第三章幂级数展开
03_幂级数展开
k = n +1
∑ w ( z) < ε
k
n+ p
( p 为任意正整数 为任意正整数)
如果N和 无关 就称复变项级数 无关, 复变项级数(2)在 或 上一致收敛。 如果 和z无关,就称复变项级数 在B(或l)上一致收敛。
在区域B上一致收敛的复变项级数的每一项都是 上的连续 在区域 上一致收敛的复变项级数的每一项都是B上的连续 上一致收敛的复变项级数的每一项都是 函数,则级数的和也是B上的连续函数 上的连续函数。 函数,则级数的和也是 上的连续函数。 上一致收敛的复变项级数的每一项都是l上的连续 在曲线 l上一致收敛的复变项级数的每一项都是 上的连续 上一致收敛的复变项级数的每一项都是 函数,则级数的和也是l上的连续函数 而且级数可以沿l逐项 上的ห้องสมุดไป่ตู้续函数, 函数,则级数的和也是 上的连续函数,而且级数可以沿 逐项 积分。 积分。 如果对于某个区域B(或曲线 上所有的点z,复变项级数(2) 如果对于某个区域 或曲线l)上所有的点 ,复变项级数 或曲线 上所有的点 的各项的模 wk ( z ) ≤ mk ,而正的常数项级数
由此,可得到收敛半径R的另一公式: 由此,可得到收敛半径 的另一公式: 的另一公式
1 R = lim k →∞ k | a | k
幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛。 幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛。
的收敛圆, 为复变数 为复变数。 例1:求幂级数 :求幂级数1+t+t2+⋅⋅⋅ +tk+⋅⋅⋅ 的收敛圆,t为复变数。
a0 + a1 z − z0 + a2 z − z0 + ⋅⋅⋅ + ak z − z0 + ⋅⋅⋅
幂级数展开
1
1
2
由于级数在CR1上一致收敛,由一致收敛级数的逐项可积 分性质得:
1 2 i
w ( )
CR1
z
d
1 2 i
a0
CR1
z
d
1 2 i
a1 ( z 0 )
CR1
z
d
1 2 i
a 2 ( z 0 )
k
证明: 取比收敛圆稍稍缩小的圆周CR1, 为其上的任 一点,级数的和记作 (3.2.9)
w ( ) a 0 a1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )
2
取CR1内任一点z, 1 a ( z ) 1 2 (i z 用有界函数 a a z ) 1 w ( ) 1 遍乘上式 i z 2 i z 2 i z 2 2 i z
解: R lim
k
级数在 z 1 绝对收敛
=
例2.求幂级数 1 z 2 z 4 z 6 的收敛圆,z为复变数 解:把 z 记作 t ,则级数为 1 t t 2 t 3 , t面上的
2
收敛半径
R lim
ak a k 1
k
1
则z面上的收敛半径为
其中, W ( z )
k 1
W (z)
wk ( z )
则级数在区域B上(或者曲线L)一致收敛于 W ( z ) W ) W ((zz) 称为和函数
,
注意: 一致收敛的概念是和一定的区域联系在一起
b.一致收敛的充要条件 对于B上(或L)上的点z, ,存在自然数
第三章幂级数展开
第三章 幂级数展开ξ3.1 复数项的级数一.复数的无穷级数可表示为:121kk n k ww w w w ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑ (1)其中:k k w u iv =+前n 项和为:11nn k k n k s w w w w w ===++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑=11nnkkk k ui v ==+∑∑当n →∞时级数:n s →级数:1kn w∞=∑故111n kkk k k k w u i v ∞∞====+∑∑∑一个复数项级数可分解为实部项级数可虚部项级数两个级数的组合收敛问题是线性讨论级数的一个重要方面,而复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数(实部和虚部)的收敛 1. 柯西收敛判据:一个级数还可写为:11kn kk k n ws w∞∞=≠+=+∑∑ (4)其中n s 是钱n 项和1kk n w∞≠∑为余项判据:任何一个小正数ξ>0 若能找到一个N 使得n>N 时1n pkk n wξ+=+<∑则称1kn w∞=∑收敛,其中p 为任意整数 2. 绝对收敛若11kk k w∞∞===∑∑是收敛的,则1kk w∞=∑绝对收敛两个敛的级数相乘后所得的级数耶是绝对收敛的,其和等于相乘级数和的乘积二.复变项级数(复变函数项级数) 1.函数项级数一般表示为:121()()()()kkk w z w z w z w z ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅∑ (5)函数项级数的收敛问题得涉及到z 的取值域,若z 在B 上取值是(5)收敛,则称1()kk w z ∞=∑在B 上收敛。
B 称为1()kk w z ∞=∑的收敛域函数项级数也可表示为:111()nkkkk k k n w z ww∞∞===+==∑∑∑ (6)2. 函数项级数的收敛 如在B 上,对于个点z任意给0ξ>,若存在N 使得n>N 时有1n pkk n wξ+=+<∑则称级数1()nkk w z =∑在B 上一致收敛3.收敛级数性质(1)在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都是B 上的连续函数 (2)在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都可积分⇒逐项积分 (3) 若有()k k w z m ≤,而1kk m ∞=∑是收敛的,则()kw z ∑绝对且一致收敛ξ3.2 幂级数最典型也最常见的级数——即级数的各项都是幂函数2001020()()()k k k a z z a a z z a z z ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ (1) 其中0z 、0a 、1a 、2a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是复常数,这一的级数叫做以0z 为中心展开的幂级数 一.级数收敛判别法1. 比值判别法(达朗贝尔判别法): 若:110100lim lim1k k k kk k kka z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- (3)则(2)正项级数收敛,亦即级数(1)绝对收敛 2. 根值判别法若:1k < (4)则级数(2)收敛,亦即级数(1)绝对收敛3. 收敛域和收敛半径函数级数的收敛问题(从根本上)具体要涉及的是收敛u 的问题即,z 在什么样的范围内取值级数是收敛的,收敛判别法本身给出了z 的取值范围: 由判别法“1”:01l i m kk k a z z a →∞+-< (5)则 1limkk k a R a →∞+= (6)为级数(1)的收敛半径 只要满足0z z R -< 的所有点其级数(1)都收敛则以0z 为中心R 为半径的区域是(1)的收敛区域,对应圆称(1)的收敛圆。
数学物理方法_第三章_幂级数展开
数学物理方法_第三章_幂级数展开幂级数展开是数学物理中常用的一种方法,它是通过使用幂级数来表示一个函数,从而方便对函数进行近似计算和分析。
在许多问题中,幂级数展开可以简化计算的复杂性,帮助我们更好地理解问题的本质。
幂级数是一个无穷级数,形式为:f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...其中,a0、a1、a2...是常数系数,x0是展开点。
幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数,进而通过截断级数的方式来近似求解。
这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。
幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开,泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。
泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。
泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示,形式如下:f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...幂级数展开的应用非常广泛,它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。
以下是幂级数展开的几个典型应用:1.函数逼近幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。
通过截断幂级数,我们可以用其前几项来近似计算函数的值。
这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的,因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。
2.微分方程的求解使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。
对于一些微分方程,无法找到解析解,但通过将解展开成幂级数的形式,可以将微分方程转化为代数方程,从而求得解的逼近解。
3.近似计算幂级数展开是一种常用的近似计算方法。
通过截取幂级数的前几项,我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式,从而方便我们进行数值计算。
4.解析几何的研究在解析几何中,幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。
通过展开曲线或曲面,我们可以对其性质进行分析和计算,帮助我们更好地理解几何问题。
03幂级数展开
R'
数学物理方法
例1
解:
在z=0的邻域将 f(z)=ez展开
f ( k ) ( z) e z , f ( k ) (0) 1
( z )
2 k k z z z e z 1 z ... ... 2! k! k 0 k !
数学物理方法
例2
在z=0的邻域将 f1(z)= sin z和f2 (z)= cos z展开
数学物理方法
§3.3泰勒级数展开
Taylor定理
设函数 f(z)以z0的领域U(z0,R)中解析,那么f(z)在该
领域中可展开为如下幂级数:
f ( z ) ak ( z z 0 )
k 0
k
CR
f ( ) 其中 ak d k 1 2 i CR ' ( z0 ) 1 1 (k ) f ( z0 ) k!
ak R lim k a k 1
R lim
1 ak
k k
数学物理方法
t为复变数。 ak 1 解: R klim a k 1
例1
2 k 1 t t ... t ... 的收敛圆, 求幂级数
1 1 t t ...t ... ( t 1) 1 t 2 4 6 求幂级数 1 z z z ...的收敛圆, 例2
CR z
f ( z)
2 i
C k 0
1
f ( )( z z0 ) k d k 1 ( z0 )
R z0
CR
'
1 f ( ) k d ( z z ) 0 k 1 k 0 2 i C ( z 0 ) f ( k ) ( z0 ) k ( z z ) 0 k! k 0
数学物理方法复变函数第三章幂级数
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法, 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法,适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式,可以方便地求解出函数 的导数或积分,从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法,能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式,可以方便地求解出函数的积分,从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径,即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次,可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大,则表示幂级数在整个定义域内都收敛;如果收敛半径为 零或负无穷大,则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种,其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用,能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式,可以方便地求解出函数的值,特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时,幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法,能够得到精确 的解或近似解。
第三章 幂级数展开
第三章 幂级数展开3-1 3-2 3-3 幂级数一、复数项级数∑∞=1n n w, n n n iv u w +=二、幂级数()∑∞=-10n n n z z a 收敛半径:1/lim +∞→=n n n a a R 三、泰勒级数()()()()n n n z z z f n z f 000!1-=∑∞=3-4 解析延拓一、解析延拓的含意解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。
替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。
二、解析延拓的唯一性无论用何种方法进行解析延拓,所得到的替换函数都完全等同。
3-5 罗朗级数一、罗朗级数若()z f 在102R Z Z R <-<内单值解析,则对该区域上任一点可展开为()()()()n n n n n n n n n z z a z z a z z a z f 00010-+-=-=∑∑∑∞=--∞=∞-∞= 罗朗级数主要部分 解析部分()()ξξξπd z f i a C n n ⎰+-=110 21二、关于罗朗级的说明● 0z 是级数的奇点,但不一定是()z f 的奇点。
● ()()!/0n z f a n n ≠● 若仅有环心是()z f 的奇点,则内园半径可任意小。
● 罗朗级数具有唯一性。
三、例例1 将()z z f sin =,∞<z ,展开为罗朗级数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= 753!71!51!31x x x x s i x 解 +-+-=753!71!51!31s i n z z z z z 例2 在∞<<z 1的环域上将函数()()1/12-=z z f 展开为罗朗级数。
()()1111--=-=x x x f 1≠x ()10=f()()21--='x x f ()10='f()()312--=''x x f ()20=''f()()41!3--='''x x f ()!30='''f()()()()11!+--=n n x n x f ()()!0n f n =()∑∞==++++++=-03211/1n n n x x x x x x ()()()∑∞=-=+-++-+-=+0321111/1n n nn n x x x x x x 解 nn z z z z z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-02222211111111 ++++=86421111zz z z例3 在10=z 的邻域上将函数()()1/12-=z z f 展开为罗朗级数。
北京大学数学物理方法经典课件第三章-幂级数展开
泰勒级数的定义及性质
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式,它将函数展开为一系列的非负整数次幂函数的和。泰勒级数在解析学中起 着重要的作用,具有一些重要的性质。
泰勒展开的应用
通过泰勒展开,我们可以将复杂的函数近似为一个多项式,从而简化计算和分析。泰勒展开在数学和物理领域 中有广泛的应用,包括数值计算、数值解微分方程等。
幂级数展开的基本思想和方法
幂级数展开的基本思想是将待展开的函数表示为幂级数的形式,然后通过求 解系数的方式得到展开式。常用的展开方法包括泰勒展开和洛朗展开。
幂级数展开的典型例题
通过具体的例题,我们可以更好地理解和应用幂级数展开。这些例题涉及到各种函数的展开,以及如何利用展 开式求解问题。
幂级数练习题解析
为了加深对幂级数展开的理解提高 解决问题的能力和技巧。
幂级数分析的收敛性问题
在进行幂级数展开时,我们需要考虑展开式的收敛性。这一节将介绍幂级数 在不同区域内的收敛性条件,并给出相应的判别方法。
幂级数收敛半径的计算方法
幂级数的收敛半径是一个重要的概念,它决定了幂级数在哪些点上收敛。我们将介绍几种计算收敛半径的方法, 并通过例题进行实际应用。
经典函数的泰勒级数展开
许多经典函数都可以表示为泰勒级数的形式。在这一节中,我们将重点介绍 几个常见函数的泰勒级数展开,比如指数函数、对数函数、三角函数等。
洛朗级数的定义及性质
洛朗级数是一种特殊的幂级数展开形式,它包含了正幂次和负幂次两部分。 洛朗级数在解析学和复变函数中有重要的应用。
洛朗展开的应用
幂级数展开的误差估计
在实际计算中,我们常常需要估计幂级数展开的误差。这一节将介绍如何使 用剩余项来估计幂级数展开的误差,并给出具体的计算方法。
第三章 幂级数展开
n d
3.6 孤立奇点的分类
对于解析函数f(z)的孤立奇点z=z0,在挖去奇
点的环域上作Laurent展式:
f z bk z z0 k
k
由展开式的情况,将奇点分为三种类型:
1) 可去奇点
展开式中无负幂次项,性质 lim f z b0
2) m阶极点
z z0
展开式中有有限项负幂次项,其最高的负幂
解: 1) f z 1 1 1
2 z 1 z 3
1
z 1
1 z1
1 z
1n
n0
1 z n1 ,
1 z3
11 31 z
3
1n
n0
zn 3n 1
f z
1 2
n0
1n
1 z n1
1n
n0
zn 3n 1
2) f z
1 2
n0
1n
1 z n1
1n
n0
3n z n1
bk z z0 k , bk
k 0
1
2i C
(
f
z0 ) k 1
d .
在
C r
上
:
z0
z z0 ,
1 z
z0
1
z
z0
1 z z0
1
1 z0
z z0
k 0
z0
z z0
k
k 1
,
1
f d
2i Cr z
1
[
k 0 2 i CR
f
z0 n d ]z z0 n1
z0 ) k 1
k 0
f
n (z0 k!
)
(
z
z0
数学物理方法 第三章 幂级数展开
y
∞ 1 1 1 1 1 ∞ 1 例: ∑ Re z ⋅ 2k = ∑ x ⋅ 2k = x ∑ 2k k =1 k =1 k =1 ∞
i D1 D2
1 n+ p 1 1 2 若级数收敛,则∀ε > 0, 要求 | ∑ k |< ε o x x k = n +1 2 N与x有关,当x → 0时,N (ε , x) → ∞, 在D1上找不到最大的N, D1上收敛但不一致。 D 2上,x > 1, ∃N (ε ,1), D 2上一致收敛,
上次课复习
柯西Cauchy定理
单连区域柯西定理:
如果函数f(z)在闭单通区域B上解析,则沿B上的 任一分段光滑闭合曲线l,有
∫ f ( z )dz = 0
l
复通区域柯西定理:
如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数,则
∫ f ( z )dz + ∑ ∫
l i =1
n
li
f ( z )dz = 0
wuxia@
k +1 1 k 1
ak +1 1 = lim | | R1 = R1 < 1 k →∞ ak R
wuxia@
k =1
收敛,则幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛。
例1:求幂级数1 + t + t 2 + ⋯ + t k + ⋯的收敛圆,t为复变数。 解: ak ak = 1, R = lim | |= 1 k →∞ a k +1 收敛圆以t = 0为圆心,R = 1,圆内表示为 | t |< 1 说明: 其实,本例是几何级数,公比为t, t k = 1 + t + t 2 + ⋯ + t n ∑
第三章 幂级数展开
=1
R =1
★故级数在 t <1的圆内收敛。 ★级数的和为(几何级数):
1 1 t t .... 1 t
2
( t 1)
例⒉ 求级数的 1 z 2 z 4 z 6 .... 收敛半径。z为复变数
解
令
tz
2
2 4
1 ★级数为: 1 t t t .... 1 t2
★两边乘
1 1 2 i z
1 a0 1 a1( z0 ) 1 a2 ( z0 )2 1 w( ) 2 i z 2 i z 2 i z 2 i z
★两边积分,并应用柯西公式:
1 f ( ) f ( z) d 2 i c R1 z
a0 1 ( ) 1 w( z ) d d 2 i c R1 z 2 i c R1 ( z ) a1 ( z0 ) 1 1 d 2 i c R1 z 2 i a2 ( z0 ) cR1 z d .....
m k
s1 u1 s2 u1 u2
s3 = u1 +u2 +u3 s u1 u2 u3 ...... lim Sn S
n
u ★则,称级数 k 收敛; k
★这极限S 称为这级数的和。 ★反之,称为极限不存在。
m
(2)实数项级数柯西收敛原理
k
n
k
n p
k n 1
k 1 k k
k 1 k
ak lim ( z z0 ) 1 k a k 1
★则绝对收敛,否则发散。 ★收敛半径为
ak R lim k ak 1
数学物理方法 3 幂级数展开
无穷级数:一无穷多个数构成的数列w1,w2,w3, wn, 写成w1+w2+w3+ wn+ 就称为无穷级数。这仅是一种形 式上的相加。这种加法是不是具有‘和数’呢?这个‘和数’ 的确切意义是什么?
为什么要研究级数? (1) 级数可作为函数的表达式,是研究函数的工具; (2) 常微分方程的级数解。
wk
(z)
k 0
lim
z z0
wk
(z)
13
性质2: 若级数 wk (z)在区域B内的分段光滑曲线l上一致收 k 0
敛,且wk(z)为l上的连续函数,则级数可沿l逐项积分:
l wk (z)dz l wk (z)dz
k 0
k 0
性质 3: 若 wk z 在闭区域 B 内单值解析,且 wk (z) 在 B
(z 1),
由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
, z
所以当 z 1时级数收敛.
7
3.复数项级数收敛的条件
(1) 定理 级数 wn (un ivn ) 收敛的充要条件
n1
n1
un 和 vn 都收敛.
n1
k 0
14
绝对一致收敛
对于复函数序列 {wk (z)} ,存在正数列{mk} ,使对区域 B
内的一切 z,有| wk (z) | mk (k 0,1, 2,) ,而正项级数 mk k 0
收敛,则复函数项级数 wk (z) 绝对一致收敛. k 0
3.2 幂级数 (一) 定义
第三章-幂级数展开
解: ak = (1)k 实际上对于
R = lim
ak =1 k →∞ a k +1
收敛圆 z < 1
1 1+ z2
z <1
1 z 2 + z 4 + ( 1) k z 2 k + =
4. 幂级数的积分表示
利用柯西公式
在一个比收敛圆 C 内稍小的圆 C’ 中幂级数绝对 一致收敛,故可沿这个圆逐项积分。
#
关键在确定 ak ,但这不是唯一的方法
z 例 (1) f ( z ) = e ,
z0 = 0 能直接求导就求导
0
解: ( z0 ) = e = e = 1 f
(k ) z0
e
z
=
∑
∞
k =0
zk k!
#
1 / k! R = lim = lim k + 1 = ∞ . k → ∞ 1 /( k + 1 )! k→∞
(z0) =(1) sinz0 =0,
k
#
sin z =
∑
∞
k =0
( 1) k z 2 k +1 ; ( 2 k + 1)!
cos z = ∑
k =0
( 1) k z 2 k . ( 2 k )!
R = ∞.
(3)
f ( z ) = ln z ,
z0 = 1
解: z 是多值函数,各分支在支 ln 点 0, ∞ 相连。但 z 0 = 1 不是 支点,在其 z z < 1 的邻域 各分支相互独立。因此,我们 可以只讨论展开的主值。
m / k! k +1 k R = lim = lim =1 k→∞ m k→∞ m k /( k + 1)! k + 1
第三章幂级数展开
函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开 函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开
18
解析函数的一个等价命题
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数
19
展成幂级数的几种方法
直接方法
间接方法 函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开
时,有 n p
wk (z)
k n1
其中p为任意正数
若与z无关则称 一致收敛
5
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛,且wn(z) n 1
连续,则该级数在B内连续
级数 wn (z) 在C上一致收敛,且wn(z) n 1
在C上连续,则
wn (z)dz wn (z)dz
n
8
举例
求级数 z n 的敛散半径及收敛圆
n 1
9
求级数 (1)n1 z2(n1) 的敛散半径收敛圆 n1
10
内闭一致收敛
幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
幂级数的性质
在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性
11
可积性
12
第三节 Taylor级数展开
13
Taylor定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析,则对于圆内
n
则
f (z) an (z z0 )n
n
(1) 在B内连续;
(2) 在B内解析,且于B内可逐项可导;
第三章 幂级数展开
z z0 1 z 在 C R1 内部, 在 C R1 上, z0
1 1 z z0
z z0 k 0 z 0
z z0 z k 1 k 0 0
k k
k
1 f ( z) 2 i
称为双边级数。
正幂部分的收敛范围: 在 z z0
ak 。 R1 圆域内收敛,收敛半径为 R1 lim k a k 1
负幂部分的收敛范围:
R2 lim 在 R2 z z0 圆外域内收敛,
a ( k 1) a k
k
。
k
lim
a ( k 1) ( z z 0 ) ak ( z z 0 )
k a ( z z ) ,则有 k 0 k 0
若记幂级数的收敛函数为: w( z )
w( z ) a k k ( z z 0 ) k 1 (k 1)a k 1 ( z z 0 ) k
k 1 k 0
l
w( z )dz a k ( z z 0 ) k d z
w( z ) 为解析函数。
k 0
1 k 例 1. 求幂级数 z 的收敛半径。 k 0 k!
R lim
1 k! 1 k ( k 1)!
(k 1)! lim lim(k 1) k k k!
zk 在整个复平面上都收敛。 k 0 k!
解:
f (0) 0 ,
f ( z ) cos z sin( z
2
),
f ( z) sin z sin(z ) ,
3-幂级数展开
第三章幂级数展开函数有精确表示和近似表示:精确表示(解析表示)表示为初等函数通过四则运算;近似表示:逼近 -近似表示为初等函数通过四则运算;级数表示 -表示为一个函数级数。
函数级数表示的意义:利用级数计算函数的近似值; 级数法求解微分方程;以级数作为函数的定义;奇点附近函数的性态。
§3.1 复数项级数(一)复数项级数的概念 ++++=∑∞=k k k w w w w210kk k v u w i +=级数是无穷项的和, 复无穷级数 ()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=+=0000k k k k k k k k k v i u iv u w 原级数成为 ∑∞=0k k w ∑∞=0k k u ∑∞=0k k v 这样复级数 归结为两个实级数 与 , 实级数的一些性质可移用于复级数。
(二)收敛性问题1、收敛定义:2、柯西收敛判据 (级数收敛的充分必要条件): 对于任给的小正数 ε 必有N 存在,使得 n>N 时,,1ε<∑++=p n n k k w ,0∑==nk k n w S 前n+1项和当n → ∞,有确定的极限, 便称级数收敛, S 称为级数和;若极限不存在,则称级数发散。
n n S S ∞→=lim3、绝对收敛级数若 收敛,则 绝对收敛. ∑∑∞=∞=+=1220||k k k k k v u w ∑∞=0k k w , ,00B q A pk k k k ==∑∑∞=∞=ABc q p q p n n k l lk k k k k ===⋅∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=00000∑-=nkn k n q p c 绝对收敛级数改变先后次序,和不变.两个绝对收敛级数逐项相乘,其和收敛,为两级数和之积.(三) 复变项级数++++=∑∞=)()()()(210z w z w z w z w kk k 的每一项都是复变函数。
实际上,对于 z 的一个确定值,复变项级数变成一个复数项级数。
解析延拓
数学物理方法
由于这种级数没有首项, 所以对它的敛散性我们无法 象前面讨论的幂级数那样用前 n 项和的极限来定义, 容易 看出双边幂级数是由正幂项(包含常数项)级数
an ( z z 0 ) n
n 0
(3.5.1)
和负幂项级数
n
1
an ( z z0 ) n a n ( z z0 ) n
材料与光电物理学院数学物理方法第三章幂级数展开1复数项级数2幂级数3泰勒级数展开4解析延拓5洛朗级数展开6孤立奇点的分类数学物理方法34解析延拓我们来回顾一下前面讲的幂级数例注意到上面几个式子后面括号里注明成立的条件如果取消条件则等号两边并不一回事
数学物理方法
陈尚达
材料与光电物理学院
第三章 幂级数展开
数学物理方法
3.5.1双边幂级数
形如
n
an ( z z0 ) n
a n ( z z0 ) n a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2
的级数称为双边幂级数, 其中 z0 , an (n 0, 1, 2, ) 都是复 常数。
R2 z z0 R1 内收敛; 在圆环外发散; 而在
圆环上,可能有些点收敛,有些点发散。 (2) 当 R2 R1 时, 正幂项级数和负幂项级数收敛域 的交集等于空集,此时原级数发散。 因此,双边级数的收敛域为圆环域:
R2 z z0 R1 。 顺便指出,在特殊情况下,
圆环域的内半径 R2 可能为 0,外半径 R1 可能是 无穷大。
n 1
(3.5.2)
两部分组成。
数学物理方法 因此,我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散 性来定义原级数的敛散性。规定:当且仅当正幂项级数和负
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解析性
n
wn(z)在B内解析,则f(z)在B内解析,且
( f ( k ) ( z ) wnk ) ( z ) n 1
7
第二节 幂级数
概念
an ( z z0 ) n 的级数被称为以z0为中心 形如
n 1
的幂级数,其中an是复常数。
收敛半径与收敛圆
an ( z z 0 ) n 若存在正数R,使得当|z-z0|<R时,级数
n 1 n 1 n 1
绝对收敛与条件收敛
称级数 wn 是绝对收敛的,如果
n 1
| w
n 1 n 1
n
|是收敛的
称级数
n 1
w
n 1
n
是条件收敛的,如果 | wn | 是发散的,
3
而 wn 是收敛的
举例
1 i / n 考察级数 1 e 的敛散性 n n 1
举例
1 1/ z 1 , e , 孤立奇点的例子 z 1 z2 1 非孤立奇点的例子 sin(1 / z ) 1
问题的提出
已知结果:当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析,Taylor定理 告诉我们,f(z)必可展开成幂级数。
问题是:当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时,能否展
开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
24
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
n 1
1 z z0
R1
z0
R2
z0
|z-z0|<R1
R2<|z-z0|
R1
R2
z0
收敛环 R2<|z-z0|<R1
27
R1
双边幂级数的性质
R2
B
z0
定理
设双边幂级数
n
a ( z z ) 的收敛环B为R2<|z-z0|<R1,
n n 0 n
则
f ( z)
第三章 幂级数展开
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
复数项级数 幂级数 Taylor级数表示 解析延拓 Laurent级数表示 孤立奇点的分类
1
第一节 复数项级数
复数项级数
概念
形如 w1 w2 wn wn 的表达 式被称为复数项级数,其中wn是复数。
Cauchy (根式) 公式 R lim
n n
9
举例
z n 的敛散半径及收敛圆 求级数
n 1
10
求级数 (1)
n 1
n 1
z 2( n 1) 的敛散半径收敛圆
11
内闭一致收敛
幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
幂级数的性质
在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性
12
可积性
CR1
R1
f ( ) 其中 ak ( z0 )k 1 d 2 i C 1
z
R2
z0
C
29
CR2
说明
1 (n) (1)与泰勒展开系数不同 an f ( z0 ) n!
(2) Laurent级数展开的唯一性
(3) Laurent级数中的z0点可能是f(z)的奇点,也可能 不是f(z)的奇点 (4) 与泰勒级数定理不一样,我们一般不利用洛朗 级数定理计算洛朗级数展开
z
R'
z0 CR'
15
16
举例
函数 f(z)=ez 在z=0点的Taylor级数展开
17
函数 f(z)=sin z和f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
18
函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开
函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开
z
z
1 z
将z全换成1/z即得
1 1 11 1 1 1 1 e 1 2 3 1! z 2! z 3! z k 0 k! z
1 z k
1 e zk 即 ! k k
34
21
第四节 解析延拓
1 1 t t t 1 t
2 k
(| t | 1)
F (z )
f (z )
1 1 z z z 1 z2
2 4 6
(| z | 1)
解析延拓:已给某个区域b上的解析函数f(z),能否找到 另一个函数F(z),它在含有区域b的一个较大的区域B上 是解析函数,而且在区域b上等同于f(z)。 简单地说,解析延拓就是解析函数定义域的扩大!
k
0<|z-1|<2
1 1 1 1 k k 1 k 2 z 1 2 z 1 2 z 1 k 0 2 (0 | z 1| 2)
负幂项
(2)0<|z-1|<2
33
例3
在z=0的邻域上把 f(z)=e1/z 展开
已知
1 k 1 1 2 1 3 e z 1 z z z 1! 2! 3! k 0 k!
22
原则上讲,解析延拓都可以利用泰勒级数进行。具体 地说,选取区域b的任一内点z0,在z0的领域上把解析 函数f(z)展开为泰勒级数,如果这个泰勒级数的收敛圆 有一部分超出b之外,解析函数f(z)的定义域就扩大了一 步。这样一步又一步,定义域逐步扩大。
解析延拓是唯一的!
23
第五节 Laurent级数表示
k
0 z 1 2中心为z=1,因此是要将
2
f(z)展开成(z-1)的幂级数
1 12 12 2 z 1 z 1 z 1
-1
1
?
1 1 1 1 2 z 1 4 1 ( z 1) 2 1 k z 1 1 4 k 0 2
13
第三节 Taylor级数展开
14
Taylor定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析,则对于圆内
任一点z,函数f(z)可写成
f ( z ) ak ( z z 0 ) k
k 0
CR R
f ( ) 其中 ak ( z0 )k 1 d 2 i C ' R 1 1 (k ) f ( z0 ) k!
a (z z )
n 0
n
(1) 在B内连续; (2) 在B内解析,且于B内可逐项可导; (3) 在B内可逐项积分。
28
Laurent定理
设函数 f(z) 在环状域 R2<|z-z0|<R1 的内部单值解析,
则对于环内任一点z, f(z)可展开成
f ( z)
n
an ( z z0 ) n
n 1
概念
复变函数。
收敛与发散
点收敛:
w ( z ) 收敛称之 w ( z ) 收敛,z∈B,称之
n 1 n
5
域收敛:
n 1
n
0
收敛的充分必要条件
级数
n 1
w ( z )收敛的充分必要条件是 u ( x, y)
n 1 n n 1 n
和 vn ( x, y ) 都收敛,其中
Laurent级数展开
(1)1<|z|<∞
1 的定义域是 z 1 f ( z) 2 1 z 1 z 中心为z=0,因此是要将
f(z)展开成z的幂级数
1 -1 1
1<|z|< ∞
1 1 1 1 z2 z2 z4 z6 k 0
32
1 1 1 2 z 2 2 1 z 1 1 2 z z
考察级数
z n 的敛散性
n 1
(1) n i 考察级数 n n 2 的敛散性 n 1
4
复函数项级数
形如 w1 ( z ) w2 ( z ) wn ( z ) wn ( z )
的表达式被称为复数项级数,其中wn(z)是
sin z z2 z4 z6 1 (| z | ) z 3! 5! 7! sin z ( z 0) z f ( z) lim sin z 1 ( z 0) z 0 z
定义f(z)
解析延拓
31
例2 函数 f(z)=1/(1-z2) 分别在1<|z|<∞ 和 0<|z-1|<2内的
n 1
an ( z z0 ) n 发散,则 收敛;而得当|z-z0|>R时,级数
称R为级数 an ( z z0 ) 的收敛半径,其中|z-z0|<R被
n n 1
n 1
称为收敛圆。
8
收敛半径的求法
D'Alembert公式
an R lim n a n 1 1 an
n
an ( z z 0 ) n
其中
a (z z )
n 0 n 0 n 1
n
被称为双边幂级数的正幂部分
an ( z z0 ) n 被称为双边幂级数的负幂部分
25
收敛环的确定
设正幂部分的收敛半径为R1;而负幂部分在变换 ζ=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2 ,则其在|z-