t} 为闭集，
故ω(x)为[a,b]上的可测函数，从而f(x) L可积。
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对 [a,b]作分划序列
引理的证明
T (n)
:a

x(n) 0

x(n) 1

x(n) 2

x(n) kn

b
n 1,2,3,
|
T
(n)
|
max{
a
证明： f(x)在[a,b]上Riemann可积， 故f(x)在[a,b]上几乎处处连续，
从而f(x)在[a,b]上有界可测，并且Lebesgue可积 ，
11
Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明
其次， 对[a,b]的任一分划
T : a x0 x1 x2 xn b
第五章 积分论
第三节 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系
1
xi-1 xi
yi yi-1
Riemann积分 对定义域作分划
b
n
(R)
a
f (x)dx lim ||T ||0 i1
f (i )xi
Lesbesgue积分 对值域作分划
n
(L) f (x)dx lim i mEi
[a,b]
0
i 1
本节主要内容: 若f(x) Riemann可积，则f(பைடு நூலகம்)在[a,b]上Lebesgue可积，且积分值相等 f(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集
2
Riemann可积的充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积
b
证明参照教材p-102
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2.Lesbesgue积分与Riemann积分的关系 (Lebesgue积分是对Riemann积分的推广)
定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x) 在[a,b]上Lebesgue可积，且
b
(L) f (x)dx (R) f (x)dx
[ a ,b ]

x(n) i 1
)
i 1
kn
kn

lim
n
i 1
M
( i
n)
(
xi(
n)

x(n) i 1
)

lim
n
i 1
mi(n) ( xi(n)

x(n) i 1
)
b
b
a f (x)dx a f (x)dx
从而结 论成立
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1.Riemann可积的内在刻画
教材p-104有另一种证明
故 ( x)在[a, b]上几乎处处为零。
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又(x) 0 a.e.于[a,b], 故 ( x)在[a, b]上几乎处处为零。
从而f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集， 上述过程反之也成立。
引理：设f(x) 是E上有限实函数，则f(x)在x0∈E 处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0
令E {x [a,b] : x是T (n) (n 1,2,3,)的分点},
则mE

0,
且
lim
n
T
(
n
)
(x)

( x),
x [a,b]
E
令A, B为f (x)在[a,b]上的上、下确界，
则对一切n有
|
T
(n)
(x)
|
B

A,由控制收敛定理可知
lim
n
i M i mi
0
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Darboux上、下积分
对[a,b]作分划序列
T (n)
:a

x(n) 0

x(n) 1

x(n) 2

x(n) kn
b
n 1,2,3,
|
T
(n)
|
max{xi(n)

x(n) i1
:
1 i kn}
lim | T (n) | 0
n
令（对每个i及n）
M
( i
n)

sup{f
(x) :
x(n) i1

x

xi(n)}
mi(n)

inf{
f
(x) :
x(n) i1

x

xi(n)}
xi-1 xi
Darboux上积分
b a
kn
f
(x)dx

lim
n
i 1
M
( i
n)
(
xi(
n)

x(n) i 1
)
Darboux下积分
b a
根据Lesbesgue积分的可加性，我们有
n
f (x)dx
f (x)dx
[ a ,b ]
n1 [ xi1 , xi ]
另外mi (xi1 xi ) [xi1,xi ] f (x)dx M i (xi1 xi )
其中M i sup{f (x) : xi1 x xi }, mi inf{ f (x) : xi1 x xi }
定理：有界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的 充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零 测度集
证明：若f(x) Riemann可积,则f(x) 的 Darboux上、下积分相等，
从而
b
(x)dx
f (x)dx
b
f (x)dx 0，
[a,b]
a
a
又(x) 0 a.e.于[a,b],
kn
f
(x)dx

lim
n
i 1
mi(n) ( xi(n)

x(n) i 1
)
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引理：设f(x)在[a,b]上为有界函数，记ω (x)为 [a,b]上的振幅函数，则
b
b
(x)dx f (x)dx f (x)dx
[a,b]
a
a
xi-1 xi
证明：由于f(x)在[a,b]上为有界函数 ，

[a,b] T
(
n)
(
x)dx

( x)dx,
[a,b]
xi-1 xi
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引理的证明
lim
n

[a,b] T
(n)
(x)dx

( x)dx,
[a,b]
另一方面
xi-1 xi
kn
lim
n
[ a ,b ]
T
(n)
(x)dx

lim
n
(M
(n i
)

mi(n) )( xi(n)
n
n
b

a
f
(x)dx
lim ||T ||0
i 1
M ixi

lim
||T ||0
i 1
mi xi

a
f (x)dx
n
0, 分割T，使得 ixi i 1
M i sup{f (x) : xi1 x xi} mi inf{ f (x) : xi1 x xi}
xi( n )

x(n) i 1
:
1 i kn}
lim | T (n) | 0
n
作函数列
xi-1 xi
T (n)
(x)

M
(n i
)
0

mi( n )
x

(
x(n) i 1
,
xi(
n)
)
x是T (n)的分点
i 1,2,3,, kn , n 1,2,3, 6
引理的证明