点的运动学

a y r cos t
2
a x r sin t
2
v y r sin t
a a x a
2
M
2
y
r
D
2
cos(a, j)
当t 2
ay a
cos
a
C φ H

时，
v x 0, v y 0;
a y r
2
a x 0,
当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直 于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。
v x r (1 cos t )
v v 2 x v 2 y r (1 cos t ) 2 sin 2 t
t 2r sin 2
cos( v, j) cos vy v
M
v

2
φ
D
C
Biblioteka Baidu
t
2
cos
H
3.求M点的加速度。
v x r (1 cos t )
D M
C
B
M
C φ
x
H
O
A
得M点的运动方程
x r(t sin t ) y r(1 cost )
方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。
y
D C D
C
x O
M
P M
2.求M点的速度。
x r(t sin t ) y r(1 cost )
v y r sin t
例：一人在路灯下由灯柱起以匀速 u 沿直线背离 灯柱行走。设人高 AB=l ，灯高 OC=h ，试求头顶
影子M 的速度和加速度。
C
A
h l
B O M
解：取坐标轴 Ox 如图。
C
A l O ut x B M
h
OM BM OC AB
x
即
x x ut h l
得 M 点的直线运动方程
h x ut hl
dv dv a (直线.曲线都一样), dt a dt
为速度的
③指出在下列情况下,点M作何种运动? <1> a n 0 , a 常数 <2> a 0, 常数 <3> a 0 (匀变速直线运动) (匀速圆周运动)
(匀速直线运动或静止) <4> a n 0 , (直线运动) <5> a 0, v 常数 (匀速运动) <6> 常数 (圆周运动) <7> a 0 (匀速运动) <8> a n 0 (直线运动) <9> a 0, an 常数 (匀速曲线运动) <10> a 常数, an 常数 (匀变速曲线运动)
dy vy dt
vx cos(v, i ) v vy cos(v, j ) v vz cos(v, k ) v
2 2 v vx v2 v y z
加速度
d vv d d d vv d vv d vv d d yy xx zz a a ii jj kk a a ii a a a a kk xx yyjj zz d d tt d d tt d d tt d d tt
速度v
点M在t瞬时的速度：
dr v dt
速度方向 矢径矢端曲线切线
加速度a
dv d r 2 a dt dt
2
二。
1、运动方程
直角坐标法
x x (t ) y y (t ) z z (t )
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r xi y j zk
2、运动轨迹
运动方程中消去时间t
dvx d 2 x ax 2 dt dt
2 2 a ax a2 a y z
ay
dv y dt

d y dt 2
2
dvz d 2 z az 2 dt dt
ax cos( a, i ) a ay cos( a, j ) a az cos( a, k ) a
判断点的运动性质：
(A) 越跑越快； (B) 越跑越慢； (C) 加速度越来越大； (D) 加速度越来越小。
ds v k dt 2 2 v k dv a 0 an dt
例： 半径为ｒ的轮子 可绕水平轴Ｏ转动，轮缘 上绕以不能伸缩的绳索， 绳的下端悬挂一物体Ａ， 如图所示。设物体按 规律下落，x 1 ct 2 其中ｃ为一常量。求轮缘 上一点Ｍ的速度和加速度。

由于点由外向内运动,曲率半径 越来越小,所以加速度 越来越大。而速度 v =常数,故点运动快慢不变。
d d ⑨证明 是沿着主法线方向,即 dt dt
证明:
。
1
d( ) 0 dt
d d 0 dt dt d 2 0 dt d dt
dt
表示速度大小的变化 表示速度方向的变化
an

v2

⑧点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次
方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是 越跑越快，还是越跑越慢？ 解：
S bt a
v dS b 常数 dt

a an b2
dv v 2 b2 a 0, an , dt
2
2
切向加速度
2
法向加速度
ab 0
a tan an
2 全加速度a at2 an
判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
加速曲线运动
(不可能)
(匀速曲线运动)
(不可能)
(减速曲线运动)
s kt
点沿着一螺旋线自外向内 运动。点所走过的弧长与 时间的一次方成正比。请
⑥ <1>点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零
<2>点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否一定为零 答:<1>不一定.
速度为零时加速度不一定为零(自由落体上抛到顶点时)
<2> 加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度 ⑦切向加速度和法向加速度的物理意义？ 答： a dv
6.2
自然坐标法
在许多工程实际问题中，点的运动轨迹往往是已知的。 利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来 描述和分析点的运动的方法称为自然法。 1
运动方程
弧坐标：
（1）坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为 坐标原点)； （2）正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；
（3）点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走 过的弧长随时间变化的规律描述。
3、运动特征
r xi y j zk
速度
dx vx dt dz vz dt
r r dd xx dd yy dd z z dd vv i i j j kkvv vv j j vv xi x i yy zk zk dd t t dd t t dd t t dd tt
M 点的速度
dx h v u dt h l
而加速度 a = 0 ，即 M 点作匀速运动。
例题：半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不 滑动（纯滚动）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道 上的 O 点叠合；在瞬时 t 半径 MC 与轨道的垂线 HC 组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求M点的运动方 程，速度和加速度。
dr r lim ds t 0 s
速度
s s (t )

4
vv dd vv dd dd aa vv dd t t dd tt dd tt
加速度
v v
dτ ? dt
d τ d ds dτ dt d ds dt
v s
用弧坐标表示点的运动方程
s s (t )
2
自然轴系
当M´点无限接
M´
近于 M点时，过 这两点的切线所
M
组成的平面，称
为M点的密切面。
副法线单位矢量
自然坐标系 自然坐标轴
b n
3
r d rs dsds ds s d r dr d d d r d v v v v vv d tt ds d s dt t d t d dd st d dt tdt d
2
v
解: M点的轨迹显然是半径为r的圆
周。设物体在位置A0时M点的位置 在M0，以M0为原点，则由于绳不能 伸缩，可知弧坐标 ：
1 2 s x ct 2
自然法表示的Ｍ点的运动方程。
Ｍ点的速度ｖ的大小 ：
ds v ct dt
方向沿轨迹的切线并朝向运动 前进的一方。
a
an
Ｍ点的切向和法向加速度 的大小分别为：
?
1 ρ
dτ ? d
dτ τ lim 0 d
2 τ sin 2 lim 0 sin 2 lim 0 2 1
当 0时， 和 ´以及 同处 于P点的密切面内，这时， 的极
限方向垂直于 ，亦即n方向。
第六章 点的运动学
一、研究内容 运动学: 研究物体运动的几何性质 （运动轨迹、运动方程、速度和加 速度）。 动力学: 研究物体运动状态的变 化与作用力之间的关系。
二、研究模型：
所研究的力学模型是质点和质点系。
质点:具有一定质量而几何形状和 尺寸大小可以忽略不计的物体。 质点系：由几个或无限个相互 有联系的质点所组成的系统。 刚体：质点系的一种特殊情形， 其中任意两个质点间的距离保持 不变，也称不变的质点系。
④点作曲线运动,
画出下列情况下点的加速度方向。 <1>M1点作匀速运动 <2>M2点作加速运动 <3>M3点作减速运动
⑤判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
(加速运动)
(不可能)
(匀速曲线运动) (不可能或改作 直线加速运动)
(不可能)
(减速曲线运动)
(不可能或改作 直线减速运动)
y
D
M D
C
φ
C
x
H
O
M
解： 1.求M点的运动方程。
因车轮滚动而不滑动
故有
x OA OH AH r r cos( 90 ) r r sin rt r sin t
0
OH 弧MH
y AM r r sin( 90 )
0
y
D
r r cos r r cos t
第6章 质点的运动学与动力学
§6-1
矢量法和直角坐标法
矢径法、直角坐标法、自然坐标法 一。 矢量（径）法 1、运动方程 2、运动轨迹
z
M
r r t
r 的矢端曲线
O
r
y
动点Ｍ运动时，其矢径r的末 端描绘出的一条连续曲线，称 为矢端曲线，显然，它就是动 点Ｍ的运动轨迹 。
x
3、运动特征
dv a c dt
an
v
2

ct
r
2
课堂自学. ①用柱坐标法给出点的运动方程。 柱坐标法方程
f1 (t ) r f 2 (t ) z f (t ) 3
dv dv ② dt 与 dt 有何不同?就直线和曲线分别说明。
大小变化率,在曲线中应为切向加速度 a dv 。 dt
作业： 6－3，5，6，8
dτ n d
d τ d τ d ds v n dt d ds dt
d dv dv a v dt dt dt
dv v a τ n dt
2
dv v a τ n dt
dv d 2 s a 2 dt dt
1 ds an dt v