人教版高中数学高二-数学《最简三角方程(2)》教案

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高中数学第三章三角恒等变换第二节简单的三角恒等变换(第二课时)示范教案数学教案

第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时导入新课思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π4－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开．思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，本节主要研究函数y ＝a sin x ＋b cos x 的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．推进新课新知探究提出问题①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期，最大值和最小值是多少？ ②函数y ＝a sin x ＋b cos x 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是2π，函数y ＝sin2x 的周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．函数y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋b a 2＋b2cos x )，∵(a a 2＋b2)2＋(b a 2＋b2)2＝1，从而可令a a 2＋b2＝cos φ，b a 2＋b 2＝sin φ，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．因此，我们有如下结论：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．讨论结果：①y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.②～③(略)见活动．应用示例思路1例1如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α. 求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行： (1)找出S 与α之间的函数关系； (2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt△OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α，图1在Rt△OAD 中，DA OA＝tan60°＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36 ＝13(32sin2α＋12cos2α)－36＝13sin(2α＋π6)－36.由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36.因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36.点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.[0，π]上的单调递增区间．活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：y＝sin4x＋23sin x cos x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x －π6)．故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，π3]，[5π6，π]．点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．活动：学生在解此题时，对f (x )是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f (x )的图象关于M (3π4，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题．一般地，定义在R 上的函数y ＝f (x )对定义域内任意x 满足条件：f (x ＋a )＝2b －f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，所以，得cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，得f (3π4－x )＝－f (3π4＋x )．取x ＝0，得f (3π4)＝－f (3π4)，所以f (3π4)＝0.∵f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0.又ω>0，得3ωπ4＝π2＋k π，k ＝0,1,2，….∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．所以，综合得ω＝23或ω＝2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的Rt△ABC 中，∠A ＝90°，a 为斜边，∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n ，且a 2＝2mn .问：是否能在区间(π，2π]中找到角θ，恰使等式cos θ－sin θ＝4(cosB ＋C2－cosB －C2)成立？若能，找出这样的角θ；若不能，请说明理由．图2解：在Rt△BAD 中，AB m ＝cos B 2，在Rt△BAC 中，ABa＝sin C ，∴m cos B2＝a sin C .同理，n cos C2＝a sin B .∴mn cos B 2cos C2＝a 2sin B sin C .而a 2＝2mn ，∴cos B 2cos C 2＝2sin B sin C ＝8sin B 2·cos B 2cos C 2sin C 2.∴sin B 2sin C 2＝18.积化和差，得4(cosB ＋C2－cosB －C2)＝－1，若存在θ使等式cos θ－sin θ＝4(cos B ＋C2－cosB －C2)成立，则2cos(θ＋π4)＝－1，∴cos(θ＋π4)＝－22.而π<θ≤2π，∴5π4<θ＋π4≤9π4.∴这样的θ不存在．点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论. 例2已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43.从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2α－β＋tan β1－tan2α－βtan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1.又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13<1.且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2.又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)，∴π2<β<π，－π<－β<－π2.∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α；若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．知能训练课本本节练习4.解答：4.(1)y ＝12sin4x .最小正周期为π2，递增区间为[－π8＋k π2，π8＋k π2](k ∈Z )，最大值为12；(2)y ＝cos x ＋2.最小正周期为2π，递增区间为[π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )，最大值为3；(3)y ＝2sin(4x ＋π3)．最小正周期为π2，递增区间为[－5π24＋k π2，π24＋k π2](k ∈Z )，最大值为2.课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．作业课本复习参考题A组11、12.设计感想1．本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y＝a sin x＋b cos x 的函数转化为形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题 1.sin10°＋sin20°cos10°＋cos20°的值是( )A ．tan10°＋tan20° B.33C ．tan5°D ．2－ 3 答案：D2．若α－β＝π4，则sin αsin β的最大值是( )A.2－24 B.2＋24C.34 D ．1 答案：B3．若cos αsin x ＝12，则函数y ＝sin αcos x 的值域是( )A ．[－32，12]B ．[－12，12]C ．[－12，32] D ．[－1,1]答案：B4．log 2(1＋tan19°)＋log 2(1＋tan26°)＝________. 答案：15．已知函数f (x )＝cos2x cos(π3－2x )，求f (x )的单调递减区间、最小正周期及最大值．答案：解：f (x )＝12[cos π3＋cos(4x －π3)]＝12cos(4x －π3)＋14，由2k π≤4x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得原函数的单调递减区间是[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )，T ＝π2，最大值是34. 6．已知sin A ＝－35，cos B ＝－941，A ∈(3π2，2π)，B ∈(π，3π2)，求sin(2A －B2)的值，并判定2A －B2所在的象限．答案：解：cos A ＝45，sin2A ＝－2425，cos2A ＝1－2sin 2A ＝725， ∵B ∈(π，3π2)， ∴B 2∈(π2，3π4)． ∴sin B 2＝541，cos B 2＝－441. ∴sin(2A －B 2)＝sin2A cos B 2－cos2A sin B 2＝61411 025. 又cos(2A －B 2)＝cos2A cos B 2＋sin2A sin B 2<0， ∴2A －B 2是第二象限角． 7．已知f (0)＝a ，f (π2)＝b ，解函数方程：f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·cos y . 答案：解：分别取⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝t ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2＋t ，y ＝π2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝π2＋t ，代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ f t ＋f －t ＝2f 0·cos t ， ①f π＋t ＋f t ＝0， ②f π＋t ＋f －t ＝－2f π2·sin t ， ③①＋②－③，得2f (t )＝2f (0)cos t ＋2f (π2)sin t . ∵f (0)＝a ，f (π2)＝b ， ∴f (x )＝a cos x ＋b sin x .。

高一数学最简三角方程综合同步讲义

课题最简三角方程三角方程的定义我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程；把满足三角方程的所有的未知数的集合称为三角方程的解集。

如1sin x 2=，cos x =等。

最简三角方程1．方程sin x a =的解集例1、求三角方程1sin x 2=的解集。

归纳方程sin x a =的解：练习：口答下列方程的解（1）sin x 0=；（2）sin x =；（3）sin x 1=-；（4）1sin x 3=。

2．方程cosx a =的解集例2、求三角方程1cosx 2=-的解集。

归纳方程cosx a =的解：练习：口答下列方程的解（1）cos x 0=；（2）cos x =（3）cos x 1=-；（4）3cosx 5=-。

3．方程tanx a =的解集例3、求解方程tan x =的解集，并总结一般的三角方程tan x a,a R =∈的一般解集。

归纳方程tanx a =的解：x k arctan a =π+（k Z ∈）练习：口答下列方程的解（1）tan x 0=；（2）tan x 1=-；（3）tan x =例4、求下列方程的解集：(1)2tan x 0 (2)2cos 2x 1=-(3)sin x cos x 1-=(4)2sin(5x 45)-︒=，且x 为锐角。

点评：（1）以上的方程都可以转化为最简三角方程求解；（2）一定要掌握最简三角方程的一般解集。

课堂小结：1．数学知识：最简三角方程及其解集。

2．数学思想方法：数形结合。

最简三角方程1．若sinx ＝13，则x ＝2kπ＋arcsin 13或x ＝2kπ＋π－arcsin 13，k ∈Z 。

2．若cosx ＝－13，则x ＝2kπ±(π－arccos 23)，k ∈Z 。

3．若tanx ＝－2，则x ＝kπ－arctan2，k ∈Z 。

二．形如sinf(x)＝a 的方程，其中－1≤a≤1（1)14π-= （2）tan(x)13π-=三．形如f(sinx)＝a 的方程（1）22sin x cos x 10+-= （2）7cos x 3cos 2x 0+=（3）22sec x 5tan x 10-+=四．形如asinx ＋bcosx ＝c(c≠0)的方程 ——用辅助角转化为最简三角方程（1）sin x cos x 1-=- （22x cos2x 1-=五．关于sinx ．cosx 的奇次的方程（1）sin x cos x 0-=（2）22sin x 3cos x sin 2x -= ——转化为只含tanx 的三角方程六．两边同名的三角方程：sin 5x sin x =七．其它类型方程：cosx01sin x=+例2、当为何值时，方程(2cos x)k 2cos x -=+有实数解？例3、若方程cos 2x 4sin x a 10-+-=有实数解，求实数a 的取值范围。

高中数学3.2简单的三角恒等变换导学案新人教版必修4

3. 2简单的三角恒等变换（导学案）课前预习学案一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、的三角恒等变换。

二、预习内容：1、回顾复习以下公式并填空：2、阅看课本 P139---141 例 1、2、3。

三、提出疑惑：课内探究学案一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

二、学习过程：探究一：半角公式的推导（例1）请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、 2a 与a 有什么关系？ a 与a /2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

2、半角公式中的符号如何确定？ 3 、二倍角公式和半角公式有什么联系？4、代数变换与三角变换有什么不同？探究二：半角公式的推导（例 2）请同学们阅看例2,思考以下问题，并进行小组讨论。

COS ( a + 3 )=Cos( sin( t an(sin( tan( a + 3 )= a + 3 )=sin2a=ta n2cos2a =a - 3 )= a - 3 )= a - 3 )= a =余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？2 、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？ 3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例 3）请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。

1、例3的过程中应用了哪些公式？2、如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin （ w x+ $ ）的函数？并求y=as in x+bcosx 的周期，最大值和最小值.课后练习与提高、选择题:1 .已知 cos ( a + 3 ) cos ( a —3)=-，则 cos2 a — Sin 2 卩的值为()3C2.在△ ABC 中，若 sin A sin B =cos 2 ，则△ ABC 是()C. 不等边三角形D.直角三角形V3口3. sin a +sin 3 =—— (cos 3 — cos a ), 且 a €( 0,n 3等于（）三、反思、总结、归纳：sin a /2= cos a /2=tansina cos 3 =cos a sin 3 =cos a cos 3 = sin a sin 3 =sin0 +sin $ = sin 0 -sin $ =cos 0 +cos $ =cos0 -cos $ =四、当堂检测：课本 p143 习题3.2 A 组 1、 (3) (7) 2、(1) B 组a /2=A .B .C. D.A. 等边三角形B. 等腰三角形,3^( 0 ,n)，贝U a — 3A. — 2 nB.—n c.上 D. 2 n3333二、填空题4. sin20 ° cos70° +sin10° sin50 ° =5.已知a —3 = 2 n，且cos a +cos卩：=1，则cos ( a+ 3 )等于33三、解答题.5 sin — x6.已知f ( X)=—1+ J , x€( 0,n).2 X2 2sin2(1)将f (x)表示成cosx的多项式；(2)求f (x)的最小值.谍后练习琴芳答案；—S选择题m 比E 3, D二、埴空題:4. 1 5. -I4 P三、解答题Sr r 3rsinsin—2 cos —smx * Y5. 解(1) fM =------ 2 ------ L = ----- 2------- =2cos —cos—YoarfooQjMosY——1.”勺.K * . s 222 sin—2511122⑵(r) -2(8Sl+£) 2—芝，且一1 £CCIS.\<L二当匚曲戶一—时！J'(A")取寻眾小值一2.寧EL；! 4F 客。

6.5最三角方程(2)教案

6.5 最简三角方程（2）教案教学目的：1、掌握简单三角方程的求解方法，理解三角方程解集的等价性。

2、体会由特殊到一般的推理方法，会数形结合处理问题。

3、培养学生的创新思维能力。

教学重点：简单三角方程的解集教学过程：（一）、引入叙述最简三角方程sin ,cos ,tan x a x a x a ===的解集。

（二）、典型例题例1、求下列三角方程的解集（1）2tan 10x +=；（2）2cos 21x =；（3）3sin(2)14x π+=；（4）2sin(515)30,()x x --=为锐角。

解：（1）1|arctan ,2x x k k Z π⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（2）|,6x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭；（3）111|(1)arcsin ,2238k x x k k Z ππ⎧⎫=+--∈⎨⎬⎩⎭。

（4）36(1)123()k x k k Z =⋅+-⋅+∈，取0,12k =得原方程的解集为{}15,27,87。

例2、求下列三角方程的解集（1）sin 2sin x x =；（2）sin 2sin cos 2cos x x x x =；（3）sin cos x x -= （4）28sin 3sin 21x x =-；解：（1）|2,3x x k x k k Z πππ⎧⎫=±=∈⎨⎬⎩⎭或；（2）|,36k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（3）3|2,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（4）1|arctan ,3x x k k Z π⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭。

思考：在上述例2中，如果(,)x ππ∈-，那么方程的解又如何呢？（三）、课堂练习：1、求下列方程的解集：（1）22sin 13x =；（2）2cos 0x =；2、求下列方程在[0,2)π上的解集：（1）2sin 2sin 30x x --=；（2）sin cos x x =；（四）、拓展探究1、求使方程2cos 1(2cos 1)x k x -=+有实数解的k 的取值范围。

2019-2020年高一数学下册必修16.5《最简三角方程》教案3篇

2019-2020年高一数学下册必修16.5《最简三角方程》教案3篇一、教案设计思考这节课的内容是给出三角方程的定义，以及解最简三角方程的基本方法，其中要应用到三角函数性质及图像、反三角函数、诱导公式等知识，还包括数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法，是对所学过的许多三角知识进行应用，在三角比和三角函数这两章内容中的地位还比较重要，它是先有三角比值，然后要研究满足这样的条件的角是什么，也完善了解三角形的理论基础这节课用解三角形时的一个问题来引入，简单并能引起同学的兴趣，然后整节课采用启发、探究的教学方法，调动同学积极思考问题二、教学目标理解三角方程、最简三角方程的定义，掌握三种最简三角方程的解法；体会由特殊到一般的研究问题的方法，能综合运用所学知识解决问题，能用数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法解决有关问题．三、教学重点、难点解三角方程的思想方法四、教学方法和手段采用启发式教学模式五、教学过程1、引入前面我们重点学习了三角函数的有关知识，研究了角的变化对三角比值的影响，在解三角形中我们已经遇到知道了一个角的三角比值，要求这个角，如知道，由于角是三角形中的内角，所以有或，今后我们会遇到类似的问题，特别是当角的大小没有条件限制时，那么满足的有多少呢？我们把这样的方程叫做三角方程，那么如何解这类方程呢？下面就请同学思考这个问题2、探究要研究如何解三角方程，先解决较简单的方程，就以为例，同学思考后，进行交流讨论同学1：这个方程应该有无数多个解，但还没有找到解决的方法．同学2：和都是方程的解，又函数的最小正周期是，所以此方程的解集是或，．教师：好，你的确找到了方程的许多解，但是会不会有其它的解遗漏了呢？同学3：不会遗漏，由于函数的最小正周期是，只要先找到在的解，那么方程的所有解都找到了，画出函数与的图象，发现在内的交点有且只有两个，交点横坐标为和，所以方程的解集是或，教师：很好，方程有无数个解，找到所有的解的方法是利用三角周期的性质，先在一个最小正周期内找到解，然后找到方程所有解．那么，方程又如何解呢？同学4：方法跟前面一样，只是在内的解要用反三角函数来表示，即方程的解集是或，．教师：很好，方程又如何解呢？同学5：方法跟前面一样，在内的解也有两个．教师：哪两个呢？同学5：一个是，另一个是．此时引起许多同学的争论，觉得这里有问题．同学6：先在内找到解，一个是，另一个是．教师：为什么？同学6：书上就是这样说的，先选取区间．又引起同学争论．同学7：先在内找到解，一个是，另一个是，然后是方程的解集就是或，．教师：很好，这里先选择哪个周期的标准是如何能顺利表示出解来，由反三角函数知识，这个区间最好包括，而在内的图象又是关于直线对称的．那么方程又如何解呢？同学8：在内的解是与，所以方程的解是或，．同学9：不对，要进行分类讨论，当时，方程无解．3、结论在同学的共同讨论下，关于方程，最后可以得到以下的结论：当时，函数和函数的图象无交点，方程无解，即解集为．当时，方程的解集为或4、继续探究从解方程的方法得到启发，如何解方程呢？同学10：由诱导公式，将方程转换为即可．教师：很好，体现了数学转换的思想，那么能不能用类似解的方法来解方程呢？同学11：那么还是用数形结合的方法，先分类讨论，当时，函数与的图象无交点，方程无解．当时，函数与的图象在区间内的交点有两个，横坐标是与，所以方程的解集为或教师：很好，理解了方程的解法之后，用类比的方法就很容易解方程了．那么又如何解方程呢？同学12：还是用数形结合的方法，函数与的图象在区间内的交点横坐标是，又由于函数的最小正周期是，所以方程的解集为．教师：很好，方程是最容易解的，函数与的图象在区间内的交点总是有且只有一个，不需要进行分类讨论．5、练习解下列方程：（1）；（2）；（3）．6、小结今天我们一起讨论了如何解三角方程，先研究如何解最简三角方程，掌握了解三种最简三角方程的基本方法，另外，解三角方程的基本思想方法主要体现在以下几个方面：（1）从特殊到一般的研究问题方法（2）利用函数的图象及性质，采用数形结合的方法；（3）转化思想，先找到一个周期内的解，再利用周期性质得到方程所有的解；（4）采用类比的思想方法．7、布置作业第106页习题1，2六、教学建议与反思最简三角方程这节内容两节课完成，这是第一节课，这节课的教学思路是这样设计的，先是通过复习解斜三角形引出问题，使同学产生研究的兴趣，课堂上学生对这个问题的确产生了兴趣，虽然引入没有花许多时间，但产生了明显的效果，然后是跟同学一起讨论如何解三角方程，，，，由简单到复杂逐步推进，从中逐步体会解三角方程的思想，如利用三角函数的周期性质，还有数形结合，分类讨论等数学方法，课堂上学生能进行积极思考和讨论，并能够对教材提出自己的独特的见解．完成对三角方程的求解之后，要求学生继续解三角方程和，学生的思维很积极，如能利用转换思想将方程转换为来解，能合理运用类比的思想方法，将解方程得到的方法应用到解方程和上，在课堂小结时，同学也能把本节课学习到的重要内容总结出来．由于这节课设计时要解决三个三角方程，在讨论好解的方法之后，继续研究如何解另外两个方程，这个过程培养了同学的类比能力，增强了同学的类比意识，但是也遇到一些问题，如课堂练习的时间比较少，没有能对方程的各种解法进行更进一步的探讨，其实可以从单位圆的角度，先把问题转换为找终边所在的位置，再求出终边所表示的角的集合，又如当时，方程的解集为或，这个集合也可以等价地表示为，，这个表示方法更加简洁．所以这节课的设计也可以考虑只解决方程的解法，把它讨论透彻，第二节课再研究另外两个方程的解法．课题：6.5-最简三角方程第1课时：教学目标：1.知道三角方程的概念，理解三角方程的解集概念；能从单位圆、三角函数图象等观点来理解并掌握最简三角方程求解方法及解集2.通过解三角方程，进一步理解三角函数及反三角函数。

新高二年级数学经典讲义16.反三角函数和简单三角方程-学生版

教学内容概要学生：数学备课组教师：年级：日期上课时间学生上课情况：主课题：反三角函数和简单三角方程教学目标：1、掌握反三角函数2、熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角3、知道三角方程的概念，理解三角方程的解集概念4、能从单位圆、三角函数图象等观点来理解并掌握最简三角方程求解方法及解集5、理解三角方程解集的概念，掌握常见最简三角方程解集的一般表示形式教学重点：1、反三角函数的图像和性质2、三角方程的概念，三角方程的解集概念3、最简三角方程求解方法及解集教学难点：1、反三角函数的图像和性质家庭作业1、完成巩固练习2、复习知识点教学内容【知识结构】1、反三角函数：名称反正弦函数反余弦函数反正切函数定义sin ,(,)22y x x ππ=∈-的反函数，叫做反正弦函数，记作arcsin x y =cos ,(0,)y x x π=∈的反函数，叫做反余弦函数，记作arccos x y =tan ,(,)22y x x ππ=∈-的反函数，叫做反正切函数，记作arctan x y =理解arcsin x 表示属于 [,]22ππ-且正弦值等于x 的角arccos x 表示属于 [0,]π，且余弦值等于x 的角arctan x 表示属于(,)22ππ-，且正切值等于x 的角图像1-1123xyy = ar ccos(x)123456-1-2-3-4-5-612345-1-2-3-4-5xy y = ar ct an(x)性质定义域 11-［，］11-［，］ ()-∞+∞，值域 [,]22ππ-[0,]π(,)22ππ-单调性在11-［，］上是增函数在11-［，］上是减函数在()-∞+∞，上是增函数奇偶性 ()arcsin arcsin x x -=- ()arccos arccos x x π-=-arctan()arctan x x-=-周期性都不是同期函数1-112-1-2xy y = ar csi n(x)2、三角方程：最简单三角方程的解集：方程方程的解集sin x a =1a >∅1a = {2arcsin ,}x x k a k Z π=+∈1a <{(1)arcsin ,}k x x k a k Z π=+-∈cos x a = 1a > ∅1a = {2arccos ,}x x k a k Z π=+∈ 1a <{2arccos ,}x x k a k Z π=±∈tan x a ={arctan ,}x x k a k Z π=+∈【例题精讲】例1、试判断下列函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性（1）()sin arcsin y x = （2）()arcsin sin y x =例2、（1）19arcsin sin 12π⎛⎫= ⎪⎝⎭________（2）若12arctan 34πα-=，则tan α=__________（3）函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D =_____________（4）函数()21arcsin 2y x x =-的值域是_______________例3、（1）已知等腰三角形的顶角为1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭，则底角的正切值是（A ）22。

高一数学最简三角方程(教师版)

6、方程的解集是。
7、方程在区间上解得个数是（）
A、5 B、4 C、3 D、2
8、为三角形的一个内角，且，则为（）
A、 B、 C、 D、不能确定
9、方程的解集是（）
A、 B、 C、 D、
10、求适合方程的锐角x的集合。
11、解方程（1）（2）
12、已知，问是否存在使得等式成立？为什么？
13、
解：或，则或，。
点评：，则或（）；
，则（）；
，则或（）。
七、其它类型方程：
14、
解：，则，而，则，则（）。
例2：当为何值时，方程有实数解？
解：，则时方程有解，则。
例3：若方程有实数解，求实数的取值范围。
解：，令，则，，则。
点评：方程的有解问题通过变量分离转化为函数得值域
9、
解：得，则，。
10、
解：，则，。
五、关于sinx、cosx的奇次的方程
11、
解1：得，则，。
解2：同除以得，则，。
12、 ——转化为只含tanx的三角方程
解1：同除以得
得或，则或，。
解2：，则，
则或，得或，
则或，。
六、两边同名的三角方程
二、形如sinf(x)＝a的方程，其中－1≤a≤1
4、
解：，得2x－＝2kπ＋，则x＝kπ＋，k∈Z
5、
解：，得x－＝kπ－，则x＝kπ＋，k∈Z
三、形如f(sinx)＝a的方程
6、
解：，得，解得或，
则或，。

高中数学社团教案

高中数学社团教案
主题：解二次方程
时间：1.5小时
目标：学习解二次方程的基本方法及应用
教学内容：
1. 二次方程的定义与一般形式：ax^2 + bx + c = 0
2. 二次方程的解法：
a. 因式分解法
b. 公式法：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
c. 完全平方法
3. 二次方程的应用：
a. 求最值
b. 求解实际问题
活动安排：
1. 10分钟：导入，介绍二次方程的概念及背景
2. 20分钟：讲解二次方程的一般形式及解法，包括因式分解、公式法和完全平方法
3. 30分钟：讲解如何应用二次方程解决数学问题，例如求最值、解实际问题
4. 20分钟：分组活动，学生在小组中解决一些练习题，加深对解二次方程的理解
5. 15分钟：总结，回顾本节课的内容，澄清学生对二次方程的疑问
作业布置：完成课堂上未完成的练习题，以及练习二次方程的解法
评价方式：根据学生在小组活动中的表现和作业完成情况评分，鼓励学生积极参与和思考。

教学反思：在教学中要注重引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的数学思维和
解决问题的能力。

同时，要注意巩固学生的基础知识，确保他们对二次方程的各种解法都
能熟练掌握。

6.5(2)最简三角方程

§6.5最简三角方程（2）教学目标1. 知识与能力：①会解简单的三角方程（形如sin cos A x B x C +=，2sin sin A x B x C +=，2sin cos A x B x C +=等）． ②利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题．2. 过程与方法：把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．3. 态度、情感、价值观：培养探索和创新的能力和意识。

教学重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法；教学难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论．教学过程：一、复习引入已知三角函数值求角（实际上是求解最简三角方程），要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表：把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程；（2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；（3）关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。

再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程；（4）形如sin cos a x b x c +=的方程，通常是引入辅助角，化原方程为sin()x θ+=1≤时，方程有解．二．例题分析例1、解方程22sin 3cos 0x x +=．例2、解方程22sin sin cos cos 03x x x x --=．例3、若方程cos22sin 10x x m -+-=存在实数解，求m 的取值范围．解法一：由原方程，得 22sin 2sin 0x x m +-=，即 2sin sin 02m x x +-= 解这个以sin x 为未知数的一元二次方程，因为1sin 1x -≤≤要使方程有解，只需14()021102m m ⎧∆=-⋅-≥⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩ 解得142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．解法二：由原方程得 22sin 2sin 0x x m +-=，得22112sin 2sin 2(sin )22m x x x =+=+-因为1sin 1x -≤≤，所以142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．说明：当方程sin (x t t =为常数）有解时，必须满足1t ≤，则原题就转化为求[]2112(),1,122m t t =+-∈-的最大值、最小值问题．三、课堂练习四、课堂小结本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程。

高一数学《最简三角方程》教案 _

芯衣州星海市涌泉学校最简三角方程〔1〕【教学目的】2．会解简单的三角方程〔形如sin cos A x B x C +=，2sin sin A x B x C +=，2sin cos A x B x C +=等〕．[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握根本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其根本的转化方法有：〔1〕化为同角、同名的三角函数；〔2〕因式分解法；〔3〕化为sin x 、cos x 的齐次式；〔4〕引入辅助角．有！因为诱导公式2165sin 6sin 6sin==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ，所以52k (k Z)6x ππ=+∈也满足条件．为了方便，可以选择正弦函数sin y x =,长度为一个周期的区间(],ππ-内,研究1sin 2x =的解．如下列图：在xoy 平面上作直线12y =交正弦函数sin y x =在该区间内于12,P P 两点，那么12,P P 的横坐标就是566ππ和，即方程1sin 2x =的解是566x x ππ==和.考虑到函数sin y x =的周期为2π，所以1sin 2x =的通解是1252,2()66x k x k k Z ππππ=+=+∈．也可以利用单位圆进展研究．如下列图：在xOy 平面上作直线12y =交单位圆于12,P P 两点，那么12,OP OP 就是角566ππ和的终边，也是角x 的终边，可得到1sin 2x =的通解：1252,2()66x k x k k Z ππππ=+=+∈．2．考虑既然1sin 2x=的解集是 52,2,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，那么能否将1sin 2x=的解集写成 (1),6k x x k k Z ππ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭的形式？3．讨论sin ()x a a R =∈的解集:当11aa <->或时，直线y a =与单位圆无交点，因此方程无解；当1a =-时，直线y a =与单位圆有一个交点，所以sin 1x =-的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；同样,当1a =时，直线y a =与单位圆也有一个交点，sin 1x =的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；而当11a -<<时，直线y a =与单位圆有两个交点，sin x a =的解集是{}{}2arcsin ,(21)arcsin ,x x k a k Z x x k a k Z ππ=+∈=+-∈,即{}(1)arcsin ,kx x k a k Z π=+-∈．二、学习新课 1．概念辨析〔1〕三角方程的定义：我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，把满足三角方程的所有x 的集合叫做三角方程的解集．〔2〕最简三角方程的定义：形如sin ,cos ,tan xa x a x a ===的方程叫做最简三角方程．〔3〕最简三角方程的解集：即三角函数值求角，先求出它在一个周期的区间上的解〔特解〕，再根据三角函数的周期性，求出方程的所有解〔通解〕．最简三角方程的解集，见下表：2．例题分析例1、求以下方程的解集.〔1〕2cos x=2〕5sin 0x +=；〔3〕01tan 32=-x .解〔1〕将原方程化为cos x=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k x x ,42ππ〔2〕将原方程化为sin x =()|1arcsin(k x x k k Z π⎧⎫⎪⎪=+-∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭=()|1k x x k k Z π⎧⎫⎪⎪=--∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭〔3〕将原方程化为tan x=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k x x ,6ππ例2、根据以下条件，求方程sin x=的解. 〔1〕x 为锐角；〔2〕x 为某三角形内角；〔3〕x 为第二象限角；〔4〕x R ∈ 解：〔1〕由题设得3xπ=；〔2〕13x π=，或者者2233x πππ=-=；〔3〕22,3x k k Z ππ=+∈；〔4〕()()11,3k k x k k k Z πππ=+-=+-∈．例3、求方程2cos()1023x π++=的解集．解将原方程化为21)32cos(-=π+x ，可得)(32232Z k k x ∈π±π=π+，由32232π+π=π+k x ，得)(324Z k k x ∈π+π=；由32232π-π=π+k x ，得)(24Z k k x ∈π-π=．所以原方程的解集为},24324|{Z k k x k x x ∈π-π=π+π=或．例4、解方程02sin(515)0()x x -=为锐角．解：将原方程化为：0sin(515)x -=，可得000515180(1)60k x k -=⋅+-⋅，即00036(1)123,()k x k k Z =⋅+-⋅+∈．当0k=时，015x =；当1k =时，027x =；当2k =时，087x =．当k 取其他取值所得的x 都不合题意，所以原方程的解集为{}015,27,87．[说明]求某一区间内方程解的问题，一般应先求出这个方程解的一般表达式，然后根据题设，确定整数k 的取值，得到所求方程在特定区间内的解，否那么有可能将符合条件的解遗漏．此题中假设将原方程化为：0sin(515)x -=，根据所求解是锐角，把解直写成0051560x -=，解得015x =，就少了两个解．另外此题应使用角度制.例5、解方程sin cos 1x x-=．解一两边平方，整理得sin 20x =，∴()2k x k Z π=∈ 经检验，32,2()2xk x k k Z πππ==+∈为增根．原方程的解集为2,(21),2xx k x k k Z πππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭． [说明]产生增根的原因是“两边平方〞．事实上，所增的根正好是方程sin cos 1x x -=-的根．解二移项得：sin 1cos xx =+，两边同除以(1cos )x +，得sin 11cos x x =+，即tan 12x =，解得24x k ππ=+，∴2,()2xk k Z ππ=+∈．[说明]这里出现失根2,()xk k Z ππ=+∈，正好是除式1cos 0x +=的根．解三引入辅助角，化为sin()4x π-=解得：(1)44kx k πππ-=+-，∴(1),()44kxk k Z πππ=++-∈．原方程的解集为(1),44kxx k k Z πππ⎧⎫=++-∈⎨⎬⎩⎭．[说明]解方程的核心是方程的同解性问题，形成检验的习惯和才能至关重要． 3．问题拓展例6、关于x 的方程2cos 1(2cos 1)x k x -=+有实数解,求k 的取值范围．解由原方程得2cos 12cos x k x k -=+，即1cos 22k x k+=-．要使方程有解，只需1122k k +≤-．解得133k k ≤≥或．所以k 的取值范围为[)1,3,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．[说明]当方程cos (x a a =为常数）有解时，必须满足1a ≤．三、稳固练习1、〔口答〕求以下方程的解集.〔1〕sin x =2〕1cos 3x =；〔3〕7tan 6x =-． 2、求以下方程的解集.〔1〕sin2x ；〔23)42π=． 3、根据以下条件，求以下方程的解集.〔1〕33tan -=x ，[2,4]x ππ∈-；〔2〕sin()6x π-=，[0,]x π∈．4、求方程26sin sin 10[0,2]x x π--=在内的所有实根之和．5、假设x=3π是方程2cos 〔x+α〕=1的解，其中α∈〔0，2π〕，求α的值. 四、课堂小结本节课的内容是解三角方程，在理解三角方程的根底上，准确、纯熟地写出最简三角方程的解集．这是学好三角方程的关键和根底．解三角方程往往最终归结为解最简单的三角方程，确定最简三角方程在指定范围内的解是本节课的难点．五、练习册。

最简三角方程(PPT)5-3

产。②这种植物的果实。‖也叫凤梨。【菠萝蜜】同“波罗蜜”。
??）名金属元素，符号（）。有放射性，由人工核反应获得。【鱍】*（鱍）
［鱍鱍］（）〈书〉拟声形容鱼跳跃或摆尾的声音。【播】①动传播；传扬：广～｜～音｜电台正在～重要新闻。②动播种：条～｜点～｜
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
吞活剥。【剥夺】动①用强制的方法夺去：～劳动成果。②依照法律取消：～政治权利。【剥离】动（组织、皮层、覆盖物等）脱落；分开：岩石～｜胎盘
早期～。【剥落】动一片片地脱落：门上的油漆～了。【剥蚀】动①物质表面因风化而逐渐损坏：因受风雨的～，石刻的文字已经不易辨认。②风、流水、
冰川等破坏地球表面，使隆起的部分逐渐变平。③侵蚀。【剥削】动无偿地占有别人的劳动或产品，主要是凭借生产资料的私人所有权来进行的。【剥削阶
【钵】（鉢、缽）名①陶制的器具，形状像盆而较小：饭～｜乳～（研末的器具）｜一满～水。②钵盂。［钵多罗之省，梵a］【钵头】〈方〉名钵?。【钵
盂】名古代和尚用的饭碗，底平，口略小，形稍扁。【钵子】?〈方〉名钵?。【般】［般若］（）名智慧（佛经用语）。【饽】（餑）［饽饽］（?）〈方〉
名①糕点。②馒头或其他面食，也指用杂粮面制成的块状食物：棒子面儿～｜贴～（贴饼子）。【剥】义同“剥”（），专用于合成词或成语，如剥夺，生
级】在阶级社会里占有生产资料剥削其他阶级的阶级，如奴隶主阶级、地主阶级和资产阶级。【剥啄】〈书〉拟声形容轻轻敲门等的声音。【菠】见下。

人教课标版高中数学必修四《简单的三角恒等变换(第2课时)》教案-新版

3.2.3简单的三角恒等变换（第2课时）一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，了解化简三角函数式及证明三角恒等式的要求，掌握化简三角函数式及证明三角恒等式的常规技巧和方法．从中体会、学习换元思想、方程思想及化归思想．（二）学习目标能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．（三）学习重点有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．（四）学习难点认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，有从整体上把握变换过程的能力.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：（1）化简三角函数式：化简三角函数式的要求：①能求值的应求值；②使式子次数尽量低、项数尽量少；③使三角函数的种类尽量少；④尽量使分母及被开方数不含三角函数；⑤将高级运算表为低级运算.化简三角函数式的方法：一些常规技巧：“1”的代换，切割化弦，和积互化，化非特殊角为特殊角，异角化同角，异名函数化为同名三角函数，异次化为同次，切割化弦等．（2）三角恒等式的证明：三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．2.预习自测（1）化简：cos104sin 80sin10︒︒-=︒__________. 【知识点】两角差的正、余弦公式．【解题过程】cos104cos10sin10cos102sin 20cos104sin 80sin10sin10sin10︒︒︒-︒︒-︒︒-==︒︒︒()2sin 20cos 3020sin10︒-︒-︒====︒．【思路点拨】将所求式子通分后化简，再逆用两角差的正、余弦公式．【答案】（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=__________. 【知识点】两角和与差的余弦函数公式．【解题过程】cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 4cos 2ααα+=，两边平方，得()22cos sin 16cos 2ααα+=，即()21sin 2161sin 2αα+=-，解得： 15sin 216α=或sin 21α=-，由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()20,απ∈，所以15sin 216α=．【思路点拨】将已知式子左边利用两角和与差的余弦函数公式进行化简，右边利用同角三角函数基本关系进行变形．【答案】1516．（3）已知02πα<<，4sin 5α=，则cos 2sin 2παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为__________. 【知识点】同角三角函数的基本关系，二倍角公式，诱导公式．【数学思想】【解题过程】因为02πα<<，4sin 5α=，所以3cos 5α=． 23238cos 2sin 12sin cos 1225525παααα⎛⎫++=-+=-+= ⎪⎝⎭．【思路点拨】利用同角三角函数的基本关系可求cos α，再利用二倍角公式及诱导公式对所求式子进行化简．【答案】825． (二)课堂设计1．知识回顾（1）半角公式：①sin 2α=；②cos 2α=；③sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+（有理形式），tan 2α=（无理形式）. （2）积化和差与和差化积公式：①积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦； ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； ()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦. ②和差化积公式： sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=； sin sin 2cos sin 22θϕθϕθϕ+--=；cos cos 2cos cos 22θϕθϕθϕ+-+=； cos cos 2sin sin 22θϕθϕθϕ+--=-. ②辅助角公式：()sin cos a x b x x ϕ+=+，其中tan b a ϕ=. 2．问题探究探究一三角函数的化简●活动①例1 已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-. 【知识点】三角函数的有理化．【数学思想】【解题过程】因为α为第四象限角，所以原式cos sin =+ 1sin 1cos cos sin cos sin αααααα--=+- ()1sin 1cos cos sin αααα=---=-．【思路点拨】根式形式的三角函数式化简常采用有理化或升幂公式．【答案】cos sin αα-．同类训练已知 360270<<α，化简α2cos 21212121++．【知识点】升幂公式．【数学思想】【解题过程】因为270360α<<，所以cos 0,cos 02αα><．原式====cos 2α=-．【思路点拨】根式形式的三角函数式化简常采用有理化或升幂公式．【答案】cos 2α-．●活动②例2 已知0απ<<. 【知识点】弦切互化，半角有理式的应用．【数学思想】化归思想【解题过程】因为sin tan 21cos ααα=+，所以()tan 1cos sin 2ααα⋅+=.因为3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，21cos 2sin 2αα-=.所以原式==因为0απ<<，所以022απ<<，所以sin 02α>．原式2α=-．【思路点拨】涉及半角的正切式与弦函数的积时，应考虑半角的有理式的应用．【答案】2α-．同类训练化简42212cos 2cos 22tan sin 44x x x x ππ-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【知识点】弦切互化、诱导公式、倍角公式．【数学思想】化归思想【解题过程】原式()()4222214cos 4cos 12cos 12sin 4sin cos 4442cos 4cos 4x x x x x x x x πππππ-+-==⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭22cos 2cos 21cos 22cos 222sin 22x x x x x π===⎛⎫- ⎪⎝⎭．【思路点拨】分子提取12配方，分母利用诱导公式将sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭变形为cos 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．【答案】1cos 22x ．探究二三角恒等式的证明●活动①例3 求证：32sin tan tan 22cos cos 2x x x x x-=+. 【知识点】弦切互化，积化和差、和差化积公式．【数学思想】化归思想【解题过程】方法一：333sinsin sin cos cos sin 3222222tan tan 3322cos cos cos cos 2222x x x x x x x x x x x x --=-= 3sin sin 2sin 223333cos cos cos cos cos cos 22222222x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos cos 2x x x=+．方法二：2sin 2sin 33cos cos 2cos cos 2222x x x x x x x x =+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3332sin cos cos sin sin sin 222222332cos cos cos cos 2222x x x x x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-3tan tan 22x x =-．【思路点拨】从左往右证，可利用同角三角函数基本关系式切化弦，再利用积化和差进行转化即可．【答案】见解答过程．同类训练证明：()xx x x 4cos 14cos 32cot tan 22-+=+．【知识点】弦切互化、三角函数基本关系式、倍角公式．【解题过程】 ()2222222442222222sin cos 2sin cos sin cos sin cos tan cot 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x x x x x x x x x +-++=+== ()()22421cos 423cos 484sin 244cos 21cos 41cos 41cos 41cos 4x x x x x x x x+++-+====----．【思路点拨】左边切化弦再通分，利用基本关系式、倍角公式推导．【答案】见解答过程．●活动②例4 证明:334422cos sin cos sin sin cos 4422ππααααααα⎛⎫⎛⎫++-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【知识点】左右归一．【解题过程】左边()()()()()2222cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin αααααααααααα=+-++++-()()cos sin 1cos sin cos sin αααααα=+-+-()()()cos sin 1cos 1sin αααα=++-右边1cos 1cos 2cos cos sin sin 4422παππααα⎛⎫-- ⎪+⎫⎝⎭=+⋅⋅⎪⎭()()()cos sin 1cos 1sin αααα=++-所以左边＝右边，等式成立．【思路点拨】等式两边结构都较为复杂，可左右同时化简，采用左右归一的途径．【答案】见解答过程．同类训练若2tan 3tan αβ=，求证：()sin 2tan 5cos 2βαββ-=-．【知识点】“消元法”、两角差的正切公式、倍角公式．【数学思想】【解题过程】∵2tan 3tan αβ=，即3tan tan 2αβ=， ∴()223tan tan tan tan tan 2tan 31tan tan 23tan 1tan 2ββαββαβαβββ---===+⋅++ 又∵βββββββββββ2222222tan 32tan )tan 1()tan 1(5tan 2tan 1tan 15)tan 1(tan 2cos 52sin +=--+=+--+=- ∴()sin 2tan 5cos 2βαββ-=-．【思路点拨】等式左边式子包含两个角，右边只有一个，考虑消去一个角，都用角β进行表示．【答案】见解题过程．●活动③例5 在△ABC 中，223sin cos sin cos sin 222C A A C B ⋅+⋅=，求证：sin sin 2sin A C B +=. 【知识点】降幂公式、两角和正弦函数公式．【解题过程】因为223sin cos sin cos sin 222C A A C B ⋅+⋅=，所以1cos 1cos 3sin sin sin 222C A A C B ++⋅+⋅=. 即sin sin sin cos sin cos 3sin A C A C C A B +++=.所以()sinsin sin 3sin A C A C B +++=，所以sin sin 2sin A C B +=.【思路点拨】由降幂公式化简已知等式，然后利用两角和的正弦函数公式．【答案】见解题过程．同类训练在△ABC 中，若2222sin sin sin cos 2222A B C B ++=，求证：1tan tan 223A C ⋅=．【知识点】降次公式、和差化积、三角形内角和定理．【解题过程】∵sin 22A +sin 22B +sin 22C =cos 22B ， ∴2sin 212cos 12cos 12B C A -=-+-． ∴2sin 22B =21(cos A +cos C ) 又∵sin 2B =cos 2C A +， ∴2cos 22C A + =cos 2C A +·cos 2A C -， ∴2cos 2C A +=cos 2C A -． ∴2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos2C A C A C A C A +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-． ∴3sin sin cos cos .2222A C A C ⋅=⋅故1tan tan 223A C ⋅=．【思路点拨】因结论等式中不含B ．故需设法消去已知等式中的B 角，可考虑使用三角形内角和定理．【答案】见解题过程．3.课堂总结（1）化简三角函数式的要求：①能求值的应求值；②使式子次数尽量低、项数尽量少；③使三角函数的种类尽量少；④尽量使分母及被开方数不含三角函数；⑤将高级运算表为低级运算.（2）化简三角函数式的技巧：①变角：通过观察不同三角函数式所包含的角的差异，借助于“拆凑角”（如用特殊角表示一般角，用已知角表示所求角等）、“消角”（如异角化同角，复角化单角等）来减少角的个数，消除角与角之间的差异 .②变名（即式子中不同函数之间的变换）：通过观察角的三角函数种类的差异，借助于“切化弦”、“弦切互化”等进行函数名称的变换.③变式（即式子的结构形式的变换）：通过观察不同的三角函数结构形式的差异，借助于一下几种途径进行变换：1）常值代换，如将“1”代换为“22sin cos αα+”或“tan 45︒”；2）升降幂公式，如21cos 2cos 2αα+=； 3）配方与平方，如()24224cos 4cos 12cos 1x x x -+=-；等（3）三角恒等式的证明证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等；三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）课后作业基础型自主突破1．已知2sin 23A =，()0,A π∈，则sin cos A A +=（）A B ． C ．53 D ．53-【知识点】倍角公式．【数学思想】【解题过程】因为()25sin cos 1sin 23A A A +=+=，所以sin cos A A +=．又因为2sin 22sin cos 03A A A ==>，所以sin A 、cos A 同号．因为()0,A π∈，所以sin cos 0A A +>，故选A ．【思路点拨】运用倍角公式，注意分析sin cos A A +的正负．【答案】A ．2)sin sin cos cos αββα+=-，α、()0,βπ∈，则αβ-=（）A ．23π-B ．3π-C ．3πD ．23π 【知识点】和差化积．【数学思想】【解题过程】由已知等式得cos2sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，因为sin02αβ+≠，所以tan2αβ-=，所以23αβπ-=，所以23παβ-=．【思路点拨】利用和差化积变形等式，算出tan 2αβ-的值．【答案】D ． 3．若()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A ．1813 B ．223C ．1213 D ．183【知识点】两角差的正切函数公式．【数学思想】【解题过程】因为()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()tan tan 44a ππαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()tan tan 4=1tan tan 4a a πββπββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 213542122154-==+⨯．【思路点拨】把4πα+变为()4a πββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，再利用两角差的正切函数公式．【答案】B ．4．已知()()1cos cos 3αβαβ+⋅-=，则22cos cos αβ-的值为（）A ．23-B ．13-C ．13D ．23【知识点】积化和差公式、倍角公式．【数学思想】【解题过程】因为()()()11cos cos cos 2cos 223αβαβαβ+⋅-=+=，所以()22cos 211cos 211cos cos cos 2cos 22223αβαβαβ+--=-=+=．【思路点拨】利用积化和差和倍角公式，化出()1cos 2cos 22αβ+．【答案】C ．5．若6παβ+=，且α、β满足关系式：)tan tan 2tan 3tan 0a αβαβ⋅+++=则tan α的值为（）A )1a +B )1a -C )1a +D ．)1a - 【知识点】两角和的正切函数公式．【数学思想】【解题过程】由题()tan tan6παβ+=，即tan tan 1tan tan αβαβ+=-，又因为)tan tan 2tan 3tan 0a αβαβ⋅+++=，所以)tan 1a α=+．【思路点拨】由两角和的正切函数公式得tan tan 1tan tan αβαβ+=-，联立已知条件即得．【答案】A ．6．化简22cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝________．【知识点】诱导公式、同角三角函数的平方关系．【数学思想】【解题过程】因为442πππαα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2222cos cos cos sin 14444ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用诱导公式，结合同角三角函数的平方关系即得．【答案】1．能力型师生共研7．若2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=--，则3cos 2sin 2θθ+=______________．【知识点】弦切互化、倍角公式．【数学思想】【解题过程】由2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=--，得2tan 15tan 3θθ+=--，解得tan =2θ．2222223cos 3sin 2sin cos 33tan 2tan 3cos 2sin 21sin cos tan 1θθθθθθθθθθθ-+-++===-++ 【思路点拨】利用弦切互化、倍角公式转化成关于tan θ的式子．【答案】1-．8．求证：43cos 44cos 28sin ααα+-=．【知识点】降幂公式、倍角公式．【数学思想】【解题过程】()()24428sin24sin 21cos 2212cos 2cos 2ααααα=⨯=-=-+，224cos 22cos 224cos 21cos 43cos 44cos 2αααααα=-+=-++=+-．所以等式成立．【思路点拨】从右边入手，根据降幂公式，再利用倍角公式得到左式．【答案】见解答过程．探究型多维突破 9．求证：)22tan tan 2sin cos 2sin 2tan 2tan 3ααπααααα⎛⎫+-=- ⎪-⎝⎭．【知识点】弦切互化、两角差的正弦公式、倍角公式．【数学思想】【解题过程】)22sin sin 2tan tan 2cos cos 2sin cos 2sin 2sin tan 2tan cos 2cos ααααααααααααααα⋅-=---，()sin sin 2sin sin 222sin 22sin 2cos cos 2sin sin 2αααααααααααααα==-=---2sin 23πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【思路点拨】从左边入手，先切化弦，再利用两角差的正弦公式．【答案】见解答过程．10．在△ABC 中，设tan tan 2tan A CB +=，求证：()45cos 2cos 54cos 2CB C A C++-=+．【知识点】三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正切公式变形、倍角公式．【数学思想】转化的思想．【解题过程】C C B A tan )tan()tan(-=-=+πC BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+∴C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++⇒由条件得B C B A tan 3tan tan tan =++∴C B A B tan tan tan tan 3⋅⋅=∴而0tan ,0tan ≠≠C B ，CA tan 3tan =∴，A A A A C B 22tan 1tan 12cos )cos(+--=-=-+ C C C C 2222tan 9tan 91tan 31tan 3+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=而C C 2cos 452cos 54++C C C C C C 222222tan 9tan 9tan 1tan 145tan 1tan 154+-=+-⋅++-⋅+= ∴ cos(B+C-A)=CC2cos 452cos 54++．【思路点拨】等式两边形式都较复杂，可考虑“左右归一”．左边利用两角和的正切公式，结合已知条件化为含tan C 的式子，右边利用弦化切化为含tan C 的式子．【答案】见解答过程．自助餐1．化简：tan()tan tan tan tan()αβαβααβ+--⋅+的结果是（）A ．tan αB ．tan βC ．tan()αβ+D ．tan()αβ-【知识点】两角和的正切公式．【数学思想】【解题过程】因为()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，所以()()tan 1tan tan tan tan αβαβαβ+-=+，即()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+--=+，所以tan()tan tan tan tan tan()αβαββααβ+--=⋅+．【思路点拨】利用两角和的正切公式变形可得．【答案】B ．2．已知23αβπ+=，则22cos cos y αβ=+的最大值为（）A ．12B ．32C D ．【知识点】二倍角公式，三角函数最值．【数学思想】【解题过程】221cos 21cos 2cos 2cos 2cos cos 1222y αβαβαβ+++=+=+=+()()()()cos 21cos cos 1cos cos 132αβαβαβπαβ-=++-=+-=-所以当()cos 1αβ-=-时，函数取得最大值32．【思路点拨】利用二倍角公式与和差化积进行转化，再带入已知条件化简函数．【答案】B ．3．若322πθπ<<+ ）A ．2sin2θB ．2sin2θ-C ．2cos2θD ．2cos2θ-【知识点】倍角公式．【数学思想】【解题过程】=+sincoscossin2222θθθθ=++-，由322πθπ<<，得342πθπ<<，所以，sincoscossinsincossincos2cos222222222θθθθθθθθθ++-=--+-=-．【思路点拨】利用倍角公式，结合θ的范围．【答案】D ．4．已知tan θ==______________．【知识点】两角和正弦公式、倍角公式、弦切互化、特殊角的三角函数值．【数学思想】==，cos sin 1tan 3cos sin 1tan θθθθθθ--===++．【思路点拨】所求式子的分子一、三项结合，利用倍角公式化简，分母用两角和的正弦公式及特殊角的三角函数值化简，最后同时除以cos θ．【答案】3．5．求证：2cos 1sin 214tan 2tan 2αααα=-．【知识点】切化弦、半角公式、倍角公式逆用．【数学思想】【解题过程】222cos cos cos sin 1cos 11cos 2cos tan 2sin sin tan 2ααααααααααα==+---11sin cos sin 224ααα==．【思路点拨】利用半角公式变化分母，通分，逆用倍角公式即得．【答案】见解答过程．6．在△ABC 中，sin A 、sin B 、sin C 成等差数列，求证：5cos 4cos cos 5cos 4A A C C -⋅+=．【知识点】和差化积、积化和差．【数学思想】【解题过程】由条件:2sin B =sin A +sin C ⇒2sin(A +C )=sin A +sin C⇒2·2sin2C A +·cos 2C A + =2·sin 2C A +cos 2CA - ⇒2cos 2C A +=cos 2CA -,展开得:2cos 2A cos 2C －2sin 2A sin 2C =cos 2A cos 2C +sin 2A sin 2C即cos 2A cos 2C =3sin 2A sin 2C ,∴tan 2A ·tan 2C =31.令x =tan 2A ,y =tan 2C 则x ·y =31.故⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∙⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+÷⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-=∙++2tan 12tan 12tan 12tan 112tan 12tan 12tan 12tan 1cos cos 1cos cos 22222222C C A A C C A A C A C A =5491191111111*********222222222=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++-y x y x y y x x y y x x ， ∴5(cos A +cos C )=4(1+cos A ·cos C )，即5cos A －4cos A ·cos C +5cos C =4．【思路点拨】熟练运用和差化积、积化和差进行证明．【答案】见解答过程．。

高二数学教案人教A版必修4：3.2《简单的三角恒等变换》(二)

3.2简单的三角恒等变换（二）一、教学目标1、通过三角恒等变形，形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数；2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。

二、教学重点与难点重点：三角恒等变形的应用。

难点：三角恒等变形。

三、教学过程（一）复习：二倍角公式。

（二）典型例题分析例1：.54sin ,20=<<απα已知的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-．解：（1）由,54sin ,20=<<απα得,53cos =α.201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα（2）.71tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπαααα 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=.例３．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--= 求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4．若函数]20[cos 22sin 3)(2π，m x x x f 在区间++=上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值及取得最小值时x 的集合。

最简三角方程

最简三角方程6.5最简三角方程（2）上海市第四中学张云一、教学内容分析在掌握最简三角方程的解集基础上，学会解简单的三角方程．利用同角三角比或三角比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程，然后采用基本的转化方法，将原方程化成简单三角方程求解．有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的0≥，而且要关注此三角函数本身的条件限制．二、教学目标设计1．会解简单的三角方程（形如sin cosA xB x C+=，2A xB x C+=，sin sin 2+=等）．A xB x Csin cos[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sin x、cos x 的齐次式；（4）引入辅助角．２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题．三、教学重点及难点重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法；难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论．四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计1．概念辨析已知三角函数值求角（实际上是求解最简三角方程），要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表：把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程；（2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；（3）关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。

再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程；（4）形如sin cos a x b x c +=的方程，通常是引入辅助角，化原方程为sin()x θ+=1≤时，方程有解．2．例题分析例1、解方程22sin 3cos 0x x +=．解原方程可化为 22(1c o s )3c o s 0x x -+=，即 22cos 3cos 20x x --=．解这个关于cos x 的二次方程，得cos 2x =，1cos 2x =-．由cos 2x =，得解集为φ；由1cos 2x =-，得解集为22,3x x k k Z ππ?=±∈．所以原方程的解集为22,3x x k k Z ππ?=±∈． [说明]方程中的2sin x 可化为21cos x -，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当0?≥时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解．例2、解方程22sin cos cos 03x x x x --=．解一因为cos 0x ≠（使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以2cos x ，得2tan 10x x -=．解关于tan x 的二次方程，得tan x =tan x =由tan x =,3x x k k Z ππ??=+∈；由tan x =,6x x k k Z ππ??=-∈．所以原方程的解集为,,36x x k x k k Z ππππ??=+=-∈或．[说明]若方程的每一项关于sin cos x x 及的次数都是相同的（本题都是二次）,那么这样的方程叫做关于sin cos x x 及的齐次方程．它的解法一般是,先化为只含有未知数的正切函数的三角方程，然后求解．解二降次得 1c o s 231c o s 2i n 2022x x x -+-=，化简得i n 2c o s 20x x +=．因为cos 20x ≠（使cos 20x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以cos 2x ，得tan 2x =由tan 2x = 2,3x k k Z ππ=-∈，即,26k x k Z ππ=-∈．所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ?=-∈． [说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当k是偶数2n 时，26k ππ-变成n 6ππ-；当k 是奇数2n+1时，26k ππ-变成n 3 ππ+，所以实质上,,36x x k x k k Z ππππ??=+=-∈或与,26k x x k Z ππ?=-∈是相等的集合．解三降次得 1c o s 231c o s 2i n 2022x x x -+-=，化简得i n 2c o s 203x x +=，即 sin(2)03x π+=，得 2,3x k k Z ππ+=∈，即,26k x k Z ππ=-∈．所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ?=-∈． [说明]一般说来，对于形如sin cos a x b x c +=的三角方程，可先在方程的两边都除以，然后引入辅助角，原方程变形为sin()x θ+=1≤时，方程有解．例3、若方程cos 22sin 10x x m -+-=存在实数解，求m 的取值范围．解一由原方程，得 22sin 2sin 0x x m +-=，即 2sin sin 02mx x +-= 解这个以sin x 为未知数的一元二次方程，因为1sin 1x -≤≤要使方程有解，只需14()021102m m ?=-?-≥+-≥??解得142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42??-． [说明] 有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sin x 为未知数的一元二次方程的0?≥，而且必须考虑sin x 的值在[]1,1-内．解二由原方程得 22sin 2sin 0x x m +-=，得22112sin 2sin 2(sin )22m x x x =+=+- 因为1sin 1x -≤≤，所以142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42??-． [说明] 当方程sin (x t t =为常数）有解时，必须满足1t ≤，则原题就转化为求[]2112(),1,122m t t =+-∈-的最大值、最小值问题． 3．问题拓展例4、求方程sin 2cos()x x π=-的解集．解一由原方程得2sin cos cos x x x ?=-，得 cos 0x =，1sin 2x =-．由cos 0x =，得解集为,2x x k k Z ππ??=+∈；由1sin 2x =-，得解集为(1),6Kx x k k Z ππ??=--∈．所以原方程的解集为(1),26Kx x k x k k Z ππππ??=+=--∈或．解二由原方程得sin 2cos x x =－，即3sin 2sin()2x x π=+ 得3222x k x ππ=++或322()2x k x πππ=+-+，即322x k ππ=+或236k x ππ=-，k Z ∈．所以原方程的解集为322,236k x x k x k Z ππππ?=+=-∈或．解三由原方程得sin 2cos x x =－，即cos(2)cos 2x x π+=得222x k x ππ+=+或222x k x ππ+=-，即22x k ππ=-或236k x ππ=-，k Z ∈．所以原方程的解集为22,236k x x k x k Z ππππ??=-=-∈或．[说明] 由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合．对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．（1）sin sin αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z αππβ=+-∈；（2）cos cos αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z απβ=-∈；（3）tan tan αβ=，则,k k Z απβ=+∈．三、巩固练习1、解下列方程的解集：（1）22sin 3cos 30x x +-=；（2）28sin 5sin 21x x =-．2、关于x 的方程0cos sin 2=++k x x 有实数解,求实数k 的取值范围.3、求方程1cos(sin )2x π=的解集． 4、已知函数2sin 42cos 2cos 42sin )(2424xx x x x f +-+=，（1）化简)(x f ，并求)625(πf ；（2）若πα<<0，0)2()(=+ααf f ，求α．四、课堂小结本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程。

沪教版高一下册数学最简三角方程教案一级第二学期(2)

课题：6.5-最简三角方程第2课时：教学目标：1. 进一步掌握解三角方程的方法集，能利用最简三角方程解决简单的三角问题。

2. 通过解三角方程，进一步理解三角函数及反三角函数。

3. 进一步提高三角变换能力。

教学重点：解三角方程教学难点：解三角方程教学过程：一、最简三角方程：1、若sinx ＝13，则x ＝2k π＋arcsin 13或x ＝2k π＋π－arcsin 13，k ∈Z2、若cosx ＝－13，则x ＝2k π±(π－arccos 23)，k ∈Z3、若tanx ＝－2，则x ＝k π－arctan2)，k ∈Z二、形如sinf(x)＝a 的方程，其中－1≤a ≤14、)14π-=解：sin(2x )4π-=，得2x －4π＝2k π＋2π，则x ＝k π＋38π，k ∈Z5、 tan(x)13π-=解：tan(x )13π-=-，得x －3π＝k π－4π，则x ＝k π＋12π，k ∈Z三、形如f(sinx)＝a 的方程 6、 22sin x cosx 10+-=解：22(1cos x)cos x 10-+-=，得22cos x cosx 10--=，解得cosx 1=或1cos x 2=-，则x 2k =π或2x 2k 3π=π±，k Z ∈。

7、 7cosx 3cos2x 0+=解：26cos x 7cosx 30+-=解得1cos x 3=或3cos x 2=-（舍），则1x 2k arccos 3=π±，k Z ∈。

8、 22sec x 5tan x 10-+=解：1x k arctan 2=π+或x k arctan3=π+，k Z ∈。

四、形如asinx ＋bcosx ＝c(c ≠0)的方程 ——用辅助角转化为最简三角方程9、 sinx cosx 1-=-)14π-=-得sin(x )4π-=k x k (1)44ππ=π--+，k Z ∈。