集合教学中应注意的几个问题
高考数学集合学习需注意的问题-教学文档
高考数学集合学习需注意的问题作者：佚名集合是近代数学中的一个重要概念，它不仅与高中数学的许多内容有着紧密的联系，而且已经渗透到自然科学的众多领域，应用十分广泛。
掌握好集合的知识既是数学学习本身的需要，也是全面提高数学素养的一个必不可少的内容。
进入高中，学习数学的第一课，就是集合。
由于集合单元的概念抽象，符号术语多，研究方法跟学习初中数学时有着明显的差异，致使部分同学初学集合时，感到难以适应，常常因为这样那样的原因造成解题失误，形成思维障碍，甚至影响整个高中数学的学习。
为了帮助同学们解决这一问题，本文谈谈在集合学习中值得注意的几个事项，供大家参考。
一、准确地把握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题概念抽象、符号术语多是集合单元的一个显着特点，例如交集、并集、补集的概念及其表示方法，集合与元素的关系及其表示方法，集合与集合的关系及其表示方法，子集、真子集和集合相等的定义等等。
这些概念、关系和表示方法，都可以作为求解集合问题的依据、出发点甚至是突破口。
因此，要想学好集合的内容，就必须在准确地把握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫。
二、注意弄清集合元素的性质，学会运用元素分析法审视集合的有关问题众所周知，集合可以看成是一些对象的全体，其中的每一个对象叫做这个集合的元素。
集合中的元素具有“三性”：（1）、确定性：集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可。
（2）、互异性：集合中的元素应该是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个。
（3）、无序性：集合中的元素是无次序关系的。
集合的关系、集合的运算等等都是从元素的角度予以定义的。
因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。
三、体会集合问题中蕴含的数学思想方法，掌握解决集合问题的基本规律布鲁纳说过，掌握数学思想可使得数学更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。
集合单元中，含有丰富的数学思想内容，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。
掌握集合知识需要注意的几个问题
掌握集合知识需要注意的几个问题珠海市第三中学 饶正宽摘要：集合知识是整个高中数学的开篇内容，能否学好集合，对学生进入高中后的学习会有深远的影响。
集合是分类思想的极好载体，其本质就是分类。
集合不光为其他分支提供了的工具，也提供了重要的思想方法。
因此在高中阶段掌握好集合就显得非常重要了。
本文从掌握集合知识需要注意的五个方面入手，一一介绍在集合知识部分的难点和易错点等，从而加深学生对集合部分内容的掌握。
关键词：集合 问题 考点集合知识是整个高中数学的第一部分内容，集合语言是现代数学的基本语言，在高中数学课程中，它是学习掌握和使用数学语言的基础。
对后面内容的学习有深刻的影响。
整块内容新符号、新概念多，和其他章节的知识交汇多，因此，要掌握好这一章内容，应该注意一下几点：一． 注意集合的表示方法。
在高中阶段，我们所接触的集合的表示方法主要有列举法、描述法和图示法，而这些方法在表示集合时都有特定的要求，在解题时，一定要注意根据实际情况选择不同的表示方法。
比如，在用描述法表示集合时，要分清代表元素的含义。
例1．用列举法表示集合A={}________,2,12=∈≤-=Z x x x y y ；B={}________,2,1),(2=∈≤-=Z x x x y y x ；_______=⋂B A 。
解析：很显然，满足条件的x 有-2，-1，0，1，2五个，而第一个集合代表元素为y ，因此，它表示函数12-=x y 的值域，是数集；第二个集合代表元素为()y x ,，它表示函数12-=x y 图像上的点，是点集。
从而，将x 的值分别代入表达式中，第一空应填{}3,0,1-；第二空应填()()(){}3,2,0,1,1,0),0,1(),3,2(---；第三空应填φ。
二． 注意空集概念的理解。
空集是不含任何元素的集合，它属于有限集，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
由于空集的特殊性，要特别注意{}{}0,0,,φφ之间的区别。
集合中需要注意的几个问题
集合中需要注意的几个问题作者：徐守军来源：《广东教育·高中》2010年第09期作为高中数学的基础知识,集合概念抽象,符号术语多.进入高中,学习数学的第一课,就是集合.对于初学集合的同学来说,常常因为概念不清晰,理解不透彻,解题思路不严谨,造成不必要的错误,形成思维障碍,甚至影响整个高中数学的学习.本文主要探讨集合学习中需要注意的几个问题,仅供大家参考.一、注意弄清集合元素的类型,学会运用元素分析法审视集合的有关问题在集合学习时,较多遇到的集合都是数集,比较少见的还有点的集合、图形的集合等等,有时即使是数集,其含义也在很多时候是不同的.例1 比较下列集合的异同,说出下列集合的元素类型.(1){x|y=x2+1} (2){y|y=x2+1}(3){(x,y)|y)=x2+1}(4){y=x2+1}分析此类问题主要抓住元素的属性,以及集合的表示方法之间的异同点.不少同学会认为(1)与(2)是相同的,没注意它们的元素一个是x,另一个是y,还有就是将(4)的元素看成y,而不是方程.解析 (1)自变量的取值范围,(2)函数值的取值范围.(3)抛物线上的点组成的集合,是点集.(4)一个方程组成的集合,只含有一个元素.为了帮助大家加深理解,给出下面的变式:变式1 集合M={y|y=x2,x∈R},N={y|y=2-|x|,x∈R},则M∩N=( )A. {(-1,1)}B. {(-1,1),(1,1)}C. {y|0≤y≤2}D. {y|y≥0}分析不少同学会由y=x2,y=2-|x|,解得x=-1,y=1,或x=1,y=1,错选B.错误的原因就是没有抓住代表元素的属性,我们注意到两个集合中的元素y都是各自函数的函数值,因此,M∩N是y=x2和y=2-|x|这两个函数的值域的交集,而不是它们的交点.解析由于M= {y|y≥0},N= {y|y≤2},所以M∩N={y|0≤y≤2},选C.二、准确地判断集合之间的关系,通过对研究对象的分析解决具体问题集合关系是从整体上研究问题的一种思想方法,初中阶段对个体(具体的数)间的相互关系研究的较多,对整体研究的较少.因此集合关系的研究也是易出错或学习困难的.例2 集合A={x|x=2k,k∈N*},B={x|x=4k,k∈N*},试确定集合A与B的关系.分析很多同学都会得AB,因为只从数4是2的倍数关系就想到AB,并且这种思维方式是带有普遍性的,也很容易导致错误.我们可把集合所表示的数列举出部分,也可从“集合A表示的哪一类数,集合B表示又是哪一类数,这两类数之间又有什么关系”角度出发,从大范围、大角度下手,从而轻松地解决问题.解析法一:从个体出发,将这两个集合的元素一一列出,再引导他们观察;法二:整体把握,集合A是表示2的倍数,集合B是表示4的倍数,抓住“4的倍数都包含在2的倍数中”.答案:BA.此类题都要求准确确定集合元素,从具体的元素关系得出集合间关系.这类问题难度还可提高,只要适当变化形式题型较多,在历年高考中都非常重视此类题型.变式2 设集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则()A. M=NB. MNC.MND. M∩N=分析本题是一道高考题,根据例2的思考角度,可从两个方面着眼,相比较而言,从宏观角度出发,对培养我们的整体思维以及对快速解决问题都有利.解析对集合变形整理,得M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},由于k+2表示所有整数,2k+1表示奇数,因此MN ,选C.三、重视空集的特殊性,防止由于忽视空集这一特殊情况导致的解题失误集合关系中有许多问题会考虑到一个特殊的集合-空集,而它往往容易被大多数同学忽略.例3 若A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0,m∈R},且AB,求m能取的一切值.分析本题本质是研究集合A、B包含关系,需要分别解两个方程,所以大多数同学想当然的由集合B解出x=-,这样做只想到m≠0时的情况,而对m=0时B=也符合条件忽略掉了,造成错误.解析当m=0时,B=,符合题意;当m≠0时,由A解得x=2或-3,再由B得x=-,所以m=-或.四、关注形式定义问题,培养新的问题情景下知识的迁移、创新能力集合中有一类型的题是形式定义给出条件的,由于初中没有接触过这类问题,不少同学遇到此类问题时经常是束手无策,又或者容易做错.例4设S={x|x=m+n,m,n∈Z},(1)若a∈Z,证明a∈S;(2)若x1∈S,x2∈S,试判断x1+x2、x1x2与S的关系.分析因为在初中学习中没有遇到这种利用形式定义来求解的类似文题,所以大多数同学难于理解此题的题意.实际上让同学正确理解集合S的含义是关键:只要能写成一个整数加上另一个整数与的积的形式,则这个数就是S的元素.让同学自己试着写出集合S的几个元素,从具体元素体会其特点,再回一般问题的研究.解析 (1)若a∈Z,则a=a+0. ∵a,0∈Z, ∴ a∈S;(2)若x1∈S,x2∈S,则x1=m1+n1(其中m1,n1∈Z),x2=m2+n2(其中m1,n1∈Z),x1+x2=m1+n1+m2+n2=m1+m2+n1+n2=(m1+ m2)+(n1+n2).显然:(m1+ m2)∈Z,(n1+n2)∈Z,故x1 +x2∈S.类似可证明x1x2 ∈S(请同学们去完成),此类问题同学们掌握好对后期学习复数及在高考中遇到新定义类题是很有作用的.变式3 中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件:(1)自反性:对于任意a∈A,都有a-a;(2)对称性:对于a,b∈A,若a-b,则有b-a;(3)传递性:对于a,b,c∈A,若a-b,b-c,则有a-c.则称“-”是集合A的一个等价关系.例如:“数的相等”是等价关系,而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立).请你再列出三个等价关系: .分析本题将所学知识迁移到集合,在集合中新定义一个关系“-”,只需很好地理解关系所满足的三个条件,联系课本所学的知识做出解答,这正是“学于课本,用于课本”.解析答案不唯一,如“图形的全等”“图形的相似”“非零向量的共线”“命题的充要条件”等等.这种题型对培养同学们的迁移、创新能力是有一定作用的.同学们在遇到此类问题时尽量理解透彻,不要等以后再加强.一般我们在了解高考要求的前题下,在相关讲解时努力用高的标准来要求,这也体现了突出重点.五、体会集合中蕴含的数学思想,掌握解决集合问题的基本规律布鲁纳说过,掌握数学思想可使得数学更容易理解和记忆,领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”.集合单元中,含有丰富的数学思想内容,例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反及运动变化的思想等等.例5 已知集合M={x|-1≤x分析解决此题关键是:先化简集合N,再用数轴表示M、N.解析让表示数a的点在数轴上运动(如图),如果a>2或a=2,则M∩N是空集,不符合题意;如果a此题充分体现了数形结合、分类讨论及运动变化思想在数学中的运用,对刚刚接触高中数学的学生来说,要尽量理解透.以上仅就高中新生学习集合中需要注意的一些问题加以说明,从上五个问题的处理上我们认为对高中新生学习数学的难处要早想到,要多站在学生立场想问题,特别是对于刚升高中的同学来说,尽量减少他们在学习数学中的阻碍,提高他们学好数学的信心非常重要.责任编校徐国坚。
学习集合的几个注意点
学习集合的几个注意点陕西汉中市405学校 侯有岐 723312集合是高中数学的起始部分，也是最基本的数学概念之一，其观点和思想已经渗透在数学内容的各个方面，因此大家必须认真学好它，在学习过程中要注意以下几个问题．一、注意把握集合概念，认清集合元素集合是由元素构成的，认清集合元素对于处理集合之间的关系及进一步认识集合都非常重要．例 1 设集合{}R x x y y M ∈==,2, {}R x y y N x ∈==,2, 则N M 中元素的个数有（ ）．A 2个 ．B 3个 ．C 4个 ．D 无数个解析：本题很容易错选A .原因是容易理解为求两个函数图像的交点（事实上，这两个函数有三个交点），实际上，M 和N 两个集合中的代表元素是y ，分别表示函数2y x =和2x y =的值域，有{}0M y y =≥, {}0N y y =>，所以N M ={}0y y >，故选．D 变式：设集合(){}22,1,,M x y x y x R y R =+=∈∈，(){}2,0,,N x y x y x R y R =-=∈∈，则集合N M 中元素的个数为（ ） ．A 1个 ．B 2个 ．C 3个 ．D 4个解析：数形结合，抛物线顶点()0,0在圆内部，则抛物线与圆有两个交点，故选．B点评：集合可以是点集，也可以是数集，同学们要分清点集和数集，不能混淆.特别是用描述法表示集合时，一定要注意其代表元素所代表的意义，以免出错.二、注意集合元素的互异性经验表明，集合中元素的互异性常常被同学们忽视，以致造成错误.例2 设a b R ∈、,集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭,则b a -=( ) ．A 1 ．B 1- ．C 2 ．D 2- 解析:由{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭可知0a ≠,则只能是0a b +=.由集合元素的特性可知应有如下对应关系: (1)0,,1;a b b a ab +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或(2)0,1,.a b b ab a +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 解(1)得1,1.a b =-⎧⎨=⎩符合题意；（2）无解.所以2b a -=，故选．C 变式: 设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合{},P Q a b a P b Q +=+∈∈,若{}0,2,5P =,{}1,2,6Q =,则P Q +中元素的个数是（ ）．A 9 ．B 8 ．C 7 ．D 6解析：由题意可知{}1,2,3,4,6,7,8,11P Q +=，故选．B点评：集合中的元素有三个特性：无序性，确定性，互异性.在解题时,同学们要充分利用其特性,特别是互异性,解得的结果要注意代回原题检验.本例变式易产生由乘法原理得出P Q +中元素个数为11339C C =的错误,为此,将集合中的元素一一列举出来，即可避免出错.三、注意空集的特性空集是一个特殊的集合,它不含任何元素,,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.显然,空集与任何集合的交集是空集,与任何集合的并集仍等于这个集合.当题设中隐含有空集参与的集合运算时,很容易被忽视.例 3 已知集合{}28150,,A x x x x R =-+=∈{}10,B x m x x R =-=∈,若B A ⊂≠,求实数m 组成的集合的子集的个数.解析: 由题意得 {}3,5A =.当0m B A φ⊂==≠时，,符合题意; 当10,m B B x x m φ⎧⎫≠≠==⎨⎬⎩⎭时，, 因为B A ⊂≠, 所以1113535m m ==或，即或. 所以实数m 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭,它的子集有8个. 变式: 集合{}03,A x x x N =≤<∈且的真子集个数为( )．A 16 ．B 8 ．C 7 ．D 4解析: 因为{}03,A x x x N =≤<∈且={}0,1,2,所以A 的真子集个数为3217-=. 故选．C点评: (1)根据空集的特性,在解决子集,真子集的个数问题时,千万不能遗忘空集;(2)若题型中有B A ⊂≠或A B A A B B == 或,一定要注意B 为空集的情况,否则易造成解题时的残缺不全.四、注意端点值的取舍在求集合中字母取值范围时，同学们要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则易导致解题错误.例 4 已知集合{}A x x a =<,{}12B x x =<<,且()R A C B R = ,则实数a 的取值范围是( )．A 1a ≤ ．B 1a < ．C 2a ≥ ．D 2a >解析: 由{}12B x x =<<,可知{}21R C B x x x =≥≤或,在数轴上画图,可得: 2a ≥. 故选．C变式: 已知集合301x M x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭,{}3N x x =≤-,则集合{}1x x ≥是( ) ．A M N ．B M N ．C ()R C M N ．D ()R C M N解析：因为301x x +<-，所以 31x -<<，即{}31M x x =-<<. 因为 {}3N x x =≤-,所以 M N ={}1x x <,所以()R C M N ={}1x x ≥. 故选．D点评: 正确地利用数形结合思想,利用数轴进行解题,否则易引起失误.五、注意以集合知识为背景的创新型试题有些试题中的条件是通过定义一个新概念或约定一种新运算,或给定一个新模型来创设新的问题情景,它要求考生在阅读理解的基础上，依据题中提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,从而顺利解决问题.例 5 中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”，“平行关系”等等.如果集合A 中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意；都有a a A a ~,∈（2）对称性：对于；，则有，若，a b b a A b a ~~∈（3）传递性：对于.~~~,,,c a c b b a A c b a ，则有，若∈则称“~”是集合A 的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）. 请你再列出三个等价关系: .解析：这是一道信息给予题，首先应该仔细读题，将三个性质看明白，再联想所学知识作答.图形的全等，图形的相似，非零向量的共线，命题的充要条件等（答案不唯一）.变式: 非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意;a∈∈都有b、（2）⊕,GGba∈=∈都有⊕存在,⊕,，则称G关于运算⊕为“融洽使得对一切ccaaaGGac=集”.现给出下列集合和运算：①{}G，⊕为整数的加法.=非负整数②{}G，⊕为整数的乘法.=偶数③{}G，⊕为平面向量的加法.=平面向量④{}G，⊕为多项式的加法.二次三项式=⑤{}G，⊕为复数的乘法.虚数=其中G关于运算⊕为“融洽集”的是（写出所有“融洽集”的序号）.解析：本题是以高等数学群论为背景而编拟的一道判断填空题，考查考生在新背景下对新知识的接受理解能力，抽象概括能力，分析、解决问题的能力，是一道颇有新意的试题.根据“融洽集”的定义，只有①、③才符合.点评: 与集合有关的创新型试题在近几年高考题中屡见不鲜,解决的关键是读懂题意,对所给题目的背景理解全面、深刻，结合新定义、新运算、新约定等将所学知识进行合理迁移，从而解决问题.。
在集合学习中需要注意的几个问题
处“ = ” 的取舍 ) .
分析 此题易忽视全集 U, 或者将全集默认为 全体实数集 R, 从而解得 CU A = { x | x < 10 }. 其实 U
= { x | x ≥ 7 } , 所以 CU A = { x | 7 ≤ x < 10 }.
到直 线 l 的 距 离 不 大 于 半 径 12, 即
3 ( n + 5)
B = { 2, 3, 4, 6, 8 }.
, 则可先求该方程的两根 x1 、 x2 均为正时
2
m 的取值范围 , 再用补集思想求解就尤为简便 .
解 设全集 U = { m | Δ = ( - 4m )
6 ) ≥ 0 } = { m | m ≤ - 1或 m ≥
+ 2m + 6 = 0 的 两 根
n = m. na + b = 3m
2
+ 15
成立 , ① ②
即 na + b = 3 n2 + 15.
( a, b) ∈ C ] a2 + b2 ≤ 144. na + b = 3 ( n + 5 ) , a + b ≤ 144
2 2 2
转译
若满足 ①和 ②的 a、 b存在 , 则关于 a、 b的方程 组 有解 , 从 而在直 角坐 标系
3 注意空集的特殊性
某一集合的元素 , 这是集合的基本特征 , 没有确定性 就不能成为集合 . 例如 :“ 很少的数 ” 、 “ 个子较高的同 学” 都不能构成集合 .
( 2 ) 互异性 . 集合中的任何两个元素都是不同
的对象 , 即在同一个集合里不能重复出现相同的元 素 , 相同的元素归并在一个集合里只能出现一次 . 如
高中数学 学习集合应注意的几个问题学法指导
学习集合应留意的几个问题
集合是高一数学中的重要概念，它是争辩函数的工具，也是高考命题的热点。
同学们要想学好集合，必需在把握概念的根底上，还应留意以下几点。
一、机敏运用集合中元素的性质
例1. 集合，，且A=B，求实数a，b的值。
解：由A=B，得
由集合相等的定义，得
解这两个方程组得
当，时，明显不合题意
当a=1，b=1时，
依据集合中元素的互异性，不合题意
当，b=0时，两个集合分别为与
依据集合中元素的无序性，这两个集合相等，符合题意
∴为所求
例2. 集合，假设A=B，求x，y的值。
解：由A=B可知需分状况争辩。
假设留意到lgxy有意义，必需
又
只有
即
此时A=B
即
于是有以下两种状况：
①
②
当时，A=B={0，1，1}与集合中的元素互异性相冲突，舍去。
∴x=y=即为所求。
二、把握判定集合关系的方法
例3. 集合，判定集合A，B间的关系。
解：
由，得
由此可知集合A中的分子为奇数，集合B中的分子为整数。
∴
例4. 集合，求集合A、B间的关系。
解：
∴
因集合中的元素与符号表示无关，所以
例5. 集合P、Q、M满足，求集合P，M间的关系。
解：由
由
所以依据传递性得
三、留意空集的存在
例6. ，且，实数p的取值范围。
分析：，知，且留意这一特殊状况
解：由解得。
高考数学复习指导：集合学习中注意的几个问题
2019年高考数学复习指导：集合学习中留意的几个问题高考数学复习指导：集合学习中留意的几个问题一、精确地把握集合的概念，娴熟地运用集合与集合的关系解决详细问题概念抽象、符号术语多是集合单元的一个显著特点，例如交集、并集、补集的概念及其表示方法，集合与元素的关系及其表示方法，集合与集合的关系及其表示方法，子集、真子集和集合相等的定义等等。
这些概念、关系和表示方法，都可以作为求解集合问题的依据、动身点甚至是突破口。
因此，要想学好集合的内容，就必需在精确地把握集合的概念，娴熟地运用集合与集合的关系解决详细问题上下功夫。
二、留意弄清集合元素的性质，学会运用元素分析法谛视集合的有关问题众所周知，集合可以看成是一些对象的全体，其中的每一个对象叫做这个集合的元素。
集合中的元素具有三性：(1)、确定性：集合中的元素应当是确定的，不能模棱两可。
(2)、互异性：集合中的元素应当是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个。
(3)、无序性：集合中的元素是无次序关系的。
集合的关系、集合的运算等等都是从元素的角度予以定义的。
因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。
三、体会集合问题中蕴含的数学思想方法，驾驭解决集合问题的基本规律布鲁纳说过，驾驭数学思想可使得数学更简单理解和记忆，领悟数学思想是通向迁移大道的光明之路。
集合单元中，含有丰富的数学思想内容，例如数形结合的思想、分类探讨的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得非常活跃。
在学习过程中，留意对这些数学思想进行挖掘、提炼和渗透，不仅可以有效地驾驭集合的学问，驾驭集合问题的求解，而且对于开发智力、培育实力、优化思维品质，都具有非常重要的意义。
四、重视空集的特别性，防止由于忽视空集这一特别状况导致的解题失误空集是一个非常重要的特别集合，它具备空集虽空，但空有所为的功能。
在解题的过程中，要时刻留意有无可能存在空集的状况，否则极易导致解题失误。
轻松理解集合高中数学集合问题的解题技巧
轻松理解集合高中数学集合问题的解题技巧高中数学中的集合问题是一个重要而基础的概念。
学生在学习集合问题时，可能会遇到一些难以理解或解答的挑战。
本文将介绍一些解题技巧，以帮助学生轻松理解和解决高中数学集合问题。
一、概念解释在深入讲解解题技巧之前，我们先来简要介绍一下集合问题的基本概念。
在数学中，集合是由一些特定对象组成的总体。
这些对象可以是数字、字母、符号或其他特定元素。
对于集合问题，我们需要了解以下几个关键概念：1. 元素：集合中的个体，可以是数字、字母等。
2. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
3. 子集：如果一个集合A中的所有元素都属于另一个集合B，那么集合A是集合B的子集。
4. 并集：将两个或多个集合中的所有元素放在一起形成的集合，用符号∪表示。
5. 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合，用符号∩表示。
6. 补集：相对于某个全集，不属于某个特定集合的元素所组成的集合，用符号补(A)表示。
二、解题技巧理解了这些基本概念后，我们来探讨一些解题技巧，以帮助学生更好地解决集合问题。
1. 制定清晰的解题策略在解答集合问题之前，制定一个清晰的解题策略非常重要。
首先，仔细阅读问题，理解问题所给的条件和要求。
然后，明确题目中所涉及的集合及其关系。
最后，选择合适的集合运算和方法来解答问题。
2. 利用绘图和图表工具对于一些复杂的集合问题，绘制图表可以帮助学生更好地进行推理和分析。
例如，使用Venn图可以清晰地表示集合之间的关系，帮助学生更好地理解并解答相关问题。
3. 善于利用已知条件解答集合问题时，善于利用已知条件是非常重要的。
通过确定已知条件中的共同元素和关系，可以更准确地判断并推导出其他有用的信息。
4. 注意全集的选择在解题过程中，需要注意选择合适的全集。
全集是指所有可能元素的集合，对于不同的问题，全集的选择可能会有所不同。
确保选择合适的全集非常重要，以避免出现解答错误或不完整的情况。
5. 灵活运用集合运算掌握和灵活运用集合的并、交、补等运算是解答集合问题的关键。
专家支招：高一数学学习集合要注意哪些问题？
专家支招：高一数学学习集合要注意哪些问题？集合是近代数学中的一个重要概念，它不只与高中数学的许多内容有着严密的联络，而且曾经浸透到自然迷信的众多范围，运用十分普遍。
掌握好集合的知识既是数学学习自身的需求，也是片面提高数学素养的一个必不可少的内容。
进入高中，学习数学的第一课，就是集合。
由于集合单元的概念笼统，符号术语多，研讨方法跟学习初中数学时有着清楚的差异，致使局部同窗初学集合时，感到难以顺应，经常由于这样那样的缘由形成解题失误，构成思想阻碍，甚至影响整个高中数学的学习。
为了协助同窗们处置这一效果，本文谈谈在集合学习中值得留意的几个事项，供大家参考。
一、准确地掌握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系处置详细效果概念笼统、符号术语多是集合单元的一个清楚特点，例如交集、并集、补集的概念及其表示方法，集合与元素的关系及其表示方法，集合与集合的关系及其表示方法，子集、真子集和集合相等的定义等等。
这些概念、关系和表示方法，都可以作为求解集分解绩的依据、动身点甚至是打破口。
因此，要想学好集合的内容，就必需在准确地掌握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系处置详细效果上下功夫。
二、留意弄清集合元素的性质，学会运用元素剖析法审视集合的有关效果众所周知，集合可以看成是一些对象的全体，其中的每一个对象叫做这个集合的元素。
集合中的元素具有〝三性〞：〔1〕、确定性：集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可。
〔2〕、互异性：集合中的元素应该是互不相反的，相反的元素在集合中只能算作一个。
〔3〕、无序性：集合中的元素是无次第关系的。
集合的关系、集合的运算等等都是从元素的角度予以定义的。
因此，求解集分解绩时，抓住元素的特征停止剖析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。
三、体聚集分解绩中包括的数学思想方法，掌握处置集分解绩的基本规律布鲁纳说过，掌握数学思想可使得数学更容易了解和记忆，体会数学思想是通向迁移小道的〝黑暗之路〞。
集合单元中，含有丰厚的数学思想内容，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难那么反的思想等等，显得十分生动。
专家支招：高一数学学习集合要注意哪些问题？
专家支招：高一数学学习集合要注意哪些问题？
众所周知，集合可以看成是一些对象的全体，其中的每一个对象叫做这个集合的元素。
集合中的元素具有“三性”：（1）、确定性：集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可。
（2）、互异性：集合中的元素应该是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个。
（3）、无序性：集合中的元素是无次序关系的。
集合的关系、集合的运算等等都是从元素的角度予以定义的。
因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。
三、体会集合问题中蕴含的数学思想方法，掌握解决集合问题的基本规律
布鲁纳说过，掌握数学思想可使得数学更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。
集合单元中，含有丰富的数学思想内容，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。
在学习过程中，注意对这些数学思想进行挖掘、提炼和渗透，不仅可以有效地掌握集合的知识，驾驭集合问题的求解，而且对于开发智力、培养能力、优化思维品质，都具有十分重要的意义。
四、重视空集的特殊性，防止由于忽视空集这一特殊情况导致的解题失误
空集是一个十分重要的特殊集合，它具备“空集虽空，但空有所为”的功能。
在解题的过程中，要时刻注意有无可能存在空集的情况，否则极易导致解题失误。
这一点，必须引起我们的高度重视。
专家支招：高一数学学习集合要注意哪些问题？
专家支招：高一数学学习集合要注意哪些问题？
专家支招：高一数学学习集合要注意哪些问题？
集合是近代数学中的一个重要概念，它不仅与高中数学的许多内容有着紧密的联系，而且已经渗透到自然科学的众多领域，应用十分广泛。
掌握好集合的知识既是数学学习本身的需要，也是全面提高数学素养的一个必不可少的内容。
进入高中，学习数学的第一课，就是集合。
由于集合单元的概念抽象，符号术语多，研究方法跟学习初中数学时有着明显的差异，致使部分同学初学集合时，感到难以适应，常常因为这样那样的原因造成解题失误，形成思维障碍，甚至影响整个高中数学的学习。
为了帮助同学们解决这一问题，本文谈谈在集合学习中值得注意的几个事项，供大家参考。
一、准确地把握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题
概念抽象、符号术语多是集合单元的一个显著特点，例如交集、并集、补集的概念及其表示方法，集合与元素的关系及其表示方法，集合与集合的关系及其表示方法，子集、真子集和集合相等的定义等等。
这些概念、关系和表示方法，都可以作为求解集合问题的依据、出发点甚至是突破口。
因此，要想学好集合的内容，就必须在准确地把握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫。
二、注意弄清集合元素的性质，学会运用元素分析法审视集合的有关问题
空集是一个十分重要的特殊集合，它具备“空集虽空，但空有所为”的功能。
在解题的过程中，要时刻注意有无可能存在空集的情况，否则极易导致解题失误。
这一点，必须引起我们的高度重视。
学习集合的八项注意
学习集合的八项注意集合是中学数学中的最基本的概念之一，然而由于其知识新、符号多、信息量大，初学者往往顾此失彼．本文总结了集合学习中的八项注意，希望能够帮助同学们进一步理解集合的概念，从本质上把握集合的内涵，少走弯路、提高学习效率．1．注意集合的“三性”集合的“三性”指的是：确定性、互异性、无序性，它们是集合的最基本特征．要注意弄清它们的含义，才能在解题时正确运用．例1 以方程2560x x -+=和方程220xx --=的解为元素构成集合M ，则M 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：对于涉及集合元素的问题，首先应想到其确定性、互异性、无序性．由集合元素的互异性可知，两个相同的对象中能算作集合中的一个元素．方程2560x x -+=的解为1223x x ==，；方程220x x --=的解为1212x x =-=，，所以{123}M =-，，。
例2 已知集合A={a ，a+b ，a+2b}，B={a ，ac ，ac 2}，若A=B ，求实数c 的值．分析：集合A=B ，说明A ，B 中元素相同但顺序可以不同，因此要分两种情况讨论．解：（1）若,02222=-+⇒⎩⎨⎧=+=+ac ac a acb a ac b a ∴a=0或c=1 当a=0时，集合B 中三元素都是0，舍去；当c=1时，集合B 中三元素也都相同，舍去．（2）若02222=--⇒⎩⎨⎧=+=+a ac ac acb a ac b a ∵a≠0，∴2c2-c-1=0，∴(c-1)(2c-1)=0又∵c≠1，∴c=21-．经检验，符合题意．综上，c=21-．2．注意0，{0}，Φ，{Φ}的关系数0是元素，{0}是含一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，{Φ}是以Φ作为元素的集合．要注意它们的区别与联系．例3 下列关系错误的是（ ）A. Φ}0{⊆ B .0∈{0} C. 0∈Φ D. 0∉{Φ 解：A 、B 、D 均正确，C 是错误的．3．注意空集的特殊性空集是不含有任何元素的集合，它是一种非常特殊的集合．我们要注意“空集是任何集合的子集”这一重要结论的运用．例4 设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m -1}，若B⊆A ，求实数m 的取值范围． 误解：依题意，B ⊆A ，∴⎩⎨⎧≤--≥+51221m m ∴⎩⎨⎧≤-≥33m m 即33≤≤-m ． 剖析：以上解法忽视了B=Φ的情形，此时m+1>2m-1，∴m<2，也符合B ⊆A ．因此所求实数m 的范围应为m<2或2≤m≤3，即m≤3．例5 已知A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，并且A ∪B=A ，求实数a 组成的集合C ．分析：因为A ∪B=A A B ⊆⇔，可据此求a 的值，但要注意B=Φ的情形． 解：（1）当a=0时，B=Φ符合题意；（2）当a≠0时，B={a 2}，而A={1，2}，∵A ∪B=A A B ⊆⇔ ∴a 2=1或a 2=2 ，∴a=2或a=1．综上，C={0，1，2} ． 4．注意符号“∈”与“⊆”的区别符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系；符号“⊆”用在两集合间表示包含关系．特别需要指出的是，“a ，b ∈A”与“{a ，b}A ⊆”之间既有区别又有联系．例6 设M={x ∈R|x≤10}，a=3，则下列关系正确的是（ ）A a ∈MB a ∉MC {a}∈MD {a}⊆M解：a 是元素，{a}与M 是集合，由于310≤，故选D ．例7 （1）若a ，b ∈{3，4，5}，则函数f(x)=ax 2+bx 有多少条不同的对称轴？（2）若{a ，b}⊆{3，4，5}，则函数f(x)=ax 2+bx 有多少条不同的对称轴？分析：二次函数图象的对称轴为x=-a b 2 ，故只要研究有多少个不同的a b 的值即可，但要注意两小题的区别．第（1）小题中a ，b ∈{3，4，5}，当a ，b 不同时有6个不同的a b 的值，当a ，b 相同时a b =1，因此共有7条不同的对称轴；第（2）小题中{a ，b}⊆{3，4，5}，说明a ，b 只能不相等，因此只有6条不同的对称轴．5．注意数集与点集的区别容易出现两方面的错误．一是书写上的错误，如把点集{（2，3）}误写为{2，3}或{x=2，y=3}等；二是理解上的错误，如把数集{y|y=x 2+1，x ∈R}误为{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}或{x|y=x 2+1，x ∈R}等．例8 （1）已知A={(x ，y)|y=x 2-1，x ∈R}，B={(x ，y)|y=7-x 2，x ∈R}， 则A∩B=______；（2）已知A={y|y=x 2-1，x ∈R}，B={y|y=7-x 2，x ∈R}， 则A ∩B=________．分析：解方程组⎩⎨⎧-=-=2271x y x y 得，⎩⎨⎧=-=32y x 或⎩⎨⎧==32y x ，曲线y=x 2-1和y=7-x 2的两交点为（-2，3）和（2，3），第（1）题中A 、B 为点集，A∩B={（-2，3），（2，3）}．而第（2）题如果理解为A∩B={3}那就错了，因为A 、B 都表示数集，它们分别表示函数y=x 2-1，x ∈R 和y=7-x 2，x ∈R 的值域，从整体上把握，应该有A={y|y≥-1}，B={y|y≤7}，因此A∩B={y|-1≤y≤7}．6．注意求补集的前提——全集在求补集时，不能忽略全集，因为同一集合在不同全集中补集是不相同的．例9 全集U 是函数7-=x y 的定义域，A={x|x≥10}，求C U A ．误解：C U A={x|x<10} 剖析：误解将全集默认为实数集R ，显然不对．其实U={x|x≥7}，故C U A={x|7≤x<10}．7．注意选取集合的表示法当集合为有限集时，一般用列举法．当集合为无限集时，一般不采用列举法，因为不能将其一一列出，这时宜用描述法．对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法，这时应择优选用．例10 已知集合6|1C x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭Z N ，求集合C ． 解析：对于本题集合C 中元素应是61x +，而不是x ，满足的条件是61x ∈+Z 且x ∈N ．x ∈N ，11x ∴+≥，又61x ∈+Z ，11236x ∴+=，，，．663211x∴=+，，，，即{}6321C =，，，． 8．注意用好容斥原理和Venn 图与集合元素有关的计数问题牵涉因素较多，看上去错综复杂．若能利用容斥原理和韦恩图，则可使问题具体化而顺利解决．例11 高一（1）班有45人．其中有30人订阅了《起跑线》这种杂志，有25人订阅了《数学专页》这种报纸．问这个班至少有多少人这种杂志和这种报纸全订阅了？分析：集合A 中元素的个数常记作card(A)．本题中设高一（1）班全体同学组成全集U ，订阅了《起跑线》杂志的人组成集合A ，订阅了《数学专页》的人组成集合B ．这样杂志和报纸都订阅的人就组成了A∩B ．可借助容斥原理和韦恩图来解题．解：依题意，card(A)=30，card(B)=25，而card(U)=45，∴card(A∩B)≥30+25-45=10即至少有10人杂志和报纸都订阅了．注：本题中card(U)=45，∴card(A∪B)≤45．根据容斥原理card(A∪B)=card(A) +card(B)-card(A∩B)和韦恩图可得，至少有10人杂志和报纸都订阅了．注：容斥原理card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)和韦恩图是解决“至多”、“至少”问题的有力工具．。
解集合题应注意的三个问题
解集合题应注意的三个问题
解题速度慢，导致后面的解答题没有时间做，连看题都没有时间了。
解题速度缓慢原因就是不熟练，基础知识不熟练，基本方法不熟练，这是平时训练不够所致，所以我们经常说回归课本，目的就是要让考生全面、系统地掌握课本中的基础知识和基本方法，吃透课本中的例题和习题。
运算错误多。
答卷的时候，经常会犯一些低级的错误，这是运算能力的问题，不能简单的说是粗心大意，这方面要加强运算能力的训练，避免基础性失分。
答题不规范。
一道题做完了，自己以为是对的，其实大打折扣，主要是因为答题不规范，丢三落四。
例如解应用题没有作答，求函数解析式没有写出定义域(自变量取值范围)，乱用数学符号、乱造数学符号等。
集合中的六个注意点
集合中的六个注意点作者：夏兴丽来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第05期摘要:本文通过六个典型例题,阐述了解决集合问题的六个注意点。
关键词:集合;注意点中国分类号:G424 文献标识码:A文章编号:1992-7711(2010)4-037 -01一、注意发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法,韦恩图法等能形象直观地解决问题。
例1 向50名学生调查对参加A篮球运动、B兵乓球运动两事件的态度,有如下结果参加A 的人数是全体的五分之三,其余的不参加,参加B的比参加A的多3人,其余的不参加;另外,对A、B都不参加的学生数比对A、B都参加的学生数的三分之一多1人问对A、B都参加的学生和都不参加的学生各有多少人?【解析】画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系参加A的人数为50×35=30,参加B的人数为30+3=33,如右图,记50名学生组成的集合为U,参加事件A的学生全体为集合A;参加事件B的学生全体为集合B设对事件A、B都参加的学生人数为x,则对A、B都不参加的学生人数为x3+1,参加A而不参加B的人数为30-x,参加B而不参加A的人数为33-x依题意(30-x)+(33-x)+x+(x3+1)=50,解得x=21所以对A、B都参加的同学有21人,都不参加的有8人二、注意抓住空集注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性M如则有或两种可能,此时应分类讨论;A要考虑到或例2 设-x--2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈[WTHZ]N,使得(A∪证明此结论【解析】由集合A与集合B中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况进行限制,可得到b、k的范围,又因b、k∈N,进而可得b、k的值∵(A∪∴且∵kx+b[JB)]∴--1=0∵∴---1)∴-4bk+1其充要条件是-16>0,即①∵-∴-2k)x+(5+2b)=0∵∴--4(5-2b)∴-2k+8b-19即b由①②及b∈[WTHZ]N,得b=2代入由-8k+1∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪三、注意抓住元素(或参数)的特征集合中的元素具有确定性、互异性、无序性,解题时往往忽略互异性,导致错误。
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集合教学中应注意的几个问题
蒋世军
集合概念是数学最基本的概念,具有高度的统一性和概括性.学好集合知识要具备较强的抽象概括能力及严密的逻辑推理能力,高一学生往往会因为学习方法思维方式的不适应,对集合的概念缺乏深刻的理解,解题中考虑不周的现象屡见不鲜,或者对给出的集合表达式不能转化成相关的数学知识而使解题半途而废,争对学生的薄弱环节,在教学中要求学生注意以下几个问题：
一、注意元素的互异性
集合中的元素是互异的，集合中的元素没有重复现象，学生在接受知识的过程中承认这种理论的正确性，但在解题中却弃之脑后，忽略了元素的互异性，以致造成解题的错误，这需要结合例题的讲解逐步强化学生的认识。
例1：已知集合A {}{}
a a a B a a --+=++=2,24,7,0,24,3,222,且A ∩B={3,7},求集合B 。
分析：∵A ∩B={3,7},∴a 2+4a+2=7即a=1或a=-5
至此不少学生认为大功告成，事实上这只能保证A={2,3,7},集合B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步检查。
当a=-5时，此时B 中元素为0，7，3，7与元素的互异性相矛盾，故应舍去a=-5 当a=1时，B={0,7,3,1}且A ∩B={3,7}
∴a=1 二、注意空集的作用
空集是任何非空集合的子集，且A ∩￠=￠,A ∪￠=A 。
忽略了空集的作用，会造成解题的结果残缺不全，在教学中应引起高度的重视。
例2：已知集合A {}
R x x p x x ∈=+++=,01)2(|2若A ∩R +=￠，求p 的取值范围。
分析：∵A ∩R +
=￠，只需A 中的元素为非正数，即方程01)2(2=+++x p x 有非正数解。
⎩
⎨⎧≥+≥-+=∇0204)2(2p p 解之得 : p ≥0
这个结果是不完整的。
上述解答只注意到A 为非空集合，实际上，A=￠时仍满足A ∩R +=￠。
A=￠时，方程01)2(2
=+++x p x 的判别式小于零。
即⊿ = (p+2)2
-4 < 0 解得，-4＜p ＜0
综合以上两种情况可得；p ＞ -4
由此可知学生正确的认识并不是一次完成的，这需要例题的示范，作业纠错等一系列的措施，逐步达到认识上的深化。
三、注意集合的图形表示
抽象的集合问题通过图象的直观，不仅可以准确地显示出各集合间的关系，有时各个集合的元素也随之确定下来，便于我们运用形象思维进行解题。
集合的图示法应贯穿在整个集合知识的教学之中。
例3：设A 、B 都是不超过9的自然数组成的集合的子集合，且A ∩B={2}，C U A ∩C U B={0，1，9}，C U A ∩B={4，6，8}，求A 和B 。
分析：通过集合间的运算和推理进行解题，难以纷杂的已知条件抓住解题的核心。
对已知条件中的各个集合用图形定位，并把元素放到相关的位置上，A ，B 的元素也就随之确定下来。
全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，如右图所示,圆和椭圆分别表示A 与B,A ∩B,
C U A ∩B,及C U A ∩C U B 的位置都固定下来,并把元素填入相关的部位,从图形上显示出C U B ∩A={3,5,7},
∴在解决集合问题时,应要求学生尽量
画出图形,用集合图形寻找解题方法,
它可以起到找准问题的突破口,并有化难为易的作用.
四、集合语言向数学问题的转化
集合问题是用符号语言表述的，因此它具有一定的抽象性，在教学中我们要引导学生深刻理解集合的符号语言，并能准确的把它翻译成相关的数学问题，用过去所学过的数学知识和方法进行解题。
例4：已知集合A={}{}
R x p qx x x B R x q px x x ∈=-+=∈=+-,0|,,0|22,若A ∩B={-1},求A ∪B
分析：A ∩B={-1}的实际意义是-1既是方程x 2- px + q=0的根又是方程x 2+qx -p=0
的根，集合的符号转化成相关的数学问题后即可得出： ⎩⎨⎧=-=+1
1q p q p ∴p=1,q=0 从而A={0,1},B={-1,1}
∴A ∪B={-1,0,1}
抓住集合语言向数学问题的转化，抽象的问题具体化，形象化，它是通向解题大门的钥匙。
2008-1-12。