高中数学8.3简单几何体的表面积与体积第1课时柱锥台的表面积和体积学案新人教A版必修第二册

第1课时 柱、锥、台的表面积和体积问题导学预习教材P114－P117的内容，思考以下问题： 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？ 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？ 4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积(1)V 棱柱＝Sh ；(2)V 棱锥＝13Sh ；V 棱台3S ′，S 分别是棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积1．柱体、锥体、台体的体积(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13()S ′＋SS ′＋S h .2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl .3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．( ) (2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．( ) (3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．( ) (4)在三棱锥P ­ABC 中，V P ­ABC ＝V A ­PBC ＝V B ­PAC ＝V C ­PAB .( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3 解析：选 A ．S 表＝4S 正△＝4×34＝ 3. 若长方体的长、宽、高分别为 3 cm ，4 cm ，5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3B ．60 cm 3C ．64 cm 3D ．125 cm 3解析：选 B．长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60(cm3)．圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于( )A．72 B．42π C．67π D．72π解析：选 C．S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.柱、锥、台的表面积(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( )A.2倍B．3 倍C．2 倍D．5 倍(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A．1∶ 2 B．1∶ 3C．2∶ 2 D．3∶ 6(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6C．5 D．3【解析】(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意可知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选 C.(2)棱锥B′­ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝32.三棱锥的表面积S锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝23∶6＝1∶ 3.(3)设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为 3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.【答案】(1)C (2)B (3)A空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积．解：法一：设正四棱台为ABCDA 1B 1C 1D 1，如图①.设B 1F 为斜高．在Rt △B 1FB 中，BF ＝12×(8－4)＝2，B 1B ＝8，所以B 1F ＝ 82－22＝215， 所以S 正棱台侧＝4×12×(4＋8)×215＝4815.①法二：设正四棱台为ABCDA 1B 1C 1D 1，延长正四棱台的侧棱交于点P ，作面PBC 上的斜高PE ，交B 1C 1于E 1，如图②.设PB 1＝x ，则xx ＋8＝48， 解得x ＝8. 所以PB 1＝B 1B ＝8， 所以E 1为PE 的中点，又PE 1＝PB 21－B 1E 21＝ 82－22＝215， ② 所以PE ＝2PE 1＝415. 所以S 正棱台侧＝S 大正棱锥侧－S 小正棱锥侧 ＝4×12×8×PE －4×12×4×PE 1＝4×12×8×415－4×12×4×215＝4815.柱、锥、台的体积如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过顶点B ，D ，A 1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥A ­A 1BD 的体积及高．【解】 (1)V 三棱锥A 1­ABD ＝13S △ABD ·A 1A＝13×12·AB ·AD ·A 1A ＝16a 3. 故剩余部分的体积V ＝V 正方体－V 三棱锥A 1­ABD ＝a 3－16a 3＝56a 3.(2)V 三棱锥A ­A 1BD ＝V 三棱锥A 1­ABD ＝16a 3.设三棱锥A ­A 1BD 的高为h ， 则V 三棱锥A ­A 1BD ＝13·S △A 1BD ·h＝13×12×32(2a )2h ＝36a 2h ， 故36a 2h ＝16a 3， 解得h ＝33a .求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒] 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．1．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3B.128π3C ．64πD ．1282π解析：选 A ．作圆锥的轴截面，如图所示．由题设，在 △PAB 中，∠APB ＝90°，PA ＝PB . 设圆锥的高为 h ，底面半径为 r ， 则 h ＝r ，PB ＝2r .由 S 侧＝π·r ·PB ＝162π，得2πr 2＝162π.所以 r ＝4.则 h ＝4. 故圆锥的体积 V 圆锥＝13πr 2h ＝643π.2．圆柱的侧面展开图是长 12 cm ，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288πcm 3B.192πcm 3C.288π cm 3或192πcm 3D ．192π cm 3解析：选 C ．当圆柱的高为 8 cm 时， V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π2×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为 12 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫82π2×12＝192π(cm 3)．3．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O ­EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题易得长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为6×6×4＝144(cm 3)，四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE ，HF ，易知四边形EFGH 的面积为矩形BCC 1B 1面积的一半，即12×6×4＝12(cm 2)，所以V 四棱锥O ­EFGH ＝13×3×12＝12(cm 3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8组合体的表面积和体积如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．【解】 设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ，表面积为 S . 则 R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，所以AE AO ＝EB OC ，即323＝r2，所以 r ＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π.所以 S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π ＝(2＋23)π.1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比．解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r ＝1，高 h ＝3，所以圆柱的体积 V 1＝πr 2h ＝π×12×3＝3π.圆锥的体积 V 2＝13π×22×23＝833π.所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r ＝1，下底面半径 R ＝2，高 h ＝3，母线 l ＝2，所以圆台的表面积 S ＝π(r 2＋R 2＋r ·l ＋Rl )＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.圆台的体积 V ＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝13π(12＋2＋22)×3＝733π.3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为 h ”，试求圆柱侧面积的最大值． 解：设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ， 则 R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ， 所以AE AO ＝EB OC，即23－h 23＝r2， 所以 h ＝23－3r ，S 圆柱侧＝2πrh ＝2πr (23－3r )＝－23πr 2＋43πr ，所以当 r ＝1，h ＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 23π.求组合体的表面积与体积的步骤(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．(3)计算求值：根据设计的计算方法求值．1．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积．解：如图，连接 EB ，EC .四棱锥 E ­ABCD 的体积V 四棱锥 E ­ABCD ＝13×42×3＝16.因为AB ＝2EF ，EF ∥AB ，所以S △EAB ＝2S △BEF .所以V 三棱锥 F ­EBC ＝V 三棱锥 C ­EFB ＝12V 三棱锥 C ­ABE＝12V 三棱锥 E ­ABC ＝12×12V 四棱锥 E ­ABCD ＝4. 所以多面体的体积 V ＝V 四棱锥 E ­ABCD ＋V 三棱锥 F ­EBC ＝16＋4＝20.2．如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，求该几何体的体积．解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为 π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为 10π.1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为( ) A ．22 B ．20 C ．10D ．11解析：选A.所求长方体的表面积S ＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22. 2．正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为( ) A.274 B.94 C.2734D.934解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V ＝13×34×32×3＝934.故选D.3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x ，5x ，则中截面半径为4x ，设上台体的母线长为l ，则下台体的母线长也为l ，上台体侧面积S 1＝π(3x ＋4x )l ＝7πxl ，下台体侧面积S 2＝π(4x ＋5x )l ＝9πxl ，所以S 1∶S 2＝7∶9.答案：7∶94.如图，三棱台ABC A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1ABC ，三棱锥BA 1B 1C ，三棱锥CA 1B 1C 1的体积之比．解：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . 所以VA 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，所以VBA 1B 1C ＝V 台－VA 1ABC －VC A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， 所以体积比为1∶2∶4.[A 基础达标]1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C.设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，所以其母线长l ＝5r .所以S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.2.如图，ABC ­A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C ­AA ′B ′B 的体积是( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：选C.因为V C ­A ′B ′C ′ ＝13V ABC ­A ′B ′C ′＝13， 所以V C ­AA ′B ′B ＝1－13＝23.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π解析：选B.设所截正方形的边长为 a ，则 a 2＝8，即 a ＝2 2.所以圆柱的母线长为 22，底面圆半径 r ＝2，所以圆柱的表面积为 22π×22＋π(2)2×2＝8π＋4π＝12π.4.如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是面A 1B 1C 1D 1内任意一点，则四棱锥P ­ABCD 的体积为( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选B.因为正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 点P 是面A 1B 1C 1D 1内任意一点，所以点P 到平面ABCD 的距离d ＝AA 1＝1，S 正方形ABCD ＝1×1＝1，所以四棱锥P ­ABCD 的体积为：V P ­ABCD ＝13×AA 1×S 正方形ABCD ＝13×1×1＝13.故选B.5．(2019·临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E ，F ，F 1，E 1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )A.32B.74 C ．2D.94解析：选 D ．因为 E ，F ，F 1，E 1 分别为所在棱的中点，所以棱柱 EFCB ­E 1F 1C 1B 1 的体积 V ＝S 梯形EFCB ×3＝34S △ABC ×3＝94S △ABC .设甲中水面的高度为 h ，则 S △ABC ×h ＝94S △ABC ，解得h ＝94，故选 D.6．已知圆柱 OO ′的母线 l ＝4 cm ，表面积为 42π cm 2，则圆柱 OO ′的底面半径 r ＝______cm.解析：圆柱 OO ′的侧面积为 2πrl ＝8πr (cm 2)，两底面面积为 2×πr 2＝2πr 2(cm 2)， 所以 2πr 2＋8πr ＝42π，解得 r ＝3 或 r ＝－7(舍去)， 所以圆柱的底面半径为 3 cm. 答案：37．表面积为 3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为 l ，圆锥底面半径为 r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且 πl ＝2πr .解得 r ＝1，即直径为 2.答案：28．圆柱内有一个内接长方体 ABCD ­A 1B 1C 1D 1，长方体的体对角线长是 10 2 cm ，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是 100π cm2，则圆柱的底面半径为______cm ，高为______cm.解析：设圆柱底面半径为 r cm ，高为 h cm ，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：⎩⎨⎧（2r ）2＋h 2＝ （102）2，2πrh ＝100π，所以⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，h ＝10.即圆柱的底面半径为 5 cm ，高为 10 cm. 答案：5 109．如图，已知正三棱锥 S ­ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a ，斜高为 h ′，过点 O 作 OE ⊥AB ，与 AB 交于点 E ，连接 SE ，则 SE ⊥AB ，SE ＝h ′.因为 S 侧＝2S 底，所以 3×12·a ·h ′＝34a 2×2.所以 a ＝3h ′. 因为 SO ⊥OE ， 所以 SO 2＋OE 2＝SE 2.所以 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2.所以 h ′＝23，所以 a ＝3h ′＝6.所以 S 底＝34a 2＝34×62＝93， S 侧＝2S 底＝18 3.所以 S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.10．若 E ，F 是三棱柱 ABC ­A 1B 1C 1 侧棱 BB 1和 CC 1 上的点，且 B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为 m ，求四棱锥 A ­BEFC 的体积．解：如图所示， 连接 AB 1，AC 1. 因为 B 1E ＝CF ，所以 梯形 BEFC 的面积等于梯形 B 1EFC 1 的面积． 又四棱锥 A ­BEFC 的高与四棱锥 A ­B 1EFC 1 的高相等， 所以 V A ­BEFC ＝VA ­B 1EFC 1 ＝12VA ­BB 1C 1C . 又 VA ­A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，VABC ­A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·h ＝m ，所以 VA ­A 1B 1C 1＝m3，所以 VA ­BB 1C 1C ＝VABC ­A 1B 1C 1－VA ­A 1B 1C 1＝23m .所以 V A ­BEFC ＝12×23m ＝m3，即四棱锥 A ­BEFC 的体积是m3.[B 能力提升]11．(2018·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选 C ．由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V ＝12×(1＋2)×2×2＝6.故选 C.12．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1. 答案：262－113．用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为 22，其面积为 8.答案：814．如图所示，已知三棱柱ABC ­A ′B ′C ′，侧面B ′BCC ′的面积是S ，点A ′到侧面B ′BCC ′的距离是a ，求证：三棱柱ABC ­A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .证明：法一：如图所示，连接A ′B ，A ′C ，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥． 显然三棱锥A ′­ABC 的体积是13V ，而四棱锥A ′­BCC ′B ′的体积为13Sa ，故有13V ＋13Sa ＝V ，所以三棱柱ABC ­A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .法二：如图所示，将三棱柱ABC ­A ′B ′C ′补成一个四棱柱ACBD ­A ′C ′B ′D ′，其中AC ∥BD ，AD ∥BC ，即ACBD 为一个平行四边形，显然三棱柱ABD ­A ′B ′D ′的体积与原三棱柱ABC ­A ′B ′C ′的体积相等．因为四棱柱ACBD ­A ′C ′B ′D ′以BCC ′B ′为底面，高为点A ′到面BCC ′B ′的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa ，于是三棱柱ABC ­A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .[C 拓展探究]15．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12 m ，高为 4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加 4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪种方案更经济些？解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V 1，V 2.方案一：仓库的底面直径变成16 m ，则其体积V 1＝13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1622×4＝2563π(m 3)；方案二：仓库的高变成8 m ，则其体积V 2＝13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1222×8＝96π(m 3)．(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S 1，S 2. 方案一：仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ， 此时圆锥的母线长为l 1＝82＋42＝45(m)， 则仓库的表面积S 1＝π×8×(8＋45) ＝(64＋325)π(m 2)；方案二：仓库的高变成8 m ，此时圆锥的母线长为l 2＝82＋62＝10(m)， 则仓库的表面积S 2＝π×6×(6＋10) ＝96π(m 2)．(3)因为V 2＞V 1，S 2＜S 1， 所以方案二比方案一更加经济．。