学习讲义范例_线性规划

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运筹学讲义_1线性规划

第一章线性规划【教学内容】线性规划模型，图解法，可行区域的几何结构，基本可行解及线性规划的基本定理，单纯形方法，单纯形表，两阶段法，关于单纯形方法的几点说明，对偶线性规划，对偶理论，对偶单纯形法，求解线性规划问题的几个常用软件。

【教学要求】要求学生理解线性规划的标准形式，能熟练的将一般的线性规划问题化为标准形式；掌握图解法，能用单纯形法求解线性规划问题；掌握灵敏度分析方法，能够建立线性规划模型及用常用软件求解线性规划问题。

【教学重点】线性规划模型，图解法，单纯形方法，单纯形表，两阶段法，对偶线性规划，对偶单纯形法，灵敏度分析。

【教学难点】基本可行解及线性规划的基本定理，单纯形方法，对偶线性规划，对偶理论，对偶单纯形法。

第一节线性规划模型线性规划(Linear Programming ，简记为 LP )问题研究的是在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题。

§1．1 线性规划问题举例例 1.1.1 某工厂用 3 种原料 3 2 1 , , P P P 生产 3 种产品 3 2 1 , , Q Q Q 。

已知单位产品所需原料数量如表 1.1.1 所示，试制订出利润最大的生产计划。

453 单位产品的利润（千元）20005 2 800 4 2 0 P 2 1500 0 3 2 P 1 原料可用量Q 3Q 2 Q 1 单位产品所需产品原料数量(kg)原料3P 3表 1.1.1分析设产品 j Q 的产量为 j x 个单位， 3 , 2 , 1 = j ，它们受到一些条件的限制。

首先，它们不能取负值，即必须有 3 , 2 , 1 , 0 = ³ j x j ；其次，根据题设，三种原料的消耗量分别不能超过它们的可用量，即它们又必须满足：1223 123 231500 24800 3252000 x x x x x x x +£ ì ï+£ í ï ++£ î我们希望在以上约束条件下，求出 3 2 1 , , x x x ，使总利润 3 2 1 4 5 3 x x x z + + = 达到最大，故求解该问题的数学模型为：123 12 23 123 max 354 231500 24800 .. 3252000 0,1,2,3j z x x x x x x x s t x x x x j =++ +£ ì ï +£ ï í++£ ï ï ³= î 类似这样的问题非常多。

运筹学课程讲义

运筹学课程讲义第一部分线性规划第一章线性规划的基本性质1.1 线性规划的数学模型一、线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。

桌子售价50 元/个，椅子售价30 元/个。

生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。

生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。

生产一个椅子需要木工3 小时，油漆工1 小时。

该厂每月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。

问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？max z 50x1 30x24x1 3x2 1202x1 x2 50x1,x2 0 例：某工厂生产某一种型号的机床。

每台机床上需要 2.9m、2.1m、1.5m的轴，分别为1根、2根和1根。

这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m。

如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、数学模型的标准型1. 繁写形式2. 缩写形式3. 向量形式4. 矩阵形式若原模型中变量 x j 有上下界，如何化为非负变量？三、任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量 x k 是自由变量，如何化为非负变量？1. 2 图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。

使用该法求解线性规划问题时，不必把原模型化为标准型。

一、图解法步骤1. 由全部约束条件作图求出可行域2. 作出一条目标函数的等值线3. 平移目标函数等值线，作图求解最优点，再算出最优值 max z 5x 1 6x 2 7x 3x 1 5x 23x 3 15 5x 1 6x 210x 3 20 x 1 x 2 x 3 5x 1 0,x 2 0,x 3无约束令 x 1' x 1,x 3 x 3' x 3'',x 3' ,x 3'' 0, Z 1Z ' 1 1 min z ' 5x 1' 6x 2 7x 3' 7x 3'' 0x 5 Mx 6 1 x 1' 5x 2 1 11 3x 3' 3x 3'' x 4 x 6 15 1 5x 1' 6x 2 10x 3' 10x 3'' x 5 20 1 x ' x 1 ' II '' 54.Mx 7 x 1, x 2 , x 3, x 3, x 4 , x 5 ,x 6, x 7 0从图解法看线性规划问题解的几种情况1. 有唯一最优解2. 有无穷多组最优解3. 无可行解4. 无有限最优解（无界解）min z 6x1 4x?2x〔X2 13 最优解（1,0），最优值33x14x2 22x1, x20直观结论：1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域（但有有限个顶点）或空集；2）线性规划问题若有最优解，一定可以在其可行域的顶点上得到。

线性规划讲义

线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的目标最优化问题。

它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

本讲义将介绍线性规划的基本概念、模型建立和求解方法。

二、基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由目标函数和一组线性约束条件组成。

目标函数是要最小化或者最大化的线性表达式，而约束条件是对决策变量的限制条件。

2. 决策变量决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。

决策变量通常用符号x表示。

3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，可以是等式约束或者不等式约束。

等式约束表示某些决策变量之间的关系，不等式约束表示某些决策变量的取值范围。

4. 目标函数目标函数是线性规划模型中要最小化或者最大化的线性表达式。

它通常由决策变量和系数构成。

三、模型建立1. 确定决策变量根据问题的具体情况，确定需要决策的变量，并用符号x表示。

2. 建立目标函数根据问题要求，建立一个线性表达式作为目标函数。

目标函数可以是最小化或者最大化的。

3. 建立约束条件根据问题中给出的限制条件，建立一组线性不等式或者等式作为约束条件。

每一个约束条件都要写成决策变量的线性表达式。

4. 确定变量的取值范围根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。

这些范围可以是非负数、整数或者其他限制条件。

四、求解方法1. 图形法当决策变量的个数较少时，可以使用图形法来求解线性规划问题。

图形法通过绘制约束条件的图形，并找到目标函数的最优解。

2. 单纯形法单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。

它通过迭代计算，逐步逼近最优解。

单纯形法的核心是构造单纯形表，并进行基变量的选择和迭代计算。

3. 整数线性规划当决策变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法来求解。

整数线性规划是一种复杂的优化问题，通常需要使用分支定界等算法来求解。

五、案例分析以一个生产计划问题为例，假设一个工厂有两个产品A和B，需要决定每一个产品的生产数量，以最大化利润。

线性规划-讲义-3

4)、解的几种情况： 4)、解的几种情况：唯一解无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0者。无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0 无界解 max, σ j > 0 但Pj ≤ 0 min, σ j < 0 但Pj ≤ 0 无可行解－最优表中人工变量在基中，无可行解－最优表中人工变量在基中，且＝0。建模有问题 5)、 5)、退化解问题
表2 -2
-1/3 -1/3
两阶段法步骤 n 原问题 max S=Σ Cj xj n j=1 Σ aij xj =bi ( i=1,2, …,m) xj ≥ 0 m 作辅助问题 min W=Σ yi n i=1 Σ aij xj + yi =bi ( i=1,2, …,m) Xj ， yi ≥ 0 阶段：解辅助问题，第1阶段：解辅助问题，当进行到最优表时 ①、若W=0, 则得到原问题的一个基本可行转入第2阶段阶段。解，转入第阶段。 ②、若W>0, 则判定原问题无可行解阶段：第2阶段：用求出的初始基可行解求最优解。阶段用求出的初始基可行解求最优解。
人工变量： x6 , x7 人工变量：
cj
XB b*
0
x1
0
x2
0
x3
0
x4
0
x5
-1
x6
-1
x7
x4 11 3 x6 x7 1 - W’ 0
XB b*
1 -4 -2
0
x1
-2 1 0
0
x2
1 2 1
0
x3
1 0 0
0
x4
0 -1 0
0
x5
0 1 0
-1
x6
0 0 1
-1
x7

线性规划讲义

线性规划讲义标题：线性规划讲义引言概述：线性规划是一种数学优化技术，用于在给定约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。

它在各种领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将详细介绍线性规划的基本概念、解题方法以及实际应用。

一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学方法，用于寻觅一个线性函数的最大值或者最小值，同时满足一组线性等式或者不等式的约束条件。

1.2 线性规划的基本要素：线性规划包括目标函数、约束条件和决策变量三个基本要素。

目标函数用于描述要最大化或者最小化的目标，约束条件描述了问题的限制条件，决策变量是需要确定的未知数。

1.3 线性规划的标准形式：线性规划问题通常被转化为标准形式，即最小化目标函数，同时满足一组线性等式和不等式约束条件。

二、线性规划的解题方法2.1 图形法：图形法是线性规划的基本解法之一，通过在坐标系中画出约束条件和目标函数的等高线图，找到最优解的方法。

2.2 单纯形法：单纯形法是一种高效的线性规划求解算法，通过逐步挪移顶点，找到最优解的方法。

2.3 对偶理论：对偶理论是线性规划的重要理论基础，通过对原问题的对偶问题进行求解，可以得到原问题的最优解。

三、线性规划的应用3.1 生产计划：线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。

3.2 资源分配：线性规划可以匡助企业合理分配资源，以达到最优的效益。

3.3 运输问题：线性规划可以解决运输问题，如货物运输路线的最优规划和运输成本的最小化。

四、线性规划的工具4.1 MATLAB：MATLAB是一种常用的数学建模工具，可以用于解决线性规划问题。

4.2 Excel：Excel也可以用于线性规划问题的建模和求解，通过插件或者函数实现。

4.3 Gurobi：Gurobi是一种专业的线性规划求解器，可以高效地解决大规模线性规划问题。

五、线性规划的发展趋势5.1 混合整数线性规划：混合整数线性规划是线性规划的扩展，将决策变量限制为整数，适合于更多实际问题。

线性规划讲义

简单的线性规划问题高三复习讲义一：画出不等式组表示的平面区域1. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>，则1-a b 的取值范围是．2.已知点(),M a b 在由不等式组002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内，则点(),N a b a b +-所在平面区域的面积是( )A.4B.2C.1D.83.不等式组⎩⎨⎧≤≤≥+-+300)5)((x y x y x ，表示的平面区域是一个( )A ．三角形B ．直角三角形C ．梯形D ．矩形4.若点),(y x M 满足{mx y x <≥-022，区域内整点不少于18个，则m 的取值范围为（）2.≥m A2.>m B3.>m C3.≥m D5.已知集合A={(x,y)|⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤y ，2x －y ≤1},集合B={(x,y)|3x+2y-m=0},若A ∩B ≠∅,则实数m的最小值等于__________.6. 设关于,x y 的不等式组2100y x a y a -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,,x 表示的平面区域为D .若在平面区域D 内存在点),(00y x P ，满足00345x y -=，则实数a 的取值范围是 ____________.7．已知直线01)1()2(=++++y m x m 上存在点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+103203x y x y x ，则m 的取值范围为( )A ．),35[∞+-B ．]35,(--∞ C ．]21,1[- D ．]21,41[-8.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2，p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 39.若函数2xy =图像上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为A ．12B ．1C ．32D ．2二：简单的线性规划问题10.[14·广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．811．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为A ．10B ． 8C ． 3D ．212．满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是．13.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为（） A ．50,0 B ．30.0C ．20,30D ．0,5014.[2014·四川卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( C)图1-1A ．0B ．1C ．2D ．315.若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成的封闭区域, 则2x -y 的最小值为________.16.[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．17.已知(,)P x y 是不等式组10300x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域内的一点,A 点坐标为(1,2),且O为坐标原点,则OA OP ⋅的最大值为( )A ．2B ．3C ． 5D ． 618．已知正实数,x y 满足20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则1142x yz ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为______.19.抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．20.设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为___________.21. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈，是z x y=+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.22.设y kx z +=,其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,则实数=k ________.23.已知约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋4≥0x ＋2y －1≥03x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0＜a ＜13B ．a ≥13C ．a ＞13D ．0＜a ＜1224．[2014·安徽卷] x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯．．一．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－125．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20062x y x y x ，若目标函数y mx z +-=的最大值为102+-m ，最小值为22--m ，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．[2,1]-C ．[1,2]-D ．[1,3]-26．[2014·浙江卷] 当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________.27.[2014·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( D )A ．2B ．－2 C.12 D ．－1228．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k .若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．3C ．2D ．－229.[2014·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A. 5B. 4C. 5D. 2≥≥30．设1>m ，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．(1，1＋2)B ．),21(+∞+C ．(1，3)D ．),3(+∞线性规划问题的拓展应用31．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+ ⎧⎪<⎨⎪+- ⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是 ( )A ．5[,5]3B ．[]0,5C ．[)0,5D ．5[,5)332．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．33．当实数x 满足约束条件020x y x x y k >⎧⎪≥⎨++≤⎪⎩（其中k 为小于零的常数）时，x y 1+的最小值为2，则实数k 的值是 .34．设实数,x y 满足约束条件202502x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22x y u x y +=+的取值范围是（）A ．39,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．47,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．17,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦35.已知z 、y 满足 203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则264x yx +--的最大值是________．36.若点P 在平面区域2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩上，则()2x y u xy +=的取值范围为37. 已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (,)x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则||OA OM +的最小值是 .38. 已知实数,x y 满足条件001x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1()2y x -的最大值为__12_____.40.已知,x y 满足230490ln x y x y y x+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩,则12z x y =-的最小值是41.若实数x ，y 满足：，则x ＋2y 的最大值是（）A ． 3B ．C ．5D ．42.已知,x y 满足不等式组40x y e x y ⎧≥⎨-≥⎩,则2y xx +的取值范围是A.[1,4]B.[21,9]e +C.[3,21]e +D.[1,]e。

线性规划讲义

线性规划讲义引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。

它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将从五个大点来详细阐述线性规划的相关概念和应用。

正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和形式线性规划是一种数学模型，其目标函数和约束条件均为线性函数。

一般形式为：最大化（或最小化）目标函数 Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为常数。

约束条件一般为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中a11, a12, ..., amn为系数，b1, b2, ..., bm为常数。

1.2 线性规划的可行解和最优解可行解是指满足所有约束条件的解，而最优解是在所有可行解中使目标函数达到最大（或最小）值的解。

线性规划问题的解空间是一个多面体，最优解通常位于多面体的顶点。

1.3 线性规划的图解法和单纯形法线性规划问题可以通过图解法和单纯形法求解。

图解法适用于二维或三维问题，通过画出目标函数和约束条件的图形，找到最优解所在的区域。

单纯形法适用于高维问题，通过一系列的迭代计算，逐步接近最优解。

2. 线性规划的应用领域2.1 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。

通过考虑生产能力、资源约束和市场需求等因素，可以确定最优的生产数量和产品组合。

2.2 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。

通过考虑资源供应量、需求量和优先级等因素，可以实现资源的有效调配。

2.3 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，如货物的调度和路径规划。

线性规划讲义

关键的解原理

解原理6：z增长率为正，意味着相邻CPF 解优于当前CPF解；z增长率为负，意味着相邻CPF解并不优于当前CPF解。因此，最优性检验及时检查是否有边界线会带给z正的增长率，如果没有，则证明当前的CPF解是最优的。
构建单纯形法

单纯形法通常是在计算机上实施的，而计算机只能执行代数运算，因此需要把上述几何原理转化成可应用代数计算的步骤。第一步：把不等式约束转化为等价的等式约束，这个过程考引入松弛变量（slack variables）来完成模型的扩展模式（augmented form）：原线性模型在引入松弛变量后形成的新的模式
a 11 x1 a 12 x 2 ... a 1 n x n ( , ) b a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( , ) b 约束条件： ... a x a x ... a x ( , ) b m2 2 mn n m1 1 x1 , x 2 ,..., x n 0
单纯形法的实质

单纯形法是一个代数计算过程，但它本质上是基于几何原理了解这些几何原理能为我们理解单纯形法的运算步骤提供非常直观的解释，同时也有助于我们将解释为什么单纯形法为什么会如此有效
单纯形法的几何原理

约束边界（constraint boundary）：每个约束条件都是一条直线，该直线就是满足对应约束的边界线角点解（corner-point solutions）：约束边界的交点角点可行解（CPF solutions）：在可行域上的角点相邻（adjacent）：两个CPF解位于同一条约束边界上，它们是相邻的，两个相邻的CPF解连成的一条线段被称为可行域的边（edge）最优性检验（optimality test）：如果一个CPF解没有比它更好（以z来衡量）的相邻CPF解，那么它就是最优解

1第一章线性规划讲解

第一章线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。

此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。

自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。

特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。

生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。

若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。

由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。

总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。

在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。

而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。

学习讲义ppt_线性规划

試求實數 k 的範圍。
<配合課本習題 A1>
答：－12＜k＜2 。
范例 3《二元一次联立不等式的解区域》
在坐標平面上，畫出下列二元一次聯立不等式的解區域：
x－y ≤ 4
x＋y ≤ 7
3x＋y＞3
。
x－2y ≥－6
二元一次聯立不等式是由幾個二元一次不等式所組成，其解區域是這幾個二元一次不等式的解區域的交集。
答：
。
范例 2《同侧点与异侧点》
設 A ( k , 2 )、B (－3 , k ) 兩點在直線 L：2x－3y＋4＝0 同側，求實數 k 的範圍。
若 A ( x1 , y1 ) 與 B ( x2 , y2 ) 在直線 L：ax＋by＋c＝0 的同側，則 ( ax1＋by1＋c ) ( ax2＋by2＋c )＞0。
高中数学第三册
2-2
线性规划
二元一次不等式
平行线法求最佳解
顶点法求最佳解线性规划问题
二元一次不等式
范例1 范例2 范例3 范例4 范例5
演练1 演练2 演练3 演练4 演练5
类题练习1 类题练习2 类题练习3 类题练习4 类题练习5
平行线法求最佳解
范例6
演练6
类题练习6
顶点法求最佳解
范例7 范例8
(2) b＞0 時，不等式 ax＋by＋c＞0 的圖解是直線 L 上方的半平面；不等式 ax＋by＋c＜0 的圖解是直線 L 下方的半平面。
2. 設直線 L：ax＋by＋c＝0， (1) 若 A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 在直線 L 的同側，則 ( ax1＋by1＋c ) ( ax2＋by2＋c )＞0。 (2) 若 A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 在直線 L 的異側，則 ( ax1＋by1＋c ) ( ax2＋by2＋c )＜0。

线性规划讲义

线性规划讲义一、什么是线性规划线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它的目标是在给定的线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或者最小值的变量取值。

二、线性规划的基本要素1. 决策变量：决策变量是指问题中需要决策的变量，用来表示问题的解。

通常用x1、x2、...、xn来表示。

2. 目标函数：目标函数是用来衡量问题的优劣的函数，通常是需要最大化或者最小化的函数。

通常用f(x)表示。

3. 约束条件：约束条件是问题中需要满足的条件，通常是一组线性等式或者不等式。

约束条件可以分为等式约束和不等式约束，分别用等式和不等式来表示。

三、线性规划的标准形式线性规划的标准形式可以表示为：最小化：f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn约束条件：Ax ≤ bx ≥ 0其中，f(x)是目标函数，c1、c2、...、cn是目标函数的系数，x1、x2、 (x)是决策变量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x ≥ 0表示决策变量的非负约束。

四、线性规划的求解方法线性规划可以使用多种方法进行求解，常见的方法有：1. 图形法：适合于二维问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线图来找到最优解。

2. 单纯形法：适合于多维问题，通过迭代计算顶点来找到最优解。

3. 对偶理论：通过构建对偶问题，将原问题转化为对偶问题进行求解。

4. 整数规划法：将决策变量限制为整数，通过枚举或者分支定界法来求解。

五、线性规划的应用领域线性规划广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 生产计划：通过优化资源分配和生产计划，最大化利润或者最小化成本。

2. 运输问题：通过最优化运输路线和货物分配，降低运输成本。

3. 供应链管理：通过优化供应链中的各个环节，提高效率和利润。

4. 金融投资：通过优化投资组合，最大化收益或者最小化风险。

5. 能源管理：通过优化能源生产和消耗，提高能源利用效率。

chapter2线性规划

二.线性规划问题的图解法
1.图解法求最大化的步骤：
第一步，得到可行域，也就是满足所有约束条
件的自变量组成的集合。第二步，在可行域中找到使目标函数最大的那一点，也就是最优解。第三步，通过最优解，求出目标函数的最优值。
案例：考虑生产规划模型：
max z 50 x1 100 x 2 x1 x 2 300 2 x x 400 1 2 x 2 250 x1 , x 2 0
注3:
一般优化模型的基本类型： (1)只有目标函数而没有约束条件和非负约束的特殊情况称为无约束规划. (2)当模型中的决策变量取值为连续数值(实数)时,称为连续优化即通常所说的数学规划; 此时,如果目标函数与约束条件都是线性函数, 成为线性规划(linear programming,LP).至少有一个是非线性函数,则称为非线性规划 (nolinear programming,NLP).特别当目标函数为二次函数,而约束条件为线性函数,称为二次规划(quadratic programming,QP).
件中含有变量的非线性的等式或不等式的数学
模型称之为非线性规划。
(2)线性规划的目标函数为线性函数：z=ax，x 为自变量，a为参数。当a>0时，z随着x的增加而增加，无论x为多少，x增加一个单位带来的z 的增加总是同样的a。由于其性质，没有约束条件的时候max z=ax是不存在的，趋向于无穷大，所以现实的模型必须包括对自变量取值的限制，例如加入 0<=x<=5。
max z 50 x1 100 x 2 x1 x 2 300 2 x x 400 1 2 x 2 250 x1 , x 2 0

第二章线性规划(运筹学讲义)

产品Ⅰ 产品Ⅱ
设备使用成本和单价
资源限制
设备
1
1
10元 / 时
300台时
原料A
2
1
12元 / kg
400kg
原料B
0
1
18元 / kg
250kg
销售单价(元)
84
140
单位产品利润(元)
50
100
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
设工厂生产产品Ⅰ、Ⅱ分别为x1，x2单位，则线性规划模型：
确定需求的约束，它们表示了一定数量的确定的需求，提供的数量等于要求的数量。网络配送问题的共性就是它们的主要函数约束为一种特定形式的确定需求的约束。
混合问题（mixed Problem）除以上三类以外的问题
建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值表示一个方案；
因此,凸集用数学表示为:对任何X1 ∈C, X2 ∈C, 有α X1 ＋(1- α) X2 ∈C (其中0<α<1),则称道C为凸集。规定：单点集 {X} 为凸集，空集为凸集。
A B
E
C
D
顶点:设C是凸集, X∈C;若X不能用不同的两点X1∈C和 X2∈C的线性组合表示为X= αX1＋(1－α) X2 (其中 0<α<1),则称X为C的一个顶点
x2 49
z=10000=50x1+100x2
AB
250
C
z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2
z =0=50x1+100x2

线性规划讲义

线性规划讲义一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。

它的目标是找到一组决策变量的最佳取值，使得目标函数达到最大或最小值。

线性规划广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域，可以帮助决策者做出最优决策。

二、基本概念1. 决策变量：线性规划的决策变量是指需要决策者确定的变量，通常用x1,x2, ..., xn表示。

2. 目标函数：线性规划的目标函数是需要最大化或最小化的线性函数，通常用f(x)表示。

3. 约束条件：线性规划的约束条件是决策变量需要满足的一组线性等式或不等式，通常用g(x)≤b或g(x)≥b表示。

4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。

5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。

三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解。

标准形式的线性规划问题具有以下特点：1. 目标函数是最小化问题。

2. 所有约束条件均为等式。

3. 所有决策变量均为非负数。

标准形式的线性规划问题可以通过以下步骤进行转化：1. 将目标函数转化为最小化问题：如果目标函数是最大化问题，可以通过将目标函数乘以-1来转化为最小化问题。

2. 引入松弛变量：对于每个不等式约束条件，引入一个松弛变量将其转化为等式约束条件。

3. 引入非负变量：对于每个决策变量，引入一个非负变量。

四、线性规划求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，常见的方法包括：1. 图形法：适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的图形位置。

2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，不断改变基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。

3. 对偶法：通过构建原始问题和对偶问题之间的对应关系，可以通过求解对偶问题来得到原始问题的最优解。

4. 整数规划法：适用于决策变量需要取整数值的线性规划问题，通过将问题转化为整数规划问题来求解。

五、应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一个简单的应用案例：假设一个农场有100亩土地，种植小麦和玉米两种作物。

管理运筹学讲义第1 章线性规划

(3)约束条件：产量之和等于销量之和,故要满足：
供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=50 x21+x22+x23+x24=20 x31+x32+x33+x34 =30
x11+x21+x31=20 x12+x22+x32=30 x13+x23+x33=10 x14+x24+x34=40
xij≥0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4)
决策变量对目标函数和约束方程的影响是独立于其他变量的。目标函数值是决策变量对目标函数贡献的总和。
（4）连续性假定
决策变量取值连续。
（5）确定性假定
所有参数都是确定的，不包含随机因素。
9 OR:SM
第一节线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
2、一般数学模型
• 用一组非负决策变量表示的一个决策问题； • 存在一组等式或不等式的线性约束条件； • 有一个希望达到的目标，可表示成决策变量的极值线性函数。
4 2 6
8
O
2
4
6
8
x1
OR:SM
23
• 当决策变量是三维的，如何求解？ • 当维数再高时，又如何求解？
24
OR:SM
第二节线性规划的一般模型
一、线性规划的标准型式
1、标准型表达方式
1）代数式
max Z c j x j
j 1 n
2）向量式
max Z CX
i 1,2,, m j 1,2,, n
20
OR:SM
第一节线性规划的一般模型

线性规划讲义

线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学建模和优化方法，用于解决具有线性约束条件和线性目标函数的问题。

它可以应用于各种领域，如生产计划、资源分配、运输问题等。

本讲义将介绍线性规划的基本概念、模型建立方法、解法和应用案例。

二、基本概念1. 线性规划问题的定义线性规划问题是指在一组线性约束条件下，寻找使线性目标函数取得最大（小）值的决策变量的取值。

2. 线性规划问题的数学表达线性规划问题的数学表达可以用如下形式表示：最大化（最小化）目标函数：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 03. 线性规划问题的基本要素线性规划问题包含以下基本要素：目标函数：决策变量的线性组合，表示待优化的目标。

约束条件：对决策变量的约束，限制了可行解的范围。

决策变量：问题中需要决策的变量。

可行解：满足所有约束条件的决策变量取值。

最优解：使目标函数取得最大（小）值的可行解。

三、模型建立方法1. 确定决策变量根据问题的实际情况，确定需要决策的变量，如生产数量、资源分配比例等。

2. 建立目标函数根据问题的目标，将决策变量线性组合，构建目标函数。

3. 建立约束条件根据问题的约束条件，将决策变量的线性组合与约束条件进行比较，建立约束方程。

4. 确定变量的取值范围根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围，如非负约束条件。

四、解法1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的图形位置。

2. 单纯形法单纯形法是一种迭代求解线性规划问题的方法，通过不断移动基变量，找到最优解。

3. 整数规划法整数规划法适用于决策变量需要取整数值的线性规划问题，通过引入整数变量和约束条件，将问题转化为整数规划问题，并应用相应的求解方法。

初学讲义之高中数学二十五线性规划

初学讲义之高中数学二十五线性规划一、直线分割平面1.1 直线的两边学习线性规划前，先要补充学习一块坐标几何的内容如上图所示，中间的黑色线直线的函数为：y=x，写成方程为x-y=0由于直线是向两头无限延伸的，可以认为它把整个平面分为3个部分：直线本身(黑)、左(红)、右(蓝)可以叫左右，也可以叫上下，都一样。

其实平面上任何一条直线都可以把平面分成这三部分。

现在我们简单了解一下两边的情况。

1.2 直线的平移在学习一次函数时，已经学过函数的平移，这里直接用结论对直线y=x，如果把它变成y=(x-a)，就是向右平移a个单位（若a＜0就是向左）如果把它变成y=x+b，就是向上平移b个单位（若b＜0就是向下）对上面的两个平移，如果我们令a=-b，那么平移后得到的函数是相同的，都是y=x+b也就是说当a=-b时，向右平移a和向上平移b的结果是相同的现在具体令a=-b=2，我们来分别平移：如上图，黑色直线为y=x，红色直线为y=x-2首先按照向右平移，也就是橙色的箭头，变成y=(x-2)原来的(0,0)就被平移到了(2,0)，类似的，直线上的其他点(x_{0},y_{0})都平移到了 (x_{0}+2,y_{0})再来向上（下）平移，也就是粉色的箭头，变成y=x+(-2)原来的(0,0)就被平移到了(0,-2)，类似的，直线上的其他点(x_{0},y_{0})都平移到了 (x_{0},y_{0}-2)虽然翻译的方向不同，但结果是一样的。

上面是用一次函数表示直线，下面用方程来表现会更加直观：原直线：x-y=0新直线：x-y-a=0当a＞0时，直线向右（或下）平移当a＜0时，直线向左（或上）平移直线向右（或下）前进的过程中，扫过了全部的半个平面直线向左（或上）前进的过程中，扫过了全部的另外半个平面1.3 确定在哪边我们对新直线方程x-y-a=0变个形：a=x-y也就是说，直线右边（或下边）的所有点，都是a＞0的，也就是x-y＞0直线左边（或上边）的所有点，都是a＜0的，也就是x-y＜0因此直线x-y=0将平面分为3个部分，这3部分的点分别满足：x-y=0x-y＞0x-y＜0分别对应直线上（黑色），直线右边或下边（蓝色），直线左边或上边（红色）对任何直线都是如此1.4 举例再举2个其他的例子：例1：2x+3y-6=0它也把直线分为3个部分为了找到对应关系，随便代入某个点即可，比如在直线左侧的最简单的（0,0）：2*0+3*0-6=-6＜0因此对该直线，符合2x+3y-6＜0的点在左侧（或下侧），符合2x+3y-6＞0的点在右侧（或上侧）例2：-2x+3y+6=0代入在左侧的（0,0）：-2*0+3*0+6=6＞0因此对该直线，符合-2x+3y+6＞0的点在左侧（或上侧），符合-2x+3y+6＜0的点在右侧（或右侧）要注意的是从上面两个例子可以看出：1、对每条直线，“＞和＜“与“右还是左（下还是上）”的对应关系需要单独确定2、“上下”和“左右”通常也没有对应关系，只是为了方便的叫法1.5 围出一个多边形现在我们在一个坐标系内同时画上上面三条直线：x-y=0（红）2x+3y-6=0（绿）-2x+3y+6=0（蓝）这三条直线把平面分为好几个部分（懒得数了），中间围出一个三角形（阴影部分）那么这个阴影部分该如何表示呢？很简单，随便取个点，分别代入3条边试出不等号即可为方便运算，就取（2,0）吧，0越多越好，整数越多越好：代入x-y：2-0=2＞0代入2x+3y-6：2*2+3*0-6=-2＜0代入-2x+3y+6：-2*2+3*0+6=2＞0因此阴影部分的点可以用下面这个不等式组来表示：x-y＞02x+3y-6＜0-2x+3y+6＞0（此处左边应有大括号{，由于输入法原因无法实现）1.5.2 再加条直线再加条直线看看：x-y=0（红）2x+3y-6=0（绿）-2x+3y+6=0（蓝）x+y+2=0（黄）这下围出了四边形，也有三角形，和其他开放的图形如果想要知道此时阴影部分四边形点的特征，再加上第四条黄色的直线的不等式即可：还是代入(2,0)：2+0+2=4＞0因此中间阴影四边形中点的坐标符合：x-y＞02x+3y-6＜0-2x+3y+6＞0x+y+2＞0如果您想包含边界，只需将大于号和小于号更改为大于或等于号和小于或等于号。

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第二章线性规划(运筹学讲义)

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